命题逻辑基本概念1．将下列命题符号化。
（1）刘晓月跑得快，跳得高。
（2）老王是山东人或河北人。
（3）因为天气冷，所以我穿了羽绒服。
（4）王欢与李乐组成一个小组。
（5）李辛与李末是兄弟。
（6）王强与刘威都学过法语。
（7）他一面吃饭，一面听音乐。
（8）如果天下大雨，他就乘班车上班。
（9）只有天下大雨，他才乘班车上班。
（10）除非天下大雨，他才乘班车上班。
（11）下雪路滑，他迟到了。
（12）2与4都是素数，这是不对的。
（13）“2或4是素数，这是不对的”是不对的。2．将下列命题符号化，并给出各命题的真值：
（1）若3＋2＝4，则地球是静止不动的。
（2）若3＋2＝4，则地球是运动不止的。
（3）若地球上没有树木，则人类不能生存。
（4）若地球上没有水，则是无理数。3．将下列命题符号化，并给出各命题的真值：（1）2＋2＝4当且仅当3＋3＝6。
（2）2＋2＝4的充要条件是3＋3≠6。
（3）2＋2≠4与3＋3＝6互为充要条件。
（4）若2＋2≠4，则3＋3≠6，反之亦然。
4．设p：2+3=5。
q：大熊猫产在中国。
r：复旦大学在广州。
求下列复合命题的真值：
（1）(p q)→r
（2）(r→(p∧q))┐p
（3）┐r→(┐p∨┐q∨r)
（4）(p∧q∧┐r)((┐p∨┐q)→r)
5．用真值表判断下列公式的类型：
（1）p→(p∨q∨r)
（2）(p→┐q)→┐q
（3）┐(q→r)∧r
（4）(p→q)→(┐q→┐p)
（5）(p∧r)(┐p∧┐q)
（6）((p→q)∧(q→r))→(p→r)
（7）(p→q)(r s)
答案
1．
（1）p∧q，其中，p：刘晓月跑得快，q：刘晓月跳得高。
（2）p∨q，其中，p：老王是山东人，q：老王是河北人。
（3）p→q，其中，p：天气冷，q：我穿了羽绒服。
（4）p，其中，p：王欢与李乐组成一个小组，是简单命题。
（5）p，其中，p：李辛与李末是兄弟。
（6）p∧q，其中，p：王强学过法语，q：刘威学过法语。
（7）p∧q，其中，p：他吃饭，q：他听音乐。
（8）p→q，其中，p：天下大雨，q：他乘班车上班。
（9）p→q，其中，p：他乘班车上班，q：天下大雨。
（10）p→q，其中，p：他乘班车上班，q：天下大雨。
（11）p→q，其中，p：下雪路滑，q：他迟到了。
（12）┐(p∧q)或┐p∨┐q，其中，p：2是素数，q：4是素数。（13）┐┐(p∨q)或p∨q，其中，p：2是素数，q：4是素数。
2．
（1）p→q，其中，p：2＋2＝4，q：地球静止不动，真值为0。（2）p→q，其中，p：2＋2＝4，q：地球运动不止，真值为1。（3）┐p→┐q，其中，p：地球上有树木，q：人类能生存，真值为1。（4）┐p→q，其中，p：地球上有水，q：是无理数，真值为1。3．
（1）p q，其中，p：2＋2＝4，q：3＋3＝6，真值为1。
（2）p┐q，其中，p：2＋2＝4，q：3＋3＝6，真值为0。
（3）┐p q，其中，p：2＋2＝4，q：3＋3＝6，真值为0。（4）┐p┐q，其中，p：2＋2＝4，q：3＋3＝6，真值为1。4．
（1）真值为0。
（2）真值为0。
（3）真值为0。
（4）真值为1。
注意：p,q是真命题，r是假命题。
5．
(1)、(4)、(6)为重言式。
(3)为矛盾式。
(2)、(5)、(7)为可满足式。
离散数学形成性考核作业（四） 数理逻辑部分 本课程形成性考核作业共4次，内容由中央电大确定、统一布置。本次形考作业是第四次作业，大家要认真及时地完成数理逻辑部分的形考作业，字迹工整，抄写题目，解答题有解答过程。 第6章命题逻辑 1．判断下列语句是否为命题，若是命题请指出是简单命题还是复合命题． （1）8能被4整除． （2）今天温度高吗？ （3）今天天气真好呀！ （4）6是整数当且仅当四边形有4条边． （5）地球是行星． （6）小王是学生，但小李是工人． （7）除非下雨，否则他不会去． （8）如果他不来，那么会议就不能准时开始． 解：此题即是教材P.184习题6（A）1 （1）、（4）、（5）、（6）、（7）、（8）是命题，（2）、（3）不是命题。 其中（1）、（5）是简单命题，（4）、（6）、（7）、（8）是复合命题。 2．翻译成命题公式 （1）他不会做此事． （2）他去旅游，仅当他有时间． （3）小王或小李都会解这个题． （4）如果你来，他就不回去． （5）没有人去看展览． （6）他们都是学生． （7）他没有去看电影，而是去观看了体育比赛． （8）如果下雨，那么他就会带伞． 解：此题即是教材P.184习题6（A）2
会带伞。 ：如果下雨，那么他就：他会带伞。 ：天下雨。）（。是去观看了体育比赛。：他没有去看电影，而。 ：他去观看了体育比赛：他去看电影。）（：他们都是学生。 ）（：没有人去看展览。 ：有人去看展览。）（去。 ：如果你来，他就不回：他回去。：你来。）（道题。：小王或小李都会解这：小李会解这道题。 ：小王会解这道题。）（时间。 ：他去旅游，仅当他有：他有时间。 ：他去游泳。）（：他不会做此事。：他会做此事。）（Q P Q P Q P Q P P P P Q P Q P Q P Q P Q P Q P P P →∧???→∧→?87654321 3．设P ，Q 的真值为1；R ，S 的真值为0，求命题公式(P ∨Q )∧R ∨S ∧Q 的真值． 解：此题即是教材P.184习题6（A ）4（2） (P ∨Q )真值为1，(P ∨Q )∧R 真值为0，S ∧Q 真值为0， 从而(P ∨Q )∧R ∨S ∧Q 真值为0。 4．试证明如下逻辑公式 （1） ┐（A ∧┐B ）∧（┐B ∨C ）∧┐C ? ┐（A ∨C ） （2） (P →Q )∧(Q →R )∧┐R ??P （此题即是教材P.185习题6（A ）5（1）、（4）） ) 7() () 8()6)(5()7()4)(2()6()4)(3()5()4()3()1() 2()() 1()(), (),(由由由由由证明：结论：前提：T B A T B A T A T B P C P C B T B A P B A B A C C B B A ∨??∧????∨?∨??∧?∨??∨??∧? ) 4)(3() 5()4()2)(1()3() 2() 1(), (),(由由证明：结论：前提：T P P R T R P P R Q P Q P P R R Q Q P ??→→→??→→
数理逻辑期末复习题 1. 符号化：我将去镇上，仅当我有时间。 答：设p：我将去镇上，q：我有时间。命题符号化为：p→q 2. 符号化：他13岁或14岁。 答：设p：他13岁，q：他14岁。命题符号化为：()()p q p q p q ∨ ∧?∨?∧或3. 利用等值演算验证： (())(())(())A B C D C A B D C A B D ∧∧→∧→∨∨?∧?→ 证明： (())(()) (())(()) ()(()[()()] ()[()()] ()[()()] ()[()()] ()() [()][(A B C D C A B D A B C D C A B D A B C D C A B D C D A B A B C D A B B A C D A B B A C D B A A B C D A B C A B D C ∧∧→∧→∨∨??∧∧∨∧?∨∨∨??∨?∨?∨∧?∨∨∨??∨∨?∨?∧∨??∨∨?∧∨?∧??∨∨?∨?∨?∨???∨∨?→∧→??∨∨????∨??∨??∧)][()]A B D C A B D ?∨?∧?→) p 4. 符号化下列命题并完成推理证明。 如果6是偶数，则7不被2整整除；或者5不是质数，或者7被2整除；但5是质数。所以，6是奇数。 解：设p:6是偶数；q：7被2整除；r:5是质数。 命题符号化为： ,,p q r q r →??∨??证明： （1）r P （2） P r q ?∨（3）q T(1)(2)I （4）p q →? P （5）q T(4)E p →?（6）p ? T(4)(5)I 5. 推理证明：(),,A B C D C D A B ∧→??∨??∨?
一、选择题 1、永真式的否定是（2） (1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)--(3)均有可能 2、设P ：2×2=5，Q ：雪是黑的，R ：2×4=8，S ：太阳从东方升起，则下列真命题为(1) (1)R Q P ∧→ (2)S P R ∧→ (3)R Q S ∧→ (4) )()(S Q R P ∧∨∧。 3、设P ：我听课，Q ：我看小说，则命题R “我不能一边听课，一边看小说”的符号化为⑵ ⑴ P Q → ⑵Q P ?→(3) Q P →? ⑷ P Q ?→?()P Q ?∧ 提示：()R P Q P Q ??∧?→? 4、下列表达式错误的有⑷ ⑴()P P Q P ∨∧? ⑵()P P Q P ∧∨? ⑶()P P Q P Q ∨?∧?∨ ⑷()P P Q P Q ∧?∨?∨ 5、下列表达式正确的有⑷ ⑴ P P Q ?∧ ⑵ P Q P ?∨ ⑶ ()Q P Q ???→⑷Q Q P ??→?)( 6、下列联接词运算不可交换的是(3) ⑴∧ ⑵∨ (3)→ ⑷ ? 6、设D ：全总个体域，F （x ）：x 是花，M(x) ：x 是人，H(x,y)：x 喜欢y ，则命题“有的人喜欢所有的花”的逻辑符号化为⑷ ⑴(()(()(,))x M x y F y H x y ?∧?→ ⑵(()(()(,))x M x y F y H x y ?∧?→ (3) (()(()(,))x M x y F y H x y ?∧?→ ⑷(()(()(,))x M x y F y H x y ?∧?→ 7、设L(x)：x 是演员，J(x)：x 是老师，A(x , y)：x 钦佩y ，命题“所有演员都钦佩某些 老 师”的逻辑符号化为⑵ ⑴)),()((y x A x L x →? ⑵))),()(()((y x A y J y x L x ∧?→? (3) )),()()((y x A y J x L y x ∧∧?? ⑷)),()()((y x A y J x L y x →∧?? 8、谓词公式)())()((x Q y yR x P x →?∨?中的 x 是⑶ ⑴自由变元 ⑵约束变元 ⑶既是自由变元又是约束变元 ⑷既不是自由变元又不是约束变元 9、下列表达式错误的有⑴ ⑴(()())()()x A x B x xA x xB x ?∨??∨? ⑵(()())()()x A x B x xA x xB x ?∧??∧? (3) (()())()()x A x B x xA x xB x ?∧??∧? ⑷(()())()()x A x B x xA x xB x ?∨??∨?
离散数学期末测试卷I及答案 第一部分、考试形式和时间 答题时限：120 分钟考试形式：闭卷笔试 第二部分、考试题型和得分构成 一、选择题：对每一道小题,从其4个备选答案中选择最适合的一项,每小题2分,共10 道小题,20分。 二、填空题：每空1分,共5道小题,10个空白处待填,10分。 三、判断题：每一道小题均以陈述语句描述,对的打√,错的打х。每小题1分,共10 道小题,10分。 四、综合题：每小题10分,共6道小题,60分。 第三部分、考试复习范围 一、选择题 1．含n个元素的集合A的幂集的元素个数为多少？ 答案：2n个。 2．数理逻辑的创始人是谁？
答案：莱布里茨。 3．设(R,+,?)是环,它有哪些特性？ 答案：1.(R,+)是阿贝尔群。2.(R,?)是半群。3.?对+可分配。 4．排中律满足哪些性质？ 答案：A ∧ 不成立。（不应同时否认一个命题（A ）及其否定（非A ）） x （F （x ）∨F （x ））对任何个体x 而言,x 有性质F 或没有性质F 。 5．什么是真命题？命题“如果雪是黑的,则1+1=0”是真命题吗？ 答案：真值为真的命题为真命题。命题“如果雪是黑的,则1+1=0”是真命题！ 解析：p:雪是黑的；q:1+1=0;如果雪是黑的,则1+1=0:p →q 。由于p 为假,所以无论的真值如何,“p →q ”的真值都为真。 6. 下列哪个等价公式有错？ A ．P Q Q P →?→； B ．P Q P Q →??∨； C ．P Q Q P →??∨； 答案：A 7. 设G 为4阶有向图,度数列为（3,4,2,3）,若它的入度列为（1,2,2,1）, 则出度列为哪项？ A ．（1,2,1,2）； B ．（2,2,0,2）； C ．（2,1,1,2）． 答案：B 解析：有向图中：度数=出度数+入度数。 8. 设{}{},3,4,S a φ=,则表示空元素属于S 怎样写？ 答案:?∈S 9. 什么是前束范式？下面哪个是前束范式？ A
“离散数学”数理逻辑部分考核试题答案 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━★━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 一、命题逻辑基本知识（5分） 1、将下列命题符号化（总共4题，完成的题号为学号尾数取4的余，完成1题。共2分） （0）小刘既不怕吃苦，又爱钻研。 解：p∧q，其中，P：小刘怕吃苦；q：小刘爱钻研。 （1）只有不怕敌人，才能战胜敌人。 解：q→p，其中，P：怕敌人；q：战胜敌人。 （2）只要别人有困难，老张就帮助别人，除非困难已经解决了。 解：r→(p→p)，其中，P：别人有困难；q：老张帮助别人；r：困难解决了。 （3）小王与小张是亲戚。 解：p，其中，P：小王与小张是亲戚。 2、判断下列公式的类型（总共5题，完成的题号为学号尾数取5的余，完成1题。共1分） （0）A：((p q)((p q) (p q))) r （1）B：(p(q p)) (r q) （2）C：(p r) (q r) （3）E：p(p q r) （4）F：(q r) r 解：用真值表判断，A为重言式，B为矛盾式，C为可满足式，E为重言式，F为矛盾式。 3、判断推理是否正确（总共2题，完成的题号为学号尾数取2的余，完成1题。共2分） （0）设y=2|x|，x为实数。推理如下：如y在x=0处可导，则y在x=0处连续。发现y在x=0处连续，所以，y在x=0处可导。 解：设y=2|x|，x为实数。令P：y在x=0处可导，q：y在x=0处连续。由此，p为假，q为真。本题推理符号化为：(p q) q p。由p、q的真值，计算推理公式真值为假，由此，本题推理不正确。 （1）若2和3都是素数，则6是奇数。2是素数，3也是素数。所以，5或6是奇数。 解：令p:2是素数，q:3是素数，r:5是奇数，s:6是奇数。由此，p=1，q=1，r=1，s=0。本题推理符号化为： ((p q) →s) p q) →(r s)。计算推理公式真值为真，由此，本题推理正确。 二、命题逻辑等值演算（5分） 1、用等值演算法求下列公式的主析取范式或主合取范式（总共3题，完成的题号为学号尾数取3的余，完成1题。共2分） （0）求公式p→((q∧r) ∧(p∨(q∧r)))的主析取范式。 解：p→((q∧r) ∧(p∨(q∧r)))p∨(q∧r∧p) ∨(q∧r∧q∧r) p∨(q∧r∧p) ∨0 (p∧q∧r) ∨ (p∧1∧1) ∨(q∧r∧p) (p∧(q∨q)∧(r∨r)) ∨(q∧r∧p) (p∧(q∨q)∧(r∨r)) ∨m7 (p∧q∧r)∨(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)∨m7 m0∨m1∨m2∨m3∨m7. （1）求公式((p→q)) ∨(q→p)的主合取范式。 解：((p→q)) (q→p) (p→q) (p→q) (p→q) p q M2.
一阶逻辑等值式与置换规则 1．设个体域D={a,b,c}，消去下列各式的量词： (1) x y(F(x)∧G(y)) (2) x y(F(x)∨G(y)) (3) xF(x)→yG(y) (4) x(F(x,y)→yG(y)) 2．设个体域D={1,2}，请给出两种不同的解释I1和I2，使得下面公式在I1下都是真命题，而在I2下都是假命题。 (1) x(F(x)→G(x)) (2) x(F(x)∧G(x)) 3．给定解释I如下： (a) 个体域D={3,4}。 (b) (x)为(3)=4，(4)=3。 (c) (x,y)为(3,3)=(4,4)=0，(3,4)=(4,3)=1。 试求下列公式在I下的真值： (1) x yF(x,y) (2) x yF(x,y) (3) x y(F(x,y)→F(f(x),f(y))) 4．构造下面推理的证明： (1) 前提：x(F(x)→(G(a)∧R(x)))，xF(x)
结论：x(F(x)∧R(x)) (2) 前提：x(F(x)∨G(x))，┐xG(x) 结论：xF(x) (3) 前提：x(F(x)∨G(x))，x(┐G(x)∨┐R(x))，xR(x) 结论：xF(x) 5．证明下面推理： (1) 每个有理数都是实数，有的有理数是整数，因此有的实数是整数。 (2) 有理数、无理数都是实数，虚数不是实数，因此虚数既不是有理数、也不 是无理数。 (3) 不存在能表示成分数的无理数，有理数都能表示成分数，因此有理数都不 是无理数。
答案 1. (1) x y(F(x)∧G(y)) xF(x)∧yG(y) (F(a)∧F(b))∧F(c))∧(G(a)∨G(b)∨G(c)) (2) x y(F(x)∨G(y)) xF(x)∨yG(y) (F(a)∧F(b)∧F(c))∨(G(a)∧G(b)∧G(c)) (3) xF(x)→yG(y) (F(a)∧F(b)∧F(c))→(G(a)∧G(b)∧G(c)) (4) x(F(x,y)→yG(y)) xF(x,y)→yG(y) (F(a,y)∨F(b,y)∨F(c,y))→(G(a)∨G(b)∨G(c)) 2.(1) I1: F(x):x≤2,G(x):x≤3 F(1),F(2),G(1),G(2)均为真，所以 x(F(x)→G(x)) (F(1)→G(1)∧(F(2)→G(2))为真。 I2: F(x)同I1,G(x):x≤0 则F(1),F(2)均为真，而G(1),G(2)均为假， x(F(x)→G(x))为假。 (2)留给读者自己做。 3. (1) x yF(x,y)
暨 南 大 学 考 试 试 卷 一、填空题（共10小题，每小题2分，共20分） 1. 设命题 p ：罗素悖论的真值为假，q ：暨南大学的校训是信敏廉毅，r ：离散数学是计算机科学不可分割的一门基础课程，则复合命题: ()()()()() p q r q p r p ?∧?∨∧???→∨的真值 为 ; 2. 下列各式中为永真式的有： (1) Q Q P P →→∧))(( (2) Q Q P →→)( (3) )(Q P P ∨→ (3) Q Q P P →∨∧?))(( (5) )(Q P Q ∧→
3. A 是个10元集合，B 是个2元集合，则集合A B 中元素的个数为 4. 设M(x)：x 是人，C(x)：x 很聪明，则命题：“尽管有人很聪明，但未必一切人都聪明。”可符号化为： 5. 设R(x)：x 是实数；L(x, y)：x 小于y ，则谓词公式： (()(()(,)))x R x y R y L x y ?→?∧用自然语言表述就是： 6. 设个体域为A={a, b, c}，消去公式()()xP x xQ x ?→?中的量词得到的与之等值的谓词公式为： 7. P(A)表示集合A 的幂集，则((()))P P P ? = 8. ())(B A B B A ?-??= 9. 设D 为同一平面上直线的集合，并且 // 表示两直线的平行关系，⊥表示两直线间的垂直关系，则 20// ＝ ，21⊥＝ 10.设 {}c ,b ,a A =，{} ,,,A R a b b a I =<><>?是A 上的等价关系, 设自然映射,R /A A :g →,那么()=a g 二、简答题（共4小题，每小题6分，共24分） 1.(1)求公式()()?∨?→??P Q P Q 的主析取式（要有过程）；（4分） (2)根据主析取式直接写出该公式的主合取式；（2分）
玛 氏 食 品 ( 中国 ) 有 限 公 司 姓名：武英杰 性别：男 1-25 题均为选择题，只有一个正确答案。答案写在( ) 内 1-6 题根据下列数字规律，选择( )内应填数字： ( B ) 1、 2，9，16，23，30，（ ） A.35 B.37 C.39 D.41 ( C ) 2、 5，11，20，32，（ ） A ．43 B ．45 C ．47 D ．49 ( C )3、 1，2，3，5，（ ），13 A 9 B 11 C 8 D7 ( A )4、 5，7，（ ），19，31，50 A 12 B 13 C 10 D11 ( C )5、 8，4，2，2，（ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 ( C)6、 14，20，29，41，( ) A.45 B.49 C.56 D.72 ( A ) 7、. 15.025.053÷?的值是： A ．1 B ．1.5 C ．1.6 D ．2.0 ( C ) 8、 1994年第二季度全国共卖出汽车297600辆，与上年同期相比增长了 24%。上年同期卖出多少辆汽车?
A．714224 B．226176 C．240000 D．369024 ( D ) 9、甲、乙两地相距42公里，A、B两人分别同时从甲乙两地步行出发， A的步行速度为3公里/小时，B的步行速度为4公里/小时，问A、B步行几小时后相遇？ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 ( A)10、一根绳子长40米，将它对折剪断；再对剪断；第三次对折剪断，此时每根绳子长多少米？ A、5 B、10 C、15 D、20 ( B ) 11、如果一米远栽一棵树，则285米远可栽多少棵树？ A、285 B、286 C、287 D、284 (B ) 12、在一本300页的书中，数字“1”在书中出现了多少次？ A、140 B、160 C、180 D、120 ( D ) 13、自然数A、B、 C、 D的和为90，已知A加上2，B减去2，C乘以 2，D除以2之后所得结果相同，则B等于（） A、26 B、24 C、28 D、22 ( B ) 14、某人工作一年的报酬是18000元和一台全自动洗衣机,他干了7个月, 得到9500和一台全自动洗衣机,问这台洗衣机值多少元? A.8500元 B.2400元 C.2000元 D.1700元 ( B ) 15、橱窗：商品；相当于 A 电影：明星 B 书架：书籍 C 宇宙：星球 D 餐馆：厨师
离散数学集合论部分测试题
离散数学集合论部分综合练习 本课程综合练习共分3次，分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，这3次综合练习基本上是按照考试的题型安排练习题目，目的是通过综合练习，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次是集合论部分的综合练习。 一、单项选择题 1．若集合A={a，b}，B={ a，b，{ a，b }}，则（）． A．A?B，且A∈B B．A∈B，但A?B C．A?B，但A?B D．A?B，且A?B 2．若集合A＝{2，a，{ a }，4}，则下列表述正确的是( )． A．{a，{ a }}∈A B．{ a }?A C．{2}∈A D．?∈A 3．若集合A＝{ a，{a}，{1，2}}，则下列表述正确的是( )． A．{a，{a}}∈A B．{2}?A C．{a}?A D．?∈A 4．若集合A={a，b，{1，2 }}，B={1，2}，则（）． A．B? A，且B∈A B．B∈ A，但B?A C．B ? A，但B?A D．B? A，且B?A 5．设集合A = {1, a }，则P(A) = ( )． A．{{1}, {a}} B．{?,{1}, {a}} C．{?,{1}, {a}, {1, a }} D．{{1}, {a}, {1, a }} 6．若集合A的元素个数为10，则其幂集的元素个数为（）． A．1024 B．10 C．100 D．1 7．集合A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}上的关系R={
北京语言大学网络教育学院 《离散数学》模拟试卷一 注意： 1.试卷保密，考生不得将试卷带出考场或撕页，否则成绩作废。请监考老师负责监督。 2.请各位考生注意考试纪律，考试作弊全部成绩以零分计算。 3.本试卷满分100分，答题时间为90分钟。 4.本试卷分为试题卷和答题卷，所有答案必须答在答题卷上，答在试题卷上不给分。 一、【单项选择题】(本大题共15小题，每小题3分，共45分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在答题卷相应题号处。 1、在由3个元素组成的集合上，可以有 ( ) 种不同的关系。 [A] 3 [B] 8 [C]9 [D]27 2、设{}{}1,2,3,5,8,1,2,5,7A B A B ==-=,则（ ）。 [A] 3,8 [B]{}3 [C]{}8 [D]{}3,8 3、若X 是Y 的子集，则一定有（ ）。 [A]X 不属于Y [B]X ∈Y [C]X 真包含于 Y [D]X∩Y=X 4、下列关系中是等价关系的是（ ）。 [A]不等关系 [B]空关系 [C]全关系 [D]偏序关系 5、对于一个从集合A 到集合B 的映射，下列表述中错误的是（ ）。 [A]对A 的每个元素都要有象 [B] 对A 的每个元素都只有一个象 [C]对B 的每个元素都有原象 [D] 对B 的元素可以有不止一个原象 6、设p:小李努力学习，q:小李取得好成绩，命题“除非小李努力学习，否则他不能取得好成绩”的符号化形式为（ ）。 [A]p→q [B]q→p [C]┐q→┐p [D]┐p→q 7、设A={a,b,c},则A 到A 的双射共有（ ）。 [A]3个 [B]6个 [C]8个 [D]9个
离散数学数理逻辑部分综合练习辅导 一、单项选择题 1．设P ：我将去打球，Q ：我有时间．命题“我将去打球，仅当我有时间时”符号化为( )． A ．P Q → B ．Q P → C ．Q P ? D ．Q P ?∨? 因为语句“仅当我有时间时”是“我将去打球”的必要条件，所以选项B 是正确的． 正确答案：B 一般地，当语句是由“……，仅当……”组成，它的符号化用条件联结词→． 问：如果把“我将去打球”改成“我将去学习”、“我将去旅游”等，会符号化吗？ 2．设命题公式G ：)(R Q P ∧→?，则使公式G 取真值为1的P ，Q ，R 赋值分别是 ( )． A ．0, 0, 0 B ．0, 0, 1 C ．0, 1, 0 D ．1, 0, 0 个人收集整理 勿做商业用途 当P 为真值为1时，P ?的真值为0，无论()Q R ∧的真值是1还是0，命题公式G 的真值为1．所以选项D 是正确的． 正确答案：D 3．命题公式P ∨Q 的合取范式是 ( )． A ．P ∧Q B ．（P ∧Q ）∨（P ∨Q ） C ．P ∨Q D ．?（?P ∧?Q ） 复习合取范式的定义： 定义6.6.2 一个命题公式称为合取范式，当且仅当它具有形式： A 1∧A 2∧…∧A n ， （n ≥1） 其中A 1，A 2，…，A n 均是由命题变元或其否定所组成的析取式． 由此可知，选项B 和D 是错的．又因为P ∧Q 与P ∨Q 不是等价的，选项A 是错的．所以，选项C 是正确的． 正确答案：C 4．命题公式)(Q P →?的析取范式是( )． A ．Q P ?∧ B Q P ∧? C ．Q P ∨? D ．Q P ?∨ 复习析取范式的定义： 定义6.6.3 一个命题公式称为析取范式，当且仅当它具有形式： A 1∨A 2∨…∨A n ， （n ≥1） 其中A 1，A 2，…，A n 均是有命题变元或其否定所组成的合取式． 公式)(Q P →?与Q P ?∧是等价的，Q P ?∧满足析取范式的定义，所以，
1、黑兔、兔和白兔三只兔子在赛跑。黑免说：“我跑得不是最快的，但比白兔快。”请你说说，谁跑得最快？谁跑得最慢？ ()跑得最快，()跑得最慢。 2、三个小朋友比大小。根据下面三句话，请你猜一猜，谁最大？谁最小？ (1)芳芳比阳阳大3岁；(2)燕燕比芳芳小1岁；(3)燕燕比阳阳大2岁。 ()最大，()最小。 3、根据下面三句话，猜一猜三位老师年纪的大小。 (1)王老师说：“我比李老师小。”(2)张老师说：“我比王老师大。” (3)李老师说：“我比张老师小。” 年纪最大的是()，最小的是()。 4、光明幼儿园有三个班。根据下面三句括，请你猜一措，哪一班人数最少？哪一班人数最多？ (1)中班比小班少；(2)中班比大班少；(3)大班比小班多。 ()人数最少，()人数最多。 5、三个同学比身高。甲说：我比乙高；乙说：我比丙矮；丙：说我比甲高。 ()最高，()最矮。 6、四个小朋友比体重。甲比乙重，乙比丙轻，丙比甲重，丁最重。 这四个小朋友的体重顺序是：()＞()＞()＞()。
7、小清、小红、小琳、小强四个人比高矮。 小清说我比小红高；小琳说小强比小红矮；小强说：小琳比我还矮。 请按从高到矮的顺序把名字写出来：()、()、()、()。 8、有四个木盒子。蓝盒子比黄盒子大；蓝盒子比黑盒子小；黑盒子比红盒子小。请按照从大到小的顺度，把盒子排队。 ()盒子，()盒子，()盒子，()盒子。 9、张、黄、李分别是三位小朋友的姓。根据下面三句话，请你猜一猜，三位小朋友各姓什么？ (1)甲不姓张；(2)姓黄的不是丙；(3)甲和乙正在听姓李的小朋友唱歌。 甲姓()，乙姓()，丙姓()。 10、张老师把红、白、蓝各一个气球分别送给三位小朋友。根据下面三句话，请你猜一猜，他们分到的各是什么颜色的气球？ (1)小春说：“我分到的不是蓝气球。” (2)小宇说：“我分到的不是白气球。” (3)小华说：“我看见张老师把蓝气球和红气球分给上面两位小朋友了。” 小春分到()气球。小宇分到()气球。小华分到()气球。 11、甲、乙、丙三个小朋友赛跑。得第一名的不是甲，得第二名的不是丙，乙看见甲和丙都在自己的前面到达了终点。 甲得了第()名，乙得了第()名，丙得了第()名。
离散数学集合论部分综合练习 本课程综合练习共分3次，分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，这3次综合练习基本上是按照考试的题型安排练习题目，目的是通过综合练习，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次是集合论部分的综合练习。 一、单项选择题 1．若集合A={a，b}，B={ a，b，{ a，b }}，则（）． A．A?B，且A∈B B．A∈B，但A?B C．A?B，但A?B D．A?B，且A?B 2．若集合A＝{2，a，{ a }，4}，则下列表述正确的是( )． A．{a，{ a }}∈A B．{ a }?A C．{2}∈A D．?∈A 3．若集合A＝{ a，{a}，{1，2}}，则下列表述正确的是( )． A．{a，{a}}∈A B．{2}?A C．{a}?A D．?∈A 4．若集合A={a，b，{1，2 }}，B={1，2}，则（）． A．B? A，且B∈A B．B∈ A，但B?A C．B ? A，但B?A D．B? A，且B?A 5．设集合A = {1, a }，则P(A) = ( )． A．{{1}, {a}} B．{?,{1}, {a}} C．{?,{1}, {a}, {1, a }} D．{{1}, {a}, {1, a }} 6．若集合A的元素个数为10，则其幂集的元素个数为（）． A．1024 B．10 C．100 D．1 7．集合A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}上的关系R={
北京语言大学网络教育学院 《离散数学》模拟试卷一 注意： 1.试卷保密，考生不得将试卷带出考场或撕页，否则成绩作废。请监考老师负责监督。 2.请各位考生注意考试纪律，考试作弊全部成绩以零分计算。 3.本试卷满分100分，答题时间为90分钟。 4.本试卷分为试题卷和答题卷，所有答案必须答在答题卷上，答在试题卷上不给分。 一、【单项选择题】(本大题共15小题，每小题3分，共45分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在答题卷相应题号处。 1、在由3个元素组成的集合上，可以有 ( ) 种不同的关系。 [A] 3 [B] 8 [C]9 [D]27 2、设{}{}1,2,3,5,8,1,2,5,7A B A B ==-=,则（ ）。 [A] 3,8 [B]{}3 [C]{}8 [D]{}3,8 3、若X 是Y 的子集，则一定有（ ）。 [A]X 不属于Y [B]X ∈Y [C]X 真包含于 Y [D]X∩Y=X 4、下列关系中是等价关系的是（ ）。 [A]不等关系 [B]空关系 [C]全关系 [D]偏序关系 5、对于一个从集合A 到集合B 的映射，下列表述中错误的是（ ）。 [A]对A 的每个元素都要有象 [B] 对A 的每个元素都只有一个象 [C]对B 的每个元素都有原象 [D] 对B 的元素可以有不止一个原象 6、设p:小李努力学习，q:小李取得好成绩，命题“除非小李努力学习，否则他不能取得好成绩”的符号化形式为（ ）。 [A]p→q [B]q→p [C]┐q→┐p [D]┐p→q 7、设A={a,b,c},则A 到A 的双射共有（ ）。 [A]3个 [B]6个 [C]8个 [D]9个
“离散数学”数理逻辑部分考核试题答案 --------------------------- ★----------------------------- 一、命题逻辑基本知识（5分） 1、将下列命题符号化（总共4题，完成的题号为学号尾数取4的余，完成1题。共2分） （0）小刘既不怕吃苦，又爱钻研。 解：—p ∧q ,其中，P :小刘怕吃苦；q :小刘爱钻研。 （1）只有不怕敌人，才能战胜敌人。 解：q→-p ,其中，P :怕敌人；q :战胜敌人。 （2）只要别人有困难，老张就帮助别人，除非困难已经解决了。 解：—r→（P→P）,其中，P:别人有困难；q :老张帮助别人；r:困难解决了。 （3）小王与小张是亲戚。 解：p，其中，P:小王与小张是亲戚。 2、判断下列公式的类型（总共5题，完成的题号为学号尾数取5的余，完成1题。共1分） （0）A ：（-（p^q）_；（（P -q）（.p^q））） r （1）B : （P 一9一；P））（r q） （2）C: （P -r）＞（q r） （3）E : p-;（P q r） （4）F ：—（q-；r） r------------------------------------------------------------------------ 解：用真值表判断，A为重言式，B为矛盾式，C为可满足式，E为重言式，F为矛盾式。 3、判断推理是否正确（总共2题，完成的题号为学号尾数取.2的余，完成1题。共2分） （0）设y=2∣x∣，X为实数。推理如下：如y在x=0处可导，则y在x=0处连续。发现y在x=0处连续，所以，y在x=0处可导。 解：设y=2|x|，X为实数。令P: y在x=0处可导，q：y在x=0处连续。由此，P为假，q为真。本题推理符号化为：（p—；q） q—；P。由P、q的真值，计算推理公式真值为假，由此，本题推理不正确。 （1）若2和3都是素数，则6是奇数。2是素数，3也是素数。所以，5或6是奇数。 解：令P:2是素数，q:3是素数，r:5是奇数，S:6是奇数。由此，p=1，q=1，r=1，S=O。本题推理符号化为：（（P q）→ S） P q）→ （r S）。计算推理公式真值为真，由此，本题推理正确。 二、命题逻辑等值演算(5分) 1、用等值演算法求下列公式的主析取范式或主合取范式(总共3题，完成的题号为学号尾数取3的余，完 成1题。共2分) (0)求公式p→ ((q ∧r) ∧(P ∨(―q ∧-r)))的主析取范式。 解：p→((q ∧r) ∧(P ∨(—q ∧-「)))：= 一p∨(q ∧r∧P) ∨(q ∧r ∧一q ∧—r)二一P ∨(q ∧r∧P) ∨0 二(P ∧q∧r) ∨= (一p∧1 ∧1) ∨(q ∧r∧P) 二(—p ∧(q ∨-q) ∧(r ∨-r)) ∨(q ∧r∧P) U (~p ∧(q ∨-q) ∧(r ∨一r)) ∨m7 二(一P ∧—q ∧ F ∨ (一P ∧—q ∧r) ∨ (一P ∧q ∧_r) ∨ (一P ∧q ∧r) ∨m7 m0 ∨m1 ∨m2 ∨m3 ∨m7. (1)求公式一(一(P → q)) ∨(—q → 一P)的主合取范式。 解：一(一(P → q)) (—q →-p)二(P → q) (P →q) U (P → q)
数理逻辑部分综合练习 一、单项选择题 1．设P：我将去打球，Q：我有时间．命题“我将去打球，仅当我有时间时”符号化为( )．A．P ∨ ? P? Q→B．Q P→C．Q P?D．Q 2．命题公式P∨Q的合取范式是( )． A．P∧Q B．（P∧Q）∨（P∨Q） C．P∨Q D．?（?P∧?Q） 3．命题公式) ?的析取范式是( )． P→ (Q A．Q ?D．Q P∨ P? ∨ P? ?C．Q ∧B Q P∧ 4．下列公式成立的为( )． A．?P∧?Q ?P∨Q B．P→?Q??P→Q C．Q→P? P D．?P∧(P∨Q)?Q 5．下列公式( )为重言式． A．?P∧?Q?P∨Q B．(Q→(P∨Q)) ?(?Q∧(P∨Q)) C．(P→(?Q→P))?(?P→(P→Q)) D．(?P∨(P∧Q)) ?Q 6．设A（x）：x是人，B（x）：x是学生，则命题“不是所有人都是学生”可符号化为（）．A．(?x)(A(x)∧B(x)) B．?(?x)(A(x)∧B(x)) C．?(?x)(A(x)→B(x)) D．?(?x)(A(x)∧?B(x)) 7．设A（x）：x是人，B（x）：x是工人，则命题“有人是工人”可符号化为（）．A．(?x)(A(x)∧B(x)) B．(?x)(A(x)∧B(x)) C．?(?x)(A(x)→B(x)) D．?(?x)(A(x)∧?B(x)) 8．表达式)) ?的辖域是( )． y x z y P Q R ?中x ∨ ∧ ? x? → ( )) ( , ( ) x ( zQ y ) (z ( , A．P(x, y) B．P(x, y)∨Q(z) C．R(x, y) D．P(x, y)∧R(x, y) 9．在谓词公式(?x)(A(x)→B(x)∨C(x，y))中，（）． A．x，y都是约束变元B．x，y都是自由变元 C．x是约束变元，y都是自由变元D．x是自由变元，y都是约束变元 补充题：设个体域为自然数集合，下列公式中是真命题的为( ) A．)1 ? ?y + y x (= x y ? (= ? ?y x x B．)0 C．) y x y x= + ? ? (y 2 y x y x= ? ?D．) ? (x 二、填空题 1．命题公式() →∨的真值是． P Q P 2．设P：他生病了，Q：他出差了．R：我同意他不参加学习.则命题“如果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为． 3．含有三个命题变项P，Q，R的命题公式P∧Q的主析取范式是． 4．设个体域D＝{a, b},那么谓词公式) xA? ∨ x ?消去量词后的等值式 ) yB ( (y 为． 5．设个体域D＝{1, 2, 3}，A(x)为“x小于3”，则谓词公式(?x)A(x) 的真值为．
《离散数学》试题及答案 一、选择或填空 （数理逻辑部分） 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( ) (1)?Q=>Q→P (2)?Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)?P∧(P∨Q)=>?P 答：（1），（4） 2、下列公式中哪些是永真式？( ) (1)(┐P∧Q)→(Q→?R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q) 答：（2），（3），（4） 3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q (4)P∧(P→Q)=>Q (5) ?(P→Q)=>P (6) ?P∧(P∨Q)=>?P 答：（2），（3），（4），（5），（6） 4、公式?x((A(x)?B(y，x))??z C(y，z))?D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。 答：x,y, x,z 5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。( ) (1)北京是中华人民共和国的首都。 (2) 陕西师大是一座工厂。 (3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。 (5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！ 答：（1）是，T （2）是，F （3）不是 （4）是，T （5）不是（6）不是 6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。 答：所有人都不是大学生，有些人不会死
7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校答：（1）P ?（4）Q P→ ? P? Q→ ?（2）Q P? →（3）Q 8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。 (1) ?x?y(x+y=0) (2) ?y?x(x+y=0) 答：（1）对任一整数x存在整数 y满足x+y=0（2）存在整数y对任一整数x满足x+y=0 9、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值： (1) ?x?y (xy=y) ( ) (2) ?x?y(x+y=y) ( ) (3) ?x?y(x+y=x) ( ) (4) ?x?y(y=2x) ( ) 答：（1） F （2） F （3）F （4）T 10、设谓词P(x)：x是奇数，Q(x)：x是偶数，谓词公式?x(P(x)?Q(x))在哪个个体域中为真?( ) (1) 自然数(2) 实数 (3) 复数(4) (1)--(3)均成立 答：（1） 11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（）。 答：2不是偶数且-3不是负数。 12、永真式的否定是（） (1) 永真式(2) 永假式(3) 可满足式(4) (1)--(3)均有可能 答：（2） 13、公式(?P∧Q)∨(?P∧?Q)化简为（），公式 Q→(P∨(P∧Q))可化简为（）。 答：?P ，Q→P 14、谓词公式?x(P(x)??yR(y))→Q(x)中量词?x的辖域是（）。 答：P(x)??yR(y) 15、令R(x):x是实数，Q(x):x是有理数。则命题“并非每个实数都是有理数”的符号化表示为（）。
作业答案：数理逻辑部分 P14：习题一 1、下列句子中，哪些是命题？在是命题的句子中，哪些是简单命题？哪些是真命题？哪些命题的真值现在还不知道？ （3 答：简单命题，真命题。 （9）吸烟请到吸烟室去！ 答：不是命题。 （12）8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。 答：复合命题，假命题。 14、讲下列命题符号化。 （6）王强与刘威都学过法语。 答：:p 王强学过法语；:q 刘威学过法语。 符号化为： p q ∧ （10）除非天下大雨，他就乘班车上班。 答：:p 天下大雨；:q 他乘班车上班。 符号化为： p q → （13）“2或4是素数，这是不对的”是不对的。 答：:p 2是素数；:q 4是素数。 符号化为：(())p q ??∨ 15、设:p 2+3=5. :q 大熊猫产在中国。 :r 太阳从西方升起。 求下列复合命题的真值。 （2）(())r p q p →∧?? （4）()(())p q r p q r ∧∧???∨?→ 解答： p 真值为1；q 真值为1；r 真值为0. （2）p q ∧真值为1；()r p q →∧真值为1；p ?真值为0； 所以(())r p q p →∧??真值为0. （4） p q r ∧∧?真值为1，p q ?∨?真值为0，()p q r ?∨?→真值为1； 所以()(())p q r p q r ∧∧???∨?→真值为1. 19、用真值表判断下列公式的类型。 （4）()()p q q p →→?→?
所以为重言式。 )s 所以为可满足式。 P36:习题二 3、用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出其成真赋值。 （1）()p q q ?∧→ 解答： 所以为永假式。 （2）(())()p p q p r →∨∨→ 解答： 所以因为永真式。 （3）()()p q p r ∨→∧