2019-2020 年中考数学第一轮复习第三十二课与圆有关的比例线段
〖知识点〗
相交弦定理、切割线定理及其推论
〖大纲要求〗
1．正误相交弦定理、切割线定理及其推论；
2．了解圆幂定理的内在联系；
3．熟练地应用定理解决有关问题；
4．注意（ 1）相交弦定理、切割线定理及其推论统称为圆幂定理，圆幂定理是圆和相似
三角形结合的产物。这几个定理可统一记忆成一个定理：过圆内或圆外一点作圆的两条割线，则
这两条割线被圆截出的两弦被定点分（内分或外分）成两线段长的积相等（至于切线可看
作是两条交点重合的割线）。使用时注意每条线段的两个端点一个是公共点，另一个是与圆的
交点；
（2）见圆中有两条相交想到相交弦定理；见到切线与一条割线相交则想到切割线定
理；若有两条切线相交则想到切线长定理，并熟悉此时图形中存在着一个以交点和圆心连线
为对称轴的对称图形。
〖考查重点与常见题型〗
证明等积式、等比式及混合等式等。此种结论的证明重点考查了相似三角形，切割线定
理及其推论，相交弦定理及圆的一些知识。常见题型以中档解答题为主，也有一些出现在选
择题或填空题中。
〖预习练习〗
1.圆内两弦相交，其中一条弦长为8cm，且被交点平分，另一条被交点分为1:4 两部分，则这
条弦长为（）
（A ） 2cm（B）8cm（C）10cm（D）16cm
2.自圆外一点所作过圆心的割线长是12cm，圆的半径为4cm，则过此点所引的切线长为（）
（A ） 16cm （ B） 4 3 cm （ C） 4 2 cm （ D）以上答案都不对
3.如图，圆内接四边形ABCD 的 BA 、 CD 的延长线交于P，AC 、 BD 交
于 E，则图中相似三角形有（）
（A ） 2 对（ B） 3 对（ C） 4 对（ D） 5 对
4.圆内两条弦AB 与 CD 相交于 E，如果 AE ＝ BE ， CE＝ 9， DE ＝ 4，那么 AB ＝
5.从圆外一点P 向圆引两条割线PAB 、PCD，分别与圆相交于 A 、B、C、D，如果 PA＝ 4，PC ＝ 3，CD ＝ 5，那么 AB ＝
6.Rt△ABC 中两条直角边分别为6cm，8cm，则外接圆半径为,内切圆半径为
7.PA、 PB 分别是⊙ O的切线，切点分别为A、 B，∠ AOB＝ 144°，则∠ P＝
考点训练：
1.⊙ O 中直径 CD ⊥弦 AB于 E， AB＝ 6， DE∶ CE＝ 1∶ 3，则
(A) 3 (B) 3 (C) 23(D) 6
2. 由圆外一点作圆的切线长为6，过这点作过圆心的割线长为
(A) 19cm (B) 6cm (C) 4.5cm (D)以上答案都不对
3. 如图 1，⊙ O的半径为6， PQ＝ 6， AR＝ 8 则 QR的长为（
(A) 9 (B) 10 (C) 11 (D) 12 DE的长为（）
12，则此圆半径长为（
）
）
4.如图 2， CD为⊙ O直径，弦 AB垂直 CD于 P,AP＝ 4， PD＝ 2，则 PO＝ ___.
A D
O C B A
A
E
C O P
D O O
R Q P
B 2 P A B
1 4
3 C
5.如图 3，PAB 为⊙ O 的割线，PC 切⊙ O 于 C，PC＝ 10，AB ＝15，则 PA 长为 ___________.
6．如图 4，弦 AB ⊥弦 CD 于 E，若 AE ＝ 2，BE ＝ 6，DE ＝ 3，则⊙ O 的直径长＝ ________.
7．如图， PAB 为⊙ O 的割线， PO 交⊙ O 于 C，OP＝ 13，PA＝9，AB ＝ 7，求⊙ O 直径的
长 . B
A
O
C P r
8.如图， P 是⊙ O 外一点， PA 切⊙ O 于 A， PBC 为⊙ O 的割线，求证：AB 2 PB AC 2
＝
PC
A
O
P B
C
9.如图，在两圆公共弦AB 上，任取一点 G，过 G 作直线交一圆于C,D ，交另一圆于 E,F. 求证： CG· ED＝ EG· CF.
D A
E
C O
G
O1
B F
解题指导
1．如图，ABCD 是⊙ O 的内接四边形，DP∥ AC，交BA 的延长线于P，求证：AD ·DC＝PA· BC. D
C
O
A B
P
2．如图，锐角△ABC ，以BC 为直径作圆，在AB 上截取AE ＝切线长AD ，过 E 作AB 的
垂线交AC 延长线于F，求证：AE
AB
=
AC
AF
. A
D
E
B
O
C
F
3.如图，若△ ABC 的∠ A 平分线交 BC 于 D ，交其外接圆于 E，求证： AD 2＝ AB · AC－
BD · CD.
A
O
B D C
E
4．如图，△ ABC内接于⊙ O， CP 切⊙ O 于 C，交 AB 延长线于 P，割线 PD 交 AC 于 F， CB 于 E，且 CE＝ CF，求证：（ 1）PD 是∠ APC的平分线，（ 2） CF2＝ AF · BE.
C
D
F E P
O
B
A
独立训练：
1．AB 是⊙ O 直径， C 是 AB 延长线上一点，CD 切⊙ O 于 D， AB ＝ 6， CD＝ 4，则 CB 的长为（）
8 2
(A) 2 (B) 3 (C) 3 (D) 3
C
2．如图 1， P 在半圆 O 的直径 AB 延长线上，且PB＝OB ＝ 2，
PC 切⊙ O 于 C， CD⊥ AB于 D，则 CD 的长为（）
AO D B P
3
(A) 2 3 (B) 3 (C) (D) 4 3 í?1
2
3．如图 2，△ ABC中∠ A＝90°， AC ＝ 3， AB ＝ 4，半圆圆心在BC 上，与 AB,AC 切于 D,E，
A
则⊙ O 半径为（） E D
(A) 12 7 7
C
(B) (C) (D) 2 3
7 12 2 O í?2
4．⊙ O 中直径 CD 垂直弦AB 于 E， AB ＝ 8， DE ∶ CE＝3∶ 1，
则 DE的长为（） A
(A)2 (B)4 (C) 2 3 (D) 4 3
5．如图 3， AB为⊙ O直径，弦 CD⊥ AB于 P，若 CD＝a， AP＝
b，则半径 R＝ ____.
6．如图 4， AB 为⊙ O 直径， CD 切⊙ O 于 B，且 BC ＝ BD ，AD
D 交⊙ O 于 E， AB ＝ 8， CD ＝ 12，则 S△CDE＝ ___________. B
C
O P
B
C
D O
3 A B
C 4
E
D
y
7．如图 5， BE 为半圆 O 直径， AD 切⊙ O 于 B， BC 切
⊙ O 于 B， BE＝ BC ＝ 6，则 AD 长为 ___________. A E OB
í?5
8．如图 6，以直角坐标系的原点O 为圆心作圆， A 是 x 轴上一点， E AB 切⊙ O 于 B ，若 AB ＝ 12，AD ＝ 8，则点 B 坐标为 ____________.
9．如图， AB 是⊙ O 直径， BC 是弦， CD 切⊙ O 于 C，AD ⊥CD交 BC 延长线于求 AB 的长。
B
O D A
x
í?6
E，AE ＝ 8cm，
E
D
C
A B
O
10．已知：如图， AD 切⊙ O 于点 D， ACB 为⊙ O 的割线， AP＝ AD ，BP,CP 分别交⊙ O 于
M,N ，求证：（1）△ PCA∽△ ABP （ 2） MN∥ AP.
D
B
C
A
O
N
M
P
苏教版中考数学压轴题动 点问题 Modified by JEEP on December 26th, 2020.
运动变化型问题专题复习 【考点导航】 运动变化题是指以三角形、四边形、圆等几何图形为载体，设计动态变化，并对变化过程中伴随着的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行考察研究的一类问题，这类试题信息量大，题目灵活多变，有较强的选拔功能，是近年来中考数学试题的热点题型之一，常以压轴题的面目出现．解决此类问题需要运用运动和变化的观点，把握运动和变化的全过程，动中取静，静中求动，抓住变化过程中的特殊情形，建立方程、不等式、函数模型．【答题锦囊】 例1 如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16，动点P从点A出发沿AC边向点C 以每秒3个单位长的速度运动，动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动．P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ关于直线PQ对称的图形是△PDQ．设运动时间为t（秒）． （1）设四边形PCQD的面积为y，求y与t的函数关系式； （2）t为何值时，四边形PQBA是梯形 （3）是否存在时刻t，使得PD∥AB若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t，使得PD⊥AB若存在，请估计t的值在括号中的哪个时间段内（0≤t≤1；1＜t≤2；2＜t≤3；3＜t≤4）；若不存在，请简要说明理由． 例２如图2，直角梯形CD ，AD=4，DC=3，动点P从点 A出发，沿A→D→C→B方向移动，动点P移动的路程为x，点Q移动的路程为y，线段 PQ平分梯形ABCD （1）求y与x的函数关系式，并求出x y ，的取值范围；（2）当PQ∥AC时，求 x y ，的值； （3）当P不在BC边上时，线段PQ能否平分梯形ABCD的面积若能，求出此时x的值；若不能，说明理由． 例3 如图3，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2 为半径画⊙O，P是⊙O上一动点，且P的切线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B. (1)点P在运动时，线段AB的长度也在发生变化，请写出线段AB长度的最小值，并说明理由； (2)在⊙O上是否存在一点Q，使得以Q、O、A、P为顶点的四边形时平行四边形若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由. 例４如图7①，一张三角形纸片ABC沿斜边AB的中线CD把这张 纸片剪成 11 AC D ?和 22 BC D ? 11 AC D沿直线 2 D B（AB）方向平 移（点 12 ,,, A D D B始终在同一直线上），当点.在平移过程中，11 C D与 2 BC交于点E, 1 AC与222 C D BC 、分别交于点F、P. ⑴当 11 AC D ?平移到如图7③所示的位置时，猜想图中的 1 D E与 2 D F的数量关系，并证明你的猜想； ⑵设平移距离 21 D D为x， 11 AC D ?与 22 BC D ?重叠部分面积为y，请写出y与x的函数关系式，以及自变量的取值范围； ⑶对于（2）中的结论是否存在这样的x的值，使重叠部分的面积等于原ABC ?面积的 1 4 .若存在，求x的值；若不存在，请说明理由. 【中考预 测】 ⒈如图8①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A与点E重合），已知AC＝8cm，BC＝6cm，∠C＝90°，EG＝4cm，∠EGF＝90°，O是△EFG斜边上的中点． 如图8②，若整个△EFG从图①的位置出发，以1cm/s 的速度沿射线AB方向平移，在△EFG 平移的同时，点P从△EFG的顶点G出发，以1cm/s 的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，△EFG也随之停止平移．设运动时间为x（s），FG的延长线交 AC于H，四边形OAHP的面积为y（cm2)（不考虑点P与G、F重合的情况）． （1）当x为何值时，OP∥AC Q B M 图1 ＡC D Q P Ｂ 图2 1 2 2 D ① 2 1 ②
动点专题 一、应用勾股定理建立函数解析式 例1(2000年2上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G. (1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度. (2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围). (3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长. 二、应用比例式建立函数解析式 例2（2006年2山东）如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式； (2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由. A E D C B 图2 H M N G P O A B 图1 x y
C 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式 例4（2004年2上海）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y . (1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域. (2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积. 一、以动态几何为主线的压轴题 （一）点动问题． 1．（09年徐汇区）如图，ABC ?中，10==AC AB ，12=BC ，点D 在边BC 上，且4=BD ，以点D 为顶点作B EDF ∠=∠，分别交边AB 于点E ，交射线CA 于点F ． （1）当6=AE 时，求AF 的长； （2）当以点C 为圆心CF 长为半径的⊙C 和以点A 为圆心AE 长为半径的⊙A 相切时， 求BE 的长； （3）当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时，求BE 的长． A B C O 图8 H
2016年中考数学压轴题动点问题 一、选择题 1. （2016·湖北鄂州）如图，O是边长为4cm的正方形ABCD的中心，M是BC的中点，动点P由A开始沿折线A—B—M方向匀速运动，到M时停止运动，速度为1cm/s. 设P点的运动时间为t(s)，点P的运动路径与OA、OP所围成的图形面积为S(cm2)，则描述面积S(cm2)与时间t(s)的关系的图像可以是（） 【考点】动点函数的图像问题. 【分析】分别判断点P在AB、在BM上分别运动时，点P的运动路径与OA、OP所围成的图形面积为S(cm2)的变化情况进行求解即可. 2.（2016年浙江省台州市）如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是（） A．6 B．2+1 C．9 D． 【考点】切线的性质． 【分析】如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1，此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1﹣OQ1，求出OP1，如图当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2最大值 故选C． 3.（2016年浙江省温州市）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2．P是AB边上一动点，PD⊥AC于点D，点E在P的右侧，且PE=1，连结CE．P从点A出发，沿AB
方向运动，当E到达点B时，P停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积S1+S2的大小变化情况是（） A．一直减小B．一直不变C．先减小后增大D．先增大后减小 【考点】动点问题的函数图象． 【分析】设PD=x，AB边上的高为h，想办法求出AD、h，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可． 4．（2016.山东省泰安市，3分）如图，正△ABC的边长为4，点P为BC边上的任意一点（不与点B、C重合），且∠APD=60°，PD交AB于点D．设BP=x，BD=y，则y关于x的函数图象大致是（） A．B． C． D． 【分析】由△ABC是正三角形，∠APD=60°，可证得△BPD∽△CAP，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。 动态几何形成的面积问题是动态几何中的基本类型，包括单动点形成的面积问题，双（多）动点形成的面积问题，线动形成的面积问题，面动形成的面积问题。本专题原创编写单动点形成的面积问题模拟题。 在中考压轴题中，单动点形成的面积问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类。 原创模拟预测题1.某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8. 问题思考： 如图1，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC与正方形PBFE. （1）在点P运动时，这两个正方形面积之和是定值吗？如果时求出；若不是，求出这两个正方形面积之和的最小值. （2）分别连接AD、DF、AF， AF交DP于点A，当点P运动时，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由. 问题拓展： （3）如图2，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8.若点P从点A出发，沿A→B→C→D的线路，向D点运动，求点P从A到D的运动过程中， PQ 的中点O所经过的路径的长。
中考复习48 圆中成比例的线段 知识考点： 1、相交弦定理、切割线定理、割线定理是圆中成比例线段的重要的结论，是解决有关圆中比例线段问题的有力工具。 2、掌握和圆有关的比例线段的综合运用，主要是用于计算线段的长。 精典例题： 【例1】已知如图，AD 为⊙O 的直径，AB 为⊙O 的切线，割线BMN 交AD 的延长线于C ，且BM ＝MN ＝NC ，若AB ＝2。求： （1）BC 的长； （2）⊙O 的半径r 。 分析：由题设图形不难可以看出在本题中可综合运用勾股定理、切割线定理、割线定理来解题。 解：（1）设BM ＝MN ＝NC ＝x ，由切割线定理可得：BM BN AB ?=2 即)(22 x x x +=解得：2= x ， ∴BC ＝233=x ； （2）在Rt △ABC 中，AC ＝1422=-AB BC 由割线定理可得：CM CN AC CD ?=? ∴7 14 2= ?= AC CM CN CD ∴14 14 5)714214(21)(21= -=-= CD AC r 【例2】如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PBC 是过点O 的割线，PA ＝10，PB ＝ 5，∠BAC 的平分线与BC 和⊙O 分别交于点D 和E ，求AE AD ?的值。 分析：由切割线定理有PC PB PA ?=2 ，可得直径BC 的长，要求AE AD ?，由△ACE ∽△ADB 得BA CA AE AD ?=?，也就是求CA 、BA 的长。 解：连结CE ∵PA 是⊙O 的切线，PBC 是⊙O 的割线 ∴PC PB PA ?=2 又PA ＝10，PB ＝5，∴PC ＝20，BC ＝15 ∵PA 切⊙O 于A ，∴∠PAB ＝∠ACP 又∠P 为公共角，△PAB ∽△PCA ? 例1图 O N M D C B A
（2014?济宁，第22题11分）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（5，0）、B（﹣1，0）两点，过点A作直线AC⊥x轴，交直线y=2x于点C； （1）求该抛物线的解析式； （2）求点A关于直线y=2x的对称点A′的坐标，判定点A′是否在抛物线上，并说明理由； （3）点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA′于点M ，是否存在这样的点P， 使四边形PACM是平行四边形若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）首先求出对称点A′的坐标，然后代入抛物线解析式，即可判定点A′是否在抛物线上．本 问关键在于求出A′的坐标．如答图所示，作辅助线，构造一对相似三角形Rt△A′EA∽Rt△OAC，利用相似关系、对称性质、勾股定理，求出对称点A′的坐标； （3）本问为存在型问题．解题要点是利用平行四边形的定义，列出代数关系式求解．如答图所示，平行四边形的对边平行且相等，因此PM=AC=10；利用含未知数的代数式表示出PM的长度，然后列方程求解． 解 答： 解：（1）∵y=x2+bx+c与x轴交于A（5，0）、B（﹣1，0）两点， ∴，解得．∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣． （2）如答图所示，过点A′作A′E⊥x轴于E，AA′与OC交于点D， ∵点C在直线y=2x上，∴C（5，10） ∵点A和A′关于直线y=2x对称，∴OC⊥AA′，A′D=AD． ∵OA =5，AC =10， ∴OC ===．∵S△OAC=OC ?AD=OA?AC，∴AD=．∴AA′=，
在Rt△A′EA和Rt△OAC中，∵∠A′AE+∠A′AC=90°，∠ACD+∠A′AC=90°，∴∠A′AE=∠ACD．又∵∠A′EA=∠OAC=90°， ∴Rt △A′EA∽Rt△OAC．∴，即． ∴A′E=4，AE=8．∴OE=AE﹣OA=3．∴点A′的坐标为（﹣3，4）， 当x =﹣3时，y=×（﹣3）2+3﹣=4．所以，点A ′在该抛物线上． （3）存在．理由：设直线CA′的解析式为y=kx+b， 则，解得∴直线CA′的解析式为y =x +…（9分）设点P 的坐标为（x，x2﹣x﹣），则点M为（x，x+）． ∵PM∥AC， ∴要使四边形PACM是平行四边形，只需PM= AC．又点M在点P的上方，∴（x+）﹣（x2﹣x﹣）=10． 解得x1=2，x2=5（不合题意，舍去） 当x=2时，y=﹣． ∴当点P运动到（2，﹣）时，四边形PACM是平行四边形． 点评：本题是二次函数的综合题型，考查了二次函数的图象及性质、待定系数法、相似、平行四边形、 勾股定理、对称等知识点，涉及考点较多，有一定的难度．第（2）问的要点是求对称点A′的坐标，第（3）问的要点是利用平行四边形的定义列方程求解．
动点及动图形的专题复习教案 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。 二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点． 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.
9年级培优：圆内线段比例 圆内线段比例关系是初中平面几何最常见的题型，特此列举如下一些题例。 【1】如图，⊙O中，AB为直径，CD平分∠ACB交⊙O于点D， 【提示】此为“异地恋”模型结论。（详见“同城恋”与“异地恋”模型） 【2】如图，⊙O中，AB为直径，点D为半圆AB的中点，点C为⊙O上一点，且点C、D位于AB同一侧，连接AD，BD，AC、BC，BD交AC于点E。 【提示】此为“同城恋”模型结论。（详见“同城恋”与“异地恋”模型） 【3】如图，⊙O为△ABC的外接圆，弦CD平分∠ACB，∠ACB=120o， 【提示】连接AD、BD，则△ABD为等边三角形，根据“托勒密”定理的特殊结论（详见9年级培优：圆的几个特殊结论【结论8】）可知，AC+CB=CD。
【4】如图，⊙O为△ABC的外接圆，弦CP平分△ABC 的外角∠ACQ，∠ACB=90o。 【提示】连接PA，PB，则∠PBA=∠PCA=45o，故P为弧AB中点，再根据“同城恋”模型可得（2）成立。 【5】如图，⊙O为△ABC的外接圆，弦CP平分△ABC 的外角∠BCQ，∠ACB=120o， 【解析】连接PA、PB，在BC上取一点M，使得BM=AC，过点P作PN⊥BC于点 N（如图5-1） 则∠PAB=∠PCB=30o，∠APB=∠ACB=120o， ∴∠ABP=30o，即PA=PB； ∵AC=BM，∠CAP=∠CBP， ∴△CAP≌△MBP，∴PC=PM， ∴点N为CM中点； ∵∠PCN=30o，∴PC∶CN=2∶√3， ∴CM∶PC=√3∶1， ∴（BC-AC）∶PC=√3 【6】如图，圆中的三条弦DE，FG，HK两两相交，交点分别为A，B，C，已知AD=BH=CF，AG=BE=CK，求证：△ABC为等边三角形。 【解析】设AD=BH=CF=m，AG=BE=CK=n，AB=c，BC=a，AC=b， ∵AD·AE=AG·AF，
中考专题——动点问题详细分层解析（一） 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式 例1如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G. (1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度. (2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围). (3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长. 解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、GP 、GH 中,有长度保持不变的线段，这条线段是 GH=32NH=2132?OP=2. (3)△PGH 是等腰三角形有三种可能情况: ①GP=PH 时,x x =+23363 1,解得6=x .经检验, 6=x 是原方程的根,且符合题意. ②GP=GH 时, 23363 12=+x ,解得0=x .经检验,0=x 是原方程的根,但不符合题意. ③PH=GH 时,2=x . 综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段PH 的长为6或2. 二、应用比例式建立函数解析式 例2 如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式； (2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由. H M N G P O A B 图1 x y
运动型问题 第17课时 几何图形中的动点问题 (58分) 一、选择题(每题6分，共18分) 1．[·安徽]如图6－1－1，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3，动点P 满足S △ PAB ＝S 矩形ABCD ，则点P 到A ，B 两点距离之和PA ＋PB 的最小值为( D )13A. B. C.5 D. 2934241 图6－1－1 第1题答图 【解析】 令点P 到AB 的距离为h ，由S △PAB ＝S 矩形ABCD ，得×5h ＝×5131213 ×3，解得h ＝2，动点P 在EF 上运动，如答图，作点B 关于EF 的对称点B ′，BB ′＝4，连结AB ′交EF 于点P ，此时PA ＋PB 最小，根据勾股定理求得最小值为＝，选D. 52＋42412．如图6－1－2，在矩形ABCD 中，AB ＝2a ，AD ＝a ，矩 形边上一动点P 沿A →B →C →D 的路径移动．设点P 经 过的路径长为x ，PD 2＝y ，则下列能大致反映y 与x 的 函数关系的图象是 ( D )【解析】 ①当0≤x ≤2a 时，∵PD 2＝AD 2＋AP 2，AP ＝ x ，∴y ＝x 2＋a 2；② 图6－1－2
当2a ＜x ≤3a 时，CP ＝2a ＋a －x ＝3a －x ，∵PD 2＝CD 2＋CP 2，∴y ＝(3a －x )2＋(2a )2＝x 2－6ax ＋13a 2；③当3a ＜x ≤5a 时，PD ＝2a ＋a ＋2a －x ＝5a －x ， ∴PD 2＝y ＝(5a －x )2，y ＝∴能大致反映y {x 2＋a 2（0≤x ≤2a ），x 2－6ax ＋13a 2（2a 2012年全国中考数学（续61套）压轴题分类解析汇编 专题01：动点问题 25. （2012吉林长春10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm，D、E分别为边AB、BC的中点，连结DE，点P从点A出发，沿折线AD－DE－EB运动，到 点B停止．点P在AD的速度运动，在折线DE－EB上以1cm/s的速度运动．当点P与点A不重合时，过点P作 PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在线段AC上．设点P的运动时间为t(s). （1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为______cm,（用含t的代数式表示）．（2）当点N落在AB边上时，求t的值． （3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式． （4）连结CD．当点N于点D重合时，有一点H从点M出发，在线段MN上以2.5cm/s 的速度沿M-N-M连续做往返运动，直至点P与点E重合时，点H停止往返运动；当点P 在线段EB上运动时，点H始终在线段MN的中心处．直接写出在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围． 【答案】解：（1）t－2。 （2）当点N落在AB边上时，有两种情况： ①如图（2）a，当点N与点D重合时，此时点P在DE上，DP=2=EC，即t－2=2，t=4。 ②如图（2）b，此时点P位于线段EB上． ∵DE=1 2 AC=4，∴点P在DE段的运动时间为4s， ∴PE=t-6，∴PB=BE-PE=8-t，PC=PE+CE=t-4。 ∵PN∥AC，∴△BNP∽△BAC。∴PN：AC = PB：BC=2，∴PN=2PB=16-2t。 由PN=PC，得16-2t=t-4，解得t=20 3 。 综上所述，当点N落在AB边上时，t=4或t=20 3 。 （3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，有两种情况： 2012年全国中考数学(续61套)压轴题分类解析汇编 专题01 :动点问题 25. (2012 吉林长春10 分)如图，在Rt △KBC 中，/ACB=90 °,AC=8cm , BC=4cm , D、E分别为边AB、BC的中点，连结DE,点P从点A出发，沿折线AD —DE —EB运动，到点B停止.点P在AD上以5cm/s的速度运动，在折线DE—EB上以1cm/s的速度运动.当点P与点A 不重合时，过点P作 PQ丄AC于点Q,以PQ为边作正方形PQMN ,使点M落在线段AC 上.设点P的运动时间为t(s). (1 )当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为___________ cm,(用含t的代数式表示). (2)当点N落在AB边上时，求t的值. (3)当正方形PQMN 与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S (cm2), 求S与t的函数关系式. (4)连结CD?当点N于点D重合时，有一点H从点M出发，在线段MN上以2.5cm/s 的速度沿M-N-M 连续做往返运动，直至点P与点E重合时，点H停止往返运动；当点P 在线段EB上运动时，点H始终在线段MN的中心处.直接写出在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围. 【答案】解：(1) t —2。 (2)当点N落在AB边上时，有两种情况: ①如图(2) a ,当点N 与点D 重合时，此时点P 在DE 上，DP=2=EC , 即 t — 2=2 , t=4。 ②如图(2) b ，此时点P 位于线段EB 上. ???DE=1 2 AC=4 ,???点P 在DE 段的运动时间为 4s , ???PE=t -6 ,「.PB=BE-PE=8-t , PC=PE+CE=t-4 。 ???PN //AC , ??? △NP s/BAC 。???PN : AC = PB : BC=2 , /-PN=2PB=16-2t 。 由PN=PC ，得 20 16-2t=t-4 ，解得 t= 。 3 综上所述，当点 20 N 洛在AB 边上时，t= 4 或t= 3 (3)当正方形PQMN 与/ABC 重叠部分图形为五边形时，有两种情况: DP=t-2 , PQ=2 , .-.CQ=PE=DE-DP=4- (t-2 ) =6-t , AQ=AC-CQ=2+t AM=AQ-MQ=t VMN //BC ,./\FM S /ABC °.FM : BC = AM : AC=1 : 2，即 FM : AM=BC : AC=1 : 2。 ①当2 v t v 4时，如图(3) a 所示。 x A O Q P B y 动点问题题型方法归纳 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。 下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 一、三角形边上动点 1、（2009年齐齐哈尔市）直线3 64 y x =- +与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标； （2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式； （3）当48 5 S = 时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标． 提示：第（2）问按点P 到拐点B 所有时间分段分类； 第（3）问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线，③OP 为对角线、OQ 为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。 图（3） A B C O E F A B C O D 图（1） A B O E F C 图（2） y M C D 2、（2009年衡阳市）如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ，∠ABC=60o． （1）求⊙O 的直径； （2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切； （3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((< 中考数学压轴题总结（动点） （一） 因动点产生的相似三角形问题 例1，已知抛物线的方程C 1：1(2)()y x x m m =-+- (m ＞0)与x 轴交于点B 、C ，与y 轴交于点E ，且点B 在点C 的左侧． （1）若抛物线C 1过点M (2, 2)，数m 的值； （2）在（1）的条件下，求△BCE 的面积； （3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H ，使得BH ＋EH 最小，求出点H 的坐标； （4）在第四象限，抛物线C 1上是否存在点F ，使得以点B 、C 、F 为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由． 图1 思路点拨 1．第（3）题是典型的“牛喝水”问题，当H 落在线段EC 上时，BH ＋EH 最小． 2．第（4）题的解题策略是：先分两种情况画直线BF ，作∠CBF ＝∠EBC ＝45°，或者作BF //EC ．再用含m 的式子表示点F 的坐标．然后根据夹角相等，两边对应成比例列关于m 的方程． 满分解答 （1）将M (2, 2)代入1(2)()y x x m m =-+-，得124(2)m m =-?-．解得m ＝4． （2）当m ＝4时，2111(2)(4)2442 y x x x x =-+-=-++．所以C (4, 0)，E (0, 2)． 所以S △BCE ＝1162622 BC OE ?=??=． （3）如图2，抛物线的对称轴是直线x ＝1，当H 落在线段EC 上时，BH ＋EH 最小． 设对称轴与x 轴的交点为P ，那么 HP EO CP CO =． 因此234HP =．解得32 HP =．所以点H 的坐标为3(1,)2． （4）①如图3，过点B 作EC 的平行线交抛物线于F ，过点F 作FF ′⊥x 轴于F ′． 由于∠BCE ＝∠FBC ，所以当CE BC CB BF =，即2BC CE BF =?时，△BCE ∽△FBC ． 中考数学之 动点问题 一、选择题： 1. 如图，在矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC 、CD 、DA 运动至点A 停止，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则△ABC 的面积是（ ） 9 4x y O P D A 、10 B 、16 C 、18 D 、20 二、填空题： 1. 如上右图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE 、AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ.以下五个结论：①AD=BE ；②PQ ∥AE ；③AP=BQ ；④DE=DP ；⑤∠AOB=60°. 恒成立的结论有_______________________（把你认为正确的序号都填上）。 三、解答题： 1．（2008年大连）如图12，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A = 90°，CD = 3，AD = 4，tan B = 2，过点C 作CH ⊥AB ，垂足为H ．点P 为线段AD 上一动点，直线PM ∥AB ，交BC 、C H 于点M 、Q ．以PM 为斜边向右作等腰Rt △PMN ，直线MN 交直线AB 于点E ，直线PN 交直线A B 于点F ．设PD 的长为x ， EF 的长为y ． ⑴求PM 的长(用x 表示)； ⑵求y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围(图13为备用图)； ⑶当点E 在线段AH 上时，求x 的取值范围(图14为备用图)． Q P O B E D C A 图 13 图 14 图 12 A H B C D A H B C D H M Q P D C B A 2.（2008年福建宁德）如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝8厘米，点D 在AC 上，CD ＝3厘米．点P 、Q 分别由A 、C 两点同时出发，点P 沿AC 方向向点C 匀速移动，速度为每秒k 厘米，行完AC 全 程用时8秒；点Q 沿CB 方向向点B 匀速移动，速度为每秒1厘米．设运动的时间为x 秒()80 ＜x＜，△DCQ 的面积为y 1平方厘米，△PCQ 的面积为y 2平方厘米． ⑴求y 1与x 的函数关系，并在图2中画出y 1的图象； ⑵如图2，y 2的图象是抛物线的一部分，其顶点坐标是（4，12），求点P 的速度及AC 的长； ⑶在图2中，点G 是x 轴正半轴上一点（0＜OG ＜6＝，过G 作EF 垂直于x 轴，分别交y 1、y 2于点E 、F ． ①说出线段EF 的长在图1中所表示的实际意义； ②当0＜x ＜６时，求线段EF 长的最大值． 和圆有关的比例线段 【同步达纲练习】(时间：45分钟，满分：100分) 一、填空题(8分×5=40分) (1)⊙O 内弦CD 垂直于直径AB ，E 为垂足，且AE=4cm ，BE=9cm ，CD=_4 _. (2)圆内两相交弦，一弦长3cm 被交点平分，另一弦被交点分成1：4，则此弦长为______. (3)已知圆的切线PT 的长是6cm ，割线PAB 的长是9cm ，则弦AB 的长是______. (4)在直径为2的圆外有一点P 到圆的最近点的距离为3，则过这点的切线长是______. (5)⊙O 的割线PAB 交⊙O 于A 、B 两点，已知：PA=6cm,AB=731 cm,PO=12cm,则⊙O 的半径 为______. 二、选择题(8分×5=40分) (1)圆的两弦相交，一弦被分为12cm 和8cm 两段，另一弦被分为3：8，则另一弦长是( ) A ．11cm B.9 cm C.22cm D.33cm (2)圆内接正方形ABCD 的边长为2,弦AK 平分边BC,则AK 的长为( ) A.556 B.554 C.5 D.221 (3)从圆外一点向半径为9的圆作切线,已知切线长为18,则从这一点到圆的最短距离是 ( ) A.93 B.93-9 C.95-9 D.9 (4)已知⊙O 外一定点P,P 与O 的距离为4cm,从P 点向圆作切线,切线长与圆的半径之差 为2cm,则圆的半径为( ) A.(1+7)cm B.(7-1)cm 或(1+7)cm C.(7-1)cm 或(1+7)cm D.(7-1)cm (5)已知PA 是圆的切线,A 为切点,PBC 是圆的割线,与圆相交于B 、C 两点,若PB=3,BC=6, 则PA 的长为( ) 动点问题专题训练 1、如图，已知ABC △中，10 AB AC ==厘米，8 BC=厘米，点D为AB的中点． （1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在ABC △的哪条边上相遇？ 2、直线 3 6 4 y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点 Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动．（1）直接写出A B 、两点的坐标； （2）设点Q的运动时间为t秒，OPQ △的面积为S，求出S与t之间的函数关系式； （3）当 48 5 S=时，求出点P的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四 边形的第四个顶点M的坐标． 3如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k） 是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P. （1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由； （2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？ 4 如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4）， 点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H． （1）求直线AC的解析式； （2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出 自变量t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，当 t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC 所夹锐角的正切值． A Q C D B P x A O Q P B y y —x 2+ bx + c 与 x 轴交于 A (5, 0)、B (- 1, 0)两 点，过点A 作直线AC 丄x 轴，交直线y =2 x 于点C ; (1 )求该抛物线的解析式; (2)求点A 关于直线y =2x 的对称点A '的坐标，判定点A '是否在抛物线上，并说明理由; (3 )点P 是抛物线上一动点，过点 P 作y 轴的平行线，交线段 CA '于点M ，是否存在这样的点 P , 使四边形PACM 是平行四边形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由. / \ / /. r 习 O /A x 分析： (1、利用待定系数法求出抛物线的解析式; (2 )首先求出对称点 A '的坐标，然后代入抛物线解析式，即可判定点 A '是否在抛物线上?本问关 键在于求出A '的坐标?如答图所示，作辅助线，构造一对相似三角形 Rt △A t A“Rt △OAC ，禾U 用相 似关系、对称性质、勾股定理，求出对称点 A '的坐标； (3)本问为存在型问题?解题要点是利用平行四边形的定义，列出代数关系式求解?如答图所示， 平行四边形的对边平行且相等，因此 PM = AC =10 ;利用含未知数的代数式表示出 PM 的长度，然 后列方程求解. 可+5b 心0 1 ， 解得 丄-b+c=O 4 (2014 ?济宁，第22题11分)如图，抛物线 解答：解：(1 )：y = —x 2+ bx + c 与 x 轴交于 A (5, 0)、 B (- 1 , 0、两点, 抛物线的解析式为 (2、如答图所示，过点A '作A'E丄x轴于E, AA '与OC交于点D , 中考数学复习动点问题的 解题技巧 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020 在运动中分析在静态中求解 动态几何问题已成为中考试题的一大热点题型．这类试题以运动的点、线段、变化的角、图形的面积为基本条件，给出一个或多个变量，要求确定变量与其他量之间的关系，或变量在一定条件为定值时，进行相关的几何计算和综合解答，解答这类题目，一般要根据点的运动和图形的变化过程，对其不同情况进行分类求解，本文以一道中考题为例，谈谈此类问题的思路突破与解题反思，希望能给大家一些启发． 题目如图1，已知点A(2，0)，B(0，4)，∠AOB的平分线交AB于点C，一动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度，沿y轴向点B作匀速运动，过点P且平行于AB的直线交x轴于点Q，作点P、Q关于直线OC 的对称点M、N．设点P运动的时间为t(0 有最大值若有，写出S的最大值；若没有，请说明理由． 一、探求解题思路 1．利用基础知识轻松求解 由题意不难发现第1问是对基础知识的考查，有多种方法，考生可自行选择解法， 简解1 可通过作辅助线，过点C作CF上x轴于点F，CE⊥y轴于点E，由题意，易知四边形OECF为正方形，设正方形边长为x．由比例式求出 点C的坐标(4 3 ， 4 3 )． 简解2 由点A、B的坐标可得直线AB的解析式y＝－2x＋4；由OC是∠AOB的平分线可得直线OC的解析式y＝x；联立方程组轻松解得点C的坐 标(4 3 ， 4 3 )． 关于求点M、N的坐标，是对相似及对称性的考查，根据相似可得P(0， 2t)，Q(t，0)，根据对称性可得M(2t，0)，N(0，t).这样，第1问轻松获解． 2．动静结合找界点，分类讨论细演算中考数学压轴题专题 动点问题
中考数学压轴题专题：动点问题
历年中考数学动点问题题型方法归纳
中考数学压轴题(动点)
中考数学动点问题(含答案)
和圆有关的比例线段
(完整)初三数学几何的动点问题专题练习及答案
中考数学压轴题(对称问题、双动点对称问题)
中考数学复习动点问题的解题技巧
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