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挑战压轴题：中考数学压轴题精选精析(含答案)

中考数学压轴题精选精析

25．（2010广东广州，25，14分）如图所示，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为

（3，0），（0，1），点D 是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线y

＝－

x ＋b 交折线OAB 于点E ．（1）记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式；（2）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形OA 1B 1C 1，

试探究OA 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.

【分析】（1）要表示出△ODE 的面积，要分两种情况讨论，①如果点E 在OA 边上，只需求出这个三角形的底边OE 长（E 点横坐标）和高（D 点纵坐标），代入三角形面积公式即可；②如果点E 在AB 边上，这时△ODE 的面积可用长方形OABC 的面积减去△OCD 、△OAE 、△BDE 的面积；

（2）重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA 边上的线段长度是否变化．

【答案】（1）由题意得B （3，1）．

若直线经过点A （3，0）时，则b ＝3

2 若直线经过点B （3，1）时，则b ＝5

若直线经过点C （0，1）时，则b ＝1

①若直线与折线OAB 的交点在OA 上时，即1＜b ≤

，如图25-a ，

此时E （2b ，0）

∴S ＝

12OE ·CO ＝12

32b 31＝b ②若直线与折线OAB 的交点在BA 上时，即

32＜b ＜5

，如图2 图1

B A

C D

E O

此时E （3，32

b -

），D （2b －2，1） ∴S ＝S 矩－(S △OCD ＋S △OAE ＋S △DBE )

＝ 3－[

12(2b －1)×1＋12×(5－2b )2(52b -)＋1233(32

b -)]＝252b b - ∴2312

535222

b b S b b b ?

<≤??=??-<<

（2）如图3，设O 1A 1与CB 相交于点M ，OA 与C 1B 1相交于点N ，则矩形OA 1B 1C 1与

矩形OABC 的重叠部分的面积即为四边形DNEM 的面积。

本题答案由无锡市天一实验学校金杨建老师草制！

由题意知，DM ∥NE ，DN ∥ME ，∴四边形DNEM 为平行四边形根据轴对称知，∠MED ＝∠NED

又∠MDE ＝∠NED ，∴∠MED ＝∠MDE ，∴MD ＝ME ，∴平行四边形DNEM 为菱形．过点D 作DH ⊥OA ，垂足为H ，由题易知，tan ∠DEN ＝

，DH ＝1，∴HE ＝2，设菱形DNEM 的边长为a ，

则在Rt △DHM 中，由勾股定理知：2

(2)1a a =-+，∴54

a = ∴S 四边形DNEM ＝NE 2DH ＝

∴矩形OA 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为

．【涉及知识点】轴对称四边形勾股定理

【点评】本题是一个动态图形中的面积是否变化的问题，看一个图形的面积是否变化，关键是看决定这个面积的几个量是否变化，本题题型新颖是个不可多得的好题，有利于培养学生的思维能力，但难度较大，具有明显的区分度．

【推荐指数】★★★★★

图3

N M

C 1

A 1

B 1

O 1

y C

A O

C B A

O 图2

（10浙江嘉兴）24．如图，已知抛物线y ＝－12

x 2

＋x ＋4交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴于

点B ．

（1）求A 、B 两点的坐标，并求直线AB 的解析式；（2）设P （x ，y ）（x ＞0）是直线y ＝x 上的一点，Q 是OP 的中点（O 是原点），以PQ 为对角线作正方形PEQF ，若正方形PEQF 与直线AB 有公共点，求x 的取值范围；（3）在（2）的条件下，记正方形PEQF 与△OAB 公共部分的面积为S ，求S 关于x 的函数解析式，并探究S 的最大值．

（10重庆潼南）26.（12分）如图, 已知抛物线c bx x y ++=

1与y 轴相交于C ，与x 轴相交于A 、B ，点A 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，-1）. （1）求抛物线的解析式；

（2）点E 是线段AC 上一动点，过点E 作DE ⊥x 轴于点D ，连结DC ，当△DCE 的面积最

大时，求点D 的坐标；

（3）在直线BC 上是否存在一点P ，使△ACP 为等腰三角形，若存在，求点P 的坐标，

若不存在，说明理由.

y o

题图26A

y o

备用图

（10重庆潼南）26. 解：（1）∵二次函数c bx x y ++=2

1的图像经过点A （2，0）C(0,－1)

∴??

?-==++1

22c c b

解得： b =－2

c =－1-------------------2分

∴二次函数的解析式为12

212--=x x y --------3分

（2）设点D 的坐标为（m ，0）（0＜m ＜2） ∴ OD=m ∴AD=2-m 由△ADE ∽△AOC 得，OC

DE AO AD = --------------4分 ∴

122DE

m =- ∴DE=2

2m ------------------------------------5分

∴△CDE 的面积=21322m

-3m

42m

m +-

=41)1(412+--m 当m =1时，△CDE 的面积最大

∴点D 的坐标为（1，0）--------------------------8分（3）存在由(1)知：二次函数的解析式为12

212--=

x x y 设y=0则12

2102--=

x x 解得：x 1=2 x 2=－1 ∴点B 的坐标为（－1，0） C （0，－1）

设直线BC 的解析式为：y =kx ＋b

∴ ?

??-==+-10b b k 解得：k =-1 b =-1

∴直线BC 的解析式为: y =－x －1

在Rt △AOC 中，∠AOC=900

OA=2 OC=1 由勾股定理得：AC=5

∵点B(－1,0) 点C （0，－1）

∴OB=OC ∠BCO=450

①当以点C 为顶点且PC=AC=5时，设P(k, －k －1)

过点P 作PH⊥y 轴于H

∴∠HCP=∠BCO=450

CH=PH=∣k ∣ 在Rt △PCH 中

k 2

+k 2

()2

5 解得k 1

210， k 2=－2

10 ∴P 1（210，－1210-） P 2（－210，12

-）---10分

②以A 为顶点，即AC=AP=5 设P(k , －k －1)

过点P 作PG ⊥x 轴于G

AG=∣2－k ∣ GP=∣－k －1∣

在Rt △APG 中 AG 2＋PG 2=AP 2

（2－k )2+(－k －1)2

=5 解得：k 1=1,k 2=0(舍)

∴P 3(1, －2) ----------------------------------11分 ③以P 为顶点，PC=AP 设P(k , －k －1) 过点P 作PQ ⊥y 轴于点Q PL ⊥x 轴于点L ∴L(k ,0)

∴△QPC 为等腰直角三角形 PQ=CQ=k 由勾股定理知

CP=PA=2k

∴AL=∣k -2∣, PL=｜－k －1｜在Rt △PLA 中

(2k)2

=(k －2)2

＋(k ＋1)2

解得：k =

25∴P 4(25,－2

) ------------------------12分综上所述：存在四个点：P 1（210，－12

-）

P 2（-210，12

-） P 3(1, －2) P 4(25,－27)

（10四川宜宾）24．(本题满分l2分)将直角边长为6的等腰Rt △AOC 放在如图所示的平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点C 、A 分别在x 、y 轴的正半轴上，一条抛物线经过点A 、C 及点B (–3，0)．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若点P 是线段BC 上一动点，过点P 作AB 的平行线交AC 于点E ，连接AP ，当 △APE 的面积最大时，求点P 的坐标；

(3)在第一象限内的该抛物线上是否存在点G ，使△AGC 的面积与（2）中△APE 的最大面积相等?若存在，请求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．

y A

（10浙江宁波）26、如图1、在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，□ABCD 的顶点A 的坐标为（－2，0），点D 的坐标为（0，32），点B 在x 轴的正半轴上，点E 为线段AD 的中点，过点E 的直线l 与x 轴交于点F ，与射线DC 交于点G 。（1）求DCB ∠的度数;

（2）连结OE ，以OE 所在直线为对称轴，△OEF 经轴对称变换后得到△F OE '，记直线F E '

与射线DC 的交点为H 。

①如图2，当点G 在点H 的左侧时，求证：△DEG∽△DHE;

②若△EHG 的面积为33，请直接写出点F 的坐标。

25、解：（1）?60

（2）（2，32）（3）①略

②过点E 作EM ⊥直线CD 于点M ∵CD ∥AB

∴?=∠=∠60DAB EDM

∴32

260sin =?=??=DE Em

∵3332

21=??=??=?GH ME GH S EGH

∴6=GH

∵△DHE ∽△DEG

∴

DH DG DE =即DH DG DE ?=2

当点H 在点G 的右侧时，设x DG =，6+=x DH ∴)6(4+=x x

解：11321331-=++-=x

∴点F 的坐标为（113+-，0）

当点H 在点Ｇ的左侧时，设x DG =，6-=x DH ∴)6(4-=x x

y x C D A O B E

G F （图1） x

D A O B

E G H

F F 'y （图2）

O B

（图3）

x C

D A

O B

E y （图3）

Ｍ

解：1331+=x ，1331-=x （舍） ∵△ＤＥＧ≌△ＡＥＦ ∴133+==DG AF

∵5132133+=++=+=AF AO OF ∴点Ｆ的坐标为（513--，0）

综上可知，点Ｆ的坐标有两个，分别是1F （113+-，0），2F （513--，0）

（10江苏南通）28．（本小题满分14分）已知抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋c 经过A （－4，3）、B （2，0）两点，当x =3和x =－3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等．经过点C （0，－2）的直线l 与 x 轴平行，O 为坐标原点．

（1）求直线AB 和这条抛物线的解析式；

（2）以A 为圆心，AO 为半径的圆记为⊙A ，判断直线l 与⊙A 的位置关系，并说明理由；（3）设直线AB 上的点D 的横坐标为－1，P （m ，n ）是抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋c 上的动点，

当

△PDO 的周长最小时，求四边形CODP 的面积．

（10浙江义乌）24．如图1，已知梯形OABC ，抛物线分别过点O （0，0）、A （2，0）、B （6，

3）．

（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M 的坐标；

（2）将图1中梯形OABC 的上下底边所在的直线OA 、CB 以相同的速度同时向上平移，

分别交抛物线于点O 1、A 1、C 1、B 1，得到如图2的梯形O 1A 1B 1C 1．设梯形O 1A 1B 1C 1的面积为S ，A 1、 B 1的坐标分别为 (x 1，y 1)、(x 2，y 2)．用含S 的代数式表示2x －1x ，并求出当S =36时点A 1的坐标；

（3）在图1中，设点D 坐标为(1，3)，动点P 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度

沿着线段BC 运动，动点Q 从点D 出发，以与点P 相同的速度沿着线段DM 运动．P 、Q 两点同时出发，当点Q 到达点M 时，P 、Q 两点同时停止运动．设P 、Q 两点的运动时间为t ，是否存在某一时刻t ，使得直线PQ 、直线AB 、x 轴围成的三角形与直线PQ 、直线AB 、抛物线的对称轴．．．围成的三角形相似？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．

－1 y

x O （第28题） 1 2 3 4

－2

－4 －3 3 －1

－2 －3 －4 4 1 2

（10浙江义乌）24．解：（1）对称轴：直线1x =……………………………………………………..…

1分

解析式：21184y x x =-或211

(1)88

y x =--……………………………….2分

顶点坐标：M （1，1

-）……….…………………………………………..3分

（2）由题意得 213y y -=

222122111111

8484

y y x x x x -=

--+=3……………………………………..1分得：212111

()[()]384

x x x x -+-=①…………….………………….……2分

12122(11)3()62x x s x x -+-?3==+-

得：1223

x x +=+ ②….………………………………………..………..3分

把②代入①并整理得：2172

x x s -=(S ＞0) (事实上，更确切为S ＞66)4

分

当36s =时，2121142x x x x +=??

-=? 解得：12

8x x =??=?(注：S ＞0或S ＞66不写

不扣

分) 把16x =代入抛物线解析式得13y = ∴点A 1（6，3） (5)

分

（3）存在………………………………………………………………….…..……1分

解法一：易知直线AB 的解析式为33

y x =-，可得直线AB 与对称轴的

交点E 的坐标为31,4??

- ??

∴BD =5，DE =15

，DP =5－t ，DQ = t

当PQ ∥AB 时，DQ DP

DE DB

51554

t t -=

得 15

7t =………2分下面分两种情况讨论: 设直线PQ 与直线AB 、x 轴的交点分别为点F 、G

图2 O 1 A 1

O y x

B 1

C 1 D

M C B A O y x

图1

M C

B A O y x F G

①当0<15

t <

时，如图1-1 ∵△FQE ∽△FAG ∴∠FGA ＝∠FEQ ∴∠DPQ ＝∠DEB 易得△DPQ ∽△DEB ∴

DQ DP

DB DE

∴515

t t -= 得201577t =>

∴20

7t =(舍去)…………………………3分

② 当

157<1

t <3时，如图1-2 ∵△FQE ∽△FAG ∴∠FAG ＝∠FQE

∵∠DQP ＝∠FQE ∠FAG ＝∠EBD

∴∠DQP ＝∠DBE 易得△DPQ ∽△DEB ∴DQ DP

DB DE

∴515

54t t -=， ∴20

7t =

∴当20

t =秒时，使直线PQ 、直线AB 、x 轴围成的三角形与直线PQ 、

直线AB 、抛物线的对称轴围成的三角形相似………………………………4分

(注:未求出15

t =能得到正确答案不扣分)

解法二：可将284x x y =-向左平移一个单位得到21

x y =-,再用解法一

类似的方法可求得

2172x x S ''-= , 1(5,3)A ', 20

7t =

∴2172x x S -= 1(6,3)A , 20

t =.

（10安徽省卷）23.如图，已知△ABC ∽△111C B A ，相似比为k （1>k ），且△ABC 的三边

长分别为a 、b 、c （c b a >>），△111C B A 的三边长分别为1a 、1b 、1c 。 ⑴若1a c =，求证：kc a =；

⑵若1a c =，试给出符合条件的一对△ABC 和△111C B A ，使得a 、b 、c 和1a 、1b 、1c 进都是正整数，并加以说明；

⑶若1a b =，1b c =，是否存在△ABC 和△111C B A 使得2=k ？请说明理由。

（10山东聊城）25．（本题满分12分）如图，已知抛

物线y ＝ax 2

＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为x ＝1，且抛物线经过A （—1，0）、B （0，—3）两点，与x 轴交于另一点B ．

O x ＝1 第25题 A C B E N

D C B A O y

（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；

（2）在抛物线的对称轴x ＝1上求一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，

并求出此时点M 的坐标；

（3）设点P 为抛物线的对称轴x ＝1上的一动点，求使∠PCB ＝90°的点P 的坐标．

（10四川眉山）26．如图，Rt △ABO 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半

轴上，O 为坐标原点，A 、B 两点的坐标分别为（3-，0）、（0，4），抛物线2

y x bx c =++经过B 点，且顶点在直线5

x =

上．（1）求抛物线对应的函数关系式；

（2）若△DCE 是由△ABO 沿x 轴向右平移得到的，当四边形ABCD 是菱形时，试判断点C

和点D 是否在该抛物线上，并说明理由；

（3）若M 点是CD 所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M 作MN 平行于y 轴交CD

于点N ．设点M 的横坐标为t ，MN 的长度为l ．求l 与t 之间的函数关系式，并求l 取最大值时，点M 的坐标．

26．解：（1）由题意，可设所求抛物线对应的函数关系式为225()32

y x m =-+ …（1分） ∴2254()32

m =?-+

∴16

m =- ……………………………………………………………（3分） ∴所求函数关系式为：22251210

()432633

y x x x =--=-+ …………（4分）（2）在Rt △ABO 中，OA =3，OB =4，

∴225AB OA OB =+=

∵四边形ABCD 是菱形

∴BC =CD =DA =AB =5 ……………………………………（5分）

E N M D C

B A O y

x ∴C 、D 两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）． …………（6分）

当5x =时，2210

554433y =?-

?+=

当2x =时，2210

224033

y =?-?+=

∴点C 和点D 在所求抛物线上． …………………………（7分）（3）设直线CD 对应的函数关系式为y kx b =+，则

20k b k b +=??

+=?

解得：48

,33k b ==-．

∴4833

y x =- ………（9分） ∵MN ∥y 轴，M 点的横坐标为t ，

∴N 点的横坐标也为t ．

则2210433M y t t =-+， 48

N y t =-，……………………（10分）

∴22248210214202734()3333333322N M l y y t t t t t t ??

=-=---+=-+-

=--+ ???

∵203-<， ∴当72t =时，32

l =最大，

此时点M 的坐标为（72，1

）． ………………………………（12分）

（10浙江杭州）24. (本小题满分12分)

在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的解析式是y =

1x +1，点C 的坐标为(–4，0)，平行四边形OABC 的顶点A ，B 在抛物线上，AB 与y 轴交于点M ，已知点Q (x ，y )在抛物线上，点

P (t ，0)在x 轴上.

(1) 写出点M 的坐标；

(2) 当四边形CMQP 是以MQ ，PC 为腰的梯形时.

① 求t 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围； ② 当梯形CMQP 的两底的长度之比为1：2时，求t 的值.

24. (本小题满分12分)

(1) ∵OABC 是平行四边形，∴AB∥OC，且AB = OC = 4， ∵A，B 在抛物线上，y 轴是抛物线的对称轴， ∴ A，B 的横坐标分别是2和– 2，

（第24题）

代入y =2

1x +1得， A(2, 2 )，B(– 2，2)， ∴M (0

，

---2分

(2) ① 过点Q 作QH ⊥ x 轴，设垂足为H ，则HQ = y ，HP = x –t ，由△HQP ∽△OMC ，得：

2t x y -=, 即： t = x – 2y , ∵ Q(x ,y ) 在y = 241x +1上， ∴ t = –22

1x + x –2. ---2分

当点P 与点C 重合时，梯形不存在，此时，t = – 4，解得x = 1±5, 当Q 与B 或A 重合时，四边形为平行四边形，此时，x = ± 2 ∴x 的取值范围是

x ≠ 1±5, 且x ≠± 2的所有实数.

---2分

② 分两种情况讨论：

1）当CM > PQ 时，则点P 在线段OC 上， ∵ CM ∥PQ ，CM = 2PQ ，

∴点M 纵坐标为点Q 纵坐标的2倍，即2 = 2(2

1x +1)，解得x = 0 ， ∴t =

–

202

1+ 0 –2

–2

--- 2分

2）当CM < PQ 时，则点P 在OC 的延长线上， ∵CM ∥PQ ，CM =

PQ ， ∴点Q 纵坐标为点M 纵坐标的2倍，即

1x +1=2?2，解得： x = ±32. ---2分

当x = –32时，得t = –2)32(2

–32–2 = –8 –32, 当x =

32时

，

得

t =

2–8.

---2分

（10浙江温州）24．(本题l4分)如图，在RtAABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B

作射线BBl ∥AC ．动点D 从点A 出发沿射线AC 方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E 从点C 出发沿射线AC 方向以每秒3个单位的速度运动．过点D 作DH ⊥AB 于H ，过点E 作EF 上AC 交射线BB 1于F ，G 是EF 中点，连结DG ．设点D 运动的时间为t 秒． (1)当t 为何值时，AD=AB ，并求出此时DE 的长度； (2)当△DEG 与△AC B 相似时，求t 的值；

(3)以DH 所在直线为对称轴，线段AC 经轴对称变换后的图形为A ′C ′． ①当t>

时，连结C ′C ，设四边形ACC ′A ′的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式； ②当线段A ′C ′与射线BB ，有公共点时，求t 的取值范围(写出答案即可)．

（10重庆）26．已知：如图（1），在平面直角坐标xOy 中，边长为2的等边△OAB 的顶点

B 在第一象限，顶点A 在x 轴的正半轴上．另一等腰△OCA 的顶点

C 在第四象限，OC ＝AC ，∠C ＝120°．现有两动点P 、Q 分别从A 、O 两点同时出发，点Q 以每秒1个单位的速度沿OC 向点C 运动，点P 以每秒3个单位的速度沿A →O →B 运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止.

（1）求在运动过程中形成的△OPQ 的面积S 与运动的时间t 之间的函数关系，并写出自变量t 的取值范围；

（2）在等边△OAB 的边上（点A 除外）存在点D ，使得△OCD 为等腰三角形，请直接写出

所有符合条件的点D 的坐标；

（3）如图（2），现有∠MCN ＝60°，其两边分别与OB 、AB 交于点M 、N ，连接MN ．将∠

MCN 绕着C 点旋转（0°＜旋转角＜60°），使得M 、N 始终在边OB 和边AB 上．试判断在这一过程中，△BMN 的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．

（10安徽芜湖）24．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO ，其

顶点为A （0，1）、B （－33，1）、C （－33，0）、O （0，0）．将此矩形沿着过E （－

3，1）、F （－43

，0）的直线EF 向右下方翻折，B 、C 的对应点分别为B ′、C ′．

（1）求折痕所在直线EF 的解析式；

（2）一抛物线经过B 、E 、B ′三点，求此二次函数解析式；

（3）能否在直线EF 上求一点P ，使得△PBC 周长最小？如能，求出点P 的坐标；若不能，说明理由．解：

（10甘肃兰州）28.（本题满分11分）如图1，已知矩形ABCD 的顶点A 与点O 重合，AD 、

AB 分别在x 轴、y 轴上，且AD=2，AB=3；抛物线

c bx x y ++-=2

经过坐标原点O 和x 轴上另一点E （4,0）

（1）当x 取何值时，该抛物线的最大值是多少？

（2）将矩形ABCD 以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x 轴的正方向匀速平

行移动，同时一动点P 也以相同的速度从点A 出发向B 匀速移动.设它们运动的时间为t 秒（0≤t ≤3），直线AB 与该抛物线的交点为N （如图2所示）.

① 当

411

t 时，判断点P 是否在直线ME 上，并说明理由；

② 以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积是否可能为5，若有可能，求出此时N 点的坐标；若无可能，请说明理由．

图1 第28题图图2

28. （本题满分11分）

解：（1）因抛物线

c bx x y ++-=2

经过坐标原点O （0,0）和点E （4,0）故可得c=0,b=4

所以抛物线的解析式为

x x y 42

+-=…………………………………………1分由x x y 42

+-=()2

y x =--+

得当x =2时，该抛物线的最大值是4. …………………………………………2分

（2）① 点P 不在直线ME 上. 已知M 点的坐标为(2,4)，E 点的坐标为(4,0)，设直线ME 的关系式为y=kx +b .

于是得???=+=+4204b k b k ，解得???=-=82b k

所以直线ME 的关系式为y=-2x +8. …………………………………………3分由已知条件易得，当

411=

t 时，OA=AP=411，)

411

,411(P …………………4分

∵ P 点的坐标不满足直线ME 的关系式y=-2x +8.

∴ 当

411

t 时，点P 不在直线ME 上. ……………………………………5分

②以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积可能为5 ∵ 点A 在x 轴的非负半轴上，且N 在抛物线上， ∴ OA=AP=t .

∴ 点P ，N 的坐标分别为(t ,t )、(t ,-t 2

+4t ) …………………………………6分

∴ AN=-t 2

+4t (0≤t ≤3) ,

∴ AN -AP=(-t 2

+4 t )- t=-t 2

+3 t=t (3-t )≥0 , ∴ PN=-t 2

+3 t …………………………………………………………………………………7分（ⅰ）当PN=0，即t=0或t =3时，以点P ，N ，C ，D 为顶点的多边形是三角形，此三角形

的高为AD ，∴ S=21DC 2AD=21

3332=3. （ⅱ）当PN ≠0时，以点P ，N ，C ，D 为顶点的多边形是四边形

∵ PN ∥CD ，AD ⊥CD ，

∴ S=21(CD+PN )2AD=21

[3+(-t 2+3 t )]32=-t 2

+3 t +3…………………8分当-t 2

+3 t +3=5时，解得t=1、2…………………………………………………9分而1、2都在0≤t ≤3范围内，故以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积为5 综上所述，当t=1、2时，以点P ，N ，C ，D 为顶点的多边形面积为5，当t=1时，此时N 点的坐标（1,3）………………………………………10分

1 -

2 1 A

y O B P

C Q E

D 当t=2时，此时N 点的坐标（2,4）………………………………………11分

说明：（ⅱ）中的关系式，当t=0和t=3时也适合.（故在阅卷时没有（ⅰ），只有（ⅱ）也可以,不扣分）

（10江苏盐城）28．（本题满分12分）已知：函数y =ax 2

+x +1的图象与x 轴只有一个公共点．（1）求这个函数关系式；

（2）如图所示，设二次．．函数y =ax 2

+x +1图象的顶点为B ，与y 轴的交点为A ，P 为图象上的一点，若以线段PB 为直径的圆与直线AB 相切于点B ，求P 点的坐标；

（3）在(2)中，若圆与x 轴另一交点关于直线PB 的对称点为M ，试探索点M 是否在抛物

线y =ax 2

+x +1上，若在抛物线上，求出M 点的坐标；若不在，请说明理由．

28．解：（1）当a = 0时，y = x +1，图象与x 轴只有一个公共点………(1分)

当a ≠0时，△=1- 4a =0，a = 1

4 ，此时，图象与x 轴只有一个公共点．

∴函数的解析式为：y =x +1 或`y =14

x 2

+x +1……（3分）

（2）设P 为二次函数图象上的一点，过点P 作PC ⊥x 轴于点C ． ∵y =ax 2

+x +1 是二次函数，由（1）知该函数关系式为： y =1

x 2+x +1，则顶点为B （-2，0），图象与y 轴的交点坐标为A （0，1）………（4分）

∵以PB 为直径的圆与直线AB 相切于点B ∴PB ⊥AB 则∠PBC =∠BAO ∴Rt △PCB ∽Rt △BOA

∴AO

BC OB

PC ，故PC =2BC ，……………………………………………………（5分）

设P 点的坐标为(x ，y )，∵∠ABO 是锐角，∠PBA 是直角，∴∠PBO 是钝角，∴x <-2 ∴BC =-2-x ，PC =-4-2x ，即y =-4-2x ， P 点的坐标为(x ，-4-2x )

∵点P 在二次函数y =14 x 2+x +1的图象上，∴-4-2x =14

x 2

+x +1…………………（6分）

解之得：x 1=-2，x 2=-10

∵x <-2 ∴x =-10，∴P 点的坐标为：(-10，16)…………………………………（7分）

（3）点M 不在抛物线y =ax 2

+x +1 上……………………………………………（8分）由（2）知：C 为圆与x 轴的另一交点，连接CM ，CM 与直线PB 的交点为Q ，过点M 作

x 轴的垂线，垂足为D ，取CD 的中点E ，连接QE ，则CM ⊥PB ，且CQ =MQ

x y

∴QE ∥MD ，QE =1

MD ，QE ⊥CE

∵CM ⊥PB ，QE ⊥CE PC ⊥x 轴 ∴∠QCE =∠EQB =∠CPB

∴tan ∠QCE = tan ∠EQB = tan ∠CPB =1

CE =2QE =232BE =4BE ，又CB =8，故BE =85 ，QE =16

∴Q 点的坐标为(-185 ，16

5 )

可求得M 点的坐标为(145 ，32

)…………………………………………………（11分）

∵14(145)2+(145)+1 =14425 ≠325 ∴C 点关于直线PB 的对称点M 不在抛物线y =ax 2

+x +1 上……………………（12分） (其它解法，仿此得分)

（10浙江台州）24．如图，Rt△ABC 中，∠C =90°，BC =6，AC =8．点P ，Q 都是斜边AB 上的动点，点P 从B 向A 运动（不与点B 重合），点Q 从A 向B 运动，BP=AQ ．点D ，E 分别是点A ，B 以Q ，P 为对称中心的对称点， HQ ⊥AB 于Q ，交AC 于点H ．当点E 到达顶点A 时，

P ，Q 同时停止运动．设BP 的长为x ，△HDE 的面积为y ．

（1）求证：△DHQ ∽△ABC ；

（2）求y 关于x 的函数解析式并求y 的最大值；（3）当x 为何值时，△HDE 为等腰三角形？

24．（14分）（1）∵A 、D 关于点Q 成中心对称，HQ ⊥AB ，

∴C HQD ∠=∠=90°，HD =HA ， ∴A HDQ ∠=∠，…………………………………………………………………………3分 ∴△DHQ ∽△ABC ． ……………………………………………………………………1分

（2）①如图1，当5.20≤

ED =x 410-，QH =x A AQ 4

tan =

∠，此时x x x x y 415

2343)410(212+-=?-=． …………………………………………3分

当4

5=x 时，最大值3275

=y ．

（第24题） D

B A

D H

A C P （图1） H Q D E P

B A

C （图2）

②如图2，当55.2≤

ED =104-x ，QH =x A AQ 4

tan =

∠，此时x x x x y 4

2343)104(212-=?-=． …………………………………………2分

当5=x 时，最大值4

=y ．

∴y 与x 之间的函数解析式为?????≤<-≤<+-=).

55.2(415

3),

5.20(415

2322x x x x x x y

y 的最大值是

．……………………………………………………………………1分（3）①如图1，当5.20≤

若DE =DH ，∵DH =AH =x A QA 4

cos =∠， DE =x 410-，

∴x 410-=x 45，21

=x ．

显然ED =EH ，HD =HE 不可能； ……………………………………………………1分 ②如图2，当55.2≤

若DE =DH ，104-x =

x 45

，11

40=x ； …………………………………………1分若HD =HE ，此时点D ，E 分别与点B ，A 重合，5=x ； ………………………1分

若ED =EH ，则△EDH ∽△HDA ，

∴AD DH DH ED =，x x x x 2454

5104=

-，103320=x ． ……………………………………1分 ∴当x 的值为103

320

5,1140,2140时，△HDE 是等腰三角形. （其他解法相应给分）

（10浙江金华）24. (本题12分)

如图，把含有30°角的三角板ABO 置入平面直角坐标系中，A ，B 两点坐标分别为（3，0）和(0，33）.动点P 从A 点开始沿折线AO-OB-BA 运动，点P 在AO ，OB ，

BA 上运动的速度分别为1，3，2 (长度单位/秒)﹒一直尺的上边缘l 从x 轴的位置

开始以

(长度单位/秒)的速度向上平行移动（即移动过程中保持l ∥x 轴），且分别与OB ，

AB 交于E ，F 两点﹒设动点P 与动直线l 同时出发，运动时间为t 秒，当点P 沿折线

AO -OB -BA 运动一周时，直线l 和动点P 同时停止运动．

请解答下列问题：

（1）过A ，B 两点的直线解析式是 ▲ ；

（2）当t ﹦4时，点P 的坐标为 ▲ ；当t ﹦ ▲ ，点P 与点E 重合；（3）① 作点P 关于直线EF 的对称点P′. 在运动过程中，若形成的四边形PEP′F 为

菱形，则t 的值是多少？

② 当t ﹦2时，是否存在着点Q ，使得△FEQ ∽△BEP ?若存在, 求出点Q 的

坐标；

若不存在，请说明理由．

24．(本题12分)

解：（1）333+-=x y ；………4分（2）（0,3），2

t ；……4分（各2分）（3）①当点P 在线段AO 上时，过F 作FG ⊥x 轴，G 为垂足（如图1

） ∵FG OE =,FP EP =,∠=EOP ∠=FGP 90° ∴△EOP ≌△FGP ，∴PG OP =﹒

又∵t FG OE 33

==,∠=A 60°,∴t FG AG 3160tan 0== 而t AP =，∴t OP -=3,t AG AP PG 32

=-=

由t t 323=-得 5

=t ； (1)

分

当点P 在线段OB 上时，形成的是三角形，不存在菱形；当点P 在线段BA 上时，

过P 作PH ⊥EF ，PM ⊥OB ，H 、M 分别为垂足（如图2） ∵t OE 33=

,∴t BE 33

33-=,∴3360tan 0t BE EF -== ∴6

921t

EF EH MP -===，又∵)6(2-=t BP

在Rt △BMP 中，MP BP =?060cos

P E O x

y l

(第24题图)

F A P E

x y G P ′

(图1) B

F A

E O x

y M P ′

H （图2)

即6921)6(2t

t -=

?-，解得7

=t ．…………………………………………………1分

②存在﹒理由如下：

∵2=t ，∴33

=OE ,2=AP ，1=OP

将△BEP 绕点E 顺时针方向旋转90°，得到 △EC B '（如图3）

∵OB ⊥EF ，∴点B '在直线EF 上，

C 点坐标为（332，33

－1）

过F 作FQ ∥C B '，交EC 于点Q ,

则△FEQ ∽△EC B ' 由3=='=QE CE FE E B FE BE ，可得Q 的坐标为（－3

，33）………………………1分

根据对称性可得，Q 关于直线EF 的对称点Q '（－

，3）也符合条件．……1分

（10山东烟台）26、（本题满分14分）

如图，已知抛物线y=x 2

+bx-3a 过点A （1,0），B(0,-3),与x 轴交于另一点C 。（1）求抛物线的解析式；

（2）若在第三象限的抛物线上存在点P ，使△PBC 为以点B 为直角顶点的直角三角形，求点P 的坐标；

（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在一点Q ，使以P,Q,B,C 为顶点的四边形为直角梯形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。

（10江苏泰州）27.（12分）

y B

E O

Q ′ B ′ Q C

C 1

D 1 (图3)

2020年中考数学挑战压轴题(含答案)

2020 挑战压轴题中考数学精讲解读篇因动点产生的相似三角形问题 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x2的对称轴绕着点P（0，2）顺时针旋转45°后与该抛物线交于A、B两点，点Q是该抛物线上一点．（1）求直线AB的函数表达式；（2）如图①，若点Q在直线AB的下方，求点Q到直线AB的距离的最大值；（3）如图②，若点Q在y轴左侧，且点T（0，t）（t＜2）是射线PO上一点，当以P、B、Q为顶点的三角形与△PAT相似时，求所有满足条件的t的值． 2．如图，已知BC是半圆O的直径，BC=8，过线段BO上一动点D，作AD⊥BC 交半圆O于点A，联结AO，过点B作BH⊥AO，垂足为点H，BH的延长线交半圆O于点F．（1）求证：AH=BD；（2）设BD=x，BE?BF=y，求y关于x的函数关系式；（3）如图2，若联结FA并延长交CB的延长线于点G，当△FAE与△FBG相似时，求BD的长度．

3．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点A（3，0）、B（0，m）（m＞0），tan∠BAO=2．（1）求直线AB的表达式；（2）反比例函数y=的图象与直线AB交于第一象限内的C、D两点（BD＜BC），当AD=2DB时，求k1的值；（3）设线段AB的中点为E，过点E作x轴的垂线，垂足为点M，交反比例函数y=的图象于点F，分别联结OE、OF，当△OEF∽△OBE时，请直接写出满足条件的所有k2的值． 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=7，点D是边CA延长线的一点，AE⊥BD，垂足为点E，AE的延长线交CA的平行线BF于点F，连结CE交AB于点G．（1）当点E是BD的中点时，求tan∠AFB的值；（2）CE?AF的值是否随线段AD长度的改变而变化？如果不变，求出CE?AF的值；如果变化，请说明理由；（3）当△BGE和△BAF相似时，求线段AF的长．

中考数学压轴题解题方法大全及技巧

专业资料整理分享中考数学压轴题解题技巧湖北竹溪城关中学明道银解中考数学压轴题秘诀（一）数学综合题关键是第24题和25题，我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。（一）函数型综合题：是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解析式（即在求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。初中已知函数有：①一次函数（包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的图像是直线；②反比例函数，它所对应的图像是双曲线； ③二次函数，它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。此类题基本在第24题，满分12分，基本分2－3小题来呈现。（二）几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是

列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）和复合法（列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y＝f（x）的形式），当然还有参数法，这个已超出初中数学教学要求。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求定义域主要是寻找图形的特殊位置（极限位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。几何型综合题基本在第25题做为压轴题出现，满分14分，一般分三小题呈现。在解数学综合题时我们要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。解中考数学压轴题秘诀（二）具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。解数学压轴题，一要树立必胜的信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能，三要掌握常用的解题策略。现介绍几种常用的解题策略，供初三同学参考。 1、以坐标系为桥梁，运用数形结合思想：

中考数学压轴题典型题型精讲含答案

2009年全国中考数学压轴题精选精析（四） 41.（09年湖北恩施州）24.如图，在ABC ?中，∠A 90=°，10=BC ,ABC ?的面积为25，点D 为AB 边上的任意一点(D 不与A 、B 重合)，过点D 作DE ∥BC ，交AC 于点E ．设x DE =以DE 为折线将△ADE 翻折，所得的DE A '?与梯形DBCE 重叠部分的面积记为 y. （1）．用x 表示?ADE 的面积; （2）．求出0﹤x ≤5时y 与x 的函数关系式；（3）．求出5﹤x ﹤10时y 与x 的函数关系式；（4）．当x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？（09年湖北恩施州24题解析）解:(1)∵ D E ∥BC ∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C ∴△ADE ∽△ABC ∴ 2 )(BC DE S S ABC ADE =?? 即2 4 1x S ADE = ? 3分 (2)∵BC=10 ∴BC 边所对的三角形的中位线长为5 ∴当0﹤5≤x 时 2 4 1x S y ADE = =? 6分（3）x ≤5﹤10时，点A '落在三角形的外部,其重叠部分为梯形 ∵S △A 'DE =S △ADE =24 1x ∴DE 边上的高AH=AH '=x 2 1 由已知求得AF=5 ∴A 'F=AA '-AF=x-5 由△A 'MN ∽△A 'DE 知 2 DE A'MN A')H A'F A'(=??S S C B A

2MN A')5(-=?x S ∴25104 3 )5(41222-+-=--=x x x x y 9分（4）在函数2 4 1x y =中 ∵0﹤x ≤5 ∴当x=5时y 最大为：4 25 10分在函数 251043 2-+-=x x y 中当3202= -=a b x 时y 最大为：325 11分 ∵425﹤3 25 ∴当320=x 时，y 最大为：3 25 12分 39.（09年黑龙江绥化）28．(本小题满分lO 分) （09年黑龙江绥化28题解析）

2020年版挑战中考数学压轴题详解(115页)

目录第一部分函数图象中点的存在性问题 1.1 因动点产生的相似三角形问题例1 上海市中考第24题例2 苏州市中考第29题例3 黄冈市中考第25题例4 义乌市中考第24题例5 临沂市中考第26题例6 苏州市中考第29题 1.2 因动点产生的等腰三角形问题例1 上海市虹口区中考模拟第25题例2 扬州市中考第27题例3 临沂市中考第26题例4 湖州市中考第24题例5 盐城市中考第28题例6 南通市中考第27题例7 江西省中考第25题 1.3 因动点产生的直角三角形问题例1 山西省中考第26题例2 广州市中考第24题例3 杭州市中考第22题例4 浙江省中考第23题例5 北京市中考第24题例6 嘉兴市中考第24题例7 河南省中考第23题 1.4 因动点产生的平行四边形问题例1 上海市松江区中考模拟第24题例2 福州市中考第21题例3 烟台市中考第26题例4 上海市中考第24题例5 江西省中考第24题例6 山西省中考第26题例7 江西省中考第24题 1.5 因动点产生的梯形问题例1 上海市松江中考模拟第24题例2 衢州市中考第24题例4 义乌市中考第24题

例5 杭州市中考第24题例7 广州市中考第25题 1.6 因动点产生的面积问题例1 苏州市中考第29题例2 菏泽市中考第21题例3 河南省中考第23题例4 南通市中考第28题例5 广州市中考第25题例6 扬州市中考第28题例7 兰州市中考第29题 1.7 因动点产生的相切问题例1 上海市杨浦区中考模拟第25题例2 河北省中考第25题例3 无锡市中考第28题 1.8 因动点产生的线段和差问题例1 天津市中考第25题例2 滨州市中考第24题例3 山西省中考第26题第二部分图形运动中的函数关系问题 2.1 由比例线段产生的函数关系问题例1 宁波市中考第26题例2 上海市徐汇区中考模拟第25题例3 连云港市中考第26题例4 上海市中考第25题 2.2 由面积公式产生的函数关系问题例1 菏泽市中考第21题例2 广东省中考第22题例3 河北省中考第26题例4 淮安市中考第28题例5 山西省中考第26题例6 重庆市中考第26题第三部分图形运动中的计算说理问题 3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题例1 南京市中考第26题例2 南昌市中考第25题 3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题例1 上海市黄浦区中考模拟第24题例2 江西省中考第24题

中考数学压轴题解题技巧超详细

2012年中考数学压轴题解题技巧解说数学压轴题是初中数学中覆盖知识面最广，综合性最强的题型。综合近年来各地中考的实际情况，压轴题多以函数和几何综合题的形式出现。压轴题考查知识点多，条件也相当隐蔽，这就要求学生有较强的理解问题、分析问题、解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识和创新能力，当然，还必须具有强大的心理素质。下面谈谈中考数学压轴题的解题技巧。如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点. (1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式； (2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段 CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB 交AC于点E. ①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长? ②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形? 请直接写出相应的t值. 解：(1)点A的坐标为（4，8）…………………1分将A (4，8)、C（8，0）两点坐标分别代入y=ax2+bx 8=16a+4b 得 0=64a+8b 解得a=-1 2 ,b=4 ∴抛物线的解析式为：y=-1 2 x2+4x …………………3分（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE=PE AP = BC AB ,即 PE AP = 4 8 ∴PE=1 2 AP= 1 2 t．PB=8-t． ∴点Ｅ的坐标为（4+1 2 t，8-t）. ∴点G的纵坐标为：-1 2 （4+ 1 2 t）2+4(4+ 1 2 t）=- 1 8 t2+8. …………………5分 ∴EG=-1 8 t2+8-(8-t) =- 1 8 t2+t. ∵-1 8 ＜0，∴当t=4时，线段EG最长为2. …………………7分 ②共有三个时刻. …………………8分 t=16 ， t= 40 ，t= 85 ．…………………11分

初中中考数学压轴题及答案(精品)

中考数学专题复习——压轴题 1. 已知:如图,抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴、y 轴分别相交于点A （-1，0）、B （0，3）两点，其顶点为D. （1）求该抛物线的解析式；（2）若该抛物线与x 轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE 的面积；（3） △AOB 与△BDE 是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由. （注：抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)的顶点坐标为??? ? ??--a b ac a b 44,22） 2. 如图，在Rt ABC △中，90A ∠=，6AB =，8AC =，D E ，分别是边AB AC ，的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ BC ⊥于Q ，过点Q 作QR BA ∥交AC 于 R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ x =，QR y =．（1）求点D 到BC 的距离DH 的长；（2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存在点P ，使PQR △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由． 3在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形AMPN ．令AM ＝x ．（1）用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ；（2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？（3）在动点M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？ 4.如图1，在平面直角坐标系中，己知ΔAOB 是等边三角形，点A 的坐标是(0，4)，点B 在第一象限，点P 是x 轴上的一个动点，连结AP ，并把ΔAOP 绕着点A 按逆时针方向旋转.使边AO 与AB 重合.得到ΔABD.（1）求直线AB 的解析式；（2）当点P 运动到点（3，0）时，求此时DP 的长及点D 的坐标；（3）是否存在点P ，使ΔOPD 的面积等于43，若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.

2020年中考数学压轴题突破(含答案)

2014中考压轴题突破训练目标 1.熟悉题型结构，辨识题目类型，调用解题方法； 2.书写框架明晰，踩点得分（完整、快速、简洁）。题型结构及解题方法压轴题综合性强，知识高度融合，侧重考查学生对知识的综合运用能力，对问题背景的研究能力以及对数学模型和套路的调用整合能力。答题规范动作 1.试卷上探索思路、在演草纸上演草。

2.合理规划答题卡的答题区域：两栏书写，先左后右。作答前根据思路，提前规划，确保在答题区域内写完答案；同时方便修改。 3.作答要求：框架明晰，结论突出，过程简洁。 23题作答更加注重结论，不同类型的作答要点：几何推理环节，要突出几何特征及数量关系表达，简化证明过程；面积问题，要突出面积表达的方案和结论；几何最值问题，直接确定最值存在状态，再进行求解；存在性问题，要明确分类，突出总结。 4.20分钟内完成。实力才是考试发挥的前提。若在真题演练阶段训练过程中，对老师所讲的套路不熟悉或不知道，需要查找资源解决。下方所列查漏补缺资源集中训练每类问题的思路和方法，这些训练与真题演练阶段的训练互相补充，帮学生系统解决压轴题，以到中考考场时，不仅题目会做，而且能高效拿分。课程名称： 2014中考数学难点突破 1、图形运动产生的面积问题 2、存在性问题 3、二次函数综合（包括二次函数与几何综合、二次函数之面积问题、二次函数中的存在性问题） 4、2014中考数学压轴题全面突破（包括动态几何、函数与几何综合、点的存在性、三角形的存在性、四边形的存在性、压轴题综合训练）一、图形运动产生的面积问题一、知识点睛 1.研究_基本_图形 2.分析运动状态： ①由起点、终点确定t的范围； ②对t分段，根据运动趋势画图，找边与定点，通常是状态转折点相交时的特殊位置． 3.分段画图，选择适当方法表达面积．二、精讲精练 1.已知，等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在△ABC的边AB上，沿AB方向以 1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点M与点A重合，点N到达点B时运动终止），过点M、N分别作AB边的垂线，与△ABC的其他边交于P、Q两点，线段MN运动的时间为t秒．（1）线段MN在运动的过程中，t为何值时，四边形MNQP恰为矩形？并求出该矩形的面积．（2）线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S，运动的时间为t．求四边形MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．

2018挑战中考数学压轴题((全套)含答案与解析)

第一部分函数图象中点的存在性问题 §1．1因动点产生的相似三角形问题例1 2014 年衡阳市中考第 28 题例2 2014 年益阳市中考第 21 题例3 2015 年湘西州中考第 26 题例4 2015 年张家界市中考第 25 题例5 2016 年常德市中考第 26 题例6 2016 年岳阳市中考第 24 题例 72016年上海市崇明县中考模拟第25 题例 82016年上海市黄浦区中考模拟第26 题 §1．2因动点产生的等腰三角形问题例9 2014 年长沙市中考第 26 题例10 2014 年张家界市第 25 题例11 2014 年邵阳市中考第 26 题例12 2014 年娄底市中考第 27 题例13 2015 年怀化市中考第 22 题例14 2015 年长沙市中考第 26 题例15 2016 年娄底市中考第 26 题例 162016年上海市长宁区金山区中考模拟第25 题例 172016年河南省中考第 23 题

§1．3因动点产生的直角三角形问题例19 2015 年益阳市中考第 21 题例20 2015 年湘潭市中考第 26 题例21 2016 年郴州市中考第 26 题例22 2016 年上海市松江区中考模拟第 25 题例23 2016 年义乌市绍兴市中考第 24 题 §1．4因动点产生的平行四边形问题例24 2014 年岳阳市中考第 24 题例25 2014 年益阳市中考第 20 题例26 2014 年邵阳市中考第 25 题例27 2015 年郴州市中考第 25 题例28 2015 年黄冈市中考第 24 题例29 2016 年衡阳市中考第 26 题例 302016年上海市嘉定区宝山区中考模拟中考第24 题例 312016年上海市徐汇区中考模拟第 24 题 §1．5因动点产生的面积问题例32 2014 年常德市中考第 25 题例33 2014 年永州市中考第 25 题

河北省中考数学压轴题汇总

2010/26．（本小题满分12分）某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．若只在国内销售，销售价格y （元/件）与月销量x （件）的函数关系式为y= 1 100 x ＋150，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w 内（元）（利润=销售额－成本－广告费）．若只在国外销售，销售价格为150 1 元/件，受各种不确定因素影响，成本为a 元/件（a 为常数，10≤a ≤40），当月销量为x （件）时，每月还需缴纳 100 2 x 元的附加费，设月利润为w 外（元）（利润=销售额－成本－附加费）．（1）当x=1000时，y =元/件，w 内=元；（2）分别求出w 内，w 外与x 间的函数关系式（不必写x 的取值范围）；（3）当x 为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a 的值；（4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？参考公式：抛物线 2(0) yaxbxca 的顶点坐标是 2 b4acb (,) 2a4a ． 2011/26．(本小题满分12分) 如图15，在平面直角坐标系中，点P 从原点O 出发，沿x 轴向右以每秒1个单位长的速度运动t （t ＞0）秒，抛物线y=x 2 ＋bx ＋c 经过点O 和点P.已知矩形ABCD 的三个顶点为A （1，0）、B （1，－5）、D （4，0）. ⑴求c 、b （用含t 的代数式表示）； ⑵当4＜t ＜5时，设抛物线分别与线段A B 、CD 交于点M 、N. ①在点P 的运动过程中，你认为∠AMP 的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP 的值； 21 8 ②求△MPN 的面积S 与t 的函数关系式，并求t 为何值时，S= ； ③在矩形ABCD 的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”.若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接．．写出t 的取值范围. y ADP O －1 1 x N M BC 图15 2012/26．（12分）如图1和2，在△ABC 中，AB=13，BC=14，cos ∠ABC=．探究：如图1，AH ⊥BC 于点H ，则A H=，AC=，△ABC 的面积S △ABC=；拓展：如图2，点D 在AC 上（可与点A ，C 重合），分别过点A 、C 作直线BD 的垂线，垂足为E ，F ，设BD=x ，AE=m ，CF=n （当点D 与点A 重合时，我们认为S △ABD=0）

中考数学压轴题解题技巧及训练完整版

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中考数学压轴题解题技巧（完整版）数学综压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的，集中体现知识的综合性和方法的综合性，多数为函数型综合题和几何型综合题。函数型综合题：是给定直角坐标系和几何图形，先求函数的解析式，再进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式，求函数的自变量的取值范围，最后根据所求的函数关系进行探索研究。一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形，四边形是平行四边形、菱形、梯形等，或探索两个三角形满足什么条件相似等，或探究线段之间的数量、位置关系等，或探索面积之间满足一定关系时求x的值等，或直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求函数的自变量的取值范围主要是寻找图形的特殊位置（极端位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x 的值。解中考压轴题技能：中考压轴题大多是以坐标系为桥梁，运用数形结合思想，通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。关键是掌握几种常用的数学思想方法。一是运用函数与方程思想。以直线或抛物线知识为载体，列（解）方程或方程组求其解析式、研究其性质。二是运用分类讨论的思想。对问题的条件或结论的多变性进行考察和探究。三是运用转化的数学的思想。由已知向未知，由复杂向简单的转换。中考压轴题它是对考生综合能力的一个全面考察，所涉及的知识面广，所使用的数学思想方法也较全面。因此，可把压轴题分离为相对独立而又单一的知识或方法组块去思考和探究。解中考压轴题技能技巧：一是对自身数学学习状况做一个完整的全面的认识。根据自己的情况考试的时候重心定位准确，防止“捡芝麻丢西瓜”。所以，在心中一定要给压轴题或几个“难点”一个时间上的限制，如果超过你设置的上限，必须要停

深圳十年中考数学压轴题汇总

200621．如图9，抛物线2812(0)y ax ax a a =-+<与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），抛物线上另有一点C 在第一象限，满足∠. (1)(3分)求线段OC 的长. 解： (2)(3分)求该抛物线的函数关系式．解： (3)(4分)在x 轴上是否存在点P ，使△P 点的坐标；若不存在，请说明理由. 解：200622．(10分)如图10-1 ⊙M 交 x 轴于 A B 、两点，交y 轴于 C D 、两点，且C A 的坐标为（－2，0），AE 8= (1)(3分)求点C 的坐标. 解： (2)(3分)连结MG BC 、，求证：MG ∥BC 证明： (3)(４分 ) 如图10-2，过点 D 作⊙M 的切线，交x 轴于点的圆周上运动时， PF OF 解： 200722．如图6，在平面直角坐标系中，正方形AOCB OD OB =，BD 交OC 于点E ．（1）求BEC ∠的度数．（2）求点E 的坐标．（3）求过B O D ，， 5== ② 1== ；③ ==等运算都是分母有理化） 200723．如图7x 相交于A B ，两点．（1）求线段AB 的长．（2）若一个扇形的周长等于（1大面积是多少？（3）如图8，线段AB M ，分别求出图6

OM OC OD ，，的长，并验证等式 222 111 OC OD OM += 是否成立．（4）如图9，在Rt ABC △中，90ACB =o ∠，CD AB ⊥，垂足为D ，设BC a =，AC b =， AB c =．CD b =，试说明：222 111 a +=． 2+bx 点， 3 1 ． F ，使以点A 、 C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若平行于x 轴的直线与该抛物线交于M 、N 两点，且以MN 为直径的圆与x 轴相切，求该圆半径的长度．（4）如图10，若点G （2，y ）是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上一动点，当点P 运动到什么位置时，△APG 的面积最大？求出此时P 点的坐标和△APG 的最大面积. 200922．如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（－2，0），连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB . （1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由. （4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 200923．如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y =－2x －8两点，点P （0，k ）是y 轴的负半轴上的一个动点，以P （1）连结PA ，若PA =PB ，试判断⊙P 与x （2）当k 为何值时，以⊙P 与直线l 201022．（本题9分）如图9，抛物线y ＝ax 2＋c （a ＞0AD 在x 轴上，其中A （－2,0），B （－1, －3）．（1）求抛物线的解析式；（3分）（2）点M 为y 轴上任意一点，当点M 到A 、B 的坐标；（2分）（3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P 使S △PAD ＝4S △ABM 成立，求点P 的坐标．（4分）图7 图8 图9

中考数学压轴题(含答案)

2016中考压轴题突破训练目标 1.熟悉题型结构，辨识题目类型，调用解题方法； 2.书写框架明晰，踩点得分（完整、快速、简洁）。题型结构及解题方法压轴题综合性强，知识高度融合，侧重考查学生对知识的综合运用能力，对问题背景的研究能力以及对数学模型和套路的调用整合能力。

答题规范动作 1.试卷上探索思路、在演草纸上演草。 2.合理规划答题卡的答题区域：两栏书写，先左后右。作答前根据思路，提前规划，确保在答题区域内写完答案；同时方便修改。 3.作答要求：框架明晰，结论突出，过程简洁。 23题作答更加注重结论，不同类型的作答要点：几何推理环节，要突出几何特征及数量关系表达，简化证明过程；面积问题，要突出面积表达的方案和结论；几何最值问题，直接确定最值存在状态，再进行求解；存在性问题，要明确分类，突出总结。 4.20分钟内完成。实力才是考试发挥的前提。若在真题演练阶段训练过程中，对老师所讲的套路不熟悉或不知道，需要查找资源解决。下方所列查漏补缺资源集中训练每类问题的思路和方法，这些训练与真题演练阶段的训练互相补充，帮学生系统解决压轴题，以到中考考场时，不仅题目会做，而且能高效拿分。课程名称： 2014中考数学难点突破 1、图形运动产生的面积问题 2、存在性问题 3、二次函数综合（包括二次函数与几何综合、二次函数之面积问题、二次函数中的存在性问题） 4、2014中考数学压轴题全面突破（包括动态几何、函数与几何综合、点的存在性、三角形的存在性、四边形的存在性、压轴题综合训练）

一、图形运动产生的面积问题一、知识点睛 1. 研究_基本_图形 2. 分析运动状态： ①由起点、终点确定t 的范围； ②对t 分段，根据运动趋势画图，找边与定点，通常是状态转折点相交时的特殊位置． 3. 分段画图，选择适当方法表达面积．二、精讲精练 1. 已知，等边三角形ABC 的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN 在△ABC 的边AB 上，沿AB 方向以1 厘米/秒的速度向B 点运动（运动开始时，点M 与点A 重合，点N 到达点B 时运动终止），过点M 、N 分别作AB 边的垂线，与△ABC 的其他边交于P 、Q 两点，线段MN 运动的时间为t 秒．（1）线段MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形MNQP 恰为矩形并求出该矩形的面积．（2）线段MN 在运动的过程中，四边形MNQP 的面积为S ，运动的时间为t ．求四边形MNQP 的面积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围． 1题图 2题图 2. 如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝ CD 高CE ＝，对角线AC 、BD 交于点H ．平行于线段BD 的两条直线MN 、RQ 同时从点A 出发，沿AC 方向向点C 匀速平移，分别交等腰梯形ABCD 的边于M 、N 和R 、Q ，分别交对角线AC 于F 、G ，当直线RQ 到达点C 时，两直线同时停止移动．记等腰梯形ABCD 被直线MN 扫过的面积为1S ，被直线RQ 扫过的面积为2S ，若直线MN 平移的速度为1单位/秒，直线RQ 平移的速度为2单位/秒，设两直线移动的时间为x 秒．（1）填空：∠AHB ＝____________；AC ＝_____________；（2）若213S S ，求x ． 3. 如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC =8cm ，BC =6cm ，点P 、Q 同时从点C 出发，以1cm/s 的速度分别沿CA 、 CB 匀速运动，当点Q 到达点B 时，点P 、Q 同时停止运动．过点P 作AC 的垂线l 交AB 于点R ，连接PQ 、RQ ，并作△PQR 关于直线l 对称的图形，得到△PQ'R ．设点Q 的运动时间为t （s ），△PQ'R 与△PAR 重叠部分的面积为S （cm 2）．（1）t 为何值时，点Q' 恰好落在AB 上（2）求S 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围．（3）S 能否为9 8 若能，求出此时t 的值；若不能，请说明理由． C B A B C P R Q Q' l A C M N Q P B C H D C B A A B C H H D C B A A B C D M N R Q F G H E H D C B A H D C B A

中考数学压轴题精选及答案(整理版)

20XX 年全国各地中考数学压轴题精选 1、（黄石市20XX 年）（本小题满分9分）已知⊙1O 与⊙2O 相交于A 、B 两点，点1 O 在⊙2O 上，C 为⊙2O 上一点（不与A ，B ，1O 重合），直线CB 与⊙1O 交于另一点D 。（1）如图（8），若 AC 是⊙2O 的直径，求证：AC CD =；（2）如图(9)，若C 是⊙1O 外一点，求证：1O C AD ⊥；（3）如图（10），若C 是⊙1O 内一点，判断（2）中的结论是否成立。 2、（黄石市20XX 年）（本小题满分10分）已知二次函数 2248y x mx m =-+- （1）当2x ≤时，函数值 y 随x 的增大而减小，求m 的取值范围。（2）以抛物线 2248y x mx m =-+-的顶点A 为一个顶点作该抛物线的内接正三角形 AMN （M ，N 两点在抛物线上），请问：△AMN 的面积是与m 无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。（3）若抛物线 2248y x mx m =-+-与x 轴交点的横坐标均为整数，求整数m 的值。

3、（20XX 年广东茂名市）如图，⊙P 与y 轴相切于坐标原点O （0，0），与x 轴相交于点A （5，0），过点A 的直线AB 与 y 轴的正半轴交于点B ，与⊙P 交于点C ．（1）已知AC=3，求点Ｂ的坐标；（４分）（2）若AC=a , D 是O Ｂ的中点．问：点O 、P 、C 、D 四点是否在同一圆上？请说明理由．如果这四点在同一圆上，记这个圆的圆心为1O ，函数 x k y = 的图象经过点1O ，求k 的值（用含a 的代数式表示）． 4、庆市潼南县20XX 年）如图,在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形,∠ ACB =90,AC =BC ,OA =1，OC =4，抛物线2y x bx c =++经过A ，B 两点，抛物线的顶点为D ．（1）求b ,c 的值；（2）点E 是直角三角形ABC 斜边AB 上一动点(点A 、B 除外)，过点E 作x 轴的垂线交抛物线于点F ，当线段EF 的长度最大时，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P ，使△EFP 是以EF 为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，说明理由. 第3题图 χ y

2017挑战中考数学压轴题(第七版精选)

k 第一部分函数图象中点的存在性问题 1.1 因动点产生的相似三角形问题 1.如图1，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线y ＝ax 2＋bx （a ＞0）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，AO ＝BO ＝2，∠AOB ＝120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结OM ，求∠AOM 的大小；（3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标．图1 2.如图1，已知抛物线211(1)444 b y x b x = -++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．图1

3.如图1，已知抛物线的方程C1： 1 (2)() y x x m m =-+-(m＞0)与x轴交于点B、C，与y 轴交于点E，且点B在点C的左侧．（1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．图1 4.如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标；（3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．图1 图2

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广州中考压轴题汇总选择题（2014·广州）如图，四边形ABCD、CEFG都是正方形，点G在线段CD上，连接BG、DE，DE和FG相交于点O，设AB=a，CG=b（a＞b）．下列结论：①△BCG≌△DCE；②BG⊥DE；③=；④（a﹣b）2?S△EFO=b2?S△DGO．其中结论正确的个数是（） A．4个B．3个C．2个D．1个（2015·广州）已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（）A．10 B．14 C．10或14 D．8或10 （2016·广州）定义运算：a?b=a（1﹣b）．若a，b是方程x2﹣x+m=0（m＜0）的两根，则b?b﹣a?a的值为（） A．0 B．1 C．2 D．与m有关（2017·广州）a≠0，函数y=与y=﹣ax2+a在同一直角坐标系中的大致图象可能是（） A．B．C．D．

（2017·广州）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O 出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m．其行走路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2，…，第n次移动到A n．则△OA2A2018的面积是（） A．504m2B．m2 C．m2 D．1009m2 填空题（2014·广州）若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22的最小值为．（2015·广州）如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为．

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