第12讲余数问题
在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。
余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：
（1）余数小于除数。
（2）被除数=除数×商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；
商=（被除数-余数）÷除数。
一个自然数被另一个自然数n除时，余数只能是0，1，2，……（n-1)。
在有余数的除法里，如果被除数和除数都能被同一自然数整除，那么余数也能被这个自然数整除。
在有余数的除法里，如果除数和余数能被同一自然数整除，那么被除数也能被这个自然数整除。
（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。
如果两个整数被另一自然数n除时（n为整数），余数相同，则它们的差必定能被n整除。
如果整数a和b除以同一个自然数m，所得的余数相同，c和d除以同一自然数m，余数也相同，那么a+c，b+d除以m所得的余数也相同。
（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。
（5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c 的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。
性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形。
例1、5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。
练习：
1、2100除以一个两位数得到的余数是56，求这个两位数。
2、有一个整数，除300、262、205得到相同的余数。这个数多少？
3、求478×296×351除以17的余数。
例2、被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。
练习
1、被除数、除数、商与余数之和是903，已知除数是35，余数是2，求被除数。
例3、一个自然数除以3余1，除以5余3，加上2就能被7整除，这个自然数最小是多少？
练习：
1、用一个整数去除345和543所得的余数相同，且商相差9，求这个数。
2、69、90、125被某个自然数除时，余数相同，试求这个自然数的最大值。
3、自然数a除以7余3，自然数b除以7余4，（a+b）除以7余几？
例4、有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。求这个数。
练习
1、有一个自然数，用它去除63、91、129得到3个余数的和是25，这个自然数是多少？
2、自然数a除以7余3，自然数b除以7余3，已知a大于b，那么a减去b的差除以7，余数是多少？
3、有一个整数，用它去除312，231，123得到的三个余数之和是41，求这个数。
4、甲、乙、丙三数之和为100，甲数除以乙数，或丙数除以甲数，都是商5余1，乙数是几？
例5、1～400的整数中，被3、5、7除都余2的数共有多少个？
练习
1、在1～200这200个自然数中，被3或7除都余2的数有多少个？
2、11+22+33+44+55+66+77+88+99除以3的余数是多少？
3、2012个7组成一个2012位数，被13除后余数是多少？商的各位数字之和是多少？
例6、甲、乙两个代表团乘车去参观，每辆车可乘36人。两代表团坐满若干辆车后，甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完，甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。如果每个胶卷可拍36张照片，那么拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还可拍几张照片？
练习：
1、一个十几岁的男孩，把自己的岁数写在父亲的岁数之后，组成一个四位数，从这个四位数中减去他们父子两人岁数差的差得到4289。问男孩几岁，父亲几岁？
2、有一本故事书，每两页文字之间有3页插图，假如这本书有96页，而第一页是插图，这本书共有插图多少页？假如这本书有99页，而第一页是插图，这本书有插图多少页？
数论问题之余数问题:余数问题练习题含答 案 1.数11 1(2007个1),被13除余多少 分析:根据整除性质知:13能整除111111,而2007 6后余3,所以答案为7. 2.求下列各式的余数: (1)2461 135 6047 11 (2)2123 6 分析:(1)5;(2)6443 19=339 2,212=4096 ,4096 19余11 ,所以余数是11 . 3.1013除以一个两位数,余数是12.求出符合条件的所有的两位
数. 分析:1013-12=1001,1001=7 11 13,那么符合条件的所有的两位数有13,77,91 有的同学可能会粗心的认为11也是.11小于12,所以不行.大家做题时要仔细认真. 4.学校新买来118个乒乓球,67个乒乓球拍和33个乒乓球网,如果将这三种物品平分给每个班级,那么这三种物品剩下的数量相同.请问学校共有多少个班 分析:所求班级数是除以118,67,33余数相同的数.那么可知该数应该为118-67=51和67-33=34的公约数,所求答案为17. 5.有一个大于1的整数,除45,59,101所得的余数相同,求这个数. 分析:这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是由于所得的余数相同,根据性质2,我们可以得到:这个数一定
能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数. 101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14. 6.求下列各式的余数: (1)2461 135 6047 11 (2)2123 6 分析:(1)5;(2)找规律,2的n次方被6除的余数依次是(n=1,2,3,4 ):2 ,4 ,2 ,4 ,2 ,4 因为要求的是2的123次方是奇数,所以被6除的余数是2.
余数综合之余数问题解题技巧 4. 同余 （1）若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数， 那么称a、b关于m同余， 用式子表示为：a≡b (modm) 余 数的性质 1. 余数小于除数（2）若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除 2. 带余除法：被除数＝除数×商+余数用式子表示为：如果有a≡b(modm)， 那么一定有a－b＝mk，k是整数，即m|a－b 3. 余数的运算： （1）和的余数等于余数的和 5. 中国剩余定理 逐级满足法 【例1】（★）我爱数学少年数学夏令营试题【例2】(★★) （全国小学数学奥林匹克试题） 有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人。如果 把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够。如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够。问：第二组有多少人? 有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？ 1
【例3】（★★★）【例4】(★★★)全国小学数学奥林匹克试题 一个三位数除以17和19都有余数，并且除以17后所得的商与余数的和等于它除以19后所得到的商与余数的和。那么这样的三位数中最大数是多少，最小数是多少？六张卡片上分别标上1193，1258，1842，1866，1912，2494六 个数，甲取3张，乙取2张，丙取1张，结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另—个人的2倍，则丙手中卡片上的数是________。 【例5】(★★)【例6】(★★) 有一列数排成一行，其中第一个数是3，第二个数是10，从第三 个数开始，每个数恰好是前两个数的和，那么第1997个数被3 除所得的余数是多少？ 今天是星期四，101000天之后将是星期几？ 2
尾数和余数 一、知识要点 自然数末位的数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数积的差叫做余数。尾数和余数在运算时是有规律可寻的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。 二、精讲精练 【例题1】写出除213后余3的全部两位数。 练习1： 1.写出除109后余4的全部两位数。 2.178除以一个两位数后余数是 3.适合条件的两位数有哪些？ 3.写出除1290后余3的全部三位数。 【例题2】（1）125×125×125×……×125[100个25]积的尾数是几？ （2）（21×26）×（21×26）×……×（21×26）[100个（21×26）]积的尾数是几？ 练习2： 1.21×21×21×……×21[50个21]积的尾数是几？ 2.（12×63）×（12×63）×（12×63）×……×（12×63）[1000个（12×63）]积的尾数是几？ 【例题3】（1）4×4×4×…×4[50个4]积的个位数是几？ （2）9×9×9×…×9[51个9]积的个位数是几？ 练习3： 1.24×24×24×…×24[2001个24]，积的尾数是多少？ 2.1×2×3×…×98×99，积的尾数是多少？ 3.94×94×94×…×94[102个94]－49×49×…×49[101个49]，差的个位
是多少？ 【例题5】 555…55[2001个5]÷13.当商是整数时，余数是几？ 练习5： 1.444…4÷6[100个4]，当商是整数时，余数是几？ 2.当商是整数时，余数各是几？ （1）666…6÷4[100个6] （2）444…4÷74[200个4] （3）888…8÷7[200个8] （4）111…1÷7[50个1]
第十讲：数论之余数问题 余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。 许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！” 余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。 知识点拨： 一、带余除法的定义及性质： 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商 (1)当0 r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商 (2)当0 一个完美的带余除法讲解模型: 如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在 要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了 c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且 可以看出余数一定要比除数小。 二、三大余数定理： 1.余数的加法定理 a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等 于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2. 2.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 3.同余定理
第十讲余数问题 常考的余数问题基本可以分成四类：带余除法、余数周期问题、同余问题、“物不知其数”。解题时关键要分清楚它到底是想考你什么，这样才能拿出正确的破解方法。下面我简单谈谈这四类问题： ㈠带余除法。 一般地，如果.α是整数，b是整数（b≠0），那么一定有另外两个整数q和r， 使得α÷b＝q……r 或α＝b×q＋r 当r=0时，我们称α能被b整除。 当r≠0时，我们称α不能被b整除，r为α除以b的余数，q为α除以b的不完全商(也简称为商)。 带余除法最关键就是理清被除数、除数、商、余数的关系，特别需要注意的是，余数肯定小于除数。出题者常常会在这里设置陷阱。 ㈡余数周期。 这其中又分为递推数列（给一串数，要求第χ个数除以某个数的余数）和n次幂（求一个数的n次方除以某个数的余数）相关的余数问题，处理这两类问题一个最直接的做法就是找规律，因为它们除以某数的余数都是有周期的。例如，求3130÷13的余数。例如尖子班作业1。 ㈢同余问题。 1、什么是“同余” 整数α和b除以整数c，得到的余数相同，我们就说整数α、b对于模c同余。 记作：α≡b （mod c） 例如：15÷4＝3 (3) 23÷4＝5 (3) 15和23对于除数4同余。 记作：15 ≡23 （mod4） 可以理解为15和23除以4的余数相同。 2、“同余”的四个常用性质是什么 同余性质1：如果α≡ b (mod m)， 则m︱（α－b） 若两数同余，他们的差必是除数的倍数。 例如，73 ≡23 (mod 10) 则10︱（73－23）73与23的差是10的倍数。
同余性质2：如果α≡ b (mod m)， c ≡ d (mod m), 则α± c ≡ b ± d (mod m) 两数和的余数等于余数的和。 两数差的余数等于余数的差。 例如，73 ≡3 (mod 10) 84 ≡4 (mod 10) 73+84 ≡3+4≡7 (mod 10) 84－73≡4－3≡1 (mod 10) 同余性质3：如果α≡ b (模m)， c ≡ d (模m), 则α× c ≡b×d (模m) 两数积的余数等于余数的积。 例如，73 ≡3 (模10) 84 ≡4 (模10) 73×84 ≡3×4≡2 (模10) 同余性质4：如果α≡ b (模m) 则αn≡b n (模m) 某数乘方的余数，等于余数的乘方。 例如，40≡1 （mod13） 4031≡131≡1 （mod13） 很多人分不清同余问题和“物不知其数”问题的区别。举个例子：“一个自然数除429、791、500所得的余数分别是a＋5、2a、a，求这个自然数和a的值。”这是同余问题，已知被除数和余数，求除数。这种问题就是想办法把余数都化为相同的数，然后两两做差求最大公约数，就是“物不知其数”问题。 4、“物不知其数”。 与同余问题相对应的是“物不知其数”，例如：“一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数。”这种问题有两个万能方法：逐级满足和中国剩余定理。但是考试往往不考这两个方法，这两个方法往往也比较繁琐。考试题里不妨去研究研究题中给的除数和对应的余数的关系（和或差），若他们的和或差相同，那么就有简单的解题方法（即所谓“加同补”、“减同余”），实在没有，再考虑逐级满足和中国剩余定理。 我们在解决“物不知其数”题目，有“四大绝招”把余数问题转化为“整除问题”：绝招一：减同余。例2、例3 绝招二：加同补。例4、作业4 、学案3 绝招三：中国剩余定理。绝招四：逐级满足法。
第六讲尾数和余数 一，准备题 １，被除数= （）×（）＋（）被除数－余数＝ ２，把２１０分解质因数 ３，把１／７化成小数 ４，２×２×３×５×７能被那些两位数整除？ ５，计算２０１０÷６ ６，１２３４５６７８９这９和数字分别除以５的余数各是多少？二，例题１ 写出除２１３余３的全部两位数。 提示：把２１３写成商×除数＋余数怎么写？ 再想商和除数有哪些两位数。试一试吧 练习题１，写出除１０９后余４的全部两位数。 ２，１７８除以一个两位数后余３，适合条件的两位数有哪些？３，写出除１２９０后余３的全部三位数。 三，例题2 （1）125×125×125×。。。。。。×125积的尾数是几？ 100个125 （2）9 ×9 ×9 ×。。。。。。×9 积的个位是几？ 51个9 （3）23×23×23×。。。。。。×23×18×18×。。。。。。18积的个位是几？ 2000个23 2001个18
（4）练习题 （1）（21×26）×（21×26）×。。。。。。×（21×26）积的尾数是几？ 100个（21×26） （2）0.7×0.7×0.7×。。。。。。×0.7×0.6×0.6×0.6×。。。。。。×0.6 2002个0.7 2002个0.6 积的尾数是几？ （3）4×4×4×。。。。。。×4积的个位是几？ 50个4 四．444．。。。。。4÷6当商是整数时余数是几？ 100个4 想：每个4除以6的余数有什么规律？（4,2，0）不断重复出现，再想把3个4分为一组100个4里面有多少组？余几？一个4除以6余几？这就是要求的余数。 练习题1, 555。。。。。。55÷13当商是整数时余数是几？ 2001个5 2 ，当商是整数时余数是几 （1）666。。。。。。6÷4 （2）888。。。。。。。8÷7 50个6 80个8 （3）444．。。。。。4÷74 1000个4 （4）111。。。。。。1÷5 1000个1 3，把1／7化成小数，小数点后面100位上的数字是多少？
【知识点概述】 一、带余除法的定义及性质： 1.带余除法的定义： 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有 a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b； (1)当0 r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商 (2)当0 r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商 2.和余数相关的一些重要性质：(以下a,b,c均为自然数) 性质1：余数小于除数 性质2：=?+ 被除数除数商余数 除数（被除数-余数）商 =÷ =÷ 商（被除数-余数）除数 性质3：a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即前两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2. 性质4：a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以(2316) ?除以5的余数等于?=。 313 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以(2319) ?除以5的余数等于?=除以5的余数，即2. 3412 【注】对于上述性质3，4，我们都可以推广到多个自然数的情形，尤其是性质4，对于我们求一个数的n次方除以一个数的余数时非常的有用。 二、数的同余 1.同余定义
若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用 式子表示为：a≡b ( mod m ) 同余式读作：a同余于b，模m 由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论： 若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除 用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )， 那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b) 这个性质非常重要，是将同余问题与前面学过的整除问题相联系的纽带，一定要熟练掌握。 例如：（1）15365(mod7) ≡，因为36515350750 -==? （2）5620(mod9) ≡，因为56203694 -==? （3）900(mod10) ≡，因为90090910 -==? 由上面的(3)式我们可以得到启发，a可被m整除，可用同余式表示为0(mod) ≡ a m 例如，我们表示a是一个偶数，可以写为2(mod2) a≡, 表示b为一个奇数，可以写为1(mod2) b≡ 我们在书写同余式的时候，总会想起我们最熟悉的等式，但是两者又不是完全相同，在某些性质上相似。 2.同余式的性质（其中a、b、c、d是整数，而m是自然数。） 性质1：a≡a（mod m）（反身性） 性质2：若a≡b ( mod m ),那么b≡a ( mod m ) （对称性） 性质3：若a≡b ( mod m )，b ≡c( mod m )，那么a≡c ( mod m ) （传递性） 性质4：a≡b ( mod m ),c≡d ( mod m ),那么a±c≡b±d ( mod m ) （可加减性） 性质5：若a≡b ( mod m ) ，c≡d ( mod m ),那么ac≡bd ( mod m ) （可乘性） 性质6：若a≡b ( mod m ) ，那么a n≡b n(mod m),（其中n为自然数） 性质7：若ac≡bc ( mod m )，（c，m）＝1,那么a≡b ( mod m ) 三.弃九法 在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》， 他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失 而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的： 例如：检验算式1234189818922678967178902889923 ++++= 1234除以9的余数为1 1898除以9的余数为8
第19讲 余数问题 知识梳理 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r（也就是a=b×q+r）, 0≤r＜b； 当r=0时，我们称a能被b整除； 当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的商 两个整数a，b，如果它们除以同一自然数m所得的余数相同，则称a，b对于模m同余。记作：a≡b（mod ｍ）。读做：ａ同余于ｂ模ｍ。 同余的性质比较多，主要有以下一些： 性质（1）：对于同一个出书，两个数之和（或差）与它们的余数之和（或差）同余。比如：32除以5余数是2，19除以5余数是4，两个余数的和是2+4=6。“32+19”除以5的余数就恰好等于它们的余数和6除以5的余数。 性质（2）：对于同意个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。 性质（3）：对于同意个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一定能被这个除数整除。 性质（4）：对于同意个除数，如果两个整数同余，那么它们的乘方仍然同余。 应用同余性质几萼体的关键是要在正确理解的基础上灵活运用同余性质。把求一个较大的数除以某数的余数问题转化为求一个较小的数除以这个数的余数，使复杂的题变简单，使困难的题变容易。 典型例题 【例1】★求1992×59除以7的余数。 【解析】可将1992×59转化为求1992除以7和59除以7的余数的乘积，使计算简化。1992除以7余4，59除以7余3。
根据同余性质，“4×3”除以7的余数与“1992×59”除以7的余数应该是相同的，通过求“4×3”除以7的余数就可知道1992×59除以7的余数了。因为1992×59≡4×3≡5（mod 7），以1992×59除以7的余数是5。 【小试牛刀】求4217×364除以6的余数。 【解析】2 【例2】★（清华附中小升初分班考试）甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。 【解析】将余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：从1088中减掉32以后，1056就应当是乙数的（11+1）倍，所以得到：乙数=1056÷12=88 ，甲数=1088-88=1000 。 【例3】★★1013除以一个两位数，余数是12。求出符合条件的所有的两位数。 【解析】1013-12=1001，1001=7×11×13，那么符合条件的所有的两位数有13、77、91。 【例4】★★已知2001年的国庆节是星期一，求2010年的国庆节是星期几？ 【解析】2001年国庆节到2010年国庆节之间共有2个闰年7个平年，即有“366×2+365×7”天。因为366×2≡2×2≡4（mod 7），365×7≡1×7≡0（mod 7），366×2+365×7≡2×2+1×7≡4+0≡4（mod 7） 答：2010年的国庆节是星期五。 【小试牛刀】已知2002年元旦是星期二。求2008年元旦是星期几？ 【解析】星期二 【例5】★★2001的2003次方除以13的余数。 【解析】可知2001的2003次方≡12的2003次方（mod 13），但12的2003次方仍然是一个很大的值，要求它的余数比较困难。这时的关键就是要找出12的几次方对模13与1是同余的。经试验可知12的平方≡1（mod 13），而2003≡2×1001+1。所以（12的平方）的1001次方≡1的1001（mod 13），即12的2002次方≡1（mod 13），而12的2003次方≡12的2002次方×12。根据同余性质（2）可知12的2002次方×12≡1×12≡12（mod 13） 因为：2001的2003次方≡12的2003次方（mod 13） 12的平方≡1（mod 13），而2003≡2×1001+1
小学五年级奥数—数论之同余问题 数论之同余问题 余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。 许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！” 余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。 知识点拨： 一、带余除法的定义及性质： 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b q……r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： 1 当时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商 2 当时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商 一个完美的带余除法讲解模型: 如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 二、三大余数定理：
1.余数的加法定理 a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16 39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19 42除以5的余数等于3+4 7除以5的余数，即2. 2.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1 3。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 3.同余定理 若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b mod m ，左边的式子叫做同余式。 同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论： 若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m 整除 用式子表示为：如果有a≡b mod m ，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m| a－b
第8讲数论（余数问题） 1、带余除法的定义及性质： 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r， 也就是a＝b×q＋r, 0?r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当0 r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商； (2)当0 r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商。 余数一定要比除数小。 2、三大余数定理： （1）余数的加法定理 a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。 （2）余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。 （3）同余定理 若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m 整除 用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)。 3、弃九法： 任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。 以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。 （思考：有没有求一个整数被11除的余数的快速方法呢？） 4、同余同补问题：
例1：（1）用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r，求a和r。 （2）有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？ 练习：（1）甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数； （2）用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933，求这2个自然数各是多少？ 例2：三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是_______，_______，_______。 练习：一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是_________。
6尾数和余数 专题简析 自然数末位的数字称为自然数的尾数；被除数减去商与除数积的差叫作余数。尾数和余数在运算时是有规律可循的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。 例题1、写出除333后余3的全部两位数。 举一反三1、 1、317除以一个两位数后余数是2，符合条件的两位数有哪些？ 2、写出除349后余4的全部两位数。 3、写出除1095后余3的全部三位数。 例题2、（1） 9 5199999个?????积的个位数字是几？ （2） 25 10013.0204252525253.03.03.03.0个个?????????积的尾数是几？
举一反三2： 1、 61 201161616161个????积的尾数是几？ 2、()()()() 363150363136313631??????个积的尾数是几？ 3、 9 9199999个?????积的个位数是几？ 例题3、644444 100÷ 个当商是整数时，余数是几？ 举一反三3： 1、13555555 2001÷ 个，当商是整数时，余数是几？
2、下列各小题中，当商是整数里，余数各是多少？ （1） 46666650÷ 个 （2）788888 80÷ 个 （3）74444441000÷ 个 （4）511111 1000÷ 个 3、把7 1化成小数，那么小数点后面第100位上的数字是多少？ 例题4、有一列数，前两个数是3与4从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和。这一列数中第2001个数除以4，余数是多少？ 举一反三4： 1、有一串数排成一行，其中第一个数是3，第二个数是10，从第三个数起，每个数恰好是前两个数的和。在这一串数中，第1991个数被3除，所得的余数是几？ 2、一列数1，2，4，7，11，16，22，29，…。这一列数的规律是第二个数比第一个数多1，第三个数比第二个数多2，第四个数比第三个数多3。依次类推，这列数左起第1996个数被5除余数是几？
一、带余除法的定义及性质 一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r , 0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商 (2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商 一个完美的带余除法讲解模型: 这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。 二、三大余数定理： 1.余数的加法定理 a 与 b 的和除以 c 的余数，等于a ，b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。 例如：23， 19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2。 知识精讲 余数问题
2.余数的乘法定理 a 与b 的乘积除以c 的余数，等于a ，b 分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 3.同余定理 若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。 同余式读作：a 同余于b ，模m 。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论： 若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除。 用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ，k 是整数，即m |(a －b ) 【例1】用某自然数a 去除1992，得到商是46，余数是r ，求a 和r ． 【解析】 因为1992是a 的46倍还多r ,得到19924643......14÷=，得1992464314=?+，所以43a =，14r =． 【例2】 甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数． 【解析】 (法1)因为 甲=乙1132?+，所以 甲+乙=乙1132?++乙=乙12321088?+=； 【解析】 则乙(108832)1288 =-÷=，甲1088=-乙1000=． 【解析】 (法2)将余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：从1088中减掉32以 后，1056就应当是乙数的(111)+倍，所以得到乙数10561288=÷=，甲数1088881000=-=． 经典例题
第四讲余数问题姓名 除法和余数 例1、你能填出每组题里的数吗？ 32÷=6...35÷ =4... 42÷ =8... 59÷ =7... 47÷ =9... 75÷ =9... 例2、找相同的余数。 28 ÷ = ...4 50 ÷ = (5) 40÷ = ...4 68÷ = (5) 52 ÷ = ...4 86÷ = (5) 例3、写除数相同，余数也相同的除法算式。 例4、下面每一组除法算式的被除数相同吗？ ÷ 5=7...4 ÷ 5=14 (4) ÷ 7=5...4 ÷ 7=10 (4) ÷ 9=8..3 ÷ 9=12 (3) ÷ 4=18...3 ÷ 4=27 (3) 例5、被除数相同，余数也相同的除法算式，被除数与余数的差同两个除数之间有什么关系？
29÷ 6=4...5 53÷ 6=8 (5) 29÷ 8=3...5 53÷ 8=6 (5) 76÷ 6=12...4 99÷ 6=16 (3) 76÷ 8=9...4 99÷ 8=12 (3) 例6、找相同的被除数。 ÷ 5= ...3 ÷ 3= (2) ÷ 5= ...3 ÷ 3= (2) ÷ 5= ...3 ÷ 3= (2) 例7、篮子里有一些苹果，三个三个地数还多一个，五个五个地数也多一个，六个六个地数也多一个，篮子里至少有多少个苹果？ 周期和余数 例1、一些图形排列如下，求第100个、第200个各是什么图形？ △□□○○○△□□○○○ ...... 例2、一些图形排列如下，共有202个图形。那么其中有多少个△？多少个□？多少个○？ △□□○○○△□□○○○…… 例3、2003年8月31日是星期日，2004年8月31日是星期几？
数论之同余问题 数论之同余问题 余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。 余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理 （加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），知识点 拨： 三大余数定理： 1.余数的加法定理 a 与 b 的和除以 c 的余数，等于a,b 分别除以 c
的余数之和，或这个和除以c的余数。 例如：23 ,16除以5的余数分别是3和1，所以 23+16=39 除以5的余数等 于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。 例如：23 ,19除以5的余数分别是3和4，故 23+19=42 除以5的余数等于3+4=7 除以5的余数，即2. 2.余数的乘法定理 a 与 b 的乘积除以 c 的余数，等于a,b 分别除以 c 的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23 X16除以5的余数等于3 X仁3。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以 23 X19除以5的余数等于3 X4除以5的余数，即2. 3.同余定理 若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a耳)(mod m )，左 边的式子叫做同余式。 同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质， 我们可以得到一个非常重要的推论： 若两个数a, b除以同一个数m得到的余数相同， 则a，b的差一定能被m整除 用式子表示为：如果有a斗)(mod m )，那么一定 有 a — b = mk,k 是整数，即m|(a —b) 例如：20和8被自然数3除有相同的余数2。则 20-8 一定能被2整除
尾数和余数 知识点：自然数末位的数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数积的差叫做余数。尾数和余数在运算时是有规律可寻的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。 例1：178除以一个两位数后余数是3，适合条件的两位数有哪些？ 变式训练：写出除213后余3的全部两位数。 例题2：（1）125×125×125×……×125[100个25]积的尾数是几？ （2）（21×26）×（21×26）×……×（21×26）[100个（21×26）]积的尾数是几？ 变式训练：①1.5×1.5×1.5×……×1.5[200个1.5]积的尾数是几？ ②（12×63）×（12×63）×（12×63）×……×（12×63）[1000个（12×63）]积的尾数是几？ 例题3： 9×9×9×…×9[51个9]积的个位数是几？ 变式训练：（1）24×24×24×…×24[2001个24]，积的尾数是多少？ （2）1×2×3×…×98×99，积的尾数是多少？
例题4：把1/7化成小数，那么小数点后面第100位上的数字是多少？ 变式训练：把1/11化成小数，求小数点后面第2001位上的数字。 变式训练2 有一串数：5、8、13、21、34、55、89……，其中，从第三个数起，每个数恰好是前两个数的和。在这串数中，第1000个数被3除后所得的余数是多少？ 例题5 555...55[2001个5]÷13.当商是整数时，余数是几？ 变式训练 444...4÷6【100个4】，当商是整数时，余数是几？ 2.当商是整数时，余数各是几？ （2）444...4÷74【200个4】
观察下列各等式：55=3125，56=15625，57=78125，…，则52018的末四位数字为__． 课后练习 1写出除109后余4的全部两位数。 2.94×94×94×…×94[102个94]－49×49×…49[101个49]，差的个位是多少？ 3.5/7写成循环小数后，小数点后的第50个数字是几？ 4.当商是整数时，余数各是几？ （1）888...8÷7【200个8】 （2）666...6÷4 【100个6】 5.有一列数，前两个数是3与4，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和。这一列数中第2001个数除以4，余数是多少？
第6讲尾数和余数 令狐采学 一、知识要点 自然数末位的数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数积的差叫做余数。尾数和余数在运算时是有规律可寻的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。 二、精讲精练 【例题1】写出除213后余3的全部两位数 【思路导航】因为213=210＋3.把210分解质因数： 210=2×3×5×7，所以，符号题目要求的两位数有2×5=10，2×7=14，3×5=15，3×7=21.5×7=35，2×3×5=30， 2×3×7=42.一共有7个两位数。 练习1： 1.写出除109后余4的全部两位数。 2.178除以一个两位数后余数是 3.适合条件的两位数有哪些？ 3.写出除1290后余3的全部三位数。 【例题2】（1）125×125×125×……×125[100个125]积的尾数是几？ （2）（21×26）×（21×26）×……×（21×26）[100个（21×26）]积的尾数是几？ 【思路导航】（1）因为个位5乘5，积的个位仍然是5，所以不管多少个125相乘，个位还是5； （2）每个括号里21乘26积的个位是6，我们只要分析100个6相乘，积的尾数是几就行了。因为个位6乘6，积的个位仍然是6，所以不管多少个（21×26）连乘，积的个位还是6。 练习2： 1.21×21×21×……×21[50个21]积的尾数是几？ 2.1.5×1.5×1.5×……×1.5[200个1.5]积的尾数是几？ 3.（12×63）×（12×63）×（12×63）×……× （12×63）[1000个（12×63）]积的尾数是几？ 【例题3】（1）4×4×4×…×4[50个4]积的个位数是几？ （2）9×9×9×…×9[51个9]积的个位数是几？ 【思路导航】（1）我们先列举前几个4的积，看看个位数在怎样变化，1个4个位就是4；4×4的个位是6；4×4×4
1. 数论——数的整除和余数 2.1基本概念和基本性质 整数a 除以整数b （b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a 能被b 整除，或者说b 能整除a 。 b ∣a ，读着b 能整除a;或a 能被b 整除； ba ，不能整除； ① 传递性：如果a|b,b|c,那么a|c;即b 是a 的倍数，c 是b 的倍数，则c 肯定是a 的倍 数； ② 加减性：如果a|b 、a|c ，那么a|(b c); ③ 因数性：如果ab|c ，那么a|c ，b|c;即如果ab 的积能整除c,则a 或b 皆能整除c; ④ 互质性，如果a|c ，b|c ，且（a,b ）=1,那么ab|c,即如果a 能整除c,b 能整除c ，且 ab 互质，则ab 的积能整除c; ⑤ a 个连续自然数中必恰有一个数能被a 整除。 2.2数的整除的判别法
各数位上数字的和是3或9的倍数，则能被3或9整除。 173652÷9:1+7+3+6+5+2的和除以3或9； 简便算法，利用整除的加减性，可以去掉1个或多个9，剩下数字的和x 再除以3或9；如果x﹥9,则余数为x-9;如果x﹤9,则余数为x。 从右往左编号，编号为奇数的为奇数位，编号为偶数的为偶数位，看奇数位上的数字的和与偶数位上的数字的和的两者之差是否能被11整除； 奇数位和为6，偶数位和为27；如果奇数位和比偶数位和小，则奇数位和加1个或多个11，直到够减。余数的判断法与整数位的判断法一致。 2.2.4三位一截判别法（用以判别能否被7/11/13整除） 从右往左三位一截并编号，编号为奇数的为奇数段，编号为偶数的为偶数段，看奇数段的数字的和与偶数段的数字的和的两者之差是否能被7、11、13整除； 两者差看能否被7整除，同样，不够减前面加1个或多个7，直到够减，余数位的判断法与整数位的判断法一致。 ①一般求空格数 如果中间有空格，则利用加减性加或减除数7的倍数，分别从右边和左边抵消缩减位数，到最后看7的哪个倍数与缩减后的末位数相同，并看7的哪个倍数与缩减后的首位数相同，则前一个倍数的十位数和后一个倍数的个位数的和即为空格中应填的数。注意，如果这个数加或减7后为1到9间的自然数，则加或减7后的这个数也为正确答案。
第6讲尾数和余数 一、知识要点 自然数末位的数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数积的差叫做余数。尾数和余数在运算时是有规律可寻的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。 二、精讲精练 【例题1】写出除213后余3的全部两位数。 【思路导航】因为213=210＋3.把210分解质因数：210=2×3×5×7，所以，符号题目要求的两位数有2×5=10，2×7=14，3×5=15，3×7=21.5×7=35，2×3×5=30，2×3×7=42.一共有7个两位数。 练习1： 1.写出除109后余4的全部两位数。 2.178除以一个两位数后余数是 3.适合条件的两位数有哪些？ 【例题2】（1）125×125×125×……×125[100个25]积的尾数是几？ （2）（21×26）×（21×26）×……×（21×26）[100个（21×26）]积的尾数是几？ 【思路导航】（1）因为个位5乘5，积的个位仍然是5，所以不管多少个125相乘，个位还是5； （2）每个括号里21乘26积的个位是6，我们只要分析100个6相乘，积的尾数是几就行了。因为个位6乘6，积的个位仍然是6，所以不管多少个（21×26）连乘，积的个位还是6。 练习2： 1.21×21×21×……×21[50个21]积的尾数是几？ 2.1.5×1.5×1.5×……×1.5[200个1.5]积的尾数是几？ 3.（12×63）×（12×63）×（12×63）×……×（12×63）[1000个（12×63）]积的尾数是几？
【例题3】（1）4×4×4×…×4[50个4]积的个位数是几？ （2）9×9×9×…×9[51个9]积的个位数是几？ 【思路导航】（1）我们先列举前几个4的积，看看个位数在怎样变化，1个4个位就是4；4×4的个位是6；4×4×4的个位是4；4×4×4×4的个位是6……由此可见，积的尾数以“4，6”两个数字在不断重复出现。50÷2=25没有余数，说明50个4相乘，积的个位是6。 （2）用上面的方法可以发现，51个9相乘时，积的个位是以“9，1”两个数字不断重复，51÷2=25……1.余数是1.说明51个9本乘积的个位是9。 练习3： 1.24×24×24×…×24[2001个24]，积的尾数是多少？ 2.1×2×3×…×98×99，积的尾数是多少？ 3.94×94×94×…×94[102个94]－49×49×…×49[101个49]，差的个位是多少？ 【例题4】把1/7化成小数，那么小数点后面第100位上的数字是多少？ 【思路导航】因为1/7≈0.142857142857……，化成的小数是一个无限循环小数，循环节“142857”共有6个数字。由于100÷6=16……4，所以，小数点后面的第100位是第17个循环节的第4个数字，是8。 练习4： 1.把1/11化成小数，求小数点后面第2001位上的数字。 2.5/7写成循环小数后，小数点后第50个数字是几？ 3.有一串数：5、8、13、21、34、55、89……，其中，从第三个数起，每个数恰好是前两个数的和。在这串数中，第1000个数被3除后所得的余数是多少？ 【例题5】 555…55[2001个5]÷13.当商是整数时，余数是几？