傅里叶(Fourier )级数的指数形式与傅里叶变换
专题摘要：根据欧拉（Euler ）公式，将傅里叶级数三角表示转化为指数表示，进而得到傅里叶积分定理，在此基础上给出傅里叶变换的定义和数学表达式。
在通信与信息系统、交通信息与控制工程、信号与信息处理等学科中，都需要对各种信号与系统进行分析。通过对描述实际对象数学模型的数学分析、求解，对所得结果给以物理解释、赋予其物理意义，是解决实际问题的关键。这种数学分析方法主要针对确定性信号的时域和频域分析，线性时不变系统的描述以及信号通过线性时不变系统的时域分析与变换域分析。所有这些分析方法都离不开傅里叶变换、拉普拉斯变换和离散时间系统的z 变换。而傅里叶变换的理论基础是傅里叶积分定理。傅里叶积分定理的数学表达式就是傅里叶级数的指数形式。
不但傅里叶变换依赖于傅里叶级数，就是纯数学分支的调和分析也来源于函数的傅里叶级数。因此，傅里叶级数无论在理论研究还是在实际应用中都占有非常重要的地位。我们承认满足狄里克莱（Dirichlet ）条件下傅里叶级数的收敛性结果，不去讨论和深究傅里叶展式的唯一性问题。
傅里叶级数的指数形式
一个以T 为周期的函数)(t f ，在]2
,2[T T -
上满足狄里克莱条件：1o )(t f 连续或只有有限个第一类间断点；2o 只有有限个极值点。那么)(t f 在]2
,2[T T -上就可以展成傅里叶级数。在连续点处 ∑∞=++=1
0)sin cos (2)(n n n t n b t n a a t f ωω， （1） 其中 T
πω2=， ),2,1,0(,cos )(222
==?-n dt t n t f T a T T n ω， （2） ),3,2,1(,sin )(222
==?-n dt t n t f T b T T n ω， （3） 根据欧拉（Euler ）公式：θθθsin cos j e j +=，（1）式化为
∑∞=--??
????-+++=10222)(n t jn t jn n t jn t jn n j e e b e e a a t f ωωωω ∑∞=-??
????++-+=10222n t jn n n t jn n n e jb a e jb a a ωω， （4） 若令
dt t f T c T
T ?-=220)(1
,3,2,1,)(1]sin )[cos (1sin )(1cos )(122222
22
22==-=-=-=????-----n dt e t f T dt t n j t n t f T dt t n t f T j dt t n t f T jb a c T T t jn T T T T T T n n n ωωωωω
,3,2,1,)(122==?--n dt e t f T c T
T t jn n ω 综合n n c c c -,,0，可合并成一个式子
,2,1,0,)(122
±±==?--n dt e t f T c T T t jn n ω， （5） 若令 ,2,1,0,±±==n n n ωω，则（1）式可写为
∑∑+∞-∞=∞=--=++=n t j n n t j n t j n n n n e c e c e
c c t f ωωω10)()(， （6）
这就是傅里叶(Fourier)级数的指数形式。或写成
∑?+∞-∞=--??
????=n t j T T j n n e d e f T t f ωτωττ22)(1)(。 （7） 傅里叶积分定理
因为任何一个非周期函数)(t f 都可以看成是由某个周期函数)(t f T 当+∞→T 时转化而来的，即)()(lim t f t f T T =+∞
→。于是有 ∑?+∞-∞=--+∞→??
????=n t j T T j T T n n e d e f T t f ωτωττ22)(1lim )(。 可以证明（详细过程可参阅文[46]），当+∞→T 时，有
ωττπωωτd e d e f t f t j j ??∞
+∞-∞+∞--??????=)(21
)(， （8） 公式（8）称为傅里叶积分公式。从而得到一个非周期函数可用傅里叶积分公式表示的傅里叶积分定理。
傅里叶变换
根据傅里叶积分定理，设
dt e t f F t j ?
+∞∞--=ωω)()(， （9）
则
ωωπωd e F t f t j ?∞
+∞-=)(21)(， （10）
从上两式可以看出，)(t f 和)(ωF 通过指定的积分运算可以相互表达。（9）式叫做)(t f 的傅里叶变换，记为
=)(ωF F )]([t f .
)(ωF 叫做)(t f 的象函数，（10）式叫做)(ωF 的傅里叶逆变换，记为
)(t f = F -1)]([ωF .
)(t f 叫做)(ωF 的原象函数。
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傅里叶(Fourier )级数的指数形式与傅里叶变换 专题摘要：根据欧拉（Euler ）公式，将傅里叶级数三角表示转化为指数表示，进而得到傅里叶积分定理，在此基础上给出傅里叶变换的定义和数学表达式。 在通信与信息系统、交通信息与控制工程、信号与信息处理等学科中，都需要对各种信号与系统进行分析。通过对描述实际对象数学模型的数学分析、求解，对所得结果给以物理解释、赋予其物理意义，是解决实际问题的关键。这种数学分析方法主要针对确定性信号的时域和频域分析，线性时不变系统的描述以及信号通过线性时不变系统的时域分析与变换域分析。所有这些分析方法都离不开傅里叶变换、拉普拉斯变换和离散时间系统的z 变换。而傅里叶变换的理论基础是傅里叶积分定理。傅里叶积分定理的数学表达式就是傅里叶级数的指数形式。 不但傅里叶变换依赖于傅里叶级数，就是纯数学分支的调和分析也来源于函数的傅里叶级数。因此，傅里叶级数无论在理论研究还是在实际应用中都占有非常重要的地位。我们承认满足狄里克莱（Dirichlet ）条件下傅里叶级数的收敛性结果，不去讨论和深究傅里叶展式的唯一性问题。 傅里叶级数的指数形式 一个以T 为周期的函数)(t f ，在]2 ,2[T T 上满足狄里克莱条件：1o
)(t f 连续或只有有限个第一类间断点；2o 只有有限个极值点。那么)(t f 在]2 ,2[T T - 上就可以展成傅里叶级数。在连续点处 ∑∞ =++=1 )sin cos (2)(n n n t n b t n a a t f ωω， （1） 其中 T πω2= ， ),2,1,0(,cos )(2 22Λ==?-n dt t n t f T a T T n ω， （2） ),3,2,1(,sin )(2 22 Λ==?-n dt t n t f T b T T n ω， （3） 根据欧拉（Euler ）公式：θθθsin cos j e j +=，（1）式化为 ∑∞=--?? ????-+++=10222)(n t jn t jn n t jn t jn n j e e b e e a a t f ωωωω ∑∞=-?? ? ???++-+=10222n t jn n n t jn n n e jb a e jb a a ωω， （4） 若令 dt t f T c T T ?-=22 0)(1 Λ,3,2,1,)(1 ]sin )[cos (1 sin )(1cos )(1222 2222 22==-=-=-=????-----n dt e t f T dt t n j t n t f T dt t n t f T j dt t n t f T jb a c T T t jn T T T T T T n n n ωωωωω Λ,3,2,1,)(1 22 ==?--n dt e t f T c T T t jn n ω 综合n n c c c -,,0，可合并成一个式子 Λ,2,1,0,)(1 22 ±±==?--n dt e t f T c T T t jn n ω， （5）
重温傅里叶—笔记篇 本文记录的大多是基础的公式，还有一些我认为比较重要的有参考价值的说明。（如果对这些公式已经很熟悉，可以直接看第三部分：总结性说明） 重温傅里叶—笔记篇 一、傅里叶级数 $关于三角函数系的正交性： 三角函数系包括： 1,cos x,sinx,cos2x,sin 2x,……cos nx,sinnx,…… “正交性”是说，三角函数系中的任何一项与另一项的乘积，在(-π, π) 区间内的积分为0。（任何两相的积总可以展成两个频率为整数倍基频的正余弦函数之和或差，而这两个展开后的正余弦在(-π, π)上积分都为0）。 不同频率（但都是整数倍基频）的两个正弦函数之积，在(-π, π)上积分恒为0。 同频率的两个正弦函数之积，只有在这两个正弦的相位正交时，其在(-π, π)上积分才是0。 三角函数系中除“1”以外的任何一项的平方，在(-π, π)上的积分恒为π，“1”在这个区间上的积分为2π。
$ 上公式! ①当周期为2π时： 式（1）： 上式成立的条件是f(x)满足狄立克雷充分条件： 1.在任意有限区间内连续，或只有有限多个第一类间断点； 2.任意的有限区间，都可被分成有限多个单调区间（另一种说法是：任意有限区间内只有有限多个极值点，其实是一样的）
式（1）第一行中的a0/2 就是f(x)的周期平均值，而且第一行的式子只对f(x)是连续函数的情况成立；如果f(x)不连续，则应表示成“(1/2) ×[f(x-0)+f(x+0)]”，即f(x)左右极限的算术平均。下面的类似情况都是这样，之后就不再专门说明，这些大家应该都懂。 第三、四行中，n的取值都是：1，2，3，4，……n，……（都为正，且不包含0）。 ②当周期为2L时（这也是最一般的情形）： 式（2）： 第一行中的a0/2 就是f(x)的周期平均值； 第三、四行中，n的取值都是：1，2，3，4，……n，……（都为正，且不包含0）。
习题11-8 1. 将下列各周期函数展开成傅里叶级数(下面给出函数在一个周期内的表达式): (1))2 12 1(1)(2<≤--=x x x f ; 解 因为f (x )=1-x 2为偶函数, 所以b n =0(n =1, 2, ? ? ?), 而 611)1(4)1(2/1221 0221 020=-=-=??dx x dx x a , ?-=21022/1c o s )1(2/12dx x n x a n π 2 2 121 2 )1(2c o s )1(4π πn x d x n x n +-= -=? (n =1, 2, ? ? ?), 由于f (x )在(-∞, +∞)内连续, 所以 ∑ ∞ =+-+=1 2 1 2 2c o s )1(1 1211)(n n x n n x f ππ , x ∈(-∞, +∞). (2)?? ? ???? <≤-<≤<≤-=1 21 12 1 0 101 )(x x x x x f ; 解 2 1)(1 2 121 1 11 -=-+==????--dx dx xdx dx x f a n , ?? ??-+==--1 2 121 1 11 c o s c o s c o s c o s )(x d x n x d x n x d x n x x d x n x f a n ππππ 2 s i n 2])1(1[122πππ n n n n +--= (n =1, 2, ? ? ?), dx x n xdx n xdx n x xdx n x f b n ?? ??-+==--1 2 1210 1 1 1 sin sin sin sin )(ππππ π ππ n n n 12 c o s 2+-= (n =1, 2, ? ? ?).
周期信号的傅里叶级数分析 连续时间 LTI 系统的时域分析: 以冲激函数为基本信号 系统零状态响应为输入信号与系统冲激响应之卷积 傅立叶分析 以正弦函数或复指数函数作为基本信号 系统零状态响应可表示为一组不同频率的正弦函数或复指数函数信 号响应的加权和或积分; 规律重复变化的信号，如图所示 。它可表示为 f (t )=f ( t +m T ) 其中 m 为正整数， T 称为信号的周期，周期的倒数称为频率。 f (t ) 1 T /2 -1 T t 周期信号的特点： (1) 它是一个无穷无尽变化的信号，从理论上也是无始无终的， 时间范围为 ( - , ) (2) 如果将周期信号第一个周期内的函数写成 ，则周期信 号 f (t ) 可以 写成 周期信号: 定义在区间 (- , ) ，每隔一定时间 T ，按相同
f (t ) = f 0(t -nT ) n =- (3) 周期信号在任意一个周期内的积分保持不变，即有 a +T b +T T f (t )dt = f (t )dt = f (t )dt ab 0 1. 三角形式的傅立叶级数 该信号可以展开为下式三角形式的傅立叶级数。 f (t ) = a + a cos(t ) + b sin(t ) + a cos(2t ) + b sin(2 t ) + ... + a cos(n t ) + b sin(n t ) + ... = a + a cos(n t ) + b sin(n t ) n =1 式中各正、余弦函数的系数 a n ,b n 称为傅立叶系数,函数通过它 可以完全表示。 傅立叶系数公式如下 周期信号 f (t ) = 2 f ，周期为T 1 ，角频率 2 T 1
傅里叶级数及变换的本质解释和形象阐述 ——老师不会这么讲，书上也不会讲很多人学信号与系统、数字信号处理学了几年，关于傅里叶级数和傅里叶变换可能还是一知半解，只能套用公式，根本不理解为什么要这么算，也就是有什么实际含义——可以说，几乎所有信号与系统里面的数学公式都是有实实在在的物理含义的！那么，什么是傅里叶变换，它是怎样一种变换，具体有怎么变换，有没有确切一点或者形象一点的物理解释呢？下面笔者将尝试将自己的理解比较本质和形象地讲出来，形式是思考探讨渐进的模式，也就是我自己的思考过程，希望对大家有所帮助。 首先，要知道傅里叶变换是一种变换，准确点说是投影。傅里叶变换的投影问题，一直想不明白那一系列的正交函数集，到底是什么样一个函数集合，或者说是怎么样的一个空间。所谓三角傅里叶级数当成谐波分析的时候很好理解——同一个时间轴，也就是说同一个维度的分解和叠加，肯定没错，也很实用。但是要是从投影（或者说变换）的角度来说，怎么解释呢？这一系列正弦余弦的函数，在一个区间内，是一个完备的正交函数集，每一个函数所带的系数（或者叫权重），就是原函数在这个函数的方向上的一个投影（说方向不准确，但找不到其他的词）。那么，原函数到底是一个什么样的函数，和各正交基函数又是怎样的一种关系呢？这个投影又是怎么投的呢？三维或者二维空间，一个矢量在各正交基的投影很好理解，那么，傅里
叶变换的正交基函数，也是这样一种相互垂直的关系么？？？投影也是取余弦值么？ 这可以很容易地想清，我们只用余弦或者只用正弦就可以，如cos(2pi*nf0)系列，显然每两个函数图像之间不可能是垂直关系，相反可以看出这是在同一个维度里面的！所以上面两个答案是否定的。 那么，到底是怎么正交、怎么投影的呢。出现这个问题，是因为开始看书的时候我看得太粗心太浅显，没有认真透彻地理解函数正交的含义，没想到那才是最重要最根本的，从那里面再深刻理解一下，问题就迎刃而解。 函数正交和矢量正交完全不一样，是两个概念。函数正交是两个函数，一个不变另一个取共轭值然后逐点相乘再求积分的结果，积分就涉及到一个区间，这也很重要。如果满足：当这两个函数不同时，积分值为0；当两函数相同，积分值不为0。那么这两个函数在这个区间上正交。现在再回过头去看正弦或者余弦函数序列，在各个周期内，都满足上述条件，在正弦和余弦函数之间同样满足，所以这些函数是正交的。至于完备，很明显看出，不去证明了。 第一个问题解决了，现在看怎么去投影了。为更易于理解，我们取指数傅里叶变换为例。众所周知exp(jwt)表示的是一个圆周，我们用来作傅里叶变换的因子，正是这个形式（exp(-jwt)），这里我们还要理解一下傅里叶变换和傅里叶级数的区别，前者求的是复指数傅里叶级数的系数，即每个正交函数的系数（权重），复指数傅里叶级数的正交函数集正是exp(jwt)，所以求系数刚好乘以一个共轭
周期信号的傅里叶级数分析 连续时间LTI 系统的时域分析: 以冲激函数为基本信号 系统零状态响应为输入信号与系统冲激响应之卷积 傅立叶分析 以正弦函数或复指数函数作为基本信号 系统零状态响应可表示为一组不同频率的正弦函数或复指数函数信号响应的加权和或积分; 周期信号: 定义在区间 ，每隔一定时间 T ，按相同 规律重复变化的信号，如图所示 。它可表示为 f (t )=f ( t +m T ) 其中 m 为正整数， T 称为信号的周期，周期的倒数称为频率。 周期信号的特点： （1） 它是一个无穷无尽变化的信号，从理论上也是无始无终的， 时间范围为 （2） 如果将周期信号第一个周期内的函数写成 ，则周期信 号 可以写成 (,)-∞∞(,)-∞∞()f t
（3）周期信号在任意一个周期内的积分保持不变，即有 1. 三角形式的傅立叶级数 周期信号 ，周期为1T ，角频率 11122T f π πω= = 该信号可以展开为下式三角形式的傅立叶级数。 []∑∞ =++ =++++++++=1 1 1 011121211110)sin()cos(...)sin()cos(... )2sin()2cos()sin()cos()(n n n n n t n b t n a a t n b t n a t b t a t b t a a t f ωωωωωωωω 式中各正、余弦函数的系数n n b a , 称为傅立叶系数,函数通过它 可以完全表示。 傅立叶系数公式如下 0()() n f t f t nT ∞ =-∞ = -∑ ()()()a T b T T a b f t dt f t dt f t dt ++= =? ? ?f t ()
1、傅里叶变换和傅里叶级数的收敛问题 由于傅里叶级数是一个无穷级数，因而存在收敛问题。这包含两方面的意思：是否任何周期信号都可以表示为傅里叶级数；如果一个信号能够表示为傅里叶级数，是否对任何t 值级数都收敛于原来的信号。关于傅里叶级数的收敛，有两组稍有不同的条件。 第一组条件：如果周期信号()t x 在一个周期内平方可积，即 ()∞
吉布斯现象： 当简单地把信号频谱截断时，相当于给信号频谱加上了一个矩形窗口函数，正是由于矩形窗口函数的时域特性导致了在间断点处的吉布斯现象的产生。 2、周期序列的傅里叶级数展开和傅里叶变换之间的问题 假定()t x 是一个长度为N 的有限长序列，将()t x 以N 为周期延拓而成的周期序列为()n x ~，则有 ()()∑∞-∞=-= r rN n x n x ~ 或表示为()()()N n x n x =~。于是()n x ~ 与()n x 的关系表示为： ()()()N n x n x =~ ()()()n R n x n x N ~= 将()n x ~表示为离散时间傅里叶级数有： ()()kn N N n W k X N n x --=?=∑10~~ 1 ()()kn N N n W n x k X ?=∑-=10~ ~ 其中()k X ~是傅里叶级数的系数，这样做的目的是使其表达形式与离散时间傅里叶变换的形式相类似。如果将()k X ~的主值周期记为()k X ，10-≤≤N k ，由于以上两式中的求和范围均取为区间0~N-1，在次区间内()n x ~ =()n x ，因此可以得到： ()()kn N N n W n x k X ∑-==10~， 10-≤≤N k ()()kn N N n W k X N n x --=∑=10~1， 10-≤≤N n 表明时域N 点有限长序列()n x 可以变换成频域N 点有限长序列()k X 。显然，DFT 与DFS 之间存在以下关系： ()()()N k X k X =~
三角级数、傅里叶级数 对于所有在以2pi为周期的函数f(x)，可以用一组如下的三角函数系将其展开： 1，cosx，sinx，cox2x，sin2x，……，coxnx，sinnx，…… 显然，这组基在[-pi,pi]上是正交的，因此可以在周期区间求积分获得函数f(x)在以三角函数系为基的展开系数，或者说以三角函数系为坐标的投影值a0,an,bn…… 一个一般的函数f(x)可以表示为奇函数和偶函数的叠加，因此它的展开既含有正弦项又含有余弦项，但偶函数的展开仅含有常数项a0和正弦项，相似的，奇函数展开仅含有余弦项。 傅里叶级数的复数形式 根据欧拉公式e^jx=cosx+jsinx，任意正弦、余弦项可以用复指表示，即cosx=(e^jx+e^-jx)/2，sinx=(e^jx-e^-jx)/2j。所以，任何一个周期函数f(x)既可以在三角函数系上表出也可以在复指数系1， e^jx，……，e^jnx上表出，在不同的坐标系之间，存在映射关系。但重要的是，由于积分变换的核函数形式发生改变，其物理意义也将有所变化。由于复数的引入，每一个复指数e^jnx相对于三角函数系都变为一个二维量，其物理含义是一条三维螺旋线。其道理非常简单，一个实参a表示数轴上的一点，而一个复数a+bj表示二维坐标上的一点，所以cosx，sinx分别表示
一条二维曲线，而e^jx=cosx+jsinx是一条空间三维曲线。 傅里叶变换 周期信号用傅里叶级数表示,非周期信号可以借助傅里叶变换进行.对实信号做傅立叶变换时，如果按指数e^jωt为核来求，我们将得到双边频谱。以角频率为Ω的余弦信号为例，它有具有位于±Ω两处的，幅度各为0.5，相角为零的频率特性。实际上，COSΩt就是e^jΩt与e^j-Ωt两条螺旋线的叠加，他们虚部刚好对消，只剩下实部。 Ω1与Ω2两个角速度的螺旋线坐标值的叠加并不等于角速度 Ω1+Ω2，因为从角速度到螺旋线的映射不是线性关系。这一现象正体现了频率的正交特性,也是频率分析理论存在的基础. 经过傅立叶变换得到的负频率表示一条反向旋转的螺旋线,而复频率表示一条整体改变90度相位的螺旋线，它们分别与正频率,实频相对应,都表示一个特定的螺旋线，并没有玄妙的含义。 连续频谱 周期信号用傅里叶级数展开所获得频率线状谱的物理意义十分明确,即整个信号由所有谱线存在处频率分量叠加而成.比如信号COSΩt对应Ω与-Ω处两根谱线.
论文题目傅里叶级数与傅里叶变换的关系与应用 目录 摘要： 0 关键词 0 Abstract 0 1绪论 (1) 2傅里叶级数的概念 (1) 2.1周期函数 (2) 2.2傅里叶级数的定义 (2) 3 傅里叶变换的概念及性质 (10) 3.1傅里叶变换的概念 (10) 3.2傅立叶变换的性质 (11) 4傅里叶变换与傅里叶级数之间的区别与联系 (12) 5傅里叶级数和傅里叶变换的应用 (12) 5.1傅里叶级数的应用 (12) 5.2傅里叶变换的应用 (13) 参考文献 (15)
傅里叶级数与傅里叶变换的关系与应用 摘要：傅里叶级数是对周期性现象做数学上的分析，而傅里叶变换则可以看作傅里叶级数的极限形式，它也可以看作是对周期现象进行数学上的分析。除此之外，傅里叶变换还是处理信号领域的一种很重要的算法。 傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。很多波形可以作为信号的成分，例如余弦波，方波，锯齿波等等，傅里叶变换作为信号的成分。在电子类学科，物理学科，信号处理学科等众多领域都有着广泛的应用。 傅里叶级数针对的是周期性函数，傅里叶变换针对的是非周期性函数，它们在本质上都是一种把信号表示成复正选信号的叠加，存在相似的特性。 关键词：傅里叶级数；傅里叶变换；周期性 Fourier series And Fourier Transforms Abstract: Fourier series is made mathematical analysis to cyclical phenomenon, and Fourier transform can be seen as the limit form of Fourier series, it also can be regarded as a mathematical analysis of cycle phenomenon. In addition, the Fourier transform is a kind of very important in the field of signal processing algorithms. Fourier transform is a method of signal analysis, it can analyze signal component, also can use these ingredients synthetic signal. Many waveform can be used as a signal of ingredients, such as cosine wave, square wave, sawtooth wave, etc., the Fourier transform as a signal of composition. In electronics disciplines, physics, signal processing disciplines etc many fields have a wide range of applications. Fourier series is for periodic function, Fourier transform for is a periodic function, they are in essence a kind of papers said the signal into a complex signal superposition, similar features. Key words: Fourier series; Fourier Transform; Periodic
傅里叶级数及变换的本质解释和形象阐述（更正版） ——老师不会这么讲，书上也不会讲 注：原来上传到百度文库的文档有较多问题，或者阐述不清楚，因原文档无法删除，只能重新上传一次了。此为更正版。 很多人学信号与系统、数字信号处理学了几年，关于傅里叶级数和傅里叶变换可能还是一知半解，只能套用公式，根本不理解为什么要这么算，也就是有什么实际含义——可以说，几乎所有信号与系统里面的数学公式都是有实实在在的物理含义的！那么，傅里叶变换到底是怎样一种变换？具体又怎么变换？有没有确切一点，或者形象一点的物理解释呢？下面笔者将尝试从以一种可理解的、物理的方式来解释，并尽量形象地讲出来，形式是探究、渐进的模式，也就是我自己的思考过程，希望对大家有所帮助。 首先，要知道傅里叶变换是一种变换，准确点说是投影。傅里叶变换的投影问题，一直想不明白那一系列的正交函数集，到底是什么样一个函数集合，或者说是怎么样的一个空间。所谓三角傅里叶级数当成谐波分析的时候很好理解——同一个时间轴，也就是说同一个维度的分解和叠加，肯定没错，也很实用。但是要是从投影（或者说变换）的角度来说，怎么解释呢？书上说：这一系列正弦余弦的函数，在一个区间内，是一个完备的正交函数集，每一个函数所带的系数（或者叫权重），就是原函数在这个函数的方向上的一个投影（说方向不准确，但找不到其他的词）。那么，原函数到底是一个什么样的函数，和各正交基函数又是怎样的一种关系呢？这个投影又是怎么投的呢？三维或者二维空间，一个矢量在各正交基上的投影很好理解，因为各矢量正交基在空间是垂直关系，原矢量在各正交基上的投影就是其模值乘以与各正交基夹角余弦值。那么，傅里叶变换的正交基函数，也是这样一种相互垂直的关系么？投影也是取余弦值么？
傅立叶级数的指数形式（图） 上一回说到，利用傅立叶级数（Fourier Series，简称FS）这个数学法宝，可以将一般的周期信号分解为直流成分、基波和无穷多个高次谐波成分的叠加，从而方便地确定其频谱。但上述的傅立叶级数表达式只是傅立叶级数的三角形式，在实用中还有傅立叶级数的指数形式，本文介绍。 一、傅立叶级数的三角形式 对于一个周期为T的周期函数f T（t），在一定条件下可以在连续点t处展开为傅立叶级数的三角形式，即： （1）其中ω1=2π/T为周期函数的圆频率，也就是信号的基频；傅立叶系数分别为 （2） （3） （4）在信号分析理论中a0叫做直流分量，a n叫做余弦分量系数，b n叫做正弦分 量系数。
二、傅立叶级数的指数形式 根据欧拉公式有 （5）其中j为虚数单位，即 （6）不难从傅立叶级数的三角形式导出傅立叶级数的指数形式： （7）其中傅立叶系数一般为复数 （8） 三、傅立叶级数的指数形式与三角形式的关系 根据欧拉公式由式（7）有 （9）不难看出傅立叶级数的指数形式与三角形式可以描述同一个周期信号，只是数学形式不同而已。其中两种形式的傅立叶系数关系如下：
（10）或 （11）可以看出傅立叶级数的指数形式中的傅立叶系数不再是实数，而是复数。 四、周期信号的频谱分析 从傅立叶级数的指数形式也可以进行频谱分析。由式（9）得 （12）可知，周期函数f T（t）包含的直流分量为 （13）基波分量的振幅为 （14）基波初相位为
各高次谐波分量的振幅为 （16）各高次谐波分量的初相位为 （17）这样，周期信号f T（t）的振幅频谱函数可表示为 （18） 五、为什么需要傅立叶级数的指数形式？ 实际上，如果考虑信号的双边频谱，用傅立叶级数的指数形式更方便。在双边频域（∞，－∞）内，周期信号的频谱函数就是傅立叶系数，即 （19）傅立叶系数一般为复数，可写成 （20）其模就是双边的振幅频谱
(4) 2 T 2 T f (t)dt 傅里叶（Fourier ）级数的指数形式与傅里叶变换 专题摘要：根据欧拉（Euler ）公式，将傅里叶级数三角表示转化为指数表示，进而得到傅 里叶积分定理，在此基础上给出傅里叶变换的定义和数学表达式。 在通信与信息系统、交通信息与控制工程、信号与信息处理等学科中，都需要对各种 信号与系统进行分析。 通过对描述实际对象数学模型的数学分析、 求解，对所得结果给以物 理解释、赋予其物理意义，是解决实际问题的关键。这种数学分析方法主要针对确定性信号 的时域和频域分析，线性时不变系统的描述以及信号通过线性时不变系统的时域分析与变换 域分析。所有这些分析方法都离不开傅里叶变换、拉普拉斯变换和离散时间系统的 z 变换。 而傅里叶变换的理论基础是傅里叶积分定理。 傅里叶积分定理的数学表达式就是傅里叶级数 的指数形式。 不但傅里叶变换依赖于傅里叶级数，就是纯数学分支的调和分析也来源于函数的傅里 叶级数。因此，傅里叶级数无论在理论研究还是在实际应用中都占有非常重要的地位。 我们 承认满足狄里克莱（Dirichlet ）条件下傅里叶级数的收敛性结果，不去讨论和深究傅里叶展 式的唯一性问题。 傅里叶级数的指数形式 一个以T 为周期的函数f （t ），在［-T ,T ］上满足狄里克莱条件：1o f （t ）连续或只有 2 2 数。在连续点处 有限个第一类间断点; 2。 只有有限个极值点。 那么f （t ）在nT,T ］上就可以展成傅里叶级 f(t) a 0 ,. (a n cosn ?t b n sin n ?t) (1) 其中 a n T 2 f (t) cosn tdt, (n 二 0,1,2,)， _2 根据欧拉（Euler ）公式: b n ；认）州艸（n=1,2,3,）， (3) e" - cos ： j si ， （1）式化为 f(t)二色二 a 2 J e jn e" n jn ? ￡ j jn ? t +b e —e M n 2j 若令 a n - j b n 一 2 jn ;.-：t . a n jb n ?弓曲 2 」，
周期信号的傅里叶级数展开： 1． 三角形式： 周期信号()f t ，周期T ，基波频率12w T π=， 所构成的完备正交函数集：三角函数集{}11cos ,sin nwt nwt ； ()0111()cos sin n n n f t a a nw t b nw t ∞ ==++∑ 其中：202 1()T T a f t dt T -=? 2122()cos T T n a f t nw tdt T -=? 212 2()sin T T n b f t nw tdt T -=? 注意: (1) 展开条件：狄利赫利条件 （2） 另外一种形式： 011 ()cos()n n n f t c c nw t ?∞ ==++∑ 其中：00c a = n c = n n n b tg a φ=- （3）物理意义： （4）幅度谱和相位谱 2. 指数形式： 完备正交函数集 ：复指数函数集{}1 jnw t e 1()jnw t n n f t F e ∞ =-∞ = ∑ 其中122 1()T jnw t T n F f t e dt T --=?
注意：（1）幅度谱和相位谱n j n n F F e φ= ：偶谱和奇谱 与三角形式间的关系 （2）两种级数间的关系 3. 函数()f t 满足对称性的级数展开： （1） 偶函数：011()cos n n f t a a nw t ∞ ==+∑ 0n b = 或011 ()cos()n n n f t c c nw t ?∞ ==++∑，00c a = ||n n c a = 0, 0,0n n n a a ?π>?=? ??=??
周期性函数分解的傅里叶级数 周期电压、电流等都可以用一个周期函数表示，即 210),()(、、 =+=k kt t f t f 式中T 是周期函数的周期，且 210、、 =k 如果给定的周期函数在有限的区间内，只有有限个第一类间断点和有限个极大值和极小值，那么就可以展开成一个收敛的级数（三角级数） 设给定的周期函数)(t f ，则)(t f 可展开成 ） （）（1)sin cos (sin cos )2sin 2cos ()sin cos ()(1022110 ∑∞ =++=+++++++=k k k k k t k b t k a a t k b t k a t b t a t b t a a t f ωωωωωωωω 上式中的系数，可按下列公式计算： ????? ?? ? - - -= ====== = π ππ π ππωωπ ωωπωωωπ ωωπω) (sin )(1 ) (sin )(1sin )(2)(cos )(1 ) (cos )(1cos )(2)(1 )(1 20 020 00 22 0t td k t f t td k t f tdt k t f T b t td k t f t td k t f tdt k t f T a dt t f T dt t f T a T k T k T T T ）（2 这些公式的对导，主要的依据是利用三角函数的定积分的特点。 设m.n 是任意整数，则下列定积分成立： ?=π 200 sin mxdx ? =π 20 cos mxdx ?=π 200cos sin nxdx mx ， n m ≠ ?=π 200 sin sin nxdx mx , n m ≠ ? =π 200cos cos nxdx mx , n m ≠ ? =π π 20 2)(sin dx mx ,
傅里叶(F o u r i e r)级数的指数形式与傅里 叶变换
傅里叶(Fourier )级数的指数形式与傅里叶变换 专题摘要：根据欧拉（Euler ）公式，将傅里叶级数三角表示转化为指数表示，进而得到傅里叶积分定理，在此基础上给出傅里叶变换的定义和数学表达式。 在通信与信息系统、交通信息与控制工程、信号与信息处理等学科中，都需要对各种信号与系统进行分析。通过对描述实际对象数学模型的数学分析、求解，对所得结果给以物理解释、赋予其物理意义，是解决实际问题的关键。这种数学分析方法主要针对确定性信号的时域和频域分析，线性时不变系统的描述以及信号通过线性时不变系统的时域分析与变换域分析。所有这些分析方法都离不开傅里叶变换、拉普拉斯变换和离散时间系统的z 变换。而傅里叶变换的理论基础是傅里叶积分定理。傅里叶积分定理的数学表达式就是傅里叶级数的指数形式。 不但傅里叶变换依赖于傅里叶级数，就是纯数学分支的调和分析也来源于函数的傅里叶级数。因此，傅里叶级数无论在理论研究还是在实际应用中都占有非常重要的地位。我们承认满足狄里克莱（Dirichlet ）条件下傅里叶级数的收敛性结果，不去讨论和深究傅里叶展式的唯一性问题。 傅里叶级数的指数形式 一个以T 为周期的函数)(t f ，在]2 ,2[T T -上满足狄里克莱条件：1o )(t f 连续或只有有限个第一类间断点；2o 只有有限个极值点。那么)(t f 在]2 ,2[T T -上就 可以展成傅里叶级数。在连续点处 ∑∞ =++=1 )sin cos (2)(n n n t n b t n a a t f ωω， （1） 其中 T πω2= ，
重温傅里叶—笔记篇 本文记录得大多就是基础得公式,还有一些我认为比较重要得有参考价值得说明、(如果对这些公式已经很熟悉,可以直接瞧第三部分:总结性说明) 重温傅里叶—笔记篇 一、傅里叶级数 ＄关于三角函数系得正交性: 三角函数系包括: 1, ｃoｓｘ, sinx , coｓ２ｘ, ｓin 2x, ……cos nx, ｓin ｎx, …… “正交性"就是说,三角函数系中得任何一项与另一项得乘积,在(－π, π) 区间内得积分为0。(任何两相得积总可以展成两个频率为整数倍基频得正余弦函数之与或差,而这两个展开后得正余弦在(—π,π)上积分都为0)。 不同频率(但都就是整数倍基频)得两个正弦函数之积,在(－π, π)上积分恒为０。 同频率得两个正弦函数之积,只有在这两个正弦得相位正交时,其在(－π,π)上积分才就是0、 三角函数系中除“1”以外得任何一项得平方,在(—π,π)上得积分恒为π,“１”在这个区间上得积分为2π。 ＄
上公式！ ①当周期为2π时: 式(１): 上式成立得条件就是ｆ(x)满足狄立克雷充分条件: １。在任意有限区间内连续,或只有有限多个第一类间断点; ２. 任意得有限区间,都可被分成有限多个单调区间(另一种说法就是:任意有限区间内只有有限多个极值点,其实就是一样得) 式(1)第一行中得a0／2 就就是f(x)得周期平均值,而且第一行得式子只对f(x)就是连续函数得情况成立;如果ｆ(x)不连续,则应表示成“(１／２)×［f(x—０)+ｆ(ｘ+0)］”,即
ｆ(x)左右极限得算术平均。下面得类似情况都就是这样,之后就不再专门说明,这些大家应该都懂。 第三、四行中,n得取值都就是:1,2,3,4,……n,……(都为正,且不包含0)。 ②当周期为2L时(这也就是最一般得情形): 式(2): 第一行中得a0/2 就就是f(x)得周期平均值; 第三、四行中,n得取值都就是:１,2,3,４,……ｎ,……(都为正,且不包含0)。 $ 傅里叶级数得复数表达方式
《信号、系统与信号处理实验I》 实验报告 实验名称：周期信号的傅里叶级数 姓名：韩文草 学号：15081614 专业：通信工程 实验时间：2016.11.7 杭州电子科技大学 通信工程学院
一、实验目的 二、实验内容
三、实验过程及实验结果 1.1 t = 0:0.02:2*pi; %0-2π时间间隔为0.01 y = zeros(10, max(size(t))); %10*629（t的长度）的矩阵 x = zeros(10, max(size(t))); for k = 1:2:9 %奇次谐波1,3,5,7,9 x1 = 3*sin(k * t)/k; %各次谐波正弦分量 x(k,:) = x(k,:) + x1; %x第k（1,3,5,7,9）行存放k次谐波的629个值y((k+1)/2,:) = x(k,:); %矩阵非零行向量移至1-5行 subplot(7,1,(k+1) /2); plot(t,x(k,:)); end subplot(2,1,1); plot(t, y(1:5,:)); %绘制y矩阵中1-5行随时间波形 grid; halft = ceil(length(t)/2); %行向量长度减半（由对称前后段一致）subplot(2,1,2); %绘制三维图形：矩阵y中全部行向量的一半 mesh(t(1:halft), [1:10], y(:,1:halft));
1.2 t = -4.5 : 0.001 : 5.5; t1 = -4.499 : 0.001 : 5.5; x = [ones(1,1000) , zeros(1,1000)]; x = [x , x , x , x , x]; subplot(1 , 2 , 1); plot(t1 , x , 'b','linewidth', 1.5); axis([-4.5 , 5.5 , -0.5 , 1.5]); N = 10; c0 = 0.5; f1 = c0 * ones(1 , length(t)) for n = 1:N f1 = f1 + cos(pi * n * t)*sinc(n/2); end subplot(1,2,2); plot(t , f1 , 'r' , 'linewidth', 1.5); axis([-4.5, 5.5, -0.5, 1.5]);
傅里叶级数 本文意在阐述傅里叶级数是什么，如何通过数学推导得出，以及傅里叶级数 代表的 物理含义。 1. 完备正交函数集 要讨论傅里叶级数首先得讨论正交函数集。如果 n 个函数卿（1），化（1）1， b Kl ） 构成一个函数集，若这些函数在区间（th 12）上满足 j ￡卩心)仞MM = {监° 如果是复数集，那么正交条件是 j tpi(l)(p j ⑴山— {K ]" 甲；⑴为函数舸（I ）的共轭复函数。 有这个定义，我们可以证明出一些函数集是完备正交函数集。比如三角函数 集和复 指数函数集在一个周期内是完备正交函数集。 先证明三角函数集： 设恤（I ）COS mM ，5i （L ）- cos m （ol ，把忸⑴，畅⑴代入⑴得 ft +H I COS ticoleos iiiwl dt J L, 当n 工討时 =J ：綁卜恥(口 十 十 COS tn - m)wt| di ]ITsL (n+ ni}
=J ： * *cos2no>t dt _T 最后证明两个是不同名的三角函数的情况 设加⑴=eos 1131,加(0 u sin msl ,扌旳八⑴，加0)代入⑴得 Sr 『S + T q>i(t](pj(Odt = I COS nct)lsiii uicot 41 L tip =^丿；："1甫115 + m)fot - sin(n - ni)o>tl dt 1 r co?-(II + niKot cos5 "zl " (n + + (n - III )(D . =0 (n,m 为任意整数) 因为两个三角函数相乘只有以上三种情况： 两个皆为余弦函数相乘；两个皆 为正弦函数相乘；一个为正弦函数，另一个为余弦函数相乘；三种情况皆满足正 交函数集的定义，所以三角函数集为正交函数集。至于三角函数集的完备性可以 从n, m 的取值为任意整数可以得出，三角函数集是完备正交函数集。证毕。 由于三角函数集是完备正交函数集， 而根据欧拉公式，我们容易联想到复指 数函数集是否也是完备正交函数集呢。 接着是复指数函数集的证明 设讹恥⑴?^,则0；⑴-恤伽◎ 0； W 代入⑵得 加；⑴山=叫伽恤 当时，根据欧拉公式 / / S+T tc 当n 盖血时 =丿："|凶￡ (n 十 in)?t -心(11 - tti) 曲 I 山 * to ]|sui (n+ ni)cot siii tn - tc =0 (n,m=1,2,3，…；n 士 n 』) 当n=m 时 (n ■+ m)co
傅里叶(Fourier)级数的指数形式与傅里叶变换
傅里叶(Fourier)级数的指数形式与傅里叶变换 专题摘要：根据欧拉（Euler）公式，将傅里叶级数三角表示转化为指数表示，进而得到傅里叶积分定理，在此基础上给出傅里叶变换的定义和数学表达式。 在通信与信息系统、交通信息与控制工程、信号与信息处理等学科中，都需要对各种信号与系统进行分析。通过对描述实际对象数学模型的数学分析、求解，对所得结果给以物理解释、赋予其物理意义，是解决实际问题的关键。这种数学分析方法主要针对确定性信号的时域和频域分析，线性时不变系统的描述以及信号通过线性时不变系统的时域分析与变换域分析。所有这些分析方法都离不开傅里叶变换、拉普拉斯变换和离散时间系统的z变换。而傅里叶变换的理论基础是傅里叶积分定理。傅里叶积分定理的数学表达式就是傅里叶级数的指数形式。 不但傅里叶变换依赖于傅里叶级数，就是纯数学分支的调和分析也来源于函数的傅里叶级数。因此，傅里叶级数无论在理论研究还是在实际应
用中都占有非常重要的地位。我们承认满足狄里克莱（Dirichlet ）条件下傅里叶级数的收敛性结果，不去讨论和深究傅里叶展式的唯一性问题。 傅里叶级数的指数形式 一个以T 为周期的函数)(t f ，在]2 ,2[T T -上满足狄里克莱条件：1o ) (t f 连续或只有有限个第一类间断 点；2o 只有有限个极值点。那么)(t f 在]2 ,2[T T -上就可以展成傅里叶级数。在连续点处 ∑∞ =++=1 ) sin cos (2)(n n n t n b t n a a t f ωω， （1） 其中 T πω2=， ) ,2,1,0(,cos )(2 22Λ==?-n dt t n t f T a T T n ω， （2） ) ,3,2,1(,sin )(2 22 Λ==?-n dt t n t f T b T T n ω， （3） 根据欧拉（Euler ）公式：θ θθ sin cos j e j +=，（1）式 化为 ∑∞=--? ? ? ???-+++=10222)(n t jn t jn n t jn t jn n j e e b e e a a t f ωωωω ∑∞=-?? ? ???++-+=10222n t jn n n t jn n n e jb a e jb a a ωω， （4） 若令 dt t f T c T T ?-=22 0)(1