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第一章度量空间-黎永锦[整理版]

第1章度量空间

在1900年巴黎数学家大会上我曾毫不犹豫

地把十九世纪称为函数论的世纪.

V. Volterra(伏尔泰拉)

(1860-1940, 意大利数学家)

泛函分析这一名称是由法国数学家P. Levy引进

的. 在十九世纪后期,许多数学家已经认识到数学中许

多领域处理的是作用在函数上的变换或者算子,推动

创立泛函分析的根本思想是这些算子或变换可以看作

某类函数上算子的抽象形式,把这类函数全体看成空

间,而每个函数就是空间的点,算子或变换就把点变成

点,将函数变成实数或复数的算子就称为泛函.泛函的

抽象理论是由V. Volterra(1860-1940)在关于变分法的 P. Levy (1886-1971)

工作中最先研究的,但在建立函数空间和泛函的抽象理论中,第一个卓越的成果是由法国数学家M. Frechet 1906年在他的博士论文中得到的.

1. 1 度量空间

M. Frechet是法国数学家,他1906年获得博士学位. M. Frechet的博士论文

开创了一般拓扑学,G. Cantor, C. Jordan, G. Peano, E. Borel和其他数学家发展了有限维空间的点集理论. V. Volterra, G. ascoli和J. Hadamard等开始把实值函数作为空间的

点来考虑. M. Frechet的博士论文统一了这两种思想,并建立了一个公理结构. 他给出收敛序列的极限的一组公理,然后定义了闭集、内点和完备集等基本概念,还引入了相对列紧性和列紧性,并得到了列紧集的基本性质,在他的博士论文中,M. Frechet第一次给出了度量空间的公理.

d:X，X,R定义 1.1.1 若是一个非空集合,是满足下列条件的实值函数,X

对于任意,有 x,y,X

(1) 当且仅当; x,yd(x,y),0

(2) d(x,y),d(y,x);

(3) . d(x,y),d(x,z)，d(y,z)

X则称d为上的度量,称为度量空间. (X,d)

明显地,由(3)可知 ,故由(2)可知,d(x,y)，d(y,x),d(x,x)d(x,y),0

d因此是一个非负函数.

EXX若是一个度量空间,是的非空子集,则明显地也是度量空间,称(E,d)

为的度量子空间. (E,d)(X,d)

R例1.1.1 若是实数集,定义,则容易看出是度量空间. d(x,y),|x,y|(R,d) X例1.1.2 对于任意一个非空集,只需定义

,0,当 x , y 时,d(x,y) = ,,1当 x , y 时.,

dX则是一个度量空间,称为上的平凡度量或离散度量. (X,d)

度量不是唯一的,在一个非空集合上,可以定义几种完全不同的度量.

nRx,(x),y,(y)例1.1.3 对于,可以定义几种不同的度量,对于, 有ii

n21/2; d(x,y),[(x,y)],ii,n1

; d(x,y),|x,y|1,iin,1

d(x,y),max{|x,y|}2ii

nnnn容易验证,和都是度量空间,一般称为欧几里得(R,d)(R,d)(R,d)(R,d)12 空间.

以下的例子是在M. Frechet 1906年提出的. 例1.1.4 如果用记所有实数列形成的集合,对于任意,定义x,(x),y,(y)sii

,|x,y|iid(x,y), ,i!(1，|x,y|)i1,ii

xd容易知道满足度量定义中的(1)和(2),由函数,(x) =在 (0, ) 是，,1，x |a，b|,|a|，|b|单调增加的可知对于,有

|a，b||a|，|b||a||b|,,， 1，|a，b|1，|a|，|b|1，|a|，|b|1，|a|，|b| |a||b|,， 1，|a|1，|b|

a,x,z,b,z,y 令,则可得到,所以d(x,y),d(x,z)，d(y,z)(s,d)iiii

是一个度量空间.

常见的序列空间还有如下几个空间.

(x),(y),ll,{(x)|sup|x|,，,}例1.1.5 , 对于任意的,定义,iiii,i,,

1d(x,y),sup|x,y|lx,(). 即为所有有界数列所形成的空间,如, ii,i

i, 但. y,(1，(,1)),lz,(i),l,,

c,{(x)|limx,0}例1.1.6 ，对于任意的,定义(x),(y),cii0ii0i,,

1c. 即为所有收敛于0的数列所成的空间,如, d(x,y),sup|x,y|x,()0iii2

i1，(,1)i, 但. y,(),cz,(1，(,1)),c0i03

,例1.1.7 ,对于任意的,定义l,{(x)||x|,，,}d(x,y)(x),(y),l1iiii1,1i, ,1.即为所有绝对收敛数列所成的空间,如, 但 ,|x,y|lx,(),lii1,1ii1,31. z,(),l1i

3R 度量就是中距离的推广,在给定的集合上定义了度量,就可以讨论点列的收

敛性.

d(x,x),0定义 1.1.2 设是度量空间,, 若, 则称序{x},X(X,d)limn0n,,n

dx列按度量收敛于,记为limx,x, 或, 此时称为{x}x,x(n,,){x}0n0n0nnn,, x收敛点列,称为的极限. {x}0n

在数学分析中,大家都知道,若数列{x}是收敛的,则其极限是唯一的.类似地,在n

度量空间也有下面的结论.

{x}{x}定理 1.1.1 在度量空间中,若是收敛点列,则的极限一定唯(X,d)nn一.

x,y,Xx,ylimx,xlimx,y证明用反证法,假设有,使得,,但,则由nn,,,,nn

d(x,y),0d(x,y),0d(x,y),d(x,x)，d(x,y),可知.又由于,因此nn

x,y{x}d(x,y),0,但这与假设矛盾,所以由反证法原理可知的极限唯一.n

另外,容易看出,在度量空间中,若是收敛点列,则的任意子{x}{x}(X,d)nn

列也是收敛点列,并且极限是一样的.

d(x,y)d(x,y),d(x,y)定理 1.1.2 若, ,则. 即是x,xy,ynn00n0n0

和的二元连续函数. xy

证明由于

d(x,y),d(x,x)，d(x,y) nnn00n

,d(x,x)，d(x,y)，d(y,y) n0000n

因此

d(x,y),d(x,y),d(x,x)，d(y,y) nn00n0n0

同样地,有

d(x,y),d(x,y),d(x,x)，d(y,y) 00nnn0n0

因而

|d(x,y),d(x,y)|,d(x,x)，d(y,y) nn00n0n0

d(x,y),d(x,y)所以,. nn00

如果考虑如下的问题呢,

问题 1.1.1 若 X 是线性空间,为度量空间,加法是否连续呢, (X,d)

不一定,下面的例子是 D. D. Rothmann [A nearly discrete metric. Amer. Math.

Monthly 81 (1974), 1018-1019. ] 作出的. 例1.1.8 设, 对于任意,定义R,(,,,，,)x,y,R

0,当 x , y 时,,d(x,y)= ,max{|x|,|y|},当 x , y 时.,

则容易验证是一度量空间. (R,d)

1yx,1其实,只要取,,,, 则 x,1y,1,,nn00n

11d(x,x),d(1,1),0,0d(y,y),d(,,0),,0,.n0n0nn

1d(x，y,x，y)d(x，y,x，y),d(1,,1),1但, 因此不收敛于0. 所以,虽

nn00nn00n

x，yy,yx,x然,, 但是不收敛于. {x，y}00n0n0nn

231/23在空间解析几何中,称是R中一个以{(x,x,x)|(|x,x|),r},i1230i,1 为球心,为半径的球.同样地,球的概念可以推广到一般的度量空间.xr0

r.1.3 若为度量空间, 为大于0的实数,则称定义 1(X,d)

,{x,X|d(x,x),r}x是以为球心, 为半径的开球,记为. 而U(x,r)U(x,r)r0000 ,{x,X|d(x,x),r}x称是以为球心,为半径的闭球. B(x,r)r000

抽象的度量空间与现实的世界有着较大的区别,下面的问题是很有意思的.

问题 1.1.2 在度量空间中,一个半径较小的开球能否真包含一个半径较大的开球,

度量空间的开球与真实世界的球有着本质的区别,一个半径为6的开球,可能会真包含在一个半径为4的开球内.

22例1.1.9 设为实数,}, 在上定义度量 X,{(x,x)|x,xX|x|，|x|,16121212 221/2,则以= (0, 0) 为球心4为半径的小球真包含以xd(x,y),(|x,y|，

|x,y|)01122

y= (3, 0)为球心6为半径的大球. 0

进一步,还可以考虑下面的问题. 问题 1.1.3 对于任意,是否都可找到一个度量空间,存在两球,使得小r,r,021

球真包含大球呢, U(x,r)U(x,r)0102

利用开球还可以刻画点列的收敛性,类似于数学分析中的数列收敛与开区间的{x},,0n,N联系,序列依度量收敛于当且仅当对于任意,存在,使得xNn0

x时, 都包含在开球中. U(x,,)n0

0,,,1dX例1.1.10 若为非空集合的平凡度量,则对任意及, x,X0

n,NxU(x,)只包含一个点,因此如果序列收敛于,则必有,使得时,一定,xNn00x,x 有. n0

r,0X定义 1.1.4 设M是度量空间的子集,若存在 xX,, 使得M包含在,0U(x,)开球,中,则称M是的有界集. (X,d)0

r,0x,M明显地,M是有界集当且仅当存在x及,使得对任意,有0

. d(x,x),r0

{x}{x}定理 1.1.3 若为度量空间的收敛序列,则是有界的. nn

N,,1n,Nlimx,x证明设, 则对于,存在,使得时,有. d(x,x),1n0n0n,,

nr,max{1,d(x,x),,,,,d(x,x)}，1令, 则对任意的,有,故d(x,x),r010n,10n ,所以是有界的. {x}{x},U(x,r)nn0

有界集是一个与度量有关的概念,因为对于任意一个度量空间,都可以引(X,d)

入另一度量,使任意子集都是有界集. M,X,

d(x, y)事实上,只需令 ,则容易看出对任意,都是(,) M,XX,,(x,y),M1，d(x, y)

的有界集,并且有当且仅当. d(x,x),0,(x,x),0nn

例1.1.11 设s 为全体实数列,对于任意, d(x,y)x,(x),y,(y),sii,|x,y|iid=,试证明(s, d)中序列按度量收敛当且仅当序列按坐标收敛. ,i!(1，|x,y|)iii1, (n)(0),|x,x|ii 证明若, ,则 d(x, x) =0,,x,sd(x,x),0nn,n0(n)(0)i!(1，|x,x|)i1,ii故对每一个固定的 i,有 0

(n)(0)|x,x|ii00 ,d(x,x)n0(n)(0)i!(1，|x,x|)0ii00

因而

i!d(x,x)(n)(n)0n0 |x,x|,ii001,i!d(x,x)0n0

(n)(n)limx,x{x}x所以 ,即按坐标收敛于. iin000,,n

,10,,,1{x}反过来,若按坐标收敛于,则对于任意,由于级数收x0n,i!i1,

,1,敛,因此存在正整数m,使得 . ,,i!4im,

,n()(0)对于每个i N时,有 .令 N =max {N,...,

||x,x,ii 1ii4N },则当 n > N时,有 m-1

,(n)(0)m,1m,1|x,x|ii4 ,,,(n)(0),i!(1，|x,x|)i,1i,1iii!(1，)4

,3 ,4因此

(n)(0)(n)(0)m1,,|x,x||x,x|iiiid(x,x),， n0,,(n)(0)(n)(0)i!(1，

|x,x|)i!(1，|x,x|)i1im,,iiii

,,3,，,,. 44

limd(x,x),0.d所以即依度量收敛到. {x}xn0n0,,n

1.2 度量拓扑

在数学分析,对实数集R,已经有了开区间,闭区间,开集和闭集等概念,将这些概念推广到一般的度量空间,就可以建立起度量空间的拓扑结构.(X,d)

X定义 1.2.1 设x,G是度量空间,是的子集,称为的内点,若存(X,d)GG0在的某个开球,使得. 若G的每一个点都是的内点,则称GU(x,r)U(x,r),G00 为开集. G

X 另外,规定空集是开集,明显地一定是开集. ,

定理 1.2.1 对于任意, 开球是度量空间(X,d)的开集. x,X,r,0U(x,r)00

证明只需证明对于任意的,是的内点.xx,U(x,r)U(x,r)00

r',r,d(x,x)d(x,x),r 对于,有,令,则且 r',0x,U(x,r)000

d(x,y),r'时, 有,因而 y,U(x,r')

d(x,y),d(x,x)，d(x,y),d(x,x)，r',r 000

所以，,即是的内点,由是任意的可知是xxU(x,r'),U(x,r)U(x,r)U(x,r)000开集.

下面关于开集的基本性质就是一般拓扑学的公理基础.

定理 1.2.2 设是度量空间,则 (X,d)

(1) 任意个开集的并集是开集;

(2) 有限个开集的交集是开集.

x,:G证明 (1) 设为的一族开集,则对任意,有某个下标, G,(X,d)0,,,

U(x,r),GU(x,r),G使 ,由于是开集,因而有开球,因此,故x,GG,,,:,000,

为的内点, 由是任意的可知是开集. xxGG::,,,,

G,,,,,Gi,1,2,,,,,n (2) 设为开集,对于任意,对,有x,G, x,G1nii:,1i

Gr,min{r|i,1,2,,,,n}rU(x,r),G由于是开集,因此有使得,令,则 iiiii

nnn

U(x,r),GU(x,r),G,因而, 所以,x为的内点,从而为开

集.GGii:::iii,1i,1,1i

dXX例1.2.1 设是非空集合,为上的平凡度量,则对任意,开球 x,X0

U(x,1),{x|d(x,x),1},{x}, 因而是开集,所以,的任意子集 X{x}0000

都是开集. G,{x}:x

问题 1.2.1 任意多个开集的交集是否一定为开集,

任意多个开集的交集不一定是开集.

11d(x,y),|x,y|G,(,,)例 1.2.2 在实数空间中,,对于任意自然数,nRnnn

,11是的开集, 但G不是开集. ,:(,,),{0}Rn:nn1n,

C定义 1.2.2F,X 度量空间的子集称为闭集,若的余集\是开集. (X,d)FFF 由上面的定理,容易看出下面定理成立. 定理 1.2.3 设是度量空间,则 (X,d) X(1) 和是闭集; ,

(2) 任意闭集的交集是闭集;

(3) 有限个闭集的并集是闭集.

与闭集有着密切联系的概念是极限点.

x,XF定义 1.2.3 设是中的集合,,若包含的任意开集都含有不同x(X,d)

FF于的的点,则称为的极限点. xx

FFR 明显地,x为的极限点时,x不一定属于. 例如在实数空间中,0是 F = 10,F{| n = 1, 2,…, n,… }的极限点,但. n

Fx容易看出,有几种方法可以检查一个点是否为的极限点.

x,X定理 1.2.4 设(X,d)为度量空间, , ,则下列条件等价:F,X0

(1) 为的极限点; Fx0

(2) 包含的任何一个开集都含有异于的无穷多个点; Fxx00

x,x,xlimx,x. (3) 在F中存在序列,且 nn0n0,,n

定义 1.2.4 设是度量空间,,称F的极限点全体为F的导集,记(X,d)F,X F,F:F'为F'.称为F的闭包. 例1.2.3 在实数空间中,若,则,且.

F,FF,[1,2]:{3,4}F',[1,2]R

FX定理 1.2.5 设是度量空间,为的子集,则下列条件等价:(X,d)

F (1) 是闭集;

F',F(2) ;

(3) F,F.

CFF',FF 证明 (1)(2) 若是闭集,则是开集. 如果,则. 如果 ,,F',

x,F'x,F, 则对任意,必有. ,F',

CCCx,FF:F,x,FF不然,假设,则有,由于是开集,且, 但这与,x,F'矛盾.

F,F:F',FF',F(2)(3) 若,则. ,

CF,F:F',FF,F',F(3)(1) 若,则.如果,则是闭集; ,,F,X

CCx,FF,F',Fx,F'如果,,则对任意,由可知,因而存在开球

CCCFFU(x,r):F,x,, 故,即是的内点,因此是开集,所以F是闭U(x,r),F 集.

x,X定理 1.2.6 设是度量空间,,,则下列条件等价: (X,d)F,X

x,F(1) ;

(2) 的每个开球都包含有的点; xF

limx,x.(3) 有序列,使得 {x},Fnn,,n

x,F,F:F'x,F证明 (1)(2) 对,若,则明显地对每个开球, U(x,r)x,

x,F'包含有的点.若,则对于的每个开球,必含有的U(x,r)U(x,r)U(x,r)xFF异于的点,所以一定含有的点. U(x,r)xF

11xU(x,)dxx(,), (2)(3) 对于任意正整数,中含有的点,因而,所n,Fnnnn limx,x.以, n,,n

{x},Flimx,x.x,F (3)(1) 设存在,使得如果,则明显地有,nn,,n

x,xx,F{x},Flimx,x.x,F.如果,则由可知,因而由可知nnn,,n

x,Fx,F',所以,.

容易证明,的闭包就是包含的最小闭集,因此需要考虑下面的问题.FF

问题 1.2.2 在度量空间U(x,r)中,开球的闭包是否一定是闭球(X,d)0

B(x,r), 0

xU(x,r)B(x,r)在度量空间中,都以为球心,为半径的开球和闭球 (X,d)r000虽然半径一样,但开球的闭包不一定是闭球.

例1.2.4 在R,(,,,，,)上,定义平凡度量

,0,当 x , y 时,d(x,y)= ,,1当 x , y 时.,

U(0,1)U(0,1),{0}则对于开球,由于是闭集,因此它的闭包仍是{0},不是闭球. B(0,1),(,,,，,)

定义 1.2.5 设是度量空间,, 称的内点全体为的内部,记(X,d)GGG,X

0为G.

容易证明,对于的内部和闭包,有下面的定理成立. G

G,X定理 1.2.7 设F,X为度量空间,, ,则 (X,d)

0G,G (1) 是开集当且仅当; G

0 (2) G,G,G;

00G,F(3) 当时,一定有G,F, G,F.

利用闭包这一概念,还可以引进一些与闭包有关的概念.

X定义 1.2.6 设为度量空间的子集,若F,X,则称在中稠密.(X,d)FF

F定义 1.2.7 设为度量空间的子集,若不包含任何内点,则称称在(X,d)FFX中是疏朗的.

例1.2.5 全体有理数Q在实数空间中是稠密的,而全体自然数 R,(,,,，,) 在中是疏朗的. ZR

d在度量空间中,利用度量,可以定义开集,闭集,闭包,内部等概念,也可(X,d) dx以利用开集来刻画序列依度量收敛于. {x}0n

F. Hausdorff (1868-1942)发现对于一个给定的点集,可以不必引进度量,也能用某种方式来确定某些子集为开集,然后利用开集就可以建立闭集,闭包和序列收敛等概念,F. Hausdorff 利用这些概念建立了拓扑空间的完整理论.

定义 1.2.8 设是一个非空集合,是的一族子集,若满足下面的三个公XX,,理,则称(X,)是拓扑空间 ,

,,(1) ,; X,,,

(2) 中任意个集合的并集属于; ,,

(3) 中任意有限个集合的交集属于. ,,

此时称中每一个集合为开集,则称为拓扑. ,,

(X,,)明显地,若是度量空间,为度量空间中的全体开集,则为拓扑(X,d),

d空间,称为度量产生的拓扑. ,

(X,,)XX例1.2.6 设是一个非空集合,为的子集的全体,则是一个拓扑,

dX空间,此时称为的离散拓扑.此时,对于任意,都是开集.若为上的平凡xx,X, dX度量,则度量产生的拓扑就是的离散拓扑.

(X,,)X,{x,y,z}X,{x},{x,y},{x,z}}例1.2.7 设,={,,则为一拓扑空,,

UU(X,,)z间. 但在中,对含有点和含有点的任意开集和,都有 yyzU:U,. ,yz 1x,y,Xr,d(x,y)明显地,在度量空间中,对于任意,只需取, 则

(X,d)4U(x,r):U(y,r),,具有这种性质的拓扑空间称为Hausdorff 空间., (X,,)X定义 1.2.9 拓扑空间称为Hausdorff 空间,若对于中的任意, x,y UU:U,x,yy,UUx,U,存在两个开集和, 使得,,且,. yxyyxx

另外,度量空间还具有下面例题中的性质,而具有这种性质的拓扑空间(X,d) 为正规空间.

例题 1.2.1 设,是度量空间中的两个闭集,且,试证明FFF:F,(X,d),1212存在开集,,使得,,且. UUF,UF,UU:U,,21122121

cc证明: 由于,因此.由是闭的可知是开集,故对于任意 F:F,FF,F,F122122 cx,F,存在,使. r,0U(x,r),F1x2x

rx令,则是开集,且. UF,U,(,)UUx1111:2,xF1

rycr,0类似地,对于任意,存在,使得,令,则U(y,r),Fy,F,(,)UUyy122y:2,xF2是开集,且. UF,U222

rryx::U(y,)如果存在,则由可知一定有z,U:U,:(,)Ux,122,yF2,xF21

rryx(,)z,Ux(,)z,Uyx,F,y,F,使且. 1222

因此

rryxd(x,y),d(x,z)，d(y,z),，,max{r,r} xy22

cy,F但这是不可能的,因为若d(x,y),r,则与矛盾;若d(x, y) <

y,U(x,r),Fx22x

cx,U(y,r),Frx,F, 则与矛盾. y11y

F,UF,UU:U,U:U,因此由上面讨论可知,所以存在开集,且.,,12112212

(X,,)Paul S. Uryosohn (1892-1924) 还证明了每一个正规的拓扑空间都可以

d引进度量,使得产生的拓扑与是一致的,即每一个正规的拓扑空间都是可度量, 化的.

1.3 连续算子

M. Frechet在他1906年的博士论文中,考察了一类空间,在空间中定义了LL泛函的连续性和一致收敛性等,在空间中引进并研究了列紧性,证明了在列紧集L 上的连续泛函是有界的,并在列紧上达到它的极大(小)值,这样就将实变函数的许多结果进行推广.

其实,依照数学分析中函数的连续性,在度量空间中很容易引入算子的连续性.

X定义 1.3.1 设和(Y,)都是度量空间,为到Y的算子,,若对,x,X(X,d)T0

x,,0,存在,使得时,有,则称算子在点连续,任意d(x,x),,,(Tx.Tx),,,,0T000 XX若在上的任意点都连续,则称在上连续. TT

例1.3.1 设 c 为所有收敛于0的实数列的全体,在度量 d(x, y) = sup |x - y| 0ii下是度量空间,若 T 为 c 到 c 的算子,T x = 3x + y,这里 y 为 c 的一个固定00000元,则 T 为连续映射.

d 事实上,由于 c 是线性空间,且由的定义可知d(x, y) = d(x - y, 0),因而对任0

,,,,意 >0, 只须取 = ,则当 d(x, x) <时,有 d(Tx, Tx) = d(3x+y, 3x + y) = 000006

,3d(x, x) <,因而T在x点连续,而x是c的任意点,所以T在上连续.X0000 x, 容易看出,若是到(Y,)的算子,则在点连续当且仅当对于任意(X,d)TT0

x{x}limTx,Tx.收敛于的序列,有 0nn0,,n

另外,还可以利用开集来刻画的连续性. T

定理 1.3.1 设和(Y,)是度量空间,则在上连续当且仅当中每X,(X,d)YT

个开集的逆象在中是开集. X

,1,1证明若是的开集,则不妨设,对任意,有GY,x,T(G)T(G),0Tx,G,,由于是开集,因此存在,因为是连续的,所以存在> 0,GTU(Tx,,),G00

,1,1x,U(x,,)Tx,U(Tx,,)U(x,,),T(U(Tx,,)),T(G)使得时,有,因而, 0000

,1,1,1故是的内点,所以,由是的任意点,可知是开集.xxT(G)T(G)T(G)00

,1x,X 反之,若对于中的每个开集G,都是X的开集,则对于任意Y T(G)0

11,,,,0X和任意,T(U(Tx,))为的开集,因此存在, 即对,U(x,,),T(U(Tx,,))000 ,,0d(Tx,Tx),,,d(x,x),,于任意,存在>0,使得时,有, 所以在点连续,xT000 X因而在上连续. T

在实数空间中,[a, b] 上的连续函数一定有界并达到它的上下界. 但在度量R 空间中,有界闭集上的连续函数不一定能达到它的上、下界,因此需要引入列紧性这一概念,列紧性是 M. Frechet在1904年发表在 Comptes Rendus 的论文引进的.

下面的列紧性与紧性在实数中可由Heine-Borel-Lebesgue定理和 R

Bolzano-Weierstrass定理来表现.

Heine-Borel-Lebesgue 定理指的是闭区间 [a, b] 为一族开区间所覆盖时,它一定为这一族中的有限个开区间所覆盖,而Bolzano-Weierstrass定理指的是有限区间中每个点列必有子列收敛于区间中的一点.

XX定义 1.3.2 设(X,d)为度量空间,为的子集,若的任何序列都有在FF

中收敛的子序列,并且是闭的,则称为列紧集. F

定义 1.3.3 设为度量空间,的子集称为紧的,若的每个开覆盖X(X,d)FF都有

有限的子覆盖, 即如果是的一族(可列或不可列)开集,且,XG,FG,,:,1 n则一定存在有限个开集, ,使得. GGG,,,,,:G,F,,,,n21i,1i

在度量空间中,的子集的列紧性与紧性是一致的. X(X,d)

定理 1.3.2 设是度量空间, ,则是列紧的当且仅当是紧(X,d)F,XFF的.

由紧集的定义容易得到下列的简单性质.

定理 1.3.3 设是度量空间,则 (X,d)

(1) 只有有限个点的子集是紧集;

(2) 紧集是有界闭集;

(3) 紧集的任意闭子集是紧的;

(4) 任意一族紧集的交集是紧集.

X,{1,2,3,,,,,n,,,,} 但度量空间的有界闭集不一定是紧的,如在中,定义平凡度

F,{2,4,6,,,,,2k,,,,}量d(x,y),则为的有界集,且是闭的,但不是紧集. FX 度量空间的紧集上的连续函数具有许多闭区间上连续函数所具有的性(X,d) 质.

XX,Y定理 1.3.4 设和(Y,)为度量空间,为的紧集,为到的连(X,d)FT

T(F)续算子,则是紧集.

y,TxT(F)证明设{y}为的任意序列,则有{x},F,使得.由于是紧Fnnnn

x,Flimx,x{x}x的. 因此存在,使得,且.因为在点连续,所以T0n00nkk,,k

limy,limTx,y,故为紧集. ,T(F)T(F)nn0kk,,,,kk

f定理 1.3.5 若为度量空间,为的紧集,为到实数的连续函XX(X,d)FR

f数,则一定有界,并且在上达到上、下确界. X

f(F)f(F)证明由上面的定理可知,为实数的紧集,因此有界,故存在M > 0,R |f(x)|,Mf(F)f(F)使得对任意 x,有.由于为实数的紧集,因而包含上确界R f(x),yf(x),yyyx,x,F和下确界,所以存在,使得,.12121122

由上面定理可知,若为度量空间, 为紧集,则上每个实值连续函数(X,d)FF

都是有界的,但下面的问题又如何呢,

X1.3.1 设问题为度量空间,若上的每个实值连续函数都是有界的,则(X,d)

X是否一定是紧的呢,

XX E. Hewitt 在1948年肯定地回答了上述问题,他证明了是紧的当且仅当上的每个实值连续函数都是有界的.

émile Borel在1895年首先给出并证明了现在的Heine–Borel定理,Pierre Cousin (1895), Lebesgue (1898) 和Schoenflies (1900)推广和完善了该定理.

nR定理 1.3.6 (Heine–Borel theorem)空间中的子集是紧的当且仅当是有FF 界闭集.

证明当是紧集时,明显地是有界闭集. FF

nRx,Fd(x,0), 反过来,若是的有界闭集,则存在M > 0,使得对于任意,有 F nn()k21/221/2.故对于中的任意序列, 有,因

(|x|),Md(0,x),(|x|),M{x}Fikik,,,1,1ii

(k)(k)(k)k而对于每个固定的,有 |对任意成立,由及为有界数

{x},Ri{x}x|,Miii

(k)列可知它一定有收敛子序列. 对于, 在中一定有收敛的子序列Ri,1{x}1 (k)(k)mm;同样,对于, 在中一定有收敛的子序列,不妨仍记为i,2R{x}{x}12 (k)(k)(k)(k)mmmmn,依照同样的方法,可以找到个子序列,

即, ,...,{x}{x}{x}{x}n122

n都收敛.由R中度量的定义容易知道的子序列一定收敛,所以,是紧

集.{x}{x}Fkkm

紧集上的连续算子还具有一些关于不动点的性质.下面先看看不动点的定义和一个非常简单的例子.

x,F定义 1.3.4 设为度量空间,,为到的映射,若,使(X,d)F,XTFF0Tx,x得 ,则称为的不动点. xT000

先看看下面很有意思的例子.

例 1.3.2 若f是到的连续函数,则f在一定有不动点,使得x[0,1][0,1][0,1]0 . f(x),x00

实际上,如果f(0),0f(1),1f或,则明显地,在一定有不动点.假如[0,1]

f(0),0f(1),1g(x),f(x),xg(0),0和都不成立,那么对于,有,并且g(1),0,有连续函数的中值定理可知，存在,使得,x,(0,1)g(x),f(x),x,00000

f所以,在一定有不动点. [0,1]

容易知道,是上的闭凸集,将上面的结果推广到上的紧凸集,就得[0,1][0,1]R nR到了Brouwer不动点定理,L. E. J. Brouwer 在1912年证明了欧几里得空间的不

动点定理.

nn定理 1.3.7 (Brouwer不动点定理) 设为欧几里得空间,为的紧凸集,若RRF Tx,xx,F为到的连续映射,则存在,使得. TFF000

x,y,X 设为线性空间,,则是凸集指的是对于任意的,及任意XF,XF

,x，(1,,)y,F,有. ,,(0,1)

凸集非凸集

1922年,G. D.Birkhoff 和O. Kellogg证明在中不动点定理成立. J. Schauder l2

在1930年还把上述不动点定义推广到赋范空间,即赋范空间中的任一紧凸集具有不动点性质,而Tychonoff进一步证明局部凸空间的任一紧凸集也具有不动点性质.

1.4 完备性与不动点定理

在数学分析讨论实数数列的极限时,大家都知道数列是Cauchy列当且仅{x}n当为收敛数列,Cauchy列这一概念亦可推广到度量空间. {x}n

,,0X定义 1.4.1 设(X,d)是度量空间,{x}为的序列,若对任意, 存在正n

m,n,Nd(x,x),,N整数{x},使得时,有,则称为Cauchy列. mnn

明显地,若为度量空间的收敛列,则一定是Cauchy列,但反之{x}(X,d){x}nn不然.

d(x,y),|x,y|例1.4.1 设为全体有理数,,则(Q,d)为度量空间,且Q

11nn，Cauchy列,但，在度量空间(Q,d)中不是收敛列. {(1)}{(1)}nn

定义 1.4.2 若度量空间的每一个Cauchy列都收敛于X中的点,则称 (X,d) 为完备的度量空间. (X,d)

完备的度量空间具有很好的性质,M.Frechet在他的博士论文中就已经仔细地区别完备与非完备的度量空间了.

例1.4.2 所有实数收敛数列全体c在度量下是一个完备d(x,y),sup|x,y|ii的度量空间.

nR例1.4.3 欧几里得空间是完备的度量空间,事实上,如果{x}是Cauchy列,k 则对于每个固定的,由 i

n(l)(m)(l)(m)21/2 |x,x|,(|x,x|),d(x,x),iiiilm,i1

(k)(k)limx,x.xx,(x)可知是中的Cauchy列,因而存在,使得令,{x}Riiiii,,k nlimx,xR则,所以,是完备的度量空间. k,,k

c,l,l(1,p,,)常见的序列空间都是完备的度量空间. 01p

在数学分析中,大家都知道闭区间套定理:如果闭区间列满足如下条{[a,b]}nn 件:

n,1,2,3,,,,(1) ,; [a,b],[a,b]n，1n，1nn

(2) . lim|a,b|,0nnn,,

则存在唯一的,使得.lima,limb,,,,[a,b](n,1,2,3,,,,)nnnnn,,n,,

在完备的度量空间,有类似的结论.

B,{x|d(x,x),r}定理 1.4.1 设是完备的度量空间,, (X,d)nnn

,,并且.则必有唯一的.limr,0B,B,,,,,B,B,,,,x,:B12nn，1nn1n,n,,

r,,n,N,,0limr,0证明由于,因此对于任意的,存在,使得时,有. Nnnk,,

{x}d(x,x),r,,对于,由 ,可知,因而是Cauchy 列.因为m,n,NB,Bnmnnmn

X是完备的度量空间,所以有,使limx,x. x,Xn,,n

,d(x,x),rd(x,x),rnx,:B由,可知对任意成立,因此.nnn，pnnn1n,

,,d(y,x),ry,:Blimx,y 假设,则由可知,所以,即,:Bx,ynnn1nn,nn,1,,n

中只含有一点.

该定理的几何意义是很明显的,如果有一列闭球,像洋葱一样,闭球内还有闭球,并且半径越来越小趋于0, 则一定有一点,在所有的球里面.

X例题 1.4.1 设(X,d)是一个度量空间,若对中任意一列闭球

B,{x|d(x,x),r}limr,0B,B,,,,,B,B,,,, 这里,当时,一定有nnnn12nn，1k,, ,唯一的,试证明是完备的度量空间. x,:B(X,d)n1n,

1x证明设是的Cauchy列,则对,存在,使得时,有 X,,Nn,Nnkkkkk，12

n,n,,,,,n,,,,.不妨把取为. nd(x,x),,12kknnkkk，1

泛函分析知识点

泛函分析知识点知识体系概述（一）、度量空间和赋范线性空间第一节度量空间的进一步例子 1.距离空间的定义：设X 是非空集合，若存在一个映射d ：X ×X →R ，使得?x,y,z ∈X,下列距离公理成立：（1）非负性：d(x,y)≥0，d(x,y)=0?x=y; （2）对称性：d(x,y)=d(y,x); （3）三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y); 则称d(x,y)为x 与y 的距离，X 为以d 为距离的距离空间，记作（X ，d ） 2.几类空间例1 离散的度量空间例2 序列空间S 例3 有界函数空间B(A) 例4 可测函数空M(X) 例5 C[a,b]空间即连续函数空间例6 l 2 第二节度量空间中的极限，稠密集，可分空间 1. 开球定义设（X,d ）为度量空间，d 是距离，定义 U(x 0, ε)＝{x ∈X | d(x, x 0) <ε} 为x 0的以ε为半径的开球，亦称为x 0的ε一领域. 2. 极限定义若{x n }?X, ?x ∈X, s.t. ()lim ,0n n d x x →∞ = 则称x 是点列{x n }的极限. 3. 有界集定义若()(),sup ,x y A d A d x y ?∈=<∞，则称A 有界 4. 稠密集定义设X 是度量空间，E 和M 是X 中两个子集，令M 表示M 的闭包，如果E M ?,那么称集M 在集E 中稠密，当E=X 时称M 为X 的一个稠密集。 5. 可分空间定义如果X 有一个可数的稠密子集，则称X 是可分空间。第三节连续映射 1.定义设X=(X,d),Y=(Y , ~ d )是两个度量空间，T 是X 到Y 中映射，x0X ∈,如果对于任意给定的正数ε，存在正数0δ>，使对X 中一切满足 ()0,d x x δ < 的x ，有 ()~ 0,d Tx Tx ε <，

线性空间与欧几里得空间

线性空间与欧几里得空间自测题一、填空题 1、对欧几里得空间V 中的任意向量βα，，有()βαβα≤ ，，而且等号成立当且仅当。 2、设1W 与2W 是V 的两个线性子空间，如果1W +2W 中的每个向量α都可唯一的被表示成21ααα+=，2211W W ∈∈αα，，则称1W +1W 为这两个子空间的。 3、两个同构的线性空间的维数。 4、第二类正交变换的行列式的值等于。 5、如果A 是正交矩阵。若k 为实数，使kA 为正交矩阵，则k 等于。二、选择题 6、下列n R 的子集是n R 的子空间的为（） A ：(){}n i Z a a a a a i n ...,3,2,1,.....,,,321=∈ B ：(){}0.....,,,21321=a a a a a a n C ：(){}R a a a a n ∈211,,0,...,0, C ：{} 1..)...,,(2222121≤+++n n a a a a a a 7、全体正实数的集合+R 对于下面定义的加法与标量乘法：k a a k a b b a ==⊕ ,构成R 上的线性空间，则+R 的零元素为（） A ：0 B: 1 C: 2 D: 3 8、若A 是正交矩阵，则下列矩阵中仍为正交矩阵的是（多重选择，其中k 是1±≠的整数） A:kA B:k A C:交换A 的任两行所得的矩阵 D ：把A 的某行k 倍加到另一行所得的矩阵 9、设A 是欧几里得空间V 关于基n ααα，，，...21的度量矩阵，则A 满足以下哪个条件时，n ααα，，，...21是规范正交基？（） A: A 是正交矩阵 B ：A 为对称矩阵 C ：1-A 为正交矩阵 D ：A 为单位矩阵 10、以下哪个结论不是两个线性子空间1W 与2W 的和21W W +为直和的等价命题：（） A ：dim ()()()()221121dim dim dim dim W W W W W W >+>+且

空间统计-空间自相关分析

空间自相关分析 1.1 自相关分析空间自相关分析是指邻近空间区域单位上某变量的同一属性值之间的相关程度，主要用空间自相关系数进行度量并检验区域单位的这一属性值在空间区域上是否具有高高相邻、低低相邻或者高低间错分布，即有无聚集性。若相邻区域间同一属性值表现出相同或相似的相关程度，即属性值在空间区域上呈现高（低）的地方邻近区域也高（低），则称为空间正相关；若相邻区域间同一属性值表现出不同的相关程度，即属性值在空间区域上呈现高（低）的地方邻近区域低（高），则称为空间负相关；若相邻区域间同一属性值不表现任何依赖关系，即呈随机分布，则称为空间不相关。空间自相关分析分为全局空间自相关分析和局部空间自相关分析，全局自相关分析是从整个研究区域内探测变量在空间分布上的聚集性；局域空间自相关分析是从特定局部区域内探测变量在空间分布上的聚集性，并能够得出具体的聚集类型及聚集区域位置，常用的方法有Moran's I 、Gear's C 、Getis 、Morans 散点图等。 1.1.1 全局空间自相关分析全局空间自相关分析主要用Moran's I 系数来反映属性变量在整个研究区域范围内的空间聚集程度。首先，全局Moran's I 统计法假定研究对象之间不存在任何空间相关性，然后通过Z-score 得分检验来验证假设是否成立。 Moran's I 系数公式如下： 11 2 11 1 ()()I ()()n n ij i j i j n n n ij i i j i n w x x x x w x x =====--= -∑∑∑∑∑(式错误！文档中没有指定样式的文字。-1) 其中，n 表示研究对象空间的区域数；i x 表示第i 个区域内的属性值，j x 表示第j 个区域内的属性值，x 表示所研究区域的属性值的平均值；ij w 表示空间权重矩阵，一般为对称矩阵。 Moran's I 的Z-score 得分检验为：

概率论

1.1.1 确定性现象在自然界和人类社会生活中，人们观察到的现象大体可以分为两种类型：确定性现象与随机现象．确定性现象是在一定条件下必然发生（或出现）某个结果的现象，这一类现象也称为必然现象．例如，①向上抛一块石头必然会落下；②在标准大气压下，水在100oC时一定沸腾；③异性电荷相互吸引，同性电荷相互排斥；?? 确定性现象蕴含的客观规律，我们称为确定性规律，它是人类早期科学研究的主要课题．同学们中小学所接触的自然科学知识几乎都是这些规律的知识．如，前例①中我们知道那是万有引力定律在作用；前例②中我们知道了水的沸点是与大气压成正比的规律；前例③中如果我们进一步的知道点电量及它们之间的距离，就可以算出它们之间的作用力??这些确定性规律只要我们掌握了，如果给出了具体的初始条件，那么我们就可以明确甚至是精确地知道会发生什么结果．对于确定性规律，大致地可以得出如下的特点： (1)如果给定某种初始条件，则发生的结果唯一； (2)一旦知道了它的规律，则结果的可以预知的．换句话说，确定性现象在相同条件下进行多次重复观察或实验，它发生的结果仍然保持不变． 1.1.2 随机现象随机现象，是在确定的条件下观察一次，只发生（或出现）一个结果，但在相同的条件下进行多次重复观察时，却可以发生多种不同结果的现象．例如，①在相同的条件下抛同一枚硬币，可能出现正面也可能是反面；②在相同的条件下抛掷同一枚骰子，可能出现1点，也可能出现2点，等等；③某城市某个月内交通事故发生的次数可能为0，可能为1，等等；④对某只灯泡做寿命实验，其寿命的可能值为无数多个；?? 随机现象是事前无法预知结果的，因为在相同条件下，可以出现这个结果，也可以出现那个结果，如在相同的条件下抛掷同一枚骰子，我们无法事先预知六面中哪一面会朝上． 1.1.3 统计规律性(1)--抛硬币实验因此，人们不禁地要问，随机现象是不是毫无规律可循呢？表面上看，随机现象的发生完全是“偶然的”，或“原因不明的”，没有什么规律可循．但事实上并非如此，人们经过长期的反复实践，逐渐发现所谓的无规律可言，只是针对一次或几次观察而言，当在相同条件下进行大量观察时，随机现象会呈现某种规律．典型的例子就是历史上抛掷硬币的实验：从试验结果可以看出，在大量的重复实验中，硬币出现正面与反面的机会几乎是相等的，而不是杂乱无章法． 1.1.4 统计规律性(2)--其他实验我们知道，随机现象在相同条件下进行大量观察时呈现出某种规律性．下面再列举几个例子． 1.根据各个国家各时期的人口统计资料，新生婴儿中男婴和女婴的比例大约总是1:1． 2.人的高度虽然各不相同，但通过大量的统计，如果在一定范围内把人的高度按所占的比例画出“直方图”，就可以连成一条和铜钟的纵剖面一样的曲线． 1.1.5 统计规律性(3)--规律描述从上面的例子我们确实看到，在相同条件下大量重复观察时，随机现象呈现出某种规律，称这种规律为统计规律．概率论和数理统计就是研究随机现象统计规律性的一门学科．既然概率统计研究的是随机现象的统计规律性，那么我们有必要具体了解那是什么样的规律．通过上面的例子，可以总结出统计规律的特点： (1)随机性每个结果是否出现是随机会而定的，是客观存在的，人为是无法对它进行控制与支配的； (2)频率的稳定性在大量重复的观察中，各个结果出现的频率是稳定的．一方面，随机性（也称偶然性，不确定性）是客观存在的，它使得人们无法预知会出现哪个结果，也不会更不可能因为发现了频率的稳定性之后就消失．另一方面，频率的稳定性客观上证实了随机现象的各个结果之间存在着某种内在的必然联系，这种必然联系决定了每个结果出现的可能性大小．通俗地讲，统计规律性就是：每个结果的发生(或出现)都是随机的，但是每个结果发生的内在比例是固定的．

线性空间和欧式空间

第六章线性空间和欧式空间 §1 线性空间及其同构一线性空间的定义设V 是一个非空集合，K 是一个数域，在集合V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于V 中任意两个元素α和β，在V 中都有唯一的一个元素γ与他们对应，成为α与β的和，记为βαγ+=。在数域K 与集合V 的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法，即对于数域K 中任一数k 与V 中任一元素α，在V 中都有唯一的一个元素δ与他们对应，称为k 与α的数量乘积，记为αδk =，如果加法与数量乘法满足下述规则，那么V 称为数域K 上的线性空间。加法满足下面四条规则： 1）αββα+=+；交换律 2）)()(γβαγβα++=++；结合律 3）在V 中有一个元素0，对于V 中任一元素α都有αα=+0（具有这个性质的元素0称为V 的零元素）；存在零元 4）对于V 中每一个元素α，都有V 中的元素，使得0=+βα（β称为α的负元素）. 存在负元数量乘法满足下面两条规则： 5）αα=1；存在1元 6）αα)()(kl l k =. 数的结合律数量乘法与加法满足下面两条规则： 7）αααl k l k +=+)(；数的分配律 8）βαβαk k k +=+)(. 元的分配律在以上规则中，l k ,表示数域中的任意数；γβα,,等表示集合V 中任意元素。例1．元素属于数域K 的n m ?矩阵，按矩阵的加法和矩阵的与数的数量乘法，构成数域K 上的一个线性空间，记为,()m n M K 。例2．全体实函数（连续实函数），按函数的加法和数与函数的数量乘法，构成一个实数域上的线性空间。例3． n 维向量空间n K 是线性空间。

空间计量经济学分析

空间计量经济学分析空间依赖、空间异质性 ?传统的统计理论是一种建立在独立观测值假定基础上的理论。然而，在现实世界中，特别是遇到空间数据问题时，独立观测值在现实生活中并不是普遍存在的（Getis, 1997）。 ?对于具有地理空间属性的数据，一般认为离的近的变量之间比在空间上离的远的变量之间具有更加密切的关系（Anselin & Getis，1992）。正如著名的Tobler地理学第一定律所说：“任何事物之间均相关，而离的较近事物总比离的较远的事物相关性要高。”（Tobler，1979） ?地区之间的经济地理行为之间一般都存在一定程度的Spatial Interaction，Spatial Effects）：Spatial Dependence and Spatial Autocorrelation）。 ?一般而言，分析中涉及的空间单元越小，离的近的单元越有可能在空间上密切关联（Anselin & Getis, 1992）。 ?然而，在现实的经济地理研究中，许多涉及地理空间的数据，由于普遍忽视空间依赖性，其统计与计量分析的结果值得进一步深入探究（Anselin & Griffin, 1988）。 ?可喜的是，对于这种地理与经济现象中常常表现出的空间效应（特征）问题的识别估计，空间计量经济学提供了一系列有效的理论和实证分析方法。 ?一般而言，在经济研究中出现不恰当的模型识别和设定所忽略的空间效应主要有两个来源（Anselin， 1988）：空间依赖性（Spatial Dependence）和空间异质性（Spatial Heterogeneity）。空间依赖性 ?空间依赖性（也叫空间自相关性）是空间效应识别的第一个来源，它产生于空间组织观测单元之间缺乏依赖性的考察（Cliff & Ord, 1973）。 ?Anselin & Rey（1991）区别了真实（Substantial）空间依赖性和干扰（Nuisance）空间依赖性的不同。 ?真实空间依赖性反映现实中存在的空间交互作用（Spatial Interaction Effects）， ?比如区域经济要素的流动、创新的扩散、技术溢出等， ?它们是区域间经济或创新差异演变过程中的真实成分，是确确实实存在的空间交互影响， ?如劳动力、资本流动等耦合形成的经济行为在空间上相互影响、相互作用，研发的投入产出行为及政策在地理空间上的示范作用和激励效应。 ?干扰空间依赖性可能来源于测量问题，比如区域经济发展过程研究中的空间模式与观测单元之间边界的不匹配，造成了相邻地理空间单元出现了测量误差所导致。 ?测量误差是由于在调查过程中，数据的采集与空间中的单位有关，如数据一般是按照省市县等行政区划统计的，这种假设的空间单位与研究问题的实际边界可能不一致，这样就很容易产生测量误差。 ?空间依赖不仅意味着空间上的观测值缺乏独立性，而且意味着潜在于这种空间相关中的数据结构，也就是说空间相关的强度及模式由绝对位置（格局）和相对位置（距离）共同决定。 ?空间相关性表现出的空间效应可以用以下两种模型来表征和刻画：当模型的误差项在空间上相关时，即为空间误差模型；当变量间的空间依赖性对模型显得非常关键而导致了空间相关时，即为空间滞后模型（Anselin，1988）。空间异质性 ?空间异质性（空间差异性），是空间计量学模型识别的第二个来源。 ?空间异质性或空间差异性，指地理空间上的区域缺乏均质性，存在发达地区和落后地区、中心（核心）和外围（边缘）地区等经济地理结构，从而导致经济社会发展和创新行为存在较大的空间上的差异性。 ?空间异质性反映了经济实践中的空间观测单元之间经济行为（如增长或创新）关系的一种普遍存在的不稳定性。 ?区域创新的企业、大学、研究机构等主体在研发行为上存在不可忽视的个体差异，譬如研发投入的差异导致产出的技术知识的差异， ?这种创新主体的异质性与技术知识异质性的耦合将导致创新行为在地理空间上具有显著的异质性差异，进而可能存在创新在地理空间上的相互依赖现象或者创新的局域俱乐部集团。 ?对于空间异质性，只要将空间单元的特性考虑进去，大多可以用经典的计量经济学方法进行估计。 ?但是当空间异质性与空间相关性同时存在时，经典的计量经济学估计方法不再有效，而且在这种情况下，

泛函分析知识总结

泛函分析知识总结与举例、应用学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。一、度量空间和赋范线性空间（一）度量空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n维欧氏空间n R（有限维空间）的推广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。 1．度量定义：设X是一个集合，若对于X中任意两个元素x，y,都有唯一确定的实数d()与之对应，而且这一对应关系满足下列条件： 1°d()≥0 ，d()=0 ?x=y（非负性） 2°d()= d() （对称性） 3°对?z ，都有d()≤d()() （三点不等式）则称d()是x、y之间的度量或距离（或），称为 ()度量空间或距离空间()。（这个定义是证明度量空间常用的方法）

注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d()，只要满足1°、2°、3°都称为度量。这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描述X 中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。 ⑵ 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同一个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为 (X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。 ⑶ 集合X 不一定是数集，也不一定是代数结构。为直观起见，今后称度量空间()中的元素为“点” ，例如若 x X ∈，则称为“X 中的点” 。 ⑷ 在称呼度量空间()时可以省略度量函数d ，而称“度量空间X ” 。 1.1举例 1.11离散的度量空间：设X 是任意的非空集合，对X 中任意两点∈X ，令 ()1x y d x y =0x=y ≠??? ，当，，当，则称（X ，d ）为离散度量空间。 1.12 序列空间S ：S 表示实数列（或复数列）的全体，d()＝1121i i i i i i ?η?η∞=-+-∑； 1.13 有界函数空间B(A)：A 是给定的集合，B(A)表示A 上有界

第二章赋范线性空间-黎永锦

第2章赋范线性空间虽然不允许我们看透自然界本质的秘密, 从而认识现象的真实原因,但仍可能发生这样的情形：一定的虚构假设足以解释许多现象. Eurler L . (欧拉) (1707-1783,瑞士数学家) Schmidt E .在1908 年讨论由复数列组成的空间}||: ){(1 2∞<∑∞ =i i i z z 时引入记号 ||||z 来表示2 11 )(∑∞ =i i i z z ,||||z 后来就称为z 的范数.赋范空间的公理出现在Riesz F .在 1918 年关于],[b a C 上关于紧算子的工作中,但赋范空间的定义是在 1920到1922年间由 Banach S .（1892—1945）、Hahn H .（1879—1934）、Helly E .（1884—1943）和 Wiener N .（1894—1964）给出的,其中以Banach S .的工作最具影响. 2.1赋范空间的基本概念线性空间是Peano Giuseppe 在1888年出版的书Geometrical Calculus 中引进的.Banach S .在1922年的工作主要是建立具有范数的完备空间,以后为了纪念他称之为 Banach 空间.他定义的空间满足三组公理,第一组公理定义了线性空间,第二组定义了范数, 第三组给出了空间的完备性. 定义 2.1.1 设K 是实数域R 或复数域C ,X 是数域K 上的线性空间,若||||?是X 到R 的映射,且满足下列条件： (1) 0||||≥x 且0||||=x 当且仅当0=x ; (2) ||||||||||x x λλ=,对任意X x ∈和任意K ∈λ ;

概率论基本知识(通俗易懂)

第一章概率论的基本概论确定现象：在一定条件下必然发生的现象，如向上抛一石子必然下落，等随机现象：称某一现象是“随机的”，如果该现象（事件或试验）的结果是不能确切地预测的。由此产生的概念有：随机现象，随机事件，随机试验。例：有一位科学家，他通晓现有的所有学科，如果对一项试验（比如：掷硬币），该万能科学家也无法确切地预测该实验的结果（是正面朝上还是反面朝上），这一实验就是随机实验，其结果是“随机的”----为一随机事件。例：明天下午三点钟”深圳市区下雨”这一现象是随机的，其结果为随机事件。随机现象的结果（随机事件）的随机度如何解释或如何量化呢？这就要引入”概率”的概念。概率的描述性定义：对于一随机事件A，用一个数P(A)来表示该事件发生的可能性大小，这个数P(A)就称为随机事件A发生的概率。

§1.1随机试验以上试验的共同特点是: 1．试验可以在相同的条件下重复进行； 2．试验的全部可能结果不止一个，并且在试验之前能明确知道所有的可能结果；3．每次试验必发生全部可能结果中的一个且仅发生一个，但某一次试验究竟发

生哪一个可能结果在试验之前不能预言。我们把对随机现象进行一次观察和实验统称为随机试验，它一定满足以上三个条件。我们把满足上述三个条件的试验叫随机试验，简称试验，记E 。 §1.2样本空间与随机事件 (一) 样本空间与基本事件 E 的一个可能结果称为E 的一个基本事件，记为ω，e 等。 E 的基本事件全体构成的集，称为E 的样本空间，记为S 或Ω, 即：S={ω|ω为E 的基本事件}，Ω={e}. 注意：ω的完备性，互斥性特点。例：§1.1中试验 E 1--- E 7 E 1：S 1={H,T} E 2：S 2={ HHH,HHT,HTH,THH, HTT,THT,TTH,TTT } E 3：S 3={0，1，2，3} E 4：S 4={1,2,3,4,5,6} E 5: S 5={0,1,2,3,…} E 6：S 5={t 0 ≥t } E 7：S 7={()y x , 10T y x T ≤≤≤} （二）随机事件

泛函分析度量空间知识和不动点的应用

泛函分析度量空间知识和不动点的应用第七章度量空间和赋范线性空间知识总结一、度量空间的例子定义：设X 为一个集合，一个映射d ：X ×X →R 。若对于任何x,y,z 属于X ，有（I ）（正定性）d(x,y ）≥0，且d(x,y)=0当且仅当 x = y ；（Ⅱ）（对称性）d(x,y)=d(y,x ）；（Ⅲ）（三角不等式）d(x,z ）≤d(x,y)+d(y,z ）则称d 为集合X 的一个度量（或距离）。称偶对（X ，d ）为一个度量空间，或者称X 为一个对于度量d 而言的度量空间。根据定义引入度量空间有离散的度量空间、序列空间、有界函数空间、可测函数空间、C 【a ，b 】空间、2l 空间，这6个空间是根据度量空间的定义可证它们是度量空间，在后面几节中给出它们相关的性质。二、度量空间中的极限，抽密集，可分空间：证明极限有二种方法： 1、定义法：设{}n x 是（X ，d ）中点列，如果存在x ∈X ，是lim (,)n x d x x →∞ =0，则称点列{} n x 是（X ，d ）中的收敛点列，x 是点列{}n x 的极限。 2、M 是闭集是充要条件是M 中任何收敛点列的极限都在M 中。即若n x M ∈，n=1、，2……， n x x →，则x M ∈。给出n 维欧氏空间、C[a,b]序列空间、可测函数空间中点列收敛的具体意义，由这些系列例子可以看到，尽管在各个具体空间中各种极限概念不完全一致，所以我们引入度量空间中的稠密子集和可分空间的概念，根据定义可得出n 维欧氏空间n R 是可分空间，坐标为有理数的全体是n R 的可数稠密集，离散度量空间X 可分的充要条件为X 是可数集。l ∞ 是不可分空间。三、连续映射证明度量空间的连续映射有四种方法： 1、定义法：设X=（X ，d ），Y=（Y ，d ）是两个度量空间，T 是X 到Y 中的映射，0 x X ∈，如果对于任意给定的正数ε，存在正数δ 0，使对X 中一切满足d （x ，0x ）δ 的x ，有 (,)d Tx Tx ε ，则称T 在0x 连续。 2、对0Tx 的每个ε-领域U ，必有0x 得某个δ—邻域V 使TV ?U ，其中TV 表示V 在映射T 作用下的像。 3、定理1：设T 是度量空间（X ，d ）到度量空间（Y ，d ）中的映射，那么T 在0 x X ∈连

拓扑空间与度量空间性质异同浅析论文

拓扑空间与度量空间性质异同浅析摘要：拓扑空间是度量空间的延伸，是用抽象化的语言来阐述相关概念，蕴含着丰富的性质。本文将拓扑空间中一些性质与度量空间中的一些性质做了一些比较，特别是对拓扑空间中相关反例进行了研究。关键词：拓扑空间，度量空间，可分性拓扑空间和度量空间是数学专业的最基本内容之一，研究他们的基本定义和相关性质是后续研究的重要基础，下面我们将其相关定义和性质进行梳理。一、相关定义拓扑空间的定义如下：定义1. 设x是一非空集合，x的一个子集族称为x的一个拓扑，如果它满足：（1）都包含在中（2）中任意多个成员的并集仍在中（3）中有限多个成员的交集仍在中度量空间的定义如下：定义2. 集合x上的一个度量是一个映射：,它满足（1）正定性. , ,, 当（2）对称性. , （3）三角不等式. , 当集合x上规定了一个度量后，称为度量空间。从相关定义中看出，若将度量空间中的开子集取作球形邻域，则拓扑空间是度量空间的推广。常见的度量空间有下面的一些例子:

例1：欧氏空间赋予距离拓扑后为度量空间。例2：空间x赋予如下度量：，则x为度量空间。例3：对实数上的闭区间上连续函数空间，我们可以赋予如下最大模范数诱导的度量，即任意两个连续函数的的距离为这两函数差的最大模，同样对于可导函数，光滑函数都有类似的定义。例4：在辛几何中，在哈密顿微分同胚群中hofer曾定义了如下度量：从其诱导的范数称为hofer范数，该范数是研究辛拓扑、辛嵌入的强有力武器。二、相关性质度量空间中许多性质都发源于欧氏空间，它们满足、、、分离公理与、可数公理，但有许多性质到拓扑空间就不再保持。例如可分性就不再保持。命题1：可分度量空间的子空间也是可分的。证明:不妨假设x是可分的度量空间，a是x的子空间，b为x的可数稠密子集。下面证明为a的可数稠密子集。首先证明为a的可数子集。因为b为可数子集，可数集的子集仍为可数集，所以为a的可数子集。其次证明为a的稠密子集，此时需要在子空间拓扑下讨论，即需证明a中任何开集与的交不空，由子空间拓扑定义，a中开集u为x中开集p与a的交，即.又因为b为x的稠密子集，即x的任何开集与b的交非空。所以，从而得证。但可分拓扑空间的子空间一般是不可分的，例子参见[1]。

概率论综述

第一章事件与概率 §1. 随机现象与统计规律性一.随机现象概率论（probability theory ）是研究随机现象的数量规律的数学分支。本节概述他的研究对象及殊地位。在一定条件下，必然会发生的事件称为必然事件。反之，那种在一定条件下，必然不会发生的事件称为不可能事件，这些统称为决定性现象。另一类现象，在基本条件不变的情况下，一系列试验或观察会得到不同的结果，即就个别实验或观察而言，它会时而出现这种结果，时而出现结果，呈现出一种偶然性。这种现象称之为随机现象（random phenomenon ）,对于随机现象通常关心的是试验或观察中某个结果是否出现，这些结果称之为随机事件，简称事件(event)。二.频率稳定性对于随机事件A,若在N 次实验中出现了n 次，则称 N n A F N =)( 为随机事件A 在N 次实验中出现的频率. 有种种事实表明，随机现象有其偶然的一面，也有其必然的一面。这种必然性表现为大量试验中随机事件出现的频率的稳定性，即一个随机事件出现的频率常在某个固定的常数附近摆动，这种规律性我们称之为统计规律性。对于一个随机事件A ，用一个数P(A)来表示该事件发生的可能性大小，这个数P(A)就称之为随机事件A 的概率（probability ）.因此概率度量了随机事件发生的可能性大小。三.频率与概率首先，概率具有非负性 0)(≥A F N 其次，对于必然发生的事件，在N 此试验中应出现N 次。若以Ω记必然事件，则应有 1)(=ΩN F 还有，若A 及B 是两个两个不会同时发生的随机事件，以A+B 表示A 或B 至少出现其一这一事件，则应有

[指南]第一章度量空间-黎永锦

[指南]第一章度量空间-黎永锦第1章度量空间在1900年巴黎数学家大会上我曾毫不犹豫地把十九世纪称为函数论的世纪. V. Volterra(伏尔泰拉) (1860-1940, 意大利数学家) 泛函分析这一名称是由法国数学家P. Levy引进的. 在十九世纪后期,许多数学家已经认识到数学中许多领域处理的是作用在函数上的变换或者算子,推动创立泛函分析的根本思想是这些算子或变换可以看作某类函数上算子的抽象形式,把这类函数全体看成空间,而每个函数就是空间的点,算子或变换就把点变成点,将函数变成实数或复数的算子就称为泛函.泛函的抽象理论是由V. Volterra(1860-1940)在关于变分法的 P. Levy (1886-1971)

工作中最先研究的,但在建立函数空间和泛函的抽象理论中,第一个卓越的成果是由法国数学家M. Frechet 1906年在他的博士论文中得到的. 1. 1 度量空间 M. Frechet是法国数学家,他1906年获得博士学位. M. Frechet的博士论文开创了一般拓扑学,G. Cantor, C. Jordan, G. Peano, E. Borel和其他数学家发展了有限维空间的点集理论. V. Volterra, G. ascoli和J. Hadamard等开始把实值函数作为空间的点来考虑. M. Frechet的博士论文统一了这两种思想,并建立了一个公理结构. 他给出收敛序列的极限的一组公理,然后定义了闭集、内点和完备集等基本概念,还引入了相对列紧性和列紧性,并得到了列紧集的基本性质,在他的博士论文中,M. Frechet第一次给出了度量空间的公理. d:X，X,R定义 1.1.1 若是一个非空集合,是满足下列条件的实值函数,X 对于任意,有 x,y,X (1) 当且仅当; x,yd(x,y),0 (2) d(x,y),d(y,x); (3) . d(x,y),d(x,z)，d(y,z) X则称d为上的度量,称为度量空间. (X,d) 明显地,由(3)可知 ,故由(2)可知,d(x,y)，d(y,x),d(x,x)d(x,y),0 d因此是一个非负函数. EXX若是一个度量空间,是的非空子集,则明显地也是度量空间,称(E,d) 为的度量子空间. (E,d)(X,d) R例1.1.1 若是实数集,定义,则容易看出是度量空间. d(x,y),|x,y|(R,d) X例1.1.2 对于任意一个非空集,只需定义 ,0,当 x , y 时,d(x,y) = ,,1当 x , y 时.,

泛函分析习题1

线性与非线性泛函分析◇ - 1 - 习题1 1.(张燕石淼)设在全体实数R 上，定义两个二元映射2(,)()x y x y ρ=-和 (2) (,)d x y ，证明(1)(,)ρR 不是度量空间；(2)(,)d R 是度量空间． 2.(范彦勤孙文静)设X ρ(,)为度量空间，:f ∞→∞[0,+][0,+]为严格单调函数，且满足 ,x y f ?∈∞[0,+],(0)=0,()()()f x y f x f y +≤+，令(,)((,))d x y f x y ρ=，证明X d (,)为度量空间． 3. (武亚静张丹)设X d (,)为度量空间，证明,,,x y z w X ?∈有 (,)(,)(,)(,)d x z d y w d x y d z w -≤+． 4.(崔伶俐杨冰)设全体实数列组成的集合为{}123(,,,....,...)|,1,2,...n i X x x x x x R i =∈=，对于 123(,,,....,...)n x x x x x =及12(,,...,...)n y y y y =∈X ，定义11(,)12k k k k k k x y d x y x y ∞ =-=+-∑ ．证明 X d (,)为度量空间． 5.设()X n 为0和1组成的n 维有序数组，例如(3){000,001,010,011,100,101,110,111}X =，对于任意的,()x y X n ∈，定义(,)d x y 为x 和y 中取值不同的个数，例如在(3)X 中，(110,111)1d =， (010,010)0d =(010,101)3d =．证明((),)X n d 为度量空间． 6.(苏艳丁亚男)设X d (,)为度量空间， A X ?且A ≠φ．证明A 是开集当且仅当A 为开球的并． 7.(张振山赵扬扬)设X d (,)和Y ρ(,)是两个度量空间．那么映射:f X Y →是连续映射当且仅当Y 的任意闭子集F 的原象1()f F -是X 中的闭集． 8.(王林何超)设{}n x 与{}n y 是度量空间X d (,)的两个Cauchy 列．证明(),n n n a d x y =是收敛列． 9.(李敬华孙良帅)设X d (,)和Y ρ(,)是两个度量空间，在X Y ?上定义度量 112212121 ((,),(,)){[(,)][(,)]}p p p x y x y d x x d y y γ=+，其中1122(,),(,)x y x y X Y ∈?，1p ≥为正数．证明 X Y ?是完备空间当且仅当X d (,)和Y ρ(,)均是完备空间． 10.(李秀峰钱慧敏)设X d (,)是完备的度量空间，{}11n G x G ∈是X 中的一列稠密的开子集，证明1n n G ∞ = 也是X 中的稠密子集． 11.(王胜训闫小艳)设n A ?R ，证明A 是列紧集当且仅当A 是有界集． 12 (冯岩盛谢星星)设X d (,)为度量空间，A X ?且A φ≠．证明（1）{|,(,)}x x X d x A ε∈<是X 的开集．（2）{|,(,)}x x X d x A ε∈≤是X 的闭集，其中0ε>．

泛函分析第七章习题解答125

第七章习题解答 1．设（X ，d ）为一度量空间，令}),(,|{),(},),(,|{),(0000εεεε≤∈=<∈=x x d X x x x S x x d X x x x U 问),(0εx U 的闭包是否等于),(0εx S ？解不一定。例如离散空间（X ，d ）。)1,(0x U ={0x }，而)1,(0x S =X 。因此当X 多于两点时，)1,(0x U 的闭包不等于)1,(0x S 。 2.设],[b a C ∞ 是区间],[b a 上无限次可微函数的全体，定义证明],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。证明（1）若),(g f d =0，则) ()(1)()(max ) () ()()(t g t f t g t f r r r r b t a -+-≤≤=0，即f=g （2）)()(1)()(max 21 ),()()()()(0 t g t f t g t f g f d r r r r b t a r r -+-=≤≤∞ =∑ =d （f ，g ）+d （g ，h ）因此],[b a C ∞ 按),(g f d 成度量空间。 3．设B 是度量空间X 中的闭集，证明必有一列开集 n o o o 21,包含B ，而且B o n n =?∞ =1。证明令n n n o n n B x d Bo o .2,1},1 ),({ =<==是开集：设n o x ∈0，则存在B x ∈1，使n x x d 1 ),(10< 。设,0),(110>-=x x d n δ则易验证n o x U ?),(0δ，这就证明了n o 是开集显然B o n n ??∞ =1 。若n n o x ∞ =?∈1则对每一个n ，有B x n ∈使n x x d 1 ),(1< ，因此)(∞?→??→? n x x n 。因B 是闭集，必有B x ∈，所以B o n n =?∞ =1 。 4.设d （x ，y ）为空间X 上的距离，证明) ,(1) ,(),(___ y x d y x d y x d += 是X 上的距离。证明（1）若0),(___ =y x d 则0),(=y x d ，必有x=y （2）因),(),(),(z y d z x d y x d +≤而 t t +1在),[∞o 上是单增函数，于是) ,(),(1) ,(),(),(),(1),(),(___ ___ z y d z x d z y d z x d y x d y x d y x d y x d +++=≤+=

泛函分析中的度量空间

泛函分析主要内容泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科。是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数，算子和极限理论。它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。主要内容有拓扑线性空间等。泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。 1、度量空间定义：设X为一个集合，一个映射d：X×X→R。若对于任何x,y,z属于X，有（I）（正定性）d(x,y)≥0,且d(x,y)=0当且仅当 x = y；（II）（对称性）d(x,y)=d(y,x)；（III）（三角不等式）d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z）则称d为集合X的一个度量（或距离）。称偶对（X，d）为一个度量空间，或者称X为一个对于度量d而言的度量空间。例：实数带有由绝对值给出的距离函数d(x, y) = |y?x|，和更一般的欧几里得n维空间带有欧几里得距离是完备度量空间 2、赋范线性空间泛函分析研究的主要是实数域或复数域上的完备赋范线性空间。这类空间被称为巴拿赫空间，巴拿赫空间中最重要的特例被称为希尔

伯特空间。例：任何赋范向量空间通过定义d(x, y) = ||y?x|| 也是度量空间。 (如果这样一个空间是完备的，我们称之为巴拿赫空间)。例：曼哈顿范数引发曼哈顿距离，这里在任何两点或向量之间的距离是在对应的坐标之间距离的总和。 3、希尔伯特空间希尔伯特空间可以利用以下结论完全分类，即对于任意两个希尔伯特空间，若其基的基数相等，则它们必彼此同构。对于有限维希尔伯特空间而言，其上的连续线性算子即是线性代数中所研究的线性变换。对于无穷维希尔伯特空间而言，其上的任何态射均可以分解为可数维度（基的基数为50）上的态射，所以泛函分析主要研究可数维度上的希尔伯特空间及其态射。希尔伯特空间中的一个尚未完全解决的问题是，是否对于每个希尔伯特空间上的算子，都存在一个真不变子空间。该问题在某些特定情况下的答案是肯定的。 4、巴拿赫空间巴拿赫空间理论（Banach space）是192O年由波兰数学家巴拿赫（S.Banach)一手创立的，数学分析中常用的许多空间都是巴拿赫空间及其推广，它们有许多重要的应用。大多数巴拿赫空间是无穷维空间，可看成通常向量空间的无穷维推广。

浅谈度量空间资料

度量空间摘要：度量空间是一类特殊的拓扑空间，并且它是理解拓扑空间的一个重要过程. 因此，本文通过度量空间的基本概念，力图给出度量空间的一些重要性质. 并且引入一些度量空间的其它性质. 关键词: 度量空间导集闭集正文：度量空间是现代数学中一种基本的、重要的、最接近于欧几里得空间的抽象空间.19世纪末叶，德国数学家G .康托尔创立了集合论，为各种抽象空间的建立奠定了基础.20世纪初期,法国数学家M.-R.弗雷歇发现许多分析学的成果从更抽象的观点看来,都涉及函数间的距离关系,从而抽象出度量空间的概念. 1.度量空间的定义度量空间是一类特殊的拓扑空间，它对于拓扑空间的理解起着非常重要的作用.因此，研究度量空间的一些性质是必要的.为了证明这些性质，首先介绍以下定义. 定义1.1 设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素y x ,都有唯一确定的实数()y x p ,与之对应，而且这一对应关系满足下列条件： (1)正定性 ()0,≥y x p ,并且()y x p ,0=当且仅当y x =； (2)对称性 ()y x p , =()y x p ,； (3)三角不等式 ()()()z y p y x p z x p ,,,+≤.则称p 是集合X 的一个度量，同时将()p X ,称为度量空间或距离空间. X 中的元素称为点，条件（3）称为三点不等式. 定义1.2 设()p X ,是一个度量空间，∈x X .对于任意给定的实数0>ε,集合(){}ε<∈y x p X y ,，记作()ε,x B ,称为一个以x 为中心，以ε为半径的球形邻域，简称为x 的一个球形邻域.

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第一章 度量空间-黎永锦[整理版]