年福建省高中数学竞赛
暨年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷参考答案 （考试时间：年月日上午：－：，满分分）
一、填空题（共小题，每小题分，满分分。请直接将答案写在题中的横线上）
．已知数列{}n a 满足132a =，12n n a a n +-=（*n N ∈），则
n
a n
的最小值为。 【答案】
313
【解答】由132a =，12n n a a n +-=知，
12(1)n n a a n --=-，122(2)n n a a n ---=-，……，2121a a -=?，132a =。
上述n 个等式左右两边分别相加，得(1)32n a n n =-+。 ∴
321n a n n n =-+，又5n =时，525n a n =
；6n =时，31
3
n a n =。 ∴6n =时，
n a n 取最小值31
3
。 ．对于函数()y f x =，x D ∈，若对任意的1x D ∈，存在唯一的2x D ∈
M =，则
称函数()f x 在D 上的几何平均数为M 。已知3
2
()1f x x x =-+，[]12x ∈，，则函数3
2
()1f x x x =-+在[]12，上的几何平均数M =。
【解答】 ∵ 当12x <<时，2
()32(32)0f x x x x x '=-=->，
∴3
2
()1f x x x =-+在区间[]12，上为增函数，其值域为[]15，。
∴ 根据函数()f x
几何平均数的定义知，M = ．若三个非零且互不相等的实数a 、b 、c 满足
112
a b c
+=，则称a 、b 、c 是调和的；若满足2a c b +=，则称a 、b 、c 是等差的。已知集合{}2013M x x x Z =
≤∈，，集合P 是集合M 的三元子集，即
{}P a b c M =?，，。若集合P 中元素a 、b 、c 既是调和的，又是等差的，则称集合P 为“好集”。则
不同的“好集”的个数为。【答案】
【解答】若a 、b 、c 既是调和的，又是等差的，则1122a b c a c b
?+=
???+=?，2a b =-，4c b =。
即“好集”为形如{}24b b b -，，（0b ≠）的集合。
由“好集”是集合M 的三元子集知，201342013b -≤≤，b Z ∈，且0b ≠。 ∴503503b -≤≤，b Z ∈，且0b ≠。符合条件的b 可取个值。
∴“好集”的个数为。
．已知实数x ，y 满足14xy x y +=+，且1x >，则(1)(2)x y ++的最小值为。 【答案】 27
【解答】由14xy x y +=+知，41
1
x y x -=
-。 ∴413(1)(21)
(1)(2)(1)(2)11
x x x x y x x x -+-++=++=
--。 设1x t -=，则0t >，
3(1)(21)3(2)(21)1
(1)(2)6()15271x x t t x y t x t t
+-++++=
==++≥-。
当且仅当1
t t
=，即1t =，2x =，7y =时等号成立。 ∴(1)(2)x y ++的最小值为。
．如图，在四面体ABCD 中，AB BCD ⊥平面，BCD △是边长为的等边三
角形。若2AB =，则四面体ABCD 外接球的面积为。 【答案】16π
【解答】如图，设正BCD △的中心为1O ，四面体ABCD 外接球的球心为O 。
则1OO BCD ⊥平面，1OO AB ∥，12332
BO =?=。
取AB 中点E 。
由OA OB =知，OE AB ⊥，1OE O B ∥，11OO EB ==。 于是，2OA OB ==。
∴ 四面体ABCD 外接球半径为，其面积为16π。
．在正十边形的个顶点中，任取个点，则以这个点为顶点的四边形为梯形的概率为。 【答案】
27
【解答】设正十边形为12
10A A A 。则
以12A A 为底边的梯形有12310A A A A 、1249A A A A 、1258A A A A 共个。同理分别以23A A 、34A A 、45A A 、…、
910A A 、101A A 为底边的梯形各有个。这样，合计有个梯形。
以13A A 为底边的梯形有13410A A A A 、1359A A A A 共个。同理分别以24A A 、35A A 、46A A 、…、91A A 、102A A 为底边的梯形各有个。这样，合计有个梯形。
以14A A 为底边的梯形只有14510A A A A 个。同理分别以25A A 、36A A 、47A A 、…、92A A 、103A A 为底边的梯形各有个。这样，合计有个梯形。
所以，所求的概率4
103020102
7
P C ++=
=。 ．方程1sin 222x x x π??
??=-+????????
在区间[]02π，内的所有实根之和为。
（符号[]x 表示不超过x 的最大整数）。 【答案】 【解答】设222x x x ????=-?
???????，则对任意实数x ，012x ??
≤
。 原方程化为1sin 22x x π??
??=+????????
。 ① 若1
022x ??≤
???，则1sin 022x x π????=+=????????
，x k ππ=（k Z ∈）
。 ∴x k =（k Z ∈）。结合[]02x π∈，知，0x =，，，，，，。 经检验，0x =，，，符合要求。 ② 若
1122x ??≤
??=+=????????
，122x k πππ=+（k Z ∈）。 ∴122x k =+
（k Z ∈）。结合[]02x π∈，知，12x =，52，9
2。 经检验，12x =
，52，9
2
均不符合要求。 ∴ 符合条件的x 为，，，，它们的和为。
．已知()f x 为R 上增函数，且对任意x R ∈，都有()34x
f f x ??-=??，则(2)f =。
【答案】
【解答】依题意，()3x
f x -为常数。设()3x
f x m -=，则()4f m =，()3x
f x m =+。 ∴34m m +=，340m m +-=。易知方程340m
m +-=有唯一解1m =。 ∴()31x
f x =+，2(2)3110f =+=。
．已知集合A 的元素都是整数，其中最小的为，最大的为。且除以外，A 中每一个数都等于A 中某两个数（可以相同）的和。则A 的最小值为。（符号A 表示集合A 中元素的个数）【答案】
【解答】易知集合{}123510204080160200A =，，，，，，，，，符合要求。此时，10A =。 下面说明9A =不符合要求。
假设集合{}12345671200A x x x x x x x =，，，，，，，，，1234567x x x x x x x <<<<<<符合要求。 则1112x =+=，2224x ≤+=，38x ≤，416x ≤，532x ≤，664x ≤，7128x ≤。 由于6764128192200x x +≤+=<，因此，77200x x =+，7100x =。
同理，由56326496100x x +≤+=<，知，766100x x x ==+，650x =。 由4516324850x x +≤+=<，知，65550x x x ==+，525x =。 由348162425x x +≤+=<，知，54425x x x ==+，425
2
x =
与4x 为整数矛盾。 ∴9A =不符合要求，9A ≠。同理，8A ≤也不符合要求。 因此，A 的最小值为。
．已知函数*
()1x x f x q q x p q N p q p q p p ??
=+?=∈>??
，若为无理数
，若，其中，，且、互质，，则函数()f x 在区间78()89，上的最大值为。 【答案】
16
17
【解答】若x 为有理数，且78()89
x ∈，。设78
()89
a x a λ=
∈+，（a ，*N λ∈）
， 由
78
89a a λ<<+知，988778a a a a λλ<+??
+
，78a λλ<<。 当1λ=时，a 不存在；
当2λ=时，存在唯一的15a =，此时1517x =
，16
()17
f x =。 当3λ≥时，设7a m λ=+，其中11m λ≤≤-，且*
m N ∈，此时71
()8m f x m
λλ++=
+。
∵
1671917()(817)017817(8)17(8)
m m m m m m λλλλλλλ++---+--==>+++， ∴ 若x 为有理数，则1517x =
时，()f x 取最大值16
17
。 又x 为无理数，且78()89
x ∈，时，816
()917
f x x =<
<。 综合以上可知，()f x 在区间78()89
，上的最大值为
1617
。 二、解答题（共小题，每小题分，满分分。要求写出解题过程）
．将各项均为正数的数列{}n a 排成如下所示的三角形数阵（第n 行有n 个数，同一行中，下标小的数排在左边）。n b 表示数阵中，第n 行、第列的数。已知数列{}n b 为等比数列，且从第行开始，各行均构成公差为d 的等差数列（第行的个数构成公差为d 的等差数列；第行的个数构成公差为d 的等差数列，……），
11a =，1217a =，1834a =。（）求数阵中第m 行、第n 列的数()A m n ，（用m 、n 表示）。
（）求2013a 的值；
（）是否在该数阵中？并说明理由。 【解答】（）设{}n b 的公比为q 。
依题意，12a 为数阵中第行、第列的数；18a 为数阵中第行、第列的数。 ∴
11
b =，
1
n n b q -=，
41217
a q d =+=，
518234a q d =+=。 …………… 分
∴2q =，1d =，1
2n n b -=。
∴1()(1)21m m A m n b n d n -=+-=+-，
。 ………………… 分 （）由123621953+++
+=，12362632016+++++=，2013195360-=知，
2013a 为数阵中第行，第列的数。
∴62
2013259a =+。 ………………… 分（）假设为数阵中第m 行、第n 列的数。 ∵ 第m 行中，最小的数为1
2m -，最大的数为1
2
1m m -+-，
∴1
12
201321m m m --≤≤+-……………①。
由于10m ≤时，1921295122013m m -+-≤+=<，因此10m ≤不符合①； 由于11m ≥时，1
102
210242013m -≥=>，因此11m ≥不符合①；
∴ 上述不等式①无正整数解。
∴ 不在该数阵中。 ………………… 分．已知A 、B 为抛物线C ：2
4y x =上的两个动点，点A 在第一象限，点B 在第四象限。1l 、2l 分别过点
A 、
B 且与抛物线
C 相切，P 为1l 、2l 的交点。（）若直线AB 过抛物线C 的焦点F ，求证：动点P 在一条定直线上，并求此直线方程； （）设C 、
D 为直线1l 、2l 与直线4x =的交点，求PCD △面积的最小值。
【解答】（）设211()4y A y ，，2
2
2()4
y B y ，（120y y >>）。 易知1l 斜率存在，设为1k ，则1l 方程为2
111()4
y y y k x -=-。 由21112()44y y y k x y x ?-=-???=?
得，221111440k y y y k y -+-=……………① 由直线1l 与抛物线C 相切，知2
1111164(4)0k y k y =--=△。 于是，112k y =
，1l 方程为1121
2
y x y y =
+。 同理，2l 方程为2221
2
y x y y =
+。
1a
2a 3a
4a 5a 6a
7a
8a
9a
10a
… … …
… …
联立1l 、2l 方程可得点P 坐标为1212
(
)42
y y y y P +，…………………… 分 ∵1222
1212444
AB
y y k y y y y -==+-，AB 方程为211124
()4y y y x y y -=-+，AB 过抛物线C 的焦点(10)F ，。 ∴211124
(1)4
y y y y -=-+，124y y =-。
∴12
14
P y y x =
=-，点P 在定直线1x =-上。…………………… 分 或解：设11()A x y ，
，22()B x y ，，则1l 方程为112()y y x x =+，2l 方程为222()y y x x =+。 …………………… 分
设00()P x y ，
，则10012()y y x x =+，20022()y y x x =+。 ∴ 点11()A x y ，
，22()B x y ，坐标满足方程002()yy x x =+。 ∴ 直线AB 方程为002()yy x x =+。 由直线AB 过点(10)F ，，知002(1)x =+。
∴01x =-。点P 在定直线1x =-上。…………………… 分 （）由（）知，C 、D 的坐标分别为118
1(4)2C y y +
，、2281
(4)2
D y y +，。 ∴1212121212
(16)()8181
(
)()222y y y y CD y y y y y y --=+-+=
。 ∴1212
1212
(16)()1
4242PCD y y y y y y S y y --=
-?△。…………………… 分 设2
12y y t =-（0t >），12y y m -=，
由2222
121212()()440y y y y y y m t +=-+=-≥知，2m t ≥，当且仅当120y y +=时等号成立。
∴22222222
2221(16)(16)2(16)(16)424216168PCD
t t m m t t t t S t t t t
--?+?++=+?=≥=
-△。 设22(16)()8t f t t +=，则2222222
2(16)2(16)(316)(16)
()88t t t t t t f t t t +??-+-+'==。
∴0t <<
时，()0f t '<
；t >时，()0f t '>。()f t
在区间03? ?
?，
上为减函数；在区间3??
+∞?????
，上为增函数。
∴t =
时，()f t
。
∴ 当
120y y +=，1216
3y y =-，即1y =，2y =时，PCD △面积取最小值9。
………………… 分
．如图，在ABC △中，90B ∠=?，它的内切圆分别与边BC 、CA 、AB 相切于点D 、E 、F ，连接AD ，与内切圆相交于另一点P ，连接PC 、PE 、PF 、FD 、ED 。
（）求证：
FP EP
FD ED
=
； （）若PE BC ∥，求证：PC PF ⊥。
【解答】（）由条件知，AFP ADF ∠=∠，又F A P F A D ∠=∠。 ∴AFP ADF △∽△，
AP FP
AF DF
=
。………………… 分
同理，由AEP ADE ∠=∠，PAE EAD ∠=∠知，
AEP ADE △∽△，
EP AP
DE AE
=
。 ∵AF AE =， ∴
EP AP AP FP
DE AE AF DF ===
。 ∴
FP EP
FD ED
=
。 ………………… 分 （）∵PE BC ∥，
∴PED EDC DPE CED ∠=∠=∠=∠。 ∴DPE CDE △∽△。 ∴
EP PD
ED DC
=
………………… 分 结合（）可知，
FP DP
FD DC
=
。 又 P F D P D C ∠=∠，
∴PFD PDC △∽△，PCB PDF PFA ∠=∠=∠。 ∴P 、F 、B 、C 四点共圆。 又 90B ∠=?，
∴90FPC ∠=?，PC PF ⊥。………………… 分 ．已知1
()2ln(1)1(1)
f x x x x =++
-+。
（）求()f x 在区间[)1+∞，上的最小值； （）利用函数()f x 的性质，求证：2(1)ln1ln 2ln 3ln 2n n n
-+++
+>（*
n N ∈，且2n ≥）；
（）求证：4222
2
3
(1)ln 1ln 2ln 3ln 4n n n
-+++
+>（*
n N ∈，且2n ≥）。 【解答】（）∵323222222
2212221(21)2(1)()1(1)(1)(1)
x x x x x x x f x x x x x x x x ++---+-'=-==++++。 ∴1x ≥时，()0f x '>，即()f x 在区间[)1+∞，上为增函数。 ∴()f x 在区间[)1+∞，上的最小值为1
(1)2ln 22
f =-
。 …………… 分 （）由（）知，对任意的实数1x ≥，11
2ln(1)12ln 20(1)2
x x x ++
-≥->+恒成立。
∴ 对任意的正整数k ，12ln(1)10(1)k k k ++->+，即112ln(1)1()1
k k k +>--+恒成立。
……………… 分
∴11
2ln 21()12>--，112ln 31()23>--，……，112ln 1(
)1n n n
>---。 ∴1111112ln 22ln 32ln 1()
1()1()
12231n n n ?
??
?
?
?
++
+>--+--++--??????-????
?
?
。 ∴2
1(1)2ln 22ln 32ln 1(1)n n n n n
-++
+>---=。
∴*
n N ∈，且2n ≥时，2
(1)ln1ln 2ln 3ln 2n n n -++++>。…………… 分
（）由柯西不等式知，
222222222(ln 1ln 2ln 3ln )(1111)(ln1ln 2ln 3ln )n n +++
++++
+≥+++
+。
结合（）的结论可知，
当*n N ∈，且2n ≥时，44
222
2
23
1(1)(1)ln 1ln 2ln 3ln 44n n n n n n --++++>?=。
……………… 分 ．已知集合{}327776P x x a b c a b c =
=+?+?+，其中，，为不超过的正整数。1x ，2x ，3x ，…，
n x 为集合P 中构成等差数列的n 个元素。求n 的最大值。
【解答】（）显然，，，，，这个数在集合P 中，且构成等差数列。 ………………… 分
（）下面证明集合P 中任意个不同的数都不能构成等差数列。用反证法。
设1x ，2x ，3x ，…，7x 为集合P 中构成等差数列的个不同的元素，其公差为d ，0d >。 由集合P 中元素的特性知，集合P 中任意一个元素都不是的倍数。
∴由抽屉原理知，1x ，2x ，3x ，…，7x 这个数中，存在个数，它们被除的余数相同，其差能被整除。设i j x x -（{}1234567i j ∈，，，，，，，，i j <）能被整除。则7()j i d -。∴7d 。………………… 分 设7d m =（m 为正整数），
设32
1123777x a a a =+?+?+（1a ，2a ，3a 为不超过的正整数）。 则32
1237777(1)i x a a a i m =+?+?++-，其中2i =，，…，。 ∵327767676x ≤+?+?+，32
77171717(71)x m ≥+?+?++-，
∴16m ≤≤，即公差d 只能为71?，72?，…，76?。………………… 分 ∵16m ≤≤，(7)1m =，。
∴m ，2m ，…，6m 除以以后的余数各不相同，分别为，，…，中的一个。
因此，存在{}123456k ∈，，，，，，使得2a km +能被整除，设27a km t +=（t 为正整数）。 则323232112312313777777()77()7k x a a a km a a km a a t a +=+?+?++=+?++?+=++?+ 这样，1k x +的进制表示中，的系数（即从左到右第位）为，与1k x P +∈矛盾。 ∴集合P 中任意个不同的数都不能构成等差数列。
∴n 的最大值为。 ………………… 分
2015年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准 （考试时间：5月10日上午8：30－11：00） 一、选择题（每小题6分，共36分） ??的子集有（集合1.）Nx?xx?1?3，A?A．4个B．8个C．16个D．32个 【答案】 C ??。3 ，，，1，知，结合，得A?20【解答】由x?1?3Nx?x?4?2?4个。的子集有 ∴162?A lll与两坐标轴围成的三角形的面对称，则：2．若直线关于直线与直线xy?1??2xy122积为（） 211C．B．D．A．1 324【答案】 D ?l的对称点关于直线则【解答】在直线，：取点xy?(?11)0，?1)，y?2x?1AA(0，0)A(?1l 上。在直线2ll。在直线的交点又直线与直线x?y1)P，(11211?l。过和∴两点，其方程为?xy?1)0)，P(1A?(1，22211ll与坐标轴围成的三角形的面积为。与坐标轴交于和∴两点，)，(00)(?1，22243．给出下列四个判断： （1）若，为异面直线，则过空间任意一点，总可以找到直线与，都相交。 aa bbP??????。，和直线，若（2）对平面，则，??l∥ll??????。和直线，若，则（3）对平面，，?l∥?ll?????ll∥ll∥lll。内一点，且（4）对直线，，和平面，则，若过平面P2211122其中正确的判断有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 【答案】 B 【解答】（3）、（4）正确；（1）、（2）不正确。 ????内，且不在直线上时，，过1），设的平面为和在平面，则当点对于（ba∥aabP 找不到直线同时与，都相交。a b
中点，则二面，为4．如图，已知正方体DC?ABABCD CDE1111）角的正切值为（BAB?E?12222 D．．A．1 B ． C 4 【答案】 D 图第4题于如图，作于，作，连结。【解答】ABFO?OEOFABEF?1
2016年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案 考试时间 2016年3月13日 9∶00－11∶00 满分150分 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(02)B ，，点A 在x 轴正半轴上且30BAO ∠=?。将 OAB △沿直线AB 折叠得CAB △，则点C 的坐标为（ ） A ．(13)， B ．(33)， C ．(33)， D ．(31)， 【答案】 B 【解答】如图，设CD x ⊥轴于点D 。 依题意，23CA OA ==，260CAO BAO ∠=∠=?。 所以，3CD =，3AD =，3OD =。 因此，点C 的坐标为(33)， 。 2．若实数a ，b 满足232a a +=，232b b +=，且a b ≠，则22(1)(1)a b ++=（ ） A ．18 B ．12 C ．9 D ．6 【答案】 A 【解答】依题意，a ，b 为方程2320x x +-=的两个不同实根。 因此，由韦达定理得，3a b +=-，2ab =-。 []22(1)(1)(123)(123)9(1)(1)91()9(132)18a b a b a b a b ab ++=+-+-=--=-++=+-=。 或解：222222222(1)(1)11()2194418a b a b a b a b ab a b ++=+++=++-+=+++=。 3．若关于x 的方程22240224 x x x a x x x +-+++=-+-只有一个实数根，则符合条件的所有实数a 的值的总和为（ ） A ．6- B ．30- C ．32- D ．38- 【答案】 D 【解答】方程 22240224 x x x a x x x +-+++=-+-化为22480x x a +++= ……………… ① 若方程①有两个相等实根，则168(8)0a =-+=△，6a =-。 6a =-时，方程①的根121x x ==-，符合要求。 若2x =是方程①的根，则8880a +++=，24a =-，此时，方程①的另一个根为4x =-，符合要求。 若2x =-是方程①的根，则8880a -++=，8a =-，此时，方程①的另一个根为0x =，符合要求。
2010年全国高中数学联赛福建赛区 获奖学生及指导教师名单 奖次学生姓名所在学校指导教师 一 等 奖（57名）范睿托厦门外国语学校吴铭辉高复铖福州一中危志刚黄山筱福州一中危志刚吴 旋福州一中苏 健谢晓晖厦门双十中学黄 雄黄旻捷厦门双十中学郭俊芳蔡宇涵福州一中陈德燕邹豪风福州一中丘远青肖宇光泉州一中汤向明潘振忠泉州一中郭铭纪许东磊同安一中谢继林张杰锋泉州七中陈建斌林培辉长乐一中刘宇璋巫立凡厦门双十中学张瑞炳董晴谊泉州一中汤向明黄怀毅泉州五中王辉耀吴 豪南靖一中李剑评卓凌烽福州一中陈新栋林俊杰安溪一中吴志湖蒋奕凯福州一中夏彦婴鹿 鸣厦门双十中学张瑞炳严 堃安溪一中黄金南张伟奇长乐一中刘宇璋林德芳德化一中王琼琼 奖次学生姓名所在学校指导教师徐伟生德化一中徐建新 孙 铭厦门外国语学校肖 骁
一 等 奖（57名）许有疆德化一中陈丽真杨 震莆田一中肖志强郑刘悦福州三中郑文祺陈恩俊莆田一中肖志强黄永招德化一中徐建新许若男厦门双十中学张瑞炳庄旭航泉州五中黄种生杨 洋福建师大附中林 峰何承玮福州三中张 军王经纬福安一中池水平陈若明厦门外国语学校吴铭辉林梦翔福州一中陈新栋林宇哲福州一中龚梅勇陈从翔连江一中陈志坚王文彬云霄立人学校林耀东谢 钧厦门双十中学张瑞炳张华林龙岩二中郭小峰陈水挺同安一中谢继林董张帆福州一中夏彦婴曾 林仙游一中陈凤龙陈彦哲厦门双十中学黄 雄林晨超福州一中苏 健林 煌福州一中危志刚曾祥桓平和正兴学校叶连雄周培聪厦门双十中学张瑞炳蔡期塬泉州五中庄晓玲 奖次学生姓名所在学校指导教师 一等奖蓝 捷上杭一中林文柱刘鸿辉厦门双十中学黄 雄黄国快晋江养正中学许贻旺陈振雄晋江季延中学陈 浩
大梦杯福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标 准 The latest revision on November 22, 2020
2018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题 考试时间 2018年3月18日 9∶00－11∶00 满分150分 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．若关于x 的方程244310x mx m +--=有两个相等的实数根，则32442m m m ++-的值为（ ） A ．3- B ．2- C ．1- D ．1 2．如图，ABCD 、DEFG 都是正方形，边长分别为m 、n （m n <）。坐标原点O 为 AD 的中点，A 、D 、E 在y 轴上。若二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，则n m =（ ） A ．31+ B ．21+ C ．231- D ．221- 3．如图，G 为ABC △的重心，点D 在CB 延长线上，且1 2 BD BC =，过D 、G 的直线交AC 于点E ，则 AE AC =（ ） A ．2 5 B ．3 5 C ． 3 7 D ． 47 4．如图，H 、O 分别为ABC △的垂心、外心，45BAC ∠=?，若ABC △外接圆的半径 为2，则AH =（ ） A ．23 B ．22 C ．4 D ．31+ 5．满足方程22419151x xy y -+=的整数对()x y ， 有（ ） H O B C A （第4题图） （第2题图） E G B D （第3题图）
福建省2017-2018学年高一数学竞赛试题 一、选择题：本大题共6个小题,每小题6分,共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}|1327x A x =≤≤，{} 22|log ()1B x x x =-<，则A B =（ ） A ．(12)， B ．(]13-， C ．[)02， D ．(1) (02)-∞-，， 2.若直线l 与两直线1l ：70x y --=，2l ：1313110x y +-=分别交于A ，B 两点，且线段AB 中点为(12)P ，，则直线l 的斜率为（ ） A ．2- B ．3- C ．2 D ．3 3.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、E 分别为棱BC 、 1BB 的中点，N 为正方形11B BCC 的中心.l 为平面1A MN 与平面1A MN 与平面1D BE 的交线，则直线l 与正方体底面ABCD 所成角的大小为（ ） A ．30? B ．45? C ．60? D ．90? 4.如图，在三棱锥S ABC -中，6SA SB AB BC CA =====，且侧面ASB ⊥底面ABC ，则三棱锥S ABC -外接球的表面积为（ ） A ．60π B ．56π C.52π D ．48π 5.已知定义在R 上的函数()f x 满足：(](]2 2210()201x x f x x x ?--∈-?=?-∈?? ，，，，且(2)()f x f x += ，
52()2 x g x x -= -，则方程()()f x g x =在区间[]37-，上的所有实根之和为（ ） A ．14 B ．12 C.11 D ．7 6.已知点(20)A -，，(20)B ，，(02)C ，，直线y kx b =+（0k >）交线段CA 于点D ，交线段CB 于点E .若CDE △的面积为2，则b 的取值范围为（ ） A ．11)， B ．223?? ???， C.324??- ???， D ．213???， 二、填空题：每题6分，满分36分. 7.函数23 ()log )f x x ?? ??=??????? 的最小值为 ． 8.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PA AB =.E 、F 分别为PD 、BC 的中点，则二面角E FD A --的正切值为 ． 9.若函数22()24f x x ax a =-+-在区间2 2a a ??-??，（0a >）上的值域为[]40-，，则实数a 的取值范围为 ． 10.已知集合{}13579A =， ，，，，集合a B a A b A a b b ?? =∈∈≠???? ，，且，则集合B 中元素的个数为 ． 11.n 的和为 ． 12.给出下列10个数：1，2，4，8，16，32，64，a ，b ，c ，其中a ，b ，c 为整数，且64c b a >>>.若对每个正整数753n ≤，都可以表示成上述10个数中某些数的和（可以是1个数的和，也可以是10个数的和，每个数至多出现1次） ，则b 的最小值为 ． 三、解答题：本大题共5小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 13.已知DEF △三边所在的直线分别为1l ：2x =-， 2l ：40x +-=，3l ：40x --=，C 为DEF △的内切圆. （1）求C 的方程；
2018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标准 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分） 01．若关于x 的方程244310x mx m +--=有两个相等的实数根，则32 442m m m ++-的值为（ A ） A ．3- B ．2- C ．1- D ．1 【解答】依题意，2 1616(31)0m m D =++=，∴2 310 m m ++=，∴231m m =--，2 31m m +=-。 ∴3 2 2 2 442(31)44232123m m m m m m m m m ++-=--++-=+-=--=-。 02．如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为()m n m n <、 。原点O 为AD 的中点，A D E 、、在y 轴上。若二次函数2 y ax =的图像经过C F 、 两点，则n m =（ B ） A 1 B 1 C ．1 D ．1 【解答】依题意，点C 的坐标为()2m m ，，点F 的坐标为()2 m n n -+，。 由二次函数2 y ax =的图像经过C F 、两点得22 2()2 m am m n a n ì=??í?+=-??， 消去a 得22 20n mn m --=。 ∴2210n n m m 骣-?=琪桫 ，解得1n m =（舍负根）。∴ n m =03．如图，G 为ABC △的重心，点D 在CB 延长线上且12BD BC =，直线 A ．25 B ．35 C ．37 D ．4 7 （ D ） F B D F B 【解答】如图，连AG ，并延长交BC 于点F 。 ∵G 为ABC △的重心且12BD BC = ，∴F 为BC 中点且21 AG GF =，DB BF FC ==。 过点F 作FM DE ∥，交AC 于点M ，则13CM CF CE CD ==，2 1 AE AG EM GF ==。 设CM k =，则3CE k =，2EM k =，4AE k =，∴7AC k =，44 77AE k AC k ==。 另解：如图，连AG ，并延长交BC 于点F 。∵G 为ABC △的重心且1 2 BD BC =， ∴F 为BC 中点且21AG GF =，DB BF FC ==，∴23FD DC =，2 1 AG GF =。 在AFC △中，由梅涅劳斯定理得1FD CE AG DC EA GF 鬃=，22131CE EA 鬃=，34CE EA =，∴4 7 AE AC =。 （第03题答题图2） （第03题答题图1） （第03题图）
2015年福建省高一数学竞赛试题 （考试时间：5月10日上午8：30－11：00） 一、选择题（每小题6分，共36分） 1.集合{}13A x x x N =-<∈，的子集有（ ） A ．4个 B ．8个 C ．16个 D ．32个 【答案】 C 【解答】由13x -<，知24x -<<，结合x N ∈，得{}0123A =，，，。 ∴ A 的子集有4216=个。 2．若直线2l 与直线1l ：21y x =-关于直线y x =对称，则2l 与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A ．1 B ． 23 C ．12 D ．14 【答案】 D 【解答】在直线1l ：21y x =-取点(01)A -，，则(01)A -，关于直线y x =的对称点(10)A '-，在直线2l 上。 又直线1l 与直线y x =的交点(11)P ，在直线2l 。 ∴ 2l 过(10)A '-，和(11)P ，两点，其方程为11 22 y x = +。 ∴ 2l 与坐标轴交于(10)-，和1(0)2，两点，2l 与坐标轴围成的三角形的面积为1 4 。 3．给出下列四个判断： （1）若a ，b 为异面直线，则过空间任意一点P ，总可以找到直线与a ，b 都相交。 （2）对平面α，β和直线l ，若αβ⊥，l β⊥，则l α∥。 （3）对平面α，β和直线l ，若l α⊥，l β∥，则αβ⊥。 （4）对直线1l ，2l 和平面α，若1l α∥，21l l ∥，且2l 过平面α内一点P ，则2l α?。 其中正确的判断有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】 B 【解答】（3）、（4）正确；（1）、（2）不正确。 对于（1），设a a '∥，过a '和b 的平面为α，则当点P 在平面α内，且不在直线b 上时，找不到直线同时与a ，b 都相交。
2017年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛 暨2017年福建省高中数学竞赛试卷参考答案 （考试时间：2017年5月21日上午9：00－11：30，满分160分） 一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上） 1．已知集合{}2log (1)1A x x =-<，{}2B x x a =-<，若A B ?≠?，则实数a 的 取值范围为 。 【答案】 (15) -， 【解答】由2log (1)1x -<，得012x <-<，13x <<，(13)A =，。 由2x a -<，得22x a -<-<，22a x a -<<+，(22)B a a =-+，。 若A B ?=?，则21a +≤或23a -≥，1a ≤-或5a ≥。 ∴ A B ?≠?时，a 的取值范围为(15)-，。 2．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且函数(1)y f x =+为偶函数，当10x -≤≤时， 3()f x x =，则9 ()2 f = 。 【答案】 18 【解答】由函数(1)y f x =+为偶函数，知(1)(1)f x f x -+=+。 又()f x 为奇函数， ∴ (2)()()f x f x f x +=-=-，(4)(2)()f x f x f x +=-+=。 ∴ 391111 ()()()()22228 f f f ==--=--=。 3．已知 {}n a 为等比数列，且120171a a =，若 2 2 ()1f x x = +，则 123 2 () () ()()f a f a f a f a ++++ =L 。 【答案】 2017 【解答】由2 2 ()1f x x =+知，2222212222()()211111()x f x f x x x x x +=+=+=++++。 ∵ {}n a 为等比数列，且120171a a =， ∴ 12017220163201521a a a a a a a a =====L 。 ∴ 12017 22016 3201 52017()()() ()() ()()()2 f a f a f a f a f a f a f a f a +=+=+==+=L 。 ∴ []12320172()()()() f a f a f a f a ++ + + L [][][][]12017220163201520171()()()()()()()()f a f a f a f a f a f a f a f a =++++++++L
2017年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案 考试时间 2017年3月19日 9∶00－11∶00 满分150分 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．设a =1 a a + 的整数部分为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】 B 【解答】由2226a =+-=，知a = 于是1 a a + =2111()62866a a +=++=+，214()9a a <+<。 因此，1 a a + 的整数部分为2。 （注： a ==== 2．方程2 2( )32 x x x +=-的所有实数根之和为（ ） A ．1 B ．3 C ．5 D ．7 【答案】 A 【解答】方程2 2( )32 x x x +=-化为2222(2)3(2)x x x x -+=-。 即3251060x x x -+-=，2(1)(46)0x x x --+=。 解得1x =。经检验1x =是原方程的根。 ∴ 原方程所有实数根之和为1。 3．如图，A 、B 、C 三点均在二次函数2y x =的图像上，M 为线段AC 的中点，BM y ∥轴，且2MB =。设A 、C 两点的横坐标分别为1t 、2t （21t t >），则21t t -的值为（ ） A ．3 B ． C ．± D ．【答案】 D 【解答】依题意线段AC 的中点M 的坐标为22 1212 ()22 t t t t ++，。 （第3题）
由BM y ∥轴，且2BM =，知B 点坐标为22 1212 (2)22t t t t ++-，。 由点B 在抛物线2 y x =上，知22 212122()22 t t t t ++-=。 整理，得2222 121122 2282t t t t t t +-=++，即221()8t t -=。 结合21t t > ，得21t t -= 4．如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=?，D 为线段BC 的中点，E 在线段AB 内，CE 与AD 交于点F 。若A E E F =，且7AC =，3FC =，则c o s A C B ∠的值为（ ） A ．37 B ． C ．314 D 【答案】 B 【解答】如图，过B 作BK AD ∥与CE 的延长线交于点K 。 则由AE EF =可得，EBK EAF AFE BKE ∠=∠=∠=∠。 ∴ EK EB =。 又由D 为BC 中点，得F 为KC 中点。 ∴ 3AB AE EB FE EK KF FC =+=+===。 ∴ BC === ∴ cos 7 BC ACB AC ∠= = 。 或解：对直线AFD 及BCE △应用梅涅劳斯定理得， 1BD CF EA DC FE AB ??=。 由D 为线段BC 的中点，知BD DC =。 又AE EF =，因此，3AB CF ==。 结合7AC =，90ABC ∠=? ，利用勾股定理得，BC = 所以，cos 7 BC ACB AC ∠==。 D B A E （第4题） K
2016年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准 （考试时间：5月8日上午8：30－11：00） 一、选择题（每小题6分，共36分） 1．若集合{}2120A x x x =--≤，101x B x x +? ? =）相互垂直，垂足为P ，O 为坐标原点，则线段OP 的长为（ ） A ． B ．2 C D 3．如图，在三棱锥P ABC -中，PAB △，PBC △均为等边三角形，且AB BC ⊥。则二面角A PC B --的余弦值为（ ） A ． 3 B ．3 C ．3 D ．1 3 4．若函数2243()2log 3a x x x f x x x ?-+≤=?+>?，，，，（0a >，且1a ≠）的值域 为[)3+∞，，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(]13， B ．(13)， C ．(3)+∞， D ．[)3+∞， 5．如图，在四面体P ABC -中，已知PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且3PA PB PC ===。则在该四面体表面上与点A 距离为 ） A ． B ． C ．2 D ．2 6．()f x 是定义在R 上的函数，若(0)1f =，且对任意x R ∈，满足(2)()2f x f x +-≤，(6)()6f x f x +-≥，则(2016)f =（ ） A ．2013 B ．2015 C ．2017 D ．2019 二、填空题（每小题6分，共36分） 7．已知实数x ，y 满足226440x y x y +-++=，记2224x y x y μ=++-的最大值为M ， 最小值为m ，则M m += 。 8．过直线2y x =上一点P 作圆C ：225 (3)(1)4 x y -+-= 的切线PA 、PB ，A 、B 为切点。若直线PA 、PB 关于直线2y x =对称，则线段CP 的长为 。 A B C P A C B P
1 2016年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案 考试时间 2016年3月13日 9∶00－11∶00 满分150分 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(02)B ，，点A 在x 轴正半轴上且30BAO ∠=?。将 OAB △沿直线AB 折叠得CAB △，则点C 的坐标为（ ） A ．(1 B ．3) C ．(3 D ．1) 2．若实数a ，b 满足232a a +=，232b b +=，且a b ≠，则22(1)(1)a b ++=（ ） A ．18 B ．12 C ．9 D ．6 3．若关于x 的方程22240224 x x x a x x x +-+++=-+-只有一个实数根，则符合条件的所有实数a 的值的总和为（ ） A ．6- B ．30- C ．32- D ．38- 4．如图，在ABC △中，6AB =，3BC =，7CA =，I 为ABC △的内心，连接CI 并延长交AB 于点D 。记CAI △的面积为m ， DAI △的面积为n ，则 m n =（ ） A ．32 B ．43 C ．53 D ．74 5．已知x ，y 为实数，且满足2244x xy y -+=，记224u x xy y =++的最大值为M ，最小 A B C D I
2 值为m ，则M m +=（ ） A ．403 B ．64 15 C ．13615 D ．315 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分） 6．在平面直角坐标系内有两点(11)A ，，(23)B ，，若一次函数2y kx =+的图像与线段AB 有公共点，则k 的取值范围为 。 7．如图，在ABC △中，D 为BC 边上一点，E 为线段AD 上一点，延长BE 交AC 于点F 。若 25BD BC =，12AE AD =，则AF AC = 。 8．设1x ，2x ，3x ，…，n x 是n 个互不相同的正整数，且1232017n x x x x ++++=L ，则n 的最大值是 。 9．如图，AB 是O ⊙的直径，AC 是O ⊙的切线，BC 交O ⊙于E 点，若 OA CE =，则AE AB = 。 E O A B C F B C A D E
2018年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛 暨2018年福建省高中数学竞赛试卷 （考试时间：2018年5月20日上午9：00—11:30，满分160分） 一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分.请直接将答案写在题中的横线上） 1.将正偶数集合{}2,4,6，从小到大按第n 组有32n -个数进行分组： {}{}{}2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24，，则2018位于第 组. 2.在ABC ?中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若2,3,2a b C A ===，则 cos C = . 3.设复数z 满足2z i -= ，则 z z -的最大值为 .（i 为虚数单位，z 为复数z 的共轭复数） 4.已知定义在R 上的奇函数()f x 的图像关于直线2x =对称，当02x <≤时，()1f x x =+，则()()100101f f -+-= . 5.从如图所示的由9个单位小方格组成的33?方格表的16个顶点中任取三个顶点，则这三个点构成直角三角形的概率为 . 6.如图，在三棱锥P ABC -中，,PAC ABC ??都是边长为6的等边三角形，若二面角P AC B --的大小为0120，则三棱锥P ABC -外接球的面积为 .
7.已知12,F F 分别为双曲线22 :1412 x y C -=的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，,G I 分别为12F PF ?的重心、内心，若//GI x 轴，则12F PF ?的外接圆半径R = . 8.最近网络上有一篇文章很火.源于一道常见题目：（见图），这貌似易解的题目，里面竟然蕴藏了深奥的大道理. （本题不作为本次考试的试题，本次试题如下） 设{},2,3,4,5,6,7,8a b ∈，则1010a b b a a b +++的最大值为 . 9.已知整数系数多项式()543212345f x x a x a x a x a x a =+++++ ，若0f =，()()130f f +=则()1f -= . 10.已知函数()f x 满足：对任意实数,x y ，都有()()()6f x y f x f y xy +=++成立，且 ()()119f f ?-≥，则23f ??= ??? . 二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分.要求写出解题过程） 11.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2,*n n S na n n N -=∈，且23a =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2 ）设n b = n T 为数列{}n b 的前n 项和，求使920n T >成立的最小正整数n 的值.
2017年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准 （考试时间：5月14日上午8：30－11：00） 一、选择题（每小题6分，共36分） 1．已知集合203x A x x Z x +?? =≤∈??-?? ，，则集合A 中所有元素的和为（ ） A ．1- B ．0 C ．2 D ．3 【答案】 B 【解答】由 2 03 x x +≤-，得23x -≤<。又x Z ∈。因此{}21012A =--，，，，。 所以，集合A 中所有元素的和为0。 2．已知正三棱锥A BCD -的三条侧棱AB 、AC 、AD 两两互相垂直，若三棱锥A BCD -外接球的表面积为3π，则三棱锥A BCD -的体积为（ ） A ．43 B ．23 C ．16 D ．19 【答案】 C 【解答】设AB AC AD a ===，则三棱锥A BCD -外接球的半 径2 R a = 。 由243R ππ= ，得2 R = 。 ∴ 1a =，三棱锥A BCD -的体积311 66 V a ==。 3．已知x 为实数，若存在实数y ，使得20x y +<，且23xy x y =-，则x 的取值范围为（ ） A ．(43)(0)--?+∞， ， B ．(02)(4)?+∞，， C ．(4)(30)-∞-?-， ， D ．(0)(24)-∞?，， 【答案】 C 【解答】 由23xy x y =-，得23 x y x =+ ∵ 20x y +<， ∴ 2203x x x + <+，即(4) 03 x x x +<+，解得4x <-或30x -<<。 ∴ x 的取值范围为(4)(30)-∞-?-， ，。 4．m 、n 是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，则下列命题中，正确的命题的个数是（ ） B （第2题图）
福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准 （考试时间：5月11日上午8：30－11：00） 一、选择题（每小题6分，共36分） 1．已知集合{}1A x x a =-<，{}22x B y y x ==≤，，若A B A ?=，则实数a 的取 值范围为（ ） A ．(]1-∞， B ．(1)-∞， C ．(]01， D ．(]3-∞， 【答案】 A 【解答】0a ≤时，A φ=，符合要求。 0a >时，(11)A a a =-+，，(]04B =，。 由A B A ?=知，A B ?。10 14a a -≥??+≤?，解得01a <≤。 ∴ a 的取值范围为(]1-∞，。 2．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥内切球的体积为（ ） A ． B C ．43π D ．163π 【答案】 A 【解答】设圆锥底面半径为R ，母线长为l ，则1 222 l R ππ?=，2l R =。 又21 22 S l ππ==圆锥测。因此，2l =，1R =。圆锥的轴截面是边长为2的正三角形。 所以，其内切球半径12323r =??= 34()3327V π=?=。 3．函数y x = ） A ．?-? B ．2?-? C ．1?-? D ．?? 【答案】 B 【解答】由y x -=22224y xy x x -+=-，222240x yx y -+-=。 ∴ 2248(4)0y y =--≥△，y -≤≤ 又2y x ≥≥-，因此，2y -≤≤2?-?。
4．给出下列命题： （1）设l ，m 是不同的直线，α是一个平面，若l α⊥，l m ∥，则m α⊥。 （2）a ，b 是异面直线，P 为空间一点，过P 总能作一个平面与a ，b 之一垂直，与另一条平行。 （3）在正四面体ABCD 中，AC 与平面BCD （4）在空间四边形ABCD 中，各边长均为1，若1BD =，则AC 的取值范围是(0。 其中正确的命题的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】 C 【解答】（1）显然正确。 （2）若存在平面α，使得a α⊥，b α∥，则a b ⊥。但a ，b 是未必垂直。故不正确。 （3）作A O B C D ⊥平面于O ，则O 为正三角形BCD 的中心，ACO ∠是AC 与平面BCD 所 成角。 设AB BC a ==，则23CO ==，cos ACO ∠= 。故，（3）正确。 （4）取BD 中点O ，则OA OC ==。由O 、A 、C 构成三角形知，(0AC ∈。 故，（4）正确。 5．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意x R ∈，均有(3)()f x f x +=，当3 (0) 2 x ∈，时，2()ln(1)f x x x =-+，则函数()f x 在区间[]06，上的零点个数为（ ） A ．6个 B ．7个 C ．8个 D ．9个 【答案】 D 【解答】由2()ln(1)0f x x x =-+=知，211x x -+=，0x =或1x =。 ∴ ()f x 在区间3(0)2，内有唯一零点1。结合()f x 为奇函数知，()f x 在区间3 (0)2 -， 内有唯一零点1-。 又由(3)()f x f x +=知，()f x 在区间3(3)2，内有唯一零点2；在区间9 (3)2，内有唯一零点4；在区间9 (6)2 ，内有唯一零点5。 又由33()()22f f -=-，333()(3)()222f f f -=-+=知，3()02f =，9 ()02 f =。
２01６年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案 考试时间 2016年3月１３日 9∶00－１1∶00 满分150分 一、选择题(共5小题，每小题7分,共3５分)。每道小题均给出了代号为A ，B ，C,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分) １.在平面直角坐标系xOy 中,已知点(02)B ，，点A 在x 轴正半轴上且30BAO ∠=?。将 OAB △沿直线AB 折叠得CAB △,则点C 的坐标为( ) Ａ．(1 B.3) C ．(3 D ．1) 2．若实数a ，b 满足232a a +=,232b b +=，且a b ≠，则22(1)(1)a b ++=( ) A ．18 B.12 C.9 D.6 ３．若关于x 的方程22240224 x x x a x x x +-+++=-+-只有一个实数根， 则符合条件的所有实数a 的值的总和为( ) A.6- B.30- C.32- D.38- 4.如图，在ABC △中，6AB =,3BC =,7CA =,I 为ABC △的内心，连接CI 并延长交AB 于点D 。记CAI △的面积为m ， DAI △的面积为n ,则 m n =( ） A.32 B.43 Ｃ．53 D.74 5.已知x ，y 为实数,且满足2244x xy y -+=,记224u x xy y =++的最大值为M ,最小值为 m ,则M m +=（ ） Ａ.403 B.6415 Ｃ．13615 Ｄ.315 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分) 6．在平面直角坐标系内有两点(11)A ， ,(23)B ，,若一次函数2y kx =+的图像与线段AB 有公共点,则k 的取值范围为 。 A B C D I
2015年福建省高中数学竞赛 暨2015年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷 （考试时间：2015年5月24日上午9：00－11：30，满分160分） 一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上） 1．设集合 ，从集合 中随机抽取一个元素，记 ，则随机 变量的数学期望 。 2．已知 ，其中是定义在上，最小正周期为2的函数。若在区间上的最大值为1，则在区间上的最大值为 。 3．、 为椭圆： （ ）的左、右焦点，若椭圆 上存在一点 ，使 得 ，则椭圆离心率的取值范围为 。 4．已知实数x ，y ，z 满足，则的最小值为 。 5． 已知函数，数列 中， （），则数列的前100项之和 。 6．如图，在四面体中，， ， ，且 与平 面 所成角的余弦值为 。则该四面体外接球半径 。 7．在复平面内，复数 、 、 的对应点分别为 、、。若 ， 120OZ OZ =u u u u v u u u u v g ，，则的取值范围是 。 8．已知函数 恰有两个极值点 ， （ ），则的取值范围 为 。 9．已知 ，若 ，则 的取值 范围为 。 10．若214sin sin sin tan 9 9929 n π πππ+++=…，则正整数的最小值为 。 二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。要求写出解题过程） 11．求函数 的最小值。
12．已知过点斜率为的直线交双曲线：于、两点。 （1）求的取值范围； （2）若为双曲线的右焦点，且，求的值。 13．如图，、分别为的内心、旁心，与圆、圆相切，切点分别为、，为与的交点。 （1）求证：； （2）若为中点，求证：。 （旁心：三角形旁切圆的圆心，它是三角形一个内角的平分线和其它两个内角的外角平分线的交点。）
厦门市参加2010年福建省高一数学竞赛 获奖情况通报 由福建省数学学会、福建省教育学会数学教学委员会举办的《2010年福建省高一数学竞赛》已结束，共评出获奖学生485名，其中一等奖60名、二等奖180名、三等奖245名。我市参加本次竞赛，共有109名学生获省级奖，其中一等奖15名，二等奖42名，三等奖52名。另外，再评出厦门市（市级）一等奖26名，二等奖35名，三等奖82名。 获奖情况通报如下： 一、省级获奖学生及指导教师 省一等奖15名 奖项学生姓名学校指导教师 一等奖陈彦哲厦门双十中学黄雄 一等奖金迪厦门双十中学黄雄 一等奖孙铭厦门外国语学校肖骁 一等奖程玺屿厦门一中黄文忠 一等奖黄哲轩厦门双十中学黄雄 一等奖吕智渊厦门双十中学黄雄 一等奖蒋禹聪厦门一中王东杰 一等奖邵文良同安一中纪碧璇 一等奖周泳厦门双十中学黄雄 一等奖卓未名厦门外国语学校谢登祥 一等奖李炜钊厦门双十中学黄雄 一等奖徐智伟厦门外国语学校肖骁 一等奖纪坤阳厦大附属科技中学钟旗法 一等奖陶元厦门外国语学校肖骁 一等奖谢晓晖厦门双十中学黄雄 省二等奖42名 奖项学生姓名学校指导教师 二等奖刘英喆厦门双十中学黄雄 二等奖胡致远厦门双十中学陈兆坚 二等奖杨景光厦门一中黄文忠 二等奖林志云同安一中张树亮 二等奖陈伟德厦门双十中学王娴静
二等奖李佳睿厦门双十中学黄雄二等奖刘广帅厦门双十中学黄雄二等奖高飏宇厦门外国语学校肖骁二等奖王贺厦门外国语学校肖骁二等奖陈鸿龙厦门双十中学王娴静二等奖陈凡厦门外国语学校徐艳二等奖高翔厦门双十中学黄雄二等奖陈泽厦门外国语学校肖骁二等奖黄和金厦门大学附属科技中学钟旗法二等奖杨晨厦门双十中学黄雄二等奖曾楚元厦门外国语学校肖骁二等奖吴云涛厦门双十中学黄雄二等奖马振家厦门双十中学黄雄二等奖李兆兴厦门外国语学校肖骁二等奖陈璐璇厦门外国语学校徐艳二等奖李云辉厦门双十中学黄雄二等奖唐新厦门外国语学校肖骁二等奖李光毅同安一中纪碧璇二等奖佘彦遥厦门双十中学郭俊芳二等奖张海容厦门外国语学校谢登祥二等奖庄佳威厦门外国语学校肖骁二等奖樊亦融厦门外国语学校肖骁二等奖吴冠宏厦门一中张能贤二等奖吴子婧厦门外国语学校谢登祥二等奖林慧聪厦门双十中学黄雄二等奖雷扬厦门外国语学校徐艳二等奖刘鸿辉厦门双十中学黄雄二等奖徐鲲鹏厦门一中陈建国二等奖康阳焘厦门外国语学校谢登祥二等奖秦鹤厦门外国语学校徐艳二等奖陈忱同安一中张树亮二等奖孙哲宇厦门一中陈建国二等奖严晓宇厦门外国语学校肖骁二等奖邹泽宇厦门外国语学校肖骁二等奖刘雨新厦门外国语学校肖骁二等奖孙艺林厦门一中鲍晓静
全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷 考试时间：9月11日上午8：00～10：30 一、选择题：每题6分，满分36分 1、设函数)(x f 的定义域为R ，且对任意实数)2 ,2(π π- ∈x ，x x f 2sin )(tan =，则)sin 2(x f 的最大值为（ ）A 0 B 2 1 C 2 2 D 1 2、实数列}{n a 定义为,7,1,,3,2,1 291112 ===++-=--a a n a a a a a n n n n n 则5a 的值为（ ） A 3 B 4 C 3或4 D 8 3、正四面体ABCD 的棱长为1，E 是△ABC 内一点，点E 到边AB,BC,CA 的距离之和为x ，点E 到平面DAB,DBC,DCA 的距离之和为y ，则2 2 y x +等于（ ） A 1 B 26 C 35 D 12 7 4、数列10021,,,x x x 满足如下条件：对于k x k ,100,2,1 =比其余99个数的和小k ，已知 n m x = 50，m ，n 是互质的正整数，则m+n 等于（ ） A 50 B 100 C 165 D 173 5、若2 6cos cos ,22sin sin =+= +y x y x ，则)sin(y x +等于（ ） A 22 B 23 C 2 6 D 1 6、P 为椭圆19 1622=+y x 在第一象限上的动点，过点P 引圆922=+y x 的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点M 、N ，则MON S ?的最小值为（ ） A 29 B 329 C 427 D 34 27 二、填空题：每小题9分，满分54分 7、实数z y x ,,满足,146,74,722 2 2 -=+-=+=+x z z y y x 则2 2 2 z y x ++＝. 8、设S 是集合｛1，2，…，15｝的一个非空子集，若正整数n 满足：S S n S n ∈+∈,，则称n 是子集S 的模范数，这里|S|表示集合S 中元素的个数。对集合｛1，2，…，15｝的所有非空子集S ，模范数的个数之和为. 9、对于 12 1 ≤≤x ，当25)21)(1()1(x x x --+取得最大值时，x ＝.