八年级数学最短路径问题
【问题概述1 最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题, 点之间的最短路径.算法具体的形式包括：
①确定起点的最短路径问题
②确定终点的最短路径问题
③确定起点终点的最短路径问题
④全局最短路径问题
【问题原型1
【涉及知识1
【出题背景1
【解题思路1旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结
即已知起始结点，求最短路径的问题.
与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题.
-即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径.
求图中所有的最短路径.
“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”.
“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”.
角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等.
找对称点实现“折”转“直”，近两年岀现“三折线”转“直”等变式问题考查.
【十二个基本问题1
【问题
11
作法图形原理
-------------- I
?B
在直线I上求一点P,使
PA+PB值最小.
【问题21 “将军饮马”连AB,与l交点即为P.
A
P
在直线I上求一点P, PA+PB值最小.
【问题31
I
1
两点之间线段最短.
FA + PB最小值为AB.
作法图形原理
作B关于I的对称点B /
连A B /,与I交点即为P . P七I
B'
两点之间线段最短.
FA+PB最小值为A B/.
作法图形原理
?P
l
2
在直线I1、12上分别求点M、^使^ PMN的周长最小.
【问题41分别作点P关于两直线的对
称点P/和P〃，连P' P 〃,
与两直线交点即为M , N .
两点之间线段最短.
l l
I
2
PM+MN + PN的最小值为
线段P P，的长.
P"
作法图形原理
?Q
?P
I
2
在直线I1、12上分别求点M、N，使四边形PQMN 的周长最小.
【问题51 “造桥选址”分别作点Q、P关于直线
l i、I2的对称点Q，和P/ 连
QP,与两直线交点即为M ,
N.
作法
I1
Q
P
N
*
P'
Q.
图形
l
2
两点之间线段最短. 四边
形PQMN周长的最小值为线
段PP，的长.
原理
在11上求点A,在I2上求点B，使PA+AB值最小.
作点P关于I i的对称点
P/,作P^BX I2 于B,交I2
于A.
点到直线，垂线段最短.
PA+AB的最小值为线段P
B的长.
A为I i上一定点，B为12上一定点，在12上求点M, 在I i上求点N ,使
AM + MN + NB的值最小.
作点A关于I2的对称点A/,作点B关于I1的对称点B,连A，B，交|2于M, 交I i于
N .
A
n
M m
?B
直线m // n，在m、n , 上分别求点M、N,使MN 丄m , 且AM + MN + BN 的值最小.
【问题6】
在直线I上求两点M、（M 在左），使MN a，并使
AM + MN + NB的值最小.
【问题
7】将点A向下平移MN的长度单
位得A，,连A/B,交n 于点N，
过N作NM丄m于M .
作法
将点A向右平移a个长度单
位得对称点
A ,作A /关于I的
A〃，连A〃B,交直
线
N,将N点向左平
I于点移a个单位
得M .
作法
A
A'V\M
>B
图形
I
图形
两点之间线段最短.
AM+MN + BN的最小值为
A B+MN.
原理
两点之间线段最短.
AM +MN + BN的最小值为
A〃B+MN .
原理
【问题
8】
作法图形原理
【问题
9】
作法图形原理A.
*B 1 在直线I上求一点P, |PA PB|的值最小.
【问题
10】连AB，作AB的中垂线与
直线I的交点即为P. I
垂直平分上的点到线段两
端点的距离相等.
PA PBI = 0 .
作法图形原理
I2
两点之间线段最短.
AM +MN + NB 的最小值为
线段A，B，的长.
B
A
|PA PB|的值最大.
【精品练习】
1?如图所示，正方形 ABCD 的面积为12,^ ABE 是等边三角形，点 E 在正方形ABCD 内，在对角线 AC 上有 一点P ,使PD+ PE
的和最小，则这个最小值为（
）
A . 2 亦
B . 2 恵
C . 3
D .76
2?如图，在边长为 2的菱形 ABCD 中，/ ABC = 60 °若将△ ACD 绕点A 旋转，当 交于点E 、F ，则△ CEF 的周长的最小值为（ ）
B . 2^3
3?四边形 ABCD 中，/ B = Z D = 90 ° / C = 70 °在 BC 、CD 上分别找一点 M 、N ,
在直线丨上求一点P ,使 作直线AB , 与直线I 的交
点即为P .
pA PB |的值最大. 【问题11】 作法 ---- I
*B 在直线I 上求一点P ,
作B 关于I 的对称点B / 作直线A B/,与I 交点即
为P .
图形 I
三角形任意两边之差小于
第三边.IPA PB < AB .
|PA PB 的最大值 =AB .
原理
三角形任意两边之差小于
第三边.
PA PB < AB /.
PA PB 最大值=AB /.
【问题12】“费马点”
作法
图形 原理
所求点为“费马点”，即满 足/ APB = / BPC = /
△ ABC 中每一内角都小于
120 °,在^ ABC 内求一点 P ，使FA+PB + PC 值最小.
APC = 120 ° .以 AB 、AC
为边向外作等边^ ABD 、
△ ACE ，连 CD 、BE 相交 于P ,点P 即为所求.
两点之间线段最短.
PA+PB+PC 最小值=CD .
AC'、AD '分别与 BC 、CD 使^ AMN 的周长最小时,
D
AB = 4、区，/ BAC = 45 °, / BAC 的平分线交 BC 于点D ，M 、N 分别是 AD 和AB
上的动点，贝y BM+MN 的最小值是
/ AMN+ / ANM 的度数为( A . 120 °
B . 130°
)
C .
110 °
D . 140°
5. 且 如图，Rt △ ABC 中，/ C = 90 °, / B = 30 °, AB = 6,点 E 在 AB 边上，点 D 在 BC 边上 ED = AE ，则线段AE 的取值范围是 （不与点 B 、C 重合），
如图，/ AOB = 30。，点 M 、N 分别在边 OA 、OB 上，且 OM = 1，ON = 3，点P 、Q 分别在边 OB 、OA 上, ?（注“勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方， BC 2 6. 则MP + PQ + QN 的最小值是 ______________ 即 Rt △ ABC 中，/ C = 90°，则有 AC 2
AB 2 ) 7?如图，三角形 △ ABC 中，/ OAB = /AOB = 15。，点B 在x 轴的正半轴，坐标为 B(Q 43 , 0).
OC 平分/ AOB ，点M 在OC 的延长线上，点 N 为边OA 上的点，贝MA + MN 的最小值是
8 ?已知 A （ 2，4）、B （4，2） . C 在y 轴上，D 在x 轴上，则四边形
4.如图，在锐角^ ABC 中,
此时C 、D 两点的坐标分别为
9 .已知 A ( 1，1 )、B (4， P 为x 轴上一动点，求 2）.
PA+PB 的最小值和此时 P 点的坐标;
(2) P 为x 轴上一动点，求 |PA PB 的值最大时P 点的坐标;
CD 为x 轴上一条动线段， D 在C 点右边且 CD = 1,求当AC+CD+DB 的最小值和此时 C 点的坐标
;
10 .点
(1)
(2) C 为/ AOB 内一点. 在OA 求作点D , OB 上求作点E ，使△ CDE 的周长最小，请画岀图形； 在（1）的条件下，若/ AOB = 30°, OC = 10,求^ CDE 周长的最小值和此时/ DCE 的度数.
A
11. (1)如图①，△ ABD 和^ ACE 均为等边三角形， BE 、CE 交于F ,连AF ，求证：AF + BF + CF = CD ;
(2)在^ ABC 中，/ ABC = 30° AB = 6 , BC = 8,/ A ，/ C 均小于 120° 求作一点 P ,使 PA+PB + PC 的 值最小，
试求岀最小值并说明理由.
12 .荆州护城河在 CC /处直角转弯，河宽相等，从 A 处到达 都是东西、南北方向，桥与河岸垂直.如何确定两座桥的位置，可使
E
图①
B 处, 需经过两座桥 DD /、EE /,护城河及两桥
八年级数学最短路径问题 【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括： ①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题． ②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题． ③确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径． ④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径． 【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”． 【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”． 【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等． 【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．
在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大． 作直线AB ，与直线l 的交 点即为P ． 三角形任意两边之差小于 第三边．PB PA -≤AB ． PB PA -的最大值＝AB ． 【问题11】 作法 图形 原理 在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大． 作B 关于l 的对称点B ＇作直线A B ＇，与l 交点即 为P ． 三角形任意两边之差小于 第三边．PB PA -≤AB ＇． PB PA -最大值＝AB ＇． 【问题12】“费马点” 作法 图形 原理 △ABC 中每一内角都小于120°，在△ABC 内求一点P ，使P A +PB +PC 值最小． 所求点为“费马点”，即满足∠APB ＝∠BPC ＝∠ APC ＝120°．以AB 、AC 为边向外作等边△ABD 、△ACE ，连CD 、BE 相交于P ，点P 即为所求． 两点之间线段最短． P A +PB +PC 最小值＝CD ． 【精品练习】 1．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有 一点P ，使PD +PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A ．3 B ．26 C ．3 D 6 2．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，若将△ACD 绕点A 旋转，当AC ′、AD ′分别与BC 、CD 交于点E 、F ，则△CEF 的周长的最小值为（ ） A ．2 B ．32 C ．32+ D ．4 l B A l P A B l A B l B P A B' A B C P E D C B A A D E P B C
初二最短路径问题归纳 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
最短路径问题专题学习【基本问题】 m n
在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最小． 【问题10】 作法 图形 原理 在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大． 作B 关于l 的对称点B ＇作直线A B ＇，与l 交点即为 P ． 三角形任意两边之 差小于第三边．PB PA -≤ AB ＇． PB PA -最大值＝ AB ＇． 【精品练习】 1．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD +PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A ．23．6 C ．3 D 6 2．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，若将△ACD 绕点A 旋转，当 AC ′、AD ′分别与BC 、CD 交于点E 、F ，则△CEF 的周长的最小值为（ ） A ．2 B ．32 C ．32+ D ．4 3．四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠C ＝70°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 的周长最小 时，∠AMN +∠ANM 的度数为（ ） l A B D E A B C A D E P B C D A M A B M N 第2题 第3题 第4
A ．120 ° B ．130° C ．110° D ．140° 4．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝4 2 ，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ， M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是 ． 5．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝6，点E 在AB 边上，点D 在BC 边上（不与点B 、C 重 合），且ED ＝AE ，则线段AE 的取值范围是 ． 6．如图，∠AOB ＝30°，点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且OM ＝1，ON ＝3，点P 、Q 分 别在边OB 、OA 上，则MP ＋PQ ＋QN 的最小值是_________． 7．如图，三角形△ABC 中，∠OAB ＝∠AOB ＝15°，点B 在x 轴的正半轴，坐标为 B (36，0)． OC 平分∠AOB ，点M 在OC 的延长线上，点N 为边OA 上的点，则MA ＋MN 的最小值 是______． 8．已知A （2，4）、B （4，2）．C 在y 轴上，D 在x 轴上，则四边形ABCD 的周长最 小值为 ， 此时 C 、D 两点的坐标分别为 ． 9．已知A （1，1）、B （4，2）． y x B O A y x B A O 第6题 第
13.4 课题学习最短路径问题 一、教学设计理念 最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段主要以“两点之间线段最短”、“连接 直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为知识基础，有时还要借助轴对称、 平移、旋转等变化进行研究。 本节课以数学史中的两个经典问题——“将军饮马”“造桥选址”为载体展开对“最短 路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题转化为数学问题，利用轴对称、平移等变化再把数学问题转化为线段和最小问题，并运用“两点之间线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）解决问题，体现了数学化的过程和转化思想。 最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中生，此前很少在几何中接触最值问题， 解决此类问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生， 无从下手．解答“当点A、B 在直线l 的同侧时，如何在直线l 上找到点C，使AC 与CB 的和最小”，需要将其转化为“在直线l 异侧两点的线段和最小值问题”，为什么需要这样 转化、怎样通过轴对称、平移变化实现转化，一些学生在理解和操作上存在困难．在证明 作法的合理性时，需要在直线上任取点(与所求作的点不重合)，证明所连线段和大于所求作的线段和，这种思路、方法，一些学生想不到．所以在课堂上特别对这几个问题进行了针对 性的设计。 二、教学对象分析 八年级的学生已经学习研究过一些“两点之间，线段最短”、“垂线段最短”等问题。 一直以来，学生对多媒体环境下的几何探究都十分感兴趣，有较强的好奇心，在学习上有较强的求知欲望，学习投入程度大。他们观察、操作、猜想能力较强，但演绎推理、归纳、运 用数学意识的思想比较薄弱，思维的广阔性、敏捷性、灵活性比较欠缺，自主探究和合作学 习能力也需要在课堂教学中进一步加强和引导。学生在数学问题的提出和解决上有一定的方法，但不够深入和全面，需要教师的引导和帮助，学生本身具有一定的探究精神和合作意识，能在亲身的经历体验中获取一定的数学新知识，但在数学的说理上还不规范，几何演绎推理能力有待加强。(1)最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中生，此前很少在几何中 接触最值问题，解决此类问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题， 更会感到陌生，无从下手。(2)解答“当点 A 、B 在直线l 的同侧时，如何在直线l 上找到点C，使AC 与CB 的和最小”，需要将其转化为“在直线l 异侧两点的线段和最小值问题”，为什么需要这样转化、怎样通过轴对称、平移变化实现转化，一些学生在理解和操作上存 在困难。(3)在证明作法的合理性时，需要在直线上任取点(与所求作的点不重合)。证明所连线段和大于所求作的线段和，这种思路、方法，一些学生会想不到。 三、教学目标 1、了解解决最短路径问题的基本策略和基本原理。 2、能将实际问题中的“地点”“河”“桥”等抽象为数学中的“点”“线”，使实际 问题数学化。 3、能运用轴对称、平移变化解决简单的最短路径问题，体会几何变化在解决最值问题中 的重要作用。 4、在探索最短路径的过程中，感悟、运用转化思想。进一步培养好奇心和探究心理，更 进一步体会到数学知识在生活中的应用。 四，教学重点
最短路径问题探究 一、教材分析与学情分析 1．教材分析 （1）教学内容 《最短路径问题探究》是九年级下为让学生能灵活的运用对称、平移解决近几年中考中常见的最短路径问题而设置的一节专题课． 初中三年，孩子们也具备了一定的学习能力，在老师的指导下，能针对某一问题展开讨论并归纳总结．但受年龄特征的影响，他们知识迁移能力不强，自主探究能力较差，不善于思考。所以本节课设计为通过对最短路径问题探究，在于引导学生学会思考，帮助学生掌握良好的学习方法为一节学法指导课 （2）地位和作用 近几年各地中考均有最短路径问题的考试，为让学生能熟练解决该类问题，本节课在已有平移、对称知识的基础上，引导学生探究如何运用平移、对称解决最短路径问题。它既是平移、对称知识运用的延续，又能培养学生自主探究，学会思考，在知识与能力转化上起到桥梁作用. 2．学情分析 （1）已有基础知识与生活经验分析 学生已掌握对称、平移、勾股定理等知识，但综合运用能力还较差。加之来自社会、家长和老师的压力较大，学生学的辛苦．对于学习方法不好的同学来说，感觉疲惫，无法体验学习的乐趣；从平时教学反映出学生不重视学习方法，不注意归纳总结，不会思考，更不善于思考，学生学得累。所以想通过本节课引导学生学会学习，学会思考，从而使其感受到学习的快乐，提高学习的兴趣，避免死做题，读死书，以达到提高学习能力的目的. （2）学生起点能力分析 学生已学过一些关于空间与图形的简单推理知识，具备了一定的合情推理能力，能应用勾股定理、线段公理等知识解决简单的问题，但演绎推理的意识和能力还有待加强，思维缺乏灵活性．综合运用能力较差，学习死，不能做到学习与研究相结合. 二、教学目标： 依据新课程标准的理念和学生实际情况，制定如下教学目标： ●知识与技能目标 1、结合具体实例，能灵活的运用勾股定理、线段公理解决实际问题 2、学会思考，逐步提高思维技能和思维的有效性，初步学会探究问题 ●方法与过程目标 1、经历问题的探究，学会从中提取有用信息，善于思考，善于提问，善于归纳总结，培养良好思维习惯． 2、经历运用已有的生活经验，已有的数学知识，培养思维能力、推理能力和有条理的表达能力 ●情感与态度目标
最短路径问题专题学习
【精品练习】 1．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD +PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A ．23 B ．26 C ．3 D ．6 2．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，若将△ACD 绕点A 旋转，当AC ′、AD ′分别与BC 、CD 交于点E 、F ，则△CEF 的周长的最小值为（ ） A ．2 B ．32 C ．32 D ．4 3．四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠C ＝70°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 的周长最小 时，∠AMN +∠ANM 的度数为（ ） A ．120° B ．130° C ．110° D ．140° 4．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是 ． 5．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝6，点E 在AB 边上，点D 在BC 边上（不与点B 、C 重 合），且ED ＝AE ，则线段AE 的取值范围是 ． 6．如图，∠AOB ＝30°，点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且OM ＝1，ON ＝3，点P 、Q 分别在边OB 、OA 上，则MP ＋PQ ＋QN 的最小值是_________． D E A B C A D E P B C D A M A B M N 第2题 第3题 第4题 第5题
7．如图，三角形△ABC 中，∠OAB ＝∠AOB ＝15°，点B 在x 轴的正半轴，坐标为B (36，0)． OC 平分∠AOB ，点M 在OC 的延长线上，点N 为边OA 上的点，则MA ＋MN 的最小值是______． 8．已知A （2，4）、B （4，2）．C 在y 轴上，D 在x 轴上，则四边形ABCD 的周长最小值为 ， 此时 C 、D 两点的坐标分别为 ． 9．已知A （1，1）、B （4，2）． （1）P 为x 轴上一动点，求P A +PB 的最小值和此时P 点的坐标； （2）P 为x 轴上一动点，求PB PA 的值最大时P 点的坐标； （3）CD 为x 轴上一条动线段，D 在C 点右边且CD ＝1，求当AC +CD +DB 的最小值和此时C 点的坐标； 10．点C 为∠AOB 内一点． （1）在OA 求作点D ，OB 上求作点E ，使△CDE 的周长最小，请画出图形； （2）在（1）的条件下，若∠AOB ＝30°，OC ＝10，求△CDE 周长的最小值和此时∠DCE 的度数． 第6题 第7题
最短路径问题专题学习【基本问题】
在直线l 上求一点 P ，使PB PA -的值最 大． B ＇作直线A B ＇，与l 交点即为P ． 差小于第三边．PB PA -≤AB ＇． PB PA -最大值＝ AB ＇． 【精品练习】 1．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD +PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A ．23．6 C ．3 D 6 2．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，若将△ACD 绕点A 旋转，当AC ′、 AD ′分别与BC 、CD 交于点E 、F ，则△CEF 的周长的最小值为（ ） A ．2 B ．32 C ．32+ D ．4 3．四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠C ＝70°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 的周长最小 时，∠AMN +∠ANM 的度数为（ ） A ．120° B ．130° C ．110° D ．140° 4．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝4 2 ，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、 N 分别是AD D E A B C A D E P B C D A C M A B M N 第2题 第3题 第4
和AB上的动点，则BM+MN的最小值是． 5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝6，点E在AB边上，点D在BC 边上（不与点B、C重 合），且ED＝AE，则线段AE的取值范围是． 6．如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝1，ON＝3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP＋PQ＋QN的最小值是_________． 7．如图，三角形△ABC中，∠OAB＝∠AOB＝15°，点B在x轴的正半轴，坐标为B(3 6，0)． OC平分∠AOB，点M在OC的延长线上，点N为边OA上的点，则MA＋MN的最小值是______． 8．已知A（2，4）、B（4，2）．C在y轴上，D在x轴上，则四边形ABCD的周长最小值为， 此时 C、D两点的坐标分别为． 9．已知A（1，1）、B（4，2）． （1）P为x轴上一动点，求PA+PB的最小值和此时P点的坐标； y x B O A y x B A O 第6题第7
专题训练之最短路径问题 【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括： ①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题． ②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题． ③确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径． ④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径． 【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”． 【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”． 【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等． 【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查． 【十二个基本问题】
【问题10】 作法 图形 原理 在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大． 作直线AB ，与直线l 的交 点即为P ． 三角形任意两边之差小于 第三边．PB PA -≤AB ． PB PA -的最大值＝AB ． 【问题11】 作法 图形 原理 在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大． 作B 关于l 的对称点B ＇作直线A B ＇，与l 交点即 为P ． 三角形任意两边之差小于 第三边．PB PA -≤AB ＇． PB PA -最大值＝AB ＇． 【问题12】“费马点” 作法 图形 原理 △ABC 中每一内角都小于120°，在△ABC 内求一点P ，使P A +PB +PC 值最小． 所求点为“费马点”，即满足∠APB ＝∠BPC ＝∠ APC ＝120°．以AB 、AC 为边向外作等边△ABD 、△ACE ，连CD 、BE 相交于P ，点P 即为所求． 两点之间线段最短． P A +PB +PC 最小值＝CD ． 【精品练习】 1．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有 一点P ，使PD +PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A ．3 B ．26 C ．3 D 6 2．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，若将△ACD 绕点A 旋转，当AC ′、AD ′分别与BC 、CD 交于点E 、F ，则△CEF 的周长的最小值为（ ） A ．2 B ．32 C ．32+ D ．4 l B A l P A B l A B l B P A B' A B C P E D C B A A D E P B C
归纳1:最短路径问题与勾股定理 原题1：如图，一条河同一侧的两村庄A、B，其中A、B 到河岸最短距离分别为AC=1km，BD=2km，CD=4km，现欲在河岸上建一个水泵站向A、B两村送水，当建在河岸上何处时，使到A、B两村铺设水管总长度最短，并求出最短距离。 原题2：如图所示,圆柱体的底面直径为6cm,高AC为12cm,一只蚂蚁从A点出发,沿着圆柱的侧面爬行到点B,试求出爬行的最短路程.(π取3） 原题3：如图，有一个长方体的长、宽、高分别是3、2、1，在底面A处有一只蚂蚁，它想吃正方体B处的食物，需要爬行的最短路程是多少? 变式1：正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为多少。 变2：如图(1),A、B两单位分别位于一条封闭街道的两旁(直线l1、l2是街道两边沿),现准备合作修建一座过街人行天桥. (1)天桥应建在何处才能使由A经过天桥走到B的路程最短?在图(2)中作出此时桥PQ的位置,简要叙述作法并保留作图痕迹.(注:桥的宽度忽略不计,桥必须与街道垂直). (2)根据图(1)中提供的数据计算由A经过天桥走到B的最短路线的长.(单位:米) 变3：有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？ 变4：有一圆柱形油罐,要以A点环绕油罐建旋梯,正好到A点的正上方B点,问旋梯最短要多少米?（己知油罐周长是12米,高AB是5米） 变5：如图，圆柱底面半径为2cm,高为9π，A、B分别是圆柱底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B，求棉线最短距离。 变6：如图, 透明的圆柱形容器( 容器厚度忽略不计) 的高为12cm ，底面周长为10cm ，在容器内壁离容器底部3cm 的点 B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm 的点 A 处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是多少? 变7：如图，长方体的长为15 cm，宽为10 cm，高为20 cm，点B离点C 5 cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？
初二数学最短路径问题家庭作业_题型归纳 一、精心选一选 1.在平面直角坐标系中有两点，要在轴上找一点，使它到的距离之和最小，现有如下四种方案，其中正确的是() A. B. C. D. 考查目的：本题主要考查利用轴对称解决简单的路径问题，体现了转化的思想. 答案：D. 解析：利用轴对称的性质，把y轴同侧的两点转化为y轴异侧的两点，根据“两点之间，线段最短”，找到点C的位置，故选D. 2.如图，在等边△ABC中，边BC的高AD=4，点P是高AD上的一个动点，E是边AC的中点，在点P运动的过程中，存在PE+PC的最小值，则这个最小值是() A.4 B.5 C.6 D.8 考查目的：本题主要考查等边三角形的性质及利用轴对称解决最短的线段和问题. 答案：A. 解析：根据等边三角形的性质可知点B是点C关于AD的对称点，PE+PC的最小值就是BE 的长，即等边△ABC的高，故选A. 3.如图，正方形ABCD的边长为8，△BCE是等边三角形，点E在正方形内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为() A.4 B.6 C.8 D.10
考查目的：本题主要考查利用轴对称解决简单的路径问题，体现了转化的思想. 答案：C. 解析：由题意知，点B是点D关于AC的对称点，因此，PD+PE的和可以转化为PB+PE的和.因为PB+PE的和的最小值BE，即为8，故选C. 二、细心填一填 4.两点的所有连线中，最短. 考查目的：本题主要考查“两点之间，线段最短”的基本事实. 答案：线段. 解析：根据基本事实“两点之间，线段最短”即可得出答案. 5.连接直线外一点与直线上各点所有连线中，最短. 考查目的：本题主要考查连接直线外一点与直线上各点所有连线中，垂线段最短的基础知识.答案：垂线段. 解析：连接直线外一点与直线上各点所有连线中，垂线段最短. 6.如图，四边形ABCD中，△BAD=120°，△B=△D=90°，在BC，CD上分别找一点F，使△AEF周长最小，此时△AEF+△AFE的度数为. 考查目的：本题主要考查利用轴对称解决较复杂的路径问题.分别作点A关于CD、BC的对称点，画出基本图形是解题的关键. 答案：120°. 解析：如下图，分别作点A关于CD、BC的对称点A1，A2，连接A1A2，分别交CD、BC于点F，E，即此时△AEF周长最小.由对称可知△A1=△DAF，△A2=△BAE，因为△A1+△A2=180°-△BAD=60°，所以△DAF+△DAF=△A1+△A2=60°，所以△EAF =60°，所以△AEF+△AFE=180°-△EAF=120°.
初二数学最短路径问题 【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括： -①确定起点的最短路径问题即已知起始结点，求最短路径的问题．-②确定终点的最短路径问题与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题． -③确定起点终点的最短路径问题即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径． ④全局最短路径问题-求图中所有的最短路径． 【问题原型】．“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等． 【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．】【十二个基本问题
】1作法图形【问题原理 A A 两点之间线段最短．P l．交点即为P连AB，与l l PA+PB 最小值为AB．B B，使上求一点P在直线l 值最小．PA+PB 【问题2】“将军饮马”作法图形原理 A A B＇B关于作B l 的对称点两点之间线段最短．B
l l PA+PB 最小值为 A B P．＇．连A B ＇，与l 交点即为 P，使P在直线l 上求一点B' PA+PB 值最小． 3】作法图形原理【问题 P'l 1l 1 分别作点P 关于两直线的两点之间线段最短．M P PM +MN +PN 的最小值为对称点P＇和P＇，连P＇P＇，P l l l 、上2．M，P＇＇＇的长．N与两直线交点即为线段P 分别求点在直线l212N M 、N，使△PMN的周长P'' 最小． 4】作法【问题图形原理 l 1l1Q' Q关于直线分别作点Q 、P Q两点之间线段最短．MP l 、l P＇Q＇和的对称点21P周长的最小四边形PQMN l2＇，与两直线交点即Q连＇P值为线段P＇P＇＇的长．l 2、l l 上分别求点在直线．，N为M21N ，使四边形N 、M PQMN P' 的周长最小． 【问题5】“造桥选址”作法图形原理范文
初中数学最短路径问题总结一、十二个基本问题概述 问题一：在直线l 上求一点P，使得PA + PB 值最小 . 作法：连接AB，与直线l 的交点即为P 点 . 原理：两点之间线段最短 . PA + PB 最小值为AB . 问题二：（“将军饮马问题”）在直线l 上求一点P，使得PA + PB 值最小 . 作法：作点B 关于直线l 的对称点B＇，连接AB' 与l 的交点即为点P． 原理：两点之间线段最短．PA + PB 最小值为AB' . 问题三：在直线l1、l2 上分别求点M、N，使得△PMN 的周长最小．
作法：分别作点P 关于两条直线的对称点P' 和P''，连接P'P''，与两条直线的交点即为点M，N． 原理：两点之间线段最短．PM + MN + PN 的最小值为线段P'P'' 的长． 问题四：在直线l1、l2 上分别求点M、N，使四边形PQMN 的周长最小． 作法：分别作点Q 、P 关于直线l1、l2 的对称点Q' 和P' 连接Q'P'，与两直线交点即为点M，N. 原理：两点之间线段最短．四边形PQMN 周长的最小值为线段Q'P' + PQ 的长．
问题五：（“造桥选址问题”）直线m∥n，在m、n 上分别求点M、N，使MN⊥m， 且AM + MN + BN 的值最小． 作法：将点A 向下平移MN 的长度单位得A'，连接A'B，交n 于点N，过N 作NM⊥m 于M . 原理：两点之间线段最短 . AM + MN + BN 的最小值为A'B + MN . 问题六：在直线l 上求两点M , N （M 在左），使MN = a , 并使AM + MN + NB 的值最小 . 作法：将点A 向右平移a 个长度单位得A'，作A' 关于直线l 的对称点A''，连接A''B 交直线l 于点N， 将N 点向左平移a 个单位得M .
探究点 1：牧人饮马问题
最短路径问题 想一想： 1.现在假设点A,B 分别是直线l 异侧的两个点，如何在l 上找到一个点，使得这个点到点A，点B 的距离的和最短？ 2.如果点A,B 分别是直线l 同侧的两个点，如何将点B“移”到l 的另一侧B′处，满足直线l 上的任意一点P，都保持PB 与PB′的长度相等？ 要点归纳：（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接A B′，与直线l相交于点C．则点C 即为所求．如图所示. 你能用所学的知识证明你所作的点C 使AP +BP 最短吗？ （1）（2） 证明：当点P 在点C 左侧时，PA +PB =PA +PB'＞AB'（两边之和大于第三边） 当点P 在点C 右侧时，PA +PB =PA +PB'＞AB'（两边之和大于第三边） 只有当点P 和点C 重合时，PA +PB =PA +PB'=AB'； 此时可以得到线段AB'为AP +BP 的最小值。 要点归纳:在解决牧人饮马问题时，通常利用轴对称，把未知问题转化为已解决的问题，从而做出最短路径的选择. 接下来我们来研究一下这个模型的特点，点A 和B 为直线外的两个定点，并且在直线的同侧，点P 是直线上一个动点，像这样，已知两个定点，一个动点和动点所在的直线这种模型，我们把它称为“两定一动一直线”模型。 【例1】（2017?天津）如图，在△ABC 中，AB=AC，AD、CE 是△ABC 的两条中线，P 是AD 上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP 最小值的是（） A．BC B．CE C．AD D．AC 【分析】点P 为AD 上一个动点，点B 和E 为AD 同侧的两个定点，符合“两定一动一直线” 解题模型。 第一步：找出定点的对称点，这道题容易知道点B 和点C 是对称点，不需要再作图； 第二步：连接对称点和另外一个定点。易知答案为B。 【例2】（2018 天津）如图，在正方形ABCD 中，E，F 分别为AD，BC 的中点，P 为对角线BD 上的一个动点，则下列线段的长等于AP+EP 最小值的是（） A．AB B．DE C．BD D．AF 【分析】审题后得知符合“两定一动一直线”解题模型，连接CE，CE 就是AP+EP 最小值，但是选项没有CE（出题老师真坏），不过由AB=CD，∠ABF=∠CDE，BF=DE，我们可得△ABF≌△CDE，∴AF=CE，∴AP+EP 最小值等于线段AF 的长， 故选：D． 研究完了“牧人饮马”这个基本问题，接下来咱们继续研究几个和“牧人饮马” 相 关的图形。
欢迎阅读 八年级数学最短路径问题 【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括： ①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题． ②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题． ③确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径． ④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径． 【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”． 页脚内容
P， E、C．3 2+D．4 3．四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝70°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN的周长最小时，∠AMN+∠ANM 的度数为（） A．120°B．130°C．110°D．140° B N 页脚内容
页脚内容 4．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是 ． 5．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝6，点E 在AB 边上，点D 在， 且ED ＝AE ，则线段AE 的取值范围是 ． 6．如图，∠AOB ＝30°，点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且OM ＝1，ON ＝3，点上，则MP ＋PQ ＋QN 的最小值是_________．（注“勾股定理”Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则有222AB BC AC =+） 7．如图，三角形△ABC 中，∠OAB ＝∠AOB ＝15°，点B 在x 轴的正半轴，坐标为B (36，0)． OC 平分∠AOB ，点M 在OC 的延长线上，点N 为边OA 上的点，则MA ＋MN 的最小值是______． ABCD 的周长最小值为 ， 点路径最短？ B A B N y
最短路径问题探究 ——学会思考提升自我 一、教材分析与学情分析 1．教材分析 （1）教学内容 《最短路径问题探究》是北师大版八年级上第一章《勾股定理》学习后，为让学生能灵活的使用勾股定理解决最短路径问题而设置的一节专题课． 本班模仿水平强，对新知事物满怀探求的欲望．同时他们也具备了一定的学习水平，在老师的指导下，能针对某一问题展开讨论并归纳总结．但受年龄特征的影响，他们知识迁移水平不强，自主探究水平较差，不善于思考。所以本节课设计为通过对最短路径问题探究，在于引导学生学会思考，协助学生掌握良好的学习方法为一节学法指导课 （2）地位和作用 本节课是在学习了勾股定理的基础上，引导学生探究如何使用勾股定理解决最短路径问题。它既是勾股定理知识使用的延续，又能培养学生自主探究，学会思考，在知识与水平转化上起到桥梁作用． 2．学情分析 （1）已有基础知识与生活经验分析 我班学生基础好，自觉性较强，学习努力，但来自社会、家长和老师的压力较大，学生学的辛苦．对于学习方法不好的同学来说，感觉疲惫，无法体验学习的乐趣；从平时教学反映出学生不重视学习方法，不注意归纳总结，不会思考，更不善于思考，学生学得累。所以想通过本节课引导学生学会学习，学会思考，从而使其感受到学习的快乐，提升学习的兴趣，避免死做题，读死书，以达到提升学习水平的目的． （2）学生起点水平分析 八（上）的学生，已学过一些关于空间与图形的简单推理知识，具备了一定的合情推理水平，能应用勾股定理、线段公理等知识解决简单的问题，但演绎推理的意识和水平还有待增强，思维缺乏灵活性． 二、教学目标： 依据新课程标准的理念和学生实际情况，制定如下教学目标： ●知识与技能目标 1、结合具体实例，能灵活的使用勾股定理、线段公理解决实际问题 2、初步学会思考，逐步提升思维技能和思维的有效性，初步学会探究问题 ●方法与过程目标 1、经历问题的探究，学会从中提取有用信息，善于思考，善于提问，善于归纳总结，培养良好思维习惯． 2、经历使用已有的生活经验，已有的数学知识，培养思维水平、推理水平和有条理的表达水平 ●情感与态度目标 1、鼓励学生大胆思考，善于思考，初步养成自觉思考的好习惯
八年级数学最短路径问题 【问题概述1 最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题, 点之间的最短路径.算法具体的形式包括： ①确定起点的最短路径问题 ②确定终点的最短路径问题 ③确定起点终点的最短路径问题 ④全局最短路径问题 【问题原型1 【涉及知识1 【出题背景1 【解题思路1旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结 即已知起始结点，求最短路径的问题. 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题. -即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径. 求图中所有的最短路径. “将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”. “两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”. 角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等. 找对称点实现“折”转“直”，近两年岀现“三折线”转“直”等变式问题考查. 【十二个基本问题1 【问题 11 作法图形原理 -------------- I ?B 在直线I上求一点P,使 PA+PB值最小. 【问题21 “将军饮马”连AB,与l交点即为P. A P 在直线I上求一点P, PA+PB值最小. 【问题31 I 1 两点之间线段最短. FA + PB最小值为AB. 作法图形原理 作B关于I的对称点B / 连A B /,与I交点即为P . P七I B' 两点之间线段最短. FA+PB最小值为A B/. 作法图形原理 ?P l 2 在直线I1、12上分别求点M、^使^ PMN的周长最小. 【问题41分别作点P关于两直线的对 称点P/和P〃，连P' P 〃, 与两直线交点即为M , N . 两点之间线段最短. l l I 2 PM+MN + PN的最小值为 线段P P，的长. P" 作法图形原理 ?Q ?P I 2 在直线I1、12上分别求点M、N，使四边形PQMN 的周长最小. 【问题51 “造桥选址”分别作点Q、P关于直线 l i、I2的对称点Q，和P/ 连 QP,与两直线交点即为M , N. 作法 I1 Q P N * P' Q. 图形 l 2 两点之间线段最短. 四边 形PQMN周长的最小值为线 段PP，的长. 原理
2018年八年级最短路径问题归纳小结
八年级数学最短路径问题 【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题， 旨在寻找图（由结点和路径组成 的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括： ①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题． ②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题． ③确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径． ④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径． 【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”． 【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”． 【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等． 【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查． 【十二个基本问题】 【问题1】 作法 图形 原理 在直线l 上求一点P ，使PA +PB 值最小． 连AB ，与l 交点即为P ． 两点之间线段最短． PA +PB 最小值为AB ． 【问题2】“将军饮马” 作法 图形 原理 在直线l 上求一点P ，使 作B 关于l 的对称点B ＇连A B ＇，与l 交点即为P ． 两点之间线段最短． PA +PB 最小值为A B ＇． l A B l P B A l B A l P B' A B
PA +PB 值最小． 【问题3】 作法 图形 原理 在直线1l 、2l 上分别求点M 、N ，使△PMN 的周长最小． 分别作点P 关于两直线的对称点P ＇和P ＇＇，连P ＇P ＇＇，与两直线交点即为M ，N ． 两点之间线段最短． PM +MN +PN 的最小值为 线段P ＇P ＇＇的长． 【问题4】 作法 图形 原理 在直线1l 、2l 上分别求点M 、N ，使四边形PQMN 的周长最小． 分别作点Q 、P 关于直线1l 、2l 的对称点Q ＇和P ＇连Q ＇P ＇，与两直线交点即为M ，N ． 两点之间线段最短． 四边形PQMN 周长的最小值为线段P ＇P ＇＇的长． 【问题5】“造桥选址” 作法 图形 原理 直线m ∥n ，在m 、n ， 将点A 向下平移MN 的长度单位得A ＇，连A ＇B ，交n 于点N ，过N 作NM ⊥m 于M ． 两点之间线段最短． AM +MN +BN 的最小值为 A ＇B +MN ． l 1 l 2 P l 1 l 2 N M P'' P'P l 1l 2 N M P' Q'Q P l 1l 2 P Q m n M N A' B A m n A B M N