第2章 度量空间与赋范线性空间
度量空间在泛函分析中是最基本的概念。事实上，它是n 维欧几里得空间n R 的推广，它为统一处理分析学各分支的重要问题提供了一个共同的基础。它研究的范围非常广泛，包括了在工程技术、物理学、数学中遇到的许多很有用的函数空间。因而，度量空间理论已成为从事科学研究所不可缺少的知识。
2.1 度量空间的基本概念
2.1.1 距离（度量）空间的概念
在微积分中，我们研究了定义在实数空间R 上的函数，在研究函数的分析性质，如连续性，可微性及可积性中，我们利用了R 上现有的距离函数d ，即对y x y x d R y x -=∈),(,,。度量是上述距离的一般化：用抽象集合X 代替实数集，并在X 上引入距离函数，满足距离函数所具备的几条基本性质。 【定义2.1】 设X 是一个非空集合，),(??ρ：[)∞→?,0X X 是一个定义在直积X X ?上的二元函数，如果满足如下性质：
（1） 非负性 y x y x y x X y x =?=≥∈0,(,0),(,,ρρ；
（2） 对称性 ),(),(,,x y y x X y x ρρ=∈
（3） 三角不等式 ),(),(),(,,,y z z x y x X z y x ρρρ+≤∈；
则称),(y x ρ是X 中两个元素x 与y 的距离（或度量）。此时，称X 按),(??ρ成为一个度量空间（或距离空间），记为),(ρX 。
注：X 中的非空子集A ，按照X 中的距离),(??ρ显然也构成一个度量空间，称为X 的子空间。当不致引起混淆时，),(ρX 可简记为X ,并且常称X 中的元素为点。 例2.1 离散的距离空间
设X 是任意非空集合，对X 中任意两点,,x y X ∈令
1 (,)0 x y x y x y ρ≠?=?=?
显然，这样定义的),(??ρ满足距离的全部条件，我们称(,)X ρ是离散的距离空间。这种距离是最粗的。它只能区分X 中任意两个元素是否相同，不能区分
元素间的远近程度。此例说明，在任何非空集合上总可以定义距离，使它成为度量空间。
例2.2 n 维欧几里得空间n R 表示n 维向量()12,,,n x x x x =L 的全体组成的集合，也表示n 个实数12,,,n x x x L 组成的数组()12,,,n x x x L 的全体形成的集合。对()12,,,n x x x x =L ，()12,,,n n y y y y R =∈L ，定义 1221(,)()n i i i x y x y ρ=??=-????
∑ （2.1） 下面来证),(??ρ满足度量定义中的条件（1）~（3）。
由式（2.1）不难验证),(??ρ满足条件（1），（2）。为证满足条件（3），需利用2p =时的离散型Minkowski 不等式（见1.5节）。 取()12,,,n n z z z z R =∈L ，则有
[]1122
221111222211(,)()()()()()(,)(,)n n i i i i i i i i n n i i i i i i x y x y x z z y x z z y x z z y ρρρ====??????=-=-+-??????????????≤-+-????????
=+∑∑∑∑
因此，n R 是一距离空间。(,)n R ρ称为n 维欧氏空间。
注：若在n R 中规定 11(,)max i i i n
x y x y ρ≤≤=- （2.1ˊ） 则1(,)n R ρ也是距离空间（读者自己验证）
例2.3 所有数列组成的集合S ，对{}{},,n n a b S ξη==∈定义 11(,)21n n n i n n
a b a b ρξη∞=-=+-∑ （2.2） 那么(,)ρξη是S 上的度量。式（2.2）通常称为Fr échet 组合。
(,)ρξη显然满足度量条件（1）~（2），我们来证也满足条件（3）。事实上，对,ξη
及{},n c S γ=∈由于函数()(0)1x x x x
?=>+是单调增函数，因此由 n n n n n n a b a c c b -≤-+-
得
1111n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n
a b a c c b a c c b a b a c c b a c c b --+---≤≤++-+-+-+-+- 在上市不等式两边同乘12
n 再求和，便得 (,)(,)(,)ρξηρξγργη≤+
因此(,)S ρ是距离空间。
例2.4 连续函数空间[],,C a b 对[],,,f g C a b ∈定义 (,)max ()()a t b
f g f t g t ρ≤≤=- （2.3） 则(,)f g ρ是[],C a b 上的一个度量。
(,)f g ρ显然满足度量条件（1）~（2）。对另一连续函数[],,h C a b ∈由
[]()()()()()()
max ()()max ()() =(,)(,),(,)
a t
b a t h
f t
g t f t
h t h t g t f t h t h t g t f h h g t a b ρρ≤≤≤≤-≤-+-≤-+-+?∈ 所以
(,)(,)(,)f g f h h g ρρρ≤+
例2.5 函数类()(1)p L E p ≥（参见1.6节）,对,()p f g L E ∈定义 ()1(,)()()p p E f g f t g t dt ρ=-?
（2.4） 则(,)f g ρ是()p L E 上的一个度量，((),)p L E ρ是度量空间。 由 1(,)0(()())0p p
E f g f t g t dt ρ=?-=? 根据Lebesgue 积分的性质有()()f t g t a e =?。反之，若()()f t g t a e =?， 则
(,)0f g ρ=。所以，(,)f g ρ满足度量定义2.1中条件（1）
；条件（2）显然满足；
对另一函数()p h L E ∈，根据1.6节Minkowski 不等式有
(,)(,)(,)p p p f g f g f h h g f h h g ρρρ=-≤-+-=+
即(,)f g ρ满足度量定义条件（3），所以(,)f g ρ是()p L E 上的一个度量，((),)p L E ρ是度量空间。
例2.6 [],L a b ∞是本性有界可测函数的全体，即[],a b 上除某个零测度外，在它的补集上是有界的可测函数全体。对[],,,f g L a b ∞∈定义
[][][]0,,,(,)inf sup ()()var sup ()()mE t a b E t a b E a b f g f t g t i f t g t ρ=∈-∈???=-=-???
? （2.5） 则(,)f g ρ是[],L a b ∞上的一个度量，[](,,)L a b ρ∞是度量空间。
由式（2.5）显然可知，(,)f g ρ满足度量条件（1）~（2）。现证(,)f g ρ满足度量条件（3），对[],,,f g h L a b ∞∈及0ε?>存在[][]12,,,E a b E a b ??且120,mE mE ==使
[][]11,,sup ()()(,)2
sup ()()(,)2t a b E t a b E f t h t f h h t g t h g ερερ∈-∈--<+-<+
从而有
[][]{}[][][][]1212121212
,,,,,,(,)sup ()() sup
()()()() sup ()()sup ()() sup
()()sup ()() t a b E E t a b E E t a b E E t a t E E t a b E t a b E f g f t g t f t h t h t g t f t h t h t g t f t h t h t g t ρ∈-?∈-?∈-?∈-?∈-∈-≤
-≤
-+-≤-+
-≤-+- <(,)(,)f h h g ρρε
++
令0ε→得(,)(,)(,)f g f h h g ρρρ≤+。所以(,)f g ρ是[],L a b ∞上的一个度量，[](,,)L a b ρ∞是度量空间。
2.1.2 距离空间中点列的收敛性
非空集合X 引入距离（度量）后，就可以在其上定义点列的收敛概念。
【定义2.2】设X 是一个度量空间，,,(1,2,)n x x X n ∈=L 称点列{}n x 收敛于x ，是指(,)0(),n x x n x ρ→→∞叫做点列{}n x 的极限，记作lim n n x x →∞
=或()n x x x →→∞。
度量空间中点列收敛性质与数列的收敛性质有许多共同之处。
【定理2.1】 度量空间(,)X ρ中的收敛点列{}n x 的极限是唯一的，且若{}n x 收敛于,x X ∈则{}n x 的任意子列{}
k x x 也收敛于x 。
证明：首先证明定理的第一部分。设,x y X ∈都是{}n x 的极限，则对,n N ?∈有 (,)(,)(,)n n x y x x x y ρρρ≤+
令n →∞有(,)0,(,)0,n n x x x y ρρ→→必然有(,)0,x y ρ=因此,x y =这说明{}n x 最多有一个极限。
其次证明定理的第二部分。设{}n x 收敛于x X ∈，于是0ε?>，存在自然数N ，当n N >时，(,)n x x ρε<。由于k n N ≥，从而当k n ≥时，也有(,),k n x x ρε<故{}k n x 收敛于x 。证毕。
下面讨论某些具体空间中点列收敛的具体含义。
例2.7 n R 空间中点列{}(){}(0)()
()()12,,,m m m n x x x x =L 按度量式（2.1）收敛于
{}(){}
(0)(0)
(0)(0)12,,,n x x x x =L 的充分必要条件是对每个,(1)i i n ≤≤有()(0)()m i i x x m →→∞，即按坐标收敛。 证明：?对(1)i i n ?≤≤，由于
12
2()
(0)
()(0)()(0)1(,)n m m m i i k k k x x x x x x ρ=??→≤→=????∑ 因此，当()(0)()0()m x x m ρ→→→∞时，一定有()(0)0()m i i x x m →→→∞，()(0)()m i i x x m →→∞。
?由于
1
22()(0)()(0)()(0)()(0)()(0)11221
()n m m m m m k k n n k x x x x x x x x x x ρ=??→=→≤→+→++→????∑L 所以，对,(1)i i n ≤≤，当()(0)()m i i x x m →→∞时()(0)()0()m x x m ρ→→→∞。证毕。
同样我们也可以证明n R 中点列{}n x 按距离式（2.1′）收敛于(0)x 的充要条件是对于每个,(1)i i n ≤≤，有()(0)()m i i x x m →→∞。
例2.8 [],C a b 空间中点列{}n f 按式（2.3）度量收敛于[]0,f C a b ∈的充分必要条件是{}n f 在[],a b 上一致收敛于0f 。
证明：?由0(,)0(),n f f n ρ→→∞知对0,,N ε?>?当n N ≥时，0max ()(),n a t b f t f t ε≤≤-<即对任意[],,t a b ∈当n N ≥时，0()(),n f t f t ε-<所以n f 在[],a b 上一致收敛于0f 。
?若{}n f 在[],a b 上一致收敛于0f ，则对0,,N ε?>?当n N ≥时，对于[],t a b ?∈恒有0()(),n f t f t ε-<从而0max ()(),n a t b
f t f t ε≤≤-< 即0(,)0()n f f n ρ→→∞。证毕。
若[],C a b 按式（2.4）定义度量，则[],C a b 就构成[],p L a b 的子空间，令
[]1()() ,,(1,2,)()
n n n x t t a t a b n b a =-∈=-L 由勒贝格控制收敛定理，{}n x 在[],p L a b 中收敛于()0,x t ≡显然
{}[],,n x C a b ?但{}n x 不一致收敛于()0x t ≡。
例2.7，例2.8表明，如果在一个非空集合上定义了两个度量，那么，由它们导出的收敛概念可以是一致的，也可以是不一致的。但当我们引入了适当的距离后，都可以统一在距离空间中考虑收敛概念，这就为统一处理各个具体空间提供了方便。 习题2.1
1．对,x y R ∈，定义2(,)(),(,)x y x y x y ρρ=-是R 上的距离吗？若是，给出证明，
若不是，为什么？
2．对,x y R ∈，规定(,)x y ρ=证明(,)R ρ是距离空间。
3．把所有收敛数列的集合记为c ，对{}{},,,,(1,2,),i i x y c x x y y i ∈===L 定义
(,)sup ,i i i N
x y x y ρ∈=-证明(,)c ρ是距离空间。
4．设X 是度量空间，在X 中若,()n n x x y y n →→→∞。证明：
(,)(,)n n x y x y ρρ→。
5．设()()()()()12,,,,(1,2,),m m m m n x x x x n ==L L L 及()12,,,,n x x x S ∈L L ，证明点列
{}()m x 收敛于x 的充分必要条件是{}()
m x 依坐标收敛于x ，即对每个自然数(),()m i i i x x m →→∞
2.2 度量空间中的开、闭集与连续映射
在第1章中,我们对n R 空间中的点集进行了详细讨论,介绍了开集、闭集等一系列概念，为了更深入研究度量空间中集合的内在结构，本节我们将把这些概念推广到一般度量空间中，其中大多数定义的叙述和定理的证明与以前的行文相似。2.2.1 度量空间中的开、闭集
【定义2.3】 设X 是度量空间，0x X ∈，0r >是一个正数，
点集0{|(,)x x x ρ< ,}r x X ∈称为以0x 为中心、以r 为半径的开球，或0x 的r 邻域，记为0()r B x 或0(,)r B x r ；点集0{|(,)x x x ρ≤,}r x X ∈称为以0x 为中心、以r 为半径的闭球，记为0()r B x 或0(,)r B x r 。
X 中的点列{}n x 收敛于x X ∈，用邻域的术语来说，就是：对于x 的任意邻域(,)B x ε，存在自然数N ，使当n N >时，(,)n x B x ε∈。
例2.9 设X 是离散距离空间，0x X ∈，则00(,1){}B x x =，0(,2)B x X =，
0(,1)B x X =，001(,){}2
B x x =。 例2.10 设[0,1][2,3]X =U ，X 是R 的子空间，
则(2,3)[2,3)B =，(2,1)[2,3)B = {1}U ，1(,1)(0,1)2B =，1(,1)[0,1]2
B =。 设A 是X 的子集，0x 是X 中的一个定点，则0x 与A 的关系只能有如下三种 情况：
（1）在0x “附近”全是A 的点；
（2）在0x “附近”根本没有A 的点；
（3）在0x “附近”既有A 的点，又有不属于A 的点。
根据以上情况，我们给出如下定义：
【定义2.4】 设X 是距离空间，A X ?，0x X ∈，如果存在0x 的邻域0(,)B x ε A ?，则称0x 是A 的内点；如果0x 是X A -的内点，则称0x 是A 的外点；如果0x 既非A 的内点，有非A 的外点，即0x 的任何邻域内既有属于A 的点，也有不属于A 的点，则称0x 为A 的界点或边界点；如果0x 的任意邻域0(,)B x r 都含有0{}A x -中的点，即0(,)B x r I 0({})A x -，≠?则称0x 是A 的聚点。注：A 的聚点不一定是A 的内点，还可能是A 的界点；其次，A 的内点必属于A ，但A 的聚点则可以属于A ，也可以不属于A 。由此可知A 的界点不是聚点，便是孤立点。X 中的点，对A 来说可分为内点、界点、外点或聚点、孤立点、外点三种。
例2.11 若X 为离散距离空间，A X ?，则A 中均为内点且为A 的孤立点，X A -中的点均为A 的外点。
【定义 2.5】 设X 是距离空间，G X ?，如果G 中每一点都是G 的内点，则称G 是开集。
例2.12 任何开球0()r B x 是开集。
证明：设0()r x B x ∈，则0(,)x x r ρ<，令10(,)r r x x ρ=-，那么10()()r r B x B x ?，事实上，若1()r y B x ∈，则1(,)x y r ρ<，由于
0010(,)(,)(,)(,)y x y x x x r x x r ρρρρ≤+<+=
所以0()r y B x ∈。
【定理2.2】 设X 是度量空间，X 中开集有如下性质：
（1）空间X 及空集?是开集；
（2）任意多个开集的并是开集；
（3）有限多个开集的交是开集。
证明： 性质（1）、（2）显而易见，现证性质（3）。
设12,,,n G G G ???是X 中的有限个开集，即
121n
n i i G G G G G ==???=I I I I
对x G ?∈，及一切(1)i i n ≤≤，有i x G ∈，由于i G 是开集，所以存在0i r >，使 (,)i i i B x r G ?，取12min{,,,}n r r r r =???，则对1i n ≤≤，有(,)i i B x r G ?，可见1(,)n
i i i B x r G =?I ，所以x 是G 的内点，有x 的任意性知，G 是开集。证毕。
注：任意多个开集的交不一定是开集，例如1(0,1)(1,2,)n G R n n
=+?=???，1
n i G ∞
=I =(0,1]，(0,1]并不是R 的开集。
对于度量空间X 的子集A ，A 的聚点全体记为A '，称为A 的导集，集合A A A '=U 称为A 的闭包。
例2.13 设11{1,,,,}2A R n =???????，则{0}A '=，11{1,,,,}2A n
=??????。 【定义2.6】 设X 是距离空间，A 是X 的子集，如果A 的每一个聚点属于A ，
则称A 为闭集。
【定理2.3】 （开集与闭集的对偶性）设X 是距离空间，A X ?，若A 是X 的开集，则X A -是X 的闭集；若A 是X 中的闭集，则X A -是开集。证明：设A 为开集，x X ∈是X A -的聚点，则x 的任一邻域都有不属于A 的点，这样x 不可能是A 的内点，从而x A ?，即x X A ∈-，由于x 的任意性，知X A -是闭集。反之，设A 为闭集，x X A ?∈-，若x 不是X A -的内点，则x 的任意邻域(,)B x ε至少有一个点属于A 的点，而且异于x ，这样x 是A 的聚点，从而x A ∈，和假设矛盾。证毕。正是由于开集和闭集有这样的对偶关系，我们常将闭集看成是由开集派生出来的一个概念。由定理2.1与定理2.2得闭集的性质：【定理2.4】 设X 是距离空间，X 中的闭集具有如下性质：
（1）X 及?是闭集；
（2）任意多个闭集的交是闭集；
（3）有限多个闭集的并是闭集。
注：任意多个闭集的并不一定是闭集，例如 11[,1]n F n n
=-，(3,4,,)n =???，则n F 是R 中闭集，但3(0,1)n n F ∞
==U ，(0,1)不是R 中的闭集。
2.2.2 度量空间上的连续映射
【定义2.7】 设(,)X ρ与1(,)Y ρ是两个度量空间，T 是X 到Y 的一个映射，0x X ∈，若对0ε?>，存在0δ>，当0(,)x x ρδ<时，有10(,)Tx Tx ρε<，则称T 在点0x 连续；若T 在中每一点0x 都连续，则称T 为X 上的连续映射。度量空间之间的连续映射是数学分析中连续函数概念的推广，特别，当映射是值域空间Y R =时，映射就是度量空间上的函数。例2.14 设(,)X ρ是距离空间，0x 是X 上一定点，对x X ∈，0()(,)f x x x ρ=是X 到R 上的连续映射（函数）。
事实上，对,x y X ∈，由下式
00|()()||(,)(,)|(,)f y f x y x x x y x ρρρ-=-≤
即可证明是连续映射。
【定理2.5】 设X ，Y 是两个度量空间，T ：X Y →，0x X ∈，则下列命题等价：（1）T 在0x 点连续；
（2）对0ε?>，存在0δ>，当0(,)x B x δ∈时，有0(,)Tx B Tx ε∈；
（3）对于X 中任意点列{}n x ，若0()n x x n →→∞，则0()n Tx Tx n →→∞。 证明：(1)(2)? 显然；
(2)(3)? 由于0()n x x n →→∞，对0δ>存在自然数N ，当n N >时， 0(,)n x x ρδ<，即0(,)n x B x δ∈，因此0(,)n Tx B Tx ε∈，即10(,)n Tx Tx ρε<； (3)(1)? 反证法，若T 在0x 点不连续，则存在00ε>，使对任意0δ>，存在x X δ∈，且0(,)x x δρδ<，但100(,)Tx Tx δρε>，特别取1n
δ=，(1,2,)n =???，则
有n x X ∈，01(,)n x x n
ρ<
，但100(,)n Tx Tx ρε≥，这意味着0()n x x n →→∞，但0n Tx Tx → ()n →∞不成立，矛盾。证毕。
下面定理是通过开集与闭集来刻画连续映射的。
【定理2.6】 设X ，Y 是两个度量空间，T ：X Y →是一个映射，则下述命题等价：
（1）T 是连续映射；
（2）对于Y 中任何开集G ，1()T G -是X 中的开集；
（3）对于Y 中任何闭集F ，1()T F -是X 中的闭集。
证明：命题(1)(2)?设10()x T G -∈，则0Tx G ∈。因G 是Y 中开集，所以存在0ε>，使0(,)B Tx G ε?，由T 在点0x 连续，所以对于上述0ε>，存在0δ>，当0(,)x B x δ∈时，有0(,)Tx B Tx ε∈，即00((,))(,)T B Tx B Tx G δε??，故
0(,)B x δ?1()T G -。所以0x 是1()T G -的内点，由0x 的任意性，1()T G -是开集。 命题(2)(1)?对0x X ∈，及0ε?>，取0(,)G B Tx ε=，那么1()T G -是X 中开集，而10()x T G -∈，所以存在0δ>，使得0(,)B x δ?1()T G -，即00((,))(,)T B x G B Tx δε?=,这说明T 在0x 点连续。由0x 的任意性知，T 在X 的每一点都连续。 命题(2)(3)?对于任何闭集F Y ?，F 的余集c F 是开集。根据映射像也原像的性质有11()(())c c T F T F --=。
命题(3)(2)?对于任何开集G Y ?，c G 是闭集，同样11()(())c c T G T G --=。证毕。
注：关于映射的性质11()(())c c T A T A --=留作习题。
下面介绍一个十分有用的特殊映射同胚映射。
【定义2.8】 设X ，Y 是两个距离空间，T 是X Y →上的一一映射，1T -是
T 的逆映射，
若T 及1T -都是连续映射，则称T 是X 到Y 上的同胚映射；若从X 到Y 上存在某一同胚映射，则称X 与Y 是同胚的。
例2.15 arctan y x =是R 到(,)22ππ-上的同胚映射，R 与(,)22
ππ
-是同胚的。 由于两个同胚的距离空间点之间一一对应，所有邻域也是一一对应的，而且连续概念只依赖于邻域的概念，因此，在只讨论与连续性有关问题时，可以把两个距离空间看成一个。习题2.2
1.证明闭球是闭集。
2.设X 是距离空间，A X ?，0A 表示全体内点构成的集合，称为A 的内部， 证明0A 是开集。
3.设X 是距离空间，A X ?，证明A 是闭集的充要条件是对于任意{}n x A ?，若0()n x x n →→∞，则0x A ∈。
4.证明从离散距离空间X 到任意距离空间Y 的映射T ：X Y →是连续映射。
5.设X 是一度量空间，0x ∈X ，证明0()(,)f x x x ρ=是X 上的连续函数。
6.设X 是度量空间，F X ?是一个非空闭集，对x X ∈，记作inf{(,):x y ρy ∈ }F (,)x F ρ=，证明：对任意0r >，集合{:(,)}x X x F r ρ∈<是开集。
7.设1F 与2F 是度量空间X 中的闭集，且12F F =?I ，证明存在开集1G ,2G ，使11F G ?,22F G ?,且12G G =?I 。
8.设X 是度量空间，A X ?，若0x A '∈，证明对任意0ε>，集0(,)A B x εI 是无限集。
9.设X 是度量空间，,A B X ?,证明：
（1）若A B ?，则A B ?；
（2）A A =；
（3）A B A B =U U ；
（4）A B A B ?I I ，并举例说明等号未必成立。
10.设X 是度量空间，证明：
（1）X 中每个非空闭集必为可列个开集的交；
（2）X 中每个非空开集必为可列个闭集的并。
11.设X ，Y 是两个非空集合。T ：X Y →是一个映射，A X ?，证明：
11()(())c c T A T A --=。
2.3 度量空间中的可分性、完备性与，列紧性
2.3.1 度量空间中的可分性
有理数集在实数集中的稠密性，实数集的完备性及有界数列必有收敛子列是数学分析的理论源泉。本节将把实数空间这几个重要性质推广到一般的距离空间中。【定义2.9】 设X 是一度量空间，A 与B 都是X 的子集，若B A ?，则称A 在B 中稠密。
由定义2.9及2.2节有关定义、定理易证如下定理。
【定理2.7】 设X 是度量空间，A ，B ∈ X ，则如下说法等价：
（1）A 在B 中稠密；
（2）对x B ?∈，0ε?>，存在y A ∈，使(,)x y ρε<；
（3）0ε?>，有(,)x A
B B x ε∈?U ；
（4）对x B ?∈，存在点列{}n x A ?，使()n x x n →→∞。
例2.16 有理数在实数中稠密，有理数也在无理数中稠密。
注：稠密概念在数学分析中学中是很有用的，当考察距离空间是否具有某种性质时，往往先是在它的稠密子集上考察，然后通过极限过程得出X 上相应的结论。【定义2.10】 称度量空间X 是可分的，是指存在X 中一可列集A ，使A 在X 中稠密。
例2.17 欧氏空间是n R 可分的。
证明： 取12{(,,,):n i A r r r r =???是有理数(1)}i n ≤≤，则A 是可列集。对n x R ∈及0ε>，记
12(,,,)n x x x x =???，取有理数i r 满足 ||i i x r -<
12(,,,)n a r r r =???，则 a A ∈，由于
(,)x a ρε=
=
所以A 在n R 中稠密。
例2.18 连续函数空间[,]C a b 是可分的。
证明：设A 为系数是有理数的多项式组成的集合，A 为可数集。对任一连续函数f ∈[,]C a b ，由Weierstrass 定理对[,]a b 上任一连续函数f ，必存在一列多项式()n P x ∈[,],(1,2,)C a b n =???，()n p x 在[,]a b 上一致收敛于()f x 。则对0ε?>，存在多项式()n p x 且满足(,)max{|()()|:[,]}2n n f p f x p x x a b ερ=-∈≤
,取多项式0p A ∈，满足00(,)max{|()()|:[,]}2n n p p p x p x x a b ερ=-∈<
,于是0(,)p f ρ≤0(,p ρ
)n p +(,)n p f ρε<，从A 而在[,]C a b 中稠密。 例2.19 [,](1)p L a b p ≥是可分的度量空间。
证明：由勒贝格积分的绝对连续性可证[,]a b 上的有界可测函数全体[,]M a b 中稠密，例2.18中的集合A 在[,]C a b 中稠密，所以[,](1)p L a b p ≥是可分的。下面举一个不可分度量空间的例子。
例2.19 有界数列空间l ∞，在l ∞上定义度量
1
(,)sup ||i i i a b ρξη≥=-，({},{})i i a b l ξη∞==∈
则l ∞在度量ρ下是不可分的。
证明：用反证法，若l ∞是可分的，则存在可列稠密集A 。取l ∞的一个子集{{}:0i i B a a ζ===或1(1,2,)}i =???，B 与区间[0,1]可以通过二进制小数建立如下对应：120.i a a a ????，该对应是一一映射，因此B 是不可数集。以A 中的所有点
为中心，13为半径的开球1(,)()3B a a A ∈满足1(,)3a A B a l ∞∈=U 。因此1(,)3a A
B B a ∈?U 。由于A 可数，B 不可数，所以至少存在B 中两个不同点,ξη落入某个开球01(,)3
B a 。直接计算，显然(,)1ρξη=，但00112(,)(,)(,)333a a ρξηρξρη≤+<+=，矛盾，故l ∞不可数。2.3.2 度量空间中的完备性
我们在学习数列收敛时，已经知道数列收敛的准则是该数列是否为Cauchy 列，因为数列收敛的充要条件是数列是Cauchy 列，这完全是由实数的完备性所致。在度量空间中，这一结果未必成立。为此，我们引入一个重要的概念——度量空间的完备性。【定义2.11】 度量空间X 中的点列{}n x 称为Cauchy 列，是指对任意0ε>，存在自然数N ，当,n m N ≥时，有(,)n m x x ρε<；度量空间X 称为完备的，是指X 中任何Cauchy 列都是收敛的。由定义易知X 中的收敛点列是Cauchy 列。X 中的Cauchy 列若有子列收敛，则Cauchy 列也收敛。
例2.21 欧氏空间n R 是完备的。
证明：设(){}k x 是n R 中任一Cauchy 列，则对0ε?>，存在自然数N ，当12,k k N ≥时，有12()()(,)k k x x ρε<，于是，对每个坐标所形成的数列
()()()()()12{}((,,,))(1)k k k k k i n x x x x x i n =???≤≤,
1212()()()()||(,)k k k k i i x x x x ρε-≤<
这说明(){}k i x 是Cauchy 列，因此，存在实数i x ，满足()()k i i x x k →→∞，记作12(,,,)n x x x x =???，则n x R ∈。这样有()()k x x k →→∞。
例2.22 空间[,]C a b 是完备的。
证明：设{}n f 是[,]C a b 中任一Cauchy 列，则对0ε?>，存在自然数N ，当
,n m N ≥时，
有(,)n m f f ρε<，即对任意[,]t a b ∈，必有|()()|n m f t f t ε-<，令m →∞，有0|()()|n f t f t ε-≤，则{}n f 一致收敛于0f 。而[,]n f a b ∈，所以0[,]f a b ∈，且0(,)0n f f ρ→()n →∞，故[,]C a b 空间是完备的。例2.23 l ∞空间是完备的。
证明：设{}m x 是l ∞中的Cauchy 列，其中()()()12{,,,,}m m m m n x ξξξ=??????，则对0ε?>，存在自然数N ，当,n m N ≥时，下式成立
()()(,)||sup n m n m j j j N
x x ρξξε∈=-<
对每个j N ∈，也有()()||n m j j ξξε-<成立，这样对每个j 存在j R ξ∈，有
()()m j j m ξξ→→∞。令12{,,,,}n x ξξξ=??????，则x l ∞∈且()k x x k →→∞。
事实上，在()()||n m j j ξξε-<中令n →∞，得到对一切m N >，()||m j j ξξε-≤成立。
又因为m x l ∞∈，因而存在实数m k ，使得对所有j ，()||m j m k ξ<成立。这样就有()()||||||m m j j j j m k ξξξξε≤-+≤+。这就证明了x l ∞∈，由()||m j j ξξε-≤，可知对一切m N >，下式成立
()(,)||sup m m j j j N
x x ρξξε∈=-≤
所以()m x x m →→∞，因而l ∞是完备的。
注：不完备距离空间是存在的。例如有理数域就是不完备的，再如[,]C a b 按[,]p L a b (1)p ≥空间的距离构成的度量空间是不完备的。
事实上，[,]C a b 是[,]p L a b 的子空间。在(,)a b 中取一点c ，如取2
a b c +=
，令 ()tan(()),[,],1,2,n x t atc n t c t a b n =-∈=??? 则
0,2()()0
,,2
n a t c x t x t t c c t b ππ?-≤
≤?∈，由勒贝格控制收敛定理可以证明{}n x 收敛于[,]p L a b 中
的函数0x ，因而{}n x 是Cauchy 列，而[,]n x C a b ∈，所以{}n x 是[,]C a b 中的Cauchy 列，但0x 不可能对等于一个连续函数，故{}n x 不收敛于[,]C a b 中某个元，所以[,]C a b 作为[,]p L a b 的子空间是不完备的。从以上例子可以看出，同一集合由于距离定义不同会得到本质上不同的结果。
【定理2.8】 度量空间的完备子空间是闭集；一个完备度量空间的闭子空间是完备的。
证明：设S 是距离空间X 的完备子空间，设x S '∈，则存在{},n n x S x x X ?→∈，()n →∞，因为{}n x 是收敛的，所以它是S 中一Cauchy 列，
又因为S 是完备的，所以x S ∈，即S 是闭的。设X 是完备的距离空间，S 是X 的闭子空间，设{}n x 是S 中的Cauchy 列，则必是X 中的Cauchy 列，因X 完备，故()n x x X n →∈→∞，所以x S ∈，而S 是闭的，故x S ∈，这就证明了S 是完备的。类似于空间R 上的闭区间套定理 ，我们在距离空间中可得到闭球套定理。
【定理2.9】 设X 是度量空间，(,)(1,2,)n n n n B B x r n ==L 是X 中一列以n x 为中心，以n r 为半径的闭球，则X 是完备的充要条件是若1(1,2,)n n B B n +?=L 且0(n r n →)→∞，则必有惟一点1n n x B ∞
=∈I 。证明：?对,n m N ?∈，由m n n x B +∈，知
(,)n m n n x x r ρ+≤,
由于0()n r n →→∞，从而(,)0()n m n x x n ρ+→→∞，因此，{}n x 是X 中的基本列，由于X 是完备的，所以必有0x X ∈，使0()n x x n →→∞。
再在式(2.6)中令m →∞，由距离函数的连续性得到
0(,)(1,2,)n n x x r n ρ≤=L 因此0(1,2,)n x B n ∈=L ，从而01n n x B ∞=∈I 。如果又有X 中点01n n y B ∞
=∈I ，从而0(,),1,2,n n y x r n ρ≤=L ，令n →∞，即得000(,)lim (,)0n y x y x ρρ==。所以00x y =，即1n n B ∞
=I 中只有一点。 ?设{}n x 是X 中的基本列，由基本列定义知，对11(1,2,)2
k k k ε+=
=L 存在k n N ∈，当,k n m n ≥时，有 11(,)2n m k x x ρ+<
在X 中作一列闭球1(,),1,2,2k n k B x k =L 。当111(,)2
k n k y B x ++∈时，由于 1111111(,)(,)(,)222
k k k k n n n n k k k x y x x x y ρρρ++++≤+<+< 得知 1(,)2
k n k y B x ∈
所以 11
11(,
)(,),1,2,22k k n n k k B x B x k ++?=L 另一方面，1(,)2k n k B x 的半径10()2
k k →→∞，则有惟一点 011(,)2k n k k x B x ∞=∈I 从而0(,)0()k n x x k ρ→→∞，所以0(,)0()n x x n ρ→→∞。即X 是完备的。
一般的度量空间，如果不是完备的，应用起来往往很困难。例如，方程解的存在问题，在不完备的度量空间中解方程，即使近似解的序列时基本列，也不能保证这个序列有极限，从而也就不能保证方程在该解空间内有解，因此研究能否在任意度量空间中通过“添加”一些“点”，使之成为完备化的距离空间是很有意义的。康托将有理数域完备化成实数域的方法为解决此问题提供了重要借鉴。用他的思想方法解决了度量空间的完备化问题。【定义2.12】 设(,)X ρ，11(,)X ρ是两个度量空间，如果存在满影射:T X →
1X ，使得对一切,x y X ∈，都有1(,)(,)Tx Ty x y ρρ=，则称T 是X 到1X 的等距映射，称X 与1X 是等距的。
注：等距影射一定是同胚映射。
显然，凡是等距的度量空间，由度量导出的性质全是一样的，因此，当只限于讨论与度量空间有关的性质时，对彼此等距的度量空间可以不加区分。【定理2.10】 （度量空间的完备化定理）对于每个度量空间X ，必存在一个完备的度量空间0X ，使得X 等距一个在0X 中稠密的子空间X '，如除去等距不计，0X 是惟一的。由于这个定理证明冗长，且一般泛函分析教材均有证明过程，这里从略。 例 2.24 有理数全体Q 按距离1212(,)||r r r r ρ=-所成度量空间是不完备的，它的完备化空间就是全体实数按距离12(,)||r r x y ρ=-所成的距离空间；[,]P a b 是
[,]a b 上全体多项式函数，按度量12(,)max |()()|a t b
r r x t y t ρ≤≤=-所成度量空间是不完备的，它的完备化空间是[,]C a b ；[,]C a b 按[,](1)p L a b p ≥空间的度量构成的度量空间是不完备的，它的完备化空间是[,]p L a b 。2.3.3 度量空间中的列紧性
在实数集中，有界数列一定存在收敛子列，但这个结论不能推广到一般的度
量空间中。例如，在[,]ππ-上的三角函数系
,,}
t t nt t L L
是空间2[,]L ππ-，不可能存在收敛子列。因此，有必要引入下面的概念。【定义2.13】 设X 是度量空间，A X ?，如果A 中的每一点列都存在一个子列收敛于X 中某一点，则称A 为列紧集；如果A 中的每一点列都存在一个子列收敛于A 中某一点，则称A 是紧集。由此可见，一个集合是紧集则必是列紧集，但反之不然。
例2.25 X R =，(0,1]A =，1{}A n
?，1lim 0n n →∞=，但0A ?。因此，A 是列紧集，但不是紧集。
由定义我们可以得出结论：列紧集的子集也是列紧集；有限个列紧集的并一定是列紧集；列紧的闭集一定是紧集。
例2.26 n X R =，n A R ?是有界集，则A 是列紧集。
证明：(){}k x A ?，记()()()()12{,,}k k k k n x x x x =L ，由A 有界知存在0M >，使(){}k i x ≤(1)M i n ≤≤。对个数列(){}k i x 是有界的，对()1{}k x 有子列1()1{}k x 收敛，1()2{}k x 仍是有界的，故又存在收敛子序列2()2{}k x ，2{}k 是1{}k 的子集。依次类推，得到自然数集的子列{}n k ，使()()()12{,,}n n n k k k n x x x L 都收敛，因此(){}n k x 在n R 中收敛，即A 为列紧集。根据定以来直接判断一个集合是否列紧往往比较困难，为了便于刻画和判断一个集合的列紧性，我们引入全有界集概念。【定义2.14】 设X 是度量空间，A X ?是全有界的，如果对0ε?>，存在A 中有限个点12,,,n x x x L 满足1(,)n
i i A B x ε=?U 。 【定理2.11】 全有界集是有界的，且是可分的。
证明：设X 是度量空间，A X ?是全有界的，
则对1ε=存在12{,,,}n x x x A ?L ，使1(,1)n
i i A B x =?U ，因此对一切x A ∈，有(1)k x k n ≤≤，使(,)1k x x ρ<，所以 1(,)(,)(,)1max (,)1n k k n k n k n
x x x x x x x x M ρρρρ≤≤≤+<+=+（M 是有限数） 故A 有界。
另一方面，若A 全有界，对1n n
ε=，存在有限集 ()()()12{,,,}(1,2,)n n n n n m B x x x n ==L L
使()11(,)n m n i i A B x n
=?U ，令1n n B B ∞==U ，则B 是可列集。任取x A ∈，存在某个1n k m ≤≤，使()n k n x B B ∈?，且()1(,)n k x x n
ρ<，说明B 在A 中稠密，故A 可分。 注：定理2.11逆命题不真。
【定理2.12】 如果A 是度量空间X 中的列紧集，则A 是全有界集。 证明：若A 不是全有界集，那么存在00ε>，使得A 中任意有限个点为中心，半径为0ε的球并不能盖住A 。取1x A ∈，球10(,)B x ε不能盖住A ，于是存在2x A ∈且210(,)x B x ε?即有120(,)x x ρε≥，同样1020(,)(,)B x B x εεU 也不能盖住A ，存在3x A ∈且31020(,)(,)x B x B x εε?U ，既有130(,)x x ρε≥，230(,)x x ρε≥，如此继续下去，得到A 中点列{}n x 满足0(,)()n m x x m n ρε≥≠。可见点列n x 的任何子列均不能收敛，这与A 是列紧集矛盾。【定理2.13】 如果X 是完备的度量空间，则A 是列紧集的充要条件是A 为全有界的。
证明：必要性由定理2.12即得。
现证充分性：设A 是全有界集，{}n x A ?，取1(1,2,)k k k
ε==L ，对11ε=存在以A 中有限个点为中心，1为半径的球的并盖住A ，所以必有某个球1(,1)B a 中
含有{}n x 的某子列，该子列记为(1){}n x ；取212
ε=
，同样存在以A 中有限个点为中心，12为半径的球盖住A ，所以必有某个球21(,)2B a 含有子列(1){}n x 的子列，记为(2){}n x ，如此进行下去，可得子列串为(1)(2){},{},n n x x L ，其中后一个是前一个的子列，且()1{}(,)k n k x B a k
?。从这一个子列串中重新选择一个子列(){}n n x ，即将子列串排成下面的表，选取对角线元素而得(1)1x (1)2x (1)3x (1)4x L
(2)1x (2)2x (2)3x (2)4x L
L L L L L
()1n x ()2n x ()3n x ()4n x …
L L L L L
我们来证明(){}n n x 是Cauchy 列.事实上,对任意0ε>,取自然数N ，使
第2章 赋范线性空间 虽然不允许我们看透自然界本质的秘密, 从而认识现象的真实原因,但仍可能 发生这样的情形：一定的虚构假设 足以解释许多现象. Eurler L . (欧拉) (1707-1783,瑞士数学家) Schmidt E .在1908 年讨论由复数列组成的空间}||: ){(1 2∞<∑∞ =i i i z z 时引入记号 ||||z 来表示2 11 )(∑∞ =i i i z z ,||||z 后来就称为z 的范数.赋范空间的公理出现在Riesz F .在 1918 年关于],[b a C 上关于紧算子的工作中,但赋范空间的定义是在 1920到1922年间由 Banach S .（1892—1945）、Hahn H .（1879—1934）、Helly E .（1884—1943）和 Wiener N .（1894—1964）给出的,其中以Banach S .的工作最具影响. 2.1赋范空间的基本概念 线性空间是Peano Giuseppe 在1888年出版的书Geometrical Calculus 中引进的.Banach S .在1922年的工作主要是建立具有范数的完备空间,以后为了纪念他称之为 Banach 空间.他定义的空间满足三组公理,第一组公理定义了线性空间,第二组定义了范数, 第三组给出了空间的完备性. 定义 2.1.1 设K 是实数域R 或复数域C ,X 是数域K 上的线性空间,若||||?是X 到R 的映射,且满足下列条件： (1) 0||||≥x 且0||||=x 当且仅当0=x ; (2) ||||||||||x x λλ=,对任意X x ∈和任意K ∈λ ;
第二章 线性赋范空间与内积空间 Normed Linear Spaces and Inner Product Spaces 前面介绍了度量空间及其性质，在那里通过定义距离的概念，引入了点列的极限，这种点列极限是微积分中数列极限在抽象空间的推广．然而只有距离结构，没有代数结构的空间在应用上受到许多限制．本章通过在线性空间中定义范数来赋予线性空间上的一种特殊距离，从而将收敛的概念引入到线性空间，由此导出线性赋范空间的概念，如果这种空间的两个向量再赋予类似欧氏空间的“内积”或“点积”的概念后，便是内积空间．因此本章的主要内容就是线性赋范空间与内积空间． 2.1 线性赋范空间的定义与极限 在学习高等代数时，我们已了解到线性空间的概念，线性赋范空间，简单地说，就是给线性空间赋予范数． 定义2.1.1 线性空间 设X 为一非空集合，R 表示实数域(或为复数域C )．在X 中定义了元素的加法运算以及实数(或复数)与X 中元素的乘法运算，且满足下列条件： 1. 关于加法“+”：,xy X ?∈，u X ?∈与之对应，记为u x y =+，称u 为x 与y 的和，且具 有,,x y z X ?∈， (1) x y y x +=+ (交换律)； (2) ()()x y z x y z ++=++ (结合律)； (3) 在X 中存在唯一元素θ，使得x X ?∈，有x x θ+=，则称θ为X 中零元素； (4) x X ?∈，存在唯一元素x '∈X ，使得x +x '=θ，称x '为x 的负元素，记为x -. 2. 对X 中每个元素x 及任何实数(或复数)a ，存在元素u ∈X 与之对应，记为u =a x ，称u 为a 与x 的数乘，且满足,x y X ?∈，,λμ?∈R (或C ) (1) ()x x x λμλμ+=+ (分配律)； (2) ()x y x y λλλ+=+ (数因子的分配律)； (3) ()()x x λμλμ= (结合律)； (4) 1x x = (单位1). 则称X 按上述加法和数乘运算成为线性空间或向量空间，X 中的元素称为向量.如果数乘运算只对实数(或只对复数)有意义，则称X 是实(或复)线性空间. 满足上述加法和数承运算的性质，统称为线性运算． 我们知道，n 维欧式空间n R 是线性空间；[,]C a b 在通常加法和数乘意义下构成线性空间；n 阶实矩阵在矩阵的加法和数乘意义下构成线性空间．
第2章 度量空间与赋范线性空间 度量空间在泛函分析中是最基本的概念。事实上，它是n 维欧几里得空间n R 的推广，它为统一处理分析学各分支的重要问题提供了一个共同的基础。它研究的范围非常广泛，包括了在工程技术、物理学、数学中遇到的许多很有用的函数空间。因而，度量空间理论已成为从事科学研究所不可缺少的知识。 2.1 度量空间的基本概念 2.1.1 距离（度量）空间的概念 在微积分中，我们研究了定义在实数空间R 上的函数，在研究函数的分析性质，如连续性，可微性及可积性中，我们利用了R 上现有的距离函数d ，即对y x y x d R y x -=∈),(,,。度量是上述距离的一般化：用抽象集合X 代替实数集，并在X 上引入距离函数，满足距离函数所具备的几条基本性质。 【定义2.1】 设X 是一个非空集合，),(??ρ：[)∞→?,0X X 是一个定义在直积X X ?上的二元函数，如果满足如下性质： （1） 非负性 y x y x y x X y x =?=≥∈0,(,0),(,,ρρ； （2） 对称性 ),(),(,,x y y x X y x ρρ=∈ （3） 三角不等式 ),(),(),(,,,y z z x y x X z y x ρρρ+≤∈； 则称),(y x ρ是X 中两个元素x 与y 的距离（或度量）。此时，称X 按),(??ρ成为一个度量空间（或距离空间），记为),(ρX 。 注：X 中的非空子集A ，按照X 中的距离),(??ρ显然也构成一个度量空间，称为X 的子空间。当不致引起混淆时，),(ρX 可简记为X ,并且常称X 中的元素为点。 例2.1 离散的距离空间 设X 是任意非空集合，对X 中任意两点,,x y X ∈令 1 (,)0 x y x y x y ρ≠?=?=? 显然，这样定义的),(??ρ满足距离的全部条件，我们称(,)X ρ是离散的距离空间。这种距离是最粗的。它只能区分X 中任意两个元素是否相同，不能区分
度量空间和线性赋范空间
1 第六章 度量空间和线性赋范空间 第1次课 教学内容(或课题)： §6.1 度量空间的进一步例子 目的要求： 在复习第二章度量空间基本概念前提下，要求进一步掌握离散度量空间、序列空间、有界函数空间、可测函数空间等. 教学过程： 一 复习第二章度量空间的概念 设X 是个集合，若对于∈?y x ,X ，都有唯一确定的实数()y x d ,与之对应，且满足01 ()y x d ,0≥，()y x d ,=0y x =?;02 ()y x d ,≤()z x d ,+()z y d ,对∈?z y x ,,X 都成立， 则称(X ，d )为度量 空间或距离空间，X 中的元素称为点，条件02称为三点不等式. 欧氏空间n R 对n R 中任意两点()n x x x x ,,,21Λ=和 ()n y y y y ,,,21Λ=，规定距离为 ()y x d ,=()2 1 12??? ??-∑=n i i i y x . []b a C ,空间 []b a C ,表闭区间[]b a ,上实值(或复值)连续函数的全体.对[]b a C ,中任意两点y x ,，定义()y x d ,=()()t y t x b t a -≤≤max . 2 l 空间 记2l ={}? ??? ??∞<=∑∞ =∞ =12 1 k k k k x x x .设{}∞==1k k x x ，{}∞==1k k y y ∈2l ，定义 ()y x d ,=()2 112?? ? ??-∑∞ =i i i y x . 二 度量空间的进一步例子 例1 设X 是任意非空集合，对于∈?y x ,X ，令
第3章 赋范线性空间 3.1 赋范线性空间和Banach 空间 3.1.1 赋范线性空间 定义3.1.1 (范数，赋范线性空间) 设X 为是实（或：复）数域F 的线性空间，若对x X ?∈，存在一个实数x 于之对应，且满足下列条件： (1) 0≥x ; 且0=x ?=0x ； （非负性 (non-negativity)） (2) αα=x x ，α∈F ； （正齐（次）性 (positive homogeneity)） (3) +≤+x y x y ，,X ∈x y ； （三角不等式(triangle inequality)） 则称x 为x 的范数(norm)，称(,)X ? （或：X ）为赋范线性空间(normed linear space)， 简称赋范空间(normed space). 例3.1.1 空间[,]C a b 是闭区间[,]a b 上的连续函数全体所成的线性空间。对[,]f C a b ?∈，规定 [,] max ()t a b f f t ∈=, (3.1.1) 易证f 是f 的范数，则[,]C a b 按上述范数成为赋范线性空间。 例 3.1.2 设[,]a b L 是闭区间[,]a b 上的Lebesgue 可积函数全体所成的线性空间。对 [,]f a b ?∈L ，规定 ()d b a f f t t =?, (3.1.2) 若将在[,]a b 上满足()()f t g t ?=的两个函数,f g 视为同一个函数，即将在[,]a b 上满足 ()0f t ? =的函数f 视为恒等于零的函数，即0f =，则在[,]a b L 上，f 是f 的范数，从而 [,]a b L 按上述范数成为赋范线性空间。 例 3.1.3 在n 维实向量空间n R 或n 维复向量空间（称为酉空间）n C 中，对 12(,,,)n n x x x x ?=∈R （或n C ），令 12 21n i i x x =??= ??? ∑， (3.1.3)
泛函分析题1_4线性赋范空间p39 1.4.1 在2维空间 2中，对每一点z = (x, y)，令 || z ||1 = | x | + | y |；|| z ||2 = ( x 2 + y 2 )1/2；|| z ||3 = max(| x |, | y |)；|| z ||4 = ( x 4 + y 4 )1/4； (1) 求证|| · ||i( i = 1, 2, 3, 4 )都是 2的范数． (2) 画出( 2, || · ||i )( i = 1, 2, 3, 4 )各空间中单位球面图形． (3) 在 2中取定三点O = (0, 0)，A = (1, 0)，B= (0, 1)．试在上述四种不同的范数 下求出?OAB三边的长度． 证明：(1) 正定性和齐次性都是明显的，我们只证明三角不等式． 设z = (x, y), w = (u, v)∈ 2，s = z + w= (x + u, y + v )， || z||1 + || w||1 = (| x | + | y |) + (| u | + | v |) = (| x | + | u |) + (| y | + | v |) ≥ | x + u | + | y + v | = || z+ w||1． ( || z||2 + || w||2 )2 = ( ( x 2 + y 2 )1/2 + ( u 2 + v 2 )1/2 )2 = ( x 2 + y 2 ) + ( u 2 + v 2 ) + 2(( x 2 + y 2 )( u 2 + v 2 ))1/2 ≥ ( x 2 + u 2 ) + ( y 2 + v 2 ) + 2( x u+ y v ) = ( x + u )2 + ( y + v)2 = ( || z+ w||2 )2． 故|| z||2 + || w||2 ≥ || z+ w||2． || z||3 + || w||3 = max(| x |, | y |) + max(| u |, | v |) ≥ max(| x | + | u |, | y | + | v |) ≥ max(| x + u |, | y + v |) = || z+ w||3． || ·||4我没辙了，没找到简单的办法验证，权且用我们以前学的Minkowski不等式(离散的情况，用H?lder不等式的离散情况来证明)，可直接得到． (2) 不画图了，大家自己画吧． (3) OA = (1, 0)，OB = (0, 1)，AB = (- 1, 1)，直接计算它们的范数： || OA||1 = 1，|| OB||1 = 1，|| AB||1 = 2； || OA||2 = 1，|| OB||2 = 1，|| AB||2 = 21/2； || OA||3 = 1，|| OB||3 = 1，|| AB||3 = 1； || OA||4 = 1，|| OB||4 = 1，|| AB||4 = 21/4． 1.4.2 设c[0, 1]表示(0, 1]上连续且有界的函数x(t)全体．?x∈c[0, 1]，令 || x || = sup{| x(t) | | 0 < t≤ 1}．求证： (1) || ·||是c[0, 1]空间上的范数． (2) l∞与c[0, 1]的一个子空间是等距同构的． 证明：(1) 正定性和齐次性都是明显的，我们只证明三角不等式． || x || = sup{| x(t) | | 0 < t≤ 1}． || x || + || y || = sup{| x(t) | | 0 < t≤ 1} + sup{| y(t) | | 0 < t≤ 1} ≥ sup{| x(t) + y(t) | 0 < t≤ 1} = || x + y ||． 所以|| ·||是c[0, 1]空间上的范数． (2) 任意取定(0, 1]中的一个单调递减列{a k }，满足 (i) a1 = 1；
泛函中四大空间的认识 第一部分我们将讨论线性空间，在线性空间的基础上引入长度和距离的概念，进而建立了赋范线性空间和度量空间。 在线性空间中赋以“范数”，然后在范数的基础上导出距离，即赋范线性空间，完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间。范数可以看出长度，赋范线性空间相当于定义了长度的空间，所有的赋范线性空间都是距离空间。 在距离空间中通过距离的概念引入了点列的极限，但是只有距离结构、没有代数结构的空间，在应用过程中受到限制。赋范线性空间和内积空间就是距离结构与代数结构相结合的产物，较距离空间有很大的优越性。 赋范线性空间是其中每个向量赋予了范数的线性空间，而且由范数诱导出的拓扑结构与代数结构具有自然的联系。完备的赋范线性空间是Banach 空间。赋范线性空间的性质类似于熟悉的n R ，但相比于距离空间，赋范线性空间在结构上更接近于n R 。 赋范线性空间就是在线性空间中，给向量赋予范数，即规定了向量的长度，而没有给出向量的夹角。 在内积空间中，向量不仅有长度，两个向量之间还有夹角。特别是定义了正交的概念，有无正交性概念是赋范线性空间与内积空间的本质区别。任何内积空间都赋范线性空间，但赋范线性空间未必是内积空间。 距离空间和赋范线性空间在不同程度上都具有类似于n R 的空间结构。事实上，n R 上还具有向量的内积，利用内积可以定义向量的模和向量的正交。但是在一般的赋范线性空间中没有定义内积，因此不能定义向量的正交。内积空间实际上是定义了内积的线性空间。在内积空间上不仅可以利用内积导出一个范数，还可以利用内积定义向量的正交，从而讨论诸如正交投影、正交系等与正交相关的性质。Hilbert 空间是完备的内积空间。与一般的Banach 空间相比较，Hilbert 空间上的理论更加丰富、更加细致。 1 线性空间 （1）定义：设X 是非空集合，K 是数域，X 称为数域上K 上的线性空间，若,x y X ?∈，都有唯一的一个元素z X ∈与之对应，称为x y 与的和，记作 z x y =+ ,x X K α?∈∈，都会有唯一的一个元素u X ∈与之对应，称为x α与的积，记作
线性赋空间上算子的一致连续性定理 摘 要:证明线性赋泛空间紧子集上的连续算子一定一致连续,以及算子为一致 ε>0,存在正数c,使得对x 、y ∈D, 当‖Tx-Ty ‖>c ‖ x-y ‖时,恒有‖Tx-Ty ‖<ε。 关键词: 连续 ; 一致连续; 线性赋空间 n n x -y （n x n y n n n lim Tx -Ty =→∞ （）
前言 众所周知,数学分析中所讲的函数的一致连续性反映的是函数的整体性质,它是连续函数理论的重要组成部分.由于其重要性人们在这方面做了大量的深入研究.但是在对数学分析全面提升的泛函分析中,关于算子一致连续性的讨论就少的多.本文主要是给出线性赋泛空间上算子一致连续的几个等价条件以及连续算子成为一致连续算子的几个充分条件,从而推广了数学分析家都熟悉的一致连续性定理.在本文中(X,‖?‖1)、(Y,‖?‖2)分别表示两个线性赋空间(实的或复的),简记为X、Y。 定义1设T是从线性赋空间X到线性赋空间Y的一算子,x0∈X,若对任意ε>0,存在δ>0,使得当‖x-x0‖<δ时有:‖Tx-Tx0‖<ε,则称算子T在x0处是连续的;如果T在X中的每一点处都连续,则称T在X上是连续的。 定义2 设T是从线性赋空间X到线性赋空间Y的一算子,若对任意ε>0,存在δ>0,使得对中的任意两个点x1,x2,当‖x1-x2‖<δ时都有‖Tx1-Tx2‖<ε成立,则称T在X上是一致连续的.关于一致连续有以下等价定义:若对任意ε>0,存在δ>0,使得对X中的任意两个点x1,x2,如果‖Tx1-Tx2‖≥ε,那么必有‖x1-x2‖≥δ,则T在X上是一致连续的。 从以上的定义不难看出,如果T在X上是一致连续的,那么T必在X上的每一点处都是连续的;反之不真。所以下面我们重点考虑在条件情况下,由算子的连续性可以推出一致连续以及一致连续的一些非常实用的等价命题.首先给出空间紧的概念。 定义3 设M是线性赋空间X的一个子集,若M中的任何序列都有在M中收敛的子列,则称M是X的一个紧集.若X本身是紧的,则称Y为紧的线性赋空间。 连续算子一致连续的两个充分条件 我们有如下一些主要结果: 定理1 设A是线性赋空间X的紧子集,若T是从A到线性赋空间Y上的连续算子,则T一定是一致连续的。 证明用反证法,设T在X上不是一致连续的,则由定义知,存在某ε0>0一,使得对于任意的ε>0,都存在X中的相应两个点x′,x″,虽然‖x′-x″‖<δ,但是有‖Tx′-Tx″‖≥ε0 (1)
3.3 紧集与有限维赋范线性空间 3.3.1 致密集的概念 实数直线上的Bolzano-Weierstrass 致密性定理 (compactness theorem)：任一有界数列必有收敛子列。 定义3.3.1 设(,)X ρ是度量空间，A X ?. 若在A 中的任何点列必有在X 中收敛的子点列，则称A 是(X 中的)致密集。 若X 自身是致密集，则称X 是致密空间。 性质1 有限点集是致密集。 注 点集和点列不一样，点列是取点集中的元素构成的，其各项可以重复，但点集中的元素却不能一样。因此，由于有限点集中的元素有限，所以要想构成点列，必然有同一个元素无数次重复，这样，这些重复的元素构成的子点列必然收敛。 性质2 有限个致密集的并是致密集。 证 设12,,,m A A A 是度量空间(,)X ρ的致密集，往证1 m k k A A == 也是(,)X ρ的致密集。 任取一点列{}n x A ?，则存在(1)A m ≤≤ ，{}n x 有无限多项属于A ， 记其为{}k n x ，即{}k n x A ? . 而A 是致密的，所以必有在X 中收敛的子点列{}k h n x ，使得 ()k h n x x X h →∈→∞, 即{}n x 在X 中收敛的子点列{}k h n x ，故A 也是(,)X ρ的致密集。证毕！ 性质3 致密集的任何子集是致密集。因此，任何一族致密集的交是致密集。 证 只要证明“致密集的任何子集是致密集”即可，而“任何一族致密集的交是致密集”则是前者的直接推论。 设A 是度量空间(,)X ρ的致密集，B 是A 的任一子集。 任取一点列{}n x B ?，因为B A ?，所以{}n x A ?. 而A 是致密的，因此点列{}n x 必有在X 中收敛的子点列{}k n x ，使得 ()k n x x X k →∈→∞,