矩阵特征值与特征向量在图像处理中的应用

特征值与特征向量在图像处理中的应用

姓名：张x 学号：20092430 班级：2009121

摘要：正所谓学以致用，在长期以来的学习过程中，我们真正能够将所学到的知识运用到生活中的能有多少，我们对课本上那些枯燥的公式虽牢记于心，却不知道它的实际用途。在学习了矩阵论以来，虽然知道很多问题的求法，就如矩阵特征值和特征向量，它们有何意义我们却一点不知。我想纯粹的理知识已经吸引不了我们了，我们需要去知道它们的用途，下面就让我们一起来看看矩阵特征值与特征向量在图像处理中是如何发挥它们的作用的。

关键字：

特征值、特征向量、图像、

正文：

生活中的我们，每天清晨醒来，随之映入眼帘的就是各种形形色色的图像，我们确实也很难想象，在我们的生活中，图像的处理和矩阵特征值、特征向量有什么关系？首相我们先来了解下，何为特征值、特征向量。

定义：设是阶方阵，若有数和非零向量，使得

称数是的特征值，非零向量是对应于特征值的特征向量。

例如对，有及向量，使得，这说明

是的特征值，是对应于的特征向量。

特征值和特征向量的求法：

1．由得，并且由于是非零向量，故行列式，即

（称之为的特征方程）

由此可解出个根（在复数范围内），这就是的所有特征值。

2．根据某个特征值，由线性方程组解出非零解，这就是对应于特征值的特征向量。

特征值和特征向量的性质：

1 ．，

2 ．若是的特征向量，则对，也是的特征向量。

3 ．若是的特征值，则是的特征值，从而是的特征值。

4 ．是的个特征值，为依次对应的特征向量，若

各不相同，则线性无关。

我想在了解了特征值和特征向量的基本理论之后，你们很难想象，为什么这些知识会和图像有联系吧。说实话，我自己也不是很清楚，我也是看了别人的理论讲解，才略微理解了一二。让我们一起去了解下。

根据特征向量数学公式定义，矩阵乘以一个向量的结果仍是同维数的一个向量，因此，矩阵乘法对应了一个变换，把一个向量变成同维数的另一个向量，那么变换的效果是什么呢？这当然与方阵的构造有密切关系，比如可以取适当的二维方阵，使得这个变换的效果就是将平面上的二维向量逆时针旋转30度，这时我们可以问一个问题，有没有向量在这个变换下不改变方向呢？可以想一下，除了零向量，没有其他向量可以在平面上旋转30度而不改变方向的，所以这个变换对应的矩阵(或者说这个变换自身)没有特征向量(注意：特征向量不能是零向量)，所以一个特定的变换特征向量是这样一种向量，它经过这种特定的变换后保持方向不变，只是进行长度上的伸缩而已(再想想特征向量的原始定义Ax=cx, cx是方阵A对向量x进行变换后的结果，但显然cx和x的方向相同)。

这里给出一个特征向量的简单例子，比如平面上的一个变换，把一个向量关于横轴做镜像对称变换，即保持一个向量的横坐标不变，但纵坐标取相反数，把这个变换表示为矩阵就是[1 0;0 -1]（分号表示换行），显然[1 0;0 -1]*[a b]'=[a -b]'（上标'表示取转置），这正是我们想要的效果，那么现在可以猜一下了，这个矩阵的特征向量是什么?想想什么向量在这个变换下保持方向不变，显然，横轴上的向量在这个变换下保持方向不变(记住这个变换是镜像对称变换，那镜子表面上(横轴上)的向量当然不会变化)，所以可以直接猜测其特征向量是[a 0]'（a不为0），还有其他的吗？有，那就是纵轴上的向量，这时经过变换后，其方向反向，但仍在同一条轴上，所以也被认为是方向没有变化，所以[0 b]'（b不为0）也是其特征向量。

综上所述，特征值只不过反映了特征向量在变换时的伸缩倍数而已，对一个变换而言，特征向量指明的方向才是很重要的，特征值似乎不是那么重要；但是，当我们引用了Spectral theorem （谱定律）的时候，情况就不一样了。

Spectral theorem 的核心内容如下：一个线性变换（用矩阵乘法表示）可表示为它的所有的特征向量的一个线性组合，其中的线性系数就是每一个向量对应的特征值，写成公式就是：

我们知道，一个变换可由一个矩阵乘法表示，那么一个空间坐标系也可视作一个矩阵，而这个坐标系就可由这个矩阵的所有特征向量表示，用图来表示的话，可以想象就是一个空间张开的各个坐标角度，这一组向量可以完全表示一个矩阵表示的空间的“特征”，而他们的特征值就表示了各个角度上的能量（可以想象成从各个角度上伸出的长短，越长的轴就越可以代表这个空间，它的“特征”就越强，或者说显性，而短轴自然就成了隐性特征），因此，通过特征向量/值可以完全描述某一几何空间这一特点，使得特征向量与特征值在几何（特别是空间几何）及其应用中得以发挥。

矩阵论在图像中的应用比如有PCA 方法，选取特征值最高的k 个特征向量来表示一个矩阵，从而达到降维分析+特征显示的方法。一般而言，这一方法的目的是寻找任意统计分布的数据集合之主要分量的子集。相应的基向量组满足正交性且由它定义的子空间最优地考虑了数据的相关性。将原始数据集合变换到主分量空间使单一数据样本的互相关性降低到最低点。一下是其运用的原理：

设s j x j ,...,1:=是N 维向量的数据集合，m 是其均值向量：

有了特征向量集合，任何数据x 可以投影到特征空间（以特征向量为基向量）中的表示：

k

k s

j T

j j x j j j s

j j u d d s C m

x d d x s m 向量及满足下列条件的特征特征值求出其从大到小排列的协方差矩阵是：

是：

差别向量λ∑∑===-==1

1

11???≠===k l k l u u k

l k T l ,0,1,δT

N T k k y y y y m x u y ),...,,(,)(21=-=

相反地，任何数据x 可以表示成如下的线性组合形式：

如果用A 代表以特征向量为列向量构成的矩阵，则A T

定义了一个线性变换：

上述去相关的主分量分析方法可以用于降低数据的维数。通过略去对应于若干较小特征值的特征向量来给y 降维。例如，丢弃底下N-M 行得到N M ?的矩阵B ，并为简单起见假定均值m=0，则有：

它只是被舍弃的特征向量所对应的特征值的和。通常，特征值幅度差别很大，忽略一些较小的值不会引起很大的误差。

上述方法是图象数据压缩的数学基础之一，通常被称为Principal Component Analysis (PCA)或Karhunen-Loeve (K-L)变换。

K-L 变换的核心过程是计算特征值和特征向量，有很多不同的数值计算方法。一种常采用的方法是根据如下的推导：

∑=+=s

k k

k u y m x 1????

??????==+=-=N x T y T A C A C A Ay m x m x A y λλ00()

(1 ：

变换后的协方差矩阵为是正交矩阵）

∑+==

==N M k k

T MSE y B x x Bx y

1???λ为：

来近似。近似的均方差仍可通过而

由于通常s<

K-L 变换是图象分析与模式识别中的重要工具，用于特征抽取，降低特征数据的维数。例如，MIT-Media Lab 基于特征脸的人脸识别方法。

通过上述的理论，我们对特征值与特征向量在图像处理上的运用有了深入的了解，同时也感受到了知识的魅力在不停的渲染着我们的生活。当然，特征值的魅力还不仅在于图像处理上，它在物理，材料，力学等方面都能一展拳脚，有人曾在一本线代书里这样说过“有振动的地方就有特征值和特征向量”。同时让我对平时未能把握住的知识感到惋惜，因为知识对生活的改造实在是缤纷乐，所以现在的我们，首要任务还是学好知识，让知识去创造财富！ 参考（基于特征向量的变换） 的特征向量。

就是可见得到

上式两边左乘的特征向量维考虑其中维T x i i

i i T i

i i T i

T s T x AA C Av Av Av AA A v Av A v s s A A d d A N N AA C ===?=?=μμ)()

,...,()(1

矩阵特征值的运算性质及推广

矩阵特征值的运算性质及推广 摘要:本篇论文主要从五方面来进行讲解：引言；矩阵特征值的性质；矩阵特征值的应用推广；分块矩阵的性质；分块矩阵特征值应用推广。 由于本篇论文是要以矩阵特征值性质的应用为主题，首先介绍总结了矩阵的一些基本概念及矩阵基本运算，然后在文中着重阐述了矩阵特征值性质，罗列出相关引理并予以证明,然后通过五种类型的矩阵特征值的应用例子将矩阵特征值的运算性质进行推广。将矩阵拓展到分块矩阵，讨论分块矩阵的性质及应用. 关键词：矩阵，特征值，特征向量，特征方程，特征多项式 The Operation Properties and Promotion of Eigenvalue Cui haiyang (Institute of Computer Science, Math) Abstract Three aspects to this thesis to explain: Introduction; matrix eigenvalue nature; promote the application of Matrix Eigenvalues. Because of this paper is a matrix eigenvalue to the application of the nature of the theme first introduced some basic concepts of matrix and the matrix of basic operations, and then in the text focuses on the eigenvalue properties, set out the relevant Yin Li, and to prove it. Finally, five types of application examples Eigenvalue Eigenvalue computation will be the nature of promotion. Key words：Matrix , Eigenvalue, Eigenvectors, Characteristic equation，Characteristic polynomial 1引言 矩阵计算领域在不断的发展和成熟，作为一门数学学科，它是众多理工学科重要的数学工具，矩阵理论既是经典数学的基础课程，是数学的一个重要且目前仍然非常活跃的领域，又是一门最有实用价值的数学理论，是计算机科学与工

浅谈矩阵的特征向量特征值的意义

浅谈矩阵的特征向量特征值的意义 描述了矩阵的特征向量和特征值的定义，简述了矩阵的特征向量特征值在数学、物理、信息和哲学上的一些意义，对于从多角度深入理解矩阵的特征向量特征值有积极意义。 标签：线性代数；矩阵；特征向量；特征值 1 线性变换与矩阵的特征向量特征值[1] 线性变换是指一个n维列向量被左乘一个n阶矩阵后得到另一个n维列向量，它是同维向量空间中的把一个向量线性映射成了另一个向量。即 Y=AX （Y，X∈Rn A=（aij）A=（aij）n×n） 如果对于数λ，存在一个n维零列向量X（即X∈Rn且X≠0），使得 AX=？姿X 则称数λ为矩阵A的一个特征值，X为矩阵A对应于λ的特征向量。 在线性代数中研究线性变换就是研究相应的矩阵A，矩阵A的特征向量和特征值是线性变换研究的重要内容。 2 在数学上的意义 矩阵乘法对应了一个变换，是把任意一个向量变成另一个方向或长度都大多不同的新向量。在这个变换的过程中，原向量主要发生旋转、伸缩的变化。如果矩阵对某一个向量或某些向量只发生伸缩变换，不对这些向量产生旋转的效果，那么这些向量就称为这个矩阵的特征向量，伸缩的比例就是特征值。这里可以将特征值为负，特征向量旋转180度，也可看成方向不变，伸缩比为负值。所以特征向量也叫线性不变量。特征向量的不变性是他们变成了与其自身共线的向量，他们所在的直线在线性变换下保持不变；特征向量和他的变换后的向量们在同一根直线上，变换后的向量们或伸长或缩短，或反向伸长或反向缩短，甚至变成零向量（特征值为零时）[2]。 对对称矩阵而言，可以求得的特征向量是正交的，就是把矩阵A所代表的空间，进行正交分解，使得A的向量集合可以表示为每个向量a在各个特征向量上面的投影长度。 例如，对于x，y平面上的一个点（x，y），我对它作线性变换A， 这个线性变换相当于关于横轴x做镜像。我们可以求出矩阵A的特征向量

第五章 矩阵的特征值与特征向量

第五章 矩阵的特征值与特征向量 5.1矩阵的特征值与特征向量 5.1.1矩阵的特征值与特征向量的概念 设A 是n 阶矩阵，若存在数λ及非零的n 维列向量α，使得：λαα=A (0≠α)成立，则称λ是矩阵A 的特征值，称非零向量α是矩阵A 属于特征值λ的特征向量. 5.1.2矩阵的特征值与特征向量的求法 把定义公式λαα=A 改写为()0=-αλA E ,即α是齐次方程组()0=-x A E λ的非零解.根据齐次方程组有非零解的充分条件可得：0=-A E λ. 所以可以通过0=-A E λ求出所有特征值，然后对每一个特征值i λ，分别求出齐 次方程组()0=-x A E i λ的一个基础解系，进而再求得通解. 【例5.1】求??? ? ? ?????------=324262423A 的特征值和特征向量. 解：根据()()0273 2 4 26 24 23 2 =+-=---= -λλλλλλA E ，可得71=λ，22-=λ. 当7=λ时，??? ? ? ?????? ??? ???????=-0000002124242124247A E ， 所以()07=-x A E 的一个基础解系为：()T 0,2,11-=α,()T 1,0,12-=α，则相应的特征向量为2211ααk k +，其中21,k k 是任意常数且()()0,0,21≠k k . 当2-=λ时，???? ? ?????--? ??? ? ??????---=--00012014152428242 52A E ，所以()02=--x A E 的一个基础解系为()T 2,1,23=α，则相应的特征向量为33αk ，其中3k 是任意常数且

浅谈矩阵的特征值与特征向量的应用(终稿)复习课程

浅谈矩阵的特征值与特征向量的应用(终稿)

浅谈矩阵的特征值与特征向量的应用 摘要 特征值与特征向量在现代科学中有重要的应用。本文介绍了特征值与特征向量的定义以及性质，并且给出了在线性空间中线性变换的特征值、特征向量与矩阵中的特征值、特征向量之间的关系。然后介绍了几种特征值与特征向量的求解方法。最后介绍了特征值与特征向量在实际中的应用，如在数学领域中、物理中以及经济发展与环境污染增长模型中的应用等等。 关键字：特征值；特征向量；应用；矩阵；初等变换 Abstract Eigenvalues and eigenvectors have important applications in modern science. This paper introduces the definition and nature of the eigenvalues and eigenvectors, eigenvalues and gives linear space of linear transformations, eigenvectors and eigenvalues of the relationship matrix, feature vectors. Then introduces several eigenvalues and eigenvectors of solving methods. Finally, the eigenvalues and

eigenvectors in practical application, such as in the fields of mathematics, physics, economic development and environmental pollution growth model and the application, and so on. Keys words：eigenvalue；eigenvector；application；matrix；elementary； 目录 浅谈矩阵的特征值与特征向量的应用 (2) 摘要 (2) Abstract (2) 第1章引言 (4) 1.1 研究背景 (4) 1.2 研究现状 (5) 1.3 本文研究目的及意义 (6) 第2章特征值与特征向量的一般理论 (6) 2.1 特征值与特征向量的定义和性质 (6) 2.1.1 特征值与特征向量的定义 (7) 2.1.2 特征值与特征向量的性质 (7) 2.2 特征值与特征向量的一般求解方法 (8) 2.2.1 一般数字矩阵的简单求解 (8)

矩阵的特征值和特征向量

第五章矩阵的特征值和特征向量 来源：线性代数精品课程组作者：线性代数精品课程组 1．教学目的和要求： (1) 理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量. (2) 了解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，会将矩阵化为相似对 角矩阵. (3) 了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质. 2．教学重点： (1) 会求矩阵的特征值与特征向量. (2) 会将矩阵化为相似对角矩阵. 3．教学难点：将矩阵化为相似对角矩阵. 4．教学内容： 本章将介绍矩阵的特征值、特征向量及相似矩阵等概念，在此基础上讨论矩阵的对角化问题. §1矩阵的特征值和特征向量 定义1设是一个阶方阵，是一个数，如果方程 (1) 存在非零解向量，则称为的一个特征值，相应的非零解向量称为属于特征值的特 征向量． （1）式也可写成， (2) 这是个未知数个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式 , (3) 即 上式是以为未知数的一元次方程，称为方阵的特征方程．其左端是的 次多项式，记作，称为方阵的特征多项式．

== = 显然，的特征值就是特征方程的解．特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算），因此，阶矩阵有个特征值． 设阶矩阵的特征值为由多项式的根与系数之间的关系，不难证明 （ⅰ） （ⅱ） 若为的一个特征值，则一定是方程的根, 因此又称特征根，若为 方程的重根，则称为的重特征根．方程的每一个非 零解向量都是相应于的特征向量，于是我们可以得到求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下： 第一步：计算的特征多项式； 第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值； 第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组： 的一个基础解系，则的属于特征值的全部特征向量是 （其中是不全为零的任意实数）． 例1 求的特征值和特征向量. 解的特征多项式为 =

矩阵特征值和特征向量在实际中的应用及其实现

第39卷 第7期 高 师 理 科 学 刊 Vol. 39 No.7 2019年 7月 Journal of Science of Teachers′College and University Jul. 2019 文章编号：1007-9831（2019）07-0008-03 矩阵特征值和特征向量在实际中的应用及其实现 周琴 （湖南涉外经济学院 信息与机电工程学院，湖南 长沙 410205） 摘要：矩阵的特征值和特征向量是矩阵理论中的重要内容，在实际问题中的应用也很广泛．研究了矩阵的特征值和特征向量在循环比赛的排名问题和预测分析中的应用，并利用MATLAB软件实现了这些问题的快速求解． 关键词：特征值；特征向量；排名问题；预测分析 中图分类号：O151.2 文献标识码：A doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2019.07.003 Application and realization of matrix eigenvalue and eigenvector in practical problems ZHOU Qin （School of Information，Mechanical and Electrical Engineering，Hunan International Economics University，Changsha 410205，China） Abstract：The eigenvalues and eigenvectors of matrices are important contents in matrix theory and are widely used in practical problems．Studies on the application of eigenvalues and eigenvectors of matrices in ranking of cyclic competitions and prediction analysis，and use software MATLAB to realize the rapid solution of these problems． Key words：eigenvalue；eigenvector；ranking issues；predictive analysis 1 引言及预备知识 矩阵的特征值和特征向量在矩阵理论体系中具有举足轻重的作用，并且在实际问题中的应用也很广泛．文献[1-2]探索了特征值和特征向量的几何意义；文献[3]利用特征值与特征向量研究了纤维及大分子的可视化显示．在一些常用的数学建模方法如马尔可夫链模型、偏最小二乘回归模型、层次分析法和主成分分析法中，特征值和特征向量均有应用[4-6]． 定义[7-9]设A是n阶矩阵，如果数l和n维非零列向量a满足l A a a，那么数l称为矩阵A的特征 = 值，a称为A对应于特征值l的特征向量． 在实际教学中，由于矩阵特征值和特征向量的计算方法较为繁琐，学生需要较长的计算时间．如需进一步将计算结果应用到实际问题中，冗长的过程会使学生理解起来比较困难．为了解决此问题，可以利用MATLAB软件[10]自带的函数eig（A）实现矩阵A的特征值和特征向量的快速计算，再将其与实际应用相结合．本文介绍矩阵特征值和特征向量在排名问题和预测分析中的应用，给出了求解实际问题的MATLAB实现方法． 收稿日期：2019-03-02 基金项目：湖南省教育厅科学研究项目（18C1097）；2017年度湖南涉外经济学院教学改革研究项目——数学实验在地方本科院校非数学专业 教学中的应用研究 作者简介：周琴（1984-）, 女, 湖南长沙人，讲师，硕士，从事计算数学和数学教育研究．E-mail：19891881@https://www.doczj.com/doc/b13138809.html,

矩阵特征值与特征向量在图像处理中的应用

特征值与特征向量在图像处理中的应用 姓名：张x 学号：20092430 班级：2009121 摘要：正所谓学以致用，在长期以来的学习过程中，我们真正能够将所学到的知识运用到生活中的能有多少，我们对课本上那些枯燥的公式虽牢记于心，却不知道它的实际用途。在学习了矩阵论以来，虽然知道很多问题的求法，就如矩阵特征值和特征向量，它们有何意义我们却一点不知。我想纯粹的理知识已经吸引不了我们了，我们需要去知道它们的用途，下面就让我们一起来看看矩阵特征值与特征向量在图像处理中是如何发挥它们的作用的。 关键字： 特征值、特征向量、图像、 正文： 生活中的我们，每天清晨醒来，随之映入眼帘的就是各种形形色色的图像，我们确实也很难想象，在我们的生活中，图像的处理和矩阵特征值、特征向量有什么关系？首相我们先来了解下，何为特征值、特征向量。 定义：设是阶方阵，若有数和非零向量，使得 称数是的特征值，非零向量是对应于特征值的特征向量。 例如对，有及向量，使得，这说明 是的特征值，是对应于的特征向量。 特征值和特征向量的求法： 1．由得，并且由于是非零向量，故行列式，即 （称之为的特征方程） 由此可解出个根（在复数范围内），这就是的所有特征值。

2．根据某个特征值，由线性方程组解出非零解，这就是对应于特征值的特征向量。 特征值和特征向量的性质： 1 ．， 2 ．若是的特征向量，则对，也是的特征向量。 3 ．若是的特征值，则是的特征值，从而是的特征值。 4 ．是的个特征值，为依次对应的特征向量，若 各不相同，则线性无关。 我想在了解了特征值和特征向量的基本理论之后，你们很难想象，为什么这些知识会和图像有联系吧。说实话，我自己也不是很清楚，我也是看了别人的理论讲解，才略微理解了一二。让我们一起去了解下。 根据特征向量数学公式定义，矩阵乘以一个向量的结果仍是同维数的一个向量，因此，矩阵乘法对应了一个变换，把一个向量变成同维数的另一个向量，那么变换的效果是什么呢？这当然与方阵的构造有密切关系，比如可以取适当的二维方阵，使得这个变换的效果就是将平面上的二维向量逆时针旋转30度，这时我们可以问一个问题，有没有向量在这个变换下不改变方向呢？可以想一下，除了零向量，没有其他向量可以在平面上旋转30度而不改变方向的，所以这个变换对应的矩阵(或者说这个变换自身)没有特征向量(注意：特征向量不能是零向量)，所以一个特定的变换特征向量是这样一种向量，它经过这种特定的变换后保持方向不变，只是进行长度上的伸缩而已(再想想特征向量的原始定义Ax=cx, cx是方阵A对向量x进行变换后的结果，但显然cx和x的方向相同)。 这里给出一个特征向量的简单例子，比如平面上的一个变换，把一个向量关于横轴做镜像对称变换，即保持一个向量的横坐标不变，但纵坐标取相反数，把这个变换表示为矩阵就是[1 0;0 -1]（分号表示换行），显然[1 0;0 -1]*[a b]'=[a -b]'（上标'表示取转置），这正是我们想要的效果，那么现在可以猜一下了，这个矩阵的特征向量是什么?想想什么向量在这个变换下保持方向不变，显然，横轴上的向量在这个变换下保持方向不变(记住这个变换是镜像对称变换，那镜子表面上(横轴上)的向量当然不会变化)，所以可以直接猜测其特征向量是[a 0]'（a不为0），还有其他的吗？有，那就是纵轴上的向量，这时经过变换后，其方向反向，但仍在同一条轴上，所以也被认为是方向没有变化，所以[0 b]'（b不为0）也是其特征向量。

毕业论文矩阵的特征值与特征向量的若干应用

矩阵的特征值与特征向量的若干应用 Several applications of eigenvalues and eigenvectors of the matrix 专业: 数学与应用数学 作者: 指导老师: 学校 二○一

摘要 本文介绍了矩阵的特征值与特征向量的一些理论, 在此理论基础上做了一定的推广, 并通过矩阵的特征值与特征向量的命题与性质来探讨特征值与特征向量的一些应用. 关键词: 特征值; 特征向量; 矩阵; 递推关系

Abstract This article describes some theories of eigenvalues and eigenvectors of the matrix , based on these theories we do some promotions, and discusses the applications of eigenvalues and eigenvectors of the matrix through their propositions and nature. Keywords: eigenvalue; eigenvector; matrix; recursion relations

目录 摘要 ................................... I ABSTRAC.T ........................................................... II 0 引言 (1) 1 关于矩阵的特征值与特征向量的一般理论 (1) 2 矩阵特征值与特征向量的几个应用 (5) 2.1 特征值与特征向量确定矩阵的方法证明及应用 (5) 2.1.1 命题的证明 (5) 2.1.2 命题的应用 (7) 2.2 线性递推关系中特征值与特征向量的应用 (7) 2.2.1 命题的证明 (7) 2.2.2 命题的应用 (9) 2.3 特征值与特征向量在矩阵运算中的应用 (11) 2.3.1 特征值与特征向量的基本性质 (11) 2.3.2 性质的应用 (12) 3 小结 (15) 参考文献 (16)

矩阵的特征值与特征向量习题

第五章 矩阵的特征值与特征向量 习题 1 试用施密特法把下列向量组正交化 (1)?? ? ? ? ??=931421111) , ,(321a a a (2)???? ?? ? ??---=011101110111) , ,(321a a a 2 设x 为n 维列向量 x T x 1 令H E 2xx T 证明H 是对称的正交 阵 3 求下列矩阵的特征值和特征向量: (1)??? ?? ??----20133 521 2; (2)??? ? ? ??633312321. 4 设A 为n 阶矩阵 证明A T 与A 的特征值相同 5 设 0是m 阶矩阵A m n B n m 的特征值 证明 也是n 阶矩阵BA 的特 征值. 6 已知3阶矩阵A 的特征值为1 2 3 求|A 35A 2 7A | 7 已知3阶矩阵A 的特征值为1 2 3 求|A * 3A 2E | 8 设矩阵??? ? ? ??=50413102x A 可相似对角化 求x

9 已知p (1 1 1)T 是矩阵???? ? ??---=2135212b a A 的一个特征向量 (1)求参数a b 及特征向量p 所对应的特征值 (2)问A 能不能相似对角化？并说明理由 10 试求一个正交的相似变换矩阵, 将对称阵??? ? ? ??----020212022化为对角 阵. 11 设矩阵????? ??------=12422421x A 与??? ? ? ? ?-=Λy 45 相似 求x y 并 求一个正交阵P 使P 1AP 12 设3阶方阵A 的特征值为1 2 2 2 3 1 对应的特征 向量依次为p 1 (0 1 1)T p 2(1 1 1)T p 3(1 1 0)T 求A . 13 设3阶对称矩阵A 的特征值 1 6 2 3 3 3 与特征值 1 6对应的特征向量为p 1 (1 1 1)T 求A . 14 设?? ? ? ? ??-=340430241A 求A 100

矩阵特征值和特征向量的求法与应用(参考模板)

毕业论文（设计）题目：矩阵特征值和特征向量的求法与应用

毕业设计（论文）原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重承诺：所呈交的毕业设计（论文），是我个人在指导教师的指导下进行的研究工作及取得的成果。尽我所知，除文中特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或组织已经发表或公布过的研究成果，也不包含我为获得及其它教育机构的学位或学历而使用过的材料。对本研究提供过帮助和做出过贡献的个人或集体，均已在文中作了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：日期： 指导教师签名：日期： 使用授权说明 本人完全了解大学关于收集、保存、使用毕业设计（论文）的规定，即：按照学校要求提交毕业设计（论文）的印刷本和电子版本；学校有权保存毕业设计（论文）的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文；在不以赢利为目的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容。 作者签名：日期：

学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名：日期：年月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 涉密论文按学校规定处理。 作者签名：日期：年月日 导师签名：日期：年月日

矩阵特征值的估计及其应用

收稿日期:2008-11-14 作者简介:薛建明(1982- ),女,硕士,研究方向为泛函分析和矩阵计算.Email:xuejianmi ng104@https://www.doczj.com/doc/b13138809.html, 文章编号:1671-9352(2009)12-0048-04 矩阵特征值的估计及其应用 薛建明,邹黎敏 (重庆三峡学院数学与计算机科学学院,重庆404000) 摘要:讨论矩阵特征值估计及其在稳定性理论中的应用。证明了矩阵的所有特征值都位于一个圆盘中,给出了定常线性系统在平衡位置渐近稳定的一个充分条件,并给出了数值算例。关键词:特征值;F 函数;范数;估计;稳定性中图分类号:O15112 文献标志码:A Estimation for eigenvalues and its application XUE Jian -ming,ZOU L-i min (College of Mathematics and Computer Science of Chongqing,Three Gorges University ,Chongqing 404000,China)Abstract :T he purpose of this paper is to discuss the estimation for eigenvalues of matrices and its application in stability theory.We prove that all the eigenvalues of any complex matrix are located in one di sk.After that,we present a sufficient conditi on that a linear time -invariant sys tem is asymp totically stable in equilibrium position.Some numerical examples are given.Key w ords :eigenvalues;F function;norm;esti mation;stability 特征值的估计一直是矩阵分析领域非常热门的课题。特征值的定位与分布就是在复平面上对给出的矩阵的特征值的大小,所属区域给出一个范围。在自然科学的许多分支中,并不需要精确计算出矩阵的特征值,而只需要给出一个大体的分布范围。如在控制理论中,只需要判断系统方程中系统矩阵的特征值是否都具有非负的实部,就可以判断系统是否稳定;而在统计线性模型或是数值算法分析中,有时需要判断Her mite 矩阵是正定的,即所有的特征值都大于零 [1-4] 。 众所周知,动力系统d x d t =f (x )的稳定性理论有着广泛的应用,而非线性系统的稳定性往往可以用其线性部分来处理。涉及常系数线性微分方程组 d x d t =Ax 的解的稳定性问题时,判断A 是否是稳定矩阵的方法有很多,如Routh -Hur witz,李亚普诺夫等方法。然而对于阶数较大的矩阵,上面的方法是比较复杂的,故寻求A 是稳定矩阵的简单判据是有必要的。文中先得到了矩阵特征值的估计,然后给出了定常线性系统在平衡位置渐近稳定的一个充分条件,并给出了数值算例验证估计的优越性。 设C n @n 表示n @n 阶复矩阵的集合,若A =(a ij )I C n @n ,称+A +F =tr(A * A )为矩阵A 的F -范数, 其中A * 表示的A 的共轭转置。 1 矩阵特征值的估计 定义111 令映射f :C n @n y R + G {0},若f 满足 第44卷 第12期 Vol.44 No.12 山 东 大 学 学 报 (理 学 版) Journal of Shandong University(Natural Science) 2009年12月 Dec.2009

浅谈矩阵的特征值与特征向量的应用(终稿)

浅谈矩阵的特征值与特征向量的应用 摘要 特征值与特征向量在现代科学中有重要的应用。本文介绍了特征值与特征向量的定义以及性质，并且给出了在线性空间中线性变换的特征值、特征向量与矩阵中的特征值、特征向量之间的关系。然后介绍了几种特征值与特征向量的求解方法。最后介绍了特征值与特征向量在实际中的应用，如在数学领域中、物理中以及经济发展与环境污染增长模型中的应用等等。 关键字：特征值；特征向量；应用；矩阵；初等变换

Abstract Eigenvalues and eigenvectors have important applications in modern science. This paper introduces the definition and nature of the eigenvalues and eigenvectors, eigenvalues and gives linear space of linear transformations, eigenvectors and eigenvalues of the relationship matrix, feature vectors. Then introduces several eigenvalues and eigenvectors of solving methods. Finally, the eigenvalues and eigenvectors in practical application, such as in the fields of mathematics, physics, economic development and environmental pollution growth model and the application, and so on. Keys words：eigenvalue；eigenvector；application；matrix；elementary；

并行计算-矩阵特征值计算--

9 矩阵特征值计算 在实际的工程计算中，经常会遇到求n 阶方阵 A 的特征值(Eigenvalue)与特征向量(Eigenvector)的问题。对于一个方阵A，如果数值λ使方程组 Ax=λx 即(A-λI n )x=0 有非零解向量(Solution Vector)x，则称λ为方阵A的特征值，而非零向量x为特征值λ所对应的特征向量，其中I n 为n阶单位矩阵。 由于根据定义直接求矩阵特征值的过程比较复杂，因此在实际计算中，往往采取一些数值方法。本章主要介绍求一般方阵绝对值最大的特征值的乘幂(Power)法、求对称方阵特征值的雅可比法和单侧旋转(One-side Rotation)法以及求一般矩阵全部特征值的QR 方法及一些相关的并行算法。 1.1 求解矩阵最大特征值的乘幂法 1.1.1 乘幂法及其串行算法 在许多实际问题中，只需要计算绝对值最大的特征值，而并不需要求矩阵的全部特征值。乘幂法是一种求矩阵绝对值最大的特征值的方法。记实方阵A的n个特征值为λi i=(1,2, …,n)，且满足： │λ1 │≥│λ2 │≥│λ3 │≥…≥│λn │ 特征值λi 对应的特征向量为x i 。乘幂法的做法是：①取n维非零向量v0 作为初始向量；②对于 k=1,2, …,做如下迭代： 直至u k+1 ∞ - u k u k =Av k-1 v k = u k /║u k ║∞ <ε为止，这时v k+1 就是A的绝对值最大的特征值λ1 所对应的特征向∞ 量x1 。若v k-1 与v k 的各个分量同号且成比例，则λ1 =║u k ║∞；若v k-1 与v k 的各个分量异号且成比例，则λ1 = -║u k ║∞。若各取一次乘法和加法运算时间、一次除法运算时间、一次比较运算时间为一个单位时间，则因为一轮计算要做一次矩阵向量相乘、一次求最大元操作和一次规格化操作，所以下述乘幂法串行算法21.1 的一轮计算时间为n2+2n=O(n2 )。 算法21.1 单处理器上乘幂法求解矩阵最大特征值的算法 输入：系数矩阵A n×n ，初始向量v n×1 ，ε 输出：最大的特征值m ax Begin while (│diff│>ε) do (1)for i=1 to n do (1.1)sum=0 (1.2)for j= 1 to n do sum=sum+a[i,j]*x[j] end for

矩阵的特征值与特征向量的求法

摘要：首先给出了求解矩阵特征值和特征向量的另外两种求法,然后运用特征值的性质讨论了矩阵合同、相似的充要条件,以及逆矩阵的求解等相关问题. 关键词：矩阵的特征多项式,特征值,特征向量,对角矩阵,逆矩阵

Abstract：Firstly，it is given matrix eigenvalues and eigenvectors of two other methods, then with the properties of eigenvalue the contract of matrix discussed,we deeply discuss the sufficient and necessary conditions for the similar matrix contract, and the inverse matrix of the related problem solving. Keywords:matrix characteristic polynomial, eigenvalue, eigenvector, diagonal matrices, inverse matrix

目录 1 前言 (4) 2 矩阵的特征值和特征向量的求法 (4) 2.1 矩阵的初等变换法 (4) 2.2 矩阵的行列互逆变换法 (6) 3 矩阵特征值的一些性质及应用 (7) 3.1 矩阵之间的关系 (7) 3.1.1 矩阵的相似 (7) 3.1.2 矩阵的合同 (7) 3.2 逆矩阵的求解 (8) 3.3 矩阵相似于对角矩阵的充要条件 (8) 3.4 矩阵的求解 (9) 3.5 矩阵特征值的简单应用 (10) 结论 (11) 参考文献 (12) 致谢 (13)

矩阵特征值和特征向量解法的研究

矩阵特征值和特征向量解法的研究 周雪娇 （德州学院数学系，山东德州 253023） 摘 要：对矩阵特征值和特征向量的一些方法进行了系统的归纳和总结.在比较中能够 更容易发现最好的方法，并提高问题的解题效率. 关键词： 矩阵； 特征值； 特征向量； 解法 引言 矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具.矩阵计算问题是很多科学问题的核心.在很多工程计算中，常常会遇到特征值和特征向量的计算问题，如：机械、结构或电磁振动中的固有值问题；物理学中的各种临界值等，这些特征值的计算往往意义重大.很多科学问题都要归结为矩阵计算的问题，在这里主要研究矩阵计算中三大问题之——特征值问题. 1 矩阵特征值与特征向量的概念及性质 1.1 矩阵特征值与特征向量的定义 设A 是n 阶方阵，如果存在数λ和n 维非零向量x ，使得x Ax λ=成立，则称 λ为A 的特征值，x 为A 的对应于特征值λ的特征向量. 1.2 矩阵特征值与特征向量的性质 矩阵特征值与特征向量的性质包括： （1）若i i r A 的是λ重特征值，则i i s A 有对应特征值λ个线性无关的特征向量，其中i i r s ≤. （2）若线性无关的向量21,x x 都是矩阵A 的对应于特征值0λ的特征向量，则当21,k k 不全为零时，2211x k x k +仍是A 的对应于特征值0λ的特征向量. （3）若A n 是矩阵λλλ,,,21 的互不相同的特征值，其对应的特征向量分别是 n x x x ,,,21 ，则这组特征向量线性无关.

（4）若矩阵()n n ij a A ?=的特征值分别为n λλλ,,,21 ，则 nn n a a a +++=+++ 221121λλλ，A n =λλλ 21. （5）实对称矩阵A 的特征值都是实数，且对应不同特征值的特征向量正交. （6）若i λ是实对称矩阵A 的i r 重特征值，则对应特征值i λ恰有i r 个线性无关的特征向量. （7）设λ为矩阵A 的特征值，()x P 为多项式函数，则()λP 为矩阵多项式()A P 的特征值.[]1 2 普通矩阵特征值与特征向量的求法 2.1 传统方法 确定矩阵A 的特征值和特征向量的传统方法可以分为以下几步： （1）求出矩阵A 特征多项式()A E f -=λλ的全部特征根； （2）把所求得的特征根()n i i ,,2,1 =λ逐个代入线性方程组()0=-X A E i λ， 对于每一个特征值，解方程组()0=-X A E i λ，求出一组基础解系，这样，我们也就求出了对应于每个特征值的全部线性无关的特征向量.[]2 例1 已知矩阵 ???? ? ?????-=11 111 110 A 求矩阵A 的特征值和特征向量. 解 A E -λ = 1 1 1 1 1 11 ------λλλ = ()21-λλ 所以，由()012=-λλ知A 的特征根1,0321===λλλ.

第五章 习题与复习题详解(矩阵特征值和特征向量)----高等代数

习题 1. (1) 若A 2 = E ，证明A 的特征值为1或-1; (2) 若A 2 = A ，证明A 的特征值为0或1. 证明（1）2 2A E A =±所以的特征值为1，故A 的特征值为1 （2） 2222 2 ,,()0,001 A A A X A X AX X X X λλλλλλλ===-=-==所以两边同乘的特征向量得即由于特征向量非零，故即或 2. 若正交矩阵有实特征值，证明它的实特征值为1或 -1. 证明 1,1 T T T A A A E A A A A A λλλλ -=∴==±设是正交阵，故有与有相同的特征值， 1 故设的特征值是，有=，即 3．求数量矩阵A=aE 的特征值与特征向量. 解 A 设是数量阵，则 000000000000a a A aE a a a E A a λλλλ?? ? ?== ? ??? ---= -L L L L L L L L L L L L 所以：特征值为a (n 重), A 属于a 的特征向量为 k 1(1,0,…,0)T + k 2(0,1,…,0)T + k n (0,0,…,1)T ，(k 1, k 2, …, k n 不全为0)

4．求下列矩阵的特征值与特征向量. （1）113012002-?? ? ? ??? （2）324202423?? ? ? ??? （3）??? ?? ??---122212 221 （4）212533102-?? ?- ? ?--?? ()1112221211(5) , , (0,0)0.T T n n n n a a b a a b A b b b a b a a b αβαβαβ?? ???? ? ? ? ? ? ?====≠≠= ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ???? L M M M 其中，且 解（1） 11 3 0120,1,2,00 2A E AX λλλ λλλλ ---=-====-0,123求得特征值为:分别代入=求得 A 属于特征值1的全部特征向量为k(1,0,0)T ，(k ≠0) A 属于特征值2的全部特征向量为k(1，2，1)T ，(k ≠0) 解（2）

3矩阵特征值及特征向量的计算

第3章 矩阵特征值与特征向量的计算 一些工程技术问题需要用数值方法求得矩阵的全部或部分特征值及相关的特征向量。 3.1 特征值的估计 较粗估计ρ(A )≤ ||A || 欲将复平面上的特征值一个个用圆盘围起来。 3.1.1盖氏图 定义3.1-1 设A = [a ij ]n ?n ，称由不等式∑≠=≤-n i j j ij ii a a z 1 所确定的复区域为A 的第i 个盖氏图， 记为G i ，i = 1，2，…，n 。 >≤-=<∑≠=}:{1n i j j ij ii i a a z z G 定理3.1-1 若λ为A 的特征值，则 n i i G 1 =∈ λ 证明：设Ax = λx (x ≠ 0)，若k 使得∞ ≤≤==x x x i n i k 1max 因为 k n j j kj x x a λ=∑=1 ?∑≠= -n k j j kj k kk x a x a )(λ ?∑∑∑ ≠=≠=≠≤≤= -n k j j kj n k j j k j kj n k j k j kj kk a x x a x x a a 11λ ? n i i k G G 1 =? ∈λ 例1 估计方阵????? ?? ?????----=41.03.02.05.013.012.01.035.03.02.01.01A 特征值的X 围

解： G 1 = {z ：|z – 1|≤ 0.6}；G 2 = {z ：|z – 3|≤ 0.8}； G 3 = {z ：|z + 1|≤ 1.8}；G 4 = {z ：|z + 4|≤ 0.6}。 注：定理称A 的n 个特征值全落在n 个盖氏圆上，但未说明每个圆盘内都有一个特征值。 3.1.2盖氏圆的连通部分 称相交盖氏圆之并构成的连通部分为连通部分。 孤立的盖氏圆本身也为一个连通部分。 定理3.1-2若由A 的k 个盖氏圆组成的连通部分，含且仅含A 的k 个特征值。 证明: 令D = diag(a 11，a 12，…，a nn )，M = A –D ，记 )10(00 0)(212211122211≤≤?? ?? ? ? ? ??+??????? ??=+=εεεε n n n n nn a a a a a a a a a M D A 则显然有A (1) = A ，A (0) = D ，易知A (ε)的特征多项式的系数是ε的多项式，从而A (ε)的特征 值λ1(ε)，λ2(ε)，…，λn (ε)为ε的连续函数。 A (ε)的盖氏圆为：)10(,}||||:{)(11≤≤?=≤ -=∑∑≠=≠=εεεεi n i j j ij n i j j ij ii i G a a a z z G 因为A (0) = D 的n 个特征值a 11，a 12，…，a nn ，恰为A 的盖氏圆圆心，当ε由0增大到1时，λi (ε)画出一条以λi (0) = a ii 为始点，λi (1) = λi 为终点的连续曲线，且始终不会越过G i ； 不失一般性，设A 开头的k 个圆盘是连通的，其并集为S ，它与后n –k 个圆盘严格分离，显然，A (ε)的前k 个盖氏圆盘与后n –k 个圆盘严格分离。 当ε = 0时，A (0) = D 的前k 个特征值刚好落在前k 个圆盘G 1，…，G k 中，而另n –k 个特征值则在区域S 之外，ε从0变到1时， k i i G 1 )(=ε与 n k i i G 1 )(+=ε始终分离（严格） 。连续曲线始终在S 中，所以S 中有且仅有A 的k 个特征值。 注：1) 每个孤立圆中恰有一个特征值。 2) 例1中G 2，G 4为仅由一个盖氏圆构成的连通部分，故它们各有一个特征值，而G 1，G 3构