周期信号的傅里叶级数分析
连续时间LTI系统的时域分析：
以冲激函数为基本信号
系统零状态响应为输入信号与系统冲激响应之卷积
傅立叶分析
以正弦函数或复指数函数作为基本信号
系统零状态响应可表示为一组不同频率的正弦函数或复指数函数信
号响应的加权和或积分；
(—8 8)
周期信号：定义在区间* ' 7 ,每隔一定时间T ,按相同
规律重复变化的信号，如图所示。它可表示为
f (t)=r (顽)
其中川为正整数，T称为信号的周期，周期的倒数称为频率。
A/W
周期信号的特点:
(1)它是一个无穷无尽变化的信号，从理论上也是无始无终的, 时间范
围为(一8,8)
(2)如果将周期信号第一个周期内的函数写成人"则周期信号/(')可以
写成
周期信号的）,周期为4,角频率1 1
2兀V
8
fQ)= E W - nT)
〃二一8
（3）周期信号在任意一个周期内的积分保持不变，即有
Q+T b+T T
j = j
a b 0
1.三角形式的傅立叶级数
该信号可以展开为下式三角形式的傅立叶级数。
Af) = q + q cos 饥1)+ b、sin+ 可cos 2佃分 + b2 sin 2绍广)+ ?.. + a n cos 06]t) + b n sin+ ...
=% + ￡辰cos+ b n sin
n=l
a A
式中各正、余弦函数的系数〃'〃称为傅立叶系数，函数通过它
可以完全表ZK。
傅立叶系数公式如下
n -
1,2,…
力=
1, 2,…
］，o+7
a 。=歹 j fWt
2 %+，
a n = — J fQ) COS 2269/d t 2 *o+，
b n — — j f? sin no)}td t
7 4
（0, 7）或（一亦
三角形式的傅立叶级数还可以写成下面形式
8
f? =
+ Z G COS (77田土 + (p)
n=\
8
f(t) = d()+ Z "〃 sin(7769/ +。〃)
〃=i
两种形式之间系数有如下关系：
/ = % = d°
Cn = dn = Ja ； + 玖
b a
(p n = -arctg — , 0n = arctg —
% K
a
n 二 CnCQSCPn =妇明
4 =Fsin” = dn cosQ,
式中积分可以取任意一个周期, 一般情况下，取
2.指数函数形式的傅里叶级数
.1 / T Jo f(t) sin(/?69/)d t
利用欧拉公式
/时.网Q二冲_ Q冲
cos = -------- ---- sin = j ----------- --- e?冲=cos 网zO + sin 物1) e = cos - j sin06q^)
oo
f 仕)=% + ￡ [a〃 cos (/769/) + b n sin(/?6^t)]
p=i
8 疽叫t . 一丸四一丸a)\t jna\t =% + } E〃-------- ----- + M------- ----- J 〃=1 z Z
00 1 1
=% +?!总-龙k即+ ：盆+儿广即] /?=! Z Z
F(g = ：(a〃一j如)
令：z
] r / \ ] 了
=y ￡ f 仕)COS(〃")d t - j y ￡ f(t) sin(7769/)d
=-(广(Qe—j〃w d t
由欧拉公式T J。
F(-g=：(弓+j 如)
乙
] 7
=yl0广⑵ cos(77稣)d* + j
土
=-['f(t)e j^ d t
T Jo
令：夕(0) = a0
前面的级数可展成指数形式系数
8
f。= ￡ F(na)\) e
〃 =
；辐角等于三角表示的初相角土 0
F 〃 = F(nco) = - ￡ /(f)e -JW
d t
注意：这里〃的区间为(-8,8),与三角形式不同。
周期信号可分解成数信号"呵的线性组合。 如给出F(no)J,则隹一确定。
注意：Knco })是一个复数，有模和辐角
由于F{±nco x )=；(弓不力”)，其模等于 山：屏 辐角等于+ arctg —
在傅立叶三角表示式中.?c, = Ja ： + b<; 9〃 = -arctg —
a n
/^(/7使)是一个随着频率3气)变化而变化的复数，他唯 一地表示了 f(t)
在傅立叶级数中，无论三角函数表示还是指数函数表示，都是 通过三个量完整地表示一个函数：
⑴频率n(D[
(2) 在〃外下基底的幅度值 例(〃外)|或勺 (3) 在〃气下基底的相位值(p n
指数表示的基底为 e"
三角表示的基底为
cos( 77 69/)
傅里叶级数展开matlab 实现给个例子说明下：将函数 y=x*(x-pi)*(x-2*pi)，在(0,2*pi)的范围内傅里叶级数展开syms x fx=x*(x-pi)*(x-2*pi); [an,bn,f]=fseries(fx,x,12,0,2*pi)%前12 项展开latex(f)%将f 转换成latex 代码an = [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0] bn = [ -12, 3/2, -4/9, 3/16, -12/125, 1/18, -12/343, 3/128, -4/ 243, 3/250, -12/1331, 1/144] f = 12*sin(x)+3/2*sin(2*x)+4/9*sin(3*x)+3/16*sin(4*x)+12/ 125*sin(5*x)+1/18*sin(6 *x)+12/343*sin(7*x)+3/128*sin(8*x)+4/243*sin(9*x)+3/ 250*sin(10*x)+12/1331* sin(11*x)+1/144*sin(12*x) ans = 12\,\sin \left( x \right) +3/2\,\sin \left( 2\,x \right) +4/9\,\sin \left( 3\,x \right) +3/16\,\sin \left( 4\,x \right) +{\frac {12}{125}}\,\sin \left( 5\,x \right) +1/18\,\sin \left( 6\,x \right) +{\frac {12}{343}}\,\sin \left( 7\,x \right) +{\frac {3}{128}}\,\sin \left( 8\,x \right) +{\frac {4}{243}}\,\sin \left( 9\,x \right) +{\frac {3}{250}}\,\sin \left( 10\,x \right) +{\frac {12}{1331}}\,\sin \left( 11\,x \right) +{\frac {1}{144}}\,\sin \left( 12\,x \right) function [an,bn,f]=fseries(fx,x,n,a,b) %傅里叶级数展开% %an 为fourier 余弦项系数%bn 为fourier 正弦项系数%f 为展开表达式%f 为给定函数%x 为自变量%n 为展开系
傅里叶(Fourier )级数的指数形式与傅里叶变换 专题摘要：根据欧拉（Euler ）公式，将傅里叶级数三角表示转化为指数表示，进而得到傅里叶积分定理，在此基础上给出傅里叶变换的定义和数学表达式。 在通信与信息系统、交通信息与控制工程、信号与信息处理等学科中，都需要对各种信号与系统进行分析。通过对描述实际对象数学模型的数学分析、求解，对所得结果给以物理解释、赋予其物理意义，是解决实际问题的关键。这种数学分析方法主要针对确定性信号的时域和频域分析，线性时不变系统的描述以及信号通过线性时不变系统的时域分析与变换域分析。所有这些分析方法都离不开傅里叶变换、拉普拉斯变换和离散时间系统的z 变换。而傅里叶变换的理论基础是傅里叶积分定理。傅里叶积分定理的数学表达式就是傅里叶级数的指数形式。 不但傅里叶变换依赖于傅里叶级数，就是纯数学分支的调和分析也来源于函数的傅里叶级数。因此，傅里叶级数无论在理论研究还是在实际应用中都占有非常重要的地位。我们承认满足狄里克莱（Dirichlet ）条件下傅里叶级数的收敛性结果，不去讨论和深究傅里叶展式的唯一性问题。 傅里叶级数的指数形式 一个以T 为周期的函数)(t f ，在]2 ,2[T T 上满足狄里克莱条件：1o
)(t f 连续或只有有限个第一类间断点；2o 只有有限个极值点。那么)(t f 在]2 ,2[T T - 上就可以展成傅里叶级数。在连续点处 ∑∞ =++=1 )sin cos (2)(n n n t n b t n a a t f ωω， （1） 其中 T πω2= ， ),2,1,0(,cos )(2 22Λ==?-n dt t n t f T a T T n ω， （2） ),3,2,1(,sin )(2 22 Λ==?-n dt t n t f T b T T n ω， （3） 根据欧拉（Euler ）公式：θθθsin cos j e j +=，（1）式化为 ∑∞=--?? ????-+++=10222)(n t jn t jn n t jn t jn n j e e b e e a a t f ωωωω ∑∞=-?? ? ???++-+=10222n t jn n n t jn n n e jb a e jb a a ωω， （4） 若令 dt t f T c T T ?-=22 0)(1 Λ,3,2,1,)(1 ]sin )[cos (1 sin )(1cos )(1222 2222 22==-=-=-=????-----n dt e t f T dt t n j t n t f T dt t n t f T j dt t n t f T jb a c T T t jn T T T T T T n n n ωωωωω Λ,3,2,1,)(1 22 ==?--n dt e t f T c T T t jn n ω 综合n n c c c -,,0，可合并成一个式子 Λ,2,1,0,)(1 22 ±±==?--n dt e t f T c T T t jn n ω， （5）
周期信号的傅里叶级数分析 连续时间LTI 系统的时域分析: 以冲激函数为基本信号 系统零状态响应为输入信号与系统冲激响应之卷积 傅立叶分析 以正弦函数或复指数函数作为基本信号 系统零状态响应可表示为一组不同频率的正弦函数或复指数函数信号响应的加权和或积分; 周期信号: 定义在区间 ，每隔一定时间 T ，按相同 规律重复变化的信号，如图所示 。它可表示为 f (t )=f ( t +m T ) 其中 m 为正整数， T 称为信号的周期，周期的倒数称为频率。 周期信号的特点： （1） 它是一个无穷无尽变化的信号，从理论上也是无始无终的， 时间范围为 （2） 如果将周期信号第一个周期内的函数写成 ，则周期信 号 可以写成 (,)-∞∞(,)-∞∞()f t
（3）周期信号在任意一个周期内的积分保持不变，即有 1. 三角形式的傅立叶级数 周期信号 ，周期为1T ，角频率 11122T f π πω= = 该信号可以展开为下式三角形式的傅立叶级数。 []∑∞ =++ =++++++++=1 1 1 011121211110)sin()cos(...)sin()cos(... )2sin()2cos()sin()cos()(n n n n n t n b t n a a t n b t n a t b t a t b t a a t f ωωωωωωωω 式中各正、余弦函数的系数n n b a , 称为傅立叶系数,函数通过它 可以完全表示。 傅立叶系数公式如下 0()() n f t f t nT ∞ =-∞ = -∑ ()()()a T b T T a b f t dt f t dt f t dt ++= =? ? ?f t ()
傅里叶级数（Fourier Series ） 引言 正弦函数是一种常见而简单的周期函数，例如描述简谐振动的函数 就是一个以ωπ 2为周期的函数。其中y 表示动点的位置，t 表示时间，A 为振幅，ω为 角频率，?为初相。 但在实际问题中，除了正弦函数外，还会遇到非正弦的周期函数，它们反映了较复杂的周期运动，我们也想将这些周期函数展开成由简单的周期函数例如三角函数组成的级数。具体地说，将周期为)2(ωπ =T 的周期函数用一系列以T 为周期的正弦函数 )sin(n n t n A ?ω+组成的级数来表示，记为 其中),3,2,1(,,0 =n A A n n ?都是常数。 将周期函数按上述方式展开，它的物理意义就是把一个比较复杂的周期运动看成是许多不同频率的简谐振动的叠加。在电工学上，这种展开称为谐波分析。其中常数项0A 称为 )(t f 的直流分量；)sin(11?ω+t A 称为一次谐波（又叫做基波） ；而)2sin(22?ω+t A ， )3sin(33?ω+t A 依次称为二次谐波，三次谐波，等等。 为了下面讨论方便起见，我们将正弦函数)sin(n n t n A ?ω+按三角公式变形，得 t n A t n A t n A n n n n n n ω?ω??ωsin cos cos sin )sin(+=+， 令x t A b A a A a n n n n n n ====ω??,cos ,sin ,2 00，则上式等号右端的级数就可以改写成 这个式子就称为周期函数的傅里叶级数。 1.函数能展开成傅里叶级数的条件 （1） 函数)(x f 须为周期函数； （2） 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点；（如果0x 是函数)(x f 的间断点，但 左极限)0(0-x f 及右极限)0(0+x f 都存在，那么0x 称为函数)(x f 的第一类间断点） （3） 在一个周期内至多只有有限个极值点。
周期信号的傅里叶级数分析 连续时间 LTI 系统的时域分析: 以冲激函数为基本信号 系统零状态响应为输入信号与系统冲激响应之卷积 傅立叶分析 以正弦函数或复指数函数作为基本信号 系统零状态响应可表示为一组不同频率的正弦函数或复指数函数信 号响应的加权和或积分; 规律重复变化的信号，如图所示 。它可表示为 f (t )=f ( t +m T ) 其中 m 为正整数， T 称为信号的周期，周期的倒数称为频率。 f (t ) 1 T /2 -1 T t 周期信号的特点： (1) 它是一个无穷无尽变化的信号，从理论上也是无始无终的， 时间范围为 ( - , ) (2) 如果将周期信号第一个周期内的函数写成 ，则周期信 号 f (t ) 可以 写成 周期信号: 定义在区间 (- , ) ，每隔一定时间 T ，按相同
f (t ) = f 0(t -nT ) n =- (3) 周期信号在任意一个周期内的积分保持不变，即有 a +T b +T T f (t )dt = f (t )dt = f (t )dt ab 0 1. 三角形式的傅立叶级数 该信号可以展开为下式三角形式的傅立叶级数。 f (t ) = a + a cos(t ) + b sin(t ) + a cos(2t ) + b sin(2 t ) + ... + a cos(n t ) + b sin(n t ) + ... = a + a cos(n t ) + b sin(n t ) n =1 式中各正、余弦函数的系数 a n ,b n 称为傅立叶系数,函数通过它 可以完全表示。 傅立叶系数公式如下 周期信号 f (t ) = 2 f ，周期为T 1 ，角频率 2 T 1
实验<编号> 学号姓名分工 11350023 韦能龙编写代码 11350024 熊栗问题分析1.问题描述 实验二信号的合成与分解
2. 问题分析 此次主要是考察傅里叶的合成与分解，运用分解公式求出系数，运用合成公式合成函数，三角波和矩形波是很典型的连个列子，这个大作业只要分解出系数还有用合成公式，基本上就解决了问题了。 3. 实验代码与实验结果 (1)周期性矩形波的系数表示 ,.....7,5,3,1),2 sin(2==n npi kpi a k 代码： t = -3:0.001:3; M = 1;%M =1,7,29,99 T = 2; W = 2*pi/T; f1 = 0*ones(1,length(t)); for n= -M:2:M a = 2/(n*pi)*sin(n*pi/2); f1 = f1+a*exp(j*n*W*t); end plot(t,f1) xlabel('t') ylabel('f(t)') title('M=1，7,29,99时的方波') ylim([-1.5 1.5]); hold on plot(t , zeros(1,length(t))) hold off 图像： M =1时：
M= 7： M = 29
M = 99 （2）三角波的系数表示：
?? --== 1 1)()(1dt e t x dt e t x T a jkwt T jkwt k )2 (sin 42 12 2 20npi pi n a a n == 代码： t = -3:0.001:3; M = 1;%M =1,7,29,99 T = 1; W = 2*pi/T; G1= 0*ones(1,length(t)); for n= -M:M if n==0 a =1/2; else a = 4/(n^2*pi^2)*(sin(n*pi/2)^2) ; end G1 = G1+a*exp(j*n*W*t); end G1 = G1-0.5; plot(t,G1) xlabel('t') ylabel('G(t)') title('M=1时的三角波') ylim([-1.5 1.5]); hold on plot(t , zeros(1,length(t))) hold off M=1 时
傅里叶级数的数学推导 首先，隆重推出傅里叶级数的公式，不过这个东西属于“文物”级别的，诞生于19世纪初，因为傅里叶他老人家生于1768年，死于1830年。 但傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用，这不由得让人肃然起敬。一打开《信号与系统》、《锁相环原理》等书籍，动不动就跳出一个“傅里叶级数”或“傅里叶变换”，弄一长串公式，让人云山雾罩。 如下就是傅里叶级数的公式： 不客气地说，这个公式可以说是像“臭婆娘的裹脚布——又臭又长”，而且来历相当蹊跷，不知那个傅里叶什么时候灵光乍现，把一个周期函数f(t)硬生生地写成这么一大堆东西。单看那个①式，就是把周期函数f(t)描述成一个常数系数a0、及1倍ω的sin和cos函数、2倍ω的sin和cos函数等、到n倍ω的sin和cos函数等一系列式子的和，且每项都有不同的系数，即An和Bn，至于这些系数，需要用积分来解得，即②③④式，不过为了积分方便，积分区间一般设为[-π, π]，也相当一个周期T的宽度。 能否从数学的角度推导出此公式，以使傅里叶级数来得明白些，让我等能了解它的前世今生呢？下面来详细解释一下此公式的得出过程：
１、把一个周期函数表示成三角级数： 首先，周期函数是客观世界中周期运动的数学表述，如物体挂在弹簧上作简谐振动、单摆振动、无线电电子振荡器的电子振荡等，大多可以表述为：f(x)=A sin(ωt+ψ) 这里t表示时间，A表示振幅，ω为角频率，ψ为初相（与考察时设置原点位置有关）。 然而，世界上许多周期信号并非正弦函数那么简单，如方波、三角波等。傅叶里就想，能否用一系列的三角函数An sin(nωt+ψ)之和来表示那个较复杂的周期函数f(t)呢？因为正弦函数sin可以说是最简单的周期函数了。于是，傅里叶写出下式：（关于傅里叶推导纯属猜想） 这里，t是变量，其他都是常数。与上面最简单的正弦周期函数相比，5式中多了一个n，且n从1到无穷大。这里f(t)是已知函数，也就是需要分解的原周期函数。从公式5来看，傅里叶是想把一个周期函数表示成许多正弦函数的线性叠加，这许许多多的正弦函数有着不同的幅度分量（即式中An）、有不同的周期或说是频率（是原周期函数的整数倍，即n）、有不同的初相角（即ψ），当然还有一项常数项（即A0）。要命的是，这个n是从1到无穷大，也就是是一个无穷级数。 应该说，傅里叶是一个天才，想得那么复杂。一般人不太会把一个简单的周期函数弄成这么一个复杂的表示式。但傅里叶认为，式子右边一大堆的函数，其实都是最简单的正弦函数，有利于后续的分析和计算。当然，这个式能否成立，关键是级数中的每一项都有一个未知系数，如A0、An等，如果能把这些系数求出来，那么5式就可以成立。当然在5式中，唯一已知的就是原周期函数f(t),那么只需用已知函数f(t)来表达出各项系数，上式就可以成立，也能计算了。 于是乎，傅里叶首先对式5作如下变形： 这样，公式５就可以写成如下公式６的形式：
三角级数、傅里叶级数 对于所有在以2pi为周期的函数f(x)，可以用一组如下的三角函数系将其展开： 1，cosx，sinx，cox2x，sin2x，……，coxnx，sinnx，…… 显然，这组基在[-pi,pi]上是正交的，因此可以在周期区间求积分获得函数f(x)在以三角函数系为基的展开系数，或者说以三角函数系为坐标的投影值a0,an,bn…… 一个一般的函数f(x)可以表示为奇函数和偶函数的叠加，因此它的展开既含有正弦项又含有余弦项，但偶函数的展开仅含有常数项a0和正弦项，相似的，奇函数展开仅含有余弦项。 傅里叶级数的复数形式 根据欧拉公式e^jx=cosx+jsinx，任意正弦、余弦项可以用复指表示，即cosx=(e^jx+e^-jx)/2，sinx=(e^jx-e^-jx)/2j。所以，任何一个周期函数f(x)既可以在三角函数系上表出也可以在复指数系1， e^jx，……，e^jnx上表出，在不同的坐标系之间，存在映射关系。但重要的是，由于积分变换的核函数形式发生改变，其物理意义也将有所变化。由于复数的引入，每一个复指数e^jnx相对于三角函数系都变为一个二维量，其物理含义是一条三维螺旋线。其道理非常简单，一个实参a表示数轴上的一点，而一个复数a+bj表示二维坐标上的一点，所以cosx，sinx分别表示
一条二维曲线，而e^jx=cosx+jsinx是一条空间三维曲线。 傅里叶变换 周期信号用傅里叶级数表示,非周期信号可以借助傅里叶变换进行.对实信号做傅立叶变换时，如果按指数e^jωt为核来求，我们将得到双边频谱。以角频率为Ω的余弦信号为例，它有具有位于±Ω两处的，幅度各为0.5，相角为零的频率特性。实际上，COSΩt就是e^jΩt与e^j-Ωt两条螺旋线的叠加，他们虚部刚好对消，只剩下实部。 Ω1与Ω2两个角速度的螺旋线坐标值的叠加并不等于角速度 Ω1+Ω2，因为从角速度到螺旋线的映射不是线性关系。这一现象正体现了频率的正交特性,也是频率分析理论存在的基础. 经过傅立叶变换得到的负频率表示一条反向旋转的螺旋线,而复频率表示一条整体改变90度相位的螺旋线，它们分别与正频率,实频相对应,都表示一个特定的螺旋线，并没有玄妙的含义。 连续频谱 周期信号用傅里叶级数展开所获得频率线状谱的物理意义十分明确,即整个信号由所有谱线存在处频率分量叠加而成.比如信号COSΩt对应Ω与-Ω处两根谱线.
傅里叶级数的推导
傅里叶级数的推导 2016年12月14日09:27:47 傅里叶级数的数学推导 首先，隆重推出傅里叶级数的公式，不过这个东西属于“文物”级别的，诞生于19世纪初，因为傅里叶他老人家生于1768年，死于1830年。 但傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用，这不由得让人肃然起敬。一打开《信号与系统》、《锁相环原理》等书籍，动不动就跳出一个“傅里叶级数”或“傅里叶变换”，弄一长串公式，让人云山雾罩。 如下就是傅里叶级数的公式： 不客气地说，这个公式可以说是像“臭婆娘的裹脚布——又臭又长”，而且来历相当蹊跷，不知那个傅里叶什么时候灵光乍现，把一个周期函数f(t)硬生生地写成这么一大堆东西。单看那个①式，就是把周期函数f(t)描述成一个常数系数a0、及1倍ω的sin和cos函数、2倍ω的sin和cos函数等、到n倍ω的sin和cos函数等一系列式子的和，且每项都有不同的系数，即An和Bn，至于这些系数，需要用积分来解得，即②③④式，不过为了积分方便，积分区间一般设为[-π, π]，也相当一个周期T的宽度。 能否从数学的角度推导出此公式，以使傅里叶级数来得明白些，让我等能了解它的前世今生呢？下面来详细解释一下此公式的得出过程： １、把一个周期函数表示成三角级数：
首先，周期函数是客观世界中周期运动的数学表述，如物体挂在弹簧上作简谐振动、单摆振动、无线电电子振荡器的电子振荡等，大多可以表述为： f(x)=A sin(ωt+ψ) 这里t表示时间，A表示振幅，ω为角频率，ψ为初相（与考察时设置原点位置有关）。 然而，世界上许多周期信号并非正弦函数那么简单，如方波、三角波等。傅叶里就想，能否用一系列的三角函数An sin(nωt+ψ)之和来表示那个较复杂的周期函数f(t)呢？因为正弦函数sin可以说是最简单的周期函数了。于是，傅里叶写出下式：（关于傅里叶推导纯属猜想） 这里，t是变量，其他都是常数。与上面最简单的正弦周期函数相比，5式中多了一个n，且n从1到无穷大。这里f(t)是已知函数，也就是需要分解的原周期函数。从公式5来看，傅里叶是想把一个周期函数表示成许多正弦函数的线性叠加，这许许多多的正弦函数有着不同的幅度分量（即式中An）、有不同的周期或说是频率（是原周期函数的整数倍，即n）、有不同的初相角（即ψ），当然还有一项常数项（即A0）。要命的是，这个n是从1到无穷大，也就是是一个无穷级数。 应该说，傅里叶是一个天才，想得那么复杂。一般人不太会把一个简单的周期函数弄成这么一个复杂的表示式。但傅里叶认为，式子右边一大堆的函数，其实都是最简单的正弦函数，有利于后续的分析和计算。当然，这个式能否成立，关键是级数中的每一项都有一个未知系数，如A0、An等，如果能把这些系数求出来，那么5式就可以成立。当然在5式中，唯一已知的就是原周期函数f(t),那么只需用已知函数f(t)来表达出各项系数，上式就可以成立，也能计算了。 于是乎，傅里叶首先对式5作如下变形： 这样，公式５就可以写成如下公式６的形式： 这个公式６就是通常形式的三角级数，接下来的任务就是要把各项系数an和bn 及a0用已知函数f(t)来表达出来。 ２、三角函数的正交性：
傅里叶级数的数学推 导
傅里叶级数的数学推导 首先，隆重推出傅里叶级数的公式，不过这个东西属于“文物”级别的，诞生于19世纪初，因为傅里叶他老人家生于1768年，死于1830年。 但傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用，这不由得让人肃然起敬。一打开《信号与系统》、《锁相环原理》等书籍，动不动就跳出一个“傅里叶级数”或“傅里叶变换”，弄一长串公式，让人云山雾罩。 如下就是傅里叶级数的公式： 不客气地说，这个公式可以说是像“臭婆娘的裹脚布——又臭又长”，而且来历相当蹊跷，不知那个傅里叶什么时候灵光乍现，把一个周期函数f(t)硬生生地写成这么一大堆东西。单看那个①式，就是把周期函数f(t)描述成一个常数系数a0、及1倍ω的sin和cos函数、2倍ω的sin和cos函数等、到n倍ω的sin
和cos函数等一系列式子的和，且每项都有不同的系数，即An和Bn，至于这些系数，需要用积分来解得，即②③④式，不过为了积分方便，积分区间一般设为[-π, π]，也相当一个周期T的宽度。 能否从数学的角度推导出此公式，以使傅里叶级数来得明白些，让我等能了解它的前世今生呢？下面来详细解释一下此公式的得出过程： １、把一个周期函数表示成三角级数： 首先，周期函数是客观世界中周期运动的数学表述，如物体挂在弹簧上作简谐振动、单摆振动、无线电电子振荡器的电子振荡等，大多可以表述为：f(x)=A sin(ωt+ψ) 这里t表示时间，A表示振幅，ω为角频率，ψ为初相（与考察时设置原点位置有关）。 然而，世界上许多周期信号并非正弦函数那么简单，如方波、三角波等。傅叶里就想，能否用一系列的三角函数An sin(nωt+ψ)之和来表示那个较复杂的周期函数f(t)呢？因为正弦函数sin可以说是最简单的周期函数了。于是，傅里叶写出下式：（关于傅里叶推导纯属猜想） 这里，t是变量，其他都是常数。与上面最简单的正弦周期函数相比，5式中多了一个n，且n从1到无穷大。这里f(t)是已知函数，也就是需要分解的原周期函数。从公式5来看，傅里叶是想把一个周期函数表示成许多正弦函数的线性叠加，这许许多多的正弦函数有着不同的幅度分量（即式中An）、有不同的周期或说是频率（是原周期函数的整数倍，即n）、有不同的初相角（即
傅立叶级数的指数形式（图） 上一回说到，利用傅立叶级数（Fourier Series，简称FS）这个数学法宝，可以将一般的周期信号分解为直流成分、基波和无穷多个高次谐波成分的叠加，从而方便地确定其频谱。但上述的傅立叶级数表达式只是傅立叶级数的三角形式，在实用中还有傅立叶级数的指数形式，本文介绍。 一、傅立叶级数的三角形式 对于一个周期为T的周期函数f T（t），在一定条件下可以在连续点t处展开为傅立叶级数的三角形式，即： （1）其中ω1=2π/T为周期函数的圆频率，也就是信号的基频；傅立叶系数分别为 （2） （3） （4）在信号分析理论中a0叫做直流分量，a n叫做余弦分量系数，b n叫做正弦分 量系数。
二、傅立叶级数的指数形式 根据欧拉公式有 （5）其中j为虚数单位，即 （6）不难从傅立叶级数的三角形式导出傅立叶级数的指数形式： （7）其中傅立叶系数一般为复数 （8） 三、傅立叶级数的指数形式与三角形式的关系 根据欧拉公式由式（7）有 （9）不难看出傅立叶级数的指数形式与三角形式可以描述同一个周期信号，只是数学形式不同而已。其中两种形式的傅立叶系数关系如下：
（10）或 （11）可以看出傅立叶级数的指数形式中的傅立叶系数不再是实数，而是复数。 四、周期信号的频谱分析 从傅立叶级数的指数形式也可以进行频谱分析。由式（9）得 （12）可知，周期函数f T（t）包含的直流分量为 （13）基波分量的振幅为 （14）基波初相位为
各高次谐波分量的振幅为 （16）各高次谐波分量的初相位为 （17）这样，周期信号f T（t）的振幅频谱函数可表示为 （18） 五、为什么需要傅立叶级数的指数形式？ 实际上，如果考虑信号的双边频谱，用傅立叶级数的指数形式更方便。在双边频域（∞，－∞）内，周期信号的频谱函数就是傅立叶系数，即 （19）傅立叶系数一般为复数，可写成 （20）其模就是双边的振幅频谱
傅里叶级数的推导 2016年12月14日09:27:47 傅里叶级数的数学推导 首先，隆重推出傅里叶级数的公式，不过这个东西属于“文物”级别的，诞生于19世纪初，因为傅里叶他老人家生于1768年，死于1830年。 但傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用，这不由得让人肃然起敬。一打开《信号与系统》、《锁相环原理》等书籍，动不动就跳出一个“傅里叶级数”或“傅里叶变换”，弄一长串公式，让人云山雾罩。 如下就是傅里叶级数的公式： 不客气地说，这个公式可以说是像“臭婆娘的裹脚布——又臭又长”，而且来历相当蹊跷，不知那个傅里叶什么时候灵光乍现，把一个周期函数f(t)硬生生地写成这么一大堆东西。单看那个①式，就是把周期函数f(t)描述成一个常数系数a0、及1倍ω的sin和cos函数、2倍ω的sin和cos函数等、到n倍ω的sin和cos函数等一系列式子的和，且每项都有不同的系数，即An和Bn，至于这些系数，需要用积分来解得，即②③④式，不过为了积分方便，积分区间一般设为[-π, π]，也相当一个周期T的宽度。 能否从数学的角度推导出此公式，以使傅里叶级数来得明白些，让我等能了解它的前世今生呢？下面来详细解释一下此公式的得出过程： １、把一个周期函数表示成三角级数：
首先，周期函数是客观世界中周期运动的数学表述，如物体挂在弹簧上作简谐振动、单摆振动、无线电电子振荡器的电子振荡等，大多可以表述为： f(x)=A sin(ωt+ψ) 这里t表示时间，A表示振幅，ω为角频率，ψ为初相（与考察时设置原点位置有关）。 然而，世界上许多周期信号并非正弦函数那么简单，如方波、三角波等。傅叶里就想，能否用一系列的三角函数An sin(nωt+ψ)之和来表示那个较复杂的周期函数f(t)呢？因为正弦函数sin可以说是最简单的周期函数了。于是，傅里叶写出下式：（关于傅里叶推导纯属猜想） 这里，t是变量，其他都是常数。与上面最简单的正弦周期函数相比，5式中多了一个n，且n从1到无穷大。这里f(t)是已知函数，也就是需要分解的原周期函数。从公式5来看，傅里叶是想把一个周期函数表示成许多正弦函数的线性叠加，这许许多多的正弦函数有着不同的幅度分量（即式中An）、有不同的周期或说是频率（是原周期函数的整数倍，即n）、有不同的初相角（即ψ），当然还有一项常数项（即A0）。要命的是，这个n是从1到无穷大，也就是是一个无穷级数。 应该说，傅里叶是一个天才，想得那么复杂。一般人不太会把一个简单的周期函数弄成这么一个复杂的表示式。但傅里叶认为，式子右边一大堆的函数，其实都是最简单的正弦函数，有利于后续的分析和计算。当然，这个式能否成立，关键是级数中的每一项都有一个未知系数，如A0、An等，如果能把这些系数求出来，那么5式就可以成立。当然在5式中，唯一已知的就是原周期函数f(t),那么只需用已知函数f(t)来表达出各项系数，上式就可以成立，也能计算了。 于是乎，傅里叶首先对式5作如下变形： 这样，公式５就可以写成如下公式６的形式： 这个公式６就是通常形式的三角级数，接下来的任务就是要把各项系数an和bn 及a0用已知函数f(t)来表达出来。 ２、三角函数的正交性：
(4) 2 T 2 T f (t)dt 傅里叶（Fourier ）级数的指数形式与傅里叶变换 专题摘要：根据欧拉（Euler ）公式，将傅里叶级数三角表示转化为指数表示，进而得到傅 里叶积分定理，在此基础上给出傅里叶变换的定义和数学表达式。 在通信与信息系统、交通信息与控制工程、信号与信息处理等学科中，都需要对各种 信号与系统进行分析。 通过对描述实际对象数学模型的数学分析、 求解，对所得结果给以物 理解释、赋予其物理意义，是解决实际问题的关键。这种数学分析方法主要针对确定性信号 的时域和频域分析，线性时不变系统的描述以及信号通过线性时不变系统的时域分析与变换 域分析。所有这些分析方法都离不开傅里叶变换、拉普拉斯变换和离散时间系统的 z 变换。 而傅里叶变换的理论基础是傅里叶积分定理。 傅里叶积分定理的数学表达式就是傅里叶级数 的指数形式。 不但傅里叶变换依赖于傅里叶级数，就是纯数学分支的调和分析也来源于函数的傅里 叶级数。因此，傅里叶级数无论在理论研究还是在实际应用中都占有非常重要的地位。 我们 承认满足狄里克莱（Dirichlet ）条件下傅里叶级数的收敛性结果，不去讨论和深究傅里叶展 式的唯一性问题。 傅里叶级数的指数形式 一个以T 为周期的函数f （t ），在［-T ,T ］上满足狄里克莱条件：1o f （t ）连续或只有 2 2 数。在连续点处 有限个第一类间断点; 2。 只有有限个极值点。 那么f （t ）在nT,T ］上就可以展成傅里叶级 f(t) a 0 ,. (a n cosn ?t b n sin n ?t) (1) 其中 a n T 2 f (t) cosn tdt, (n 二 0,1,2,)， _2 根据欧拉（Euler ）公式: b n ；认）州艸（n=1,2,3,）， (3) e" - cos ： j si ， （1）式化为 f(t)二色二 a 2 J e jn e" n jn ? ￡ j jn ? t +b e —e M n 2j 若令 a n - j b n 一 2 jn ;.-：t . a n jb n ?弓曲 2 」，
傅里叶(F o u r i e r)级数的指数形式与傅里 叶变换
傅里叶(Fourier )级数的指数形式与傅里叶变换 专题摘要：根据欧拉（Euler ）公式，将傅里叶级数三角表示转化为指数表示，进而得到傅里叶积分定理，在此基础上给出傅里叶变换的定义和数学表达式。 在通信与信息系统、交通信息与控制工程、信号与信息处理等学科中，都需要对各种信号与系统进行分析。通过对描述实际对象数学模型的数学分析、求解，对所得结果给以物理解释、赋予其物理意义，是解决实际问题的关键。这种数学分析方法主要针对确定性信号的时域和频域分析，线性时不变系统的描述以及信号通过线性时不变系统的时域分析与变换域分析。所有这些分析方法都离不开傅里叶变换、拉普拉斯变换和离散时间系统的z 变换。而傅里叶变换的理论基础是傅里叶积分定理。傅里叶积分定理的数学表达式就是傅里叶级数的指数形式。 不但傅里叶变换依赖于傅里叶级数，就是纯数学分支的调和分析也来源于函数的傅里叶级数。因此，傅里叶级数无论在理论研究还是在实际应用中都占有非常重要的地位。我们承认满足狄里克莱（Dirichlet ）条件下傅里叶级数的收敛性结果，不去讨论和深究傅里叶展式的唯一性问题。 傅里叶级数的指数形式 一个以T 为周期的函数)(t f ，在]2 ,2[T T -上满足狄里克莱条件：1o )(t f 连续或只有有限个第一类间断点；2o 只有有限个极值点。那么)(t f 在]2 ,2[T T -上就 可以展成傅里叶级数。在连续点处 ∑∞ =++=1 )sin cos (2)(n n n t n b t n a a t f ωω， （1） 其中 T πω2= ，
毕业论文综合实践报告 第一章、系统的组成及工作原理 1.1系统组成 本设计的方波—三角波转换电路由同相滞回比较电路和积分电路两部分组成。 图1—1 方波三角波发生电路 三角波正弦波转换电路由滤波电路完成。 题目 设计制作一个产生方波-三角波-正弦波函数转换器 内容及要求 1 输出波形频率范围为0.02Hz~20kHz 且连续可调； 2 正弦波幅值为±2V ； 3 方波幅值为2V ； 4 三角波峰-峰值为2V ，占空比可调； 5 设计电路所需的直流电源可用实验室电源。 摘要 波形发生器已经越来越广泛的运用到我门的日常生活、航空航天、医疗技术地理气象检测等等科学领域。随着科技的进步和社会的发展，单一的波形发生器已经不能满足人们的要求。为了能够更好的掌握在书本所学到的相关知识，以备以后在工作中运用所需，们今天设计的正是多种波形发生器。 同相滞回比较电路 积分电路 三角波
图1—2 正弦波发生电路 1.2工作原理 本文所设计的电路是通过集成运算放大器长生不同的波形，先通过同相滞回比较电路产生方波，然后方波通过积分电路转换成三角波，最后由滤波电路将三角波转换成正弦波,从而完成波形的转换。 角波发生电路是通过R 1调节方波的幅值，R 2、R 3调节方波的频率，R 4调节三角波 的峰峰值R 5调节三角波的占空比。 三角波输入滤波电路后通过滤波作用将三角波转换成正弦波，输出正弦波的幅值由R 6、R 7、R 8调节. 第二章、电路方案设计 方案一： 方案一电路由方波—三角波转换电路和三角波—正弦波转换电路组成。 2.1、方波—三角波转换电路如图 3.1所示。 该电路由同相滞回比较电路和积分电路组成。滞回比较器输出电压U 01在t 0时刻由-Uz 跃变为+Uz(为第一暂态)，此时积分电路进行反向积分，输出电压u 0呈线性下降，当u 0下降到滞回比较器的阈值电压-U T 时即t 1时刻,滞回比较器的输出的电压U 01从+Uz 跃变到-Uz （为第二暂态）。此后，积分电路进行正向积分，u 0呈线性上升，当u 0上升到滞回比较器的阈值电压+U T 时即t 2时刻,u 01从-Uz 又跃变回到+Uz ，即返回第一暂态，电路又开始反向积分。如此周而复始，产生振荡。 三角波 滤波电路 正弦波
傅里叶级数展开傅里叶级数其实是一种三角级数。三角级数的一般形式是 ∑∞=++10)sin cos (2a n n n nx b nx a 其中0a ，n a ，n b （n=1,2，···）都是实数。 现在能否把一个任意周期为2π的函数表示为一系列正弦函数之和呢？这样表示有什么条件吗？且听慢慢分辨。 现在的焦点就是把一个周期为2π的函数f （x ）表示为： ∑∞=++=10)sin cos (2a )(f n n n nx b nx a x [1] 这样的形式。 现在有两个问题： 1.在什么条件下把f （x ）展开成[1]的形式： 2.0a ，n a ，n b 如何确定。 由三角函数系的正交性可知，三角函数系中任意两个相同的函数之积在[-π，π]上积分不为零；任意两个不相同的函数之积在[-π，π]上积分为零。 接下来可以这样推导0a ，n a ，n b 的值 第一步：对[1]两边同时在[-π，π]上积分有： ∑∫∫∫∫∞=++=1---0-dx] sin b dx cos [dx 2a dx )(f n n n nx nx a x πππππ πππ=π0a ， 故0a =∫πππ-dx x f 1）（第二步：对[1]两边同时乘以cosnπ然后在[-π，π]上积分有：∑∫∫∫∫∞=++=1---0-]d cos sin b d cosn cos [d cosn 2a d cosn )(f n n n x nx nx x x nx a x x x x x πππππππ π得， ），（）（∫==πππ-n 2,1n cosnxdx x f 1a ?第三步：对[1]两边同时乘以cosnπ然后在[-π，π]上积分有： ∑∫∫∫∫∞=++=1---0-]d sin sin b d sinn cos [d sinn 2a d sinn )(f n n n x nx nx x x nx a x x x x x πππππ πππ得， ），（）（∫==πππ-n 2,1n sinnxdx x f 1b ?那么什么条件下才能有以上展开呢？
第15章 傅里叶级数 § 傅里叶级数 一 基本内容 一、傅里叶级数 在幂级数讨论中 1 ()n n n f x a x ∞ ==∑，可视为()f x 经函数系 21, , , , , n x x x 线性表出而得．不妨称 2 {1,,,,,}n x x x 为基，则不同的基就有不同的级数．今用三角函数 系作为基，就得到傅里叶级数． 1 三角函数系 函数列{}1, cos , sin , cos 2, sin 2, , cos , sin , x x x x nx nx 称为三角函数系．其有下 面两个重要性质． (1) 周期性 每一个函数都是以2π为周期的周期函数； (2) 正交性 任意两个不同函数的积在[,]ππ-上的积分等于 零，任意一个函数的平方在上的积分不等于零． 对于一个在[,]ππ-可积的函数系{}() [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:，定义两个函数的内积 为 (),()()()d b n m n m a u x u x u x u x x =??， 如果 0 (),() 0 n m l m n u x u x m n ≠=?=? ≠?，则称函数系{}() [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:为正交系． 由于 1, sin 1sin d 1cos d 0 nx nx x nx x ππ π π --=?=?=??； sin , sin sin sin d 0 m n mx nx mx nx x m n π π π-=?=?=?≠?? ； cos , cos cos cos d 0 m n mx nx mx nx x m n π π π-=?=?=?≠?? ； sin , cos sin cos d 0 mx nx mx nx x π π -=?=? ； 2 1, 11d 2x ππ π -==?， 所以三角函数系在[],ππ-上具有正交性，故称为正交系． 利用三角函数系构成的级数 ()01cos sin 2n n n a a nx b nx ∞ =++∑ 称为三角级数，其中011,,, ,,,n n a a b a b 为常数
傅里叶级数 诀窍就在于从“几何”的角度来看待傅里叶级数。当我们把一个周期函数表达成傅里叶级数时，其实我们只是在做一个动作，那就是把函数“投影”到一系列由三角函数构成的“坐标轴”上。 1.什么是投影 我们先来复习什么是投影吧。考虑一个简单的二维平面的例子。如下图所示，给定两个向量 u 和 v ，我们从 u 的末端出发作到 v 所在直线的垂线，得到一个跟 v 同向的新向量 p 。这个过程就称作 u 到 v 所在直线的投影，得到的新向量 p 就是 u 沿 v 方向的分量。图中的系数 c 是 p 跟 v 的比例，也就是 u 在 v 轴上的“坐标”。我们可以用尺规作图来完成投影这个动作，问题是：如果给定的向量 u 和 v 都是代数形式的，我们怎么用代数的方法求 c ？ 我相信只要有基本线性代数知识的同学都可以轻松解决这个问题。我们知道 u-cv这个向量是“正交”于 v 的，用数学语言表达就是(u-cv)T v=0。我们马上就可以得到 c 的表达式如下。 （1） 2.向量在一组正交基上的展开
在讲傅里叶级数之前，我们还需引进线性代数中“正交基”的概念。如果这个概念你觉得陌生，就把它想成是互相垂直的“坐标轴”。回到刚才这个例子，如下图所示，现在我们引进一组正交基 {v1，v2}，那么 u 可以展开成以下形式 （2） 从图上来看，(2)式其实说的是我们可以把 u“投影”到 v1 和 v2 这两个坐标轴上，c1 和 c2 就是 u 的新“坐标”。问题是：我们怎么求 c1 和 c2 呢？你会说，我们可以(2)式两边同时乘以 v1 或 v2，然后利用它们正交的性质来求 c1，c2。没错，数学上是这么做的。但是利用之前关于投影的讨论，我们可以直接得出答案，直接利用(1)式就可以得到如下的表达式： （3） 3.傅里叶级数的几何意义 现在我们已经明白一件事情了：如果想把一个向量在一组正交基上展开，也就是找到这个向量沿每条新“坐标轴”的“坐标”，那么我们只要把它分别投影到每条坐标轴上就好了，也就是把(1)式中的 v 换成新坐标轴就好了。说了半天，这些东西跟傅里叶级数有什么关系？我们先回忆一下傅里叶级数的表达式。给定一个周期是 2l 的周期函数 f(x),它的傅里叶级数为：
傅里叶级数总结 TASK1:(x f 在[-π ,π]上的周期函数，需展开成傅里叶级数，公式： ??--==π π π π nxdx x f b nxdx x f a n n sin )(cos )( 例1：将x x f 4sin )(=展开成傅里叶级数 x x x f x f n xdx x b n n n dx nx x nx x nx nxdx x a dx x x dx x a x x x x n n 4cos 8 1 2cos 2183)(,...) 3,2,1(0sin sin 1 )4(81) 2(2 1 ...)4,2(0)cos 4cos 81cos 2cos 21cos 83(2cos sin 24 3 )4cos 812cos 2183(sin 2 24cos 1412cos 2141)22cos 1(sin :40040 4024+-=∴=== ????????? ==-≠=+-=== +-== +- -=-=???? - ）（，即傅里叶级数收敛于本身处处连续 解 π π πππ π πππ
TASK2:(x f 在[-π ,π]上的奇函数，需展开成傅里叶级数，公式： ,...)3,2,1(sin )(2 ,...) 2,1,0(00 == ==?n nxdx x f b n a n n π π 例2： )(sin sin ..)1(sin 2) () (.)1.(sin 2])cos()[cos(2 sin sin 2 0)()(sin )(1 2 212210 0πππ π ππ π πππ π <<-=--∴--= +--= = ==∴<<-=∑? ? ∞ =++x ax a n nx n a x f a n n ax dx x a n x a n nxdx ax b a a x f x ax x f n n n n n 按展开定理有为奇函数解：展开成傅里叶级数将