中考数学几何模型11：阿氏圆最值模型名师点睛拨开云雾开门见山在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P 点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为 圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题． 【模型来源】 “阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k≠1），则满足条件的所有的点P 的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”. 【模型建立】 如图1所示，⊙O 的半径为R ，点A 、B 都在⊙O 外，P 为⊙O 上一动点，已知R=25 OB ，连接PA 、PB ，则当“PA+25PB ”的值最小时，P 点的位置如何确定？
解决办法：如图2，在线段OB 上截取OC 使OC= 25R ，则可说明△BPO 与△PCO 相似，则有25 PB=PC 。故本题求“PA+25PB ”的最小值可以转化为“PA+PC ”的最小值，其中与A 与C 为定点，P 为动点，故当A 、P 、C 三点共线时，“PA+PC ”值最小。 【技巧总结】 计算PA k PB + 的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形 问题：在圆上找一点P 使得PA k PB + 的值最小，解决步骤具体如下： 1.如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP ，OB 2.计算出这两条线段的长度比 OP k OB =3.在OB 上取一点C ，使得OC k OP =，即构造△POM ∽△BOP ，则PC k PB =，PC k PB = 4.则=PA k PB PA PC AC ++≥ ，当A 、P 、C 三点共线时可得最小值
中考数学几何模型：阿氏圆最值模型 名师点睛 拨开云雾 开门见山 在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P 点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题． 【模型来源】 “阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k≠1），则满足条件的所有的点P 的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”. A B P O 【模型建立】 如图 1 所示，⊙O 的半径为R ，点 A 、B 都在⊙O 外 ，P 为⊙O 上一动点，已知R=2 5 OB ， 连接 PA 、PB ，则当“PA+ 2 5 PB ”的值最小时，P 点的位置如何确定？ 解决办法：如图2，在线段 OB 上截取OC 使 OC=25R ，则可说明△BPO 与△PCO 相似，则有2 5 PB=PC 。故本题求“PA+ 2 5 PB ”的最小值可以转化为“PA+PC ”的最小值，其中与A 与C 为定点，P 为动点，故当 A 、P 、C 三点共线时，“PA+PC ”值最小。
【技巧总结】 计算PA k PB +g 的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形 问题：在圆上找一点P 使得PA k PB +g 的值最小，解决步骤具体如下： 1. 如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP ，OB 2. 计算出这两条线段的长度比 OP k OB = 3. 在OB 上取一点C ，使得OC k OP =，即构造△POM ∽△BOP ，则PC k PB =，PC k PB =g 4. 则=PA k PB PA PC AC ++≥g ，当A 、P 、C 三点共线时可得最小值
圆的知识专项练习 一、填空：（28分） 1、圆规两脚间的距离是3厘米，画出的圆的周长是（ ）厘米，面积是（ ）平方厘米。 2、圆的周长9.42分米，它的直径是（ ）分米，面积是（ ）平方分米。 3、将一个直径8厘米的圆形纸片沿直径对折后，得到一个半圆，这个半圆的周长是（ ）厘米，面积是（ ）平方厘米。 4、小圆半径是大圆半径的3 1，小圆与大圆的周长比是（ ），面积比是（ ）。 5、甲乙两圆的周长比是2：3，其中一个圆的面积是18，另一个圆的面积可能是（ ），也可能是（ ）。 6、正三角形有（ ）条对称轴，正方形有（ ）条对称轴，正五边形有（ ）条对称轴，由此推算，正n 边形估计有（ ）条对称轴。 二、连线题：（10分） 半径 直径 周长 面积 ∏d 2r 2∏r ∏r 2 C ÷∏ C ÷2∏ 三、判断：（12分） 1、半径不仅决定圆面积的大小，而且还决定圆周长的长短。 …（ ） 2、等腰三角形、等腰梯形都是轴对称图形。…………………（ ） 3、任何圆的面积总是它的半径的∏倍。…………………（ ） 4、圆的半径扩大2倍，直径就扩大4倍。………………………（ ） 四、选择：（12分） 1、计算圆的面积，可以选择下面哪种方法（ ）。
A、S＝∏r2 B、S＝∏（d÷2）2 C、S＝∏（C÷2∏）2 D、前三种都可以 2、下面的图形只有两条对称轴的是（）。 A、长方形 B、正方形 C、等边三角形 D、圆 3、在一个长5厘米、宽3厘米的长方形中画一个最大的圆，它的半径是（）。 A、5厘米 B、3厘米 C、2.5厘米 D、1.5厘米 4、一个直径1厘米的圆与一个边长1厘米的正方形相比，它们的面积（）。 A、圆的面积大 B、正方形的面积大 C、一样大 D、无法比较 五、解决问题：（24分） 1、一个圆形粮仓，底面半径4米，这个粮仓的占地面积是多少平 方米？ 2、做一个直径1.2米的圆桌面，至少需要多少平方米的木板？如果每平方米木板价格100元，做这个圆桌面至少需要多少元？（得数保留一位小数）
圆的专项训练答案 一、选择题 1．如图，将△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C′，已知AC=6，BC=4，则线段AB扫过的图形面积为（） A．3 2 π B． 8 3 π C．6πD．以上答案都不对 【答案】D 【解析】 【分析】 从图中可以看出，线段AB扫过的图形面积为一个环形，环形中的大圆半径是AC，小圆半径是BC，圆心角是60度，所以阴影面积=大扇形面积-小扇形面积． 【详解】 阴影面积= () 60361610 3603 π?- =π． 故选D． 【点睛】 本题的关键是理解出，线段AB扫过的图形面积为一个环形． 2．从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（） A．B． C．D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据圆周角定理（直径所对的圆周角是直角）求解，即可求得答案． 【详解】 ∵直径所对的圆周角等于直角，∴从直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是B． 故选B．
【点睛】 本题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用． 3．如图，⊙O 中，弦BC 与半径OA 相交于点D ，连接AB ，OC ，若∠A=60°，∠ADC=85°，则∠C 的度数是（ ） A ．25° B ．27.5° C ．30° D ．35° 【答案】D 【解析】 分析：直接利用三角形外角的性质以及邻补角的关系得出∠B 以及∠ODC 度数，再利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出答案． 详解：∵∠A=60°，∠ADC=85°， ∴∠B=85°-60°=25°，∠CDO=95°， ∴∠AOC=2∠B=50°， ∴∠C=180°-95°-50°=35° 故选D ． 点睛：此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理等知识，正确得出∠AOC 度数是解题关键． 4．用一个直径为10cm 的玻璃球和一个圆锥形的牛皮纸纸帽制作一个不倒翁玩具，不倒翁轴截面如图所示，圆锥的母线AB 与O e 相切于点B ，不倒翁的顶点A 到桌面L 的最大距离是18cm .若将圆锥形纸帽表面全涂上颜色，则涂色部分的面积为（ ） A ．260cm π B ．260013cm π C ．272013cm π D ．272cm π 【答案】C 【解析】 【分析】 连接OB ，如图，利用切线的性质得OB AB ⊥，在Rt AOB ?中利用勾股定理得12AB =，利用面积法求得6013 BH =，然后利用圆锥的侧面展开图为扇形和扇形的面积公
最值系列之阿氏圆问题 所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆． 如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k≠1），则满足条件的所有的点P 构成的图形为圆． 下给出证明 法一：首先了解两个定理 （1）角平分线定理：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，则 AB DB AC DC = ． F E D C B A 证明： ABD ACD S BD S CD = ，ABD ACD S AB DE AB S AC DF AC ?= =?，即AB DB AC DC = （2）外角平分线定理：如图，在△ABC 中，外角CAE 的角平分线AD 交BC 的延长线于点D ，则 AB DB AC DC = ． A B C D E 证明：在BA 延长线上取点E 使得AE=AC ，连接BD ，则△ACD ≌△AED （SAS ），CD=ED 且AD 平分∠BDE ，则DB AB DE AE =，即AB DB AC DC = ． 接下来开始证明步骤：
如图，PA ：PB=k ，作∠APB 的角平分线交AB 于M 点，根据角平分线定理，MA PA k MB PB ==，故M 点为定点，即∠APB 的角平分线交AB 于定点； 作∠APB 外角平分线交直线AB 于N 点，根据外角平分线定理，NA PA k NB PB ==，故N 点为定点，即∠APB 外角平分线交直线AB 于定点； 又∠MPN=90°，定边对定角，故P 点轨迹是以MN 为直径的圆． 法二：建系 不妨将点A 、B 两点置于x 轴上且关于原点对称，设A （-m ，0），则B （m ，0），设 P （x ，y ），PA=kPB ，即： ()()()()()()22 2222 2 2222222 2 22 12210 2201 x m y k x m k y k x y m k m x k m m k m x y x m k ++=-+-+-++-=++-+=- 解析式满足圆的一般方程，故P 点所构成的图形是圆，且圆心与AB 共线． 那么这个玩意和最值有什么关系呢？且来先看个例子： 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分别交 AC 、BC 于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则1 2 PA PB +的最小值为__________．
班级_____________________ 姓名____________________ 考场号____________ 考号___________ ----------------------------------------------------密--------------------------------封--------------------------------线------------------------------------------------ 一、计算题需要更多中考组卷试题请联系qq122002919 注明 组卷 1. 在O ⊙中，60ACB BDC ∠=∠=° ，AC =． （1）求BAC ∠的度数； （2）求O ⊙的周长． 二、证明题 2. 已知：如图，AB 是⊙O 的直径，AD 是弦，OC 垂直AD 于F 交⊙O 于E ，连结DE 、BE ，且∠C =∠BED ． （1）求证：AC 是⊙O 的切线； （2）若OA =10，AD =16，求AC 的长． 3. 如图，A 、P 、B 、C 是⊙O 上的四点，∠APC =∠BPC = 60?， AB 与PC 交于Q 点． （1）判断△ABC 的形状，并证明你的结论； （2）求证：QB AQ PB AP =； （3）若∠ABP = 15?，△ABC 的面积为43，求PC 的长． 4. 如图，半圆的直径10AB =，点C 在半圆上，6BC =． （1）求弦AC 的长； （2）若P 为AB 的中点，PE AB ⊥交AC 于点E ，求PE 的长． 5. 如图，PA 为O ⊙的切线，A 为切点．直线PO 与O ⊙交于B C 、两点，30P ∠=°，连接AO AB AC 、、．求证：ACB APO △≌△． 6. 如图，⊙O 的直径AB =4，C 为圆周上一点，AC =2，过点C 作⊙O 的切线l ，过点B 作l 的垂线BD ，垂足为D ，BD 与⊙O 交于点 E ． (1) 求∠AEC 的度数； （2）求证：四边形OBEC 是菱形． 7. 已知，如图，AB 是O 的直径，CA 与O 相切于点A ．连接CO 交O 于点D ， CO 的延长线交O 于点E ．连接BE 、BD ，30ABD =?∠，求EBO ∠和C ∠的度数． C E D A F O B P B C E A A O B P C A C D E B O l
中考数学几何模型11：阿氏圆最值模型 名师点睛拨开云雾开门见山在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题． 【模型来源】 “阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”. B P O
【模型建立】 如图1 所示，⊙O 的半径为R，点A、B 都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知R=2 5 OB， 连接PA、PB，则当“PA+2 5 PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？ 解决办法：如图2，在线段OB 上截取OC使OC=2 5 R，则可说明△BPO与△PCO相似，则有 2 5 PB=PC。 故本题求“PA+2 5 PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当A、 P、C 三点共线时，“PA+PC”值最小。 【技巧总结】 计算PA k PB +g的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形 问题：在圆上找一点P使得PA k PB +g的值最小，解决步骤具体如下： 1.如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP，OB
2. 计算出这两条线段的长度比 OP k OB = 3. 在OB 上取一点C ，使得OC k OP =，即构造△POM ∽△BOP ，则PC k PB =，PC k PB =g 4. 则=PA k PB PA PC AC ++≥g ，当A 、P 、C 三点共线时可得最小值 典题探究 启迪思维 探究重点 例题1. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分别交AC 、BC 于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则1 2 PA PB +的最小值为__________． E A B C D P 【分析】这个问题最大的难点在于转化1 2 PA ，此处P 点轨迹是圆，注意到圆C 半径为2，CA=4，
坚定信念 成功属于你 第1页（共2页） 圆基本功专项训练 一、选择题 1．⊙O 1的半径为3厘米，⊙O 2的半径为2厘米，圆心距O 1O 2＝5厘米，这两圆的位置关系是( ) A ．内含；B ．内切；C ．相交；D ．外切； 2．已知⊙O 1与⊙O 2的半径分别为6cm 、11cm ，当两圆相切时，其圆心距d 的值为( ) A ．0cm ；B ．5cm ；C ．17cm ；D ．5cm 或17cm ； 3．如图，在平面直角坐标系中，过格点A ，B ，C 作一圆弧，点B 与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是( ) A ．点(0，3)； B ．点(2，3)； C ．点(5，1)； D ．点(6，1)； 4．如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1 ，则直线y x =O 的位置关系是( ) A ．相离；B ．相切；C ．相交；D ．以上三种情况都有可能； 5．如图，四边形ABCD 是圆内接四边形，E 是BC 延长线上一点，若∠BAD ＝105°，则∠DCE 的大小是( ) A ．115° B ．105° C ．100° D ．95° 6．已知两圆相外切，连心线长度是10厘米，其中一圆的半径为6厘米，则另一圆的半径 是( ) A ．16厘米； B ．10厘米； C ．6厘米； D ．4厘米； 8．如图，⊙C 过原点，且与两坐标轴分别交于点A ．点B ，点A 的坐标为(0，3)，M 是第三象限内OB 上一点，∠BM 0＝120o ，则⊙C 的半径长为( ) A ．6；B ．5；C ．3；D ．； 9．已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为2cm 和5cm ，两圆的圆心距是3.5cm ，则两圆的位置关系是( ) A ．内含 B ．外离 C ．内切 D ．相交 10．已知⊙O 1与⊙O 2的直径分别是4cm 和6cm ，O 1O 2＝5cm ，则两圆的位置关系是( ) A ．外离 B ．外切 C ．相交 D ．内切 二、填空题 11．如图，AO 、BO 是互相垂直的半径，已知∠C ＝36°，则弧BD 的度数为_____，∠DOB 的度数为 _______． 12．如图，在△ABC 中，BC ＝3cm ，∠BAC ＝60°，那么△ABC 能被半径至少为____________cm 的圆形纸片所覆盖． 13．如图，点B ，A ，C ，D 在⊙O 上，OA ⊥BC ，∠AOB ＝50°，则∠ADC ＝____________°． 14．如图，在⊙O 中，AB ，AC 是互相垂直的两条弦，OD ⊥AB 于点D ，OE ⊥AC 于点E ，且AB ＝8cm ，AC ＝6cm ，那么⊙O 的半径OA 长为____________． 15．如图，圆周角∠BAC ＝55°，分别过B ，C 两点作⊙O 的切线，两切线相交与点P ，则∠BPC ＝____________°． 16．半径分别为3cm 和4cm 的两圆内切，这两圆的圆心距为____________cm ． A B C E D B
专题：阿氏圆与线段和最值问题 以阿氏圆(阿波罗尼斯圆)为背景的几何问题近年来在中考数学中经常出现，对于此类问题的归纳和剖析显得非常重要. 具体内容如下： 阿氏圆定理(全称：阿波罗尼斯圆定理)，具体的描述：一动点P 到两定点A 、 B 的距离之比等于定比n m (≠1)，则P 点的轨迹，是以定比n m 内分和外分定线段 AB 的两个分点的连线为直径的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，该圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆． 定理读起来和理解起来比较枯燥，阿氏圆题型也就是大家经常见到的PA+kPB ，(k ≠1)P 点的运动轨迹是圆或者圆弧的题型. PA+kPB,(k ≠1)P 点的运动轨迹是圆或圆弧的题型 阿氏圆基本解法：构造母子三角形相似 例题1、问题提出：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝4，CA ＝6，⊙C 半径为2，P 为圆上一动点，连结AP 、BP ，求AP +BP 的最小值． （1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP ，在CB 上取点D ，使CD ＝1，则有 ＝ ＝，又∵∠PCD ＝∠BCP ，∴△PCD ∽△BCP ．∴ ＝，∴PD ＝BP ，∴AP +BP ＝AP +PD ． 请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP +BP 的最小值为 ． （2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，AP +BP 的最小值为 ． （3）拓展延伸：已知扇形COD 中，∠COD ＝90°，OC ＝6，OA ＝3，OB ＝5，点P 是上一点，求2P A +PB 的最小值． 【分析】（1）利用勾股定理即可求出，最小值为AD ＝ ；
初中数学圆专题训练（一） （一）选择题 1．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有 （ ） （A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个 2．下列判断中正确的是 （ ） （A ）平分弦的直线垂直于弦 （B ）平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧 （C ）弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧 （D ）平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦 3．如图，在两半径不同的同心圆中，∠AOB ＝∠A ′OB ′＝60°，则 （ ） （A ）＝ （B ） ＞ （C ）的度数＝的度数 （D ） 的长度＝ 的长度 4．如图，已知⊙O 的弦AB 、CD 相交于点E ，的度数为60°， 的度数为100°，则∠AEC 等于 （ ） （A ）60° （B ）100° （C ）80° （D ）130° 5．圆内接四边形ABCD 中，∠A 、∠B 、∠C 的度数比是2︰3︰6，则∠D 的度数是（ ） （A ）67.5° （B ）135° （C ）112.5° （D ）110° 6．OA 平分∠BOC ，P 是OA 上任一点，C 不与点O 重合，且以P 为圆心的圆与OC 相离，那么圆P 与OB 的位置关系是 （ ） （A ）相离 （B ）相切 （C ）相交 （D ）不确定 7．△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，它的内切圆的半径为r ，则△ABC 的面积为（ ） （A ） 21（a ＋b ＋c ）r （B ）2（a ＋b ＋c ） （C ）3 1 （a ＋b ＋c ）r （D ）（a ＋b ＋c ）r 8．如图，已知四边形ABCD 为圆内接四边形，AD 为圆的直径，直线MN 切圆于点B ，DC 的延长线交MN 于G ，且cos ∠ABM ＝ 2 3 ，则tan ∠BCG 的值为……（ ） （A ） 33 （B ）2 3 （C ）1 （D ） 3 9．在⊙O 中，弦AB 和CD 相交于点P ，若PA ＝3，PB ＝4，CD ＝9，则以PC 、PD 的长为根的一元二次方程为 （ ） （A ）x 2 ＋9 x ＋12＝0 （B ）x 2 －9 x ＋12＝0 （C ）x 2 ＋7 x ＋9＝0 （D ）x 2 －7 x ＋9＝0 10．已知半径分别为r 和2 r 的两圆相交，则这两圆的圆心距d 的取值范围是 （ ） （A ）0＜d ＜3 r （B ）r ＜d ＜3 r （C ）r ≤d ＜3 r （D ）r ≤d ≤3 r 11.两圆半径分别为2和3，两圆相切则圆心距一定为 （ ） （A ）1cm （B ）5cm （C ）1cm 或6cm （D ）1cm 或5cm 12.弦切角的度数是30°，则所夹弧所对的圆心角的度数是 （ ） （A ）30° （B ）15° （C ）60° （D ）45° 13.在两圆中，分别各有一弦，若它们的弦心距相等，则这两弦 （ ） （A ）相等 （B ）不相等 （C ）大小不能确定 （D ）由圆的大小确定 14. ∠PAD= （ ） A.10° B.15° C.30° D.25°
“PA+k·PB”型的最值问题 【问题背景】 “PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。 而当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。 此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。即点P在直线上运动和点P在圆上运动。 其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题； 点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。 本文将分别从这两类入手与大家共同探究线段最值问题的解决方案。 【知识储备】 线段最值问题常用原理： ①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； ②两点间线段最短； ③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；
【模型初探】 （一）点P在直线上运动“胡不归”问题 如图1-1-1所示，已知sin∠MBN=k,点P为角∠MBN其中一边BM上的一个动点，点A在射线BM、BN的同侧，连接AP,则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定? 分析：本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，过点P作PQ⊥BN垂足为Q，则k·PB=PB·sin∠MBN=PQ, ∴本题求“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PQ”的最小值(如图1-1-2)，即A、P、Q三点共线时最小（如图1-1-3），本题得解。 图1-1-1 图1-1-2 图1-1-3 动态展示：见GIF格式！ 思考：当k值大于1时，“PA+k·PB”线段求和问题该如何转化呢？ 提取系数k即可哦！！！
。△COD(1)求证：△APC~中考专题训练——圆综合部分。的代数式表示y(2)设AP=x，OD=y，试用含x ACD是一个等边三角形。DE例1．AB为圆的直径，AD为∠BAC的平分线，⊥AC。(3)试探究x为何值时，△ 的切线。（1）求证：DE是圆O AFAC3?，求的值。若2（）DFAB5 例2．已知：Rt△ABC，AC为直径，，且的圆5、如图，在半径为4O中，AB、CD是两条直径，M为0B的中点，CM的延长线交圆O于点EEM>MC，OE∥AB， （1）求证：DE是圆O的切线。 15；连结DE，DE=（2）若圆O的半径为3，ED=4，求△ADF的面积。 MC (1)求证：AM·MB=EM·的长(2)求EM ∠EOB的值sin(3)求 例3．已知：等腰△ABC中，AC=BC=10，AB=12，BC为直径，DF⊥AC。 （1）求证：EF是圆O的切线。 （2）求sin AB的另一半圆弧上，弦CD∠E。 AB O6、如图，AB为圆的一条直径，D为弧的中点，点C在直径 BAC交∠的角 平分线于 O。2 0 (1)求证：①DA=DO；②D=OA：1（一）圆的有关性质 并给予M+OAMQM过(2)0作⊥AB于，试探究线段O与CD之间是否存在确定的数量关系?1、如图，
已知圆O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E点，过C点作CG∥AD，交AB的延长11证明。线于点G连OD，且OD恰好平分∠ADC。 (1)试问：CG是圆O的切线吗?请说明理由。 (2)请证明：E是OB的中点： （二）圆与全等三角形的长。，求CD (3)若AB=81、如图，圆O是Rt△ABC的外接圆，AB为直径，∠ABC=30°，CD是圆O的切线，DF⊥AB于F，交AC的延长线于 E。 (1)判断△DCE的形状； 3?1?OF，求证：△DCE≌△设圆(2)O的半径为1，且OCB。22 PA内接于圆、2如图，△ABCO，过点的直线交圆O于点，交BCAD。AB=AP·的延长线于点D，AB=AC (1)求证： 的长。AC的中点，求线段AD为弧的半径为如果∠(2)ABC=60°，圆Ol，且P 2、如图，在圆O中，∠BAC=120°，弦PA平分∠BAC。中，∠、如图，在3Rt△ABCABC=90于OE。的延长线交圆三点，、、经过是°，DAC的中点，圆OABDCB (1)求证：△PBC为正三角形；；AE=CE(1)求证： AB?AC相切于点与圆(2)EFOE。求圆，若的延长线于点ACFCD=CF=2cmO的直径。，交的值。 (2)求PA —AB，求AD=2，CAB∠CAN=的延长线上，且∠MA在弦N，CE⊥AB、如图，已知：弦3 的值。AM 、点、如图，已知圆4OP，A(上一动点O为圆A与点相切于点O与圆m，直线AB=2的直径。D相交于点m的切线与直线C，过点C相交于点O的延长线与圆PO，)不重合B． PD 的值。 CD=4，求(2)若PN=3AN，DM 求线段的长度 1、如图，直线MN交00于A、B两点，AC是直径。AD平分∠CAM，交00于D，过D作DE⊥MN于E点。 (1)求证：DE是圆O的切线
圆的专题训练初中数学组卷 一．选择题（共15小题） 1．如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°，⊙O的半径为5cm，则圆心O 到弦CD的距离为（） A．cm B．3cm C．3cm D．6cm 3．如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∠ABD=60°，CD=2，则阴影部分的面积为（） A．B．πC．2πD．4π 4．如图，已知AB是⊙O的直径，∠D=40°，则∠CAB的度数为（） A．20° B．40° C．50° D．70° 5．如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan ∠OBC为（）
A．B．2 C．D． 6．如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，∠BCD=30°，CD=4，则S阴影=（） A．2πB．π C．π D．π 7．如图，⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A=45°，∠AMD=75°，则∠B的度数是（） A．15° B．25° C．30° D．75° 8．如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=36°，∠C=28°，则∠B=（） A．100°B．72° C．64° D．36° 9．如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴相切，与y轴相交于A（0，2），B（0，8），则圆心P的坐标是（）
A．（5，3）B．（5，4）C．（3，5）D．（4，5） 10．如图，正方形ABCD的边AB=1，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（） A．B．1﹣C．﹣1 D．1﹣ 11．如图，△ABC接于半径为5的⊙O，圆心O到弦BC的距离等于3，则∠A的正切值等于（） A．B．C．D． 12．如图所示，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2cm，⊙A与BC相切于点D，阴影部分的面 积为（） A．B．C．D． 13．如图，某工件形状如图所示，等腰Rt△ABC中斜边AB=4，点O是AB的中点，以O为圆心的圆分别与两腰相切于点D、E，则图中阴影部分的面积是（） A．B．C．D．2﹣π 14．若圆锥经过轴的截面是一个正三角形，则它的侧面积与底面积之比是（） A．3：2 B．3：1 C．5：3 D．2：1
中考压轴题突破：几何最值问题大全（将军饮马、造桥选址、胡不归、阿波罗尼斯圆等） 一、基本图形 最值问题在几何图形中分两大类： ①[定点到定点]：两点之间，线段最短； ②[定点到定线]：点线之间，垂线段最短。 由此派生：③[定点到定点]：三角形两边之和大于第三边； ④[定线到定线]：平行线之间，垂线段最短； ⑤[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）； ⑥[定线到定圆]：线圆之间，心垂线截距最短； ⑦[定圆到定圆]：圆圆之间，连心线截距最短（长）。 举例证明：[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）。 已知⊙O半径为r，AO=d，P是⊙O上一点，求AP的最大值和最小值。 证明：由“两点之间，线段最短”得AP≤AO+PO，AO≤AP+PO，得d-r≤AP ≤d+r，AP最小时点P在B处，最大时点P在C处。即过圆心和定点的直线截得的线段AB、AC分别最小、最大值。(可用“三角形两边之和大于第三边”，其实质也是由“两点之间，线段最短”推得）。
上面几种是解决相关问题的基本图形，所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的。 二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式，如圆与线这些图形不是直接给出，而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。 类型分三种情况：（1）直接包含基本图形；（2）动点路径待确定；（3）动线（定点）位置需变换。 （一）直接包含基本图形 例1.在⊙O中，圆的半径为6，∠B=30°，AC是⊙O的切线，则CD的最小值是。 简析：由∠B=30°知弧AD一定，所以D是定点，C是直线AC上的动点，即为求定点D到定线AC的最短路径，求得当CD⊥AC时最短为3。 （二）动点路径待确定 例2.，如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是。 简析：A是定点，B'是动点，但题中未明确告知B'点的运动路径，所以需先确定B'点运动路径是什么图形，一般有直线与圆两类。此题中B'的路径是以C为圆心，BC为半径的圆弧，从而转化为定点到定圆的最短路径为AC-B'C=1。
圆专项训练（7小专题） 【一、圆中等腰模型】 小口决：圆中等腰扭小腰，中点连接平行好，三线合一别忘掉 38．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点M，交BC于点N，连接AN，过点C的切线交AB的延长线于点P． （1）求证：∠BCP=∠BAN （2）求证： =． 第1页（共18页）
40．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CM． （1）求证：∠ACM=∠ABC； （2）延长BC到D，使BC=CD，连接AD与CM交于点E，若⊙O的半径为3，ED=2，求△ACE的外接圆的半径． 第2页（共18页）
34．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E． （1）求证：∠BCA=∠BAD； （2）求DE的长； （3）求证：BE是⊙O的切线． 第3页（共18页）
第4页（共18页） 【二、 圆中斜A 模型】 看见以下模型就是啦： A B C D A B C D E
7．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB． （1）求证：PC是⊙O的切线； （2）求证：BC=AB； 是的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN?MC的值． （3）点M 第5页（共18页）
15．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE． （1）求证：直线DF与⊙O相切； （2）若AE=7，BC=6，求AC的长． 第6页（共18页）
2020中考数学线段最值问题之阿波罗尼斯圆(阿氏圆) 【知识背景】 阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里德齐名,被称为亚历山大时期数学三巨匠。阿波罗尼斯对圆锥曲线有深刻而系统的研究,其主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是其研究成果之一，本文主要讲述阿波罗尼斯圆在线段最值中的应用，下文中阿波罗尼斯圆简称为“阿氏圆”。 【定 义】 阿氏圆是指：平面上的一个动点P 到两个定点A ，B 的距离的比值等于k ，且k≠1的点P 的轨迹称之为阿氏圆。即： )1(≠=k k PB PA ，如下图所示： 上图为用几何画板画出的动点P 的轨迹，分别是由图中红色和蓝色两部分组成的的圆，由于是静态文档的形式，无法展示动图，有兴趣的可以用几何画板试一试。 【几何证明】 证明方法一：初中纯几何知识证明：阿氏圆在高中数学阶段可以建立直角坐标系，用解析几何的方式来确定其方程。但在初中阶段，限于知识的局限性，我们可以采用纯几何的证明方式，在证明前需要先明白角平分线定理及其逆定理，请看下文： 知识点1：内角平分线定理及逆定理
若AD 是∠BAC 的角平分线，则有： CD BD AC AB = 。即“两腰之比”等于“两底边之比”。 其逆定理也成立：即CD BD AC AB = ，则有：AD 是∠BAC 的角平分线。 知识点2：外角平分线定理及其逆定理 若AD 是△ABC 外角∠EAC 的角平分线，则有 CD BD AC AB = 。即“两腰之比”等于“两底边之比”。 其逆定理也成立：即CD BD AC AB = ，则有：AD 是外角∠EAC 的角平分线。 【阿氏圆的证明】 有了上述两个知识储备后，我们开始着手证明阿氏圆。
08-圆有关的证明题专项练习 1、如图，△ABC 内接于⊙O ，AD 是的边BC 上的高，AE 是⊙O 的直径，连BE. （1）求证：△ABE ∽△ADC ； （2）若AB=2BE=4DC=8，求△ADC 的面积. 2、如图，AE 是△ABC 外接圆⊙O 的直径，AD 是△ABC 的边BC 上的高， EF ⊥BC ，F 为垂足。 （1）求证：BF=CD （2）若CD=1，AD=3，BD=6，求⊙O 的直径。 5、如图，AB 是⊙O 的直径，D 是AB 上一点，D 是弧BC 的中点，AD 、BC 交于点E ，CF ⊥AB 于F ，CF 交AD 于G 。 （1）求证：AD =2CF ； （2）若AD=34，BC =62，求⊙O 的半径 6、如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点H ，E 为AB 延长线上一点，CE 交⊙O 于F 。
（1）求证：BF平分∠DFE； （2）若EF=DF=4，BE=5，CH=3，求⊙O的半径 7、如图，Rt△ABC内接于⊙O，D为弧AC的中点， DH⊥AB于点H，延长BC、HD交于点E。 （1）求证：AC=2DH； （2）连接AE，若DH=2，BC=3，求tan∠AEB的值 8、在Rt△ABC中，∠ACB=90o，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点F． （1）求证：BD=BF； S。 （2）若BC=6，AD=4，求ECF 9、如图，⊙O中，直径DE⊥弦AB于H点，C为圆上一动点，
AC与DE相交于点F。 (1)求证△AOG∽△FAO。 S。(2)若OA=4，OF=8，H点为OD的中点，求 CGF 10、如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于AB的中点E， 连接AD并延长至F点，使DF=AD,连接BC、BF。（1）、求证：△CBE∽△AFB。 （2）、若∠C=30o，∠CEB=45o1, S. 求ABF 11、如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，D为弧AC 的中点，连接BD，交AC于G,过D作DE⊥AB于E点， 交⊙O于H点，交AC于F点。 （1）、求证:FD=FG S。 (2)、若AF·FC=32,ED=6，求ADF
填空题： １、圆是平面上的一种（）图形，围成圆的（曲线）的长叫做圆的周长。在大大小小的圆中，它们的周长总是各自圆直径的（）倍多一些，我们把这个固定的数叫做（），用字母（）表示，它是一个（）小数，在（）和（）之间，在计算时，一般只取它的近似值（）。 2、一个圆的直径扩大2倍，它的半径扩大（）倍，它的周长扩大（）倍。 3、两个圆的半径的比是2:3，它们直径的比是（），周长的比是（）。 4、一个圆形花坛的半径2.25米，直径是（）米，周长（）米。 5、一个圆的直径扩大4倍，半径扩大（）倍，周长扩大（）倍。 6、画一个周长12.56厘米的圆，圆规两脚间的距离是（）厘米。 7、在一长6厘米，宽4厘米的长方形纸片上画一个最大的圆，这个圆的半径是（）厘米；如果画一个最大的半圆，这个圆的半径是（）厘米。 8、（圆所占平面的大小）叫做圆的面积。把圆沿着它的半径r分成若干等份，剪开后可以拼成一个近似的（），这个图形的长相当于圆周长的（），用字母表示是（）；宽相当于圆的（），用字母表示是（）。所以圆的面积S＝( )×( ) ＝( )。 9、一个圆的半径2厘米，它的周长是（）；面积是（）。 10、一个圆的直径6米，半径（），周长（），面积（）。 11、在长6分米，宽4分米的长方形中画一个最大的圆，圆的面积（）。 12、两个圆周长的比是2:3，直径的比是（）；半径的比是（）；面积的比是（）。 13、用12.56米的铁丝围成一个正方形，正方形面积是（），如果把它围成一个圆，圆的面积是（）。 14、圆的半径扩大5倍，直径扩大（）倍；周长扩大（）倍；面积扩大（）倍。 15、小圆半径2厘米，大圆半径6厘米，小于半径是大圆半径的（），小于直径是大圆直径的（），小于周长是大圆周长的（），小于面积是大圆面积的（）， 16、用圆规画一个周长50.24厘米的圆，圆规两脚之间的距离是（）厘米，所画的圆的面积是（）平方厘米。 17、圆的半径扩大3倍，直径扩大（）倍，周长扩大（）倍；面积扩大（）倍。 18、一根铁丝正好围成一个直径2米的圆，这根铁丝长（）米；如果改围成一个正方形，正方形的边长是（）米，面积是（）平方米。 19、小圆半径6厘米，大圆半径8厘米。大圆和小圆半径的比是（）；直径的比是（）；周长的比是（）；面积的比是（）。 20、用一根长4米的绳子画一个最大的圆，这个圆的半径（）米，周长（）米，面积（）平方米。 21、圆是平面的一种（）图形，它有（）条对称轴。 22、圆规两脚间距离5厘米，画出圆的周长（）厘米，面积（）平方厘米。 23、在一长40厘米宽30厘米的长方形纸上剪一个最大的圆，圆的半径（）厘米，周长（）厘米，面积（）平方厘米。 24、一个圆的半径扩大4倍，它的周长扩大（）倍；面积扩大（）倍。 25、在同一个圆中，所有的（）都相等；所有的（）都相等。它俩之间的关系可以用（）表示；也可以用（）表示。 26、圆周率是圆的（）和（）比值。
2020中考专题10——最值问题之阿氏 班级 ________姓名 ____________ . 【模型解析】 “阿氏圆”樓型——u PA + k PB M 型最值 ?条件：A 、B 为定点,P 为ΘO±一个动A, — = k (0 √2 2 尝试解决，为了解决这个问題，下面给出一种耘題思路：如图2,连按CP,在CB 上取点D,使 CD CP 1 PD 1 1 CD=I,则有一=—=-,Xv ZPCD=ZBCP, ΛΔPCDS≤ΔJCP, — = -, APD=-BP, CP CB 2 BP 2 2 ：.AP--BP^AP^PD. 2 请你芫成余下的思考，芥直按写出答案，AP +I BP 的最小值为 ______________ . 2 自主探索：在“问题提出"的条件不变的情况下，^AP^BP 的最:、值为 ______________ . 拓展延伸：己知扇形CoD 中，ZCOD=90°, OC=6, 0Λ=3f 0B≡5f 点P 是弧CD 上一点,求 的最小值. 【巩固训练】 2?如BB 2,在Rt?ABC 中? ZB=90t ? AB=CB=2,以点B 为圆心作HIB 与AC 相切.点P 为OaB 上任 3?如图3,己知点P 是边长为6的正方形ABCD 内SC —动点?PA=3■求PC÷- PD 的量小值为 .—动点.则PA? PC 的最小值是 __________ 1 ?如图 1,在 Rt?ABC 中，ZACB=90? , CB=4, CA=6, HIC 半径为 2,点 P 为21上一动点，连按 AP,
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