一、基本知识概要：
1、 期望的定义：
一般地，若离散型随机变量ξ的分布列为
ξ x 1 x 2 x 3 … x n … P
P 1
P 2
P 3
…
P n
…
则称E ξ=x 1P 1+x 2P 2+x 3P 3+…+x n P n +…为ξ的数学期望或平均数、均值，简称期望。 它反映了:离散型随机变量取值的平均水平。
若η=a ξ+b(a 、b 为常数)，则η也是随机变量，且E η=aE ξ+b 。 E(c)= c 特别地，若ξ～B(n ，P )，则E ξ=n P
2、 方差、标准差定义：
D ξ=(x 1-
E ξ)2·P 1+(x 2-E ξ)2·P 2+…+(x n -E ξ)2·P n +…称为随机变量ξ的方差。 D ξ的算术平方根ξD =δξ叫做随机变量的标准差。
随机变量的方差与标准差都反映了:随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。 且有D(a ξ+b)=a 2D ξ,可以证明D ξ=E ξ2- (E ξ)2。 若ξ～B(n ，p)，则D ξ=npq ，其中q=1-p.
3、特别注意：在计算离散型随机变量的期望和方差时，首先要搞清其分布特征及分布列，然后要准确应用公式，特别是充分利用性质解题，能避免繁琐的运算过程，提高运算速度和准确度。 考点一 期望与方差
例1：设随机变量ξ具有分布P (ξ＝k )＝15
，k ＝1,2,3,4,5，求E (ξ＋2)2
，(21)D ξ-，
(1)σξ-．
例2：有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设，为了对重点建设负责，
政府到两建材厂抽样检查，他们从中各抽取等量的样品检查它们的抗拉强度指数如下：
ξ 110 120 125 130 135
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
其中ξ和η分别表示甲、乙两建材厂材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120的条件下，比较甲、乙两建材厂材料哪一种稳定性较好．
ηη 100 115 125 130 145
P
0.1
0.2
0.4
0.1
0.2
考点二离散型随机变量的分布、期望与方差
例3：如图，一个小球从M处投入，通过管道自上而下落到A或B或C。已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的。某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A，B，C，则分别设为1，2，3等奖。（Ⅰ）已知获得1，2，3等奖的折扣率分别为50%，70%，90%。记随机变量
ξ为获得k（k=1，2，3）等奖的折扣率，求随机变量ξ的分布列及期望Eξ；
（Ⅱ）若有3人次（投入1球为1人次）参加促销活动，记随机变量η为获得1等奖或2等奖的人次，求P(η=2).
2、某同学参加3门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为4
5
，第二、
第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q(p＞q)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为
ξ0 1 2 3
p6
125a d24
125
(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；(Ⅱ)求p，q的值；(Ⅲ)求数学期望Eξ。
开锁次数的数学期望和方差
例 有n 把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能把大门上的锁打开．用它们去试开门上的锁．设抽取钥匙是相互独立且等可能的．每把钥匙试开后不能放回．求试开次数ξ的数学期望和方差．
次品个数的期望
例 某批数量较大的商品的次品率是5％，从中任意地连续取出10件，ξ为所含次品的个数，求ξE ．
根据分布列求期望和方差
例 设ξ 是一个离散型随机变量，其分布列如下表，求q 值，并求ξ ξ D E 、．
ξ
－1 0 1
P
2
1
q 21- 2q
产品中次品数分布列与期望值
例 一批产品共100件，其中有10件是次品，为了检验其质量，从中以随机的方式选取5件，求在抽取的这5件产品中次品数分布列与期望值，并说明5件中有3件以上（包括3件）为次品的概率．（精确到0．001）
评定两保护区的管理水平
例 甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等．而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：
甲保护区：
ξ
0 1 2 3
P 0.3 0.3 0.2 0.2
乙保护区：
ξ
0 1 2
P 0.1 0.5 0.4
试评定这两个保护区的管理水平．
射击练习中耗用子弹数的分布列、期望及方差
例 某射手进行射击练习，每射击5发子弹算一组，一旦命中就停止射击，并进入下一组的练习，否则一直打完5发子弹后才能进入下一组练习，若该射手在某组练习中射击命中一次，并且已知他射击一次的命中率为0.8，求在这一组练习中耗用子弹数ξ 的分布列，并求出ξ 的期望ξ E 与方差ξ D （保留两位小数）
．
准备礼品的个数
例 某寻呼台共有客户3000人，若寻呼台准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间
来领取．假设任一客户去领奖的概率为4％．问：寻呼台能否向每一位顾客都发出奖邀请？若能使每一位领奖人都得到礼品，寻呼台至少应准备多少礼品？
分析：求)(k P =ξ时，由题知前1-k 次没打开，恰第k 次打开．不过，一般我们应从简单的地方入手，如3,2,1=ξ，发现规律后，推广到一般．
解：ξ的可能取值为1，2，3，…，n ．
Λ
;1
2112121)111()11()3(;1
11111)11()2(,1)1(n
n n n n n n n n P n n n n n n P n
P =-?--?-=-?--?-===-?-=-?-===
=ξξξ
n
k n k n k n n n n n n n k n k n n n n k P 1
11212312111)211()211()111()11()(=
+-?+-+---?--?-=+-?+----?--?-==ΛΛξ；所以ξ的分布列为：
ξ
1 2 … k … n
P
n 1 n 1 … n 1 … n
1
2
1
1131211+=
?++?+?+?=n n n n n n E Λξ； n
n n n n k n n n n n n D 1
)21(1)21(1)213(1)212(1)211(22222?+-++?+-++?+-+?+-+?+-
=ΛΛξ ??
?????+++++++-++++=
n n n n n n 22222)21()321)(1()321(1ΛΛ 121
4)1(2)1()12)(1(611222-=
??
????+++-++=n n n n n n n n n 分析：数量较大，意味着每次抽取时出现次品的概率都是0.05，ξ可能取值是：0，1，2，…，10．10次抽取看成10次独立重复试验，所以抽到次品数ξ服从二项分布，由公式
np E =ξ可得解．
解：由题，()05.0,10~B ξ，所以5.005.010=?=ξE ．
说明：随机变量ξ的概率分布，是求其数学期望的关键．因此，入手时，决定ξ取哪些
值及其相应的概率，是重要的突破点．此题k
k k C k P --?==1010)05.01()05.0()(ξ，应觉察
到这是()05.0,10~B ξ．
分析：根据分布列的两个性质，先确定q 的值，当分布列确定时，ξ ξ D E 、只须按定义代公式即可．
解： 离散型随机变量的分布满足
（1）,,3,2,1,0Λ =≥i P i （2）.1321=+++Λ P P P
所以有???
????≤≤-≤=+-+.
1,1210,1212122
q q q q 解得 .21
1-=q 故ξ 的分布列为
ξ
－1 0 1
P
2
1 12-
22
3
- ??
?
??-?+-?+?-=∴2231)12(021)1(ξ E
.2122
3
21 -=-+-=
???
??-?--+-?-+?---=223)]21(1[)12()21(21)]21(1[ 222ξ D
??
?
??-+-+?-=2232)12(21)22( 32
.12223123622223 -=-+-+-+-=
小结：解题时不能忽视条件i i p k P ==)(ξ时，10≤≤i p ，???=,2,1i 否则取了1>q 的值后，辛辛苦苦计算得到的是两个毫无用处的计算．
分析：根据题意确定随机变量及其取值，对于次品在3件以上的概率是3，4，5三种情况的和．
解：抽取的次品数是一个随机变量，设为ξ ，显然ξ 可以取从0到5的6个整数． 抽样中，如果恰巧有k 个（5,4,3,2,1,0=k ）次品，则其概率为
5
100
590
10)(C
C C k P k k -?=
=ξ
按照这个公式计算，并要求精确到0．001，则有
.
0)5( ,0)4( ,07.0)3( ,070.0)2( ,340.0)1( ,583.0)0(============ξ ξ ξ ξ ξ ξ P P P P P P
故ξ 的分布列为
ξ
0 1 2 3 4 5 P
0.583
0.340
0.070
0.007
.501.00504007.03070.02340.01583.00=?+?+?+?+?+?=ξ E
由分布列可知，
.
007.0)3( ,00007.0)3( =≥∴++=≥ξ ξ P P
这就是说，所抽取的5件品中3件以上为次品的可能性很小，只有7％．
分析：一是要比较一下甲、乙两个保护区内每季度发生的违规事件的次数的均值，即数学期望；二是要看发生违规事件次数的波动情况，即方差值的大小．（当然，亦可计算其标准差，同样说明道理．）
解：甲保护区的违规次数1ξ的数学期望和方差为：
;3.12.032.023.013.001=?+?+?+?=ξE
;21.12.0)3.13(2.0)3.12(3.0)3.11(3.0)3.10(22221=?-+?-+?-+?-=ξD
乙保护区的违规次数2ξ的数学期望和方差为：
;3.14.025.011.002=?+?+?=ξE
41.04.0)3.12(5.0)3.11(1.0)3.10(2222=?-+?-+?-=ξD ；
因为2121,ξξξξD D E E >=，所以两个保护区内每季度发生的违规平均次数是相同的，但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区的违规事件次数相对分散和波动．
（标准差64.0,1.12211≈===ξσξξσξD D 这两个值在科学计算器上容易获得，
显然，σξσξ>1）
说明：数学期望仅体现了随机变量取值的平均大小，但有时仅知道均值大小还是不够的，比如：两个随机变量的均值相等了（即数学期望值相等），这就还需要知道随机变量的取值如何在均值周期变化，即计算其方差（或是标准差）．方差大说明随机变量取值分散性
大；方差小说明取值分散性小或者说取值比较集中、稳定．
分析：根据随机变量不同的取值确定对应的概率，在利用期望和方差的定义求解．
解： 该组练习耗用的子弹数ξ 为随机变量，ξ 可以取值为1，2，3，4，5．
ξ ＝1，表示一发即中，故概率为
;8.0)1(==ξ P
ξ ＝2，表示第一发未中，第二发命中，故
;16.08.02.08.0)8.01()2(=?=?-==ξ P
ξ ＝3，表示第一、二发未中，第三发命中，故
;032.08.02.08.0)8.01()3(22=?=?-==ξ P
ξ ＝4，表示第一、二、三发未中，第四发命中，故
0064.08.02.08.0)8.01()4(33=?=?-==ξ P
ξ ＝5，表示第五发命中，故
.0016.02.01)8.01()5(44==?-==ξ P
因此，ξ 的分布列为
ξ
1 2 3 4 5 P
0.8
0.16
0.032
0.0064
0.0016
0016.050064.04032.0316.028.01?+?+?+?+?=ξ E ,25.1008.00256.0096.032.08.0 =++++=
0016.0)25.15(0064.0)25.14(032.0)25.13(16.0)25.12(8.0)25.11(22222?-+?-+?-+?-+?-=ξ D
.31.00225.00484.0098.009.005.0 =++++=
说明：解决这类问题首先要确定随机变量的所有可能取值，然后再根据概率的知识求解
对应的概率．
分析：可能来多少人，是一个随机变量ξ．而ξ显然是服从二项分布的，用数学期望来反映平均来领奖人数，即能说明是否可行．
解
：
设
来
领
奖
的
人
数
)
3000,,2,1,0(,Λ==k k ξ，所以
k k k
C k P --?==300003000)04.01()04.0()(ξ，可见()04.0,30000~B ξ，所以，
12004.03000=?=ξE （人）100>（人）
． 答：不能，寻呼台至少应准备120份礼品．
说明：“能”与“不能”是实际问题转到数学中来，即用数字来说明问题．数字期望反映了随机变量取值的平均水平．用它来刻画、比较和描述取值的平均情况，在一些实际问题中有重要的价值．因此，要想到用期望来解决这一问题．
2.3.2 方差与标准差 1．理解样本数据方差与标准差的意义和作用，会计算数据的方差、标准差．(重点、难点) 2．掌握通过合理抽样对总体的稳定性水平作出科学估计的思想．(难点 ) [基础·初探] 教材整理方差与标准差 阅读教材P69～P70“例4”上边的内容，并完成下列问题． 1．极差的概念 我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差． 2．方差与标准差的概念 (1)设一组样本数据x1，x2，…，x n，其平均数为x － ，则称s2＝ 1 n ∑ i＝1 n (x i－x － )2为这个样本的方差． (2)方差的算术平方根s＝ 1 n ∑ i＝1 n ?x i－x － ?2为样本的标准差． 填空： (1)已知样本方差为s2＝ 1 10 ∑ i＝1 n (x i－5)2，则样本的平均数x － ＝________；x1＋x2＋…＋x10＝________. 【导学号：】 【解析】由题意得x＝5，n＝10， ∴x＝ x1＋x2＋x3＋…＋x10 10 ＝5，∴x1＋x2＋x3＋…＋x10＝50. 【答案】 5 50 (2)数据10,6,8,5,6的方差s2＝________.
【解析】 5个数的平均数x ＝10＋6＋8＋5＋6 5 ＝7， 所以s 2＝15×[(10－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(6－7)2 ]＝. 【答案】 [小组合作型] 方差与标准差的计算 (1)某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图如图2-3-7， 则该运 动员在这五场比赛中得分的方差为________． 图2-3-7 (2)设样本数据x 1，x 2，…，x 10的均值和方差分别为1和4，若y i ＝x i ＋a (a 为非零常数， i ＝1,2，…，10)，则y 1，y 2，…，y 10的均值和标准差分别为________、________. 【精彩点拨】 根据方差和均值的定义进行计算． 【自主解答】 (1)依题意知，运动员在5次比赛中的分数依次为8,9,10,13,15，其平均数为8＋9＋10＋13＋15 5 ＝11. 故方差为s 2＝15[(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－11)2＋(15－11)2 ]＝15(9＋4＋1 ＋4＋16)＝. (2)样本数据x 1，x 2，…，x 10的均值x ＝1 10(x 1＋x 2＋…＋x 10)＝1， 方差s ′2＝110[(x 1－1)2＋(x 2－1)2＋…＋(x 10－1)2 ]＝4， 新数据x 1＋a ，x 2＋a ，…，x 10＋a 的均值 x ＝110(x 1＋a ＋x 2＋a ＋…＋x 10＋a )＝110 (x 1＋x 2＋…＋x 10)＋a ＝1＋a . 新数据x 1＋a ，x 2＋a ，…，x 10＋a 的方差 s 2＝110 [(x 1＋a －1－a )2＋(x 2＋a －1－a )2＋…＋(x 10＋a －1－a )2]
方差与标准差 班级姓名学号 学习目标：1.经历方差与标准差概念的引进和形成过程，知道方差和标准差是表示一组数据波动程度的量； 2.会计算一组数据的方差和标准差； 3.能根据一组数据的方差或标准差来解释数据的波动性，并用于解决简单 的实际问题. 学习重点：通过对一组数据的波动性的分析，引进方差和标准差的概念和计算方法，并初步进行实际应用 学习难点：方差和标准差的计算. 学习范围： 学习过程 一、引入： 1.下列各组数据的平均数、中位数、众数分别为A组:_______;B组:_______. A组: 0, 10, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5; B组: 4, 6, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 1, 9. 2.某食品厂有甲乙两条流水线生产某种100克的袋装食品,在试生产时,从这两条流水线分别随机各抽取5袋食品,称出各袋食品的重量(克)分别是: 甲:100,101,99,101,99; 乙:102,98,101,98,101.由上述提供的信息,你认为哪一条流水线生产的5袋食品的重量比较稳定(即波动较小)? 甲:100,101,99,101,99; 乙:102,98,101,98,101. 甲、乙两条流水线生产的5袋食品重量的平均数分别为:_______________ 由此能不能说这两条流水线生产的5袋食品重量的波动大小一样? 为了直观地看出甲乙两条流水线生产的5袋食品重量的波动大小,用下图表示出来. 从图中可以看出,两组数据都在100附近,但甲的数据波动程度较小,乙的数据波动程度较大.学习要点
二、新知新觉： 如果一组数据:x1,x2,…,xn,它们的平均数为x,那么这n个数与平均数x的差的平方的平均数叫做这n个数的方差,记作S2.即_____________________ 方差的非负平方根叫做标准差,记作S.即____________________________ 方差与标准差反映了一组数据波动的大小,即一组数据偏离平均数的程度.一组数据越接近于它们的平均数,方差与标准差就越小,这时平均数就越具有代表性.只有当一组数据中所有的数都相等时,方差与标准差才可能为零. 方差(标准差)越大,说明数据的波动越大,越不稳定. 分别计算上述问题的方差和标准差， 三、合作探究: 例题1. 某区要从甲乙两名射击运动员中挑选一人参加全市比赛.在选拔赛中,每人进行了5次射击,甲的成绩(环)为: 9.7,10,9.6,9.8,9.9;乙的平均成绩为9.8环,方差为0.032. (1) 甲的射击成绩的平均数和方差分别是多少? (2) 据估计,如果成绩达到9.8环就可能夺得金牌,为了夺得金牌,应选谁参加比赛? 例题2. 100克的鱼和家禽中,可食用部分蛋白质的含量如图所示. (1) 100克的鱼和家禽中,可食用部分的蛋白质含量的平均数各是多少克? (2) 100克鱼和家禽的蛋白质的平均含量中,哪一个更具有代表性?请说说判断的理由.
§2.3.2离散型随机变量的方差（第2课时） 一、教材分析： 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值．今天，我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究．其实在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，即研究过一组数据的方差. 回顾一组数据的方差的概念：设在一组数据1x ，2x ，…， n x 中，各数据与它 们的平均值x 得差的平方分别是21)(x x -，2 2)(x x -，…，2)(x x n -，那么 [1 2n S = 21)(x x -＋2 2)(x x -＋…＋])(2x x n -叫做这组数据的方差 。 二、学情分析： 学生学习本节应该比较轻松，定义比较简单，初中已经接触过方差，高中阶段是将原先学得知识进一步提升。主要学生能将离散型随机变量的分布列列出来，进行套公式运算就可以，应注意的是要求学生在计算过程中细心。有过探究、交流的课堂教学的尝试。 三、教学目标： 1、知识与技能 了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。 2、过程和方法： 通过教师指导下的探究活动，经历数学思维过程，熟悉理解“观察—归纳—猜想—证明”的思维方法，养成合作的意识，获得学习和成功的体验．了解方差公式“D (a ξ+b )=a 2 D ξ”，以及“若ξ～Β(n ，p )，则D ξ=np (1—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。 3、情感和价值： 承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。
教学目标： 1．正确理解样本数据方差、标准差的意义和作用， 2．学会计算数据的方差、标准差； 3．会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征． 教学方法： 引导发现、合作探究． 教学过程： 一、创设情景，揭示课题 有甲、乙两种钢筋，现从中各抽取一个标本（如表）检查它们的抗拉强度（单位：kg/mm2）,通过计算发现，两个样本的平均数均为125． 提出问题：哪种钢筋的质量较好？ 二、学生活动 由图可以看出，乙样本的最小值100低于甲样本的最小值100，最大值145高于甲样本的最大值135，这说明乙种钢筋没有甲种钢筋的抗拉强度稳定.
我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差（range ）．由图可以看出，乙的极差较大，数据点较分散；甲的极差小，数据点较集中，这说明甲比乙稳定．运用极差对两组数据进行比较，操作简单方便，但如果两组数据的集中程度差异不大时，就不容易得出结论． 考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是方差和标准差． 三、建构数学 1．方差： 2．标准差：21 )(1-=-=∑x x n s n i i 标准差也可以刻画数据的稳定程度． 3．方差和标准差的意义： 描述一个样本和总体的波动大小的特征数，标准差大说明波动大． 四、数学运用 例1 甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm 2），试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定． 解：甲品种的样本平均数为10，样本方差为 ÷5＝0.02. 乙品种的样本平均数也为10，样本方差为 ÷5＝0.24 因为0.24＞0.02，所以，由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定． 例2 为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换．已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下，试估计这种日光灯的
第8课时 方差与标准差 【学习目标】 1．通过实例是学生理解样本数据的方差、标准差的意义和作用； 2．学会计算数据的方差、标准差； 3．使学生掌握通过合理抽样对总体的稳定性水平作出科学估计的思想． 【问题情境】 有甲、乙两种钢筋，现从中各抽取一个标本（如表）检查它们的抗拉强度（单位： 2/mm kg ），通过 计算发现，两个样本的平均数均为125． 甲 110 120 130 125 120 125 135 125 135 125 乙 115 100 125 130 115 125 125 145 125 145 哪种钢筋的质量较好？ 【合作探究】 将甲、乙两个样本数据分别标在数轴上，如下图所示． 由图可以看出，乙样本的最小值 ，低于甲样本的最小值 ，最大值 高于甲样本的最大值 ，这说明乙种钢筋没有甲种钢筋的抗拉强度稳定． 我们把一组数据的 称为极差（range ）．由图可以看出，乙的极差较大，数据点较分散；甲的极差小，数据点较集中，这说明甲比乙稳定．运用极差对两组数据进行比较，操作简单方便，但如果两组数据的集中程度差异不大时，就不容易得出结论．那又该如何刻画抗拉强度的稳定性呢？ 【知识建构】 1．设一组样本数据12,,,n x x x L ，其平均数为x ，
则方差2s ＝___________________________________________=________________； 标准差s ＝____________________________________________=________________． 2．方差和标准差的意义：描述样本和总体的波动大小的特征数，标准差大说明波动大． 【展示点拨】 例1．甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量（单位：2 /hm t ）如下，试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定． 例2．为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换．已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下，试估计这种日光灯的平均使用寿命和标准差． 例3．⑴若样本x 1，x 2，……，x n 的平均数为10，方差为2，则样本x 1+2，x 2+2，……，
第24课时方差与标准差 【学习导航】 学习要求 1．体会方差与标准差也是对调查数据的一种简明的描述，要求熟练记忆公式，并能用于生产实际和科学实验中； 2．体会方差与标准差对数据描述中的异同。 【课堂互动】 自学评价 案例有甲乙两种钢筋现从中各抽取一个样本(如下表)检查它们的抗拉强度(单位:kg/mm2)， 125． 哪种钢筋的质量较好? 【分析】 在平均数相同的情况下，观察上述数据表，发现乙 样本的最小值100低于甲样本的最小值110，最大值145 高于甲样本的最大值135，这说明乙种钢筋没有甲种钢筋的抗拉强度稳定． 在平均数相同的情况下，比较两组数据的极差能大概判断它们的稳定程度． 极差: 我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差． 从数据表上可以看出，乙的极差较大，数据较分散;甲的极差小，数据较集中，这就说明甲比乙稳定． 运用极差对两组数据进行比较，操作简单方便，但如果两组数据的集中程度差异不大时，就不容易得出结论．这时，我们考虑用更为精确的方法——方差． 在上一课时中，学习了总体平均数的估计，其中提到平均数是“最理想”近似值的缘由．同样我们可以考虑每一抗拉强度与平均抗拉强度的离差，离差越小，稳定性就越高．那么，怎样来刻画一组数据的稳定程度呢？ 在上一课时中，设n个实验值 i a(i=1，2，…，n)的近似值为x，那么它与这n个实验 值 i a(i=1，2，…，n)的离差分别为 1 a x-， 2 a x-，…， n a x-．由于上述离差有正有负， 故不宜直接相加．可以考虑将各个离差的绝对值相加，研究| 1 a x-|+| 2 a x-|+…+| n a x-|取最小值时x的值．但由于含绝对值，运算不太方便，所以考虑离差的平方和，即 ( 1 a x-)2+( 2 a x-)2+…+( n a x-)2，当此和最小时，对应的x的值作为近似值，因为 ( 1 a x-)2+( 2 a x-)2+…+( n a x-)2 =2 2 2 2 1 2 1 2) (2 n n a a a x a a a nx+???+ + + +???+ + -， 所以当) ( 1 2 1n a a a n x+???+ + =时离差的平方和最小，故可用) ( 1 2 1n a a a n +???+ +作为表 示这个物理量的理想近似值，称其为这n个数据 1 a， 2 a，…， n a的平均数或均值，一般记为) ( 1 2 1n a a a n a+???+ + =． 在上述过程中，可以发现，一组数据与其平均数的离差的平方和最小，考虑用与其平均数的离差的平方和来刻画一组数据的稳定程度是可行的．即本案例中，可用各次抗拉强度与平均抗拉强度的差的平方和表示．由于比较的两组数据的容量可能不同，因此应将上述平方和除以数据的个数，我们把由此所得的值称为这组数据的方差． 因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了离差的程度，我们将方差开方后的值称为这组数据的标准差．标准差也可以刻画数据的稳定程度． 一般地，设一组样本数据 n x x x, , , 2 1 ???，其平均数为x，则称∑ = - = n i i x x n s 1 2 2) ( 1
开锁次数的数学期望和方差 例 有n 把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能把大门上的锁打开．用它们去试开门上的锁．设抽取钥匙是相互独立且等可能的．每把钥匙试开后不能放回．求试开次数ξ的数学期望和方差． 分析：求)(k P =ξ时，由题知前1-k 次没打开，恰第k 次打开．不过，一般我们应从简单的地方入手，如3,2,1=ξ，发现规律后，推广到一般． 解：ξ的可能取值为1，2，3，…，n ． ;12112121)111()11()3(;111111)11()2(,1)1(n n n n n n n n n P n n n n n n P n P =-?--?-=-?--?-===-?-=-?-====ξξξ n k n k n k n n n n n n n k n k n n n n k P 111212312111)211()211()111()11()(=+-?+-+---?--?-=+-?+----?--?-== ξ；所以ξ的分布列为： 2 31211=?++?+?+?=n n n n n E ξ； n n n n n k n n n n n n D 1)21(1)21(1)213(1)212(1)211(22222?+-++?+-++?+-+?+-+?+- = ξ ?? ?????+++++++-++++=n n n n n n 22222)21()321)(1()321(1 12 14)1(2)1()12)(1(611222-=??????+++-++=n n n n n n n n n 说明：复杂问题的简化处理，即从个数较小的看起，找出规律所在，进而推广到一般，方差的公式正确使用后，涉及一个数列求和问题，合理拆项，转化成熟悉的公式，是解决的关键． 次品个数的期望
第24课时 方差与标准差 【学习导航】 学习要求 1．体会方差与标准差也是对调查数据 的一种简明的描述，要求熟练记忆 公式，并能用于生产实际和科学实验中； 2．体会方差与标准差对数据描述中的 异同。 【课堂互动】 自学评价 案例 有甲乙两种钢筋现从中各抽取一个样本(如下表)检查它们的抗拉强度(单 位:kg/mm 2 )，通过计算发现，两个样本的平 【分析】 在平均数相同的情况下，观察上述数据表，发现乙样本的最小值100低于甲样本的最小值110，最大值145高于甲样本的最大值135，这说明乙种钢筋没有甲种钢筋的抗拉强度稳定． 在平均数相同的情况下，比较两组数据的极差能大概判断它们的稳定程度． 极差: ． 从数据表上可以看出，乙的极差较大，数据较分散;甲的极差小，数据较集中，这就说明甲比乙稳定． 运用极差对两组数据进行比较，操作简单方便，但如果两组数据的集中程度差异不大时，就不容易得出结论．这时，我们考虑用更为精确的方法——方差． 在上一课时中，学习了总体平均数的估计，其中提到平均数是“最理想”近似值的缘由．同样我们可以考虑每一抗拉强度与平均抗拉强度的离差，离差越小，稳定性就越高． 那么，怎样来刻画一组数据的稳定程度呢？ 在上一课时中，设n 个实验值i a (i =1，2，…，n)的近似值为x ，那么它与这n 个实验值i a (i =1，2，…，n)的离差分别为1a x -， 2a x -， …，n a x -．由于上述离差有正有负，故不宜直接相加．可以考虑将各个离差的绝对值相加，研究|1a x -|+|2a x -|+…+|n a x -|取最小值时x 的值．但由于含绝对值，运算不太方便，所以考虑离差的平方和，即(1a x -)2+(2a x -)2+…+(n a x -)2，当此和最小时，对应的x 的值作为近似值，因为 (1a x -)2+(2a x -)2+…+(n a x -)2 = 2 2 22 1212 )(2n n a a a x a a a nx +???++++???++-， 所以当)(121n a a a n x +???++= 时离差的平方和最小，故可用 )(121n a a a n +???++作为表示 这个物理量的理想近似值，称其为这n 个数据 1a ，2a ，…，n a 的平均数或均值，一般记为 )(121n a a a n a +???++= ． 在上述过程中，可以发现， 最小，考虑用与其平均数的离差的平方和来刻画一组数据的稳定程度是可行的．即本案例中，可用各次抗拉强度与平均抗拉强度的差的平方和表示．由于比较的两组数据的容量可能不同，因此应将上述平方和除以数据的个数，我们把由此所得的值称为这组数据的方差． 因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了离差的程度，我们将方差开方后的值称为这组数据的标准差．标准差也可以刻画数据的稳定程度． 一般地，设一组样本数据n x x x ,,,21???，其平均数为x ，则称 为这个样本的方差，其算术平方根 为样本的标准差，分别简称样本方差，样本标准差． 根据上述方差计算公式可算得甲、乙两个样本的方差分别为50和165，故可认为甲种钢筋的质量好于乙种钢筋． 【经典范例】 例1 甲、乙两种冬水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm 2）, 试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳? 【解】
2.3.2方差与标准差（1） 教学目标： 1．正确理解样本数据方差、标准差的意义和作用， 2．学会计算数据的方差、标准差； 3．会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征． 教学重点： 用样本数据的方差和标准差估计总体的方差与标准差． 教学难点： 理解样本数据的方差、标准差的意义和作用，形成对数据处理过程进行初步评价的意识． 教学方法： 引导发现、合作探究． 教学过程： 一、创设情景，揭示课题 有甲、乙两种钢筋，现从中各抽取一个标本（如表）检查它们的抗拉强度（单位：kg/mm2）,通过计算发现，两个样本的平均数均为125． 提出问题：哪种钢筋的质量较好？ 二、学生活动
由图可以看出，乙样本的最小值100低于甲样本的最小值100，最大值145高于甲样本的最大值135，这说明乙种钢筋没有甲种钢筋的抗拉强度稳定. 我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差（range ）．由图可以看出，乙的极差较大，数据点较分散；甲的极差小，数据点较集中，这说明甲比乙稳定．运用极差对两组数据进行比较，操作简单方便，但如果两组数据的集中程度差异不大时，就不容易得出结论． 考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是方差和标准差． 三、建构数学 1．方差： 一般地，设一组样本数据1x ，2x ，…，n x ，其平均数为－ x ，则称－ 2 1 2 )(1x x n s n i i -=∑=为这个样本的方差． 因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了离差的程度，我们将方差的算术平方根称为这组数据的标准差． 2．标准差：21 )(1-=-=∑x x n s n i i 标准差也可以刻画数据的稳定程度． 3．方差和标准差的意义： 描述一个样本和总体的波动大小的特征数，标准差大说明波动大． 四、数学运用 例1 甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm 2），试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定．
八年级数学《极差、方差和标准差》知识点 极差、方差、标准差都是用来研究一组数据的离散程度，表示一组数据离散程度的指标． 一、定义理解 1、极差 极差是用来反映一组数据变化范围的大小．我们可以用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差就称为极差． 极差＝最大值－最小值 极差仅只表示一组数据变化范围的大小，只对极端值较为敏感，而不能表示其它更多的意义． 2、方差 方差是反映一组数据的整体波动大小的指标，它是指一组数据中各数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数，它反映的是一组数据偏离平均值的情况． 求一组数据的方差可以简记为：“先平均，再求差，然后平方，最后再平均．”通常用2S 表示一组数据的方差，用x 表示一组数据的平均数，1x 、2x 、…n x 表示各数据． 方差计算公式是： s 2=1n [(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x n -x )2]； 3、标准差
在计算方差的过程中，可以看出2S 的数量单位与原数据的不一致，因而在实际应用时常常将求出的方差再开平方，这就是标准差． 标准差＝方差，方差＝标准差2． 一组数据的标准差计算公式是S =x 为n 个数据12n x x x ，， …，的平均数． 方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小．方差较大的波动较大，方差较小的波动较小，方差的单位是原数据的单位平方，标准差的单位与原数据的单位相同．在解决实际问题时，常用样本的方差来估计总体方差方法去考察总体的波动情况． 二、例题讲析 例1、甲、乙两支篮球队在一次联赛中，各进行10次比赛得分如下： 甲队：100，97，99，96，102，103，104，101，101，100 乙队：97，97，99，95，102，100，104，104，103，102 （1） 求甲、乙两队的平均分和极差？ （2）计算甲、乙两队的方差与标准差，并判断哪支球队发挥更为稳定？ 解：（1）3.10010010110110410310296999710010 1）＝（＝甲+++++++++?x 甲队的极差＝104－96＝8； 甲队的极差＝104－95＝9 （2）61.5])3.100100()3.10099()3.100100[(10 12222＝甲-++-+-=ΛS 甲队的标准差： 37.261.5≈； 乙队的标准差：03.321.9≈ 所以，由此可以判断甲队的得分方差小，标准差也相应较小，因此他们在联赛中发挥更为稳定一些． 例2、对10盆同一品种的花施用甲、乙两种花肥，把10盆花分成两组，每组5
教学目标： 1．掌握并应用计算数据的方差、标准差的方法； 2．了解数据的方差、标准差的简单性质； 3．使学生掌握通过合理抽样对总体的稳定性水平作出科学估计的思想． 教学方法： 引导发现、合作探究． 教学过程： 一、创设情景，揭示课题 要从甲乙两名跳远运动员中选拔一名去参加运动会，选拔的标准是：先看他们的平均成绩，如果两人的平均成绩相差无几，就要再看他们成绩的稳定程度．为此对两人进行了15次比赛，得到如下数据：（单位：cm ）： 甲 755 752 757 744 743 729 721 731 778 768 761 773 764 736 741 乙 729 767 744 750 745 753 745 752 769 743 760 755 748 752 747 如何通过对上述数据的处理，来作出选人的决定呢？ 提出问题 ①若给定一组数据12,,,n x x x ，方差为s 2，则12 ,,n ax ax ax 的方差为 ②若给定一组数据12,,,n x x x ，方差为s 2，则12,,n ax b ax b ax b +++的方差 为 二、学生活动 设一组样本数据n 21x ,,x ,x ，其平均数为12n x x x n +++＝x ，则 样本方差：s 2＝n 1〔（x 1—x ）２+（x 2—x ）2 +…+（x n —x ）2〕 另一组样本数据n ax ax ax ,,21 ，其平均数为12n ax ax ax n +++＝a x ,则s 样本方差＝n 1 〔（ax 1—a x ）２+（ax 2—a x ）2+…+（ax n —a x ）2〕 ＝a 2n 1〔（x 1—x ）２+（x 2—x ）2+…+（x n —x ）2〕 ＝22s a ． 同样：另一组样本数据b ax b ax b ax n +++,,21 ，其平均数为
2019年高考数学必考：方差公式 一.方差的概念与计算公式 例1两人的5次测验成绩如下： X：50，100，100，60，50E(X)=72； Y：73，70，75，72，70E(Y)=72。 平均成绩相同，但X不稳定，对平均值的偏离大。 方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。 方差即偏离平方的均值，记为D(X)： 直接计算公式分离散型和连续型，具体为： 这里是一个数。推导另一种计算公式 得到：“方差等于平方的均值减去均值的平方”。 其中，分别为离散型和连续型计算公式。称为标准差或均方差，方差描述波动 二.方差的性质 1.设C为常数，则D(C)=0(常数无波动)； 2.D(CX)=C2D(X)(常数平方提取)； 特别地D(-X)=D(X)，D(-2X)=4D(X)(方差无负值) 方差公式： 平均数：M=(x1+x2+x3+…+xn)/n(n表示这组数据个数，x1、x2、x3……xn表示这组数据具体数值) 方差公式：S2=〈(M-x1)2+(M-x2)2+(M-x3)2+…+(M-xn)2〉╱n 三.常用分布的方差
1.两点分布 2.二项分布 X~B(n，p) 引入随机变量Xi(第i次试验中A出现的次数，服从两点分布) 3.泊松分布(推导略) 4.均匀分布 另一计算过程为 5.指数分布(推导略) 6.正态分布(推导略) 7.t分布:其中X~T(n)，E(X)=0；D(X)=n/(n-2)； 8.F分布：其中X~F(m，n)，E(X)=n/(n-2)； 正态分布的后一参数反映它与均值的偏离程度，即波动程度(随机波动)，这与图形的特征是相符的。 家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长，要求孩子回家向家长朗诵儿歌，表演故事。我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读能力提高很快。方差的定义： 唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义已经相去甚
版高中数学统计平均数中位数众数极差方差标 准差学案 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】
1.4.1 平均数、中位数、众数、极差、方差 1.4.2 标准差 1．会求一组数据的平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差．(重点) 2．方差、标准差在实际问题中的应用．(难点) [基础·初探] 教材整理1 平均数、中位数、众数 阅读教材P25～P26“标准差”以上部分，完成下列问题． 1．众数的定义 一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数，一组数据的众数可以是一个，也可以是多个． 2．中位数的定义及求法 把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，把处于最中间位置的那个数(或中间两数的平均数)称为这组数据的中位数． 3．平均数的定义 如果有n个数x1，x2，…，x n，那么x＝x1＋x2＋x3＋…＋x n n ，叫作这n个数的平均 数． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当样本中的数据都增加相同的量时，平均数不变．( ) (2)一组样本数据的众数只有一个．( ) (3)样本的中位数可以有两个值．( ) 【解析】(1)×，根据平均数的定义可知错误． (2)×，根据众数定义知众数可以一个，也可以多个． (3)×，由中位数的定义可知错误． 【答案】(1)×(2)×(3)× 教材整理2 极差、方差、标准差 阅读教材P26“标准差”以下至P28“例3”以上部分，完成下列问题．
1．标准差、方差 (1)标准差的求法： 标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示． s ＝ 1n [x 1－x 2＋x 2－x 2＋…＋x n －x 2 ]. (2)方差的求法： 标准差的平方s 2 叫作方差． s 2＝1 n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2] 其中，x n 是样本数据，n 是样本容量，x 是样本均值． (3)方差的简化计算公式： s 2＝1 n [(x 21＋x 22＋…＋x 2n )－n x 2 ] ＝1n (x 21＋x 22＋…＋x 2n )－x 2. 2．极差 一组数据的最大值与最小值的差称为这组数据的极差． 3．数字特征的意义 平均数、中位数和众数刻画了一组数据的集中趋势，极差、方差刻画了一组数据的离散程度． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定．( ) (2)数据平均数越小，样本数据分布越集中、稳定．( ) (3)样本的标准差和方差都是正数．( ) 【解析】 (1)√，极差与标准差都反映了样本数据的波动性和离散程度． (2)×，平均数与数据的波动性无关． (3)√，根据标准差与方差的公式可知． 【答案】 (1)√ (2)× (2)√ [小组合作型] 平均数、中位数、众数的计算
高中数学必修三方差计算公式 例1两人的5次测验成绩如下： X：50，100，100，60，50E(X)=72; Y：73，70，75，72，70E(Y)=72。 平均成绩相同，但X不稳定，对平均值的偏离大。 方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。 单个偏离是 消除符号影响 方差即偏离平方的均值，记为D(X)： 直接计算公式分离散型和连续型，具体为： 这里是一个数。推导另一种计算公式 得到：“方差等于平方的均值减去均值的平方”。 其中，分别为离散型和连续型计算公式。称为标准差或均方差，方差描述波动程度。 1.设C为常数，则D(C)=0(常数无波动); 2.D(CX)=C2D(X)(常数平方提取); 证： 特别地D(-X)=D(X),D(-2X)=4D(X)(方差无负值) 3.若X、Y相互独立，则证：记则 前面两项恰为D(X)和D(Y)，第三项展开后为 当X、Y相互独立时，
故第三项为零。 特别地 独立前提的逐项求和，可推广到有限项。 方差公式： 平均数：M=(x1+x2+x3+…+xn)/n(n表示这组数据个数，x1、x2、x3……xn表示这组数据具体数值) 方差公式：S^2=〈(M-x1)^2+(M-x2)^2+(M-x3)^2+…+(M-xn)^2〉╱n 分层抽样 (1)分层抽样(类型抽样)： 两种方法： ①先以分层变量将总体划分为若干层，再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。 ②先以分层变量将总体划分为若干层，再将各层中的元素按分层的顺序整齐排列，最后用系统抽样的方法抽取样本。 (2)分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子 总体，再抽取不同的子总体中的样本分别代表该子总体，所有的样 本进而代表总体。 分层标准： ①以调查所要分析和研究的主要变量或相关的变量作为分层的标准。 ②以保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、突出总体内在结构的变量作为分层变量。 ③以那些有明显分层区分的变量作为分层变量。 高中数学必修3统计知识点：系统抽样
高中数学必修三方差计算公式 方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数，是高中数学必修三课本的重点内容，下面小编给大家带来数学必修三方差计算公式，希望对你有帮助。 高中数学必修三方差的概念与计算公式例1 两人的5次测验成绩如下： X：50，100，100，60，50 E(X)=72; Y：73，70，75，72，70 E(Y)=72。 平均成绩相同，但X 不稳定，对平均值的偏离大。 方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。 单个偏离是 消除符号影响 方差即偏离平方的均值，记为D(X)： 直接计算公式分离散型和连续型，具体为： 这里是一个数。推导另一种计算公式 得到：方差等于平方的均值减去均值的平方。 其中，分别为离散型和连续型计算公式。称为标准差或均方差，方差描述波动程度。 高中数学必修三方差的性质 1.设C为常数，则D(C) = 0(常数无波动); 2.D(CX)=C2 D(X) (常数平方提取);
证： 特别地D(-X) = D(X), D(-2X ) = 4D(X)(方差无负值) 3.若X 、Y 相互独立，则证：记则 前面两项恰为D(X)和D(Y)，第三项展开后为 当X、Y 相互独立时， 故第三项为零。 特别地 独立前提的逐项求和，可推广到有限项。 方差公式： 平均数：M=(x1+x2+x3++xn)/n (n表示这组数据个数，x1、x2、x3xn表示这组数据具体数值) 方差公式：S^2=〈(M-x1)^2+(M-x2)^2+(M-x3)^2++(M-xn)^2〉╱n 高中数学必修3统计知识点分层抽样 (1)分层抽样(类型抽样)： 先将总体中的所有单位按照某种特征或标志(性别、年龄等)划分成若干类型或层次，然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体的样本。 两种方法： ①先以分层变量将总体划分为若干层，再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。
高中数学必修三方差计算公式高中数学必修三方差的概念与计算公式 例1 两人的5次测验成绩如下： X：50，100，100，60，50 E(X)=72; Y：73，70，75，72，70 E(Y)=72。 平均成绩相同，但X 不稳定，对平均值的偏离大。 方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。 单个偏离是 消除符号影响 方差即偏离平方的均值，记为D(X)： 直接计算公式分离散型和连续型，具体为： 这里是一个数。推导另一种计算公式 得到：方差等于平方的均值减去均值的平方。 其中，分别为离散型和连续型计算公式。称为标准差或均方差，方差描述波动程度。 高中数学必修三方差的性质 1.设C为常数，则D(C) = 0(常数无波动); 2.D(CX)=C2 D(X) (常数平方提取); 证： 特别地D(-X) = D(X), D(-2X ) = 4D(X)(方差无负值) 3.若X 、Y 相互独立，则证：记则
前面两项恰为D(X)和D(Y)，第三项展开后为 当X、Y 相互独立时， 故第三项为零。 特别地 独立前提的逐项求和，可推广到有限项。 方差公式： 平均数：M=(x1+x2+x3+ +xn)/n (n表示这组数据个数，x1、x2、x3 xn表示这组数据具体数值) 方差公式：S =〈(M-x1) +(M-x2) +(M-x3) + +(M-xn) 〉╱n 高中数学必修3统计知识点 分层抽样 (1)分层抽样(类型抽样)： 先将总体中的所有单位按照某种特征或标志(性别、年龄等)划分成若干类型或层次，然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体的样本。 两种方法： ①先以分层变量将总体划分为若干层，再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。 ②先以分层变量将总体划分为若干层，再将各层中的元素按分层的顺序整齐排列，最后用系统抽样的方法抽取样本。 (2)分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体，再抽取不同的子总体中的样本分别代表该子总体，所有的样本进而代表总体。
2． 3．2离散型随机变量的方差 教学目标： 知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。 过程与方法：了解方差公式“D (a ξ+b )=a 2 D ξ”，以及“若ξ～Β(n ，p )，则D ξ=np (1—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。 情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。 教学重点：离散型随机变量的方差、标准差 教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题教具准备：多媒体、实物投影仪 。 教学设想：了解方差公式“D (a ξ+b )=a 2 D ξ”，以及“若ξ～Β(n ，p )，则D ξ=np (1—p )”， 并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。 授课类型：新授课 课时安排3课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值．今天，我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究．其实在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，即研究过一组数据的方差. 回顾一组数据的方差的概念：设在一组数据1x ，2x ，…，n x 中，各数据与它们的平 均值x 得差的平方分别是21)(x x -，22)(x x -，…，2)(x x n -，那么[1 2 n S =21)(x x -＋2 2)(x x -＋…＋])(2x x n - 叫做这组数据的方差 教学过程： 一、复习引入： 1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母ξ、η等表示 2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量 3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量 4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出 5. 6. 分布列的两个性质： ⑴i ≥0，＝1，2，...； ⑵1+2+ (1)
一、基本知识概要： 1、 期望的定义： 一般地，若离散型随机变量ξ的分布列为 ξ x 1 x 2 x 3 … x n … P P 1 P 2 P 3 … P n … 则称E ξ=x 1P 1+x 2P 2+x 3P 3+…+x n P n +…为ξ的数学期望或平均数、均值，简称期望。 它反映了:离散型随机变量取值的平均水平。 若η=a ξ+b(a 、b 为常数)，则η也是随机变量，且E η=aE ξ+b 。 E(c)= c 特别地，若ξ～B(n ，P )，则E ξ=n P 2、 方差、标准差定义： D ξ=(x 1- E ξ)2·P 1+(x 2-E ξ)2·P 2+…+(x n -E ξ)2·P n +…称为随机变量ξ的方差。 D ξ的算术平方根ξD =δξ叫做随机变量的标准差。 随机变量的方差与标准差都反映了:随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。 且有D(a ξ+b)=a 2D ξ,可以证明D ξ=E ξ2- (E ξ)2。 若ξ～B(n ，p)，则D ξ=npq ，其中q=1-p. 3、特别注意：在计算离散型随机变量的期望和方差时，首先要搞清其分布特征及分布列，然后要准确应用公式，特别是充分利用性质解题，能避免繁琐的运算过程，提高运算速度和准确度。 考点一 期望与方差 例1：设随机变量ξ具有分布P (ξ＝k )＝15 ，k ＝1,2,3,4,5，求E (ξ＋2)2 ，(21)D ξ-， (1)σξ-． 例2：有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设，为了对重点建设负责， 政府到两建材厂抽样检查，他们从中各抽取等量的样品检查它们的抗拉强度指数如下： ξ 110 120 125 130 135 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 其中ξ和η分别表示甲、乙两建材厂材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120的条件下，比较甲、乙两建材厂材料哪一种稳定性较好． ηη 100 115 125 130 145 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2