主成份分析 (PCA)
1. 最主要成分
对原始向量n
R ∈x 压缩到d
R ∈x 。
压缩的标准？希望压缩后更有利于分类。考虑对于一组随机样本{}
q x ，首先找到某一方向p ，使
,q q a =x p 最有利于分类。即：使a σ最大。
不失一般性，令[]0E =x ？
则[]0T T
a E a E E μ⎡⎤⎡⎤====⎣⎦⎣⎦x p x p
根据定义， ()222T T T
a a xx E a E a E R σμ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-===⎣⎦⎣⎦⎣⎦
p xx p p p 。
什么时候T
xx R p p 最大？注意到R xx 是对称的，且对角元素均为正数，因而其特征值均为非负实数，同时对
应不同特征值的特征向量正交。不失一般性，令u i 为归一化的特征向量，U 为u i 组合，则有：T xx U R U Λ=。
同时，由于U 是线性空间中的一组标准正交基，因此有：U =p c 。c 为在该组基下的坐标。代入前式，即有：2
21
n
T
T
T
a
xx i i
i U R U c
σΛλ====
∑c c c c
注意到max 0i λλ≤≤，同时
21
1n
i
i c
==∑
因此有：2
max a σλ≤，其中等号仅当p 取max λ对应的特征向量。
因此，可首先将x 投影到该方向。
2. 使用单个神经元完成最主要成分分析 Hebb 规则
设权值更新()()()k k y k α∆=w x
同上，设x 为随机变量，权值w 随机的由x 确定，且与x 相互独立。将权值更新看作是使某一指标函数J (w )最小化的最速梯度下降过程，即有：
()k J α∆=-∇w
为简便起见，记[][]E •=•，并合并上述二式，因此有：
[]()()()()()()()()()T T
xx J k y k k k k k k k R k ⎡⎤⎡⎤∇=-=-=-=-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦x x x w x x w w 积分即有：()()21122
T xx y J k R k σ=-=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦w w 可见学习（权值更新）的最终目标是是使输出y 的方差最大化。这说明，最终结果将与最主要成分分析得
到的结果相同。
注意到，J 的稳定点(极小值点)对应*
0=w ，此处Hessian 矩阵为：
[][]xx H J R =∇∇=-
即负定，因此该点不稳定，对应⎡⎤→∞⎣⎦w 。 Oja 学习规则
为解决上述问题，在学习规则中增加稳定项，即
()2w y y α∆=-x w
[][]()()T xx xx J R R ⎡⎤∇=--⎣⎦w w w w
在稳定点，有()
T xx xx R R =w w w w
显然，*
,1
i i n ==w u 为解。其中u i 为归一化的特征向量。进一步，
[][]2T T xx xx xx H J R R I R =∇∇=-+⋅+w w ww
注意到xx i i i R λ=u u ，T T i xx i i R λ=u u ，以及1T
i i =u u ，因此有：
[][]2T xx i i i i H J R I λλ=∇∇=-+⋅+u u
下面证明仅对于u max ，H 正(半)定。根据定义，n
R ∀∈x ，有
2
2
2
max 22T T T T T xx i i i i T
i i i
H R λλλλλ=-++≥-++x x x x x x x u u x
x x x u
显然，仅当max i λλ=时，上式正定。所以使用Oja 规则学习，最终权值收敛于u max ，对应最大方差。
2. 神经网络实现 单神经元PCA
使用单线性神经元及Oja 规则，可证明在满足下述条件下学习收敛：
权值学习过程足够慢，使w 变化满足平稳过程，此时其瞬时统计量满足：
()()()()1|E k k k k +=+∆⎡⎤⎣⎦w w w w
输入向量取自平稳随机过程，且自相关阵R xx 具有各异特征值。 w 和x 统计独立。 GHA 算法
当PCA 扩展到多个分量时，可使用具有多个神经元的神经网络，权值修正公式如下：
()()()()()()1i
ij i i j hj h h w k k y k x k w k y k α=⎡⎤
∆=-⎢⎥⎣⎦
∑
或记为向量形式
()()()()()2
i i i k y k k y k k α'⎡⎤∆=-⎣⎦w x w
()()()()1
1
i h h h k k k y k -='=-∑x x w
称其为广义Hebb 算法(GHA)。显然，Oja 公式是m =1时的特例。
直观意义：
（1） 对第一个神经元，i =1，同前；
（2） 对第二个神经元，i =2，有()()()()11k k k y k '=-x x w 。意义：… （3） 依次，得到主要的m 个神经元，步骤类似Schmidt 正交化。 变步长学习算法步骤：
(1) 给()0i w 赋随机初值，且足够小，满足()102
i w 。然后估计其特征值()ˆ00i λ>。 (2) 输入数据x (k )，计算输出()()()T
i i y k k k =w x 。
(3) 更新估计特征值：
()()()()()()()2
ˆˆˆ1T i i i i i k k k k k k k λλγλ⎡⎤⎛⎫'⎢⎥ ⎪+=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦
w x w 其中()()()()1
1
i h
h
h k k y k k -='=-
∑x x w ，()1k γ≤，且k →∞时，()0k γ→。
(4) 更新权值：
其
中
()()()ˆi i i
k k k
βαλ=
，
())
2
1i k β<，且k →∞时，()0i k β→
(5)
权值归一化：
()()()
()()()2111
112111i i
i i i i k k k k k k β++>++++=⎨⎪+⎩
w w w w w 其它 (6) k 递增，进行下一步。
3. 次分量提取
小特征值对应的分量往往具有重要意义，特别是在稳健曲线拟合等应用中。考虑直线拟合问题，给定数据
{},i i x y ，要求用一条直线拟合。简单可采用最小二乘的形式，得到直线ˆy
kx d =+，对应误差指标函数()2
1ˆQ
q q q E y y ==-∑最小。但很多实际应用中，x 测量存在误差（如前面讲过的温度—陀螺漂移例子中），
()()()()()()()11i
i i i i h h h k k k y k k y k k α=⎡⎤
+=+-⎢⎥
⎣⎦
∑w w x w
此时最优的拟合直线应为“所有数据点与直线的垂直距离最短”，即2
1
Q
q
q E r
==
∑最小，其
中
q r =
。
（见图）
该方法称为总体最小二乘（TLS ）。
将上述问题推广，给定一组数据{}
q x ，求使用TLS 拟合到的超平面。 仍取2
1
Q
q
q E r
==
∑，但此时0
T q r θ+=
θx θ
。
则()
2
2
0001
2T T T Q
xx T T q R E Q θθθ=++⋅+=
=⋅∑
θx θθθx θθ
θθ
根据极小值条件，
dE
d =0θ
，因此有： 00xx R θλ+-=θx θ，2
002T T xx T R θθλ+⋅+=θθθx θθ
。
根据超平面定义，有00T θ+=θx ，因此0T
θ=-θx 。代入上式，有：
0∑λ-=θθ，T T λ=θθ
θθ
∑；T xx R ∑=-xx
显然，i =θu 对应特征向量均为上式解。 进一步，将i =θu 代入E 中，可得：
T T E ∑=u u
u u
。显然，仅当min =u u 时，上式取最小。
因此，TLS 问题变化为求矩阵最小特征值问题。
简化：如数据事先经过去除零分量，即0=x ，此时xx R ∑=
神经元实现
考虑单个线性神经元，按如下反Hebb 规则学习：
()()()()()()()2T y k k k k y k k k α⎡⎤
∆=--⎢⎥⎣
⎦w w x w w
将()()T
y k k =x w 代入，有：
()()()()()()()()()()()T T
T
i T
k k k k k k k k k k k α⎡⎤∆=--⎢⎥⎣⎦
w x x w w x x w w w w w 最终收敛点稳定对应()0i k ∆=w ，即有：
()()()()()()()
()()
()T T T
T k k k k k k k k k k =w x x w x x w w w w
两边求期望，有：
()()()
()()
()T xx xx T
k R k R k k k k =w w w w w w 显然，(),i k c c R =∈w u 均为解。下面仅讨论单位特征向量，下面证明仅有min u 为稳定解。 证明过程类似Oja 规则稳定性的证明。
[][]()()()22T
T T T T xx xx xx xx
T H J R I R R R =∇∇=-∇∆⎡⎤⎣⎦
⋅+-=-
w w w ww w w w w ww w w
将i =w u 代入，并将分式中最后两项对消，即有：
[]xx i H R I λ=-⋅
显然，欲使H 正定，min i λλ=，对应u min
支持向量机 线性情况
考虑空间中具有两类特征点并线性可分，则可通过一超平面进行分类：
()00T g θ=+=x θx
假设两类1ω，2ω，分别用值-1和1描述，则分类结果可记为：
()()()10
sgn 10g y g g >⎧⎪==⎡⎤⎨⎣⎦-<⎪⎩
x x x 。
根据超平面定义，任一点到超平面距离为：()g r =
x θ
令()11min i i i g r ωρ∈⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭x θ，()22min i i
i g r ωρ∈⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭
x θ，对应点分别为*1i ，*
2i 。现在的任务是，寻找一个超平面，不仅能分离两类，而且使起到两类的距离均等，这样分类的稳健性最好（图示）。下面我们来求
着一超平面。
注意到，可通过缩放0,θθ，使
()()
*1*21
1
i i g g ⎧=⎪
⎨
=-⎪⎩
x x ， 对应()()
1
211i i g i g i ωω≥∈⎧⎪⎨
≤-∈⎪⎩x x ，或记为()1i i f g ⋅≥x
下面来表述我们的问题。为使分类超平面与两类的距离均最大，根据距离定义，可取二次型形式：
()2
12
J =
θθ 对应约束条件：()
01T i i y θ⋅+≥θx
根据最优化相关理论，可使用Lagrange 乘子法求解，即取Lagrange 函数：
()()001
1;,12Q
T T
i i i i L y θλθ=⎡⎤=-⋅+-⎣⎦∑θλθθθx 其中0i λ≥
其解为：1
0Q
i i i i dL
y d λ==⇒=∑θx θ 1
000Q i i i dL
y d λθ==⇒=∑ ()001T i i dL
y d θ=⇒⋅+=θx λ
注意第一式，其中对应0i λ≠的x 称为支持向量。
上式求解起来比较困难，因此可将其转化为Wolfe 对偶形式，即在下列约束条件：
1
0Q
i i
i y
λ==∑，0i λ≥
下,求下述函数最大值：
()1
,1
2Q
T i i j i j i j i i j
Q y y λλλ==-
∑∑λx x 。 然后如下计算超平面参数：1
Q
i i
i
i y λ==
∑θx
注意：求解的代价函数不依赖于输入向量维数，仅依赖与样本个数。
多类问题
一个C 类分类问题可转化为多个二类问题的组合。 令()11k
k k y f ω+∈⎧=⎨-∈⎩x x x 其它
三样本图(扫描) 计算步骤：
(1) 根据模式输入，假设有C 类，(C >2)，则首先建立C 个超平面；
(2) 假设未知样本输入x , 欲对其进行分类，则计算()k f x 。令*
max k k C
k f ∈=，为对应类别。
非线性情况
对于模式线性不可分的情况，注意到代价函数仅与模式数量有关，与维数无关，因而可将输入变换到更高维空间，转化为线性可分问题，再应用SVM 。
()01
0Q
T i i i i g y λθ==+=∑x x x
此时变化为：()()()0
1
0Q
T i i
i
i g y λϕϕθ
==
+=∑x x x
注意到上述公式中的内积运算。 Mercer 定理
设()()2
L R ϕ∈x ，则内积运算可表示为：
()()(),,i i ϕ=x x x x K
其中(),i x x K 对任意()()2
g L R ∈x 满足：
()()(),0i
i
i
g g d d ≥⎰x x x x x x K 。
因此，将原来在高维空间中的内积运算转换成非线性变换。图形演示，和RBFN 结构相似。
(),i x x K 称为核函数，常用的例子包括：
多项式：()()
,1q
T
i i =+x x x x K ，q >0
径向基函数：()2
,i
i e
σ--=x x x x K
双曲正切：()(),tanh
T i i
b β=+x x x x K 。典型2,1b β==
主成分分析（PCA）详解（附带详细公式推导） 1.假设有一个m维的数据集X，其中每个数据点有n个样本。需要将 其降维到k维，且k 3.特征提取：PCA能够提取数据中最重要的特征，从而辅助后续建模和特征工程。 4.噪声过滤：PCA能够降低数据的维度，从而过滤掉一些无关的噪声信息。 需要注意的是，PCA只能应用于线性数据，并且假设数据的方差和协方差是固定的。同时，PCA对于数据中非线性关系的捕捉能力较弱，因此在处理非线性数据时，需考虑使用其他非线性降维方法，如核主成分分析（Kernel PCA）等。 综上所述，PCA是一种常用的多变量数据降维技术，在数据分析和机器学习领域有着广泛的应用。通过线性变换，PCA将高维度的数据投影到低维空间中，从而减少数据的维度，并保留了数据中的主要信息。 人工神经网络原理及其应用 1.人工神经网络的概念：人工神经网络是对人脑或生物神经网络若干基本特性的抽象和模拟。 2.生物神经网络：由中枢神经系统（脑和脊髓）及周围神经系统（感觉神经、运动神经等）所构成的错综复杂的神经网络，其中最主要的是脑神经系统。 3.人工神经网络原理： 因为人工神经网络是模拟人和动物的神经网络的某种结构和功能的模拟，所以要了解神经网络的工作原理，所以我们首先要了解生物神经元。生物神经元它包括，细胞体：由细胞核、细胞质与细胞膜组成，轴突是从细胞体向外伸出的细长部分，也就是神经纤维。轴突是神经细胞的输出端，通过它向外传出神经冲动；树突是细胞体向外伸出的许多较短的树枝状分支。它们是细胞的输入端，接受来自其它神经元的冲动。突触是神经元之间相互连接的地方，既是神经末梢与树突相接触的交界面。 对于从同一树突先后传入的神经冲动，以及同一时间从不同树突输入的神经冲动，神经细胞均可加以综合处理，处理的结果可使细胞膜电位升高，对于从同一树突先后传入的神经冲动，以及同一时间从不同树突输入的神经冲动，神经细胞均可加以综合处理，处理的结果可使细胞膜电位升高。当输入的冲动减小，综合处理的结果使膜电位下降，当下降到阀值时。细胞进入抑制状态，此时无神经冲动输出。“兴奋”和“抑制”，神经细胞必呈其一。 人工神经网络的工作原理与生物神经网络原理类似，但却又不相同，其主要是通过建立一些数学模型，去模拟生物神经网络。 4.神经网络的结构： (1)前馈型：本层每个神经元只作用于下一层神经元的输入，不能直接作用 于下下一层的神经元，且本层神经元之前不能互相租用。 (2)反馈型：即在前馈型的基础上，输出信号直接或间接地作用于输入信号。 5.神经网络的工作方式： (1)同步（并行）方式：任一时刻神经网络中所有神经元同时调整状态。 (2)异步（串行）方式：任一时刻只有一个神经元调整状态，而其它神经元 主成份分析 (PCA) 1. 最主要成分 对原始向量n R ∈x 压缩到d R ∈x 。 压缩的标准？希望压缩后更有利于分类。考虑对于一组随机样本{} q x ，首先找到某一方向p ，使 ,q q a =x p 最有利于分类。即：使a σ最大。 不失一般性，令[]0E =x ？ 则[]0T T a E a E E μ⎡⎤⎡⎤====⎣⎦⎣⎦x p x p 根据定义， ()222T T T a a xx E a E a E R σμ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-===⎣⎦⎣⎦⎣⎦ p xx p p p 。 什么时候T xx R p p 最大？注意到R xx 是对称的，且对角元素均为正数，因而其特征值均为非负实数，同时对 应不同特征值的特征向量正交。不失一般性，令u i 为归一化的特征向量，U 为u i 组合，则有：T xx U R U Λ=。 同时，由于U 是线性空间中的一组标准正交基，因此有：U =p c 。c 为在该组基下的坐标。代入前式，即有：2 21 n T T T a xx i i i U R U c σΛλ==== ∑c c c c 注意到max 0i λλ≤≤，同时 21 1n i i c ==∑ 因此有：2 max a σλ≤，其中等号仅当p 取max λ对应的特征向量。 因此，可首先将x 投影到该方向。 2. 使用单个神经元完成最主要成分分析 Hebb 规则 设权值更新()()()k k y k α∆=w x 同上，设x 为随机变量，权值w 随机的由x 确定，且与x 相互独立。将权值更新看作是使某一指标函数J (w )最小化的最速梯度下降过程，即有： ()k J α∆=-∇w 为简便起见，记[][]E •=•，并合并上述二式，因此有： []()()()()()()()()()T T xx J k y k k k k k k k R k ⎡⎤⎡⎤∇=-=-=-=-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦x x x w x x w w 积分即有：()()21122 T xx y J k R k σ=-=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦w w 可见学习（权值更新）的最终目标是是使输出y 的方差最大化。这说明，最终结果将与最主要成分分析得 主成分分析及聚类分析 主成分分析（PCA）是一种无监督学习的技术，用于将数据从高维空间投影到低维空间，同时尽可能地保留原始数据的信息。主成分分析通过线性变换将原始数据转化为具有最大方差的新特征，这些新特征被称为主成分。第一主成分具有最大的方差，第二主成分则与前一主成分正交，并具有第二大的方差，依此类推。主成分的数量等于原始数据维度。 主成分分析有很多应用。首先，它可以用于数据降维。通过选择较少的主成分，可以将高维数据转化为低维数据，从而降低计算复杂度和存储需求，同时保留数据的主要特征。其次，主成分分析也可以用于提取数据中的主要特征。通过选择具有较高方差的主成分，可以过滤掉噪声和次要特征，从而更好地理解数据。此外，主成分分析还可以可视化数据，找出数据中的模式和相关结构。 聚类分析是一种将数据对象分组为无标记子集的技术。相似的数据对象被分到同一组中，不相似的数据对象被分到不同的组中。聚类分析可以帮助我们理解数据集中的结构和组织，发现隐藏的模式和规律。 聚类分析可以根据不同的算法进行，常用的包括k-means聚类、层次聚类和DBSCAN聚类等。k-means聚类是一种迭代优化算法，根据样本之间的距离将数据划分为k个互不重叠的簇。层次聚类将数据对象组织成一颗树状结构，根据样本之间的相似性递归地进行划分。DBSCAN聚类是一种基于密度的聚类算法，将具有足够多相邻样本的区域定义为一个簇。 聚类分析可以在很多领域中应用。在市场营销中，聚类分析可以根据顾客的购买行为和偏好将顾客分成不同的群体，从而定制个性化的营销策略。在图像处理中，聚类分析可以将像素点按照颜色和纹理特征聚类，从 而实现图像分割和目标检测。在生物信息学中，聚类分析可以根据基因的表达数据将基因分成不同的表达模式，从而发现潜在的功能和相互作用。 总结起来，主成分分析和聚类分析是常用的统计技术，它们在数据分析和模式识别中有广泛的应用。主成分分析可以用于数据降维、特征提取和可视化，聚类分析可以用于数据分组、模式发现和需求识别。这两种技术对于理解数据、发现规律和做出决策都具有重要意义。 人工神经网络理论.设计及应用第二版课程设计 一、前言 人工神经网络是一种模拟生物神经网络结构和功能的计算模型，本 质上是一个数学模型。它是建立在现代信息科学、数学、电子工程等 多学科交叉的基础上的，是一种群体智能的集成体现。近年来，人工 神经网络技术在模式识别、数据挖掘、机器学习等领域备受关注，被 誉为第三次信息技术革命。 本课程设计将以人工神经网络理论、设计及应用为主线，结合数学 基础、机器学习理论等多学科知识，从理论与实践两个方面介绍人工 神经网络的基本原理、模型设计、参数调整及应用实例等内容。本课 程旨在使学生通过理论课程和课程设计学习到人工神经网络的基本原 理和应用，提高学生的工程实践能力和应用创新能力。 二、课程设计方案 2.1 课程设计目标 1.掌握人工神经网络基本理论知识，包括神经元结构、神经 网络结构、神经网络训练算法等； 2.熟悉常见的神经网络模型，如感知器、反向传播神经网络、 自适应神经网络等； 3.掌握神经网络在分类、回归等领域的应用，能够完成简单 的神经网络设计、实现和应用； 4.培养工程实践能力，提高应用创新能力。 2.2 课程设计内容 1.神经元模型及激活函数的选择 2.前馈神经网络模型的设计 3.反向传播神经网络模型的设计 4.常见的神经网络模型介绍 5.神经网络的训练算法 6.神经网络在分类、回归、时间序列预测等领域的应用 7.神经网络在数据挖掘、机器学习等领域的应用 2.3 课程设计形式 1.理论课程讲解：介绍人工神经网络的基本理论知识、常见 神经网络模型、神经网络的训练算法等； 2.课程设计实验：设计实现人工神经网络的分类、回归、时 间序列预测等应用； 3.课程报告撰写：撰写课程设计报告，内容包括课程设计目 的、实验内容、实验结果及分析、所遇问题及解决方法等。2.4 评分方式 1.课程设计报告：60分； 2.课程设计实验：30分； 3.课堂表现：10分。 主成分分析（PCA）原理详解 PCA的基本原理如下： 1.数据标准化：对数据进行标准化处理，使得每个特征的均值为0， 方差为1、这一步骤是为了保证不同特征的量纲一致，避免一些特征因数 值过大而对分析结果造成影响。 2.计算协方差矩阵：协方差矩阵描述了数据特征之间的相关性。通过 计算标准化后的数据的协方差矩阵，可以得到不同特征之间的相关性信息。 3.计算特征值和特征向量：对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征 值和对应的特征向量。特征向量表示了数据在各个方向上的投影情况，特 征值则表示了各个特征向量的重要程度。 4.选择主成分：根据特征值的大小，选择最重要的K个特征向量作为 主成分。特征值越大，表示该特征向量所代表的特征在数据中的方差越大，所能解释的信息也越多。 5.构造降维后的数据集：将选取的K个特征向量组合成一个转换矩阵，将原始数据映射到新的K维空间中。通过这个转换过程，可以实现降维并 且保留较多的信息。 总结起来，PCA的主要思想是通过计算特征向量和特征值，找到数据 中最重要的方向（主成分），然后通过投影到这些主成分上实现数据的降维。 PCA的应用包括数据可视化、特征选择、噪声过滤等。例如，在数据 可视化中，将高维数据降至二维或三维空间，有助于观察数据之间的分布 情况。在特征选择中，选择最能代表数据信息的主成分可以减少特征的数 量，并且仍能保留较多的重要信息。在噪声过滤中，提取数据中的主成分，滤除噪声成分，能够提高数据的质量和可靠性。 需要注意的是，PCA的有效性依赖于数据之间存在线性关系的假设。 对于非线性关系较强的数据，PCA不一定能够有效降维，这时可以采用核 主成分分析等非线性降维方法。 以上是对PCA原理的详细解析。通过PCA，我们能够将高维数据转换 为一组更易理解和处理的低维特征，从而发现数据中的潜在结构、关系和 模式，为后续分析和建模提供有益的信息。 主成分分析方法及其应用 在数据分析和模式识别领域，主成分分析（Principal Component Analysis，简称PCA）是一种常用的降维技术和数据预处理方法。该方法通过线性变换将高维数据映射为低维空间，同时保留尽可能多的数据信息。本文将介绍主成分分析的基本原理和应用，并分析其在实际问题中的实用价值。 一、主成分分析的基本原理 主成分分析的目标是通过线性变换将原始数据投影到一个新的坐标系上，使得新坐标系的第一主成分方差最大，第二主成分方差次之，依此类推。这样做的好处是降低数据的维度，去除冗余信息，同时保留数据的主要特征。下面是主成分分析的基本步骤： 1. 数据标准化 在进行主成分分析之前，首先需要对数据进行标准化处理，确保各个特征具有相同的尺度。通常使用零均值标准化方法，即对每个特征进行减去均值，再除以标准差。 2. 计算协方差矩阵 协方差矩阵是描述各个特征之间相关性的一种方式。通过计算标准化后数据的协方差矩阵，可以获取各个特征之间的相关性信息。 3. 特征值分解 对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和对应的特征向量。特征向量表示了新坐标系的方向，特征值表示了数据在该方向上的方差大小。 4. 选择主成分 根据特征值的大小选择主成分。通常选择特征值较大的前几个主成分，它们包含了数据中大部分的信息。 5. 数据投影 使用选取的主成分将数据投影到新的低维空间中。投影后，数据的维度被降低，但保留了主要的结构信息。 二、主成分分析的应用 主成分分析在实际问题中有广泛的应用。以下列举了几个常见的应用领域： 1. 特征提取 主成分分析可以用于提取数据的主要特征，去除冗余信息。在图像处理、语音识别等领域，主成分分析可以用于特征提取，从而减少特征的维度，简化后续分类或识别任务。 2. 数据压缩 由于主成分分析可以降低数据的维度，因此可以用于数据的压缩。通过保留较多的主成分，可以在一定程度上减小数据的存储空间和计算负担，提高数据处理的效率。 主成分分析（PCA）数学原理详解 PCA的数学原理可以分为以下几个步骤： 1.数据中心化 PCA首先将原始数据进行中心化处理，即将每个特征的均值减去相应特征的平均值，这是因为PCA假设数据围绕着原点分布，中心化可以消除数据的平移影响。 2.协方差矩阵的计算 PCA的关键是计算数据的协方差矩阵。协方差矩阵描述了不同特征之间的相关性。对于一个n维的数据集，协方差矩阵是一个n×n的矩阵，其中第(i,j)个元素表示第i个特征和第j个特征的协方差。 协方差矩阵的计算公式如下： $C = \frac{1}{n-1} \sum _{i=1}^{n}(X_i - \overline{X})(X_i - \overline{X})^T$ 其中，X是一个n×m的矩阵，表示n个样本的m个特征， $\overline{X}$ 表示特征均值向量 协方差矩阵是一个对称矩阵，通过对协方差矩阵的特征值分解，可以得到特征值和特征向量。 3.特征值和特征向量的计算 对协方差矩阵进行特征值分解，可以得到特征值和对应的特征向量。特征值代表了数据在特征向量方向上的方差，而特征向量表示了数据的主成分方向。 设协方差矩阵为C，有如下特征值方程： $Cv = \lambda v$ 其中，v是特征向量，λ是特征值。 将特征值按从大到小的顺序排序，选择前k个最大的特征向量，即主 成分，作为新的基向量。这些特征向量构成了一个新的坐标系，用于表示 原始数据的新坐标。 4.数据转换 将原始数据投影到新的坐标系上，得到降维后的数据。 设原始数据集为X，新的基向量为V（由前k个特征向量组成），降 维后的数据集为Y，可以通过如下公式计算： $Y=XV$ 其中，X是一个n×m的矩阵，表示n个样本的m个特征，V是一个 m×k的矩阵，Y是一个n×k的矩阵。 通过PCA降维，可以获得降维后的数据集Y，它是一个n×k的矩阵。总结： 主成分分析（PCA）通过计算数据的协方差矩阵，得到协方差矩阵的 特征值和特征向量。将特征值按从大到小排序，选择前k个最大的特征向 量作为主成分。通过将原始数据投影到主成分上，得到降维后的数据集。PCA能够保留数据中最重要的信息，实现数据的降维处理。 PCA原理1 因为经常做一些图像和信号处理的工作，要用到主元分析（Principal Components Analysis）作为工具。写出来供自己和朋友参考。 PCA是一种统计技术，经常应用于人面部识别和图像压缩以及信号去噪等领域，是在高维数据中提取模式的一种常用技术。要了解PCA首先要了解一些相关的数学知识，这里主要介绍协方差矩阵、特征值与特征矢量的概念。 1、协方差矩阵 协方差总是在两维数据之间进行度量，如果我们具有超过两维的数据，将会有多于两个的协方差。例如对于三维数据（x, y, z维），需要计算cov(x,y)，cov(y,z)和cov(z,x)。获得所有维数之间协方差的方法是计算协方差矩阵。维数据协方差矩阵的定义为 （1） 这个公式告诉我们，如果我们有一个n维数据，那么协方差矩阵就是一个n行n 列的方矩阵，矩阵的每一个元素是两个不同维数据之间的协方差。 对于一个3维数据（x,y,z），协方差矩阵有3行3列，它的元素值为： (2) 需要注意的是：沿着主对角线，可以看到元素值是同一维数据之间的协方差，这正好是该维数据的方差。对于其它元素，因为cov（a,b）=cov（b,a），所以协方差矩阵是关于主对角线对称的。 2、特征值和特征矢量 只要矩阵大小合适，就可以进行两矩阵相乘，特征矢量就是其中的一个特例。考虑图2.1中两个矩阵和矢量乘法。 图2.1 一个非特征矢量和一个特征矢量的例子 图2.2 一个缩放的特征矢量仍然是一个特征矢量 在第一个例子中，结果矢量不是原来因子矢量与整数相乘，然而在第二个例子中，结果矢量是原来因子矢量的4倍，为什么会这样呢？该矢量是一个2维空间矢量，表示从原点(0,0)指向点(3,2)的箭矢。方矩阵因子可以看作是转换矩阵，一个矢量左乘该转换矩阵，意味着原始矢量转换为一个新矢量。 特征矢量来自于转换特性。设想一个转换矩阵，如果用其左乘一个矢量，映射矢量是它自身，这个矢量（以及它的所有尺度缩放）就是该转换矩阵的特征矢量。 机器学习中的主成分分析原理及应用近年来，随着人工智能技术的发展和应用范围的不断扩大，机器学习已经成为了人们讨论的热门话题。在机器学习中，主成分分析是一种十分重要的技术，它不仅可以有效降维，还可以挖掘数据中的有效信息。本文将从主成分分析的原理及应用两个方面来进行介绍和分析。 一、主成分分析的原理 主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）是一种数据分析方法，通过对数据进行数学处理来实现数据降维和信息提取的目的。在机器学习中，主成分分析被广泛应用于聚类、特征提取、分类等方面。 在主成分分析中，数据的特征将会被转换为一个新的矩阵，这个矩阵可以让我们更加方便地对数据进行处理和分析。其中，我们可以根据特征的重要性来确定保留几个主要成分，从而实现数据降维的目的。这些主要成分可以被理解为是原始数据中最具有代表性的信息。 主成分分析的原理主要包含以下几个步骤： 1. 数据标准化处理 在主成分分析之前，我们需要对原始数据进行标准化处理，其中包括中心化和缩放两个步骤。中心化指的是通过减去数据的均值来将所有特征值的中心移到原点，这样可以更好地处理数据；缩放指的是将数据进行标准化，让所有的特征值都处于同一尺度范围内。 2. 计算数据协方差矩阵 协方差矩阵可以帮助我们衡量不同维度之间的相关性。在主成分分析中，我们需要计算数据的协方差矩阵，以此来寻找数据中的主要信息。 3. 计算协方差矩阵的特征向量和特征值 通过计算协方差矩阵的特征向量和特征值，我们可以确定数据中最具有代表性的方向。其中，特征向量是一个可以被拉伸或压 缩的向量，而特征值则表示这个向量被拉伸或压缩的程度。通过 这些信息，我们可以找到最具有代表性的主成分。 4. 降维处理 通过计算数据的主成分，我们可以将数据降维，从而快速识别 出数据的主要特征。 二、主成分分析的应用 主成分分析是一种广泛应用于特征提取和数据降维的方法，在 现实世界中也被广泛应用于不同领域。下面就让我们来看看主成 分分析在不同领域中的应用。 1. 医学 在医学领域中，主成分分析被广泛应用于人体成像和疾病诊断。通过对病人的影像数据进行主成分分析，可以有效地识别出疾病 的主要病灶和病变区域。同时，主成分分析还可以帮助医生确定 指标之间的相关性，更准确地诊断疾病。 PCA(主成分分析)的原理与应用 简介 主成分分析（PCA）是一种常用的多变量数据降维技术，用于发现数据中的主要模式与关系。通过PCA，可以将高维数据转换为低维表示，从而减少计算复杂度、去除冗余信息、提取关键特征等。本文将介绍PCA的基本原理和常见的应用场景。 1. PCA的基本原理 PCA的基本思想是通过线性变换将原始数据投影到新的坐标系中，新的坐标系由一组互相正交的基向量构成。这些基向量被称为主成分，每个主成分都是原始数据的一个线性组合。通过保留最重要的主成分，可以实现数据降维。 1.1 数据标准化 在应用PCA之前，通常需要对原始数据进行标准化处理。标准化可以使不同特征的数据具有相同的尺度，避免某些特征对PCA结果的影响过大。常见的标准化方法有均值方差标准化和最大最小值标准化。 1.2 协方差矩阵与特征值分解 PCA的核心是通过计算协方差矩阵来确定主成分。协方差矩阵反映了不同维度之间的相关性。通过对协方差矩阵进行特征值分解，可以得到特征值和特征向量。特征值表示了数据在对应特征向量方向上的方差，特征向量则表示了变换后的坐标系中各维度的方向。 1.3 选择主成分 在进行特征值分解后，主成分的选择是根据特征值的大小进行的。通常保留较大的特征值对应的特征向量作为主成分，因为这些特征值表示了数据的主要变化模式。 1.4 重构数据 通过选取主成分，可以将原始数据投影到新的坐标系中。重构数据可以通过将原始数据乘以选取的主成分对应的特征向量来实现。 2. PCA的应用场景 PCA有广泛的应用场景，以下列举一些常见的应用领域。 2.1 降维与特征选择 在高维数据中，存在大量冗余和噪音信息。通过使用PCA，可以将高维数据降低到较低的维度，并保留重要的特征，从而提高数据的表示效果和计算效率。 2.2 数据压缩与图像处理 PCA在数据压缩和图像处理中也有广泛的应用。通过PCA，可以用较少的数据表示信息量较大的图像，从而实现图像的压缩和存储。同时，还可以对图像进行去噪、增强和特征提取等操作。 2.3 数据可视化与聚类分析 PCA可以用于数据的降维和可视化，帮助我们更好地理解数据。通过将高维数据投影到二维或三维空间中，可以用散点图等方式展示数据的分布和关系。同时，PCA还可以在聚类分析中用于减少特征维度和提取聚类特征。 2.4 特征工程和机器学习 在特征工程中，PCA可以用于降低特征维度、提取重要特征和去除冗余特征。同时，在机器学习中，PCA作为一种无监督学习方法，可以用于预处理数据、降维和可视化等任务。 结论 PCA作为一种常用的多变量数据降维技术，在数据分析和机器学习中有着广泛的应用。通过PCA，可以从高维数据中提取主要特征和关系，从而减少计算复杂度、提高计算效率和表示效果。同时，PCA还可以用于数据可视化、特征工程、机器学习和聚类分析等任务。在实际应用中，需要结合具体问题选择合适的参数和方法，以获得最优的结果。 PCA分析及应用 PCA的基本原理是将原始数据投影到一个新的坐标系中，使得新坐标系的第一主成分（即数据的最大方差方向）上的投影具有最大的方差。通过这种方式，PCA将原始数据的维度减少到新坐标系中的几个主成分上。具体步骤如下： 1.数据标准化：对原始数据进行标准化处理，将每个特征的均值变为0，方差变为1，使得特征之间具有相同的尺度。 2.计算协方差矩阵：计算标准化后的数据集的协方差矩阵。 3.计算特征值和特征向量：对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和对应的特征向量。 4.选择主成分：选择特征值最大的k个特征向量作为主成分，k为希望降维到的维度。 5.生成新的数据集：将原始数据集投影到选取的k个特征向量上，生成降维后的数据集。 PCA的应用主要包括以下几个方面： 1.数据可视化：通过将高维数据集降维到二维或三维空间中，可以将数据可视化展示。在二维空间中，我们可以绘制散点图、热力图等形式，更好地观察数据的分布情况。 2.数据预处理：在很多机器学习算法中，高维数据集会导致维度灾难问题，降低算法的效率。通过PCA可以将数据降低到合适的维度，提高算法的运行速度。 3.特征选择：PCA可以帮助我们选择最重要的特征，将无关的或冗余 的特征消除，提高模型的性能和泛化能力。 4.噪声去除：通过PCA可以检测数据中的噪声点，并将其排除在降维 后的数据集之外。 5.数据压缩：通过降维，可以将数据集的维度减少到比原始数据集更 小的维度，节省存储空间。 值得注意的是，PCA在应用中也存在一些限制和注意事项。首先， PCA假设数据呈正态分布，对于非正态分布的数据可能会导致结果不准确。其次，PCA以最大方差的方式进行降维，可能会忽略一些重要的信息。此外，PCA是一种线性方法，对于非线性的数据集可能不适用。 综上所述，PCA是一种常用的降维技术，广泛应用于数据可视化、数 据预处理、特征选择、噪声去除和数据压缩等方面。在实际应用中，我们 需要根据具体问题和数据特点选择合适的降维方法，并结合其他技术进行 综合分析。同时，也需要注意PCA的限制和适用范围，以保证结果的准确 性和可靠性。 主成分分析的研究及应用 主成分分析（Principal Component Analysis, PCA）是一种常用的多变量统计方法，可用于降低数据的维数、揭示变量之间的相关性，并找出数据中的主要模式。它是由卡尔·皮尔逊于1901年首次提出的。 主成分分析的基本原理是将原始数据转化为一组新的互不相关的变量，称为主成分，其中第一主成分包含了数据中的最大方差，第二主成分包含了第一主成分之外的最大方差，以此类推。这些主成分是通过线性组合原始变量得到的，同时保留了数据的大部分信息。 主成分分析主要有以下几个步骤： 1. 标准化数据：将原始数据按列进行标准化，使得每列数据的均值为0，方差为1。 2. 计算协方差矩阵：计算标准化后的数据的协方差矩阵。 3. 计算特征值和特征向量：求解协方差矩阵的特征值和特征向量。 4. 选择主成分：根据特征值的大小选择主成分，通常选择特征值大于某个临界值的特征向量作为主成分。 5. 数据转换：将原始数据通过主成分的线性组合转换为新的数据集。 主成分分析在科学研究和实际应用中有广泛的应用，主要包括以下几个方面： 1. 数据降维：主成分分析可以将高维数据降低为低维数据，从而减少数据的维 数。在机器学习和数据挖掘中，高维数据往往存在维度灾难的问题，通过主成分分析可以将数据的维数降低到一个较低的维度，从而提高模型的性能和效率。 2. 数据可视化：通过主成分分析，可以将原始数据转换为低维的主成分空间，从而将数据可视化。通过可视化，可以更直观地观察数据的分布、关系和变化趋势，找到数据中的模式和异常值。 3. 变量选择：主成分分析可以帮助选择最具代表性的变量。选取具有较大方差的主成分，可以提取出最重要的变量，帮助研究人员分析变量之间的关系，忽略那些对数据影响较小的变量。 4. 特征提取：主成分分析可以提取出数据中的主要模式和特征。通过分析主成分，可以找到数据中的共性和主导因素，帮助研究人员理解数据背后的规律和原理。 5. 数据压缩：主成分分析可以将原始数据压缩为主成分系数。主成分系数可以用较少的变量来表示原始数据，从而减少存储和计算的成本。 在实际应用中，主成分分析被广泛应用于多个领域，如金融、生物学、医学、社会科学等。例如，在金融领域，主成分分析可用于分析股票市场中的相关性，发现股票之间的共同变化模式，从而帮助投资者进行投资组合的优化和风险管理；在医学领域，主成分分析可用于分析医学图像数据，帮助医生提取出关键特征并 主成分分析（PCA） 主成分分析（Principal Component Analysis, PCA）是将原本鉴定到的所有代谢物重新线性组合，形成一组新的综合变量，同时根据所分析的问题从中选取2-3个综合变量，使它们尽可能多地反映原有变量的信息，从而达到降维的目的。同时，对代谢物进行主成分分析还能从总体上反应组间和组内的变异度。总体样本PCA 分析采用PCA 的方法观察所有各组样本之间的总体分布趋势，找出可能存在的离散样本，综合考虑各种因素（样品数，样品珍贵程度，离散程度）决定离散点的除去与否。所有样本PCA 得分图见下图（对样本进行两两分析的PCA得分图）。 图1 主成分分析得分图 百泰派克采用XCMS 软件对代谢物离子峰进行提取。将25 个实验样本和QC 样本提取得到的峰，归一化后进行PCA 分析，如图所示QC 样本（黑色）紧密聚集在一起，表明本次试验的仪器分析系统稳定性较好，试验数据稳定可靠，在试验中获得的代谢谱差异能反映样本间自身的生物学差异。 图2 总样品的PCA得分图 How to order? 关于百泰派克 北京百泰派克生物科技有限公司（Beijing Bio-Tech Pack Technology Company Ltd. 简称BTP）成立于2015年，是国家级高新技术企业，业务范围主要围绕蛋白和小分子代谢物检测两大板块，从事蛋白质和小分子代谢物的理化性质分析及结构解析等相关技术服务，为客户提供高性价比、高效率的技术服务。深耕蛋白鉴定、定量蛋白组（iTRAQ/TMT、label free、DIA/SWATCH）、PRM靶蛋白定量、蛋白和抗体测序、蛋白修饰（二硫键、糖基化、磷酸化、 多元统计之主成分分析（PCA） PCA的基本思想是将高维度的数据映射到低维空间中，保留最重要的 信息。这样做的好处是可以减少数据的复杂性，使得数据更易于理解和解释，同时可以减少数据的存储和计算开销。PCA通常用于数据预处理、特 征提取和数据可视化等领域。 PCA的数学原理非常简单，首先计算原始数据的协方差矩阵。协方差 矩阵描述了原始数据中的变量之间的关系。然后，使用特征值分解方法得 到协方差矩阵的特征值和特征向量。特征值表示每个主成分所包含的方差，特征向量表示主成分的方向。根据特征值的大小，选择最大的几个特征值 对应的特征向量作为主成分。 PCA的步骤如下： 1.标准化数据：将原始数据进行标准化处理，使得每个变量都具有相 同的重要性。 2.计算协方差矩阵：计算标准化后的数据的协方差矩阵。 3.特征值分解：对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和特征向量。 4.选择主成分：根据特征值的大小，选择最大的几个特征值对应的特 征向量作为主成分。 5.转换数据：使用选定的主成分对原始数据进行线性变换，得到新的 低维度数据。 通过主成分分析，我们可以得到一些重要的结果和应用： 1.方差解释率：主成分的特征值可以用来计算原始数据中每个变量的方差解释率，即每个主成分所能解释的原始数据方差的比例。方差解释率可以帮助我们了解主成分对原始数据的重要程度。 2.特征负荷：特征向量的每个元素被称为特征负荷，它表示了原始变量在对应主成分上的权重。通过观察特征负荷，我们可以了解主成分和原始变量之间的关系。 3.数据可视化：通过主成分分析，我们可以将高维数据转换为低维空间，从而方便进行数据可视化。可视化分析有助于我们发现数据中的结构和模式。 总之，主成分分析是一种强大的多元统计方法，可以在数据分析和数据挖掘中发挥重要作用。它可以帮助我们降低数据维度、提取数据特征、减少数据计算开销，并且能够提供丰富的分析结果和可视化。因此，在实际应用中，掌握和应用主成分分析是一项非常有价值的技能。 机器学习中的主成分分析方法解析与应用 主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）是一种常用的机器学习方法，被广泛应用于各个领域，包括数据预处理、特征提取和可视化等。本文将对主成分分析方法进行详细解析，并介绍其在机器学习中的应用。 首先，主成分分析是一种无监督学习方法，旨在通过线性变换将高维数据映射 到低维空间中，同时保留原始数据中最重要的信息。在这个过程中，主成分分析通过找到原始数据中方差最大的方向，将其定义为第一主成分，然后寻找与第一主成分正交且方差次大的方向，将其定义为第二主成分，以此类推，直到找到第n个主成分。 通过主成分分析，我们可以得到一组新的主成分，这些主成分是原始数据中的 线性组合。这意味着我们可以通过这些主成分来重构原始数据，并且可以根据主成分的重要性选择合适数量的主成分来表示数据。主成分分析的一个重要应用是降维，即将高维数据映射到低维空间中，以减少数据的维度和计算复杂度，同时尽量保留原始数据的信息。 在机器学习中，主成分分析可以用于数据预处理。通过对数据进行主成分分析，我们可以排除一些不重要的特征，减少数据中的噪声和冗余信息，从而提高后续机器学习算法的性能。此外，主成分分析还可以用于特征提取。通过保留部分主成分，我们可以选择具有较高方差的主成分作为特征，并将其输入到机器学习模型中进行训练和预测。这种特征提取方法通常被称为主成分分析特征提取（Principal Component Analysis-based Feature Extraction，PCA-based FE），在图像识别、语音 处理等领域有着广泛的应用。 此外，主成分分析还可以用于数据可视化。通过将高维数据映射到二维或三维 空间中，我们可以更直观地观察数据的分布和结构。通过对主成分的分析，我们可以识别出主要的数据特征，并通过可视化工具展示出来，从而帮助我们更好地理解和解释数据。 主成分分析原理 主成分分析（Principal Component Analysis，简称PCA）是一种常 用的数据降维技术，广泛应用于统计分析、数据可视化、机器学习等 领域。PCA的原理是通过线性变换将高维数据映射到低维空间，使得 映射后的数据保留尽量多的原始信息。本文将介绍PCA的原理、算法 及其在实际应用中的意义。 一、PCA原理 PCA通过线性变换将原始数据集投影到新的坐标系上，将原始数据 在各个坐标轴上的方差最大化。具体来说，PCA首先对原始数据进行 中心化处理，即将每个维度的数据减去该维度上所有样本数据的均值，使得处理后的数据均值为0。然后，PCA计算数据的协方差矩阵，通 过对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和对应的特征向量。特 征向量构成了新的坐标系，而特征值则代表了数据在特征向量上的投 影长度，即方差。 二、PCA算法步骤 1. 数据预处理：对原始数据进行中心化处理。 2. 计算协方差矩阵：通过对中心化后的数据计算协方差矩阵。 3. 特征值分解：对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征向量和特 征值。 4. 特征值排序：将特征值按照大小进行排序，选择前k个特征值对 应的特征向量作为主成分。 5. 数据投影：将原始数据投影到选取的主成分上，得到降维后的数据。 三、PCA的应用意义 1. 数据降维：PCA可以将高维数据降低到较低维度，减少数据存储 和计算量，同时能够保留数据的主要信息。 2. 数据可视化：通过将数据投影到二维或三维空间，可以方便地进 行数据可视化，发现数据的内在结构和规律。 3. 特征选择：通过PCA分析特征的重要性，可以帮助选择影响数 据变化最大的特征，减少特征维度，提高模型的泛化能力。 4. 去除噪声：PCA可以通过去除数据中方差较小的成分，去除噪声 和冗余信息，提高数据的表达能力。 5. 数据压缩：PCA可以将原始数据压缩为较低维度的数据表示，节 省存储和传输空间。 综上所述，PCA作为一种主要的数据降维技术，具有重要的理论和 实际应用价值。它通过线性变换将高维数据映射到低维空间，实现数 据的降维、可视化、特征选择等功能。在实际应用中，我们可以根据 具体问题的需求和数据特点选择合适的PCA算法进行数据处理和分析，从而更好地挖掘数据的潜在信息。 主元分析(PCA)理论分析及应用 什么是PCA? PCA是Principal component analysis的缩写，中文翻译为主元分析/主成分分析。它是一种对数据进行分析的技术，最重要的应用是对原有数据进行简化。正如它的名字：主元分析，这种方法可以有效的找出数据中最“主要”的元素和结构，去除噪音和冗余，将原有的复杂数据降维，揭示隐藏在复杂数据背后的简单结构。它的优点是简单，而且无参数限制，可以方便的应用与各个场合。因此应用极其广泛，从神经科学到计算机图形学都有它的用武之地。被誉为应用线形代数最价值的结果之一。 在以下的章节中，不仅有对PCA的比较直观的解释，同时也配有较为深入的分析。首先将从一个简单的例子开始说明PCA应用的场合以及想法的由来，进行一个比较直观的解释；然后加入数学的严格推导，引入线形代数，进行问题的求解。随后将揭示PCA与SVD(Singular Value Decomposition)之间的联系以及如何将之应用于真实世界。最后将分析PCA理论模型的假设条件以及针对这些条件可能进行的改进。 一个简单的模型 在实验科学中我常遇到的情况是，使用大量的变量代表可能变化的因素，例如光谱、电压、速度等等。但是由于实验环境和观测手段的限制，实验数据往往变得极其的复杂、混乱和冗余的。如何对数据进行分析，取得隐藏在 数据背后的变量关系，是一个很困难的问题。在神经科学、气象学、海洋学等等学科实验中，假设的变量个数可能非常之多，但是真正的影响因素以及它们之间的关系可能又是非常之简单的。 下面的模型取自一个物理学中的实验。它看上去比较简单，但足以说明问题。如图表1所示。这是一个理想弹簧运动规律的测定实验。假设球是连接在一个无质量无摩擦的弹簧之上，从平衡位置沿轴拉开一定的距离然后释放。 图表1 对于一个具有先验知识的实验者来说，这个实验是非常容易的。球的运动只是在x轴向上发生，只需要记录下轴向上的运动序列并加以分析即可。但是，在真实世界中，对于第一次实验的探索者来说（这也是实验科学中最常遇到的一种情况），是不可能进行这样的假设的。那么，一般来说，必须记录下球的三维位置。这一点可以通过在不同角度放置三个摄像机实现（如图所示）， 主成分分析法(PCA) 在实际问题中，我们经常会遇到研究多个变量的问题，而且在多数情况下，多个变量之间常常存在一定的相关性。由于变量个数较多再加上变量之间的相关性，势必增加了分析问题的复杂性。如何从多个变量中综合为少数几个代表性变量，既能够代表原始变量的绝大多数信息，又互不相关，并且在新的综合变量基础上，可以进一步的统计分析，这时就需要进行主成分分析。 I. 主成分分析法(PCA)模型 （一）主成分分析的基本思想 主成分分析是采取一种数学降维的方法，找出几个综合变量来代替原来众多的变量，使这些综合变量能尽可能地代表原来变量的信息量，而且彼此之间互不相关。这种将把多个变量化为少数几个互相无关的综合变量的统计分析方法就叫做主成分分析或主分量分析。 主成分分析所要做的就是设法将原来众多具有一定相关性的变量，重新组合为一组新的相互无关的综合变量来代替原来变量。通常，数学上的处理方法就是将原来的变量做线性组合，作为新的综合变量，但是这种组合如果不加以限制，则可以有很多，应该如何选择呢？如果将选取的第一个线性组合即第一个综合变量记为1F ，自然希望它尽可能多地反映原来变量的信息，这里“信息”用方差来测量，即希望)(1F Var 越大，表示1F 包含的信息越多。因此在所有的线性组合中所选取的1F 应该是方差最大的，故称1F 为第一主成分。如果第一主成分不足以代表原来p 个变量的信息，再考虑选取2F 即第二个线性组合，为了有效地反映原来信息，1F 已有的信息就不需要再出现在2F 中，用数学语言表达就是要求 0),(21=F F Cov ，称2F 为第二主成分，依此类推可以构造出第三、四……第p 个主成分。 （二）主成分分析的数学模型 对于一个样本资料，观测 p 个变量p x x x Λ ,,21，n 个样品的数据资料阵为：人工神经网络原理及其应用-人工智能导论
主成份分析(PCA)人工神经网络理论及应用教学课件
主成分分析及聚类分析
人工神经网络理论.设计及应用第二版课程设计
主成分分析(PCA)原理详解
主成分分析方法及其应用
主成分分析(PCA)数学原理详解
主成分分析(主元分析,PCA)原理
机器学习中的主成分分析原理及应用
PCA(主成分分析)的原理与应用
PCA分析及应用
主成分分析的研究及应用
主成分分析( PCA)
多元统计之主成分分析(PCA)
机器学习中的主成分分析方法解析与应用
主成分分析原理
PCA主成分分析原理及应用
主成分分析PCA(含有详细推导过程以与案例分析matlab版)
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