培优专题和梯形
菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形，它们除了具有平行四边形的性质外，各自都有相应的特性，如菱形四边相等、对角线互相垂直，且平分对角；矩形四个角都是直角且对角线相等；正方形是最特殊的平行四边形，它具有菱形和矩形的所有特性，可以说是菱形、矩形的完美结合体，也是最基本的正多边形之一．梯形是现实生活中比较常见的图形之一，也是考查平行四边形和直角三角形非常好的载体，因此在中考数学测试和初中数学竞赛中这些特殊的四边形都是考查的重要内容．
例1 如果将长方形纸片ABCD，沿EF折叠，如图，延长C′E交AD于H，连结GH，那么EF与GH互相垂直平分吗？
分析要说明EF与GH互相垂直平分，只须说明四边形FGEH是菱形即可．
解：∵FH`∥GE，FG∥EH，
∴四边形FGEH为平行四边形，由题意知：
△GEF≌△HFE．
∴FG=FH，EG=EH．
∴四边形GEHF为菱形．
∴EF、GH互相垂直平分．
练习1
1．如图1，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠B=∠EAF=60°，•∠BAE=18°，则∠CEF=________．
(1) (2) (3)
2．如图2，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O，四边形BEFD是菱形，若正方形的边长为6，则菱形的面积为________．
3．如图3，ABCD是正方形，E为BF上一点，四边形AFEC•恰是一个菱形，•则∠EAB=________．
例2 矩形一边长为5，另一边长小于4，将矩形折起来，使两对角顶点重合，•如图，
若折痕EF
，求另一边长．
分析关键弄清“折痕”特点，即在对角线的中垂线上．此问题转化为就矩形ABCD中，
已知AD=5，过对角线AC的中点O作AC的垂线EF，分别交AD于F，BC于E，若
，
求AB的长的问题．
解：设AB=x，BE=y，连结AE．则AE=CE=5-y．
在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即x2+y2=（5-y）2．
得y=
2
25
10
x
-
，AE=5-y=
2
25
10
x
+
．
又在Rt△AOE中，AO=1
2
AC=
2
，EO=
1
2
代入AE2=AO2+OE2得，
（
2
25
10
x
+
）2=
（
2
）2+
（
2
）2．
即x4+25x2-150=0．解之得，x2=5，x2=-30（舍去）
∴
练习2
1．如图4，矩形纸片ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，现将A、C重合，使纸片折叠压平，•设折痕为EF，试确定重叠部分的△AEF的面积是__________．
(4) (5)
2．如图5所示，把一张长方形的纸条ABCD沿对角线BD将△BCD折成△BDF，DF•交AB于E，若已知AE=2cm，∠BDC=30°，求纸条的长和宽各是________．
3．如图，折叠正方形纸片ABCD ，先折出折痕BD ，再折叠使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ，使AD=2，求AG ．
例3 如图，E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 上的一点，AM ⊥EF ，•垂足为M ，AM=AB ，则有EF=BE+DF ，为什么？
分析要说明EF=BE+DF ，只需说明BE=EM ，DF=FM 即可，而连结AE 、AF ．只要能说明△ABE ≌△AME ，△ADF ≌△AMF 即可．
理由：连结AE 、AF ．
由AB=AM ，AB ⊥BC ，AM ⊥EF ，AE 公用，
∴△ABE ≌△AME ．
∴BE=ME ．
同理可得，△ADF ≌△AMF ．
∴DF=MF ．
∴EF=ME+MF=BE+DF ．
练习3
1．如图6，点A 在线段BG 上，四边形ABCD 与DEFG 都是正方形，•其边长分别为3cm 和5cm ，则△CDE 的面积为________c m 2．
(6) (7)
2．你可以依次剪6张正方形纸片，拼成如图7所示图形．•如果你所拼得的图形中正方形①的面积为1，且正方形⑥与正方形③的面积相等，•那么正方形⑤的面积为________．
3．如图，P 为正方形ABCD 内一点，PA=PB=10，并且P 点到CD 边的距离也等于10，求正方形ABCD 的面积？
例4 如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ，∠C=30°，求AD ：BC 的值． 分析 添加辅助线，使等腰梯形ABCD•的问题转化为平行四边形和等腰三角形的问题． 解：过D 作DF ∥AB 交BC 于F ，过D 作DE ⊥BC 于E ，则四边形ABFD 为平行四边形． 设AD=a ，则AD=BF=a ．
∵BD 平分∠ABC ，
∴AD=AB=DF=DC=a ．
在Rt △DEC 中，∠C=30°，
∵DE=2
a ，
EC=2a ． 又∵
EC=DF=2
a ， ∴
（
a ． ∴AD ：BC=a ：（
a=
）：2
练习4
1．用长为1、4、4、5的线段为边作梯形，那么这个梯形的面积等于_______．
2．用一块面积为900cm2的等腰梯形彩纸做风筝，为牢固起见，•用竹条做梯形的对角线，对角线恰好互相垂直，那么梯形对角线至少需______cm．
3．如图，一块直角梯形的钢板，两底长分别是4cm、•10cm，•且有一个内角为60°，问是否能将铁板任意翻转，使从一个直径为8.7cm的圆洞中穿过？
例5 如图，在矩形ABCD中，已知AD=12，AB=5，P是AD边上任意一点，PE•⊥BD，PE⊥AC，E、F分别是垂足，求PE+PF的长．
分析连结PO，则PE、PF可分别看作是OD、OA边上的高，而OA=OD，故只需求出△AOP、△DOP的面积即可．
解：连结OP．
由矩形ABCD，AD=12，AB=5．
∴AC=BD=2OA=2OB=13．
∴OA=OD=6．5．
而S矩形=12×5=60．
∴S△AOD=1
4
×60=15．
∴S△AOP +S△DOP =15．
即1
2
×OA×PF+
1
2
×OD×PE=15．
∴1
2
×6.5×（PE+PF）=15．
∴PE+PF=60 13
．
练习5
1．如图8，等腰梯形ABCD中，上底AD=2，下底BC=8，M是腰AB的中点，若MD⊥CD，•则梯形的面积为________．
(8) (9)
2．如图9，已知正方形ABCD的面积为35平方厘米，E、F分别为边AB、BC上的点．AF、CE相交于G，并且△ABF的面积为14平方厘米，△BCE的面积为5平方厘米，•那么四边形BEGF的面积是________．
3．如图，在ABCD中，在AD、CD上各取一点E、F，使AF=CE，AF与CE相交于P，•则PB平分∠APC．
答案:
练习1
1．18° 2．36
3．连结BD交AC于点O，作EM⊥AC于点M．
设正方形边长为a，则
a
又∵AC∥BF，BO⊥AC，EM⊥AC，
∴BO=EM=1
2
BD=
2
a．
在Rt△AEM中，
，
a．
∴∠CAE=30°．
则∠EAB=15°．练习2
1．75
16
cm2．
2．纸条长为6cm，宽为
cm．
3．作GM⊥BD，垂足为M．由题意可知∠ADG=GDM，
则△ADG≌△MDG．
∴DM=DA=2． AC=GM
又易知：GM=BM．
而
-2=2
-1），
∴AG=BM=2
-1）．
练习3
1．6c m2． 2．36．
3．过P作EF⊥AB于F交DC于E．
设PF=x，则EF=10+x，BF=1
2
（10+x）．
由PB2=PF2+BF2．
可得：102=x2+1
4
（x+10）2．
故x=6．
S正方形ABCD=162=256．练习4
1．
10．
2．
3．过D作DE⊥BC于E，则BE=4，EC=6，
由∠C=60°，知CD=2EC=12，
由于BC>8.7，DE>8.7，故这两个方向不能穿过圆洞．
过B作BF⊥CD，有CF=1
2
BC=5．
得
=8.7．
故沿CD方向可穿过圆洞．练习5
1．
2．420
27
cm2（面积法）．
3．连结BF、BE．
过B作BM⊥AF于M，BN⊥CE于N．
则有S△ABF=S△BCE=1
2
S ABCD．
即1
2
×AF×BM=
1
2
×CE×BN．
∵AF=CE
∴BM=BN
∴点B在∠APC的平分线上．
即PB平分∠APC．
练习5-1的详解：方法一：过D作DQ⊥BC于Q，作CD中点N，连结MN，交DQ于S MN为梯形ABCD中位线，∴MN=5,MN‖BC∴MS为梯形ABQD中位线
∴MS=7/2,S为DQ中点，∵DQ⊥BC,MN‖BC，∴DQ⊥MN
设DS=SQ=a，则MS²+DS²=MD²，则MD²=49/4 + a²，SN为△DQC中位线∴SN=3/2∴DN²=9/4 +a²∵MD⊥CD∴MD²+DN²=MN²∴49/4 + a²+ 9/4 +a²=25 解得a=√21 /2，DQ=√21，S=1/2(2+8)*√21=5√21
方法二：延长DM，BC交于点N。证三角形ADM与三角形BMN全等
方法三：作AF垂直BC,过点M作梯形的中位线交CD于G
∵MG为梯形的中位线
MG//BC且MG=1/2(AD+BC)
AD=2,BC=8
MG=5
MG//BC
角DGM=角C,角B=角C
角B=角DGM
MD垂直CD,AF垂直BC
角AFB=角MDC
三角形ABF与三角形MGD相似
AD=2,BC=8,
BF=3
设AM=MB=DG=GC=x,AB=DC=2x
则AB/MG=BF/DG=2x/5=3/x x=√30/2,AB=√30
AF=√(√30)²-3²=√21
S=(8+2)√21/2=5√21
第21讲矩形、菱形、正方形【回顾与思考】 【例题经典】 一．会用“阶梯型”思路判定特殊平行四边形 （2005年黄冈市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，例1． DE?垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E，又点F在DE的延长线上，且AF=CE．求证：四边形ACEF为菱形． 【分析】欲证四边形ACEF为菱形，可先证四边形ACEF为平行四边形，然后再证 ACEF为菱形，当然，也可证四条边相等，直接证四边形为菱形．
二．矩形、菱形的综合应用 例2．（2006年青岛市）如图，在 ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，AG ∥DB 交CB 的延长线于G ． （1）求证：△ADE ≌△CBF ； （2）若四边形BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论． 【解析】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴∠1=∠C ，AD=CB ，AB=CD ． ∵点E 、F 分别是AB 、CD 的中点， ∴AE= 12AB ，CF=12 CD ． ∴AE=CF ． ∴△ADE ≌△CBF ． （2）当四边形BEDF 是菱形时，四边形AGBD 是矩形． ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ． ∵AG ∥BD ， ∴四边形AGBD 是平行四边形． ∵四边形BEDF 是菱形， ∴DE=BE ． ∵AE=BE ， ∴AE=BE=DE ． ∴∠1=∠2，∠3=∠4． ∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°， ∴2∠2+2∠3=180°． ∴∠2+∠3=90°． 即∠ADB=90°， ∴四边形AGBD 是矩形． 三．会解决与特殊平行四边形有关的动手操作问题 例3．（2005年吉林省）如图，在矩形纸片ABCD 中，BC=6，沿EF 折叠后，点C 落在AB 边上的点P 处，点D 落在点Q 处，AD 与PQ 相交于点H ，∠BPE=30°． （1）求BE 、QF 的长．（2）求四边形PEFH 的面积． 【分析】折叠型试题是近年中考试题的热点，要想解好此类题，考生必须有想像力，抓住折叠的角与边不发生变化，必要时需要考生剪一个四边形实际折叠一下帮助理解．
9.4 矩形、菱形、正方形（解答题） 1．如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点．（1）求证：△ABE≌△CDF； （2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积． 2．如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD 的延长线于点F，求证：DF=BE． 3．如图，将一张直角三角形ABC纸片沿斜边AB上的中线CD剪开，得到△ACD，再将△ACD沿DB方向平移到△A′C′D′的位置，若平移开始后点D′未到达点B时，A′C′交CD于E，D′C′交CB于点F，连接EF，当四边形EDD′F为菱形时，试探究△A′DE的形状，并判断△A′DE与△EFC′是否全等？请说明理由． 4．已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD的中点，连接AE，CF，求证：△ADE≌△CDF． 5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的
垂线交BA的延长线于点E． （1）证明：四边形ACDE是平行四边形； （2）若AC=8，BD=6，求△ADE的周长． 6．如图，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E，F，P分别在线段AB，AD， AC上，已知EP=FP=6，EF=6，∠BAD=60°，且AB＞6． （1）求∠EPF的大小； （2）若AP=10，求AE+AF的值； （3）若△EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小值． 7．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别为AC，AB的中点，BF∥CE交DE 的延长线于点F． （1）求证：四边形ECBF是平行四边形； （2）当∠A=30°时，求证：四边形ECBF是菱形． 8．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，AC与BD相交于点O，连接CD （1）求∠AOD的度数； （2）求证：四边形ABCD是菱形．
2020年中考数学二轮专题——矩形、菱形、正方形 基础过关 1. (2019无锡)下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是() A. 内角和为360° B. 对角线相互平分 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直 2. (2019娄底)顺次连接菱形四边中点得到的四边形是() A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 3. (2019重庆A卷)下列命题正确的是() A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．四条边相等的四边形是矩形 C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形 4. (2019青羊区二诊)在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列说法错误的是() A．AB∥DC B．OC＝OB C．AC⊥BD D．OA＝OC 5. (2019毕节)如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为() A. 3 B. 3 C. 5 D. 5 第5题图 6. (2019天津)如图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是(2，0)，(0，1)，点C，D在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于() A. 5 B. 4 3 C. 4 5 D. 20 第6题图 7. (2019呼和浩特)已知菱形的边长为3，较短的一条对角线的长为2，则该菱形较长的一条对角线的长为() A. 2 2 B. 2 5 C. 4 2 D. 210 8. (2019临沂)如图，在?ABCD中，M，N是BD上的两点，BM＝DN，连接AM，MC，CN，N A.添加一
个条件，使四边形AMCN 是矩形，这个条件是( ) A. OM ＝1 2AC B. MB ＝MO C. BD ⊥AC D. ∠AMB ＝∠CND 第8题图 9. 如图，在正方形ABCD 外侧，作等边△ADE ，AC ，BE 相交于点F ，则∠BFC 为( ) A. 75° B. 60° C. 55° D. 45° 第9题图 10. 如图，在矩形ABCD 中，点E 在BC 上，AE ＝AD ，DF ⊥AE ，垂足为F ，若∠FDC ＝30°，且AB ＝3，则AD 的长为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 第10题图 11. (2019贵阳)如图，菱形ABCD 的周长是4 cm ，∠ABC ＝60°，那么这个菱形的对角线AC 的长是( ) A. 1 cm B. 2 cm C. 3 cm D. 4 cm 第11题图 12. (2019德阳)已知?ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，△AOD 是等边三角形，且AD ＝4，则AB 等于( ) A. 2 B. 4 C. 2 3 D. 4 3 13. (2019河池)如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，BE ＝CF ，则图中与∠AEB 相等的角的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
培优专题和梯形 菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形，它们除了具有平行四边形的性质外，各自都有相应的特性，如菱形四边相等、对角线互相垂直，且平分对角；矩形四个角都是直角且对角线相等；正方形是最特殊的平行四边形，它具有菱形和矩形的所有特性，可以说是菱形、矩形的完美结合体，也是最基本的正多边形之一．梯形是现实生活中比较常见的图形之一，也是考查平行四边形和直角三角形非常好的载体，因此在中考数学测试和初中数学竞赛中这些特殊的四边形都是考查的重要内容． 例1 如果将长方形纸片ABCD，沿EF折叠，如图，延长C′E交AD于H，连结GH，那么EF与GH互相垂直平分吗？ 分析要说明EF与GH互相垂直平分，只须说明四边形FGEH是菱形即可． 解：∵FH`∥GE，FG∥EH， ∴四边形FGEH为平行四边形，由题意知： △GEF≌△HFE． ∴FG=FH，EG=EH． ∴四边形GEHF为菱形． ∴EF、GH互相垂直平分． 练习1 1．如图1，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠B=∠EAF=60°，•∠BAE=18°，则∠CEF=________． (1) (2) (3) 2．如图2，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O，四边形BEFD是菱形，若正方形的边长为6，则菱形的面积为________． 3．如图3，ABCD是正方形，E为BF上一点，四边形AFEC•恰是一个菱形，•则∠EAB=________．
例2 矩形一边长为5，另一边长小于4，将矩形折起来，使两对角顶点重合，•如图， 若折痕EF ，求另一边长． 分析关键弄清“折痕”特点，即在对角线的中垂线上．此问题转化为就矩形ABCD中， 已知AD=5，过对角线AC的中点O作AC的垂线EF，分别交AD于F，BC于E，若 ， 求AB的长的问题． 解：设AB=x，BE=y，连结AE．则AE=CE=5-y． 在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即x2+y2=（5-y）2． 得y= 2 25 10 x - ，AE=5-y= 2 25 10 x + ． 又在Rt△AOE中，AO=1 2 AC= 2 ，EO= 1 2 代入AE2=AO2+OE2得， （ 2 25 10 x + ）2= （ 2 ）2+ （ 2 ）2． 即x4+25x2-150=0．解之得，x2=5，x2=-30（舍去） ∴ 练习2 1．如图4，矩形纸片ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，现将A、C重合，使纸片折叠压平，•设折痕为EF，试确定重叠部分的△AEF的面积是__________． (4) (5) 2．如图5所示，把一张长方形的纸条ABCD沿对角线BD将△BCD折成△BDF，DF•交AB于E，若已知AE=2cm，∠BDC=30°，求纸条的长和宽各是________．
特殊的平行四边形——矩形、菱形、正方形专题培优、能力提升复习讲义中考考点梳理 一、矩形 1、矩形的概念 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 2、矩形的性质 （1）具有平行四边形的一切性质 （2）矩形的四个角都是直角 （3）矩形的对角线相等 （4）矩形是轴对称图形 3、矩形的判定 （1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形 （2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形 （3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形 4、矩形的面积：S矩形=长×宽=ab 二、菱形 1、菱形的概念 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2、菱形的性质 （1）具有平行四边形的一切性质 （2）菱形的四条边相等 （3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 （4）菱形是轴对称图形 3、菱形的判定 （1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形 （2）定理1：四边都相等的四边形是菱形 （3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 4、菱形的面积：S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半 三、正方形
1、正方形的概念 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 2、正方形的性质 （1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质 （2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等 （3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角 （4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴 （5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形 （6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。 3、正方形的判定 （1）判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种： 先证它是矩形，再证有一组邻边相等。 先证它是菱形，再证有一个角是直角。 （2）判定一个四边形为正方形的一般顺序如下： 第一步：先证明它是平行四边形； 第二步：再证明它是菱形（或矩形）； 第三步：最后证明它是矩形（或菱形） 4、正方形的面积： 设正方形边长为a ，对角线长为b ，S 正方形=22 2 b a 中考典例精选 考点典例 一、矩形的性质与判定 【例1】如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,若AB ＝AO ， 求∠ABD 的度数. 图6 A B 【答案】∠ABD =60°. 【解析】
D C B A E G F 例题1：如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE 。将△ADE 沿对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF 。下列结论：①△ABG ≌△AFG ； ②BG ＝GC ；③AG ∥CF;④S △FGC =3. 其中正确结论的个数是（ ） A 1 B 2 C 、3 D 、4 例题2：如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 在AB 边上．四边形EFGB 也为正方形，设△AFC 的面积为S ，则（ ）A 、S=2 B 、S=2.4 C 、S=4 D 、S 与BE 长度有关 例题3：如图，正方形ABCD 的边长为4，P 为对角线AC 上一点，且CP=3 ，PE ⊥PB 交CD 于点E ，则PE= 例题4：已知：如图所示，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、DC 的中点，AF 、BE 交于点G ，连结CG ，求证：ΔCGB 是等腰三角形。 例题 5： 设点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上滑动且保持∠EAF=450，A P ⊥EF 于点P （1） 求证：AP=AB ：（2）若AB=5，求ΔECF 的周长。
例题6：已知P 为正方形ABCD 内一点，PA=1,PB=2,PC=3,求∠APB 的度数。 例题7：如图，在矩形ABCD 中,已知AD=12，AB=5,P 是AD 边上任意一点，BD PE ⊥于E ，AC PF ⊥于F ，求 PE+PF 的值。 例题8：如图，在矩形纸片ABCD 中，AB=6，AD=8,将纸片如图折叠，使点B 与点D 重合，折痕为GH ，求GH 的长。 例题9：如图正方形ABCD 中，E 为AD 边上的中点，过A 作AF ⊥BE ，交CD 边于F ，M 是AD 边上一点，且有BM ＝DM ＋CD ． ⑴求证：点F 是CD 边的中点； ⑵求证：∠MBC ＝2∠ABE ． M F E C D B A H