简单枚举
【专题简析】
枚举是一种常见的分析问题、解决问题的方法。一般地，要根据问题要求，一一列举问题解答。运用枚举法解应用题时，必须注意无重复、无遗漏，因此必须有次序、有规律地进行枚举。
运用枚举法解题的关键是要正确分类，要注意以下两点：一是分类要全，不能造成遗漏；二是枚举要清，要将每一个符合条件的对象都列举出来。
【典型例题】
【例1】从小华家到学校有3条路可以走，从学校到岐江公园有4条路可以走，从小华家到岐江公园，有几种不同的走法？
【试一试】
1. 从甲地到乙地，有3条公路直达，从乙地到丙地有2条铁路可以直达，从甲地到丙地有多少种不同的走法？
2. 新华书店有3种不同的英语书，4种不同的数学读物销售，小明想买一种英语书和一种数学读物，共有多少种不同的买法？
【例2】把4个同样的苹果放在两个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放，问共有多少种不同的分法？
【试一试】
1．把5个同样的苹果放在两个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放，问共有多少种不同的分法？
2．把7个同样的苹果放在三个同样的盘子里，不允许有的盘子空着不放，问共
有多少种不同的分法？
【例3】从1～6这六个数字中，每次取2个数字，这两个数字的和都必须大于7，能有多少种取法？
【试一试】
1．从1～9这九个数字中，每次取2个数字，这两个数字的和都必须大于10，能有多少种取法？
2．从1～19这十九个数字中，每次取2个数字，这两个数字的和都必须大于20，能有多少种取法？
【例4】一个长方形的周长是22米，如果它的长和宽都是整米数，那么这个长方形的面积有多少种可能值？
【试一试】
1．一个长方形的周长是30厘米，如果它的长和宽都是整厘米数，那么这个长方形的面积有多少种可能值？
2．把15个玻璃球分成数量不同的4堆，共有多少种不同的分法？
【例5】有4位小朋友，寒假中互相通一次电话，他们一共打了多
少次电话？
【试一试】
1．6个小队进行排球比赛，每两队比赛一场，共要进行多少次比赛？
2．有8位小朋友，要互通一次电话，他们一共打了多少次电话？
【※例6】一条铁路，共有10个车站，如果每个起点站到终点站只用一种车票（中间至少相隔5个车站），那么这样的车票共有多少种？
【※试一试】
1.上海、北京、天津三个城市分别设有一个飞机场，它们之间通航一共需要多少种不同的机票？
2. 一条公路上，共有8个站点，如果每个起点到终点只用一种车票（中间至少相隔3个车站），那么共有多少种不同的车票？
【※例7】在1～49中，任取两个和小于50的数，共有多少种不同的取法？【※试一试】
1.在两位整数中，十位数字小于个位数字的共有多少个？
2.从1～99这九个数中，每次取2个数，这两个数的和都必须大于100，能有多少种取法？
课外作业
家长签名:__________
1.小熊有2件不同的上衣，3条不同的裤子，最多可以搭配多少种不同的装束？
2．3个自然数的乘积是12，问由这样的3个数所组成的数有多少个？如（1，2，6）就是其中一个，而且数组中数字相同但顺序不同的算作同一数组，如（1，2，6）和（2，6，1）是同一数组。
3．明明有2件不同的上衣，3条不同的裤子，4双不同的鞋子，最多可以搭配多少种不同的装束？
4．3个自然数的乘积是18，问由这样的3个数所组成的数有多少个？如（1，2，9）就是其中一个，而且数组中数字相同但顺序不同的算作同一数组，如（1，2，9）和（2，9，1）是同一数组。
5．小芳出席由19人参加的联欢会，散会后，每两人都要握一次手，他们一共握了多少次手？
※6.在长江的某一航线上共有6个码头，如果每个起点终点只许用一种船票（中间至少要相隔2个码头），那么这样的船票共有多少种？
※7.十把钥匙开十把锁，但钥匙放乱了，问最多要试多少次可以找到相应的锁？最多要试多少次才能开相应的锁？
逻辑推理大全之演绎推理 演绎推理 1.推理及其分类 所谓推理，是指由一个或几个已知的判断推导出另外一个新的判断的思维形式。一切推理都必须由前提和结论两部分组成。一般来说，作为推理依据的已知判断称为前提，所推导出的新的判断则称为结论。推理大体分为直接推理和间接推理。只有一个前提的推理叫直接推理。例如： 有的高三学生是共产党员，所以有的共产党员是高三学生。 一般有两个或两个以上前提的推理就是间接推理。例如： 贪赃枉法的人必会受到惩罚，你们一贯贪赃枉法，所以今天你们终于受到法律的制裁和人民的惩罚。 一般说，间接推理又可以分为演绎推理、归纳推理和类比推理等三种形式。(1)演绎推理。所谓演绎推理，是指从一般性的前提得出了特殊性的结论的推理。例如： 贪赃枉法的人是必定会受到惩罚的，你们一贯贪赃枉法，所以，你们今天是必定要受到法律的制裁、人民的惩罚的。 这里，“贪赃枉法的人是必定会受到惩罚的”是一般性前提，“你们一贯贪赃枉法”是特殊性前提。根据这两个前提推出”你们今天是必定要受到法律的制裁和人民的惩罚的”这个特殊性的结论。 演绎推理可分为三段论、假言推理和选言推理。 (2)归纳推理。归纳推理是从个别到一般，即从特殊性的前提推出普遍的一般的结论的一种推理。一般情况下，归纳推理可分为完全归纳推理、简单枚举归纳推理。 完全归纳推理，也叫完全归纳法，是指根据某一类事物中的每一个别事物都具有某种性质，推出该类事物普遍具有这种性质的结论。正确运用完全归纳推理，要求所列举的前提必须完全，不然推导出的结论会产生错误。例如： 在奴隶社会里文学艺术有阶级性；在封建社会里文学艺术有阶级性；在资本主义社会里文学艺术有阶级性；在社会主义社会里文学艺术有阶级性；所以，在阶级
简单枚举 知识要点：简单枚举是一种重要的数学思考方法。运用这种方法解题，关键是分类要全，枚举要清。分类要全是指不能遗漏任何一种可能的类型；枚举要清是指要将每一个符合条件的对象都列举出来。对于容易划分类型、符合条件的对象也不太多时，简单枚举是一种较简便的方法。 经典例题：用数字1、3、4可以组成多少个不同的三位数？ 解：一个三位数由百位数字、十位数字和个位数字组成。我们可以根据百位上数字的不同将它们分成3类： 1、百位上数字是1，有：134，143 2、百位上数字是3，有：314，341 3、百位上数字是4，有：413，431 共有：2+2+2=6（个）或 2×3=6（种） 答：可以组成6个不同的三位数。 小试牛刀： 用数字3，8，9可以组成多少个不同的三位数？ 举一反三： 1、用数字0，2，5可以组成多少个不同的三位数？ 2、现有一张1元、两张5元和一张10元的人民币，一共可以组成多少种不同的币值？ 3、两个整数相除，其中除数是一位数，商是5，余数是6，求被除数是多少？
融会贯通： 用0，2，5，9可以组成多少个能被5整除的三位数？ 综合练习： 1从小华家到学校有3条路可以走，从学校到文峰公园有4条路可以走，从小华家到文峰公园，有几种不同的走法？ 2、新华书店有3种不同的英语书，4种不同的数学读物销售，小名想买一种英语书和一种数学读物，共有多少种不同的买法？ 3、从甲地到乙地，有3条公路直达，从乙地到丙地有2条铁路直达，从甲地到丙地有多少种不同的走法？ 4、有4位小朋友，寒假中互相通一次电话，他们一共打了多少次？
5、6个小队进行排球比赛，每两队比赛一场，共要进行多少次比赛？ 6、小芳出席由19人参加的联欢会，散会后，每两个人都要我一次手，他们一共握了多少次手？ 7、上海、北京、天津三个城市分别设有一个飞机场，它们之间通航一共需要多少种不同的机票？ 8、一条公路上，共有8个站点，那么共有多少种不同的车票？ 9、明明有2件不同的上衣，3条不同的裤子，4双不同的鞋子，最多可搭配成多少种不同的装束？
简单枚举（一） 知识导航 数学问题中有些问题的答案具有多样性，直接解答比较困难，我们可以采用一一列举的方法来解决。像这样通过列举各种情况使问题得到顺利解决的数学方法，我们称之为简单枚举 典型例题1 从小辉家到学校有2条路可以走，从学校到人民公园有3条路可以走，从小辉家经过学校到人民公园，有多少种不同的路线？ 举一反三1 1、从小强家到学校有3条路可以走，从学校到文化宫有2条路可以走，从小强家经过学校到文化宫，有多少不同的路线？ 2、从甲地到乙地，有3条直达公路，从乙地到丙地，有4条直达铁路，从甲地经过乙地到达丙地，有多少种不同的路线？
3、书店有5中不同的电脑书，4种不同的手工书，小希想买一本电脑书和一本手工书，共有多少种不同的组合？ 经典例题2 小雨又4件不同的上衣，2条不同的裤子，如果将上衣和裤子搭配，请问小雨一共有多少种不同的穿法？ 举一反三2 1、小琳有3件不同的体恤，3条不同的裙子，问她一共有多少种不同的穿法？ 2、小鸭、小鸡、小鹅三个动物排成一排，有多少种不同的排法？
3、用红、绿、黄三种信号灯组成一种信号，可以组成几种不同的信号？ 典型例题3 小雨又4件不同的上衣，2条不同的裤子，3双不同的鞋子，最多可以搭配成多少种不同的装束？ 举一反三3 1、晓琳有3件不同的上衣，5条不同的裤子，4双不同的鞋子，最多可搭配成多少种不同的装束？ 2、小玲的芭比娃娃有6件不同的体恤，3条不同的牛仔裤，5双不同的鞋子，小玲最多可为芭比娃娃搭配多少种不同的装束？
3、小玉有5支钢笔，3个文具盒，4块橡皮，他要每样选一种送给同桌作为生日礼物，他有多少种不同的选法？ 经典例题4 用2、4、6这三个数字可以组成多少个没有重复数字的两位数？ 举一反三4 1、用1、7、5这三个数字可以组成多少个没有重复数字的两位数？ 2、用2、 3、9、4这四个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 3、用6、 4、 5、8这四个数字可以组成多少个没有重复数字的两位数？
简单枚举 枚举法是一种常见的分析间题、解决问题的方法。般要根据问题的要求,一一列举间题进行解答。运用用枚举法解应用题时,必须注意无重复、无遗漏,因此必须有次序有规律地进行枚举。 运用枚举法解题的关键是要正确分类,要注意以下两点:一是分类要全,不能造成遗漏;二是枚举要清,要将每个符合条件的对象都列举出来 例1：从小华家到学校有3条路可以走,从学校到文峰公园有4条路可以走。从小华家到文峰公园有几种不同的走法? 1.从甲地到乙地有3条公路直达,从乙地到丙地有2条铁路直达。从甲地到丙地有多少种不同走法? 2.新华书店有3种不同的英语辅导书、4种不同的数学辅导书在销售,小明想买一本英语辅导书和一本数学辅导书,共有多少种不同买法? 3.明明有2件不同的上衣、3条不同的裤子、4双不同的鞋子,最多可搭配成多少种不同的装束?
例2：一个长方形的周长是22米,如果它的长和宽都是整米数,那这个长方形的面积有多少种可能? 【思路导航】由于这个长方形的周长是22米,所以它的长与宽和为11米。下面列举举出符合这个条件的各种长方形 1.一个长方形的周长是30厘米,如果它的长和宽都是整厘米数,那么这个长方形的面积有多少种可能? 2.把15个玻璃球分成数量不同的4堆,共有多少种不同的分法? 3.3个自自然数的乘积是18,由这样的3个数所组成的数组有多少个?如（1,2,9）就是其中的一个,而且数组中数字相同但顺序不同的算作同一数组,如(1,2,9)和(2,9,1)是同一数组。 例3：4个小朋友在寒假中互相打一次电话,他们共打了多少次电话?
【思路导航】把4个小朋友分别别编号:A,B,C,D。A与其他小朋友打电话,应该打3次,同样B,C,D也应与其他小朋友打了3次电话,4个小朋友共打了3×4=12次电话。题目要求2个小朋友之间只要打一次电话,那么A打电话给B时,A,B两人已打过电话了,所以B没有必要再打电话给A。照这样计算,12次电话中有一半是重复计算的,所以实际打电话的次数是3×4÷2=6次。列式如下: 3×4÷2=6(次) 答:他们一共打了6次电话 1.6个小队进行排球比赛,每两队比赛一场,共要进行多少场比赛? 2.小芳出席由19人参加加的联欢会,散会后每两人都要握一次手,他们一共握了多少次手? 3.A,B,C,D,E这五个人一起回答一个问题,结果只有两个人答对了,所有可能的回答情况一共有多少种? 例4：条铁路共有10个车站。如果每个起点站到终点站只用一种车票(中间至少相隔5个车站),那么这样的车票共有多少种?
- 1 - 简单枚举 专题解析： 枚举是一种常见的分析问题、解决问题的方法。一般地，要根据问题要求，一一列举问题解答。运用枚举法解应用题时，必须注意无重复、无遗漏，因此必须有次序、有规律地进行枚举。 运用枚举法解题的关键是要正确分类，要注意以下两点：一是分类要全，不能造成遗漏；二是枚举要清，要将每一个符合条件的对象都列举出来。 例1.小华家到学校有3条路可走，从学校到文峰公园有4条路可走。从小华家到文峰公园，有几种不同的走法？ 分析与解答：为了帮助理解题意，我们可以画出如上示意图。 我们把小华的不同走法一一列举如下：根据列举可知，从小明家经学校到文峰公园，走①路有4种不同走法，走②路有4种不同走法，走③路也有4种不同走法，共有4×3=12种不同走法。 练习一 1.从甲地到乙地，有3条公路直达，从乙地到丙地有2条铁路直达。从甲地到丙地有多少种不同走法？ 2.新华书店有3种不同的英语书，4种不同的数学读物销售。小明想买一种英语书和一种数学读物，共有多少种不同买法？ 例2.用红、绿、黄三种信号灯组成一种信号，可以组成多少种不同的信号？ 分析与解答：要使信号不同，要求每一种信号颜色的顺序不同，我们可以把这些信号进行列举。可以看出，红色信号灯排在第一个位置时，有两种不同的信号，绿色信号灯排在第一个位置时，也有两种不同的信号，黄色信号灯排在第一个位置时，也有两种不同的信号，因而共有3个2种不同排列方法，即2×3=6种。 练习二 1.用红、黄、蓝三种颜色涂圆圈，每个圆圈涂一种颜色，一共有多少种不同的涂法？○○○
2.用2、3、5、7四个数字，可以组成多少个不同的四位数？ 例3.一个长方形的周长是22米，如果它的长和宽都是整米数，那么这个长方形的面积有多少种可能？分析与解答：由于长方形的周长是22米，可知它的长与宽之和为11米。下面列举出符合这个条件的各种长方形： 练习三 1.一个长方形的周长是30厘米，如果它的长和宽都是整厘米数，那么这个长方形的面积有多少种可能值？ 2.3个自然数的乘积是18，问由这样的3个数所组成的数组有多少个？如（1.2.9）就是其中的一个，而且数组中数字相同但顺序不同的算作同一数组，如（1.2.9）和（2.9，1）是同一数组。 例4.有4位小朋友，寒假中互相通一次电话，他们一共打了多少次电话？ 分析与解答：把4个小朋友分别编号：A、B、C、D，A与其他小朋友打电话，应该打3次，同样B小朋友也应打3次电话，同样C、D应该各打3次电话。4个小朋友，共打了3×4=12次。但题目要求两个小朋友之间只要通一次电话，那么A打电话给B时，A、B两人已经通过话了，所以B没有必要再打电话给A，照这样计算，12次电话中，有一半是重复计算的，所以实际打电话的次数是3×4÷2=6次。 练习四 1. 6个小队进行排球比赛，每两队比赛一场，共要进行多少次比赛？ 2.小芳出席由19人参加的联欢会，散会后，每两人都要握一次手，他们一共握了多少次手？ 课后练习 1.明明有2件不同的上衣，3条不同的裤子，4双不同的鞋子。最多可搭配成多少种不同的装束？ 2.用数字1、2、 3.可以组成多少个不同的三位数？分别是哪几个数？ 3把15个玻璃球分成数量不同的4堆，共有多少种不同的分法？ 4.有8位小朋友，要互通一次电话，他们一共打了多少次电话？ 2
第20讲简单枚举 一、知识要点 枚举是一种常见的分析问题、解决问题的方法。一般地，要根据问题要求，一一列举问题解答。运用枚举法解应用题时，必须注意无重复、无遗漏，因此必须有次序、有规律地进行枚举。 运用枚举法解题的关键是要正确分类，要注意以下两点：一是分类要全，不能造成遗漏；二是枚举要清，要将每一个符合条件的对象都列举出来。 二、精讲精练 【例题1】从小华家到学校有3条路可走，从学校到文峰公园有4条路可走。从小华家到文峰公园，有几种不同的走法？ 【思 路导航】为 了帮助理解题 意，我们可以 画出如上示意图。 我们把小华的不同走法一一列举如下： 根据列举可知，从小明家经学校到文峰公园，走①路 有4种不同走法，走②路有4种不同走法，走③路也有4种 不同走法，共有4×3=12种不同走法。 练习1：1.从甲地到乙地，有3条公路直达，从乙地到 丙地有2条铁路直达。从甲地到丙地有多少种不同走法？ 2.新华书店有3种不同的英语书，4种不同的数学读物销售。小明想买一种英语书和一种数学读物，共有多少种不同买法？ 3.明明有2件不同的上衣，3条不同的裤子，4双不同的鞋子。最多可搭配成多少种不同的装束？ 【例题2】用红、绿、黄三种信号灯组成一种信号，可以组成多少种不同的信号？ 【思路导航】要使信号不同，要求每一种信号颜色的顺序不同，我们可以把这些信号进行列举。可以看出，红色信号灯排在第一个位置时，有两种不同的信号， 绿色信号灯排在第一个位置时，也有两种不同的信号，黄色信号 灯排在第一个位置时，也有两种不同的信号，因而共有3个2 种不同排列方法，即2×3=6种。 练习2：1.用红、黄、蓝三种颜色涂圆圈，每个圆圈涂一种颜色，一共有多少种不同的涂法？○○○ 2.用数字1、2、 3.可以组成多少个不同的三位数？分别是哪几个数？ 3.用2、3、5、7四个数字，可以组成多少个不同的四位数？
第2讲枚举法（一） 枚举法：就是把所有的情况一一列举出来。 1、有序枚举（有顺序要求） 例1 小王准备从青岛、三亚、桂林、杭州这四个地方中选2个去旅游，有多少同不同的选择方式？ 如果小王想去其中的3个地方，又有多少种选择方式？ 用连线的方式表示小王准备游览的两个城市，看看有几种情况？ 三个又该怎样连呢？ 练习 1、妈妈去超市买水果，想从香蕉、橘子、西瓜、桃子、李子这5种水果中选择2种，有多少种不同的选择方法？如果选择4种呢？ 两个数的和是10，差是4，这两个数究竟是多少？ 你知道吗？ 桂 林 青 岛 三 亚 杭 州 青 岛 三 亚 桂 林 杭 州
2、超市里卖的饮料有可乐、雪碧、芬达、冰红茶、橙汁等五种，小月想要买两瓶不同的饮料，她有多少种不同的选择方法？ 2、无序枚举（没有顺序要求） 例2 张奶奶去超市买了12盒牛奶，发现这些牛奶需要装在2个同样的袋子里，并且每个袋子最多只能装10盒，张奶奶一共有几种不同的装法？ 第一袋中牛奶的盒数 第二袋中牛奶的盒数 练习 1、把15个玻璃球分成两堆，一共有几种不同的分法？这两堆球的个数可能相差几个？ 2、把5个小朋友分成2组，共有多少种不同的方法？
1、从甲地到乙地，有3条公路直达，从乙地到丙地有2条铁路直达。从甲地到丙地有多少种不同走法？ 2、用红、黄、蓝三种颜色涂圆圈，每个圆圈涂一种颜色，一共有多少种不同的涂法？ 3、用数字1、2、3，可以组成多少个不同的三位数？分别是哪几个数？ 4、6个小队进行排球比赛，每两队比赛一场，共要进行多少次比赛？ 5、上海、北京、天津三个城市分别设有一个飞机场，它们之间通航一共需要多少种不同的机票？
什么是不完全归纳推理 不完全归纳推理，又称“不完全归纳法”，它是以某类中的部分对象（分子或子类）具有或不具有某一属性为前提，推出以该类对象全部具有或不具有该属性为结论的归纳推理。 不完全归纳推理的特点 不完全归纳推理由于前提只考察了某类事物中的部分对象具有这种属性，而结论却断定该类事物的全部对象都具有这种属性，其结论所断定的范围显然超出了前提所断定的范围，所以，前提同结论之间的联系是或然的。也就是说，即使前提真实，推理形式正确，其结论也未必一定是真的。 不完全归纳推理的类型 不完全归纳推理分为两类，一是简单枚举法，一是科学归纳法。 一、简单枚举法 简单枚举归纳推理，又称“简单枚举法”，它是这样一种不完全归纳推理：它根据某类中的部分对象（分子或子类）具有或不具有某一属性，并且未遇反例之前提，推出该类对象全部具有或不具有该属性之结论。其形式如下： S1是（或不是）P; S2是（或不是）P; S3是（或不是）P; ……; Sn是（或不是）P. （S1，S2，S3,……,Sn是S类的部分对象，枚举中未遇反例） 所以，所有S都是（或不是）P. 上式中的S1，S2，S3,……,Sn.可以表示S类的个体对象，也可以表示S类的子类。 二、科学归纳法 科学归纳推理，又称“科学归纳法”，它是以科学分析为主要依据，由某类中部分对象与其属性之间所具有的因果联系，推出该类的全部对象都具有某种属性的归纳推理。其形式为： S1是P;
S2是P; S3是P; ……; Sn是P. （S1，S2，S3,……,Sn是S类的部分对象，它们与P之间有因果联系） 所以，所有S都是P. 所谓因果联系是指原因和结果之间的联系。原因和结果本是哲学中的一对范畴。它是对自然界和社会领域中普遍存在的一种必然联系的哲学概括和反映。所谓原因，就是引起某现象出现的现象；所谓结果，就是被某现象引起的现象。 例如，某甲未付货款在先，致使某乙未交货物。甲的行为就是乙未交货的原因，乙未交货就是甲未付款的结果。 不完全归纳法的作用 不完全归纳法的特点是结论所断定的范围超出了前提所断定的范围，结论的知识往往不只是前提已有知识的简单推广，而且还揭示出存在于无数现象之间的普遍规律性，给我们提供全新的知识，尤其是科学的普遍原理。人们要认识周围的事物，首先必须对事物的现象进行大量的观察和实验，然后根据观察和实验所确认的一系列个别事实，应用不完全归纳法由个别的知识概括成为一般的知识，从而达到对普遍规律性的认识。所以，不完全归纳法在探求新知识的过程中具有极为重要的意义。
小学二年级数学简单枚举练习题 1. 一条公路上，共有8个站点，如果每个起点到终点只用一种车票（中间至少相隔3个车站），那么共有多少种不同的车票？ 2. 李老师要把19颗星星分给两个小朋友，每个小朋友都要分到，可以怎么分？共有几种分法？ 3. 用1元、2元和5元币中的两张，一共可以组成几种不同的钱数？ 4. 三个自然数的乘积是24，问由这样的三个数所组成的数组有多少个?如(1，2，12)就是其中的一个，而且要注意数组中数字相同但顺序不同的算作同一数组，如(1，2，12)和(2，12，1)是同一数组. 5. 在10和31之间有多少个数是3的倍数? 6. 6个小队进行排球比赛，每两队比赛一场，共要进行多少场比赛？ 7. 一条公路上，共有10个站点，如果每个起点到终点只用一种车票（中间至少相隔5个车站），那么这样的车票共有多少种？ 8. 上海、北京、天津三个城市分别设有一个飞机场，它们之间通航一共需要多少种不同的机票？ 9. 小娟出席由10人参加的生日会，散会后，每两人都要握一次手，他们一共握了多少次手？ 10. 幼儿园张老师要把14颗糖分给两个小朋友，每个小朋友都要分到，可以怎么分？共有几种分法？ 11. 一条公路上，共有12个站点，如果每个起点到终点只用一种车票（中间至
少相隔6个车站），那么这样的车票共有多少种？ 12. 有4位小朋友，寒假中每两人都互通一次电话，他们一共打了多少次电话？ 13. 用1、2、3三个数字可以组成多少不同的三位数？分别是哪几个数？ 14. 明明要到文具店买东西，他看到了两个非常漂亮的文具盒和三支笔，如果要挑选一个笔盒和一支笔，请问有多少种不同的挑法？ 15. 一个学习小组有五个人，如果每个人都与其余的人握一次手，问：五个人总共握了几次手？ 16. 用红、黄、蓝三种颜色涂三个圆圈，每个圆圈的颜色都不一样，一共有多少种不同的涂法？ 17. 小淘气跟妈妈爸爸外出游玩时要带两个球和三条绳子，妈妈只许他拿走一条绳子和一个球，问他有几种挑法？ 18. 用红、黄、绿三种信号灯组成一种信号，可以组成多少种不同的信号？
演绎推理经典14种方法20例题详解 一、矛盾关系的推理 矛盾关系是指两个语句或命题之间不能同真（必有一假），也不能同假（必有一真）。 不能同真，就是说当其中一个命题真时，另一个命题必假；不能同假，就是说当其中一个命题假时，另一个命题必真。例如，“我们单位所有职工都买了保险”与“我们单位有些职工没有买保险”之间是矛盾关系，“我们单位所有职工都没有买保险”与“我们单位有些职工买了保险”之间也是矛盾关系，“张云是总经理”与“张云不是总经理”之间也具有矛盾关系。 根据直言命题之间的矛盾关系必有一真，必有一假，我们可以求解一些问题。 例题1 莎士比亚在《威尼斯商人》中，写富家少女鲍细娅品貌双全，贵族子弟、公子王孙纷纷向她求婚。鲍细娅按照其父遗嘱，由求婚者猜盒定婚。鲍细娅有金、银、铅三个盒子，分别刻有三句话，其中只有一个盒子，放有鲍细娅肖像。求婚者通过这三句话，猜中鲍细娅的肖像放在哪只盒子里，就嫁给谁。三个盒子上刻的三句话分别是： （1）金盒子：“肖像不在此盒中。” （2）银盒子：“肖像在铅盒中。” （3）铅盒子：“肖像不在此盒中。” 鲍细娅告诉求婚者，上述三句话中，最多只有一句是真的。如果你是一位求婚者，如何尽快猜中鲍细娅的肖像究竟放在哪一个盒子里？ A．金盒子。B．银盒子。C．铅盒子。D．要么金盒子要么银盒子。E．不能确定。 例题2
某珠宝店失窃，甲、乙、丙、丁四人涉嫌被拘审。四人的口供如下： 甲：案犯是丙。 乙：丁是罪犯。 丙：如果我作案，那么丁是主犯。 丁：作案的不是我。 四个口供中只有一个是假的。 如果上述断定为真，那么以下哪项是真的？ A．说假话的是甲，作案的是乙。B．说假话的是丁，作案的是丙和丁。 C．说假话的是乙，作案的是丙。D．说假话的是丙，作案的是丙。 E．说假话的是甲，作案的是甲。 二、三段论 三段论就是指由三个命题构成的推理。具体说来，三段论是由包含着一个共同因素（逻辑中介）的两个命题推出一个新的命题的推理。例如： 所有阔叶植物都是落叶的， 所有葡萄树都是阔叶植物， 所以，所有葡萄树都是落叶的。 上述推理中的共同因素就是“阔叶植物”。进行三段论推理，关键就是要看这个共同因素能否把两个前提连接起来推出结论。如果连接不起来，则三段论就是错误的。例如，英雄难过美人关， 我难过美人关， 所以，我是英雄。
4、简单枚举 上图中，整个平面被分成了几个部分？ 枚举，词典里的意思是“一一列举”顾名思义，“枚举法”就是把所有可能的情况一一列举出来，然后数一下总共有几种情况，虽然枚举法看上去很简单，但当情况复杂时，想要不重漏地枚举出所有情况就有一定难度了，需要同学们有严谨的思维。 对于简单的题目，直接按题意一条条地枚就可以了，由于情况较少，枚举出所有情况还是比较容易的，先来看一道简单的题目。 例题1 小明、小红、小亮三个人去看电影，他们买了3个相邻座位的票，他们三人的座位顺序一共有多少种不同的安排方法？ 分析：如果小明在最左边的话，有几种安排方法？ 练习 1、（1）用0、1、2这三个数字各一次，一共能组成多少个不同的三位数？（2）用3、5、6、7这四个数字各一次，一共能组成多少个不同的三位数？
当满足条件的方法数较多时，为了达到不重不漏的目的，往往会按照一定的顺序来枚举，可能是“从前往后”、“从大到小”等等。 例题2 （1）老师给了小红14个相同的练习本，如果小红把这些本子全都分给了小李和小高，并且每人都要分到练习本，共有几种不同的分法？ （2）老师给了小红14个相同的练习本，如果小红只需要把这些本子分成2堆，又有多少种分法？ 分析：仔细审题，两个小题之间有什么区别？ 在例题2中，同样是把练习本分成两部分，第（1）小题中给小李10本，小高4本是一种情况，而给小李4本，小高10本又是另一种情况，但到了第（2）小题里，一堆10本、一堆4本和一堆4本，一堆10本是同一种情况，我们可以说第（1）小题是“有顺序”的情况，而第（2）小题是“无顺序”，在枚举时尤其要注意这一点，究竟什么时候是“有顺序”，什么时候是“无顺序”。 练习 2、老师把9颗糖分给阿呆阿瓜两个人，每人都有糖，那么一共有多少种不同的分法？
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简单枚举 一、专题导引 枚举是一种常见的分析问题、解决问题的方法。一般地，要根据问题要求，一一列举问题解答。运用枚举法解应用题时，必须注意无重复、无遗漏，因此必须有次序、有规律地进行枚举。 运用枚举法解题的关键是要正确分类，要注意以下两点：一是分类要全，不能造成遗漏；二是枚举要清，要将每一个符合条件的对象都列举出来。 二、你1对1 【例1】从小华家到学校有3条路可以走，从学校到岐江公园有4条路可以走，从小华家到岐江公园，有几种不同的走法？ 【试一试】 1. 从甲地到乙地，有3条公路直达，从乙地到丙地有2条铁路可以直达，从甲地到丙地有多少种不同的走法？ 2. 新华书店有3种不同的英语书，4种不同的数学读物销售，小明想买一种英语书和一种数学读物，共有多少种不同的买法？ 【例2】把4个同样的苹果放在两个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放，问共有多少种不同的分法？
1．把5个同样的苹果放在两个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放，问共有多少种不同的分法？ 2．把7个同样的苹果放在三个同样的盘子里，不允许有的盘子空着不放，问共有多少种不同的分法？ 【例3】从1～6这六个数字中，每次取2个数字，这两个数字的和都必须大于7，能有多少种取法？ 【试一试】 1．从1～9这九个数字中，每次取2个数字，这两个数字的和都必须大于10，能有多少种取法？ 2．从1～19这十九个数字中，每次取2个数字，这两个数字的和都必须大于20，能有多少种取法？ 【例4】一个长方形的周长是22米，如果它的长和宽都是整米数，那么这个长方形的面积有多少种可能值？
1．一个长方形的周长是30厘米，如果它的长和宽都是整厘米数，那么这个长方形的面积有多少种可能值？ 2．把15个玻璃球分成数量不同的4堆，共有多少种不同的分法？ 【例5】有4位小朋友，寒假中互相通一次电话，他们一共打了多少次电话？ 【试一试】 1．6个小队进行排球比赛，每两队比赛一场，共要进行多少次比赛？ 2．有8位小朋友，要互通一次电话，他们一共打了多少次电话？ 三、培优提高看名校 【※例1】一条铁路，共有10个车站，如果每个起点站到终点站只用一种车票（中间至少相隔5个车站），那么这样的车票共有多少种？
1、什么是归纳推理？ 归纳推理是以个别知识为前提推出一般知识为结论的推理。归纳推理的实质—概括性 2、课本所涉及的归纳概括有两种：简单枚举归纳和统计归纳 （一）简单枚举归纳：根据一类事物中部分个体对象具有（或不具有）某种属性，从而推出该类事物全部对象都具有（或不具有）某种属性。 简单枚举归纳推理的逻辑结构式 S 1是（不是）P S 2是（不是）P S 3是（不是）P …… S n 是（不是）P （S 1、S 2、S 3……S n 是S 类的部分对象，且没有出现反例） —————————————————————— 所以，所有的S 是（不是）P 评价：用途非常广泛，可以适用于各种场合。在探求新知识的过程中具有极为重要的意义。但是，它也有缺点，这就是它的结论是或然的，因此，在归纳推理中，逻辑学要解决的一个中心课题就是“如何提高结论的可靠性”。（尽量广泛考察个体对象。因为被考察对象的范围愈广，结论的可靠性程度愈高。一旦发现反例，就应该推翻原来带有普遍性的结论。。避免“轻率概括”或“以偏概全”。）
（二）统计归纳：根据被考察的样本中百分之几的对象具有（或不具有）某属性，从而推出总体百分之几的对象具有（或不具有）某属性。即样本推广到全体 统计归纳推理格式： 在若干个A 的样品中观察到有X 百分比的A 有 属性B 。 所以，所有A 中有X 百分比的A 有属性B 样本中百分之几的S 是P 所以，总体百分之几的S 是P 评价：统计归纳推理是由样本推广到全体，因此，结论也是或然。也要注意提高结论的可靠性程度。（第一，观测的次数愈多，考察的范围愈广，结论的可靠性程度愈高。第二，概率的推算不是一劳永逸的，要随着客观实际的发展不断地进行新的推算。确
第20讲简单枚举 一、知识要点 枚举是一种常见的分析问题、解决问题的方法。一般地，要根据问题要求，一一列举问题解答。运用枚举法解应用题时，必须注意无重复、无遗漏，因此必须有次序、有规律地进行枚举。 运用枚举法解题的关键是要正确分类，要注意以下两点：一是分类要全，不能造成遗漏；二是枚举要清，要将每一个符合条件的对象都列举出来。 二、精讲精练 【例题1】从小华家到学校有3条路可走，从学校到文峰公园有4条路可走。 从小华家到文峰公园，有几种不同的走法？ 练习1： 1、从甲地到乙地，有3条公路直达，从乙地到丙地有2条铁路直达。从甲地到丙地有多少种不同走法？
2、新华书店有3种不同的英语书，4种不同的数学读物销售。小明想买一种英语书和一种数学读物，共有多少种不同买法？ 【例题2】用红、绿、黄三种信号灯组成一种信号，可以组成多少种不同的信号？ 练习2： 1、用红、黄、蓝三种颜色涂圆圈，每个圆圈涂一种颜色，一共有多少种不同的涂法？○○○ 2、用数字1、2、3.可以组成多少个不同的三位数？分别是哪几个数？
【例题3】一个长方形的周长是22米，如果它的长和宽都是整米数，那么这个长方形的面积有多少种可能？ 练习3： 1、一个长方形的周长是30厘米，如果它的长和宽都是整厘米数，那么这个长方形的面积有多少种可能值？ 2、把15个玻璃球分成数量不同的4堆，共有多少种不同的分法？ 【例题4】有4位小朋友，寒假中互相通一次电话，他们一共打了多少次电话？
练习4： 1、6个小队进行排球比赛，每两队比赛一场，共要进行多少次比赛？ 2、有8位小朋友，要互通一次电话，他们一共打了多少次电话？ 【例题5】一条铁路，共有10个车站，如果每个起点站到终点站只用一种车票（中间至少相隔5个车站），那么这样的车票共有多少种？ 练习5： 1、上海、北京、天津三个城市分别设有一个飞机场，它们之间通航一共需要多少种不同的机票？
浅谈归纳推理在生活中的应用 刘美辰 哈尔滨师范大学（黑龙江省哈尔滨150025） 指导教师鲍曼教授 摘要：归纳推理是一个思维逻辑很强的推理，是数学中非常重要的一部分。归纳法更是应用到初高中数学的课本中，成为学生对于初等逻辑的认识。逻辑学中的归纳推理在法律，医学，哲学中都可以应用，是一个涉及多门学科的重要逻辑思维。本篇论文主要讨论归纳推理的定义、分类、性质、和在生活中的应用，着重讨论多种归纳方法之间的不同和相同之处，对比其间的特点和作用，通过比较更加深刻的了解归纳方法的思路，讨论如何利用归纳推理的逻辑思维来研究生活中出现的问题。 关键字：归纳逻辑定义性质应用 通过以往的学习我们知道在学习数学的过程中，逻辑思维尤为重要。归纳法是数学中非常重要的证明方法，在解决命题真假起到重要的作用。 一．归纳推理的定义 归纳推理是由个别事物或现象推出该类事物或现象的普遍规律的推理。它是一种非论证的推理。归纳推理可以根据其前提是否涉及了一类事物中的全部对象，分为完全归纳和不完全归纳推理两大类。例1： 直角三角形内角和是180度：锐角三角形内角和是180度;钝角三角形内交合是180度；直角三角形，锐角三角形和钝角三角形是全部的三角形；所以，一切三角形内角和都是180度。 这个例子从直角三角形，锐角三角形和钝角三角形内角和分别都是180度，这些个别性知识，推出了“一切三角形内角和都是180 度”这样的一般性结论，就属于归纳推理。 （一）不完全归纳推理定义
不完全归纳推理，就是根据其类事物中部分对象具有或不具有的某一属性，推出该类全部对象具有或不具有该属性的结论的归纳推理。 （二）完全归纳推理的定义 在研究某类事物的一切特殊情况或没一个子类的情况后所得到的共同属性的基础上，作出关于该事物的一般性结论的推理方法，成为完全归纳推理（又称完全归纳法）。 说明1.传统逻辑的不完全归纳推理，包括简单枚举归纳推理和科学归纳推理两种。 2.完全归纳法一般有两种相似的推理形。 二．不完全归纳和完全归纳推理的分类 （一）不完全归纳推理的分类 1.简单枚举归纳推理 （1）简单枚举归纳推理的定义 简单枚举归纳推理是以经验的认识为主要依据，从某种的多次重复而又未发现反例，来推出一般性的结论。 简单枚举归纳推理又称为简单枚举法。 例2： 强奸案有社会危害性， 诈骗案有社会危害性， 抢劫案有社会危害性， ：
简单枚举 【专题简析】 枚举是一种常见的分析问题、解决问题的方法。一般地，要根据问题要求，一一列举问题解答。运用枚举法解应用题时，必须注意无重复、无遗漏，因此必须有次序、有规律地进行枚举。 运用枚举法解题的关键是要正确分类，要注意以下两点：一是分类要全，不能造成遗漏；二是枚举要清，要将每一个符合条件的对象都列举出来。【典型例题】 【例1】从小华家到学校有3条路可以走，从学校到岐江公园有4条路可以走，从小华家到岐江公园，有几种不同的走法？ 【试一试】 1. 从甲地到乙地，有3条公路直达，从乙地到丙地有2条铁路可以直达，从甲地到丙地有多少种不同的走法？ 2. 新华书店有3种不同的英语书，4种不同的数学读物销售，小明想买一种英语书和一种数学读物，共有多少种不同的买法？
【例2】把4个同样的苹果放在两个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放，问共有多少种不同的分法？ 【试一试】 1．把5个同样的苹果放在两个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放，问共有多少种不同的分法？ 2．把7个同样的苹果放在三个同样的盘子里，不允许有的盘子空着不放，问共有多少种不同的分法？
【例3】从1～6这六个数字中，每次取2个数字，这两个数字的和都必须大于7，能有多少种取法？ 【试一试】 1．从1～9这九个数字中，每次取2个数字，这两个数字的和都必须大于10，能有多少种取法？ 2．从1～19这十九个数字中，每次取2个数字，这两个数字的和都必须大于20，能有多少种取法？ 【例4】一个长方形的周长是22米，如果它的长和宽都是整米数，那么这个长方形的面积有多少种可能值？
【试一试】 1．一个长方形的周长是30厘米，如果它的长和宽都是整厘米数，那么这个长方形的面积有多少种可能值？ 2．把15个玻璃球分成数量不同的4堆，共有多少种不同的分法？ 【例5】有4位小朋友，寒假中互相通一次电话，他们一共打了多 少次电话？ 【试一试】 1．6个小队进行排球比赛，每两队比赛一场，共要进行多少次比赛？
For personal use only in study and research; not for commercial use For personal use only in study and research; not for commercial use 第八章归纳逻辑练习题答案 一、下列结论能否通过完全归纳推理得到？为什么？ 1. 不能。因为原子的数量无穷，不能对一切原子的可分性进行考察。 2. 不能。因为不可能对过去，现在和将来所有的人逐个进行考察。 3. 不能。因为“蚂蚁搬家”、“老牛大叫”等属于经验现象，这些现象反复出现，数量不可计算，无法逐个考察完全。 4. 能。因为数目只有五个。 5. 能。因为“我们厂的车间”的个数是确定的、有限的。 6. 不能。因为绿色植物的数量很多，不能毫无遗漏地逐个考察完全。 7. 不能。因为时间是无限的。 8. 能。因为两个特称命题无非三种情况，即II、IO和OO。 9. 不能。因为无法对全部数量的乌鸦进行考察。 10. 能。因为社会形态只有原始、奴隶、封建、资本主义、社会主义和共产主义。 二、请指出下列归纳推理形式的种类，并写出其逻辑形式。 1. 简单枚举归纳推理。逻辑形式是： S1是P S2是P S3是P …… Sn是P S1，S2，S3，…，Sn是S类的部分对象 并且不存在Si(i=1,2，…，n)不是P 所以，所有的S是P 2. 完全归纳推理。逻辑形式是： S1是P S2是P S3是P …… Sn是P S1，S2，S3，…，Sn是S类的全部对象 所以，所有的S是P 3. 科学归纳推理。逻辑形式是： S1是P S2是P S3是P …… Sn是P S1，S2，S3，…，Sn是S类的部分对象 并且S和P之间存在因果联系 所以，所有的S是P
第十九周简单枚举 专题简析： 枚举是一种常见的分析问题、解决问题的方法。一般地，要根据问题要求，一一列举问题解答。运用枚举法解应用题时，必须注意无重复、无遗漏，因此必须有次序、有规律地进行枚举。 运用枚举法解题的关键是要正确分类，要注意以下两点：一是分类要全，不能造成遗漏；二是枚举要清，要将每一个符合条件的对象都列举出来。
例题1从小华家到学校有3条路可走，从学校到文峰公园有4条路可走。从小华家到文峰公园，有几种不同的走法？ 为了帮助理解题意，我们可以画出如上示意图。 我们把小华的不同走法一一列举如下： 根据列举可知，从小明家经学校到文峰公园，走①路有4种不同走法，走②路有4种不同走法，走③路也有4种不同走法，共有4×3=12种不同走法。
练习一 1，从甲地到乙地，有3条公路直达，从乙地到丙地有2条铁路直达。从甲地到丙地有多少种不同走法？ 2，新华书店有3种不同的英语书，4种不同的数学读物销售。小明想买一种英语书和一种数学读物，共有多少种不同买法？ 3，明明有2件不同的上衣，3条不同的裤子，4双不同的鞋子。最多可搭配成多少种不同的装束？
例题2用红、绿、黄三种信号灯组成一种信号，可以组成多少种不同的信号？ 思路导航：要使信号不同，要求每一种信号颜色的顺序不同，我们可以把这些信号进行列举： 红绿黄红 绿黄红绿黄红绿黄红绿黄 黄绿红从上面可以看出，红色信号灯排在第一个位置时，有两种不同的信号，绿色信号灯排在第一个位置时，也有两种不同的信号，黄色信号灯排在第一个位置时，也有两种不同的信号，因而共有3个2种不同排列方法，即2×3=6种。 练习二 1，用红、黄、蓝三种颜色涂圆圈，每个圆圈涂一种颜色，一共有多少种不同的涂法？ ○○○ 2，用数字1、2、3，可以组成多少个不同的三位数？分别是哪几个数？ 3，用2、3、5、7四个数字，可以组成多少个不同的四位数？
完全归纳推理和不完全归纳推理 1.完全归纳推理 先看一个实例：当着天文学家对太阳系的大行星运行轨道进行考察的时候，他们发现：水星是沿着椭圆轨道绕太阳运行的，金星是沿着椭圆轨道绕太阳运行的，地球是沿着椭圆轨道绕太阳运行的，火星是沿着椭圆轨道绕太阳运行的，木星是沿着椭圆轨道绕太阳运行的，土星是沿着椭圆轨道绕太阳运行的，天王星是沿着椭圆轨道绕太阳运行的，海王星是沿着椭圆轨道绕太阳运行的，冥王星是沿着椭圆轨道绕太阳运行的，而水星、金星、地球、火星、土星、木星、天王星、海王星、冥王星是太阳系的全部大行星。由此，他们便得出如下结论：所有的太阳系大行星都是沿着椭圆轨道绕太阳运行的。这一结论，就是运用完全归纳推理得出的。 可见，完全归纳推理是这样一种归纳推理：根据对某类事物的全部个别对象的考察，发现它们每一个都具有某种性质，因而得出结论说：该类事物都具有某种性质。 根据完全归纳推理的这一定义，它的逻辑形式可表示如下(S表示事物，P表示属性)，S1--P S2--P …………… Sn--P (S1,S2……Sn是S类的所有分子) 所以，S--P 从公式可见，完全归纳推理在前提中考察的是某类事物的全部对象，而不是某一部分对象，因此，其结论所断定的范围并未超出前提所断定的范围。所以其结论是根据前提必然得出的，即其前提与结论的联系是必然的。就此而言，完全归纳推理具有演绎的性质。 由于完全归纳推理要求对某类事物的全部对象一一列举考察，所以，它的运用是有局限性的。如果某类事物的个别对象是无限的(如天体、原子)或者事实上是无法一一考察穷尽的(如工人，学生)，它就不能适用了。这时就只能运用不完全归纳推理了。 2.不完全归纳推理 不完全归纳推理是这样一种归纳推理：根据对某类事物部分对象的考察，发现它们具有某种性质，因而得出结论说，该类事物都具有某种性质。 第一种情况。主要根据是：所碰到的某类事物的部分对象都具有某种性质，而没有发现相反的情况。比如 -《内经?针刺篇》记载了这样一个故事：有一个患头痛的樵夫上山砍柴，一次不慎碰破足趾，出了一点血，但头部不疼了。当时他没有引起注意。后来头疼复发，又偶然碰破原处，头疼又好了。这次引起了注意，以后头疼时，他就有意刺破该处，都有效应(这个樵夫碰的地方，即现在所称的"大敦穴")。 现在我们要问，为什么这个樵夫以后头疼时就想到要刺破足趾的原处呢?从故事里可见，这是因为他根据自己以往的各次个别经验作出了一个有关碰破足趾能治好头痛的一个一般性结论了。在这里，就其所运用的推理形式来说，就是一个不完全的归纳推理。具体过程是这样的： 第一次碰破足趾某处，头痛好了， 第二次碰破足趾某处，头痛好了， (没有出现相反的情况，即碰破足趾某处，而头痛不好。) 所以，凡碰破足趾某处，头痛都会好，
练习一 1、【题目】从甲地到乙地，有3条公路直达，从乙地到丙地有2条铁路直达。从甲地到丙地有多少种不同走法？ 【解析】 3×2 = 6（种） 2、【题目】新华书店有3种不同的英语书，4种不同的数学读物销售。小明想买一种英语书和一种数学读物，共有多少种不同买法？ 【解析】 英1——数1，英1——数2，英1——数3，英1——数4； 英2——数1，英2——数2，英2——数3，英2——数4； 英3——数1，英3——数2，英3——数3，英3——数4。 3×4 = 12（种） 练习二 1、【题目】用红、黄、蓝三种颜色涂圆圈，每个圆圈涂一种颜色，一共有多少种不同的涂法？ 【解析】 红黄蓝、红蓝黄、黄蓝红、黄红蓝、蓝红黄、蓝黄红。 一共6种不同的涂法。 2、【题目】用数字1、2、3，可以组成多少个不同的三位数？分别是哪几个数？ 【解析】 6个。 分别是：123、132、213、231、312、321。 3、【题目】用2、3、5、7四个数字，可以组成多少个不同的四位数？ 【解析】
分别是：2357、2375、2537、2573、2735、2753； 3257、1275、3527、3572、3725、3752； 5237、5273、5327、5372、5723、5732； 7235、7253、7325、7352、7523、7532。 练习三 1、【题目】一个长方形的周长是30厘米，如果它的长和宽都是整厘米数，那么这个长方形的面积有多少种可能值？ 【解析】 30÷2 = 15（厘米）...........长+宽 15 = 1+14 = 2+13 = 3+12 = 4+11 = 5+10 = 6+9 = 7+8 组成的面积分别是：14、26、36、44、50、54、56，共7种。 2、【题目】把15个玻璃球分成数量不同的4堆，共有多少种不同的分法？ 【解析】 15 = 1+2+3+9 = 1+2+4+8 = 1+2+5+7 = 1+3+4+7 =1+3+5+6 共有5种不同的分法。 3、【题目】3个自然数的乘积是18，问由这样的3个数所组成的数组有多少个？如（1，2，9）就是其中的一个，而且数组中数字相同但顺序不同的算作同一数组，如（1，2，9）和（2，9，1）是同一数组。 【解析】 18 = 1×2×3×3 1、2、3、3这四个数可以组成的数有：1、2、3、6、9、18.。 按要求可以组成的数组有： （1，1，18）、（1，2，9）、（1，3，6）、（2，3，3） 练习四