高斯定理的理解
电子与信息学院 0 7 电联 6号 熊德辉 摘要：高斯定理在静电学具有重要的应用。在大学物理里，仅表示为积分形式，应认识其物理意义 ,同时又必须从它的物理含义上认识它的数学应用 ,这对清楚、全面了解静电场是至关重要的.
关键词:高斯定理;高斯面;电场线;对称分布;散度；电通量;电场强度。
一、高斯定理的理解
高斯定理是静电学中的一个重要定理,它反映了静电场的一个基本性质 ,即静电场是有源场 ,其源即是电荷。可表述为:在静电场中 ,通过任意闭合曲面的电通量 ,等于该闭合曲面所包围的电荷的代数和的
ξ
1
倍 ,与闭合曲面外的电荷无关。它的表达
式为：ξ
int
∑?=
?q
dS E s
是电磁学最基本的定理之一。其中 ,E 表示
在闭合曲面上任一 dS 面处的电场强度 ,而 E ·dS 则为通过面元dS 的电场强度通量 ,就表dS E s
??示通过整个闭合曲面 S 的电场
强度通量 ,?s
表示沿闭合曲面 S 的积分 ,习惯上称 S 为高斯
面， 高斯定理表明:静电场是有源的、发散的 ,源头在电荷所在处 ,由此确定的电场线起于正电荷 ,终于负电荷。对高斯定理的理解和应用不正确 ,常常会出现一些问题。 如 ,高斯面上的 E 是否完全由高斯面内的电荷产生;如果
∑=0q ，是否必有 E = 0 ;当E 处处为零时 ,是否高斯面内一
定无电荷;高斯定理是否在任何情况下都成立;哪些问题用高斯定理解决会简便一些等等. 这就涉及是否对高斯定理理解正确 ,对其数学表达式的理解是否存在数学负迁移情况.其实 ,只要对高斯定理注意掌握几个要点， 就能对上面的问题有比较清醒的认识了.
1 定理中的 E 是指空间某处的总电场强度
空间中某处的电场强度为空间中所有电荷所激发的电场在该处场强的矢量和. 若任意作一个假想的闭合曲面(高斯面) 通过该处 ,用 E 内、 E 外 分别表示高斯面内、外的电荷在高斯面上产生的场 ,则在该处的总场强 E = E 内 + E 外.由高斯定理
有:ξ
int
∑???=?+?=?q
dS dS dS E s
s s E E 外内
而从电场线的角度看 ,电场线始于正电荷 ,终于负电荷 ,当电场中的闭合曲面内不含有电荷时 ,电场线仅穿过此闭合曲面 ,这些进入闭合曲面的电场线总条数与穿出闭合曲面的电场线总条数相等 ,故通过整个闭合曲面的电场强度通量为零. 所以
=??dS s
E
外
故 ξ
int
∑??=
?=?q
dS dS E s
s
E 内
即:高斯定理对高斯面内的电荷产生的场而言 ,也成立.
2 注意ξ0int ∑?=?q
dS E s
中 E 和 dS 的矢量性
在对高斯定理的理解上常常出现不注意物理量的矢量性问题. 有些人认为当0int
=∑q 时 ,由于dS ≠0 ,所以必有 E = 0.
实际上 , 0int
=∑q ,表明始于闭合曲面内正电荷的电场线与终于
闭合曲面内负电荷的电场线数相等 ,则穿出闭合曲面的电场线数与进入闭合曲面的电场线数相等 ,即通过整个闭合面的电场强度通量为零.但这并不意味着闭合曲面上电场强度处处为零. 因为:
(1) 高斯面上某处的场强是高斯面内、外电荷在该处产生的场强的矢量和 ,所以 ,即便高斯面内的0int
=∑q ,也无法完全确定 E =
0 ;
(2) 由于 E 和dS 在式中是矢量的标积关系 ,因此存在二者的方向问题 ,如果 E ≠0 ,而它与dS 的方向垂直 ,仍有 E ·dS = 0. 故不能由 0int
=∑q 来判断 E 是否为零。
3 正确理解定理中的∑int
q
∑int
q 是高斯面内正、负电荷电量的代数和. 当通过高斯面的电通
量为零时 , ∑int
q 这个结论既可表明高斯面内有电量相等的正、
负电荷 ,也可表明高斯面内无电荷. 因此 ,不能肯定高斯面内
一定无电荷.
4 不能只从数学的角度理解ξ0int ∑?=?q
dS E s
有些人在对高斯定理的数学表达式的理解上常出现“数学负迁移”问题 ,得出这样的错误结论:当闭合曲面上 E 处处为零时 ,不一定有曲面内电量的代数和 ∑int
q =0
ξ
int
∑???=
?+?=?q
dS dS dS E s
s
s
E E 外内=0；
当 E = 0 时 ,并不一定分别有 E 内 = 0和 E 外 = 0.由于始终有0=??dS s
E 外 ,而 E 内 不一定为零 ,所以 ：
ξ
int
∑??=
?=?q
dS dS E s
s
E 内不一定为零 ,即当闭合曲面上的 E 处处为
零时 , ∑int
q 不一定为零.这显然与高斯定理相悖. 因为当 E 处
处为零时必有?s
E dS =0 ,即通过整个高斯面的电通量为零 ,而高
斯面外的电荷激发的电场通过整个高斯面的电通量为零:
0=??dS s
E
外
,
所以必有高斯面内电荷的电通量为零:
0=??dS s
E
内
这里可以有两种情况:一是 E 内 = 0 ;二是 E 内 ≠0 ,
但0=??dS s
E 内 无论是哪种情况 ,都有 ∑int
q =0。
从数学上讲:E = 0时或 E ≠0但 E · dS = 0 ,必有 ∑int
q = 0 ,
而 ∑int
q = 0时 ,E 不一定在高斯面上处处为零 ,即数学上描述的
是 E 通量而不是 E,它完全是由高斯面内的电荷代数和 ∑int
q 确
定的. 从物理上讲 ,高斯面上各点的 E 是由所有电荷(面内面外) 所激发的.
5 对高斯面的理解
有些人提出这样的问题:如果电荷既不在高斯面内 ,也不在高斯面外 ,而是在高斯面上 ,高斯面上的场强怎样计算？实际上 ,高斯面是一个几何面 ,它没有厚薄之分 ,却有内外之分 ,电荷要么在高斯面内(包括内表面) ,要么在高斯面外(包括外表面) .也就是说 ,必须把高斯面作为几何面 ,而把点电荷的点视为物理上的点.
6 高斯定理是平方反比定律的必然结果
由于高斯定理是由点电荷间相互作用的平方反比定律(库仑定律)得出的 ,所以高斯定理是点电荷作用力的平方反比定律的必然结果.
如果库仑定律 r
q
q F 2
4??=
ξπ中 ,r 的指数不是 2 ,而是 n ,则点
电荷的场强的大小应表示为:
r
n
q E ?=
ξπ0
4
以点电荷为中心 ,作半径为 r 的球面为高斯面 ,则:
=Ω??=?=????
d q dS q dS E r
r
r
s
n s
s
n
2
44ξξππππξ442
??=-r
n q =
r
n q
2
-?ξ
从而得不到高斯定理的结论. 所以 ,只有在点电荷作用力服从平方反比定律的条件之下 ,高斯定理才成立 ,否则不成立. 但到目前为止 ,理论和实验表明点电荷作用力的平方反比定律是相当精确的.
7 用高斯定理求解场强 E
由于ξ
int
∑?=
?q
dS E s
中的 E 是 dS 处的场强 ,而不是整个高斯面上
的场强. 所以 ,一般来说高斯面上的场强并非一定处处相等 ,即 E 并不一定是恒矢量 ,故无法从积分号内提出 ,因此难以用高斯定理计算出场强来. 但若选择合适的高斯面 ,能使电场强度 E 从积分号中提出来 ,就能用高斯定理求解场强 E 了.为此 ,作高斯面时应注意:
(1) 需求场强的场点要在高斯面上;
(2) 高斯面上各部分或者与场强 E 垂直 ,或者与场强 E 平行 ,或者与场强 E 有恒定的夹角;
(3) 各部分高斯面上垂直于高斯面的场强的大小应各自为一常值;
(4) 高斯面的形状应比较简单.
为此 ,当电场具有球对称时 ,高斯面选为同心球面;具有很强的轴对称时 ,选为同轴柱面;具有面对称
时 ,选为柱面 ,并使两底与 E 垂直 ,侧面与 E 平行.
由于作高斯面有如上限制 ,因此用高斯定理只能求某些对称分布电场的场强. 用高斯定理求场强的步骤可归纳为： (1) 分析带电体所产生的电场是否具有对称分布的特点; (2) 选取合适的高斯面;
(3) 再由高斯定理求电场的场强分布. 高斯定理的微分形式
从严格意义上 ,高斯定理表为ξ
int
∑?=
?q
dS E s
仅为场强对闭合曲面
S 通量的积累效应 ,为净余通数学上称积分形式 ,不能算作方程. 因此 ,在理解它所描述的静电性质上有一定难度. 如果我们将任面缩小 ,并让它趋于零 ,即:V
dS
E s
v ???→?lim 0
,s 是以体积ΔV 为边界的闭合曲面 ,显然上式描述的是电场中某点的电场特征 ,定义为某点电场强散度: divE =V
dS
E s
v ???→?lim 0
而:
ξ
int
∑?=
?q
dS E s
, =ρV
q v ??→?lim
故: divE =
ξ
ρ
这就是高斯定理的微分形式 ,在电场中是点点对应的关系. 在散度divE ≠0之处必有ρ≠0. 这就清
楚地表明了静电场的重要性质:静电场是有源场 ,电力线总是起于正电荷而终止于负电荷.
参考资料：大学物理学-电磁学（清华大学出版社、张三惠主编）
成都物理学报（2002）
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