一.问题重述
侧位停车是指驾驶员在停车位时利用自身的倒车技巧，使车辆按照一定的行驶轨迹，安全的，在不触碰到两边车辆的前提下，让自己的车停到规定好的停车位上。
侧位停车常常会出现许多两车碰擦的情况，通常时由于驾驶员技术的生疏或者不熟练，亦或是停车位长宽大小建造的不科学。正确的科学的停车位建设，能在给驾驶员提供充足的停车空间的条件下，尽可能的节约场地，对于当今停车位紧缺的问题具有相当大积极意义。
现在我们根据题中所给的条件，研究停车位宽度一定时，车位长度最小的情况，以及保证车辆正常停车时，停车位长度与车辆可供行驶的道路宽度的关系，建立数学模型解决以下问题：
问题（1），在可供行驶的道路宽度足够大时，求车位长度的最小值。汽车如果可供行驶宽度y足够大，车辆要能够停进这个车位（车辆只能倒车，不能前进），车位长度x最小为多少？假设车辆的初始位置与车位平行，求出车辆的初始位置、倒车入库过程中方向盘位置a的取值变化和车前轮的轨迹。
（2）如果y不是足够大（当然y肯定大于车宽），那么x和y满足什么条件的情况下，车辆只通过倒车就能停进车位（车辆只能倒车不能前进）？
（3）设y=2000mm，求出倒车过程中方向盘调整次数最少时x的最小值，以及此时倒车过程中a的取值变化。
二．问题分析
城市中建立起愈来愈多住房区，超市，商场，同时又由于人民收入
水平的增加，越来越多的人加入到了“有车一族”的行列。城市建设和
有车一族的人们对停车位的需求越来越大。而城市里的土地资源的紧
张，则对我们如何规划一个提高停车位利用率停车位提出了一定的要
求。在此同时，由于一个个新手驾驶员的技术不熟练和内在的不自信，
建设的停车位又要能容许他们的操控误差。
针对问题（1），我们考虑到了在停车位宽度一定的情况下，汽车
恰好切入停车位的情况（忽略了汽车倒车时速度的大小）。此时利用一
定的几何知识，我们可以求得所求的停车位最小长度。同时结合汽车的
最小转弯半径，我们确定了汽车转弯的圆心，并建立了直角坐标系，求得汽车停车时前轮的运动轨迹。
针对问题（2）我们根据问题中讨论情况，我们选取汽车恰好能停入停车位的情况，继而求得道路宽度与车位长度之间的关系。
针对问题（3）我们在问题（1）的基础上，选取圆弧轨迹最少的一次，起轨迹变化的次数既是所要求方向盘改变的最小次数。
模型建立
2.1车辆初始位置的初步探讨
初始位置的确定有几个较重要的条件，分别为：
(1)泊车时须保证车身不能和前一车位发生空间碰撞，需确定极限转弯最远点的值；
(2)把路旁停车位假想为一个停车库，泊车过程中车身不能和车库的库底发生碰撞，车轮不能和库边发生碰撞。
(3)采用极限转弯半径，即最小转弯半径，来确定最小停车位长度从而约束泊车初始位置。极限转弯最远点值的确定如图示IV —1所示，F 代表泊车初始位置，MNPQ 代表车位趋势，把方向盘打到极限位置后，以低速稳定车速转弯。
图示IV —1 极限转弯最远点值的计算示意图
试验车最小转弯半径r=5500mm ，车宽w=1778mm ，EF=500ram ，车辆中心点距车位角Ⅳ点距离为NE ，可计算得出极限转弯最远点NE 的值。NE 的确定对泊车初始位置的确定有着实际的意义。
85.263122)17785500(22)(=⨯-=⨯-=w r NE 2.2最短停车位长度的确定
如果停车位长度较长，车辆泊车的初始位置较合理，泊车“二个步骤"即可完成泊车。一般来说，停车位空间较长时，两平行车辆间存在着一最
佳水平距离，车辆“两次泊车”即可完成泊入停车位。图示IV—2所示的最小停车位空间示意图中，车辆“两次泊车"可泊入车位。显然，车辆初始位置不同，“两次泊车”泊入停车位空间时，所必需的停车位长度是不同的。当泊车转向角最小时，停车位有一个极限值，称为最小停车位。泊车入位过程中，当方向盘打死到极限转弯的状态，车辆“两次泊车"完成泊入停车位空间时，所占用的停车位长度最小。
图示IV—2 平行泊车最小停车空间示意图
泊车准备时车辆放于F点，逐渐行驶到N点，此时恰好为泊车时内侧车头恰好与前方车辆不碰撞的位置状态。当车辆到达S点位置时，车身方向角大约为45°左右，此时反打方向盘直至方向盘打死。当到达T点时，为防止车尾与后方车辆、右车轮与右侧路边相碰撞，取车尾与后车头部、车身与右侧路边最短距离为100mm，最小停车位的约束值为：
min
2
(2)(1100500
NP r w
=-⋅-+-
min
100 2
QP NE l
=++
其中，NE的计算见本条中“泊车初始位置的初步探讨，r、l与w分别为车辆最小转弯半径，车辆长度与宽度，500表示在泊车预备时泊车距离车道实线的最小安全距离，单位为mm。
代入试验车相关参数，可得：NP的最小值=2321mm，QP的最小值=5855mm。经过多次轨迹的仿真，最小停车位的几何参数定为长度5．8m，宽度2．2m。对于试
验车来说，停车位空间不小于5．8m掌2．2m时，车辆可完成泊入停车位。
停车位的长度对于泊车成功与否起着重要的作用，上述的最小停车位长度是一个相对宽松的极限值。车辆“两次泊车’’可泊入停车位，所需车位长必须大于或等于最小停车位。在平行泊车过程中，判断泊车能否成功，
首先应检测停车位空间大小，使其不小于最小停车位的大小。
2.3普通停车位空间大小的确定
停车位空间大小对平行泊车难度系数影响很大，停车位空间由车位长度和车位宽度确定。车位空间越大，泊车困难程度相对较小；车位空间越小，泊车困难系数就越大。
图示IV—3 平行泊车普通车位空间坐标图
如图示IV—3，普通车位大小标记为
l*p h，p l代表车位长，p h代表车位
p
宽，矩形abcd表示试验车，o’代表车辆的几何中心点。环绕车位的三面标记为BK、FT和SE，为车身方向角，即车身与水平方向的夹角，定义逆时针为正。
泊车时，驾驶员反打方向盘的时刻为，当车身方向角接近于45°时，极少会达到45°。在实际泊车过程中，大多数驾驶员会潜意识地躲避车位顶点N点(见图示IV—2)，很少一开始就把方向盘打死的，基本都是逐渐加大方向盘转角，直到打死；在接近45°至最大车身方向角时，一般维持方向角不变一段时间，保证反打方向盘时车头不会碰撞到N点，才开始反打方向盘；反打方向盘时，逐渐加大角度，直至反向打死。
通过多次平行泊车轨迹计算与仿真，确定停车位长度为7．5 m比较理想。这样，任意车辆长度不大于5．5 m，最小转弯半径不大于6m的小轿车“两次泊车"即可泊入停车位。其中，停车位宽度采用标准的路旁停车位宽度2．2所，和NP的最小值=2．2m吻合。这样，确定普通车位大小为：
l=7．5m，p h=2．2m
p
若有停车位空间满足长度不小于7．5 m，宽度不小于2．2 m，则可认为找到了适合的泊车空间，车辆很容易就能完成泊车。
2.4车辆的运动学模型即运动轨迹
建立车辆侧位停车的运动学模型，上文中建立了侧位停车系统中质点
的运动学模型。在此需要求车辆侧位停车时车轮的运动轨迹。需要建立车辆侧位停车的运动学模型，以推导出车辆侧位停车的运动轨迹方程式，作为后续研究侧位停车系统的理论基础。下面是侧位停车运动轨迹方程：
图示IV —4为车辆泊车的运动学模型，其中（xf ，yf)位前轴中心点坐标，(,r r x y )为后轴中心点坐标，v 为前轴中心点速度，l 为轴距，w 为后轮距，为前轴中心点转向角，为车辆中心轴与水平方向的夹角。正常情况下泊车速度很低(约≤5km ／h)，由此假定无滑轮现象产生，后轮轨迹的垂直方向速度为0，其方程式表示如下：
'cos 'sin 0r r y x θθ⋅-⋅= …… ①
而图示IV —4可知，前后轴中心点坐标关系为：
sin cos r f r f x x l y y l θθθθ
=+⋅⋅⎧⎨=-⋅⋅⎩ …… ② 对②式进行积分得速度关系式：
'''sin '''cos r f r f x x l y y l θθθθ
=+⋅⋅⎧⎨=-⋅⋅⎩ …… ③
把③式代入①式，得
'sin 'cos '0f f x y l θθθ⋅-⋅+⋅= …… ④
前后中心点的x ，y 方向速度为：
'sin()'cos()r f
y v x v θφθφ=⋅+⎧⎨=⋅+⎩ …… ⑤ 将⑤式代入④式，即可求得车辆回转圆角速度为： sin 'v l
φθ=⋅ …… ⑥
将⑤和⑥同时代入式③，即可求得后轮中心点x ，y 方向速度分别 'cos cos 'sin sin f f
x v y v θφθφ=⋅⋅⎧⎨=⋅⋅⎩ …… ⑦ 最后对⑥式求时间积分，并代入⑦式后，在对时间积分即可求得后轴中心点的轨迹方程式：
222sin ()cos cos cot sin()sin ()sin sin cot cos()cot (cot )(cot )r r r r v x t v dt l t l v y t v dt l t l l x y l l φθφφφθφφφφφ⋅⎧=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⎪⎪⋅⎪=⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅+⋅⎨⎪⎪+-⋅=⋅⎪⎩
⎰⎰…… ⑧ 根据图示IV —4中坐标位置的关系，可进一步求出左右轮中心点的运动轨迹方程式：
左轮：
222sin ()(cot )sin()2sin ()(cot )cos()cot 2(cot )(cot )2rL rL rL rL w v x t l t l w v y t l t l l w x y l l φφφφφφφ⋅⎧=⋅-⋅⋅⎪⎪⋅⎪=-⋅-⋅⋅+⋅⎨⎪⎪+-⋅=⋅-⎪⎩
…… ⑨ 右轮：
222sin ()(cot )sin()2sin ()(cot )cos()cot 2(cot )(cot )2rR rR rR rR w v x t l t l w v y t l t l l w x y l l φφφφφφφ⋅⎧=⋅+⋅⋅⎪⎪⋅⎪=-⋅+⋅⋅+⋅⎨⎪⎪+-⋅=⋅+⎪⎩
…… ⑩ 由式⑨和式⑩知，当低速泊车，且不考虑轮胎侧滑时，后轮的行径轨迹与轮距，轴距及前轴中心点转向角有关，而与泊车速度无关。以试验车(轴距2548mm ，后轮距1422mm)之相关尺寸参数为例，代入所推导之轨迹方程式中，前轴中心点左转向角为10°，泊车速度为5km/h ，后轮的预测行进轨迹如图示IV —5示：
图示IV—5 转向角为10°时后轮倒车轨迹之回转圆
三．模型求解
对整个泊车过程成功与否影响较大的两点为：
1．选准泊车起始位置
2．泊车入车位时的切入点。如图示V—1和图示V—2 所示。
图示V—1 准备泊车图示V—2 调整方向盘
I．平行泊车系统模型
图示IV—3、图示IV—4、图示IV—5和图示IV—6为平行泊车步骤示意图，其中停车位长度为l w，停车位宽度为c w，车长为l，车宽为w，平行车辆车a与车b问水平距离为d。从图示IV—5可看出，泊车过程是后车轮改变方向反复画圆弧的过程，但圆弧半径与弧度要受到停车位空间和车辆参数的约束。
图示V—3 泊车步骤一图示V—4 泊车步骤二
图示V —5 泊车步骤三 图示V —6 泊车步骤四
在车辆平行泊车过程中，令步骤厅结束时后车轮泊车轨迹的转角弧度为θn 车轴与水平方向的夹角为nt ，如图示IV —8和图示IV —9所示。那
么有：
θθθnt n n =--1 ，其中n=1,2,3……，00=θ
当车辆完全泊车入位时0nt θ=，即1nt n θθ-=，n 为泊车步骤，n=1,2，3…
泊车n 个步骤后，后右轮中心点记为n(x n ,y n )，车头右端点记为n (11,x y n n )，后左轮中心点记为2n （22,x y n n )，车尾左端点记为2n h (22,x y h h )，n=a ，b ，c ，d …。
如图示V —3所示，首先右打方向盘，使车身沿后车轴以半径r1旋转。泊车“一个步骤’’后，后右轮中心点记为a(,x y a a )，车头右端点记
为a 1（11,x y a a ），后左轮中心点记为2a （22,x y a a ），车尾左端点记为
2ha (22,x y ha ha )。容易得出：
1111()(1cos )(,):()sin x x y y
a w r w a a a a qx r w θθ=+-⋅-⎧⎪⎨=--⋅⎪⎩
111sin 1(1):1cos x x x y
y a a z a a a a z θθ=-⋅⎧⎪⎨=+⋅⎪⎩
1112(1cos )2(2,2):2sin x x y y
q a r a a a a qx r θθ=-⎧⎪⎨=-⋅⎪⎩
11
22sin 2(2,2):22cos x x x y y y ha a qx ha ha ha ha a qx θθ=+⋅⎧⎪⎨=-⋅⎪⎩
再左打方向盘，使车身沿后车轴以半径2r 旋转2θ，如图示V —4所示。泊车“两个步骤"后，后右轮中心点记为b(x b ，y b )，车头右端点记为1bl (11,x y bl bl )，后左轮中心点记为2bl （22,x y bl bl ），车尾左端点记为hb (22,x y hb hb )。容易得出：
221212(cos cos )(,):(sin sin )x x t x y y
y t b a r b b b b b r θθθ=+⋅-⎧⎪⎨=-⋅-⎪⎩
221sin 1(1,1):1cos x x t x y y
y t b b z b b b b b z θθ=-⋅⎧⎪⎨=+⋅⎪⎩
22121222()(cos sin )2(2,2):22()(sin sin )x x t x y y
y t b a r w b b b b a r w θθ=--⋅-⎧⎪⎨=--⋅-⎪⎩
2222sin 2(2,2):22cos x x t x y y y t
hb b qx hb hb hb hb b qx θθ=+⋅⎧⎪⎨=-⋅⎪⎩
接着右打方向盘，同理可推得 ：
332323()(cos cos )(,):()(sin sin )x x t t x y y
y t t c b r w c c c b a r w θθθθ=--⋅-⎧⎨=+-⋅-⎩ 331sin 1(1,1):1cos x x t x y y y t
c c z c c c c c z θθ=-⋅⎧⎪⎨=+⋅⎪⎩
3322322(cos cos )2(2,2):22(sin sin )x x t t x y y y t t c b r c c c c b r θθθθ=-⋅-⎧⎪⎨=+⋅-⎪⎩
3322sin 2(2,2):22cos x x t
x y y y t hc c qx hc hc hc hc c qx θθ=+⋅⎧⎪⎨
=-⋅⎪⎩
依次往下推，可得到类似的结论：
443434(cos cos )
(,):(sin sin )
x x t t x y y y t t d c r d d d d c r θθθθ=+⋅-⎧⎨
=-⋅-⎩
44sin (,):cos x x t
l x y y
y t dl d z d dl dl dl d z θθ=+⋅⎧⎨
=-⋅⎩
44344322()(cos cos )
1(2,2):22()(sin sin )x x t t x y y
y t t d c r w d d d d c r w θθθθ=+-⋅-⎧⎨
=--⋅-⎩
4422sin 2(2,2):22cos x x t
x y y y t hd d qx hd hd hd hd c qx θθ=+⋅⎧⎨
=-⋅⎩
554545()(cos cos )
(,):()(sin sin )x x t t x y y
y t t e d r w e e e e d r w θθθθ=--⋅-⎧⎨=--⋅-⎩
551sin 1(1,1):1cos x x t
x y y y t
e e z e e e e e z θθ=-⋅⎧⎨
=-⋅⎩
545422(cos cos )
2(2,2):22(sin sin )x x t t x y y
y t t e d r e e e e d r θθθθ=-⋅-⎧⎨=-⋅-⎩
5522sin 2(2,2):22cos x x t
x y y y t he e qx he he he he e qx θθ=+⋅⎧⎨=+⋅⎩
有了上述各点的坐标值，在泊车过程中可对车辆车身进行精确的定位，在自动寻轨算法中对泊车轨迹进行精确计算。
设车辆右车轮中心点横坐标值为rn x ，左下角纵坐标值为ln y ，车辆自身
参数中，车长l 、车宽w 、前悬够x q 、最小转弯半径r ，已知；道路参数中，平行车辆车a 与车b 间水平距离d 已知，车位宽CW 按道路标准设为定值2．2m 。当车辆停在停车位正中央时，车辆与停车位右侧水平最小距离为x w ，车辆右后轮
中心点与停车位右侧水平距离为jn d 。
由图示IV —可知：,2,,,, (2)
n x cw w
wx dj d w wx n n a b c d -=
=++-= 车辆泊车时车轮运动轨迹为圆，车a 要泊入停车位，泊车轨迹由参数r r r 321,,…r n 与n 决定。因此，对于一泊车任务，如何泊车就转化为如何求未知参r n 与n 的值，可以用以下方程式来表示：
123231
123231ln (,,...,,...)(,,...,,...),,n m n n n
x P r r r r y Q r r r r θθθθθθθθ⎧=⎪⎨
=⎪⎩ 丄式等价与
123231123231(,,...,,...)(,,...,,...),,n m t t nt t
n t t nt
t m x P r r r r y Q r r r r θθθθθθθθ⎧=⎪⎨
=⎪⎩ 其中，
123123(2)
(,,...,,,...)(21)0
n t t t nt m n k n k lw y Q r r r r θθθθ-=⎧⎪==⎨=+⎪⎩
建立好平行泊车系统模型后，就可以根据泊车模型计算未知参数的值，
从而确定如何泊车。下面论述如何根据车长，、车宽w 、前悬q x 、最小转弯半径r 、平行车辆水平距离d 、车位宽c w 这些已知参数，来确定未知参数r r r 321,,…r n 及n 的值。总体来说，计算r r r 321,,…r n 与n 的步骤可分为如下三个步骤：
步骤一．假设r n 已知，求以
n t (3,2,1=n …)的值。
步骤二．优化n t
，求出新的r n
(3,2,1=n …)值。 步骤三．确认r n
及n t
（3,2,1=n …)的值。
其中步骤一可细化为以下4个分步骤： 3.1首先令r n =r ，（3,2,1=n …)
(1)车辆不可能“一次泊车"就泊入停车位。首先假设车辆“两次泊车”可泊入车位，此时包括02=θt ，则有：
1221212123(,,,)
(,,,)r t t t t
l x P r r y Q r r θθθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩
由12212(,,,)r t t x d w P r r θθ==+可以求出t
l
的值，求出k yl ，此时k
yl 两平行车辆间距离为d 时的最小停车位，车辆恰好泊入停车位正中央。
(2)假设车辆“三次泊车"可泊入车位，此时03=θt ，则有：
12331231231233(,,,,,)
(,,,,,)r t t t t t t
l x P r r r y Q r r r θθθθθθ=⎧⎪⎨
=⎪⎩ 可求出y l 2，t 2的值。其中r r 21,为已知。 …… ……
以此类推，可依次求得n 的值。
3.2步骤二可细化为以下4个分步骤：
泊车过程中，车辆转弯半径和转向角要受到车位长度和车位宽度的约束，必须对步骤一中假设的r n 和n t (3,2,1=n …)进行检验并修正。 (1)假设车辆两下可泊入给定停车位，那么停车位长度一定大于等于最小停车位的值。r r R 21+=,n t 在步骤一中(1)已求出，仅与两平行车辆间水平距离d 有关。此时，车辆恰好恰好泊入停车位的正中央，无需修正。
(2)假设军辆二卜司泊入给定停车位，则03=t
。
将步骤一中(2)所求之t 2代入
1212(,,,,)rk t t
x P r r θθ=， 若2x
x
x b
w
dj w d w c =++->， 则增大r 2
代入
1212(,,,,)t t rk
lw y P r r θθ==-中，
求出新t 2，重新代入1212(,,,,)rk t t
x P r r θθ=，直到2
x
x x
b
w dj w d w c =++-≤。如此循环，最终可求得r 3
和值。
若2
x x x c w dj w d w c =++-<，减小w x 代入2
x x x b w dj w d w c =++->，
以减小r 2的值，从而求得r 2和t 2的值，再计算r 3的值。
（3）假设车辆四下可泊入给定停车位，则04=θt 。将步骤一中（3）所求
值
θ
t
3代入
)
,,,,,,,(43214321θθθθt t t t rk
r r r r x
P =，若w w c w d w dj x
x
x
x
e
+>-++=2
，则增大
r
3
代
入
0),,,,,(321321==θθθt
t t rk
r r r Q y ，
求出新的
θ
t
3重新代入
),,,,,,,(43214321θθθθt t t t rk r r r r x P =，直到4
x
x x x c w
dj w d w c w =++->
+，如
此循环往复，最终可求得3r 和3t θ的值。
3t θ已知，令4r =r ，则443(cos cos )x x t t d c r θθ•-=+可求得。
若
4
d x wx
w d wx d wx
dj =++->
+，则增大4r 重新计算d dj ，直到4
d x wx
w d wx d wx dj =++-≤+，如此重复循环，最终可求得4
r ；
若4
d x wx
w d wx d wx dj =++-<+，增大wx 代入2d x wx w d wx d wx dj =++-≤+以
增大3r 的值。从而求得3t θ和3r 的值，在回头计算4r 的值，直到满足
4
d x wx
w d wx d wx dj =++-≥+。
（5）假设车辆五下可停入定停车位，则5t θ=0.将步骤一（4）中所求之
4t θ代入()12345512345,,,,,,,,,rk t t t t t p r r r r r x θθθθθ=，若2
d x wx
w d wx d wx dj =++->+增大
x w 代入2
x x x x i
w dj w d w c w =++-≤+以增大3r 的值，从而求得3r 和3t θ的值，再回头计算4r 的值，直到满足2
d x wx
w d wx d wx dj =++-≥+。 (6)假设车辆五下可泊入给定停车位，则50t θ=。将步骤一中（4）中所求
值
4t
θ
代
入
()
12345512345,,,,,,,,,rk t t t t t p r r r r r x θθθθθ=，若2
x
x x
d
w
dj
w d w d
=
++-≤
，
增
大
4
r
的值
代
入
12341234(,,,,,,,)t
t
t
t
lh
y
Q lw
r r r r θθθθ
==-中，求出心的
4t
θ
重新代入
()12345512345,,,,,,,,,rk t t t t t p r r r r r x θθθθθ=，直到2
x d wx
dj w d
wx d =++-≤
，如此
循环，最终可求得4r 和4t θ的值。
4t θ已知，令4r r =，则443(cos cos )x x t t d c r θθ=+⋅-可求得。
若100x c dj w d wx e wx =++-<-，减小wx 的值代入
2x
d
wx
dj
w d wx d =
++-≤以减小4r 的值，从而求得4t θ的值，再计算5
r 的值。以此类推，可求得调整后的1r ，2r ，3r …n r 及1t θ，2t
θ，3t θ…nt θ(0,1,2,3...)n =。
3.3步骤三：n r 及nt θ的修正
步骤二计算出的n r 及nt θ有时并不符合实际情况，例如会出现n r r <或
(1)n t
nt
θ
θ-<
。
r 为车辆的最小转弯半径，即极限转弯半径，计算出的n
r
不能小于极
限转弯半径，当计算出的n r r <时，必须修正为n r r =。
步骤一中的nt θ的计算是以停车位的空间未约束条件的，若修正的nt
θ值变小，这就意味着车辆必定超出停车位空间，在实际生活中肯定碰擦到其他车辆或者超出原来的停车位。必须按照步骤二重新计算n r 及nt θ，直到所有的参数1r ，2r ，3r …n r 及1t θ，2t θ，3t θ…nt θ(0,1,2,3...)n =都符合实际为止。
平行泊车轨迹的计算及初始位置的确定
泊车过程中，车身不能和前后车位发生空间干涉，车轮与不能跨越路边，需说明一下符号代表含义：
轴距设为zj ，前悬9992
l zj
qx mm -=
=; 轴距加前悬设为z ，z zj qx =+；
泊车一次后车辆的右上角到前方车辆的距离设为1n vj ，11(,,,...)n y vj n n a b c d =-=；
泊车一次后车辆的左下角到后方车辆的距离设为2n vj ，22(,,,...)n y vj hn n a b c d =-=
一次泊车后车辆与路边，后方车辆的距离分别为a dj ，2a vj ，二次泊车后车辆与路边，前方车辆与后方车辆的距离分别为b dj ，1b vj ，2b vj
图示V—7 泊车过程车身定位图0
步骤一：本文反向思考，先分析并 计算汽车已经进入停车场时的过程， 如图 F ig.4 所示。以停靠之后的汽车的 中心坐标轴为原点，建立直角坐标系， 可以得到车右下角端点即点 A 的坐标
为：
Fig.4 入库后示意图
通过分析可知，汽车中心的轨迹的方程为：
222()x y y r ++=
（4-1
那么，汽车的右侧的相对应的点的轨迹方程为 222()()x y y r w ++=+
（4-2）
下面以A 点为基准点，计算A 点到达远的部分的切点。设这个切点为B 点，B 的具体坐标为(,)a b
另外通过对几何图形 F ig.4 的分析，延长 A B 交横轴于一点，他与横轴正方向 所形成的角为θ4，由于此处为切线，那么有到4290θθ+=，可以得到
o 3290θθ+=
步骤二：分析并计算汽车从路边
进入停车场的过程，如图Fig.5 所
示。以车右后轮为原点建立直角坐
标，得到车的右侧中心点C点的坐标
和车的轨迹的圆心点D的坐标。
五、模型检验
上一小节中建立了泊车入位的模型，本节将带入相关数据，求解模型，验证模型的合理性。
（1）Matlab 编程以及计算结果如下：
[a,b]=solve('(a+5060)^2+b^2=6170^2','b*(b+3750)=-(a+1100)*
(a+5060)')
b =
275220/33049 + (33935000*43^(1/2)*i)/99147
275220/33049 - (33935000*43^(1/2)*i)/99147
a =
- 475861250/99147 + (11945120*43^(1/2)*i)/33049
- 475861250/99147 - (11945120*43^(1/2)*i)/33049
显然，模型在实数范围内无解。尝试修改停车位的长度来寻找是否有实数解的存在。
（2）逐步增加停车位的长度，直到将停车位的长度设置为汽车车长的2倍时，模型在实数范围内才有实数解。其计算过程如下：
[a,b]=solve('(a+5060)^2+b^2=6170^2','b*(b+7500)=-(a+1100)*(a+50
60)')
a =
(385625*338627^(1/2))/59943 - 59228070/19981
- (385625*338627^(1/2))/59943 - 59228070/19981
b =
(67870*338627^(1/2))/19981 - 237930625/59943
- (67870*338627^(1/2))/19981 - 237930625/59943
此时,模型在实数范围内有实数解。那么，可以的得出以下结论：当停车位的长度大于等于一个停车位的2倍时，入库可以将汽车开进停车位。但是，在本题中，如果停车位的长度小于2倍的停车位长度，则此方案行不通，需要继续寻找其他可行方案，使的在停车位长度有限时，仍然可以实现侧位停车。
总结：通过抽象出泊车过程中的相关参数，划分平行泊车步骤，设计平行泊车流程，建立数学模型，用所学的知识分别讨论了泊车的初始位置，转弯的角度，最小的停车长度，普通停车空间的大小和方向盘调整次数与车位大小的关系，说明了车辆泊车的运动学模型、平行泊车模型背后的更深层次的含义，考虑到了汽车动力性、转角控制，能更好的帮助我们认识世界和改造世界，为以后的自动化侧位泊车的广泛推广提供了坚实的理论基础具有严格的意义。
参考文献：
长安大学硕士学位论文《平行泊车方法研究与仿真》赵玲
正刊投稿网《融合动力学约束的自主平行泊车轨迹生成方法》
网址：https://www.doczj.com/doc/b619107546.html,/fw/WL/760_2.html
北京现代官网伊兰特配置表
http://www.beijing‐https://www.doczj.com/doc/b619107546.html,/productshow/product_elantra.aspx 2010.04
吴瑞鸿、张光仁，车辆倒车运动轨迹理论推导与验证[J]、车辆研测资讯[J],2006.7
用方格因子影响模型探究小区开放对道路通行的影响 摘要 目前我国人口增长，各种大型小区增多，各小区家庭拥有小汽车量也在增多，根据我国的道路交通设计和城市规划设计，我国的道路交通存在着严重问题，所以对交通的通行能力有着较大需求，本题将要分析的是，如果常规的封闭性小区开放，那周边道路通行会出现怎样的变化。 关于第一问，本文选取五个交通参数，道路通行能力、道路网的饱和度、车道交通流量比、车辆的延误时间、饱和流量；可以由各个指标来衡量小区开放以后对周围道路的交通状况的影响。 关于第二问，先将城市交通道路网格化，再建立方形小区内点对之间的最优路径寻模型，通过分析交通网格化下的封闭性小区开放之后，小区内的各个点对之间的各个路径中，最优路径是否存在，同时可以计算得出小区的面积及位置对点对间交通便捷度影响因子的影响，通过因子分析法来计算并寻找最优路径，从而判断周边道路的交通状态，是否会因为小区的开放而得到缓解。 关于第三问，分析其开放前后小区对周边道路的交通通行带来的影响；从参考资料中选取一个城市小区，通过对小区结构以及道路结构对其道路通行能力的分析。同时构建一个方形小区，通过假设其开放前和开放后的各类数据，进行一个辅助比较，通过这两种类型的小区，并应用第一问与第二问中的模型，发现打破一个封闭小区，可以使得周边道路上车辆的通行能力增加，即使得交通状况有所改善。 第四问要求从交通通行的角度提出建议，通过以上三问对开放性小区评价指标、周边道路交通体系、长沙市某具体小区与构建的虚拟小区等的研究结果，向相关部门提出了对小区开放的合理建议。 关键字：小区开放；道路通行能力；最优路径；饱和流量；交通便捷度影响因子
车道被占用对城市道路通行能力的影响 摘要 随着城市化进程加快，城市车辆数的增加，致使道路的占用现象日益严重，同时也导致了更多交通事故的发生。而交通事故发生过程中，路边停车、、交通流密增大等因素直接导致车道被占用，进而影响了城市道路的通行能力。本文在的背景下通过数据采集，利用数据插值拟合、差异对比、车流波动理论等对这一影响进行了分析，具体如下：针对问题一，首先根据视频1中交通事故前后道路通行情况的变化过程运用物理观察测量类比法、数学控制变量法提取描述变量（如事故横断面处的车流量、车流速度以及车流密度）的数据，从而通过研究各变量的变化，来分析其对通行能力的影响。而视频1中有一些时间断层，我们可根据现有的数据先用统计回归对各变量数据插值后再进行拟合，拟合过程中利用残差计算值的大小来选择较好的模型来反应各变量与事故持续时间的关系，进而更好地说明事故发生至撤离期间，事故所处横断面实际通行能力的变化过程。 针对问题二：沿用问题一中的方法，对视频2中影响通行能力的各个变量进行数据采集，同样使用matlab对时间断层处进行插值拟合处理，再将所得到的的变化图像与题一中各变量的变化趋势进行对比分析，其中考虑到两视频的时间段与两视频的事故时长不同，从而采用多种对比方式（如以事故发生前、中、后三时段比较差值、、以整个事故时间段按比例分配时间进行对比）来更好地说明这一差异。由于小区口的位置不同、时间段是否处于车流高峰期以及1、2、3道车流比例不同等因素的影响，采用不同的数据采集方式使采集的变量数据的实用性更强，从而最后得到视频1中的道路被占用影响程度高于视频2中的影响程度，再者从差异图像的变化波动中得到验证，使其合理性更强。 针对问题三：运用问题1、2中三个变量与持续时间的关系作为纽带，再根据附件5中的信号相位确定出车流量的测量周期为一分钟，测量出上游车流量随时间的变化情况，而事故横断面实际通行能力与持续时间的关系已在1、2问中由拟合得到，所以再根据波动理论预测道路异常下车辆长度模型的结论，结合采集数据得到的函数关系建立数学模型，最后得出事故发生后，车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间以及路段上游车流量这三者之间的关系式。 针对问题四：在问题3建立的模型下，利用问题4中提供的变量数据推导出其它相关变量值，然后代入模型，估算出时间长度，以此检验模型的操作性及可靠性。 关键词：通行能力车流波动理论车流量车流速度车流密度 一、问题重述
停车场泊车位的优化设计与效度评价 ：随着汽车消费量剧增，“停车难”已经成为一个较为严重的社会问题。我们以某小区露天停车场为背景，用排队论对该服务系统进行了分析，并通过建立整数规划模型对其泊车位布置进行了优化设计，最后用模糊综合评价法对停车场效度进行了度量。 在对停车场泊车位优化设计的模型中，我们考虑一种把车间距空间和马路空间并入车辆所在的空间的方式，形成新的“空间单元矩形”，因其可以在空间无间隙密铺从而简化分析过程。同时设定了“最大内接矩形”作为优先标准，建立了整数规划模型，对“最大内接矩形”空间内的车位进行了优化设计，用LINGO 软件编程处理，而对其余的区域采用观察法和穷举法进行设计，最终的设计方案总共能够提供102个泊车位，空间利用效率较高。 在对停车场效度评价的模型中，我们选择的是模糊综合评价方法，同时采用层次分析法构建指标体系并确定指标权重，然后基于稳健性打分原则，对各指标进行打分，在形成评判集的基础上进行了综合评价。用MATLAB软件编程处理，结果显示综合评价值为4.85，停车场的效度处于较好的状态。 在对车位优劣进行评价时，我们援用了目标规划的思路，用四个依次优先级递增的指标进行评价。在筛选车位时我们又援用了决策理论中淘汰“次优方案”的思路，根据优先级逐渐把“次劣”泊车位排除，最后发现在采用我们设计的泊车方案的前提上，整个停车场右下角的车位是最劣车位，最不受欢迎。 关键词：泊位设计排队论整数规划多目标规划模糊综合评价法层次分析法
一、问题的重述 随着我国的汽车消费增长并逐渐普及开来，“停车难”的问题已经越来越凸显出来，成为了困扰人们正常生活和交通秩序的重要因素。究其本质，“停车难”问题的根源在于停车位供给短缺和停车位需求旺盛之间的供需矛盾，真正意义上解决这个难题有待于车辆停放设施的增加速度跟上车辆的迅猛增加。但是在短期内难以改变车辆停放设施数目的情况下，通过优化设计提高停车场的运行效率，对于局部缓解“停车难”的现状有着重大的意义。 停车场运行效率提升的关键在于停车场内部泊车位的优化设计和泊车位分配，并需要综合考虑整体的效果。对停车场整体运行效率的评价是基于停车平均等待时间、人均停车面积、停车顺畅程度等等的综合指标，需要构建一个整体评价体系。 二、模型的假设 1.停车场车主到达停车场的过程是泊松流，其相继到达的间隔时间不存 在记忆性，服从负指数分布(Markov)。 2.车在停车场的停留时间是完全随机的，服从一阶埃尔朗分布(Erlang)。 3.不存在预定车位或固定车位，所有的泊车位均符合先到先服务（FCFS） 规则。 4.每个泊车位的平均服务率相同，且独立工作，不会相互影响。 5.车主在选择泊车位中均考虑自身效用最大化，不存在利他正义等特殊 情况。 6.停车场经营业主在保证停车场基本安全的情况下，以自身利益最大化 为目标进行决策，不考虑利他主义等情况。 7.进入停车场的车型只考虑小型车，小型车的详细指标参见附录二。 8.停车场进行泊车位优化设计的前提是遵守国家交通部对于停车场的 相关条例（参见附录二），不考虑违规修建的情况。 9.车主不具备制定停车场车位价格的能力，但可以选择接受或者不接受 特定车位的价格，因此不同车位的价格可能是有差异的。 三、符号说明 1.排队论部分： X/Y/Z/A/B/C:排队论模型中的指标，分别代表相继顾客到达时间的分布、服
承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学院（请填写完整的全名）： 参赛队员(打印并签名) ：1. 2. 3. 日期： 2013 年 11 月 2 日 评阅编号(教师评阅时填写)：
汽车车库库存的优化方案 摘要 本文研究的是关于汽车车库库存的问题，通过分析汽车参数以及车库数据，对车库进行合理的规划，建立了倾斜泊车模型、单向排列模型、交叉排列模型，利用AutoCAD对以上模型进行逐一的分析，分别回答了题目所给的所有问题。 针对问题一，首先分析了传统平行泊车的弊端，平行泊车难度较大，需要司机较高的驾驶技术，因此，我们建立了倾斜泊车模型。查阅了相关汽车的资料并根据汽车的参数了解汽车的最小转弯半径。其次通过对车库空间利用率以及道路通畅度的综合考虑，我们认为当停车位与通道成一定夹角时效果最佳，并利用最小的转弯半径求得极限角度。最后根据实际环境中的不确定因素，我们将停车位大小适当进行增加，大大提高了安全性。 针对问题二，首先，根据题目中所给条件，即可以把车子先行调出，然后再调动内部的车，使内部车辆可以驶出。为了进一步提高车库的利用率，我们决定设计一个去掉通车道，只保留消防车道的方案。其次，我们根据停车位不同的排列方式设计了两种不同的模式，即单向排列模型及交叉排列模型。分别得出这两种模型的函数关系式，再通过小轿车和商务车两种车位所占面积，小轿车和商务车驶入停车位最佳角度等情况，分别计算出两种模型各能停多少辆小轿车和商务车在车库中。最后，我们对这两种模型进行了比较，最终选择交叉排列模型为最佳模型。 针对问题三，我们通过问题二的模型进行了分析，由于条件三的改变，使得模型得到简化。由于车子的前轮可以90度转动，即小车的转弯半径可以忽略不计。再结合消防通道的设计，明确了车从车库开出的具体方向，设计了最优化的调运方案，使得调运方案费时最短。 最后就对本文模型建立的不足之处进行剖析，并阐明了实际建设的停车场与理论设计的停车场的不同之处，需要具体问题具体分析。 关键词：倾斜泊车模型交叉排列模型车库利用率安全性
2019年中国研究生数学建模竞赛D题 汽车行驶工况构建 一、问题背景 汽车行驶工况（Driving Cycle）又称车辆测试循环，是描述汽车行驶的速度-时间曲线（如图1、2，一般总时间在1800秒以内，但没有限制标准，图1总时间为1180秒，图2总时间为1800秒），体现汽车道路行驶的运动学特征，是汽车行业的一项重要的、共性基础技术，是车辆能耗/排放测试方法和限值标准的基础，也是汽车各项性能指标标定优化时的主要基准。目前，欧、美、日等汽车发达国家，均采用适应于各自的汽车行驶工况标准进行车辆性能标定优化和能耗/排放认证。 本世纪初，我国直接采用欧洲的NEDC行驶工况（如图1）对汽车产品能耗/排放的认证，有效促进了汽车节能减排和技术的发展。近年来，随着汽车保有量的快速增长，我国道路交通状况发生很大变化，政府、企业和民众日渐发现以NEDC工况为基准所优化标定的汽车，实际油耗与法规认证结果偏差越来越大，影响了政府的公信力（譬如对某型号汽车，该车标注的工信部油耗6.5升/100公里，用户体验实际油耗可能是8.5-10升/100公里）。另外，欧洲在多年的实践中也发现NEDC工况的诸多不足，转而采用世界轻型车测试循环（WLTC，如图2）。但该工况怠速时间比和平均速度这两个最主要的工况特征，与我国实际汽车行驶工况的差异更大。作为车辆开发、评价的最为基础的依据，开展深入研究，制定反映我国实际道路行驶状况的测试工况，显得越来越重要。 另一方面，我国地域辽广，各个城市的发展程度、气候条件及交通状况的不同，使得各个城市的汽车行驶工况特征存在明显的不同。因此，基于城市自身的汽车行驶数据进行城市汽车行驶工况的构建研究也越来越迫切，希望所构建的汽车行驶工况与该市汽车的行驶情况尽量吻合，理想情况下是完全代表该市汽车的行驶情况（也可以理解为对实际行驶情况的浓缩），目前北京、上海、合肥等都已经构建了各城市的汽车行驶工况。 为了更好地理解构建汽车行驶工况曲线的重要性，以某型号汽车油耗为例，简单说明标注的工信部油耗是如何测试出来？标注的工信部油耗并不是该型号汽车在实际道路上的实测油耗，而是基于国家标准（如《GB27840-2011重型商用车辆燃料消耗量测量方法》），在实验室里根据汽车行驶工况曲线，按照一定的标准，经检测、计算得出。由此可见，标注的
2023全国大学生数学建模竞赛模拟题第一部分：问题描述 在2023年全国大学生数学建模竞赛中，我们将考虑以下问题： 问题一：某大学计划对校园内的停车管理进行优化。假设校园内有N个停车位（N为正整数），每个停车位只能停放一辆车。现在需要设计一个停车系统，使得所有车辆能够尽可能高效地停放在停车位上。请你们给出一个数学模型，以及相应的优化策略，以满足停车位利用效率最大化的要求。 问题二：某电商公司为了提高货物的配送效率，需要选址一些配送中心，以覆盖尽可能多的用户。假设已知用户的分布情况和需求量，在这些信息的基础上，请你们设计一个数学模型，并给出选址策略，以最大化用户的满意度，同时尽量减少配送的时间和成本。 第二部分：问题分析与数学模型建立 问题一：停车管理优化 我们首先定义问题的目标函数，即停车位利用效率的优化目标。假设停车场内每个停车位的编号为i（i=1,2,...,N），对于每个停车位，我们引入二进制变量x_i，表示该停车位是否被使用，其中x_i=1表示被占用，x_i=0表示空闲。 接着，我们需要确定约束条件。显然，每个停车位只能被一辆车使用，即
∑x_i ≤ 1 （i=1,2,...,N） 其中，∑表示求和。 为了使停车位利用效率最大化，我们可以引入一个系数p_i，表示第i个停车位的利用效率，取值范围为[0,1]。利用效率越高，则p_i越接近1，反之越接近0。我们可以根据停车位距离出入口的远近、停车位所在区域的拥挤程度等因素来确定p_i的取值。 然后，我们可以构建目标函数： Maximize ∑p_i*x_i （i=1,2,...,N） 最后，我们将目标函数和约束条件整合，形成一个数学模型。 问题二：配送中心选址 对于问题二，我们可以将用户的需求量作为权重，即需求量越高的用户对配送中心的选择影响越大。 假设有M个可能的配送中心位置（M为正整数），每个位置编号为j（j=1,2,...,M），我们引入二进制变量y_j，表示第j个位置是否选址为配送中心，其中y_j=1表示选址，y_j=0表示不选址。 我们可以建立以下数学模型： Maximize ∑w_j*y_j （j=1,2,...,M） Subject to: ∑y_j ≥ K （至少选址K个配送中心，K为正整数）
2021年数学建模国赛C题原题 1. 题目背景 2021年数学建模国赛C题是关于城市停车管理的问题。随着城市人口的不断增长和车辆数量的迅速增加，停车管理成为城市管理中的一个重要问题。如何科学合理地安排停车位、引导车辆停放，以及提高停车位的利用率，成为了城市交通管理部门和规划设计人员所面临的挑战。 2. 题目要求 考生需要结合实际案例和数据，通过建立数学模型和算法，解决以下问题： - 建立停车位利用率的动态评价模型，分析对城市停车位利用率影响最大的因素，并提出提高停车位利用率的措施。 - 设计一种智能停车导航系统，可以根据车辆实时位置和停车场停车位的实时利用情况，为驾驶员提供最优的停车导航方案。 3. 题目分析 为了解决城市停车管理的问题，首先需要通过数据分析和建模，了解停车位利用率的动态评价模型。需要针对停车位利用率影响最大的因素进行分析，包括停车需求的周期性、停车位的位置分布、停车位的容量和停车管理政策等因素。需要设计一种智能停车导航系统，该系统需要能够实时监测车辆位置和停车位利用情况，并根据实时数据
为驾驶员提供最优的停车导航方案。 4. 题目解决方案 为了解决停车位利用率的动态评价模型，可以借助时间序列分析、 回归分析等方法，分析停车需求的周期性，并根据停车位的位置分布 和容量等因素，建立停车位利用率的动态评价模型。针对停车位利用 率影响最大的因素，可以通过统计分析和模拟实验，提出相应的措施，如调整停车管理政策、优化停车位布局等方式，提高停车位利用率。 至于设计智能停车导航系统，可以采用人工智能技术和大数据分析，实时监测车辆位置和停车位利用情况，并通过路径规划算法，为驾驶 员提供最优的停车导航方案。还可以借助互联网和移动通信技术，实 现车辆和停车场的信息交互，为驾驶员提供实时的停车位信息和预约 停车服务。 5. 总结 通过数学建模和算法设计，可以有效解决城市停车管理的问题，提 高停车位的利用率，优化城市交通管理，提升城市交通运行效率和居 民出行体验。希望考生们能够充分发挥数学建模和算法设计的能力， 给出创新的解决方案，为城市停车管理带来新的思路和方法。 以上是2021年数学建模国赛C题的原题内容，希望考生们能够在考 试中发挥自己的优势，提出切实可行的解决方案，为城市停车管理问
2021年全国数学建模国赛b题题目 一、题目概述及分析 2021年全国数学建模国赛b题题目，是一道让学生发挥数学建模能力的典型题目。题目要求学生运用概率统计、数学建模等知识，分析并 解决实际问题，展现自己的数学建模能力和创新思维。 二、题目背景与问题 本次题目涉及到城市停车场的管理问题，这是一个与现代城市生活息 息相关的实际问题。题目要求选手利用数学建模的方法，有效地优化 车位分配方案，从而提高停车场的利用率和管理效率。该题目涉及到 的问题主要包括：如何确定最佳的车位分配方案？如何优化停车场的 管理策略？如何提高车位的利用率？ 三、解题思路讨论 在解题过程中，学生需要运用概率统计、数学建模等知识，结合实际 情况对题目进行分析，并提出合理的解决方案。他们需要考虑停车场 的实际情况，包括停车需求的高峰期和低谷期、不同车型的停车需求、停车时间的分布规律等因素，进行合理的模型假设和参数设定，并运 用数学工具进行建模和求解。 四、个人观点和理解 对于这道题目，我认为学生不仅需要具备扎实的数学功底，还需要具
备较强的实际问题分析能力和创新思维。他们需要学会运用数学建模 的方法，将抽象的数学理论与实际问题相结合，找到最佳的解决方案。还需要具备团队合作和沟通能力，与队友共同分析问题、制定解决方案，以及有效地呈现研究成果。 五、总结与展望 2021年全国数学建模国赛b题题目，对学生的综合能力提出了较高的要求。通过解决这类实际问题，学生将深化对数学建模方法的理解， 培养创新思维和实际问题解决能力。希望学生能够通过这样的比赛， 不断提升自己的数学建模能力，为未来的学术研究和工程技术实践打 下坚实的基础。 这篇文章着重分析了2021年全国数学建模国赛b题题目的背景、问题、解题思路，结合个人观点和思考。希望能够帮助您更深入地理解 此题目，增加对数学建模能力和创新思维的认识。题目中提到的城市 停车场管理问题是一个与现代城市生活息息相关的实际问题。随着城 市化进程的不断加快，车辆数量的增加导致停车难成为了城市交通管 理的一大难题。如何合理利用停车场资源，提高停车位的利用率，优 化停车场管理策略，已成为城市交通管理的重要课题之一。而这也正 是本次数学建模竞赛b题所要求的解决问题的核心内容。 对于这个实际问题，学生需要充分了解城市停车场的实际情况，包括 停车需求的高峰期和低谷期、不同车型的停车需求、停车时间的分布
数学建模在交通规划中的应用 交通规划是一个复杂而庞大的系统工程，涉及到交通流量、道路网络、交通设施等多个方面。为了更好地解决交通拥堵、提高交通效率，数学建模成为了交通规划中不可或缺的工具。本文将探讨数学建模在交通规划中的应用，并分析其优势和挑战。 一、交通流量模型 交通流量是交通规划的核心问题之一。通过数学建模，可以对交通流量进行精确的预测和分析。例如，可以使用微分方程来描述交通流量的变化规律，通过求解方程可以得到交通流量的数学模型。这样的模型可以帮助交通规划者预测未来的交通状况，从而制定相应的交通管理措施。 二、道路网络优化 道路网络的优化是交通规划的重要任务之一。通过数学建模，可以对道路网络进行优化设计，以提高交通效率和减少拥堵。例如，可以使用图论中的最短路径算法来确定最佳路线，帮助驾驶员选择最快的道路。此外，还可以使用网络流模型来优化信号灯的配时，以减少交通阻塞。 三、交通设施规划 交通设施的规划是交通规划中的重要环节。通过数学建模，可以对交通设施进行合理布局和规划。例如，可以使用线性规划模型来确定最佳的公交站点位置，以方便市民出行。此外，还可以使用整数规划模型来确定最佳的停车场位置和容量，以解决停车难的问题。 四、交通拥堵预测 交通拥堵是城市交通规划中的难题之一。通过数学建模，可以对交通拥堵进行预测和分析。例如，可以使用时间序列模型来预测未来的交通流量，从而提前采取
措施来缓解拥堵。此外，还可以使用深度学习模型来预测交通事故的发生概率，以提高交通安全性。 五、数学建模的优势和挑战 数学建模在交通规划中具有许多优势。首先，数学建模可以提供定量的分析结果，帮助交通规划者做出科学决策。其次，数学建模可以模拟复杂的交通系统，提供全面的交通分析。然而，数学建模也面临一些挑战。首先，交通系统是一个动态的系统，需要不断更新模型来适应变化的情况。其次，数学建模需要大量的数据支持，而数据的获取和处理也是一个复杂的过程。 六、结语 数学建模在交通规划中发挥着重要的作用。通过数学建模，可以对交通流量、道路网络、交通设施等进行精确的分析和预测，帮助交通规划者制定科学的交通管理措施。然而，数学建模也面临一些挑战，需要不断更新模型和获取数据。未来，随着技术的发展，数学建模在交通规划中的应用将会越来越广泛，为城市交通带来更多的便利和效益。
一.问题重述 侧位停车是指驾驶员在停车位时利用自身的倒车技巧，使车辆按照一定的行驶轨迹，安全的，在不触碰到两边车辆的前提下，让自己的车停到规定好的停车位上。 侧位停车常常会出现许多两车碰擦的情况，通常时由于驾驶员技术的生疏或者不熟练，亦或是停车位长宽大小建造的不科学。正确的科学的停车位建设，能在给驾驶员提供充足的停车空间的条件下，尽可能的节约场地，对于当今停车位紧缺的问题具有相当大积极意义。 现在我们根据题中所给的条件，研究停车位宽度一定时，车位长度最小的情况，以及保证车辆正常停车时，停车位长度与车辆可供行驶的道路宽度的关系，建立数学模型解决以下问题： 问题（1），在可供行驶的道路宽度足够大时，求车位长度的最小值。汽车如果可供行驶宽度y足够大，车辆要能够停进这个车位（车辆只能倒车，不能前进），车位长度x最小为多少？假设车辆的初始位置与车位平行，求出车辆的初始位置、倒车入库过程中方向盘位置a的取值变化和车前轮的轨迹。 （2）如果y不是足够大（当然y肯定大于车宽），那么x和y满足什么条件的情况下，车辆只通过倒车就能停进车位（车辆只能倒车不能前进）？ （3）设y=2000mm，求出倒车过程中方向盘调整次数最少时x的最小值，以及此时倒车过程中a的取值变化。 二．问题分析 城市中建立起愈来愈多住房区，超市，商场，同时又由于人民收入 水平的增加，越来越多的人加入到了“有车一族”的行列。城市建设和 有车一族的人们对停车位的需求越来越大。而城市里的土地资源的紧 张，则对我们如何规划一个提高停车位利用率停车位提出了一定的要 求。在此同时，由于一个个新手驾驶员的技术不熟练和内在的不自信， 建设的停车位又要能容许他们的操控误差。 针对问题（1），我们考虑到了在停车位宽度一定的情况下，汽车 恰好切入停车位的情况（忽略了汽车倒车时速度的大小）。此时利用一 定的几何知识，我们可以求得所求的停车位最小长度。同时结合汽车的
停车场的泊位设计数学建模 摘要：“停车场的泊位设计”数学模型是利用数学模型的计算来规划出一种使用更合理、利用率高的停车场车位停泊方案。近几年来，随着人们生活水平的提高，私家车的数量越来越多，汽车的停泊就成为一个越来越重要的问题，如果汽车停泊问题不能合理的解决，将会影响到汽车的使用。许多大型公司或者是商场门前，都设有自己的停车场，停车场的面积是有限的，而我们希望的就是在这有限的面积内尽可能停放更多的汽车。当然，停放尽可能多的汽车只是建造停车场时一个需要解决的问题，一个比较成功的停车场还需要具备的就是良好的汽车疏导能力，这就需要在停车场设计时更合理的安排汽车的停放位置。 当停车场面积一定的时候，合理安排空间使得更多的车辆能够停泊进来。此次建立的模型是通过探究车辆停放角度与停车场面积的方程，继而对面积函数进行求解，得到车位最佳设计角度，解出2 300*100m 的停车场最佳泊位情况，进而推广到一般的2*s tm ,同时对车型进行分类，分别计算小轿车、小型车、大型车三种停车情况。 关键词：车辆停放角度；层次分析；最优方案。 正 文 1、问题重述 自20世纪90年代以来, 我国经济呈现出持续高速发展态势, 家用小汽车更以惊人的发展速度进入普通居民家庭。但人们在享受汽车所带来的便利和快捷的同时, 又必须面对由此所引发的一系列问题, 其中停车问题就是越来越突出的问题之一。 停车场泊车位规划是指在有限的空间区域内，设计车位布局，尽可能多地发挥空间效率与时间效率。停车泊位设计考虑的因素较多，如平均车位占面积，车辆出入泊位难易程度，停车场内部道路畅通程度等等。请设计一个完整的指标体系对停车场效度进入评价。现有如图1所示的停车场，请你设计该停车场的泊车位设计方案；如果图1中的停车场宽度和长度分别为未知量,s t 米，请你重新设计你的方案。 图1某地面停车场示意图 停车场的整体规划。停车场在车库中出出入入，如果没有一个合理的整体规划，那么汽车出入的效率将会很低，这不是一个合理的停车场应出现的。什么样的规划才是比
数学建模一周论文论文题目：停车场的设计问题 队长1：包子龙学号：1021630209 电话： 队员2：刘欣学号：1021630211 队员3：曹志军学号：1021630223 专业：土地资源管理 班级： 指导教师：张文 2012年6 月9日
1、摘要 “停车难”的影响不仅仅局限于停车本身，还引发了一系列城市管理问题。“停车难”不仅加重了交通的拥堵，而且还带来了安全隐患问题。因此，解决停车与场地的问题已经成为城市发展的难题，已经迫在眉睫。对于如何设计好一个面积为100*200平方英尺的停车场，即设计在场地划线的方案问题已经是当今城市土地合理利用的一个重要方面。解决好了这样一个问题，就是给城市管理和城市建设带来了很大的作用。容易理解，如果将汽车按照与停车线构成直角的方向，一辆紧挨一辆地排列成行，则可以在停车场内塞进最大数量的汽车，但是对于那些缺乏经验的司机来说，按照这种方式停靠车辆是有困难的，它可能造成昂贵的保险费用支出。为了减少因停车造成意外损失的可能性，场主可能不得不雇佣一些技术熟练的司机专门停车；另一方面，如果从通道进入停车位有一个足够大的转弯半径，那么，看来大多数的司机都可以毫无困难地一次停车到位。当然通道越宽，场内所容纳的车辆数目也越少，这将使得场主减少收入。现在，有以下几个问题，问题一：对车子的一些车身结构和专业知识的了解。只有对汽车的知识有所了解还有一些数据的查询，就可以更好地更准确地建立停车的数学模型。当然，不同的车子的结构和参数是不一样的，我们通过假设将车子的大小长度都是固定不变的，这样才能够将问题更加具体直观。问题二：车子排放，因为停车的地方是以面积为100*200平方英尺大小地方，要合理安排车子的停放方向和过道宽窄度才能安全合理的将每辆车停好。问题三：停车场划线的数学方法和建立数学模型。通过问题一和问题二两个问题的讨论，将停车场划线设计跟数学建模联系一起，并通过数学模型解决现实中的实际问题。通过问题的确立，有些实际问题的变数很大，在建立数学模型之前，我们必须将现实问题模型化，即将现实中的问题具体化，统一化，数学化，那就需要对实际问题进行假设。我们是根据自己的思路和想法通过跟实际联系建立的这个数学模型，这个模型可能算不上是最优化的设计，但是我们通过这次设计学到了用数学模型解决一些问题的方法。也可以说我们是有收获的。 关键词：停车设计最优化数学模型
数学建模在城市交通优化中的实际应用 随着城市化的快速发展，城市交通问题日益突出。交通堵塞、交通事故频发等 问题给人们的出行带来了很大的不便。为了解决这些问题，数学建模在城市交通优化中发挥了重要作用。 首先，数学建模可以帮助分析和预测交通流量。通过对城市交通网络进行建模，可以得到不同道路上的车辆流量分布情况。这有助于交通管理部门制定合理的交通调控策略，以减少拥堵和事故的发生。例如，通过建立交通流量模型，可以预测高峰时段的交通拥堵情况，并提前采取措施疏导交通，减少交通压力。 其次，数学建模可以帮助优化信号灯配时方案。信号灯配时对交通流畅度起着 至关重要的作用。通过数学建模，可以分析不同交叉口的交通流量和车辆行驶速度等因素，从而确定最优的信号灯配时方案。这样可以减少交通拥堵，提高交通效率。例如，通过建立交通流模型，可以计算出不同配时方案下的交通延误时间，并选择延误时间最小的方案作为最优配时方案。 另外，数学建模还可以用于优化公交线路规划。公交是城市交通的重要组成部分，合理规划公交线路对于提高城市交通效率至关重要。通过数学建模，可以分析不同区域的人口分布、出行需求等因素，从而确定最佳的公交线路规划方案。这样可以减少重复线路，提高公交运营效率，同时也方便了市民的出行。 此外，数学建模还可以用于优化停车场管理。停车难一直是城市交通的痛点之一。通过数学建模，可以分析不同停车场的容量、位置、车流量等因素，从而确定最佳的停车场管理策略。例如，可以通过建立停车场模型，预测不同时间段的停车需求，并根据需求调整停车场的收费标准和停车位分配，以提高停车位利用率和停车效率。 最后，数学建模还可以用于优化城市交通规划。通过数学建模，可以分析不同 区域的人口分布、出行需求、道路网络等因素，从而确定最佳的城市交通规划方案。
刹车距离数学建模 刹车距离是指车辆从发现需要停车的信号或情况到完全停下来所需的距离。在驾驶中，我们常常需要根据道路情况和车速合理判断刹车距离，以确保安全停车。本文将从数学建模的角度出发，探讨影响刹车距离的因素，并介绍一种常用的数学模型来计算刹车距离。 刹车距离受到车速的影响，一般来说，车速越高，刹车距离就会越长。这是因为车辆在高速行驶时具有更大的动能，需要更长的距离来消耗这部分能量，才能停下来。因此，在高速行驶时，我们需要提前做好刹车准备，以避免刹车距离过长导致事故发生。 刹车距离还受到刹车系统的性能和状态的影响。刹车系统包括刹车片、刹车盘、刹车液等部件，它们的磨损程度和工作状态会直接影响刹车的效果。如果刹车片磨损严重或刹车盘存在问题，会导致刹车距离增加。因此，定期检查和维护刹车系统是确保刹车距离符合要求的重要措施之一。 刹车距离还与路面情况和天气条件有关。在湿滑或结冰的路面上刹车，由于附着力减小，刹车距离会明显增加。此时，驾驶员需要根据实际情况调整刹车力度，以减少刹车距离。 针对刹车距离的计算，数学建模提供了一种有效的方法。常用的刹车距离计算模型是基于物理学中的运动学原理建立的。根据运动学原理，刹车距离与车速的平方成正比，与刹车加速度的倒数成正比。
具体来说，刹车距离可以表示为刹车时间乘以车速的一半，即：刹车距离 = 时间× 速度 / 2。 在实际应用中，为了更加准确地计算刹车距离，需要考虑到刹车系统的响应时间。刹车系统的响应时间是指从踩下刹车踏板到刹车系统开始工作的时间间隔。在这段时间内，车辆仍然以原有的速度行驶，因此需要额外的距离来消耗动能。因此，最终的刹车距离计算公式应为：刹车距离 = 响应时间× 速度 + 时间× 速度 / 2。需要注意的是，刹车距离的计算模型只是一个理论模型，实际情况可能会受到多种因素的影响。在实际驾驶中，驾驶员应根据实际情况综合考虑车辆性能、道路条件和天气因素，合理判断刹车距离，并采取相应的措施确保安全驾驶。 刹车距离是车辆在刹车过程中所需的停车距离，受到多种因素的影响。数学建模提供了一种有效的方法来计算刹车距离，驾驶员可以根据实际情况使用相应的模型来进行刹车距离的估算。然而，在实际驾驶中，还需要结合道路情况和车辆性能等因素进行综合考虑，以确保安全刹车。只有做好刹车距离的合理判断和控制，才能有效避免交通事故的发生。
A题车道被占用对城市道路通行能力的影响车道被占用是指因交通事故、路边停车、占道施工等因素，导致车道或道路横断面通行能力在单位时间内降低的现象。由于城市道路具有交通流密度大、连续性强等特点，一条车道被占用，也可能降低路段所有车道的通行能力，即使时间短，也可能引起车辆排队，出现交通阻塞。如处理不当，甚至出现区域性拥堵。 车道被占用的情况种类繁多、复杂，正确估算车道被占用对城市道路通行能力的影响程度，将为交通管理部门正确引导车辆行驶、审批占道施工、设计道路渠化方案、设置路边停车位和设置非港湾式公交车站等提供理论依据。 视频1（附件1）和视频2（附件2）中的两个交通事故处于同一路段的同一横断面，且完全占用两条车道。请研究以下问题： 1.根据视频1（附件1），描述视频中交通事故发生至撤离期间,事故所处横断面实际 通行能力的变化过程。 2.根据问题1所得结论，结合视频2（附件2），分析说明同一横断面交通事故所占车 道不同对该横断面实际通行能力影响的差异。 3.构建数学模型，分析视频1（附件1）中交通事故所影响的路段车辆排队长度与事 故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系。 4.假如视频1（附件1）中的交通事故所处横断面距离上游路口变为140米，路段下 游方向需求不变，路段上游车流量为1500pcu/h,事故发生时车辆初始排队长度为 零，且事故持续不撤离。请估算，从事故发生开始，经过多长时间，车辆排队长度将到达上游路口。 附件1：视频1 附件2：视频2 附件3：视频1中交通事故位置示意图 附件4：上游路口交通组织方案图 附件5：上游路口信号配时方案图 注：只考虑四轮及以上机动车、电瓶车的交通流量，且换算成标准车当量数。 附件3
2013-2014（2）建模实践论文题目：安全行车距离 队员1：顾可人，0918180227 队员2：范榕，0918180228 队员3：金重阳，0918180226
建模实践论文成绩考核表 指导教师签字：
摘要 随着高速公路的发展和个人汽车拥有量的增大,高速公路交通事故量也随之增加。在诸多高速公路交通事故中,汽车追尾事故就占30%一60%,并且它造成的损失占高速公路交通事故急损失的60%。从而可见避免高速公路追尾事故的发生是我国急需解决的重要问题。导致高速公路追尾交通事故的主要原因是驾驶员未能保持安全的车间距离,所以预防高速公路追尾事故的有效措施之一,就是 发明以高速公路最小安全行车车间距离数学模型为基础的高速公路追尾碰撞预 防报警系统。我们将应用初等方法，揭示在公路上驾驶司机应该选择刹车的最佳时间和最佳距离。控制车距的影响因素：反应时间，车速，车身重，路面状况等。此模型将回答2S法则适不适用的问题，提供了司机在行驶中应注意的各种事项，有利于交通的安全与便捷。司机在驾驶过程中遇到突发事件会紧急刹车，从司机决定刹车到汽车完全停止住汽车行驶的离称为刹车距离，车速越快，刹车距离越长。就要对刹车距离与车速进行分析，它们之间有怎样的数量关系？正常的驾驶条件对车与车之间的跟随距离的要求是每10英里的速率可以允许一辆车的长度的跟随距离，但是在不利的天气或道路条件下要有更长的跟随距离。做到这点的一种方法就是利用2秒法则，这种方法不管车速为多少，都能测量出正确的跟随距离。看着你面前的汽车刚刚驶过的一个高速公路上涂油柏油的地区或立交桥的影子那样的固定点。然后默数“一千零一，一千零二”，这就是2秒。如果你在默数完这句话前到达这个记号，那么你的车和前面的车靠的太近了。上述的方法做起来很容易，但是，它只是一个粗略的、模糊的判断，而且在一些意外情况它是没用的。我们需要是用更多的细节并清楚地解决和说明问题，这时我们需要对它做一个科学的数学分析和数学建模来应对各种可能的问题。 关键词：安全行车，反应距离，刹车距离，车速
汽车停止距离的模型 作者: 邱殿銮 摘要：本模型是针对某次某司机的考核结果而建立的。分析本题后可知，汽车所停I匕的距离可分为反应距离与制动距离即刹车距离，可表示为：D = D r+D H分别建立出反应距离、制动距离与速度V的模型，此过程中运用了最小二乘法以及Matlab中数据的最小二乘拟合, 最后得所需的模型。得到模型后，对模型的可行性代入实际数据进行模型检验，且在Matlab7.6中实现，并根据结果对所得模型进行优化，最终得到了一个比较令人满意的结果。关键字：反应距离制动距离最小二乘法数据的最小二乘拟合 1问题重述 一辆汽车停止距离可分为两段，一段为发现情况时到开始制动这段时间里行驶过的距离D,,这段时间称为反应时间。另一段则为制动时间驶过的距离Dp。现考核司机，考核结果如下：行驶速度D r% 36 Km/h 3 m 4.5 m 50 Km/li 5 m12.5 m 70 Km/li7 m24.5 m (1)求出停车距离D的经验公式。 ⑵设制动力正比于车重，建立理论分析模型, 并求出D的公式。 2符号说明及基本假设 2.1符号说明： D——车辆停止时所驶过的总距离（米） D T——反应距离（米） D B——制动距离（米） V一一汽车的行驶速度（千米/小时） A——制动力与车重的比例 t T——反应距离与速度的比例 t s——刹车后汽车停止所需的时间 S-一刹车后某一时刻车辆移动的距离a——加速度 m——汽车质量 F——制动力 k——制动距离与A?的比例
M——偏差的平方和 b、c、d、e> f、C P C2——常数 2.2基本假设 (1)所得的数据真实可靠； (2)忽略天气、汽车性能等因素的影响。 3模型的建立、分析与求解 3.1.1采用Matlab做出汽车停车距离D与速度V的关系图形，代码如下： » V=[36 50 70]; » D=|7.5 17.5 31.5]; » plot(V.D),xlabcl(V),ylabcl(D),grid on,title(,汽车停车距离 D 与速度V 的关系图形*) 可得其图形为： 汽车停车距离D与速度V的关系图形 图1 则由图1可知汽车停车距离D与速度V成线性关系，故可设停车距离D的经验公式为: D = bV + c 3.1.2采用Matlab对上式进行数据的最小二乘拟合： 根据题目所给的数据可得：
数学建模报告（一） 路口车况分析 高等工程学院
一、路况信息 我们在实验前为保证最终结果的客观性与代表性，综合分析了五道口附近各路口的Google Earth卫星地图与Baidu Map提供的实时车流预测信息，并最终选取城府路与学院路交叉十字路口(地理坐标39.99°N,116.35°E卫星照片见Figure 1)完成本次实地测量。 此路口北向车流较为密集，但几乎没有拥堵状况发生，且公交车等大型车数量较少。南北向路段红灯时(时长60s)，北向路段由西至东最内车道等待车数保持在15辆左右。良好的路况与较大的样本量有利于我们检验教材模型参量取值的正确性，同时也有利于我们根据路口的实际车流情况，对原有模型进行完善。 Figure 1 二、原始数据记录与处理 我们的实验时间选定在2012年3月10日上午9:00-10:00。具体测量内容如下： 1. 北向路段，最内侧车道，绿灯亮至10s、20s、30s、60s时，通过停车线的汽车数量； 2. 北向路段，最内侧车道，红灯区间的车辆间距； 3. 北向路段，最内侧车道，停车线内第一辆汽车的启动延时时间，与其跑过位移S 所用时间(见Figure 2)。 关于数据采集的前期设计请参阅本文第五部分。
S Figure 2 2.1通过车次记录与数据波动分析 我们测量了18次绿灯区间，当绿灯亮至10s、20s、30s、60s时汽车通过停车线的数量，具体数据列表如下： 1 481217 2 471318 3 6121922 4 5101417 5 38912 6 491520 7 491519 8 4111726 9 4101318 10 491516 11 371019 12 4101321 13 5101215 14 591419 15 481321 16 591415 17 371319 Average 4.229.1713.6718.39数据波动分析如下图：