定义新运算
1.规定 :a※ b=(b+a)× b,那么 (2※ 3)※ 5= 。
2.如果 a△ b 表示(a 2) b ,例如3△4 (3 2) 4 4 ,那么,当a△5=30时, a= 。
3.定义运算“△” 如下 :对于两个自然数 a 和 b,它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a△
b.例如 :4△6=(4,6)+[4,6]=2+12=14. 根据上面定义的运算,18△ 12= 。
4.已知 a,b 是任意有理数 ,我们规定 : a⊕ b= a+b-1, a b ab 2 ,那么
4 (6 8) (3 5) 。
为正数 ,
6.如果 a⊙ b 表示3a 2b ,例如 4⊙5=3× 4-2×5=2,那么 ,当 x⊙ 5 比 5⊙ x 大 5 时 , x= 。
7.如果 1※ 4=1234,2※ 3=234,7※ 2=78,那么 4※5= 。
8.规定一种新运算“※”: a※ b= a (a 1) (a b 1) .如果(x※3)※4=421200,那么x= 。
9.对于任意有理数 x, y,定义一种运算“※” ，规定 :x※ y= ax by cxy ,其中的 a,b,c 表示已
知数 ,等式右边是通常的加、减、乘运算.又知道 1※2=3,2※ 3=4,x※m=x(m ≠0),则 m 的数值是。
10.设 a,b 为自然数 ,定义 a△ b a2 b 2 ab 。
(1)计算 (4△ 3)+(8△ 5)的值；
(2)计算 (2△ 3)△ 4；
(3)计算 (2△ 5)△ (3△4)。
11.设 a，b 为自然数，定义 a※ b 如下 :如果 a≥ b，定义 a※b=a-b，如果 a (1)计算 :(3※4)※ 9； (2)这个运算满足交换律吗满足结合律吗也是就是说，下面两式是否成立①a※ b= b ※ a;②(a ※b) ※ c= a※ (b※c)。 a b 12.设 a,b 是两个非零的数,定义 a※ b。 b a (1)计算 (2※ 3)※ 4 与 2 ※(3※ 4)。 (2)如果已知 a 是一个自然数，且a※ 3=2,试求出 a 的值。 13.定义运算“⊙”如下 :对于两个自然数 a 和 b,它们的最大公约数与最小公倍数的差记为 a ⊙b 。比如 :10 和 14，最小公倍数为 70，最大公约数为 2，则 10⊙ 14=70-2=68。 (1)求 12⊙21,5⊙ 15； (2)说明，如果 c 整除 a 和 b,则 c 也整除 a⊙ b；如果 c 整除 a 和 a⊙ b，则 c 也整除 b； (3)已知 6⊙x=27,求 x 的值。 答案 一、填空题（共10 小题，每小题 3 分，满分30 分） 1．（ 3 分）规定： a※ b=（b+a）×b，那么（ 2※ 3）※ 5= 100． 考点：定义新运算。 分析：根据 a※ b=（ b+a）×b，得出新的运算方法，再根据新的运算方法解答（2※ 3）※ 5 的值． 解答：解：因为， 2※ 3=（3+2）×3=15， 所以，（2※ 3）※ 5=15※ 5=（ 5+15）×5=100， 故答案为： 100． 点评：解答此题的关键是，根据所给的等式，找出新的运算方法，再运用新的运算方法，解答出要求式子的值． 2．（ 3 分）如果 a△ b 表示（ a﹣2 ）×b，例如 3△4=（ 3﹣ 2）× 4=4，那么，当 a△ 5=30 时， a= 8 ． 考点：定义新运算。 分析：根据“a△ b 表示（ a﹣ 2）×b， 3△ 4=（ 3﹣ 2）×4=4，”得出新的运算方法，再用新的运算方法计算a△ 5=30，即可写成方程的形式，解此方程得出 a 的值． 解答：解：因为， a△ 5=30， 所以，（a﹣ 2）×5=30， 5a﹣10=30， 5a=40， a=8， 故答案为： 8． 点评：解答此题的关键是根据题意找出新运算方法，再根据新运算方法解答即可． 3．（ 3 分）定义运算“△ ”如下：对于两个自然数a 和 b，它们的最大公约数与最小公倍数的 和记为 a△ b．例如： 4△ 6=（4，6）+[4 ，6]=2+12=14．根据上面定义的运算， 18△ 12= 42． 考点：定义新运算。 分析：根据新运算知道，求18△ 12，就是求 18 和 12 的最大公约数与最小公倍数的和，由此即可解答． 解答：解：因为， 18 和 12 的最大公约数是6，最小公倍数是 36，所 以， 18△ 12=（ 18，12） +[18， 12]=6+36=42； 故答案为： 42． 点评：解答此题的关键是，根据定义的新运算，找出运算方法，列式解答即可． 4．（3 分）已知⊕（ 3?5） ]= a，b 是任意有理数，我们规定： 98． a⊕ b=a+b﹣ 1，a?b=ab﹣ 2，那么4?[（ 6⊕ 8） 考点：定义新运算。 分析：根据 a⊕ b=a+b﹣1， a?b=ab﹣2，得出新的运算方法，再运用新的运算方法计算4?[（ 6⊕8）⊕（ 3?5）]的值． 解答：解： 4?[（ 6⊕ 8）⊕（3?5） ]， =4?[ （ 6+8﹣ 1）⊕（ 3×5﹣ 2） ]， =4?[13 ⊕ 13]， =4?[13+13 ﹣ 1]， =4?25， =4× 25﹣ 2， =98， 故答案为： 98． 点评：解答此题的关键是根据给出的式子，找出新的运算方法，用新运算方法解答即可． 5．（ 3 分） x 为正数，＜3，5 共 3 个．那么＜＜x＞表示不超过x 的质数的个数，如＜＞=3，即不超过的质数有 19＞+＜ 93＞ +＜4＞×＜ 1＞×＜ 8＞＞的值是11． 2， 考点：定义新运算。 分析：根据题意，先求出不超过19 的质数的个数，再求出不超过93 的质数的个数，而不超过1 的质数的个数是0，所以＜4＞×＜1 ＞×＜8＞的值是0，因此即可求出要求的答案．解答：解：因为，＜19＞为不超过19 的质数，有2，3，5，7，11，13，17，19 共8 个， ＜ 93＞为不超过的质数，共 24 个，并 且，＜ 1＞ =0， 所以，＜＜ 19＞ +＜93＞ +＜ 4＞×＜ 1＞×＜8＞＞， =＜＜ 19＞+＜ 93＞＞， =＜ 8+24＞， =＜ 32＞， =11， 故答案为： 11． 点评：解答此题的关键是，根据题意，找出新的符号表示的意义，再根据定义的新运算，找出对应量，解答即可． 6．（ 3 分）如果 a⊙b 表示 3a﹣2b，例如 4⊙ 5=3 ×4﹣ 2× 5=2，那么，当 x⊙ 5 比 5⊙ x 大 5 时， x= 6 ． 考点：定义新运算。 分析：根据所给的运算方法，将x⊙ 5 比 5⊙ x 大 5 写成方程的形式，解答方程即可． 解答：解：由 x⊙ 5﹣ 5⊙x=5，可得： （ 3x﹣ 2×5）﹣（ 3×5﹣ 2x） =5， 5x﹣25=5， x=6， 故答案为： 6． 点评：解答此题的关键是，根据题意找出新的运算方法，再根据新的运算方法，列式解答即可． 7．（ 3 分）如果1※ 4=1234 ， 2※ 3=234， 7※ 2=78，那么 4※ 5= 45678． 考点：定义新运算。 分析：根据“1※ 4=1234， 2※ 3=234，7※2=78”，得出新的运算方法：后面数的第一个数字，※后面的数字表示连续数的个数，是从 然后运用新的运算方法计算4※ 5 的值即可．※ 的前一个数字是等号※ 前面的数开始连续， 解答：解：由于 1※ 4=1234 ，2※ 3=234， 7※2=78， 所以 4※5=45678； 故答案为： 45678． 点评：解答此题的关键是，根据所给出的式子，找出新的运算方法，再利用新的运算方法解答即可． 8．（ 3 分）我们规定：符号○表示选择两数中较大数的运算，例如： 选择两数中较小数的运算，例如：5△ 3=3△5=3． 5○ 3=3 ○ 5=5，符号△表示请计算：=． 考点：定义新运算。 分析：根据符号○表示选择两数中较大数的运算，符号△ 表示选择两数中较小数的运算，得出新的运算方法，用新的运算方法，计算所给出的式子，即可得出答案． 解答： 解：○ = ○ = ， △ = △= ， △= △= ， О=О = ， 所以：==； 故答案为：． 点评：解答此题的关键是，根据题意找出新的运算方法，再根据新的运算方法，解答即可． 9．（ 3 分）规定一种新运算 “※ ”：a ※ b=a ×（ a+1）×?×（a+b ﹣ 1）．如果（ x ※ 3）※4=421200 ，那么 x= 2 ． 考点 ：定义新运算。 分析：先根据 “a※ b=a ×（ a+1）×?×（a+b+1） ”，知道新运算 “※”的运算方法，由于（ x ※ 3） ※ 4=421200，这个式子里有两步新运算，所以令其中的一步运算式子为 y ，再根据新的运算方法，由此即可求出要求的答案． 解答：解：令 x ※ 3=y ，则 y ※ 4=421200， 4 4 2 又因为， 421200=2 ×3×5× 13=24 × 25× 26，× 27 所以， y=24，即 x ※3=24， 又因为， 24=23 × 3=2 × 3，×4 所以， x=2； 故答案为： 2． 点评：解答此题的关键是， 根据新运算方法的特点， 只要将整数写成几个自然数连乘的形式，即 可得出答案． 10．（ 3 分）对于任意有理数 x ， y ，定义一种运算 “※”，规定： x ※ y=ax+by ﹣ cxy ，其中的 a ，b ，c 表示已知数， 等式右边是通常的加、 减、乘运算．又知道 1※2=3，2※ 3=4，x ※m=x （ m ≠0），则 m 的数值是 4 ． 考点 ：定义新运算。 分析：根据 x ※ y=ax+by ﹣cxy ，找出新的运算方法，根据新的运算方法，将 1※ 2=3，2※ 3=4， x ※ m=x 写成方程的形式，即可解答． 解答：解：由题设的等式 x ※ y=ax+by ﹣ cxy 及 x ※ m=x （ m ≠0），得 a?0+bm ﹣ c?0?m=0， 所以 bm=0，又 m ≠0，故 b=0， 因此 x ※ y=ax ﹣ cxy ， 由 1※ 2=3， 2※ 3=4，得 ， 解得 a=5， c=1， 所以 x ※ y=5x ﹣ xy ，令 x=1，y=m ， 得 5﹣ m=1，故 m=4； 故答案为： 4． 点评：解答此题的关键是，根据题意找出新的运算方法，再根据新的运算方法，列式解答即 可． 二、解答题（共 4 小题，满分 0 分） 11．设 a ，b 为自然数，定义 a △b=a 2+b 2 ﹣ ab ． （ 1）计算（ 4△ 3） +（8△ 5）的值； （ 2）计算（ 2△ 3） △4 ； （ 3）计算（ 2△ 5） △ （3△ 4）． 考点：定义新运算。 分析：根据“a△ b=a 2 +b 2 ﹣ ab”得出新的运算方法，然后运用新的运算方法进行计算即可． 解答：解：（ 1）（ 4△ 3） +（ 8△ 5）， =（ 42 +3 2 ﹣ 4×3） +（ 8 2 +5 2 ﹣8×5）， =1++49， =62； （ 2）（2 △3）△ 4， =（ 22 +3 2 ﹣ 2×3）△ 4， =7△ 4， =72 +4 2 ﹣ 7×4， =37； （ 3）（2 △5）△（3△4）， =（ 22 +5 2 ﹣ 2×5）△（ 3 2 +4 2 ﹣ 3×4）， =19△ 13， =192 +13 2 ﹣ 19×13， =283； 答：（ 1）62，（ 2）37，（ 3）283． 点评：解答此题的关键是，根据所给出的式子，找出新的运算方法，再利用新的运算方法解答即可． 12．设 a，b 为自然数，定义 a※ b 如下：如果 a≥b，定义 a※ b=a﹣b ，如果 a＜ b，则定义 a※ b=b ﹣a． （1）计算：（3※ 4）※9； （2）这个运算满足交换律吗满足结合律吗也是就是说，下面两式是否成立①a※ b=b※ a；② （a※ b）※ c=a※（ b※ c）． 考点：定义新运算。 分析：（ 1）根据“如果 a≥b，定义 a※ b=a﹣ b，如果 a＜ b，则定义a※ b=b ﹣a，”得出新的运算方法，再利用新的运算方法计算（3※ 4）※ 9 的值即可； （ 2）要证明这个运算是否满足交换律和满足结合律，也就是证明① 和② 这两个等式是否成立． 解答：解：（ 1）（ 3※ 4）※9=（ 4﹣ 3）※ 9=1※ 9=9﹣ 1=8； （ 2）因为表示a※ b 表示较大数与较小数的差，显然a※ b=b※ a 成立，即这个运算满 是交换律， 但一般来说并不满足结合律，例如：（ 3※ 4）※9=8，而 3※（ 4※ 9）=3※（ 9﹣ 4）=3※ 5=5 ﹣3=2， 所以，这个运算满足交换律，不满足结合律； 答：这个运算满足交换律，不满足结合律． 点评：解答此题的关键是，根据所给出的式子，找出新的运算方法，再根据新的运算方法解答即可． 13．设 a，b 是两个非零的数，定义a※ b=． （1）计算（ 2※ 3）※4 与 2※（ 3※ 4）． （2）如果已知 a 是一个自然数，且a※ 3=2，试求出 a 的值． 考点：定义新运算。 分析： （ 1）根据 a※ b= ，找出新的运算方法，再根据新的运算方法，计算（2※ 3）※ 4 与 2※（3※ 4）即可；（ 2）根据新运算方法将a※ 3=2，转化成方程的形式，再根据a 是自然数，即可求出 a 的值． 解答： （ 1）按照定义有 2※ 3= ， 3※ 4= ， 于是（ 2※ 3）※ 4=※ 4=， 2※（ 3※4） =2※； （ 2）由已知得① 若 a≥6，则≥2，从而与①矛盾， 因此 a≤5，对 a=1， 2，3， 4， 5 这 5 个可能的值， 一一代入①式中检查知， 只有 a=3 符合要求． 点评：解答此题的关键是根据所给的式子，找出新运算的运算方法，再用新运算方法计算要求的式子即可． 14．定义运算“⊙”如下：对于两个自然数 a 和 b ，它们的最大公约数与最小公倍数的差记为 a⊙ b．比如： 10 和 14，最小公倍数为 70，最大公约数为 2，则 10⊙ 14=70﹣2=68． （1）求 12⊙21， 5⊙ 15； （2）说明，如果 c 整除 a 和 b，则 c 也整除 a⊙b ；如果 c 整除 a 和 a⊙ b，则 c 也整除 b；（3）已知 6⊙x=27，求 x 的值． 考点：定义新运算。 分析：（ 1）根据新的定义运算，先求出12 与 21 的最小公倍数和最大公约数， 5 与 15 的最小公倍数和最大公约数，问题即可解决； （2）根据整除的定义及公约数、最大公约数与最小公倍数之间的关系进行说明； （3）由于运算“⊙ ”没有直接的表达式，解这个方程有一些困难，我们设法逐步缩小 探索范围，即根据 6 与 x 的最小公倍数不小于27+1，不大于27+6，由此即可得出答 案． 解答：解：（ 1）因为， 12 与 21 的最小公倍数和最大公约数分别为84，3， 所以， 12⊙ 21=84﹣ 3=81， 同样道理5⊙ 15=15﹣5=10； （ 2）如果 c 整除 a 和 b，那么 c 是 a 和 b 的公约数，则 c 整除 a， b 的最大公约数， 显然 c 也整除 a， b 最小公倍数， 所以 c 整除最小公倍数与最大公约的差，即 c 整除 a⊙ b， 如果 c 整除 a 和 a⊙ b，由 c 整除 a 推知 c 整除 a， b 的最小公倍数， b，再由 c 整除 a⊙ b 推知， c 整除 a， b 的最大公约数，而这个最大公约数整除 所以 c 整除 b； （ 3）因为 6 与 x 的最小公倍数不小于：27+1=28 ，不大于： 27+6=33， 而 28 到 33 之间，只有30 是 6 的倍数， 可见 6 和 x 的最小公倍数是30， 因此，它们的最大公约数是30﹣ 27=3， 由“两个数的最小公倍数与最大公约数的积=这两个数的积”， 得到： 30×3=6×x， 6x=90， x=15， 所以 x 的值是 15． 点评：解答此题的关键是，根据定义新运算，得出新的运算意义，再利用新的运算意义和运算方法，解答即可． 班级 姓名 成绩 一、口算：(每题分，共30分) 13 ＋13 = 3×18 = 78 ÷2= 7 12 ×4= 56 ÷5= 710 ×4= 89 ÷ 4= 57 ×710 ＝ 2－79 = 1－16 = 1÷79 = 6×23 = 12÷23 = 27 ×14= 45 ÷12 = 5 8 ×2= 45 ＋315 = 34 ÷6 = 512 ×617 = 56 ×0÷35 = 38 ×16 = 6－ 13 = 1233 ÷311 = 67 ＋1 = 65÷125= 98×249= 3－76 = 61＋32= 1÷94 = 41×21 = 13 ＋16 = 13 －16 = 25÷10%= 4 3×8 = 54×125 = 13 ÷12 = 25 ÷10= =?694 =÷9461 =÷31 91 =?8361 =÷474 32－=4 1 =?571 =÷5152 =?158165 =+4 3 31 712 ÷12 = 1320 ÷39= 23 ÷815 = 4÷12 = 13 ×6 7 = 10－45 = 13 －15 = 1415 ÷7= 27 ×59 = 1－29 ×3= 6÷34 ＋14 = 17 ÷23 ×7= 2 － 15 ＋ 45 = 36－78 X=15 X ×( 16 ＋ 38 )= 13 12 x ：4= 3：10 1 － 34 x = 3 5 x －= x ＋ x=36 2x+= 5-32x=31 41÷6x=7 2 四、计算下面各题，能简算的要简算。（每题3分，共30分） （1）×101－ 34 (2) 72×( 14 ＋ 16 － 1 3 ) （3）14 ×23＋78×－ （4）97× 596 奥数-新定义运算 奥数定义新运算 我们已经学习过加、减、乘、除运算，这些运算，即四则运算是数学中最基本的运算，它们的意义、符号及运算律已被同学们熟知。除此之外，还会有什么别的运算吗？现在我们就来研究这个问题。这些新的运算及其符号，在中、小学课本中没有统一的定义及运算符号，但学习讨论这些新运算，对于开拓思路及今后的学习都大有益处。 一、定义 1、定义新运算是指运用某种特殊的符号表示的一种特定运算形式。 注意：（1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四 则运算，然后进行计算。 （2）我们还要知道，这是一种人为的运算形式。它是使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、 、Δ、◆、■等来表示的一种运算。 （3）新定义的算式中，有括号的，要先算括号里面的。 2、一般的解题步骤是: 一是认真审题，深刻理解新定义的内容； 二是排除干扰，按新定义关系去掉新运算符号； 三是化新为旧，转化成已有知识做旧运算。 二、初步例题诠释 例1、对于任意数a，b，定义运算“*”：a*b=a×b-a-b。 求12*4的值。 分析与解：根据题目定义的运算要求，直接代入后用四则运算即可。 12*4=12×4-12-4=48-12-4=32 例2、假设a ★ b = ( a + b )÷ b 。求 8 ★ 5 。 分析与解：该题的新运算被定义为: a ★ b等于两数之和除以后一个数的商。这里要先算括号里面的和，再算后面的商。这里a代表数字8，b代表数 字5。 8 ★ 5 = （8 + 5）÷ 5 = 2.6 例3、如果a◎b=a×b-(a+b)。求6◎（9◎2）。 分析与解：根据定义，要先算括号里面的。这里的符号“◎”就是一种新的运算符号。 6◎（9◎2） =6◎[9×2-（9+2）] =6◎7 =6×7-（6+7） 小学六年级数学下册计算题及答案 1．填空。 (1)24时的是( )时,( )千米的是8千米。 (2)64吨增加它的是( )吨,再减少它的是( )吨。 (3)48米增加( )%是60米,60米减少( )%是48米。 (4)栽50棵树,死了3棵,成活率是( )。 (5)一种商品打七折销售,如果这种商品的原价是100元,则便宜了( )元。 (6)男生人数比女生人数多,女生人数比男生人数少( )%,女生人数与男生人数 的比是( )。 2．判断。 (1)三年级学生今天出勤了200人,缺勤了3人,出勤率为98.5%。( ) (2)从甲地到乙地,客车要行驶4时,货车要行驶5时,货车比客车快20%。( ) (3)一种商品先涨价10%,后降价10%,现在商品的价格比原来的价格高。( ) (4)水结成冰,体积增大,冰化成水,体积减小。( ) (5)甲零件的质量是千克,是乙零件质量的,求乙零件的质量,列式为×。( ) 3．一本故事书,小东第一天读了全书的,第二天读了18页,这时还有58页没有读。 这本故事书一共有多少页？ 4．今年植树节,金星小学共植树1050棵,其中是白杨树,是松树。哪种树植得多？ 多多少棵？ 5．某工厂共有职工850人,其中女职工有500人,男职工人数比女职工少百分之几？ 6．服装店计划采购一批服装销售,按20%的利润定价销售,每件正好60元,采购时 这种服装进价降低了20%,如果商店仍按照20%的利润定价销售,现在每件应售多少元？ 7．学校有排球和足球共100个,排球个数的比足球个数的多2个。学校有排球和足 球各多少个？ 8．一份文件,甲打字员要9时完成,乙打字员要8时完成,甲、乙共同做3时后,剩下 的由乙单独做,乙还需几时才能完成？ 9．小明的妈妈买了2500元国家建设债券,定期三年。如果年利率为5.74%,那么到 期时她可以取回本金和利息共多少元？ 参考答案 1．(1)4 10 (2)72 63 (3)25 20 (4)94% (5)30 (6)20 4∶5 2．(1)×(2) ×(3) ×(4)√(5) × 3．(18＋58)÷＝95(页) 4.＜,松树植得多。 1050×＝700(棵) 1050×＝350(棵) 700－350＝350(棵) 5．850－500＝350(人) (500－350)÷500＝0.3＝30% 6．60÷(1＋20%)＝50(元) 50×(1－20%)×(1＋20%)＝48(元) 小学数学六年级奥数《定义新运算（二）》练习题（含答案） 一、填空题 1.规定:a ※b =(b+a )×b ,那么(2※3)※5= . 2.如果a △b 表示b a ?-)2(,例如3△444)23(=?-=,那么,当a △5=30时, a= . 3.定义运算“△”如下:对于两个自然数a 和b ,它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a △b .例如:4△6=(4,6)+[4,6]=2+12=1 4.根据上面定义的运算,18△12= . 4.已知a ,b 是任意有理数,我们规定: a ⊕b = a +b -1,2-=?ab b a ,那么[]=?⊕⊕?)53()86(4 . 5.x 为正数, 第一周定义新运算 【名言警句】 天才由于积累，聪明在于勤奋。? ——华罗庚【知识点精讲】 一、什么是定义新运算？ 定义新运算指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算。 二、怎么解答定义新运算？ 解答这类题关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程式，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。 定义新运算是一种特别设计的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如*、△、▽、⊙、?等，这是与四则运算中“＋、－、×、÷”不同。 新定义运算式中有括号的，要先算括号里面的。但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。 例1、假设a*b=(a＋b)＋(a-b),求13*5和13*（5*4）。 【举一反三】 1、设a*b=(a+b)×(a-b)，求27*9。 2、设a*b=a 2+2b,求10*6和5*(2*8)。 3、设a*b=3a －b ×2 1，求（25*12）*（10*5）。 例2、设p 、q 是两个数，规定：p △q=4×q－(p ＋q) ÷2。求3△（4△6） 【举一反三】 1、设p 、q 是两个数，规定：p △q=4×q－(p ＋q) ÷2。求5△（6△4）。 2、设p 、q 是两个数，规定：p △q=p 2＋(p －q) ×2。求30△（5△3）。 3、设M 、N 是两个数，规定：*M N M N N M =+，求110*204 －。 例3、如果1*5111111111111111=++++，2*42222222222=+++， 3*3333333=++，4*2444=+， 那么7*4= ；210*2= 。 【举一反三】 1、如果1*5111111111111111=++++，2*42222222222=+++， 3*3333333=++，…那么4*4= 。 2、规定*a b a aa aaa =+++??，那么8*5= 。 （b-1）个a 3、如果12*12=，13*233=，14*3444 =，那么((26*)3)*6÷= 。 定义新运算 在加.减.乘.除四则运算之外，还有其它许多种法则的运算。在这一讲里，我们学习的新运算就是用“ #”“*”“Δ”等多种符号按照一定的关系“临时”规定的一种运算法则进行的运算。 例1：如果A*B=3A+2B ，那么7*5的值是多少？ 例2：如果A#B 表示3 B A + 照这样的规定，6#（8#5）的结果是多少？ 例3：规定Y X XY Y X +=? 求2Δ10Δ10的值。 例4：设M*N 表示M 的3倍减去N 的2倍，即M*N=3M-2N （1） 计算（14 *10）*6 （2） 计算 （58*43） *（1 *2 1） 例5：如果任何数A 和B 有A ¤B=A ×B-（A+B ） 求（1）10¤7 （2）（5¤3）¤4 （3）假设2¤X=1求X 例6：设P ∞Q=5P+4Q ，当X ∞9=91时，1/5∞（X ∞ 1/4）的值是多少？ 例7：规定X*Y= XY Y AX +，且5*6=6*5则（3*2）*（1*10）的值是多少？ 例8：▽表示一种运算符号，它的意义是））（（A Y A X XY Y X +++= ?11 已知3 211212112=+++=?））（（A 那么20088▽2009=？ 巩固练习 1、已知2▽3=2+22+222=246； 3▽4=3+33+333+3333=3702；按此规则类推 （1）3▽2 （2）5▽3 （3）1▽X=123，求X 的值 2、已知1△4=1×2×3×4；5△3=5×6×7 计算（1）（4△2）+（5△3） （2）（3△5）÷（4△4） 3、如果A*B=3A+2B ，那么 （1）7*5的值是多少？ （2）（4*5）*6 （3）（1*5）*（2*4） 4、如果A>B ，那么｛A ，B ｝=A ；如果A 六年级数学简便计算专项练习题（附答案＋计算方法汇总） 小学阶段（高年级）的简便运算，在一定程度上突破了算式原来的运算顺序，根据运算定律、性质重组运算顺序。如果学生没真正理解运算定律、性质，他只能照葫芦画瓢。在实际解题的过程当中，学生的思路不清晰，常出现这样或那样的错误。因此，培养学生思维的灵活性就显得尤为重要。 下面，为大家整理了8种简便运算的方法，希望同学们在理解的基础上灵活运用，不提倡死记硬背哟！ 1.提取公因式 这个方法实际上是运用了乘法分配律，将相同因数提取出来，考试中往往剩下的项相加减，会出现一个整数。 注意相同因数的提取。 例如： 0.92×1.41＋0.92×8.59 =0.92×（1.41+8.59） 2.借来借去法 看到名字，就知道这个方法的含义。用此方法时，需要注意观察，发现规律。还要注意还哦,有借有还，再借不难。 考试中，看到有类似998、999或者1.98等接近一个非常好计算的整数的时候，往往使用借来借去法。 例如： 9999+999+99+9 =9999+1+999+1+99+1+9+1－4 3.拆分法 顾名思义，拆分法就是为了方便计算把一个数拆成几个数。这需要掌握一些“好朋友”，如：2和5，4和5，2和2.5，4和2.5，8和1.25等。分拆还要注意不要改变数的大小哦。 例如： 3.2×12.5×25 =8×0.4×12.5×25 =8×12.5×0.4×25 4.加法结合律 注意对加法结合律 (a＋b)＋c=a＋(b＋c) 的运用，通过改变加数的位置来获得更简便的运算。 例如： 5.76＋13.67＋4.24＋ 6.33 =（5.76＋4.24）＋(13.67＋6.33) 5.拆分法和乘法分配律结合 这种方法要灵活掌握拆分法和乘法分配律，在考卷上看到99、101、9.8等接近一个整数的时候，要首先考虑拆分。 例如： 34×9.9 = 34×(10－0.1) 案例再现：57×101=？ 6.利用基准数 在一系列数种找出一个比较折中的数字来代表这一系列的数字，当然要记得这个数字的选取不能偏离这一系列数字太远。 例如： 2072+2052+2062+2042+2083 定义新运算 1 规定a*b=(b＋a)×b，求(2*3)*5。 2 定义运算“△”如下：对于两个自然数a和b，它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a△b。例如： 4△6=(4，6)＋[4，6]=2＋12=14。 根据上面定义的运算，18△12等于几？ 3 两个整数a和b，a除以b的余数记为a7 b。例如，13 5=3。根据这样定义的运算，(2 6 9) 4等于几？ 4 规定：符号“△”为选择两数中较大的数的运算，“ ”为选择两数中较小的数的运算，例如，3△5=5，3 5=3。请计算下式： [(70 3)△5]×[ 5 (3△7)]。 5 对于数a，b，c，d，规定〈a，b，c，d〉=2ab-c＋d。已知〈1，3，5，x〉=7，求x的值。 6 规定：6* 2=6＋66=72， 2*3=2＋22＋222=246， 1*4=1＋11＋111＋1111=1234。 求7*5。 7 如果用φ(a)表示a的所有约数的个数，例如φ(4)=3，那么φ(φ(18))等于几？ 8 如果a△b表示(a-2)×b，例如 3△4=(3-2)×4=4， 那么当( a△2)△3=12时，a等于几？ 10 对于任意的两个自然数a和b，规定新运算“*”： a*b＝a(a＋1)(a＋2)…(a＋b-1)。如果(x*3)*2＝3660，那么x等于几？ 11 有A，B，C，D四种装置，将一个数输入一种装置后会输出另一个数。装置A∶将输入的数加上5；装置B∶将输入的数除以2；装置C∶将输入的数减去4；装置D∶将输入的数乘以3。这些装置可以连接，如装置A后面连接装置B就写成A?B，输入1后，经过A?B，输出3。 (1)输入9，经过A?B?C?D，输出几？ (2)经过B?D?A?C，输出的是100，输入的是几？ (3)输入7，输出的还是7，用尽量少的装置该怎样连接？ 第一周 定义新运算 【名言警句】 天才由于积累，聪明在于勤奋。? ——华罗庚 【知识点精讲】 一、什么是定义新运算？ 定义新运算指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算。 二、怎么解答定义新运算？ 解答这类题关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程式，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。 定义新运算是一种特别设计的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如*、△、▽、⊙、 等，这是与四则运算中“＋、－、×、÷”不同。 新定义运算式中有括号的，要先算括号里面的。但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。 例1、假设a *b=(a ＋b)＋(a-b),求13*5和13*（5*4）。 【举一反三】 1、设a *b =(a+b)×(a-b)，求27*9。 2、设a *b=a 2+2b ,求10*6和5*(2*8)。 3、设a *b=3a －b ×2 1，求（25*12）*（10*5）。 例2、设p 、q 是两个数，规定：p △q=4×q －(p ＋q) ÷2。求3△（4△6） 【举一反三】 1、设p 、q 是两个数，规定：p △q=4×q －(p ＋q) ÷2。求5△（6△4）。 2、设p 、q 是两个数，规定：p △q=p 2＋(p －q) ×2。求30△（5△3）。 3、设M 、N 是两个数，规定：* M N M N N M =+，求110*204－。 例3、如果1*5111111111111111=++++，2*42222222222=+++， 3*3333333=++，4*2444=+，那么7*4= ；210*2= 。 【举一反三】 六年级经典数学计算题及答案 “/ 5 5 2、11 5 7 4 1 12 +( 十+)--+X8 —(1 — X 4) 13 26 5 18 4 18 5 6 2、解下列方程或比例。（共36分3分/个） 2X + 18X 2 = 104 5 —0.6X —0.2 1 5 X —X= —(1 —15% )X —3— 48 6 8 2 1 X: —0.6: 0.6:36% —0.8:X 3 200 3X —20%= 1.21 ^X+ - X= 38 6 7 9 —1.6X —9.8X —22 1 X + 2 —16X 50% 5 2X 1 —2.5 0.75 —X 3 0.5 1.5 6 学校: 班级姓名: 得分: 1、脱式计算。（能简算的要简算，共36分3 分/个） 25 X 1.25 X 32 3.5 X 3.75 + 6.25 X 3.5 99 X 45 1 X 36+ 2 2 X 3.6 + 25 X 0.36 + 9 (4+ 8) X 25 104 X 25 17 —) 19 X 19X 17 3.04 —1.78 —0.22 29 27 + 28 28 3、列式计算。(共28分第9小题4分，其它3分/小题) (1) 0.6与2.25的积去除3.2与1.85的差，商是多少? (2) —与它的倒数的积减去0.125所得的差乘8，积是多少? 12 5 1 (3) 28个加上24的，和是多少? 7 6 (4) 14.2与15.3的和，减去10.5与2.4的积，差是多少? (5) 10减去它的20%再除以2,结果是多少? (6) —个数除以417,商208余107，这个数是多少? 5 2 2 (7) —个数比三的1三倍少土，求这个数。 6 5 3 3 (8) —个数的—比30的25%多1.5，求这个数是多少? 5 奥数定义新运算 我们已经学习过加、减、乘、除运算，这些运算，即四则运算是数学中最基本的运算，它们的意义、符号及运算律已被同学们熟知。除此之外，还会有什么别的运算吗？现在我们就来研究这个问题。这些新的运算及其符号，在中、小学课本中没有统一的定义及运算符号，但学习讨论这些新运算，对于开拓思路及今后的学习都大有益处。 一、定义 1、定义新运算是指运用某种特殊的符号表示的一种特定运算形式。 注意：（1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运 算，然后进行计算。 （2）我们还要知道，这是一种人为的运算形式。它是使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、 、Δ、?、■等来表示的一种运算。 （3）新定义的算式中，有括号的，要先算括号里面的。 2、一般的解题步骤是: 一是认真审题，深刻理解新定义的内容； 二是排除干扰，按新定义关系去掉新运算符号； 三是化新为旧，转化成已有知识做旧运算。 二、初步例题诠释 例1、对于任意数a，b，定义运算“*”：a*b=a×b-a-b。 求12*4的值。 分析与解：根据题目定义的运算要求，直接代入后用四则运算即可。 12*4=12×4-12-4=48-12-4=32 例2、假设a ★ b = ( a + b )÷ b 。求 8 ★ 5 。 分析与解：该题的新运算被定义为: a ★ b 等于两数之和除以后一个数的商。这里 要先算括号里面的和，再算后面的商。这里a 代表数字8，b 代表数字5。 8 ★ 5 = （8 + 5）÷ 5 = 2.6 例3、如果a ◎b=a ×b-(a+b)。求6◎（9◎2）。 分析与解：根据定义，要先算括号里面的。这里的符号“◎”就是一种新的运算符 号。 6◎（9◎2） =6◎[9×2-（9+2）] =6◎7 =6×7-（6+7） =42-13 =29 例4、如果1Δ3=1+11+111；2Δ5=2+22+222+2222+22222；8Δ2=8+88。 求6Δ5。 分析与解：仔细观察发现“Δ”前面的数字是加数每个数位上的数字，而加数分别 是一位数，二位数，三位数，……“Δ”后面的数字是几，就有几个加 数。因此可以按照这个规律进行解答。 6Δ5=6+66+666+6666+66666=74070 例5、如果规定?2=1×2×3，?3=2×3×4，?4=3×4×5，…… 计算（21 ?-31?）×32??。 1. （18 －14 ÷4×14 ）÷1 2 2. （111＋999）÷[56×（37 －3 8 ）] 3. （15 ＋18 ）×160×1 13 4. 15－（7 13 ÷2＋5） 5. 6.4÷45 ＋1.25×33 5 6. [0.25×4－（56 ＋112 ）]×5 6 7. 720 ×1125 ＋1425 ×7 20 8. 23 ＋（12 ＋23 ）×2 7 9. 310 ×（12 ＋13 ）÷1 8 10. 75 ×[280÷（7.28＋6.72）] 11. （140）15.6÷[32×（1－58 ）÷3.6] 12. 87－3215÷85＋163 13. （34－51×41）÷15 4 14. 54×185＋73＋9 7 15. 87÷〔（87－43）×5 4〕 16. 6×（152＋121）－8 1 17. 2－95÷32－6 1 18. 37－（53÷209＋23 8） 19. 〔2－（58＋31）〕÷154 20. 1－（85÷23＋41 ） 21. 75÷98＋87÷57－7 5 22. （1－31÷74）×103 23. （53－53×95）÷9 4 24. 〔65－（43－2 1）〕÷157 25. 1615×〔1÷（32＋21）〕 26. （2621×713＋21）÷9 5 27. 24 17 ÷5＋51÷724＋0.2 28. 74÷〔（65－54）÷16 7〕 29. 〔4－（43－83）〕÷8 1 30. 158÷〔32 5 ×（109＋61）〕 31. 3－185×4027－16 13 32. 21 2 ÷〔（43－32）×76〕 33. 51÷3+54×31 34. 94+72+185÷2 1 35. 72×（21–31+4 1 ） 36. 2–32÷54–6 1 37. 98+76×32+7 3 38. 83+54×65+3 1 39. 71×116+11 5 ÷7 小学六年级数学：定义 新运算 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】 第三 讲 定义新运算 【精准诊查】 【课首小测】 1、一个长为20厘米、宽为16厘米的长方形纸片，沿它的边剪去一个长为8厘米、宽为4厘 米的小长方形。求；剩余部分的周长。 2、几个连续自然数相加，和能等于56吗？如果能，有几种不同的答案？写出这些答案；如果 不能、说明理由。 【互动导学】 【导学】： 定义新运算 新运算在于有新的运算符号以及新的运算法则，解答这类题型须理解“新”的意义。 1.按照新定义的运算准确计算，常见的如△、◎、※等。（特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的。） 2.理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值计算。 3.把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算或方程。 【例题精讲】 【例1】定义新运算为a △b ＝（a ＋1）÷b ，求6△（3△4）的值。 【例2】定义新运算为1a a b b += （1）求()234的值； （2）若4 1.25x =，则x 的值为多少？ 【例3】如果：1※2＝1＋11 2※3＝2＋22＋222 3※4＝3＋33＋333＋3333 计算：（3※2）×5 【例4】对于任意的自然数a 和b ，规定新运算*：(1)(2)(1)a b a a a a b *=+++++ ++- （1）求1*100的值 （2）已知x *10=75，求x 为多少？ 【我爱展示】 1.P 、Q 表示数，*P Q 表示2 P Q +，求3*（6*8）。 2.如果a △b 表示(2)a b -?，例如3△4()3244=-?=，那么，当a △5=30时,a= 3.定义： 6※2=6+66=72 2※3=2+22+222=246， 1※4=1+11+111+1111=1234. 7※5= 。 4.定义新运算”?“，使下列算式成立： 248?=，5313?=，3511?=，9725?=，求73?= 。 5.对于任意的两个自然数a 和b ，规定新运算*：(1)(2)(1)a b a a a a b *=+++-，如果 (3)23660x **=，那么x 等于几？ 【能力展示】 【知识技巧回顾】 1、学习到哪些知识： 2、解答新运算的步骤： 【巩固练习】 1.如果规定a b *=5×a-12 b ，其中a 、b 是自然数，那么106*= 。 （2011实外） 2.对于自然数a 、b 、 c 、 d ，符号a b d c ?? ??? 表示运算a ×c-b ×d ， 已知1<14b d ?? ??? <3，则b+d 的值是 。 （2010实外） 3.定义新运算：ab a b a b ?= +，求2△10△10= 。 （2012成外） 4.对任意两数a 和b ，都有a ※b=23a b +，若6※x=223，则x= 。 （2009实外） 5.如果规定：3=2×3×4，4=3×4×5，12=11×12×13，…， 111=252626 -? ，那么 = 。 （七中嘉祥） 定义新运算 1.规定:a ※b=(b+a)×b,那么(2※3)※5= 。 2.如果a △b 表示b a ?-)2(,例如3△444)23(=?-=,那么,当a △5=30时, a= 。 3.定义运算“△”如下:对于两个自然数a 和b,它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a △b.例如:4△6=(4,6)+[4,6]=2+12=1 4.根据上面定义的运算,18△12= 。 4.已知a,b 是任意有理数,我们规定: a ⊕b= a+b-1,2-=?ab b a ,那么 []=?⊕⊕?)53()86(4 。 5.x 为正数, 一、新定义运算(A 卷) 1. 设b a ,表示两个不同的数,规定b a b a 43+=?.求 6)78(??. 2. 定义运算?为a ?b =5×)(b a b a +-?.求11?12. 3. b a ,表示两个数,记为:a ※b =2×b b a 4 1 -?.求 8※(4※16). 4. 设y x ,为两个不同的数,规定x □y 4)(÷+=y x .求 a □16=10中a 的值. 5. 规定a b a b a b +?= .求210 10的值. 6. Q P ,表示两个数,P ※Q =2Q P +,如3※4=2 4 3+=3.5.求4※(6※8); 如果x ※(6※8)=6,那么=x ? 7. 定义新运算x ⊕y x y 1 +=.求3⊕(2⊕4)的值. 8. 有一个数学运算符号“?”,使下列算式成立:4?8=16，10?6=26，6?10=22，18?14=50.求7?3=? 9. “▽”表示一种新运算,它表示:) 8)(1(1 1+++=?y x xy y x .求3▽5的值. 10. b a b a b a ÷+= ?,在6)15(=??x 中.求x 的值. 11. 规定xy y x xA y x ++ =?,而且1?2=2?3.求3?4的值. 12. 规定a ⊕)1()2()1(-+++++++=b a a a a b Λ,(b a ,均为自然数,a b >).如果x ⊕10=65,那么=x ? 13. 对于数b a ,规定运算“▽”为)5()3(-?+=?b a b a .求 )76(5??的值. 14. y x ,表示两个数,规定新运算“”及“△”如下:x y x y 56+=,x △xy y 3=.求(2 3)△4的值. 小学六年级奥数练习（一） 一、定义新运算练习 1. 设）。 ）（求（5101225,213**?-=*b a b a 2.）。 （。求）（是两个数，规定：、设35302q p p q p q p 2???-+=? 3.412010M N N M N M N M -*+= *，求是两个数，规定、设。 4.=*÷*=*=*=*）（），那么（如果6236444 13,43312,32112 5.==?+++++=?++=?+=?x 543x ,109876565.........43232 ,2121中，在，，如果 6..8946b) -a b)a b -a 2:""b a ?+??+=??，求（（定义新运算和对两个整数b a 课后练习题 一、定义新运算 1、规定a*b=(b ＋a)×b ，求(2*3)*5。 2、定义运算“△”如下：对于两个自然数a 和b ，它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a △b 。例如： 4 △ 6=(4，6)＋[4，6]=2＋12=14。 根据上面定义的运算， 18△12等于几？ 4、对于数 a ，b ，c ，d ，规定〈a ，b ，c ，d 〉=2ab-c ＋d 。已知〈1，3，5，x 〉=7，求x 的值。 5、规定： 6* 2=6＋66=72，2*3=2＋22＋222=246，1*4=1＋11＋111＋1111=1234。求7*5。 6、如果a △b 表示(a-2)×b ，例如：3△4=(3-2)×4=4，那么当( a △2)△3=12时，a 等于几？ 7、对于任意的两个自然数a 和b ，规定新运算“*”：a*b ＝a(a ＋1)(a ＋2)…(a ＋b-1)。如果(x*3)*2＝3660，那么x 等于几？ 8、有A ，B ，C ，D 四种装置，将一个数输入一种装置后会输出另一个数。装置A ∶将输入的数加上5；装置B ∶将输入的数除以2；装置C ∶将输入的数减去4；装置D ∶将输入的数乘以3。这些装置可以连接，如装置A 后面连接装置B 就写成A ?B ，输入1后，经过A ?B ，输出3。 (1)输入9，经过A ?B ?C ?D ，输出几？ (2)经过B ?D ?A ?C ，输出的是100，输入的是几？ (3)输入7，输出的还是7，用尽量少的装置该怎样连接？ 小学六年级奥数新定义运 算 The following text is amended on 12 November 2020. 第一周 定义新运算 【名言警句】 天才由于积累，聪明在于勤奋。 ——华罗庚 【知识点精讲】 一、什么是定义新运算 定义新运算指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算。 二、怎么解答定义新运算 解答这类题关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程式，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。 定义新运算是一种特别设计的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如*、△、▽、⊙、等，这是与四则运算中“＋、－、×、÷”不同。 新定义运算式中有括号的，要先算括号里面的。但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。 例1、假设a*b=(a ＋b)＋(a-b),求13*5和13*（5*4）。 【举一反三】 1、设a*b =(a+b)×(a-b)，求27*9。 2、设a*b=a 2+2b ,求10*6和5*(2*8)。 3、设a*b=3a －b ×2 1，求（25*12）*（10*5）。 例2、设p 、q 是两个数，规定：p △q=4×q－(p ＋q) ÷2。求3△（4△6） 【举一反三】 1、设p 、q 是两个数，规定：p △q=4×q－(p ＋q) ÷2。求5△（6△4）。 2、设p 、q 是两个数，规定：p △q=p 2＋(p －q) ×2。求30△（5△3）。 3、设M 、N 是两个数，规定：*M N M N N M = +，求110*204－。 例3、如果1*5111111111111111=++++，2*42222222222=+++， 3*3333333=++，4*2444=+，那么7*4= ；210*2= 。 【举一反三】 定义新运算 知识与方法： 对于常用的加、减、乘、除等运算，我们已经熟知它们的运算法则和计算方法，如6+ 2=8, 6X2=12等。都是2和6,为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实质上是对应法则不同。由此可见，一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法。对应法则不同就是不同的运算。当然，这个对应法则应该是对应任意两个数。通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应。 这节课，我们将定义一些新的运算形式，它们与我们常用的加、减、乘、除运算是不相同的。解决定义新运算这类题的关键：是抓住定义的本质借用“ +、一、X、十”四则运算进行的，解答时要弄活新运算与四则运算的关系。 特别注意运算顺序，每个新定义的运算符号只能在本题中使用，新运算不一定符合运算定律。 例1:设a、b都表示数，规定：aAb =3X a— 2X b。试计算： (1) 3A2; (2) 2A3。 练习1: 1. 设a b都表示数，规定：a。b=5X a— 2X b。试计算304 2. 设a b都表示数，规定：a*b=3x a+ 2X b。试计算：5*6 例2:对于两个数a与b,规定b=3a+ 2a,试计算( 3^5) 练习2: 1.对于两个数a与b,规定：aOb=a+3b，试计算40506 2.对于两个数A与B,规定：A△ B=2X A — B,试计算5A6A7 例3:对于两个数a, b,规定：a金b=ax b+ a+ b,试计算：9 ? 练习3: 1.对于两个数a, b,规定：a$b=ax b— ( a+ b),试计算：6 ? 7. 2..对于两个数A与B,规定：A GB=A X B-2,试计算：8 99 例4:如果2、3=2 + 3 + 4, 5A4=5+ 6+ 7+ 8,那么按此规律计算：(1) 3A5; (2) 8A3。 练习4: 1.如果4A2=4X 5, 2A3=2X 3X 4,那么按此规律计算:5A4。 班级: 姓名: 总分: 1、直接写出复数。(20分) 3 5× 1 2 = 1÷2 3 = 4 5 ÷8= 7× 2 7 ＝ 3 8 ×12= 1 5× 16 25 = 1 4 － 1 5 = 1 3 ＋1 4 9 10 ÷ 3 20 ＝14÷ 7 8 = 2 （1 （3 3 （1 4、列式计算。(20分) （1）一个数的3 5 是30，这个数是多 少？（2）比一个数多12%的数是112，这个数是多少？ 班级: 姓名: 总分: 1、直接写出得数。（20分） 12÷ 1 2 = 1÷1%= 9.5+0.5= 13+14= 0÷15×2= 1－1112= 78×514= 712÷74= 45－12= 19×7 8 ×9= 2 （1 （3 3（1 4、列式计算。（24分） （1）12加上23的和，等于一个数的2 3 ， 这个数是多少？ （2）一个数的3 5 比它的2倍少28， 这个数是多少？ 班级: 姓名: 总分: 1．直接写出得数。（16分） 4.9:6.3＝ 54＋152＝ 87×7 4＝ 1― 41―21＝ 83＋4 3 ＝ 53÷10 3＝ 9÷43＝ 32×61×10 9＝ 2．解方程。（24分） 3 14 和是多少？ 32 ，甲数是60，求乙数。 班级: 姓名: 总分: 1．直接写出得数。（20分） 3145-= 25.043+= 323?= 1265?= 8 1 83?÷= 203203÷ = 521÷= 5391?= 59913?= 87 2 81??= 2 3 4、列式计算(24分) （1）53与21的差除以47，商是多少？ （2）9比一个数的5 4 少1，求这个数。 第三讲定义新运算 【课首小测】 1、一个长为20厘米、宽为16厘米的长方形纸片，沿它的边剪去一个长为8厘米、宽为4厘米 的小长方形。求；剩余部分的周长。 2、几个连续自然数相加，和能等于56吗？如果能，有几种不同的答案？写出这些答案；如果 不能、说明理由。 【互动导学】 【导学】：定义新运算 新运算在于有新的运算符号以及新的运算法则，解答这类题型须理解“新”的意义。 1.按照新定义的运算准确计算，常见的如△、◎、※等。（特殊的运算符号，表示特定的意义， 是人为设定的。） 2.理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值计算。 3.把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算或方程。 【例题精讲】 【例1】定义新运算为a △b ＝（a ＋1）÷b ，求6△（3△4）的值。 【例2】定义新运算为1 a a b b += e （1）求()234e e 的值； （2）若4 1.25x =e ，则x 的值为多少？ 【例3】如果：1※2＝1＋11 2※3＝2＋22＋222 3※4＝3＋33＋333＋3333 计算：（3※2）×5 【例4】对于任意的自然数a 和b ，规定新运算*：(1)(2)(1)a b a a a a b *=+++++++-L （1）求1*100的值 （2）已知x *10=75，求x 为多少？ 【我爱展示】 1.P 、Q 表示数，*P Q 表示2 P Q +，求3*（6*8）。 2.如果a △b 表示(2)a b -?，例如3△4()3244=-?=，那么，当a △5=30时,a= 3.定义： 6※2=6+66=72 2※3=2+22+222=246， 1※4=1+11+111+1111=1234. 7※5= 。 4.定义新运算”?“，使下列算式成立： 248?=，5313?=，3511?=，9725?=，求73?= 。 5.对于任意的两个自然数a 和b ，规定新运算*：(1)(2)(1)a b a a a a b *=+++-L ，如果(3)23660x **=，那么x 等于几？ 一、知识概念 1、定义新运算是指运用某种特殊的符号表示的一种特定运算形式。 注意：（1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算。 （2）我们还要知道，这是一种人为的运算形式。它是使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、:、△、?、■等来表示的一种运算。 （3）新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。但它在没有转化前，是不适合于各种运算 定律的。 2、一般的解题步骤是： 一是认真审题，深刻理解新定义的内容； 二是排除干扰，按新定义关系去掉新运算符号； 三是化新为旧，转化成已有知识做旧运算。 典例分析火 例1、对于任意数a, b,定义运算“*：a*b=axb-a-b。 求12*4的值。 【解析】根据题目定义的运算要求，直接代入后用四则运算即可。 12*4=12 X 4-12-4=48-12-4=32 例2、假设 a ★ b = ( a + b ) b k 求8 ★ 5。 【解析】该题的新运算被定义为：a ★ b等于两数之和除以后一个数的商。这里要先算括号里面的和，再算后面的商。这里a代表数字8, b代表数字5。 8 ★ 5 = (8 + 5 ) + 5 = 2.6 例3、如果a? b=a X b-(a+b)。求6?( 9?2)。 【解析】根据定义，要先算括号里面的。这里的符号“◎”就是一种新的运算符号。 6?(9◎2) =6? [9 X 2- ( 9+2)] =6? 7 =6X 7- (6+7) =42-13=29 例4、如果 1 A 3=1 + 11 + 111; 2 △ 5=2+22+222+2222+22222; 8 △ 2=8+88。求 6 △ 5。 【解析】仔细观察发现“ A ”前面的数字是加数每个数位上的数字，而加数分别是一位数，二位数，三位数，……“ △”后面的数字是几，就有几个加数。因此可以按照这个规律进行解答。 6 A 5=6+66+666+6666+66666=74070 例5、如果规定：2=1 X 2X 3, : 3=2X 3X 4，: 4=3 X 4X 5, :X= (X-1 ) X X X (X+1 )。由【解析】该题看上去比较复杂，但仔细观察，我们可以发现，该题被定义为 于把数代入算式中计算比较麻烦，我们可以先化简算式后，再计算。 1 1 : 2 ( - )X ：2 ：3 1 3小学六年级数学计算比赛试题
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