知识点、重点、难点
在圆中，有相交弦定理、切割线定理及其推论，这些定理统称圆幂定理。 1.相交弦定理：圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的积相等。 推论：若弦与直径垂直相交，则弦的一半是它分直径所成的两部分的比例中项。
2.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段的积相等。
3.与圆有关的比例线段问题的一般思考方法：(1)直接应用圆幂定理； (2)找相似三角形，当证明有关线段的比例式、等积式不能直接运用基本定理时，通常是由“三点定形法”证三角形相似，其一般思路为等积式→比例式→中间比→相似三角形。
圆幂定理用乘积的形式反映了圆内的线段的比例关系，它们之间有着密切的联系，我们应当熟悉以下基本图形。
例题精讲
例1：如图，已知⊙1O 与⊙2O 相交于A 、B 两点，过点A 作⊙1O 的切线，交⊙2O 于点C ，过点B 作两圆的割线分别交⊙1O 、⊙2O 于点D 、E ，DE 与AC 相交于点P .当AD 与⊙2O 相切，且PA = 6，PC =2，PD =12时，求AD 的长。
解 连结AB .因为CA 切⊙1O ；于点A ，所以∠1 =∠D ．又∠1=∠E ，所以∠D =∠E .又∠2=∠3，
所以△APD ∽△CPE ，所以PA PD
PC PE
=， 即PA ·PE = PC ·PD ．因为PA =6，PC =2，PD =12，得6×PE =2×12，得
PE =4.由相交弦定理得PE ·PB =PA ·PC ，所以4PB =6×2，得PB =3.所以BD = PD －PB =9，DE =DP ＋PE =12＋4=16.因为DA 切⊙2O 于点A ，所以DA 2
= DB ·DE ，即AD 2
=9×16，得AD ＝12.
例2：如图，已知圆内接四边形ABCD ，延长AB 、DC 交于E ，延长AD 、BC 交于F ，EM 、FN 为圆的切线，分别以E 和F 为圆心、EM 和FN 为半径作弧，两弧交于K ，求证：EK ⊥FK ．
证明 连结EF ，过B 、C 、E 三点作圆交EF 于H ，连结CH .因为B 、C 、H 、E 共圆，所以∠1=∠2.因为A 、B 、C 、D 共圆，所以∠1=∠3，于是∠2 =∠3，故D 、C 、H 、F 共圆．由切割线定理得EM 2
=EC ·ED =EH ·EF ，FN 2
= FC ·FB=FH ·FE ，所以EM 2
＋FN 2
=(EH ＋FH )·EF =EF 2
．又因为EM=EK ，FN=FK ，所以EK 2
＋FK 2
=EF 2
．故△EKF 为直角三角形，且∠EKF =90°，即EK ⊥FK .
例3：如图，⊙1O 与⊙2O 相交于P 、Q 两点，在公共弦QP 延长线上取一点M ，过M 作两圆割线分别交两圆于A 、B 、C 、D . 求证：
.AD BD DM
AC CB CM
=
证明 由切割线定理得MA ·MB = MP ·MQ
=MC ·MD ，所以A 、B 、D 、C 四点共圆，可得∠ADB =∠ACB .又
11
sin ,sin 22
ADB ACB S AD BD ADB S AC BC ACB ??=
∠=∠，所以.ADB ACB S AD BD
S AC BC
??=过C 作CG ⊥MB ，垂足为G ，过D 作DH ⊥MB ，垂足为H .所以CG ∥DH ，得△MGC ∽△MHD ，得.ADB ACB S DH DM
S CG CM
??=
=所以AD BD AC BC =
.DM
CM
例4：如图，两个同心圆的圆心为O ，大圆的弦AD 交小圆于B 、C ，大 圆的弦AF 切小圆于E ，经过B 、E 的直线交大圆于M 、N ，求证：(1) AE 2
=
BN ·EN ；(2)若AD 经过圆心O ，且AE = EC ，求 ∠AFC 的度数。
证明 (1)因为AE 、ABC 分别是小圆的切线和割线，所以AE 2
=AB ·AC ①
作OH ⊥AD 于H ，则AH = DH ，BH = CH ，所以AB = CD .同理得BM =EN .由相交弦定理得AB ·BD = MB ·BN .所以AB ·AC = EN ·BN . ②
由①② 得AE 2
= EN ·BN .
(2)连结OE ，因为AF 是切线，所以OE ⊥AF 于E ，
所以AE = EF .因为AE = EC = EF ，所以易证得∠ACF = 90°.因为AD 过圆心D ，所以FC 是小圆的切线。所以FC =FE =EC ，所以∠AFC = 60°. 例5：从圆外一点P 作⊙O 的切线，切点为Q ，割线PBC 与圆交于B 、C
两点，∠QPC 的平分线分别交QC 、QB 于E 、D ，求DB EC
QB QC
+的值。 解 在△QPC 中，由PE 平分∠QPC ，得
.QE PQ
EC PC
= ① 同理，在△QPB 中有
.QD PQ
DB PB = ② 于是①×②得
2
.QE QD PQ EC DB PB PC
= ③ 又PQ 为圆的切线，PBC 为圆的割线，故2
PQ = PB ·PC .④
把④代入③得QE ·QD = EC ·BD ，所以(QC －EC )·(QB －DB ）=EC ·BD ，即QB ·EC ＋QC ·BD ＝QB ·QC ，从而
1.EC BD
QC QB
+=
例6：如图，已知⊙1O 经过⊙2O 的圆心2O ，且与⊙2O 相交于A 、B 两点， 点C 为2AO B 上的一动点（不动至A 、B ），连结AC 并延长交⊙2O 于点P ，连结BP 、BC .
（1）先按题意将图156补完整，然后操作、观察。图156供操作观察用，操作时可使用量角器与刻度尺，当点C 在2AO B 上运动时，图中有哪些角的大小没有变化；
（2）请猜想△BCP 的形状，并证明你的猜想（图157供证明用）； （3）如图158，当PA 经过点2O 时，AB ＝4，BP 交⊙1O 于D ，且PB 、
DB 的长是方程2
100x kx ++=的两个根，求⊙1O 的半径。
解 (1)①按题意将图补完整；②∠ACB 、∠APB 、∠CBP 的大小没有变化；
(2) △BCP 是等腰三角形。证明：连结2O A ，则∠2BO A =∠ACB ，
∠2BO A =2∠P ，所以∠ACB = 2∠P .又∠ACB ＝∠P ＋∠PB C ，所以 ∠P =∠PBC ，即△BCP 是等腰三角形；
(3)连结21O O ，并延长交AB 于E ，交⊙1O 于F.设⊙1O 、⊙2O 的半径
分别为r 、R ，所以2O F ⊥AB ，EB =
1
2AB = 2.因为PDB 、2PO A 是⊙1O 的割线，所以PD ·PB =2PO ·PA =2R 2．因为PB 、BD 是方程2
100
x kx ++=的两根，所以PB ·PD =10．因为PD ·PB = (PB －BD ) ·PB =PB 2
－PB ·BD ＝PB 2－10，所以PB 2－10＝2R 2
.①
因为AP 是⊙2O 的直径，所以∠PBA =90°，所以PB 2 = PA 2－AB 2
，所以
PB 2 = 4R 2
－16．②
由①②得R =13，在Rt △2O EB 中，22
22134O E O B BE =-=-=3.
由相交弦定理得EF ·2EO ＝AE ·BE ，所以EF =4
3
，所以1413(3),236r =+=
所以⊙1O 的半径为13
.6
A 卷
一、填空题
1.如图，已知PT 切⊙O 于T ，PAB 为经过圆心O 的割线．如果PT =4，PA =2，那么cos ∠BPT 的值等于 。
2.如图， PA 是⊙O 的切线，A 为切点，PBC 是⊙O 的割线，且PB =
1
2
BC ，则PA ：PB 的值
为。
3.已知⊙O的半径为4 cm，P是圆外一点，经过圆心的割线PAB的长是12 cm. PT是切线，T为切点，则切线PT的长是。
4.如图，已知⊙O的半径OA=5，P是OA上一点，且
AP=2，弦MN过P点，且MP：PN=1：2，那么弦心
距OQ的长为。
5.如图，AB为半圆的直径，C为半圆上一点，CD⊥
AB于D；若CD=6，AD：DB=3：2，则AC·BC等
于。
6.如图，AB为OD的直径，弦AC、BD相交于点P．若
AB = 3，CD =1，则∠APD的正弦值为。
7.如图，已知⊙O的弦AB、CD相交于点P，PA =4cm，
PB=3 cm，PC =6cm，EA切⊙O于点A，AE =25cm，
则PE的长为。
8.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，
∠APB=60°，点P到圆心的距离PO=4，则点P到
⊙O的切线长为。
9.如图，PA是⊙O的切线，A是切点，PBC是⊙O
的割线。若PA=20，PC = 40，弦BC的弦心距OD=8，
则⊙O的半径为。10.如图，AB是半圆的直径，O为圆心，P是AB
延长线上的一点，PC切圆于C，CD⊥AB于D.
已知AD：DB=4：1，PC=2，则BP的长
为。
二、解答题
11.如图，设C为线段AB的中点，BCDE是以BC
为边的正方形，以B为圆心，BD为半径的圆与
AB及延长线分别交于点H及K，求证：
（1）HC·CK＝AC2；（2）AH·AK＝2 AC2
12.如图，已知△ABC为锐角三角形，以BC为直径作圆O，AD为⊙O的切线，AE=AD，过E作AB的垂线交AC的延长线于F.
求证：（1）
AB AE
AF AC
=；（2）.
ABC AEF
S S
??
=
13.如图，已知AB是圆的直径，AD为圆的切线，FB 和DB是圆的割线，分别交圆于E、C，求证：BE·BF = BC·BD.
14.如图，△ABC内接于⊙O，P为⊙O外的一点，作
∠CPD = ∠A，使PD交⊙O于D、E两点，并与AB、AC分别交于点M、N.
求证：DN·NE = MN·NP.
B卷
一、填空题
1.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC的
平分线交⊙O于D，交AC于E.若⊙O的半径为5，BC
=6，那么DE的长为。
2.如图，PT是⊙O的切线，T为切点，PA是割线，交
⊙O于A、B，与直径CT交于点D.已知CD =2，AD =3，
BD=4，那么PB的长是。
3.如图，过半径为1的圆上一点C作圆的切线与该圆
直径AB的延长线交于点P，CD⊥AB交AB于E，交
圆于D．如果∠APC = 30°，则AC的长是。
4.如图，⊙O的半径OA上一点P，使AP= 2，弦MN
过P点，且MP：PN=1：2.若弦心距OQ =7，则
⊙O的半径长是。
5.如图，AB为⊙O的直径，CB切⊙O于B，CD切⊙O于D，交BA的延长线于E.若AB = 3，ED =2，则BC的长为。
6.如图，AE切⊙O于D，并和弦CB的延长线交
于A，CD平分∠BDE，CD = 7，AD =12，则AC
的长是。
7.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，⊙O过A、
B两点且与BC切于B，与AC交于D，连结BD．若BC
=51
，则AC = 。
8.如图，AB和AC分别是⊙O的弦和切线，A为切点，
AD为∠BAC的平分线，且交⊙O于D、BD的延长线与
AC交于C.若AC=6，AD=5，则CD= 。
9.如图，⊙
1
O和⊙
2
O相交于A、B两点，P在BA
的延长线上，过点P作⊙
1
O的割线交⊙
1
O于C、D，
作⊙
2
O的切线PE切⊙
2
O于E.若PC =4，CD =8，
则PE的长是。
10.如图，已知AD是圆的弦，BD= CD，DE是
圆的切线且与弦AB的延长线相交于点E.若AD
=10，则AC ·AE = 。
二、解答题
11.如图，⊙1O 和⊙2O 外切于P 点，一外公切线分别切两圆于A 、C 两点，AB 为圆的直径，过B 作⊙2O 的切线BQ ，切点为Q ，求证BQ =AB ．
12.如图，自圆O 外一点P 向圆O 作切线PA ，切点为A ，再由PA 的中点M 作圆O 的割线和圆O 交于B 、C 两点，PB 、PC 分别交圆O 于D 点和E 点，求证：DE ∥PA.
13.如图，圆的三条弦1PP 、1QQ 、1RR 两两相交，交点分别是A 、B 、C . 已知AP =BQ=CR ，1AR ＝1BP = 1CQ ，求证：△ABC 是正三角形。
14.如图，PA 、PB 切圆O 于A 和B ，PO 交AB 于M ，过M 任作一弦CD ，求证：∠APC =
∠BPD .
C 卷
一、填空题
1. PA 切⊙O 于A ，AB 是⊙O 的弦。若⊙O 的半径R =1，PA =1，AB =2，那么PB 的长为 。
2.如图，△ABC 内接于⊙O ，且∠ABC = 60°，AD 是⊙O 的直径，过D 点作⊙O 的切线交AC 的延长线于E .若CE 6
3
，AB =2，则AC = 。
3.如图，⊙1O 与⊙2O 交于A 、B 两点，CA 是⊙2O 的直径，延长CA 、CB 分别交⊙1O ，于D 、E .若CA = 6，BE =11，且DA = BC ，则AB 的长是 。
4.如图，已知AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，割线CDF 交AB 于E ，且CD ：DE ：EF =1：2：1.若AC =4，则⊙O 的直径AB = 。
5.如图，已知CD 是⊙O 的切线，切点为D ，CA
是过圆心的割线，过B作⊙O的切线交CD于E，DE：EC=1：2，则CD：CA= 。
6.如图，PA是⊙O的切线，A是切点，PB是割
线，点B、C是它与⊙O的交点，且AC= 3，
PC = 5，∠ACB=60°，则BC= 。
7.如图，半径为1的圆经过原点，并且与y轴，x
轴的正半轴分别交于A、B两点，过点B作此圆
的切线交y轴于C点，且点A的纵坐标是1，则
C点的坐标是。
8.如图，以Rt△ABC的直角边AC为直径作半圆，交
斜边AB于D，E为AB上一点，EC交半圆于F.若
EF=FC=10，AC =10，则BC= 。
9.如图，已知⊙O的半径是2 cm，PAB是⊙O的
割线，PA＝3 cm，AB＝1 cm，PC是⊙O的切线，
C是切点，CD⊥PO，垂足为D，则CD= 。
10.如图，若PA = PB，∠APB=2∠ACB，AC与PB 交于点D，且PB = 4，PD=3，则AD·DC的值是。
二、解答题
11.如图，⊙
1
O与⊙
2
O相交于M、N两点，公切线为AB与CD，直线MN 交AB于P，交CD于Q，求证：PQ2= AB2＋MN2.
12.如图，⊙
1
O与⊙
2
O外切于P，从⊙
1
O上一点A向⊙
2
O引切线AB，B
为切点，连结AP并延长交⊙
2
O于C，⊙
1
O、⊙
2
O的半径分别为
1
r、
2
r，求证：
2
12
2
1
.
r r
AC
AB r
+
=
13.已知圆内接四边形ABCD，延长AB、DC交于E，延长AD、BC交于F，EM、FN为圆的切线，分别以E和F为圆心，EM和FN为半径作弧，两弧交于K，求证：EK⊥FK．
14.如图，已知点P是⊙O外一点，PS、PT是⊙O的
两条切线，过点P作⊙O的割线PAB，交⊙O于A、
B两点，与ST交于点C，求证：
1111
().
2
PC PA PB
=+
三年级奥数精讲与测试方阵问题 【基本知识点】 概念： 横着的排叫行；竖着的排叫列。行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形叫方队，也叫方阵。 特点： 1、方阵无论在哪一层，每边上的人（或物）数量都相同，每向里一层，每 边上的人数就少 2. 2、每边人（或物）数和四周人（或物）数的关系： 四周人（或物）数=[每边人（或物）数-1] ×4 每边人（或物）数=四周人（或物）数÷4+1 3、整个方阵总人（或物）数=每边人（或物）数×每边人（或物）数 【例题】 1、有一个正方形操场，每边都载17棵树，四个角各种1棵，共种多少棵？ 答案： 642、某校四年级的同学排成一个方阵，最外层的人数为80人，问最外一层每边上有多少人？，这个方阵共有四年级学生多少人？ 答案：441 3、妈妈用围棋子围成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子16个，妈妈摆这个方阵共用了多少个围棋子？答案;156
4、一堆围棋子，排成一个实心方阵，后来又添进21只棋子，使横竖各增加一排，成为一个新的实心方阵，求原来实心方阵用了多少只棋子？ 答案：100 5、有一堆棋子排成实心方阵多余3只，如果纵、横各增加一排，则缺8只，问一共有棋子多少？ 答案： ;8 【练习】 1、用棋子排成一个正方形，共排成9排，每排9个，排成这个正方形共用＿＿81枚棋子。 2、有一个正方形池塘，四个角上都栽一棵树，如果每边栽6棵，四边一共栽20＿＿课树。 3、有一个正方形池塘，四个角上都栽1棵树，四边一共栽24棵树，每边栽＿7＿棵树。 4、在大楼的正方形场地的四边竖电线杆，四个角上都是一根，一共竖28根，则场地的每边竖8＿＿根。 5、方阵每边的实物数量＿相等＿，相邻两层每边实物数量相差＿2＿，相邻两层实物数量相差＿8＿。 6、小明用棋子排成一个五层空心方阵，外层每边有15个棋子，这个空心方阵用有棋子＿＿个。200 7、向阳小学有576名学生，进行列队训练，若排成三层空心方阵，这个方 阵的最外层有＿＿人。51 8、新华小学四年级学生排成一个实心方阵，还多9人，如果横竖各增加一排，成为大一点的实心方阵，又差24人，求四年级学生共有多少人？256
例1．求证：⑴8︱(551999＋17)；⑵ 8︱(32n ＋7)；⑶ 17︱(191000?1)。 例2．求使2n ?1为7的倍数的所有正整数n 。 例3．把1、2、3、…、127、128这128个数任意排列为a l 、a 2、…、a 128，计算出、、…、，再将这64个数任意排12a a -34a a -127128a a -列为b 1、b 2、…、b 64，计算出、、…、。如此继12b b -34b b -6364b b -续下去，最后得到一个数x ，问x 是奇数还是偶数？ 例4．m 、n 是正整数，证明：3m +3n +1不可能是完全平方数。 例5．任意平方数除以4，余数为0或1(这是平方数的重要特征)。 例6．任意平方数除以8余数为0，1，4(这是平方数的又一重要特征）。
A卷 一、填空题 01.a除以5余1，b除以5余4。如果3a＞b，那么3a?b除以5的余数是__________。 02. 71427和19的乘积被7除，余数是__________。 03. 1+22+33+44+55+66+77+88+99≡__________ (mod3)。 04. 一个数除以3余2，除以4余1，这个数除以12的余数是__________。05. 今天是星期一，过21995是星期__________。 06. 10100被7除的余数是__________。 07. 1至5 000之间同时被3、5、7除都余2的数有__________个。 08. 1至1 000之间同时被2、3、7除都余1的数有__________个。 09.用除以7，余数是__________。 19943 3333 个 10. 1993年的元旦是星期五，那么1996年五月一日是星期__________。 二、解答题 11.甲、乙两数都只含有质因数3和5，它们的最大公约数是75。已知甲数有12个约数，乙数有10个约数，那么甲、乙两数的最小公倍数是多少？
例1．如图，P是△ABC内任一点，求证： 1 2 (a+b+c)＜PA+PB+PC＜a+b+c。 例2．如图，在△ABC中，∠B=2∠C，求证：AC＜2AB 。 例3．如图，设正△AB C的边长为2，M是AB边上的中点，P是BC边上 的任意一点，PA+PM的最大值和最小值分别为S和t，求S2?t2的值。 例4．如图，△ABC中，BC为最大边，AB=AC，CD=BF，BD=CE，求∠ DEF的取值范围。 例5．已知一平面内的任意四点，其中任何三点都不在一条直线上，试问： 是否一定能从这样的四点中选出三点构成一个三角形，使得这个三角形至 少有一内角不大于45°？请证明你的结论。
A 卷 一、填空题 01．在周长为a 的等腰三角形中，腰长x 的取值范围是__________。 02．如图260，在△ABC 中，若AB=5，AC=3，则BC 边上的中线MA 的取值范围是__________。 03．在△ABC 中，若∠A=58°，AB ＞BC ，那么∠B 的取值范围是__________。 04．根据绝对值的几何意义，代数式321x x x ++-++的最小值为__________。 05．在锐角△ABC 中，a=1，b=3，则第三边。的变化范围是__________。 06．在△ABC 中AB ＞AC ，∠A 的平分线交BC 于D ，则BD_____CD （填“＞”或“＜”）。 07．如图261，设△ABC 为等边三角形，P 是任意点，则PB +PC ____PA （填“＜”、“＞”或“＝”）。 08．已知直角梯形ABCD ，AD ∥BC ，∠DAB=∠CBA=90°，O 为DC 的中点，则OA _____OB （填“＞”、“＝”或“＜”）。 09．如图262，五边形ABCDE 中，AB=AE ，BC +DE=CD ，∠ABC +∠AED=180°，连结AD ，则∠ADE_______∠ADC(填“＞”、“＝”或“＜”）。 10．如图263，△ABC 中，AB ＞AC ，P 是∠A 平分线AD 上一点，则PB ?PC_______（填“＞”或“＜”）AB ?AC 。 二、解答题 11．如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥DF ，试判断BE +CF 与EF 的大小关系，并证明你的结论。 12．如图，已知∠MON 内有一点P ，分别在OM 与ON 上，求作点A 与点B ，使△APB 的周长最小。
奥数精讲与测试三年级逆推问题 例题： 1、某数如果先加上3，再乘以2，然后除以3，最后减去2，结果是10，问原数是 多少？ 2、小明从家到学校去，先走了全长的一半后，又走了剩下路程的一半，这时离学校 还有1千米，问小明家到学校共多少千米？ 3、做一道整数加法题时，一个学生把个位上的6看作9，把十位上的8看作3，结 果得出和为123，问正确的和是多少？ 4、学生做纸花，第一天做了总数的一半多10朵，第二天又做了余下的一半多10 朵，还有25朵没有做，问这批纸花一共有多少朵？ 5、某水果店运进一批苹果，运进苹果是原有苹果的一半，原有的西瓜卖掉一半以后， 恰好与现有的苹果一样多。已知原有苹果有800千克，问原有西瓜多少千克？ 6、小丽用4元钱买了一本《好儿童》，又用剩下钱的一半买了一本《儿童画报》，买 钢笔又用去剩下钱的一半多一元，最后还剩4元钱，问小丽原来有多少钱？
【练习】 1、某数加上3，乘以5，再加上7，除以8 ，减去9，再用4乘，恰好等于100，这个数是＿＿。 2、1997年是香港回归祖国的一年，张老师说：“把我的年龄乘以4后减去17，再乘以10后加上7，正好等于1997.请同学们算一算，我今年几岁？”张老师今年＿＿岁。 3、百货商店出售彩色电视机，上午售出总数的一半又3台，下午售出余下的一半又7台， 还剩4台，商店里原来有电视机＿＿台。 4、芳芳在做一道加法题时，把一个加数个位上的5错写成了6，又把另一个加数十位上的 8错写成1，最后得到的和是472，这题正确的答案是多少？ 5、一桶油，第一次用去全部的一半，第二次用去余下的一半，还剩12千克。这桶油原来 重＿＿千克。 6、三只金鱼缸里共有15条金鱼，如果从第一只缸中取出2条金鱼放入第二缸，再从从第 二缸中取出3条金鱼放入第三缸中，那么三只金鱼缸里的金鱼条数一样多。原来第一只缸有金鱼＿＿条，第二只缸有金鱼＿＿条，第三只缸有金鱼＿＿条。
例1．如图，OA=OB，OC=OD，求证：∠AOE=∠BOE。 例2．如图，等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，CE⊥AD于F交A B于E，求证：∠CDF=∠BDE。 例3．如图，在△ABC中AB=AC，直线l过A且l∥BC，∠B的平分线与AC交于D，与l交于E，∠C的平分线与AB交于F，与l交于G。求证：DE=FG。 例4．如图，直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A=30°，分别以AB、AC 为边在△ABC的外侧作正△ABE和正△ACD，DE与AB交于点F，求证：EF=FD。例5．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD为∠ABC的平分线，求证：AD+BD=BC。 例6．如图，△ABC是边长为1的正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB于M，交AC于N，连接MN，形成一个三角形AMN。求证：△AMN的周长等于2。 例7．如图，在△ABC中，∠A＜60°，以AB、AC为一边，分别向外作等边△ABD和△ACF，又以BC为边向内作等边△BCE，连结DE，EF。求证：AD∥EF。 例8．已知△AB C中AB=AC，CE是边AB上的中线，延长AB到D，使BD=AB，求证CE= 1 2 CD 。 A卷
一、填空题 01．如图9，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，∠CBA的平分线交AC于D，过C作BD的垂线，垂足为E，CE和BA的延长线相交于F。若CE=5，则BD=________。 02．如图10，AE=AF，AB=AC，∠A=60°，∠B=24°，则∠BCE=________。03．如图11，在等边△ABC中，AD=BE=CF，若三个全等的三角形为一组，则图中共有________组全等三角形。 04．如图12，D是等边△ABC内一点，DB=DA，BE=BC，∠DBE=∠DBC，则∠BED=_______。 05．如图13，△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC于D，且AB+BD=DC，则∠C=_______。 06．如图14，正方形ABCD边长为1，P、Q分别是边BC、CD上的点，连结PQ。若△CPQ的周长是2，则∠PAQ=________。 07．如图15，C是线段BD上一点，分别以BC、CD为边长，在BD同侧作等边三角形BCA和等边三角形CDE，连结BE、AD，分别交AC于M，交CE于N。若CM=x，则CN=________。 08．如图16，△ABD中，∠BAD=45°，AE⊥BD于E，DF⊥AB于F，交AE于G。若BE=4，DE=4，则AG=________。09．如图17，△ABC和△BDE都是等边三角形，且A、D、E在一条直线上。若BE=2，CE=4，则AE=_______。 10.如图18，等边△ABC中，E、D分别是CA延长线，AB 延长线上的点，且BD=AE，连结EB并延长交CD于F， 则∠BFC=_______。 二、解答题 11．如图19，已知CD、BE相交于A，M是BC的中点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：△BMD≌△CME。 12．如图20，已知过△ABC的顶点A，在∠BAC内部任意作一条射线，过B、C分别作此射线的垂线段BD、CE，M为BC中点。求证：MD=M E。
第14讲数学趣味题 一、知识要点 在日常生活中，常有一些妙趣横生、带有智力测试性质的问题，如：3个小朋友同时唱一首歌要3分钟，100个小朋友同时唱这首歌要几分钟？类似这样的问题一般不需要较复杂的计算，也不能用常规方法来解决，而常常需要用小朋友的灵感、技巧和机智获得答案。 对于趣味问题，首先要读懂题意，然后要经过充分的分析和思考，运用基础知识以及自己的聪明才智巧妙地解决。 二、精讲精练 【例题1】如果每人步行的速度相同，2个人一起从学校到儿童乐园要3小时，那么6个人一起从学校到儿童乐园要多少小时？ 练习1： 1、3个人同时唱3首歌用9分钟，9个人同时唱同样的3首歌用几分钟？ 2、5只猫5天能捉5只老鼠，照这样计算，要在100天里捉100只老鼠要多少只猫？ 3、6个人从甲地到乙地用4小时，如果每人的步行速度相同，那么3个人从甲地到乙地要用几小时？ 【例题2】一条毛毛早由幼虫长成成虫，每天长大一倍，30天能长到20厘米。 问长到5厘米时要用多少天？ 练习2： 1.有一个池塘中的睡莲，每天长大一倍，经过10天可以把整个池塘全部遮住。 问睡莲要遮住半个池塘需要多少天？
2.一条小青虫由幼虫长成成虫，每天长大一倍，20天能长到36厘米。问长到9厘米时要用几天？ 3.一条毛毛虫由幼虫长成成虫，每天长大一倍，15天能长到4厘米。问要长到32厘米共要多少天？ 【例题3】小猫要把15条鱼分成数量不相等的4堆，问最多的一堆中最多可放几条鱼？ 练习3： 1.小明要把20颗珠子分成数量不等的5堆，问最多的一堆中最多可放几颗珠子？ 2.老师为共有18人的舞蹈队设计队形，要求分成人数不等的5队，问最多的一队最多可排几人？ 3.兔妈妈拿来1盘萝卜共25个，分给4只小兔，要使每只小兔分得的个数都不同。问分得最多的一只小兔至多分得几个？ 【例题4】把100只桃子分装在7个篮子里，要求每个篮子里装的桃子的只数都带有6字。想一想，该怎样分？ 练习4： 1.把100个鸡蛋分装在6个盒里，要求每个盒里装的鸡蛋的数目都带有6字，想想看，应该怎样分？ 2.有人认为8是个吉祥数字，他们得到的东西的数量都要含有数字8。现在有200块糖要分给一些人，请你帮助设计一个吉祥的分糖方案。 3.7只箱子分别放有1只、2只、4只、8只、16只、32只、64只苹果，现在要从这7只箱子里取出87只苹果，但每只箱子内的苹果要么全部取走，要么不取。 你看该怎么取？
例1．已知多项式A=(5m+1)x2+(3n?2)xy?5x+17y，B=6x2?5mxy?11x+9。 当A与B的差不含二次项时，求(?1)m+n［?3m+4n?(?n)m］的值。 例2．若m=?1998，求∣m2+11m?999∣?∣m2+22m+999∣+20的值。 例3．已知m2+m?1=0，求m3+2m2+2007的值。 例4．当x=?5时，多项式ax7+bx5+cx?9的值等于7。求x=5时，多项式ax7+bx5+cx+2024的值。 例5．计算(a+b+c)(a+b?c)(a?b+c)(?a+b+c)例6．设N=(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)，求N的个位数字。 例7．计算(a?b)3+(b?c)3+(c?a)3?3(a?b)(b? c)(c?a) 例8．计算(x l0+x9+x8+?+x+1)(x l0?x9+x8???x+1)展开式中奇数次各项的系数之和． 例9．计算： ⑴(x3?6x2+11x?6)÷(x?2)； ⑵(x4+3x3+16x?5)÷(x2?x+3)
A 卷 一、填空题 01．下列代数式x 、13-、215xy - 、 9a b +、2xy x y +、12ab c +、21123 x x ++、219t -、2 t ，单项式有_________________，多项式有_________________。 02．单项式54 xyz -的系数为___________，次数是___________。 03．将多项式?x 2y +6xy ? 15 x 3 ?7y 3+4按x 的升幂排列是________________， 按y 的降幂排列为_________________。 04．多项式?y 4+2x 2y 3? 12 x 3+ x 4y 6 是按_________________排列。 05．一个关于字母y 的四次五项式，奇数次项的系数都是1，偶数次项的系数都是?1，则这个多项式是______________。 06．多项式?7(a +b )2+2?(a +b )3+(a +b )按a +b 的降幂排列为______________ ________________。 07．(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)(716+1)＝_________________。 08．化简(x ? 12)( x 2+12x +14)(x 3+1 8 )＝_________________。 09．x 285?x 83+x 7l +x 9?x 3+x 除以x ?1所得的余数为______________。 10．已知x ?by =y ?ax =bx +ay =1，且ab ≠1，a 2+b 2+ab +a +b =____________。 11．已知正整数a 、b 、c (其中c ≥3)，a 除以c 余1，b 除以c 余2，ab 除以 c 的余数是__________。 12．三次多项式f (x )除以x 2?1的余式是2x ?5，除以x 2?4的余式是?3x +4，则f (x )=____________。 二、解答题 13．求x 2008?x 2007+5x 2006?x 3被x +1除，所得的余数。 14．已知x ?y +4是x 2?y 2+m x +3y +4的一个因式，求m 的值。 15．已知x +y +z =a ，x 2+y 2+z 2=b 2， x 3+y 3+z 3?3xyz =c 3。 求证：3ab 2＝a 3+2c 3
EET国际教育三年级数学第六讲定义新运算 知识点，重点，难点 将数或表示数的字母用运算符号连接起来的式子叫代数式。在代数式中某种特定的符号也可以充当运算符号，按照一定的要求形成新的运算，这就是定义新运算。 在解决定义新运算的问题中，关键的一条是：抓住定义这一点不放，在计算时，严格遵照规定的法则代入数值。还有一个值得注意的问题是：定义一个新运算，这个新运算往往不满足加法。乘法所满足的运算定律，因此在计算新运算是否具有这些性质之前，不能运用这些性质来解题。 例1：设a，b都表示数，规定 a△b=3×a-2×b. （1）求3△2，2△3； （2）这个运算"△"有交换律吗？ （3）求（17△6)△2,17△(6△2); （4）这个运算"△"有结合律吗？ （5）如果已知4△b=2,求b。 分析：本题规定的运算的本质是用运算符号求前面的数的3倍减去符号后面的数的2倍。 例2：定义运算※为a※b= a×b-(a+b)。 1.求5※7，7※5； 2.求12※(3※4)，(12※3)※4； 3.这个运算"※" 有交换率，结合律吗？ 4.如果3※(5※3)=3，求x。 例3：有一个数学运算○，下列算式成立：2○4=8，5○3=13，3○5=11，9○7=25，,求7○3=？ 例4：x, y表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny， x△y=kxy，其中m, n, k均为自然数。已知1*2=5,(2*3) △4=64,求(1△2)*3的值？ 分析：从要求的问题入手，题目要求(1△2)*3 的值，首先要计算1△2，根据"△"的定义：1△2=k×1×2。由于k的值不知道，所以首先要计算出k的值，k 的值求出后1△2的值也就计算出来了。设1△2=a，(1△2)*3=a*3,按"*" 的定义：a*3=ma+3n ，在只有求出m, n时，才能计算a*3的值。因此要计算(1△2)*3的值，就要先求出k，m, n的值，通过1*2=5可以求出m, n的值，通过(2*3)△4=64，求出k的值。
例1．分解因式： ⑴a6?b6； ⑵a2＋b2＋c2?2bc＋2ca?2ab； ⑶a7?a5b2＋a2b5?b7 例2．分解因式： ⑴a3＋b3＋c3?3abc；⑵x3＋y3＋3xy?1. 例3．分解因式：(x?1)3＋(x?2) 3＋(3?2x) 3例4．分解因式：x3?5x＋4. 例5．分解因式：x5n＋x n＋1. 例6．分解因式：(x＋1)4＋(x2?1)2十(x?1) 4．例7．分解因式：a4＋b4＋c4?2a2b2?2b2c2?2c2a2 A卷
一、填空题 01.分解因式(a＋b)2＋(a?b) 2＋c(a2+b2)＝_________。 02 ．计算 () 2 22 200220012003 2002200220012001 -? -?+ 的结果等于_________。 03.已知x3＋x2＋x＋1=0，那么x2008十2x2000＋5x1996的值是_________。 04.分解因式（x2＋3x?3)(x2十3x＋4)?8=_________。 05.将多项式x2?4y2?9z2?12yz分解成因式的积，结果是_________。 06.把(1? x2)(1? y2)＋4xy因式分解，结果是_________。 07．已知x?1是多项式x3?3x+k的一个因式，那么这个多项式的其它因式有_________。 08.分解因式(x2?1)(x4＋x2＋1)? (x3＋1)2 =_________。09.分解因式a3b＋ab＋30b的结果是_________。 10.分解因式(x?2y)x3?(y?2x) y3=_________。 二、解答题 11．分解因式a3＋b3＋c3?3abc. 12.已知x y ≠，且x3?x=7，y3?y=7，那么x2＋xy＋y2的值是多少？ B卷 一、填空题 01．分解因式ab(c2?d2)?cd(a2?b2)＝_________。
例1．⑴求能被15以内所有的质数整除的最小正整数；⑵求在160以内同 时能被2、3、5整除的正整数的个数。 例2．已知x、y、z是整数，且7︱(2x?4y+z)，求证：7︱(x?2y+4z)。例3．已知n+10︱n3+100，求满足条件的最大的正整数n。 例4．求证：三个连续正整数的立方和是9的倍数。例5．已知a是整数，2?a，3?a，求a2＋16被24除的余数。 例6．设N=abcdefg，N l=abcd?efg，求证：如果7︱N1，那么7︱N；如果7︱N，那么7︱N1。 例7．173□是个四位数，数学老师说：“我在这个□先后填入3个数字，所得的三个四位数依次被9、11、6整除”，问数学老师先后填入的数字之和是多少？ 例8．对任意自然数n，求证：3×52n+l+23n+l能被17整除。
A卷 一、填空题 01．99︱141283 x y，(x，y)＝____________。 02．200以内能同时被3、4、5整除的正整数共有________个。 03．一个三位正整数的百位上是4，十位上和个位上的数字相同，且这个数能被9整除，这个数是_________。 04．所有能被7整除的两位正整数的和是_________。 05．能同时被2、3、5整除的最小四位正整数是_________。 06．360能被_________个不同的正整数整除。 07．有三个连续的两位正整数，它们的和也是两位数并是11的倍数，这三个数的积最大为_________。 08．一个六位数23□56□是88的倍数，这个数除以88所得的商是_________。 09．能被11整除，各位数字和等于13的最小正整数是_________。 10．一个两位正整数，它的两个数字之和能被4整除。而且比这个两位数大1的数，它的两个数字之和也能被4整除，所有这样的两位数有_________个。 二、解答题 11．求证：形如abcabc的六位数字一定被7、11、13整除。 12．已知a、b为整数，3?a，3?b，3?(a?b)，求证：9︱(a3+b3)。 B卷 一、填空题
例1．计算 11111111 1 2344950262750????-+-++-÷+++ ? ????? 例2．计算1998×19991999?1999×19981998 例3．已知a=1166+1267+1368+1469+1570 100 1165+1266+1367+1468+1569 ????? ? ????? ，问a的整 数部分是多少？例4．比较S n＝ 1234 +++++ 248162n n 与2的大小。 例5．定义n!=1×2×3×?×n(n为正整数)，计算1×1!+2×2!+?+2007×2007! A卷
一、填空题 01． ()()()23 1998 12111212411154 ?? ??-?---÷--?? ?????????-÷-? ???＝___________。 02．211×555+445×789+555×789+211×445＝___________。 03．1?2+3?4+?+(?1)2003?2002＝___________。 04． 224690 123461234512347 -?＝___________。 05．(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)＝___________。 06．2+4+6+?+2000+2002＝___________。 07． 111112233420012002 ++++????＝___________。 08．1999×20002000?2000×19991999＝___________。 09．a 1＝111232+??＝23，a 2＝112343+??＝38，a 3＝113454+??＝4 15， a 4＝114565+??＝ 5 24 ??按上述规律a 999＝___________。 10． 1 111+++ 13391340 2007 的整数部分是___________。 二、解答题 11．求证：()()() 11111323+++++1324354624212n n n n n +=-????+++ 12．计算2100111 1222 + +++ B 卷
EET国际教育三年级数学第十讲逆推问题 知识点，重点，难点 逆推问题还可称为还原问题，解答这类问题时，要根据题意的叙述顺序，有后向前逆推计算。逆推问题还被称为逆推法，主要包含一下两层意思。 1.要根据题意的叙述顺序，从最后一组数量关系逆推至第一组的数量关系，这就是逆推法中运算顺序的逆推含义。 2.原题相加，逆推用减；原题用减，逆推用加；原题相乘，逆推用除；原题用除，逆推用乘，这就是逆推法中计算方法的逆运算含义。 例1：某数如果先加上3，再乘以2，然后除以3，最后减去2，结果是10，问原数是多少？ 分析：我们用代替原数，则□经过一系列运算后是10，这一系列过程，我们可以用下图来表示： 图1 观察图1可以发现，从最后结果10往回推，第个横线上的数应该是10+2=12， 第个横线上的数是12×3=36，第个横线上的数应该是36÷2=18，则就是18－3=15. 例2：小明从家到学校去，先走了全场的一半后，又走了剩下路程的一半。这时离学校还有1千米，问小明家到学校共多少千米？ 分析：如图2，采用倒退的方法，可以发现1千米是第一次剩下路程的一半，所以第一次剩下的路程就是1×2=2（千米），而第一次剩下路程2千米又是全程长的一半，所以全程长为2×2=4（千米）。 图2 例3：做一道整数加法题时，一个同学把个位上的数6看是9，把十位上的数8看作3，结果得出和为123，问正确的和是多少？ 分析：学生把个位上的数6看是9，使和增加了9－6=3，把十位上的数8看作3，使和减少了80－30=50，将多增加的部分去掉，加上少加的部分，就能得出原来的和。 另外，根据题意可知原来的加数应为86，而这个学生误认为是39，所以只要将错误的和123减去错误的加数，得出原来的另一个加数，再重新加上正确的加数
例1．如图46，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC边上一点，求证：BD2+DC2=2AD2。 例2．如图47，四边形ABCD 中，∠ABC=135°，∠BCD=120°，AB=6， BC=5?3，CD=6，求AD的长。 例3．如图48，在凸四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC，求证：BD2=AB2+BC2。 例4．如图49，已知△ABC中，D是BC中点，E为AB上一点，F为AC 上一点，若∠EDF=90°，且BE2+FC2=EF2，求证：∠BAC=90°。例5．如图50，正方形ABCD中，点M为AB的中点，AE= 1 4 AD，点N 是EC的中点，求证：MN= 1 2 EC。 例6．求证：2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1 (n是正整数)是一组勾股数。 例7．证明勾股数组x、y、z必有6︱xy。 A卷
一、填空题 01．高为3的等边三角形的面积为_________。 02．从边长为4的正方形的一个顶点到这个正方形各边中点的距离和是_________。 03．在Rt△ABC的斜边AB上，再作一个Rt△ABD，AB是斜边。若BC=2，AC=a，AD=3，则BD=_________。 04．已知一个三角形一边长为2，这边上的中线长为1，另外两边之和为1+3，由此三角形的面积为_________。 05．已知正方形ABCD的边长为4，M为AD的中点，连结CM，过B作BE⊥CM，垂足为E，则BE=_________。 06．已知△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为_________。 07．正方形ABCD内取一点P，使PA=BP=PH=h，且PH⊥CD，正方形的边长为1，则h=_________。 08．如图51，在△ABC中，AB=AC=m，P为BC上任意一点，则PA2+PB?PC=_________。 09．如图52，△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于D，且BD=5，CD=3，则AC=_________。10．如图53，△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，∠BAC=60°，∠DAC=45°，BD=a，则AB=_________。 二、解答题 11．如图54，已知△ABC中AB=AC，DE∥BC，求证：BE2=EC2+BC?DE。 12．如图55，已知△ABC中，∠BAC=90°，E、D是BC的三等分点。求证：222 5 9 AE AD BC += B卷 一、填空题
例1．如图46，△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，D 为BC 边上一点，求 证：BD 2+DC 2=2AD 2。 例2．如图47，四边形ABCD 中，∠ABC=135°，∠BCD=120°，AB= ，BC=5 CD=6，求AD 的长。 例3．如图48，在凸四边形ABCD 中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC ，求证：BD 2=AB 2+BC 2。 例4．如图49，已知△ABC 中，D 是BC 中点，E 为AB 上一点，F 为AC 上一点，若∠EDF=90°，且BE 2+FC 2=EF 2，求证：∠BAC=90°。 例5．如图50，正方形ABCD 中，点M 为AB 的中点，AE=AD ，点N 1 4 是EC 的中点，求证：MN= EC 。1 2 例6．求证：2n 2 + 2n ， 2n +1，2n 2+2n +1 (n 是正整数)是一组勾股数。
例7．证明勾股数组x、y、z必有6︱xy。 A卷一、填空题 01 的等边三角形的面积为_________。 02．从边长为4的正方形的一个顶点到这个正方形各边中点的距离和是_________。 03．在Rt△ABC的斜边AB上，再作一个Rt△ABD，AB是斜边。若BC=2，AC=a，AD=3，则BD=_________。 04．已知一个三角形一边长为2，这边上的中线长为1，另外两边之和为 1_________。05．已知正方形ABCD的边长为4，M为AD的中点，连结CM，过B作BE⊥CM，垂足为E，则BE=_________。 06．已知△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为_________。 07．正方形ABCD内取一点P，使PA=BP=PH=h，且PH⊥CD，正方形的边长为1，则h=_________。 08．如图51，在△ABC中，AB=AC=m，P为BC上任意一点，则PA2+PB?PC=_________。 09．如图52，△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于 D ，且BD=5 ，CD=3，则AC=_________。 10．如图53，△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，∠BAC=60°，∠DAC=45°，BD=a，则AB=_________。 二、解答题 11．如图54，已知△ABC中AB=AC，DE∥BC，求证：
加减法巧算练习3 练习题 1、99999+9999+999+99+9 2、574-397 3、483+254-183 4、83+82+78+79+80+81+78+79+77+84 5、356+（644-178） 6、4521-（627+521） 7、1847-386-414 水平测试1 A 卷 一、填空题 1. 773+368+227=____________ 2. 10000-8927=__________
3. 582-(82-14)=__________ 4. 4941-268+28=__________ 5. 125×19×8=___________ 6. 11500÷2300=__________ 7. (20+8)×125=_________ 8. 22500÷(100÷4)=______________ 9. 在加法算式中,两个加数都增加26,则和增加__________ 10. 在减法算式中,被减数与减数都增加6,则差_________ 二、解答题 11. 计算:999+99+9+3 12. 计算:(24-15+37)+(26+63-35) 13. 计算:3572-675-325-472 14. 计算:56241×8÷24
15. 计算:125×16×25 16. 计算:375×823+177×375 17. 计算:1624÷29-1334÷29 B 卷 一、填空题 1. 34+47+53+66=___________ 2. 3000-99-9-999=__________ 3. 111000-(99998+9997)-996=__________ 4. 1028-(233-72)-67=______________ 5. 在加法算式中,一个加数增加53,另一个加数减少27,则和是___________ 6. 161÷23+92÷23+115÷23=____________ 7. 27^2-23^2=__________
例1．某人骑自行车从A地先以每小时12千米的速度下坡后，再以每小时9千米的速度走平路到B地，共用了55分钟。回来时，他以每小时8千米 的速度通过平路后，以每小时4千米的速度上坡，从B地到A地共用 1 1 2 小 时，问A、B两地相距多少千米？ 例2．某校初一年级举行数学竞赛，参加的人数是未参加人数的3倍。如果该年级学生减少6人，未参加的学生增加6人，那么参加与未参加竞赛的人数之比是2:1，求参加竞赛的人数与初一年级的总人数。 例3．两个容器内共有48千克水，从甲容器内给乙容器加水一倍，然后乙容器又给甲容器加甲容器剩余水的一倍，则两个容器内的水量相等，问最初两个容器内各有水多少千克？ 例4．一工人在定期内要制造出一定数量的同样零件。若他每天多做10个， 则提前 1 4 2 天完成；若他每天少做5个，则要误期3天，问他要做多少个零 件？定期是多少天？例5．某团体从甲地到乙地，甲、乙两地相距100千米。团体中的一部分人乘车先行，余下的人步行，先坐车的人到途中某处下车步行，汽车返回接先步行的那一部分人。已知步行时速8千米，汽车时速40千米，问要使大家在下午4点钟同时到达乙地，必须在什么时候出发？ 例6．旅行者从下午3时步行到晚上8时，他先走平路然后上山，到达山顶后就按原路下山，再走平路返回出发地。若他走平路每小时行4千米，上山每小时行3千米，下山每小时行6千米，问旅行者一共行多少千米？ 例7．甲、乙、丙三人共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道题，将其中1人解出的题叫做难道，3人都解出的题叫做容易题，试问难题多还是容易题多？(多的比少的)多几道题？ 例8．游泳者在河中逆流而上，于桥A下将水壶遗失被水冲走。继续向前游了20分钟后他发现水壶遗失，于是立即返回，在桥A下游距桥A 2千米的桥B下追到水壶，求该河水水流的速度。