文化理论课教案审阅签名：
【组织教学】
A
.1
图7,++,--,+-.2
图71. 起立，师生互相问好
2. 坐下，清点人数，指出和纠正存在问题
【导入新课】
1．提问：什么是函数的极限、导数、极值、最值？单调性与极值如何判别? 2．运算：已知3
31531003
y x x x =
-++,求y ' 【讲授新课】
第七章 三角函数及其有关概念
一、角的概念
1. 角 角是以一点为公共端点的两条射线组成的图形.公共端点叫做角的顶点, 两条射线叫做角的边。角可以看作是一条射线绕着它的端点旋转形成的，即一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 旋转到另一位置OB ，就形成角α（图7.1）．旋转开始时的射线OA 叫做角α的始边，旋转终止的射线OB 叫做角α的终边，射线的端点O 叫做角α的顶点．
突出“旋转” 注意：“顶点”“始边”“终边”
2.正角、负角、零角 正角与负角是由旋转的 方向决定的，我们把按逆时针方向旋转所形成的角 叫做正角(图7.1中的角α)，把按顺时针方向旋转 所形成的角叫做负角(图7.1中的角β)， 如果一条 射线没有作任何旋转，它就形成一个数值为0的角， 我们把这个角叫做零角。
3．终边相同的角 具有相同的终边的角叫做终边相同的角，如图7.1中的α和β就是终边相同的角。 ①终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同；
②终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍，如：
α与360()k k Z α+∈
，β与360()k k Z β+∈ ，β与360()k k α+∈ Z 都是终边相同的角。 例 设176π
α=-
，则与α终边相同的最小正角是多少？ 解 1717777236066666
πππππ
α=-=--+=-?+ 所以，与176πα=-终边相同的最小正角是76
π
。
例 设203π
α=，则与α终边相同的绝对值最小的负角是多少？
解 2020444436033333
πππππ
α==+-=?- 所以，所求之角是43
π-。 4. 象限角 在平面直角坐标系中，我们将角的顶点置在坐 标原点，角的始边与轴的正半轴重合，这样一来，角的终边落 在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角，如αβ与都是 第一象限的角。若角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何 一个象限,我们称其为界限角。
例 90016'-
是第几象限的角？
.3
图7解 9001
62360
180''-=-?-
，所以90016'- 是第二象限的角。
一、角的度量
1. 角度制 当射线绕端点逆时针方向旋转使终边与始边第一次重
合时所形成的角叫做周角，规定1周角为360o。1周角的1
360
为1度，
1度的160为1分，1分的160
为1秒。这种用度、分、秒作单位来测量
角的制度叫做角度制。度、分、秒分别用“o”、“′”、“″”表示，故：
160'= ， 160'''=
2. 弧度制 等于半径长的圆弧所对的圆心角称为1弧度的角。用弧 度作单位来测量角的制度叫做弧度制。1弧度也记为1rad
规定正角的的弧度数为正数，负角的的弧度数为负数，零角的弧度数为零。
设α为已知角的弧度数，l 为角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆的半径，则它们之间的关系是：
l
r
α=，l r α=l
r α
=
3.角度与弧度的换算关系
2360π=
弧度, 360157.3057172π
'=
≈=
弧度, 10.017435180π=≈ 弧度弧度 几个常用的特殊角的角度与弧度的换算关系如下表：
例 150o是多少弧度？
6
弧度是多少角度
解 51501501806π
π=?=
（弧度）， 1111180
()33066
π?== 弧度 三、任意角的三角函数
1. 任意角的概念 锐角是大于0o 而小于90o的角，在直角坐标系中，顶点在原点，始边在x 轴正半轴，终边在任意象限中的角叫做任意角。
2. 任意角的三角函数 设直角坐标系中任一点(,)P x y 是角α终边上的任意一点，它与坐标原点的 距离为(0)r r >，则比值
,,,,,y x y x r r
r r x y x y
分别叫做角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割，即： sin ,cos ,tan ,cot ,sec ,csc y x
r r y x
x y r r
x y
αααααα======
以上六个比值叫做任意角三角函数。
例 求证(1)sin csc 1αα=
、(2)22sin cos 1αα+=、(3)2tan 1sec αα+= ,++(,+-图7.4
o
y
x
o
y
x
o y
x
.5
图7sin ,csc αα
tan ,cot αα
cos ,sec αα
+
+
+
+++
---
--
-
证 (1)原式左边sin csc 1y r r y
αα== ，原式右边=1，所以sin csc 1αα= (2)原式左边2
2
2
2
sin cos ()()1y x r
r
αα+=+=，原式右边=1，所以22
sin cos 1αα+=
(3) 原式左边22
tan 1()1sec y r
x
x
αα+=+=
=，原式右边=sec α，所以2tan 1sec αα+= 3. 任意角的三角函数值的正负 任意角的三角函数值的正负由角的终边所在的象限决定，见图7.5
4. 特殊角的三角函数值 30o、45o、60o函数值的记忆法
例 已知
cot 0sin α
α
>试确定α是第几象限的角 解 (1)cot 0,sin 0αα>>
由cot 0α> 知，α是第一或第三象限的角，由sin 0α> 知，α是第一或第二象限的角，所以α
1
1
.6
图7
是第一象限的角
(2) cot 0,sin 0αα<<
由cot 0α< 知，α是第二或第四象限的角，由sin 0α< 知，α是第三或第四象限的角，所以α 是第四象限的角
所以，α是第一或第四象限的角
例 已知α是锐角且sin 0.8α=，求cos α、tan α、cot α、sec α、csc α 解
α是锐角且sin 0.8α=可得函数关系如图7.7，因此：
0.6cos 0.61α=
=， 0.81t a n 10.63α==， 0.6
c o t 0.750.8α== 12sec 10.63α==， 1c s c 1.250.8
α== 【课堂总结】
一、课堂纪律和学习气氛
二、课程教学内容
1. 角是以一点为公共端点的两条射线组成的图形，角可以看作是一条射线绕着它的端点旋转形成的，角有正角、负角、零角。逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如果一条射线没有作任何旋转，它就形成一个数值为0的角，我们把这个角叫做零角
2. 具有相同的终边的角叫做终边相同的角。终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同； 终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍。
3. 在平面直角坐标系中，我们将角的顶点置在坐标原点，角的始边与轴的正半轴重合，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角
4. 用度、分、秒作单位来测量角的制度叫做角度制。规定1周角为360o。1周角的
1
360
为1度 5. 用弧度作单位来测量角的制度叫做弧度制。等于半径长的圆弧所对的圆心角称为1弧度的角
6. 36015
7.3057172π
'=
≈= 弧度10.017435180π=≈ 弧度
弧度， 7. 任意角是任意象限中的角，任意角的三角函数值的正负由角的终边所在的象限决定。
s i n ,c o s ,t a n ,c o t
,e c
,c s c y x y
x
r
r
s r r x
y
x y
αααααα=
===== 六个比值叫做任意角三角函数
.
.7
图7
三角函数基本概念 1．角的有关概念 (1)从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角．(2)从终边位置来看，可分为象限角和轴线角． (3)若α与β是终边相同的角，则β可用α表示为S ＝{β|β=α＋k ·360°，k ∈Z }(或{β|β＝α＋2k π，k ∈Z })． 2．象限角 3．弧度与角度的互化 (1)1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示． (2)角α的弧度数：如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么l ＝rα，角α的弧度数的绝对值是|α| ＝ l r . (3)角度与弧度的换算①1°＝π 180rad ；②1 rad ＝?π 180 (4)弧长、扇形面积的公式：设扇形的弧长为l ，圆心角大小为α(rad)，半径为r ，又l ＝rα，则扇形的面积为 S ＝12lr ＝12 |α|·r 2 . 4.任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么 y 叫做的正弦，记作sin x 叫做的余弦，记作cos x y 叫做的正切，记作tan α 三角函数 正弦 余弦 正切 各象限符号 Ⅰ 正 正 正 Ⅱ 正 负 负 Ⅲ 负 负 正 Ⅳ 负 正 负 各象限符号 口诀 一全正，二正弦，三正切，四余弦 5.三角函数线 设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ，则点M 是点P 在x 轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P 的坐标为(cosα，sinα)，即P(cosα，sinα)，其中cosα＝OM ，sinα＝MP ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tanα＝AT ．我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线．
三角函数的概念、基本关系式及诱导公式 一、角的相关概念 1、按旋转方向的不同形成_________,___________,___________ 2、终边位置的不同形成__________,__________,____________ 例如：第一象限角的集合________________ 终边在y 轴上角的集合_________________ 终边在x 轴上角的集合_________________ 3、终边相同的角的集合________________ 4、注意第一象限角、锐角的不同，钝角与第二象限角的不同 5、已知α是第二象限的角，则 2 α是第几象限的角？ 二、弧度制与角度制： 1、弧度制的定义：圆周上弧长等于_______的弧所对的圆心角的大小为1弧度（1rad ） 2、 3602=π 180=π _______1=rad rad _______1= 弧度制与角度制的换算_________________________________ 3、扇形的弧长、面积公式 ____________________________________________ 例1、已知一扇形周长为)0(>C C ，当扇形中心角为多少弧度时，它的面积最大？ 例2、扇形中心角为 120，则扇形面积与其内切圆的面积之比为_____________ 三、任意角的三角函数： 1、定义：设α是一个任意角，α的终边上任一点),(y x P O 为坐标原点，则 )(022y x r r OP +=>=则 r y = αsin r x =αcos x y =αtan y r =αcsc _____sec =α _____cot =α 实质是____________________ 2、三角函数的符号___________________________ 3、特殊角的三角函数值： ___________________________________________________________ 四、单位圆与三角函数线： 1、第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限的角的三角函数线 2、三角函数线的应用——用来解决三角不等式
学科: 数学任课教师：黄老师授课时间：2013年3月日(星期) 1 :00-1 :00 姓名年级：教学课题三角函数典型例题剖析与规律总结 阶段 基础（√）提高（）强化（）课时计划共次课第次课 课前 检查作业完成情况：__________________ 建议_________________________________________________________ 教学过程一：函数的定义域问题 1.求函数1 sin 2+ =x y的定义域。 分析：要求1 sin 2+ = y的定义域，只需求满足0 1 sin 2≥ + x的x集合，即只需求出满足 2 1 sin- ≥ x的x 值集合，由于正弦函数具有周期性，只需先根据问题要求，求出在一个周期上的适合条件的区间，然后两边加上πk2()Z k∈即可。 解：由题意知需0 1 sin 2≥ + x，也即需 2 1 sin- ≥ x①在一周期? ? ? ?? ? - 2 3 , 2 π π 上符合①的角为? ? ? ?? ? - 6 7 , 6 π π ,由此 可得到函数的定义域为? ? ? ?? ? + - 6 7 2, 6 2 π π π πk k()Z k∈ 小结:确定三角函数的定义域的依据：（1）正、余弦函数、正切函数的定义域。（2）若函数是分式函数，则分母不能为零。（3）若函数是偶函数，则被开方式不能为负。（4）若函数是形如()()1 ,0 log≠ > =a a x f y a 的函数，则其定义域由()x f确定。（5）当函数是有实际问题确定时，其定义域不仅要使解析式有意义同时还要使实际问题有意义。 二．函数值域及最大值，最小值 （1）求函数的值域 例。求下列函数的值域 （1）x y2 sin 2 3- =（2）2 sin 2 cos2- + =x y x 分析：利用1 cos≤ x与1 sin≤ x进行求解。 解：（1） 1 2 sin 1≤ ≤ -x∴[]5,1 5 1∈ ∴ ≤ ≤y y （2） ()[].0,4 ,1 sin 1 1 sin 1 sin 2 sin 2 sin 22 2 2 cos- ∈ ∴ ≤ ≤ - - - = - + - = - + =y x x x x x x y 评注：一般函数的值域求法有：观察法，配方法判别式法，反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质罢了。
三角角的概念及任意角 的三角函数 Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
课题 § 角的概念及任意角的三角函数 内容归纳 一．知识精讲 ㈠角的概念和弧度制 1．角：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的 图形。其中顶点，始边，终边称为角的三要素。角可以是任 意大小的。 2．角按其旋转方向可分为：正角，零角，负角。 3．在直角坐标系中讨论角：①角的顶点在原点，始边在x 轴的 非负半轴上，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限 的角。（注意前提条件，否则不能从终边的位置来判断某角 属于第几象限）。⑵若角的终边在坐标轴上，就说这个角不 属于任何象限，它叫象限界角。 4．与α角终边相同的角的集合：{}Z k k ∈+?=,360αββ 注：①终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相 同； ②终边相同的角有无数多个，它们相差 360的整数倍。 5．正确理解角：“ 90~0间的角”指的是： 900<≤θ；“第 一象限的角”，“锐角”，“小于 90的角”，这三种角的 集合分别表示为： {} Z k k k ∈+?<
三角函数的概念、性质和图象 复习要求（以下内容摘自《考纲》） 1. 理解弧度的意义，并能正确进行弧度和角度的换算． 2. 掌握任意角的三角函数的定义、三角函数的符号、特殊角的三角函数值、三角函数的性质、同角三角函数的关系式与诱导公式，了解周期函数和最小正周期的意义．会求y ＝A sin(ωx ＋?)的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期，能运用上述三角公式化简三角函数式，求任意角的三角函数值与证明较简单的三角恒等式． 3. 了解正弦、余弦、正切、余切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数y ＝A sin(ωx ＋?)的简图，并能解决与正弦曲线有关的实际问题． 4.正弦函数、余弦函数的对称轴，对称点的求法。 5．形如y x y y x y cos sin cos sin -=+=或 的辅助角的形式，求最大、最小值的总题。 6．同一问题中出现y x y x x x cos sin ,cos sin ,cos sin ?-+，求它们的范围。如求y x y x y cos sin cos sin ?++=的值域。 7．已知正切值，求正弦、余弦的齐次式的值。 如已知求,2tan =x 4cos cos sin 2sin 22++?+y y x x 的 8 正弦定理：）R R C c swinB b A a 为三角形外接圆的半径(2sin sin === C B A c b a s i n :s i n :s i n ::= 余弦定理：A ab c b a cos 2222-+=，…ab a c b A 2cos 2 22-+= 可归纳为表9－1. 表9-1 三角函数的图象三、主要内容及典型题例 三角函数是六个基本初等函数之一，三角函数的知识包括三角函数的定义、图象、性质、
“任意角三角函数的概念”教学设计 陶维林 （江苏南京师范大学附属中学，210003） 一．内容和内容解析 三角函数是一个重要的基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型．它的基础主要是几何中的相似形和圆，研究方法主要是代数中的图象分析和式子变形，三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来．它在物理学、天文学、测量学等学科中都有重要的应用，它是解决实际问题的重要工具，它是学习数学中其他学科的基础． 角的概念已经由锐角扩展到0°~360°内的角，再扩充到任意角，相应地，锐角三角函数概念也必须有所扩充．任意角三角函数概念的出现是角的概念扩充的必然结果．比较锐角三角函数与任意角三角函数这两个概念，共同点是，它们都是“比值”，不同点是锐角三角函数是“线段长度的比值”，而任意角三角函数是直角坐标系中“坐标与长度的比值，或者是坐标的比值”．正是由于“比值”这一与在角的终边上所取点的位置无关的特点，因此，可以用角的终边与单位圆的交点的坐标（或坐标的比值）来表示任意角的三角函数，这是概念的核心．这样定义，不仅简化了任意角三角函数的表示，也为后续研究它的性质带来了方便． 从锐角三角函数到任意角三角函数类似于从自然数到整数扩充的过程，产生了“符号问题”．因此，学习任意角三角函数可以与锐角三角函数相类比，借助锐角三角函数的概念建立起任意角三角函数的概念． 任意角三角函数概念的重点是任意角的正弦、余弦、正切的定义．它们是本节，乃至本章的基本概念，是学习其他与三角函数有关内容的基础，具有根本的重要的作用．解决这一重点的关键，是学会用直角坐标系中，角的终边上的点的坐标来表示三角函数．因为正切函数并不独立，最主要的是正弦函数与余弦函数． 任意角三角函数自然具有函数的一切特征，有它的定义域，对应法则以及值域．任意角三角函数的定义域是实数集（或它的子集），这是因为，在建立弧度制以后，角的集合与 实数集合间建立了一一对应关系，从这个意义上说，“角是实数”，三角函数是定义在实数集上的函数．各种不同的三角函数定义了不同的对应法则，因而可能有不同的定义域与值域．任意角三角函数概念是核心概念，它是解决一切三角函数问题的基点．无论是研究三角函数在各象限中的符号、特殊角的三角函数值，还是同角三角函数间的关系，以及三角函数的性质，等等，都具有基本的重要的意义． 在建立任意角三角函数这个定义的过程中，学生可以感受到数与形结合，以及类比、运动、变化、对应等数学思想方法．
三角函数的概念、同角三角函数的关系和诱导公式 题组一 一、 选择题 1．（安徽省百校论坛2011届高三第三次联合考试理） 已知3cos( )||,tan 222ππ ???-=<且则等于 （ ） A ． B C D 答案 D. 2．（浙江省金丽衢十二校2011届高三第一次联考文）函数()sin sin(60)f x x x =++ 的最大 值是 （ ） A B C ．2 D ．1 答案 A. 3.（山东省莱阳市2011届高三上学期期末数学模拟6理）已知)2 ,2(,3 1sin π πθθ-∈-=，则)2 3sin()sin(θππθ--的值是（ ） A 、 9 2 2 B 、922- C 、91- D 、91 答案 B. 4．（湖南省嘉禾一中2011届高三上学期1月高考押题卷）在区间[1,1]-上随机取一个数 ,cos 2 x x π的值介于0到 1 2 之间的概率为 （ ） A ．1 3 B ． 2 π C ． 1 2 D ． 23 答案 D. 5. （湖北省补习学校2011届高三联合体大联考试题理） 已知cos()0,cos()0,2 π θθπ+<->下列不等式中必成立的是( ) A.tan cot 2 2 θ θ > B.sin cos 2 2 θ θ > C.tan cot 2 2 θ θ < D.sin cos 2 2 θ θ < 答案 A.
6．（河南省鹿邑县五校2011届高三12月联考理）函数()3sin 23f x x π? ? =- ?? ? 的图像为C,如下结论中正确的是 （ ） A ．图像C 关于直线6 x π = 对称 B ．图像 C 关于点,06π?? ??? 对称 C ．函数()f x 在区间5,1212ππ?? - ??? 内是增函数 D ．由3sin 2y x =的图像向右平移 3 π 个单位长度可以得到图像C 。 答案 C. 7. （河南省辉县市第一高级中学2011届高三12月月考理）若cos 2sin αα+=则 tan α= A.12- B.2 C.1 2 D.-2 答案 B. 8. （北京四中2011届高三上学期开学测试理科试题） 已知，则 等于（ ） A ．7 B ． C ． D ． 答案 C. 9.（福建省三明一中2011届高三上学期第三次月考理） 已知函数)(sin cos )(R x x x x f ∈=，给出下列四个命题： ①若;),()(2121x x x f x f -=-=则 ②)(x f 的最小正周期是π2； ③)(x f 在区间]4,4[π π-上是增函数； ④)(x f 的图象关于直线4 3π =x 对称； ⑤当??????-∈3,6ππx 时，)(x f 的值域为.43,43??????- 其中正确的命题为 （ ） A ．①②④ B ．③④⑤ C ．②③ D ．③④
三角函数定义及其三角函数公式汇总 1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。 2、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)： 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值 sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ A 90 B 90 ∠ - ? = ∠ ? = ∠ + ∠ 得 由B A 邻边 A C A 90 B 90 ∠ - ? = ∠ ? = ∠ + ∠ 得 由B A
6、正弦、余弦的增减性： 当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。 7、正切、余切的增减性： 当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，cot α随α的增大而减小。 1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。依据： ①边的关系：2 22c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注 意：尽量避免使用中间数据和除法) 2、应用举例： (1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。
仰角铅垂线 水平线 视线 视线俯角 (2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度( 坡比)。用字母i 表示，即h i l =。坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。 把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h i l α= =。 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。 4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向）， 南偏西60°（西南方向）， 北偏西60°（西北方向）。 sin （α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ sin （α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ cos （α＋β）＝cosαcosβ－s inαsinβ cos （α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ 三角函数公式汇总1 :i h l =h l α
第七章 函数及其有关概念 一、角的概念： 1、正角、负角、零角：逆时针方向旋转的角叫做正角，顺时针方向的叫做负角；当射线没有旋转时，我们把它叫做零角。 2、象限角：角的终边落在象限内的角,根据角终边所在的象限把象限角分为：第一象限角、第二象限角、第三象限角、第四象限角。 3、轴线角：角的终边落在坐标轴上的角。终边在x 轴上的角的集合： {} Z k k ∈?=,180| ββ；终边在y 轴上的角的集合： {} Z k k ∈+?=,90180| ββ；终边在坐标轴上的角的集合：{} Z k k ∈?=,90| ββ。 4、终边相同的角：与α终边相同的角2x k απ=+。 5、与α终边反向的角： (21)x k απ=++；终边在y=x 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,45180| ββ ；终边在x y -=轴上的角的集合：{} Z k k ∈-?=,45180| ββ 6、若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 7、成特殊关系的两角：（1）若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360；（2）若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k ；（3）若角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk 二、弧度制：l R α= 角度与弧度的换算公式： 360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 弧长公式：R l θ= ； 扇形面积：S=α2 2 12 1r r l =? 任意角三角函数： （一）任意角的三角函数定义： 三角函数 定义域 =)(x f sinx {}R x x ∈| =)(x f cosx {}R x x ∈| =)(x f tanx ? ?? ???∈+≠∈Z k k x R x x ,21|ππ且 =)(x f cotx {}Z k k x R x x ∈≠∈,|π且 =)(x f secx ? ?? ???∈+≠∈Z k k x R x x ,21|ππ且 =)(x f cscx {}Z k k x R x x ∈≠∈,|π且 （二）三角函数在各象限内的符号规律：
第四章 三角函数 一、三角函数的基本概念 1.角的概念的推广 (1)角的分类:正角(逆转) 负角(顺转) 零角(不转) (2)终边相同角:)(3600Z k k ∈+?=αβ (3)直角坐标系中的象限角与坐标轴上的角. 2.角的度量 (1)角度制与弧度制的概念 (2)换算关系:8157)180(1) (180'≈==οο ο π π弧度弧度 (3)弧长公式:r l ?=α 扇形面积公式:22 1 21r lr S α== 3.任意角的三角函数 y x x y x r r x y r r y = ===== ααααααcot tan sec cos csc sin 注:三角函数值的符号规律“一正全、二正弦、三双切、四余弦” 二、同角三角函数的关系式及诱导公式 （一） 诱导公式： α±? 2 k )(Z k ∈与α的三角函数关系是“立变平不变，符号 看象限”。如： ()?? ? ??--??? ??+απαπαπ25sin ;5tan ,27cos 等。 （二） 同角三角函数的基本关系式：①平方关系1 cos sin 22 =+αα； α ααα22 22tan 11cos cos 1tan 1+=?= +②商式关系 α α α tan cos sin =；αααcot sin cos =③倒数关系1cot tan =αα；1sec cos ;1csc sin ==αααα。 （三） 关于公式1cos sin 22 =+αα的深化
() 2 cos sin sin 1ααα±=±； α ααcos sin sin 1±=±； 2 cos 2 sin sin 1α α α+=+ 如： 4cos 4sin 4cos 4sin 8sin 1--=+=+；4cos 4sin 8sin 1-=- 注：1、诱导公式的主要作用是将任意角的三角函数转化为ο0~ο90角的三角函数。 2、主要用途： a) 已知一个角的三角函数值，求此角的其他三角函数值（①要注意题设中角的范围，②用三角函数的定义求解会更方便）； b) 化简同角三角函数式； 证明同角的三角恒等式。 三、两角和与差的三角函数 （一）两角和与差公式 ()βαβαβαsin cos cos sin sin ±=± ()β αβαβαsin sin cos cos cos μ=± ()β αβ αβαtan tan 1tan tan tan μ±= ± （二）倍角公式 1、公式βαα cos sin 22sin = cos 2α= 2 2cos 1α + sin 2α= 2 2cos 1α - ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= α αα2tan 1tan 22tan -= α α ααα sin cos 1cos 1sin 2 tan -= += )sin(cos sin 22?ααα++=+b a b a )sin ,(cos 2 2 2 2 b a a b a b += += ?? 注： （1）对公式会“正用”，“逆用”，“变形使用”。（2）掌握“角的演变”规律（3）将公式和其它知识衔接起来使用。（4）倍角公式揭示了具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律，可实现函数式的降幂的变化。 2、两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型： （1）求值 ①“给角求值”：给出非特殊角求式子的值。仔细观察非特殊角的特点，找出和特殊角之间的关系，利用公式转化或消除非特殊角 ②“给值求值”：给出一些角得三角函数式的值，求另外一些角得三角函数式的值。找出已知角与所求角之间的某种关系求解 ③ “给值求角”：转化为给值求值，由所得函数值结合角的范围求出角。 ④ “给式求值”：给出一些较复杂的三角式的值，求其他式子的值。将已知式或所求式进行化简，再求之 三角函数式常用化简方法：切割化弦、高次化低次 注意点：灵活角的变形和公式的变形， 重视角的范围对三角函数值的影响，对角的范围要讨论
实用文档 §4.2三角函数的基本概念 【复习目标】 1． 掌握任意角三角函数的定义，能写出各三角函数的定义域，能判断三角函数的符号； 2． 理解三角函数线的本质，能用三角函数线和单位圆解决简单的数学问题 【重点难点】 理解三角函数线的本质，能用三角函数线和单位圆解决简单的数学问题 【课前预习】 1. 已知角α的终边经过点)12,5(--P ，则sin ____,cos ___,tan ____ααα===． 2. 已知点)tan ,cos (sin ααα-P 在第一象限，则在)2,0[π内的α的取值范围 为 。 3. 已知,αβ均为第二象限角，且sin sin αβ>，则必有 （ ） A ．αβ< B ．tan tan αβ> C ．cos cos αβ> D ．cos cos αβ< 4. 填空： (1) 不等式x cos 22+≤0的解集是____________________________． (2) 函数1tan += x y 的定义域是______________________________． 【典型例题】 例1 已知角α终边上一点),3(y P -，且 y 42sin =α，求αcos 和αtan 的值．
实用文档 例2（1）若0cos sin >?θθ，则θ在 （ ） (A) 第一、四象限 (B) 第一、三象限 (C) 第一、二象限期 （D ）第二、四象限 （2）若α是第二象限角，用2cos |2cos |α α-=，则2α是 （ ） (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限期 （D ）第四象限 例3 已知锐角α终边上一点A 的坐标为)3cos 2,3sin 2(-，求α的弧度数． 【巩固练习】 1. 已知cos sin 1αα-<-，则α是第 象限角。
5.2 三角函数的概念 A 组-[应知应会] 1．（2020·周口市中英文学校高一期中）已知角α终边经过点122P ?? ? ??? ,则 cos α=（ ） A ． 1 2 B C D ．12 ± 【参考答案】B 【解析】由于1,r OP x === ,所以由三角函数的定义可得cos x r α==,应选参考答案B ． 2．（2019·渝中·重庆巴蜀中学高一期末）若cos 0θ<,cos sin θθ-=那么θ的（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 【参考答案】C 【解析】由题意得sin cos θθ==-, 即cos sin sin cos θθθθ-=-,所以sin θcos θ 0,即sin cos θθ≤,又cos 0θ<,所以sin 0,θ<θ位于第三象限,故选C. 3．若α为第二象限角,则下列各式恒小于零的是（ ） A ．sin cos αα+ B ．tan sin αα+ C ．cos tan αα- D ．sin tan αα- 【参考答案】B 【分析】画出第二象限角的三角函数线,利用三角函数线判断出sin tan 0αα+<,由此判断出正确选项. 【解析】如图,作出sin ,cos ,tan ααα的三角函数线,显然~OPM OTA ??,且MP AT <,∵0MP >,0AT <,∴MP AT <-．∴0MP AT +<,即sin tan 0αα+<.故选B. 4．若角α的终边经过点()() sin 780,cos 330P ?-?,则sin α=（ ） A B ． 12 C D ．1 【参考答案】C 【分析】利用诱导公式化简求得P 点的坐标,在根据三角函数的定义求得sin α的值.
三角函数 一、任意角、弧度制及任意角的三角函数 1．任意角 (1)角的概念的推广 ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． 角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<
第三章三角函数 第一节三角函数及概念 复习要求： 1．任意角、弧度 了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化； 2．三角函数 （1）借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义； （2）借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式。 知识点： 1.任意角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。一条射线由原来的位置，绕着它的端点按逆时针方向旋转到终止 位置，就形成角。旋转开始时的射线叫做角的始边，叫终边，射 线的端点叫做叫的顶点。 2.角的分类 为了区别起见，我们规定: 按逆时针方向旋转所形成的角叫正角, 按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。如果一条射线没有做任何旋转,我们称它为零角。 3.象限角 角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。 （1）第一象限角的集合： |22, 2 k k k Z π απαπ ?? <<+∈ ???? （2）第二象限的集合：。 O
（3）第三象限角的集合： 。 （4）第四象限角的集合： 4.轴线角 角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合。若角的终边落在坐标轴上,称这个角为轴线角。它不属于任何象限,也称为非象限角。 5.终边相同的角 所有与角α终边相同的角连同角α在内，构成的角的集合，称之为终边相同的角。记为： {} |360,S k k Z ββα==+?∈或 {} |2,S k k Z ββαπ==+∈。它们彼此相差 2()k k Z π∈，根据三角函数的定义知，终边相同的角的各种三角函数值都相等。 6.区间角 区间角是指介于两个角之间的所有角，如5| ,6 666π πππααα? ??? =≤≤ =????? ???。 7，角度制与弧度制 角度制：规定周角的1 360为1度的角，记作0 1，它不会因圆的大小改变而改变， 与r 无关 弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad 或1弧度或1(单位可以省略不写)。 角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定。 8.角的度量 （1）角的度量制有：角度制，弧度制 （2）换算关系：角度制与弧度制的换算主要抓住180rad π=o 。
三角函数典型例题剖析与规律总结 一：函数的定义域问题 1. 求函数1sin 2+=x y 的定义域。 分析：要求1sin 2+= y 的定义域， 只需求满足01sin 2≥+x 的x 集合，即只需求出满足2 1 sin -≥x 的x 值集合，由于正弦函数具有周期性，只需先根据问题要求，求出在一个周期上的适合条件的区间，然后两边加上πk 2()Z k ∈即可。 解：由题意知需01sin 2≥+x ，也即需21sin - ≥x ①在一周期??????-23,2ππ上符合①的角为?? ????-67,6ππ,由此可得到函数的定义域为?? ? ?? ? + - 672,6 2πππ πk k ()Z k ∈ 小结:确定三角函数的定义域的依据：（1）正、余弦函数、正切函数的定义域。（2）若函数是分式函数，则分母不能为零。（3）若函数是偶函数，则被开方式不能为负。（4）若函数是形如()() 1,0log ≠>= a a x f y a 的函数，则其定义域由()x f 确定。（5）当函数是有实际问题确定时，其定义域不仅要使解析式有意义同时还要使实际问题有意义。 二．函数值域及最大值，最小值 （1）求函数的值域 例。求下列函数的值域 （1）x y 2sin 23-= （2）2sin 2cos 2 -+= x y x 分析：利用1cos ≤x 与1sin ≤x 进行求解。 解：（1） 12sin 1≤≤-x ∴[]5,151∈∴≤≤y y （2） ()[].0,4,1sin 11sin 1sin 2sin 2sin 22 22 cos -∈∴≤≤---=-+-=-+=y x x x x x x y 评注：一般 函数的值域求法有：观察法，配方法判别式法，反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质罢了。 （2）函数的最大值与最小值。 例。求下列函数的最大值与最小值 （1）x y sin 211- = （2）??? ??≤≤-??? ? ? +=6662sin 2πππx x y （3）4sin 5cos 22 -+=x x y （4）?? ? ? ??∈+-=32,31cos 4cos 32 ππx x x y 分析：（1）（2）可利用sinx,cosx 的值域求解求解过程要注意自变量的去值范围（3）（4）可利用二次函数 c bx ax x f ++=2)(在闭区间[]n m ,上求最值得方法。
1三角函数的概念 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、角的概念与推广 1．任意角的概念：正角、负角、零角 2．象限角与轴线角： 与α终边相同的角的集合：},2|{Z k k ∈+=απββ 第一象限角的集合：{|22,}2 k k k Z π βπβπ<<+∈ 第二象限角的集合：{| 22,}2 k k k Z π βπβππ+<<+∈ 第三象限角的集合：3{|22,}2 k k k Z π βππβπ+<<+∈ 第四象限角的集合：3{| 222,}2 k k k Z π βπβππ+<<+∈ 终边在x 轴上的角的集合：{|,}k k Z ββπ=∈ 终边在y 轴上的角的集合：{|,}2 k k Z π ββπ=+∈ 终边在坐标轴上的角的集合：{|,}2 k k Z π ββ=∈ 要点诠释： 要熟悉任意角的概念，要注意角的集合表现形式不是唯一的，终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，还要注意区间角与象限角及轴线角的区别与联系. 三角函数的概念 角的概念的推广、弧度制 正弦、余弦的诱导公式 同角三角函数的基本关系式 任意角的三角函数
考点二、弧度制 1．弧长公式与扇形面积公式： 弧长l r α= ?，扇形面积21 122 S lr r α==扇形（其中r 是圆的半径，α是弧所对圆心角的弧度数）. 2．角度制与弧度制的换算： 180π=；180 10.017451()57.305718'180 rad rad rad π π = ≈=≈=； 要点诠释： 要熟悉弧度制与角度制的互化以及在弧度制下的有关公式. 考点三、任意角的三角函数 1. 定义：在角α上的终边上任取一点(,)P x y ，记r OP ==则sin y r α= , cos x r α=, tan y x α=，cot x y α=，sec r x α=，csc r y α= 2. 三角函数线：如图，单位圆中的有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做α的正弦线，余弦线，正切线. 3. 三角函数的定义域：sin y α=，cos y α=的定义域是R α∈；tan y α=，sec y α=的定义域是 {|,}2 k k Z π ααπ≠+ ∈；cot y α=，csc y α=的定义域是{|,}k k Z ααπ≠∈. 4. 三角函数值在各个象限的符号： 考点四、同角三角函数间的基本关系式 1. 平方关系：2 2 2222sin cos 1;sec 1tan ;csc 1cot α+α=α=+αα=+α. 2. 商数关系：sin cos tan ;cot cos sin α α α= α= α α . 3. 倒数关系：tan cot 1;sin csc 1;cos sec 1α?α=αα=α?α= 要点诠释： ①同角三角函数的基本关系主要用于：（1）已知某一角的三角函数，求其它各三角函数值；（2）证明三角恒等式；（3）化简三角函数式. ②三角变换中要注意“1”的妙用，解决某些问题若用“1”代换，如2 2 1sin cos =α+α， 221sec tan tan 45=α-α== ，则可以事半功倍；同时三角变换中还要注意使用“化弦法”、消去法 及方程思想的运用. 考点五、诱导公式 1.2(),,,2k k Z πααπαπα+∈-±-的三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值所在象限的符号.
题型一：任意角与弧度制 【例1】 下列各对角中终边相同的角是（ ）。 A 2π和2()2Z k k ππ-+∈ B 3π-和22 3 C 79π-和119π D 203π和1229π 【例2】 若角α、β的终边相同，则αβ-的终边在 . A.x 轴的非负半轴上 B.y 轴的非负半轴上 C.x 轴的非正半轴上 D.y 轴的非正半轴上 【例3】 当角α与β的终边互为反向延长线，则αβ-的终边在 . A.x 轴的非负半轴上 B.y 轴的非负半轴上 C.x 轴的非正半轴上 D.y 轴的非正半轴上 【例4】 时钟经过一小时，时针转过了（ ）。 A 6 rad π B 6 rad π - C 12 rad π D 12 rad π - 【例5】 两个圆心角相同的扇形的面积之比为1:2，则两个扇形周长的比为（ ） A 1:2 B 1:4 C 1:2 D 1:8 典例分析 板块一.三角函数的基本概念
【例6】 下列命题中正确的命题是（ ） A 若两扇形面积的比是1:4，则两扇形弧长的比是1:2 B 若扇形的弧长一定，则面积存在最大值 C 若扇形的面积一定，则弧长存在最小 D 任意角的集合可以与实数集R 之间建立一种一一对应关系 【例7】 一个半径为R 的扇形，它的周长是4R ，则这个扇形所含弓形的面积是（ ） A. 21 (2sin1cos1)2R -? B 21 sin1cos12 R ? C 2 12 R D 2(1sin1cos1)R -? 【例8】 下列说法正确的有几个（ ） （1）锐角是第一象限的角；（2）第一象限的角都是锐角； （3）小于90o 的角是锐角；（4）090o o :的角是锐角。 A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 【例9】 已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x 轴的正半轴上，则角855o 是第 （ ）象限角。 A 第一象限角 B 第二象限角 C 第三象限角 D 第四象限角 【例10】 下面四个命题中正确的是（ ） A.第一象限的角必是锐角 B.锐角必是第一象限的角 C.终边相同的角必相等 D.第二象限的角必大于第一象限的角 【例11】 已知角α的终边经过点(3P -，则与α终边相同的角的集合是 . A.2π2π3x x k k ?? =+∈???? Z ， B.5π2π6x x k k ?? =+∈???? Z ， C.5ππ6x x k k ?? =+∈???? Z ， D.2π2π3x x k k ?? =-∈???? Z ， 【例12】 若α是第四象限角，则180α-o 是（ ） A 第一象限角 B 第二象限角 C 第三象限角 D 第四象限角 【例13】 若α与β的终边互为反向延长线，则有（ ）
则21x x -的最小值是_______ 3．不等式1tan - ,8 π = x )1(求?； )2(求函数)(x f y =的单调减区间； 证明直线025=+-c y x 与函数)(x f y =的图象不相切 例2 求下列函数的单调区间: );3 23sin(21)1(x y -= π )4cos()2(π--=x y 例3 已知函数)0,0)(sin()(π?ω?ω≤≤>+=x x f 是R 上的偶函数,其图象关于点)0,4 3( πM 对称,且在区间]2,0[π 上是单调函数,求?和ω的值. 练习：若函数)(x f y =的图象和)4 sin(π+=x y 的图象关于点 )0,4 (π M 对称，则 )(x f 的表达式是_________________ 【课堂检测】 1．函数x y 2sin =的对称轴方程为_________， 函数)2 cos(π +=x y 的对称中 心坐标为_________ 2．求下列函数的单调区间 （1）)34 sin(x y -=π ；（2）)cos (sin sin )(x x x x f -= 3．已知)sin(3)sin()(θθ-++=x x x f 为偶函数，求θ的值. 【课后作业】 1．已知函数23sin cos cos ()y ωx ωx ωx R ωR =-∈∈3 x+， ，2 的最小正周期为π，且当6 πx =时，函数有最小值，(1)求()f x 的解析式；(2)求()f x 的单调递增区间。
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