幂零矩阵迹的特征
摘要：2009年全国大学生数学竞赛题（第3题）：设V是复数域上向量空间，
-=，那么f的所有特征值均为0，并且,f g是V上的线性变换，且满足fg gf f
g和f之间存在相同的特征向量（对应的特征值不一定相等）．我们把它转换为矩阵，在矩阵中讨论特殊情况即AB BA
=，求证A和B有公共特征向量，并且求出A和B的公共特征向量.
关键词：幂零矩阵；迹；特征值；特征向量
Features of Nilpotent matrix trace
YAN Wen
(Department of Mathematics and Statistics,Xiaogan university,Xiaogan,Hubei
432000,China)
Abstract：2009 National College Mathematics Competition Problems (3th item)：Based vector space V is the complex field,,f g are the linear transformation, and satisfies fg gf f
-=, Then all the eigenvalues of f are 0, Between f and g there are the same feature vector (not necessarily equal the corresponding eigenvalue). We convert it to matrix and discussed in the special circumstances that BA
AB=, Verify:A and B have public feature vectors, and eigenvectors obtained the public. Key words：Nilpotent matrix; Trace;Eigenvalue;Eigenvector.
1 引言
在2009年举行的全国大学生数学竞赛中，有这样一道试题：
例1假设V是复数域上n维线性空间（0
n>），,f g是V上的线性变换．如果fg gf f
-=，证明f的所有特征值都是0，且,f g有公共特征向量．（2009年全国大学生数学竞赛试题）
在2002年的苏州大学研究生入学考试中也有类似的试题：
例2设V是有理数域Q上的向量空间，,f g是V上的线性变换，其中g可对角化，且满足fg gf f
-=，证明存在正整数k，使得k f是零变换．（2002年苏州大学研究生试题）
由于f的所有特征值都是0?f是幂零矩阵，易知例1与例2本质上是属于同一问题．在全国大学生数学竞赛组委会为例1提供的解答中，通过构造一些复杂的生成子空间，证明它们在线性变换f下不变，最后利用fg gf
-的迹为零的结果，间接导出f的任意特征值为0，整个证明复杂繁琐．而例2中条件“g 可对角化”过强，能否在例1的条件下直接证明f是幂零矩阵呢？
另外，对例1中关于,f g有公共特征向量的问题，一个熟知的结论是
命题1[1]若,f g是复数域上n维线性空间V上的线性变换，且fg gf
=，则g和f存在公共的特征向量．
尔后由Laffey与Choi在1978-1981年将之推广为
命题2[2,3]若,A B都是复数域上的n阶方阵，满足rank()1
AB BA
-≤，则A和B存在公共的特征向量．
对于命题2的证明，通常的方法是把矩阵转化为线性变换问题，考虑其一个特征子空间中存在另一个线性变换的一个特征向量.这种方法虽然在理论上证明了公共特征向量的存在性，但遗憾的是无法求出所有的公共特征向量，以及公共特征向量的具体形式，而这些在理论与应用上都是很有用的[4].
从以上诸例及相关结论上看，对线性变换,f g 而言，关于h fg gf =-的性质的讨论有重要的意义.在有限维线性空间中，可以把问题转化为对矩阵AB BA -的讨论.
本文将讨论与解决如下问题：
1、关于矩阵AB BA -或线性变换fg gf -的性质；
2、对满足fg gf =或fg gf f -=的线性变换,f g ，不仅证明,f g 之间存在公共的特征向量，而且求出所有的公共特征向量；
3、某些逆命题.
2 性质
设,A B 为n 阶矩阵，令C AB BA =-，则AB BA -具有如下基本性质： 性质1 tr()0AB BA -=.
证明 设()ij A a =、()ij B b =，则1
1tr ()n
n
ik ki i k AB a b ===∑∑，
1
1
11
1
1
tr ()()tr n n n n n n
jt tj tj jt ik ki j t t j i k BA b a a b a b AB ==========∑∑∑∑∑∑.
性质2 对任何n 阶矩阵,A B ，AB BA E -≠.
证明 反证法 假设AB BA E -=，则由性质1可知()0trE tr AB BA =-=，显然矛盾，所以AB BA E -≠.命题得证.
性质3 设A ，B 是n 阶矩阵，令C AB BA =-，且C 同A ，B 可交换，求证：存在整数m 使 0m C =.
证明 因为C 同A ，B 可交换即,AC CA BC CB ==，所以有
22()()()C A C CA C AC CA C AC ====,即2C 与A 可交换.同理可证k
C （1,2...k n =）与A 可交换，k C （1,2...k n =）与B 可交换. 下证0k
t r C
=（1,2...k n =）.
()()()0
trC tr AB BA tr AB tr BA =-=-=2[()]()()()()()()0trC tr C AB BA tr CAB tr CBA tr ACB tr CBA tr CBA tr CBA =-=-=-=-=
同理可证：0,1,2...k trC k n ==.下证C 的所有特征值为零.
设C 的所有特征值为n λλλ...,21，所以k C 的所有特征值为k
n k k λλλ...,21.下面证
明n λλλ...,21都为零.
由0k
trC
=，12...k =，可得：
设C 的不为零的特征值分别为n λλλ...,21，且分别为12,,...,r s s s 重.则上式可 写成：
221
222221120
10
1......01
2.........r
r k k k
r
r r r s s s s s s s s s λλλλλλλλλ?+=??
+=??
?
?+=??++++++ 令1
2222
1
2
1
2
...
.........
.........r r
r r r r L λλλλλλ
λλ
λ?? ? ?= ? ? ???，所以上式可写成120...r L s s s ?? ?
?= ? ? ???
.而由范德蒙行列式可知
121...()n
i j i j n
L λλλλλ≤<≤=?-∏
，又C 的特征值n λλλ...,21互不相等，所以
0L ≠，所以上式只有零解，所以C 的特征值全为零.
若C 的所有特征值为零，则根据哈密尔顿-凯莱定理知存在m 使0m C =.命题得证.
注：对于][x P 中的线性变换B A ,，令)()(),()('x xf x Bf x f x Af ==，则有
e BA AB =-（e 为恒等变换）.[13]
3 可换矩阵的公共特征向量
1222
2121
200 0
.........n n
k k
k n
λλλλλλλλ
λ
+=??+=???
?+=?++
++++
命题1 若,n n A B C ?∈，且AB BA =，则A 与B 一定存在公共的特征向量. 证明 因为n n A C ?∈，则A 在复数域上一定存在特征值，取A 的任一个特征值λ，考虑λ的特征子空间
{}n V C A λξξλξ=∈=
设dim V k λ=，则0k >，设12,,
,k εεε为V λ的一组基，
则i V λε∈，于是有i i A ελε=，1,2,
,i k =.
在下面的证明中，我们将证明存在A 的属于λ的一个特征向量η，使η也是B 的一个特征向量，即存在某数μ使B ημη=成立，从而η为A 与B 的公共特征向量.
由于12,,
,k εεε为V λ的一组基，设
1122k k c c c ηεεε=++ （1）
由i i A ελε=，则()()()()i i i i A B B A B B εελελε===，即得i B V λε∈，1,2,,i k =.
则有ij l C ∈，,1,2,
,i j k =，使得
11112121212122221122k k
k k
k k k kk k
B l l l B l l l B l l l εεεεεεεεεεεε=+++??=+++??
??=+++
? 下步将寻找不全为零的12,,,k c c c ，使（1）成立，并且使η为A 与B 的公共特征
向量.
1122()k k B B c c c ηεεε=++
+1122k k c B c B c B εεε=+++ 1111212111()()k k k k kk k c l l l c l l εεεεε=++++
++
+
1111111()()k k k kk k k l c l c l c l c εε=+
+++++
而112211()()()k k k k c c c c c μημεεεμεμε=+++=++
由B ημη=及12,,
,k εεε线性无关，得
11112211211222221122k k k k k k kk k k
l c l c l c c l c l c l c c l c l c l c c μμμ+++=??+++=????++
+=
? （2）
即
111111
k k kk k k l l c c l l c c μ?????? ??? ?
= ??? ? ??? ???????
， 记()ij k k L l ?=，即得
11k k c c L c c μ????
? ?= ? ? ? ?????
， 也即()100k c L c μ???? ? ?
E -= ? ? ? ?????
（3）
当0L μE-=时，上式有非0解，此式说明μ是L 的特征值.命题1证毕.
命题1证明了A 与B 有公共的特征向量，通过定理1的证明，我们还看出， 对于A 的任一特征值，属于该特征值的所有特征向量中，一定存在B 的特征向量.于是有推论：
推论 1 若复方阵,A B 满足AB BA =，且A 有r 个互不相同的特征值，则A 与
B 至少有r 个线性无关的公共特征向量.
证明 设12,,,r λλλ是A 的r 个互不相同的特征值，
按照定理1的证明，在A 的每个特征子空间i V λ中都存在B 的特征向量i ξ，1,2,,i r =，而属于不同特征
值的特征向量必线性无关，得12,,,r ξξξ是A 与B 的r 个线性无关的公共特征向
量.
推论 2 若n 阶复方阵,A B 满足AB BA =，且A 有n 个互不相同的特征值，则存在可逆矩阵P ，使得1P AP -与1P BP -都是对角矩阵.
证明 由推论1知A 与B 有n 个线性无关的公共特征向量12,,
,n ξξξ，
作矩阵
12(,,,)n P ξξξ=，则1P AP -与1P BP -都是对角矩阵.
下面，我们通过例子说明如何用定理1中方法求出可换矩阵所有的公共特征向量.
例1 求可换矩阵,A B 所有的公共特征向量.
300131201A ?? ?
=- ? ?
??
，121011220B ??
?= ? ???
解 容易验证AB BA =，A 的特征多项式为
23
00
1
3
1(1)(3)2
1
E A λλλλλλ--=
--=----. 所以
11λ=，233λλ== .
对11λ=，由1232001210200x x x -???? ???
--= ??? ???-????
，得
10x =，231
2
x x =-，
从而基础解系为
1012ε??
?
=- ? ???
，
而11121000111122022B εε?????? ??? ?
=-==- ??? ? ??? ?-??????
，定理1中的()1L =-为11?矩阵，于是
1μ=-，
于是公共特征向量为
111102c c c ηε??
?
==- ? ???
，
其中1c 为任一不为零的常数
对233λλ==，由1230001010202x x x ???? ???
-= ??? ???-????
，得
13x x =，
从而基础解系为
1101ε?? ?= ? ???，2010ε??
?= ? ???
，
而
1121211201101222012B εεε?????? ??? ?
===+ ??? ? ??? ???????，
2121210201111222002B εεε?????? ??? ?
===+ ??? ? ??? ???????
，
由命题1可知2211L ??
= ?
??
，22011L μμμ--E -==--，从而有 (3)0μμ-=，
对0μ=，12220110c c --??????
= ? ? ?--????
??，得
21c c =-，
于是公共特征向量为
112()c ηεε=-，即111c c c η??
?=- ? ???
， 其中1c 为任意不为零的常数.
对3μ=，12120120c c -??????
= ? ? ?-????
??，得 122c c =，
于是公共特征向量为
212(2)c ηεε=+，即22222c c c η??
?= ? ???
， 其中2c 为任意不为零的常数. 于是所有公共特征向量的形式为：
02k k η?? ?=- ? ???，k k k η?? ?
=- ?
?
??
，22k k k η??
?= ? ??? k 为任意不为零的常数.
4 逆命题 设C 为n 阶矩阵，且tr 0C =，则必存在n 阶矩阵A 与B ，使
AB BA C -=
证明 若tr 0C =，则C 一定相似于一个主对角元全是零的方阵.证明为参考文献[12]定理1的证明，在此略.下证必存在n 阶矩阵A 与B ，使
AB BA C -=
分两种情况讨论：
（1）若C 是主对角元全是零的方阵，即()ij C c =，0ii c =，1,2,
,i n =.取
1
2
n A λλλ??
? ?= ? ??
?
12,,,n λλλ两两互异.取()ij B b =，其中ij
ij i j
c b λλ=
-（i j ≠），而ii b (1,2,
,)i n =任
意，可验证AB BA C -=.
（2）对任何tr 0C =的n 阶矩阵C ，由引理存在可逆阵P ，使1P CP -为一个主对角元全是零的方阵.由（1）所证，存在n 阶矩阵1A 与1B ，使
11111A B B A P CP --=
于是，有11111111()()()()PA P PB P PB P PA P C -----=，令1
1PA P A -=，11PB
P B -=，则AB BA C -=.命题得证.
5 一个反例
命题1中对复数域的要求是必需的，而在文献[2]中P261却有如下一道习题： 习题[2] 设矩阵A 与B 可交换，试证：如果A 有特征向量，则,A B 一定有公共特征向量.
在文献[3]中对该习题作出了如下解答：
解[3] 设,A B 是两个可交换的矩阵，系数在数域P 中，并设其阶数为n .,A B 可看成n 维线性空间n P 的线性变换,A B 在基12(1,0,
,0),(0,1,
,0),,εε==
(0,0,,1)n ε=下的矩阵，从,A B 可交换可推出,A B 可交换.如果A 有特征向量，
则A 有特征值0λ.在A 对于0λ的特征子空间中，,A B 有公共特征向量α，α也是矩阵,A B 的公共特征向量.
上述结论不真.事实上，在实数域R 上，取A E =，令B 是在实数域R 没有特征值的任一方阵（这种矩阵是存在的，参见下例），则A E =与B 可交换，A E =有特征向量，但B 没有特征向量.
例1 在实数域R 上，A E =（单位阵），0110B ??= ?-??，则AB BA =，A 有特
征值1，从而有特征向量，但B 在实数域R 上没有特征值，自然没有特征向量. 6 进一步的讨论
结论 1 若AB BA =，且A 有n 个互不相同的特征值，则?可逆阵P 使得
11
00n P AP λλ-?? ?
=
? ??? ， 11
00
n P BP μμ-?? ?
=
?
???
. 结论 2 已知 A B AB +=，则
（1）1不是A 的特征值，也不是B 的特征值；
（2）若B 相似于对角阵，则A 也相似于对角阵，且可同时相似于对角阵. 结论3 若A B AB +=，,A B 至少有一个可以对角化， 则 （1）B 一定能表成A 的多项式.
（2）A每一个特征向量都是B的特征向量.
（3）,A B至少有一个公共特征向量.
结论4 若A B AB
+=，A可对角化，则,A B有n个公共特征向量，且它们线性无关.
[参考文献]
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[13] 王萼芳等.高等代数（第三版）[M].高等教育出版社
致谢
在写论文的过程中，谢谢百忙之中的胡付高老师抽出宝贵的时间来指导，在此衷心感谢胡老师的悉心指导！
第23卷第4期 齐 齐 哈 尔 大 学 学 报 Vol.23,No.4 2007年7月 Journal of Qiqihar University July,2007 n 阶幂零矩阵的判别及构建 吴险峰 （齐齐哈尔大学理学院，黑龙江 齐齐哈尔 161006） 摘要：利用幂零矩阵的特征值、特征多项式、相似性等性质，给出构建幂零矩阵的几种方法。 关键词：幂零矩阵；严格三角形矩阵；主子式 中图分类号：O151.21 文献标识码：A 文章编号：1007-984X(2007)04-0072-04 对于有限维的线性空间，在给定基下线性变换与矩阵有着一一对应关系, 而线性变换是比较抽象的，不如矩阵容易理解，因此总是借助于矩阵来研究有限维线性空间的线性变换。幂零变换是一种特殊的线性变换，有许多特殊的性质可以利用，但除了用定义外，怎样判定所给的线性变换是否为幂零变换，又如何构建幂零变换。因为在有限维的线性空间中，幂零变换对应着幂零矩阵，由此幂零矩阵的判定和构建是解决这一问题的关键。因此本文给出了n 阶幂零矩阵的判定方法和构建方法。文中所指的矩阵均为数域F 上的矩阵，数均为数域F 上的数。 1 幂零矩阵的判别 引理1 n 阶矩阵A 是幂零矩阵，当且仅当A 的所有特征根都是零。 引理2 设n 阶矩阵)(ij a A =的特征多项式为 n n n n A b x b x b x A xI x f ++++=?=??111)(" 则k b 为A 的一切k 阶主子式的和乘以k )1(?，n k ,,2,1"=，即 ∑ ≤<<≤?=n i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i k k k k k k k k k a a a a a a a a a b ""# ###""12 122 21 212 11 11) 1( 定理1 数域F 上n 阶矩阵A 为幂零矩阵，当且仅当A 的一切k (n k ,,2,1"=)阶主子式之和为零。 证 必要性：设)(ij a A =，则由引理2有 n n n n A b x b x b x A xI x f ++++=?=??111)(" 其中系数k b 为A 的一切k 阶主子式的和乘以k )1(?，n k ,,2,1"=，即 ∑ ≤<<≤?=n i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i k k k k k k k k k a a a a a a a a a b ""# ###""12 122 21 212 11 11) 1( 收稿日期：2006-11-23 基金项目：黑龙江省教育厅科研项目（11521313） 作者简介：吴险峰（1970-），女，黑龙江省拜泉县人，副教授，大学本科，现主要从事李代数及李超代数，E-mail：wuxianfenglaoshi@https://www.doczj.com/doc/af10395810.html,。
伴随矩阵的性质
编号2009011118 毕业论文（设计） （ 2013 届本科） 论文题目：伴随矩阵的性质 学院：数学与统计学院 专业：数学与应用数学 班级：09级本科1班 作者姓名：魏瑞继 指导教师：俱鹏岳职称：副教授 完成日期：2013年 4 月20日
目录 陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明 (4) 摘要 (5) 关键词 (5) 0引言 (5) 1主要结论 (6) 1.1伴随矩阵的基本性质 (6) 1.2伴随矩阵的特征值与特征向量的性质 (9) 1.3矩阵与其伴随矩阵的关联性质 (10) 1.4两伴随矩阵间的关系性质 (11) 2应用举例 (12) 例1 (12) 例2 (12) 结束语 (13) 参考文献 (13) 致谢 (14)
陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明 本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师的指导下独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明应用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者签名： 二〇一二年十二月二十日
伴随矩阵的性质 魏瑞继 （陇东学院 数学与统计学院 甘肃 庆阳 745000） 摘要：伴随矩阵是矩阵理论中一个重要的基本概念，我们对几类矩阵的伴随矩阵进行了研究，得到了一些有价值的结论，并给出了部分应用举例. 关键词：伴随矩阵；分块矩阵；正交矩阵；相似矩阵 0引言 伴随矩阵在高等代数中的作用是极其重要的，在关于伴随矩阵的一些性质可以应用到其他矩阵的计算证明中，在这时候就更需要这一方面的知识了，伴随矩阵的内容深入不仅增加了矩阵的内容，也补充了矩阵计算的不足，在矩阵的证明与应用中也得到广泛的推广. 定义1[1] 设矩阵()ij n n A a ?=,将矩阵A 的元素ij a 所在的第i 行第j 列元素划去后，剩余的2(1)n -个元素按原来的排列顺序组成的1n -阶矩阵所确定的行列式称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称(1)i j ij M +-为元素ij a 的代数余子式，记为ij A ，即 ij A = (1)i j ij M +-(i ,j=1,2,……,n). 定义2[2] 方阵()ij n n A a ?=的各元素的代数余子式ij A 所构成的如下矩阵 A *= 112111222212n n n n nn A A A A A A A A A ????? ???????L L M M O M M 称为矩阵A 的伴随矩阵.
哈尔滨师范大学 学年论文 题目矩阵的若尔当标准型及简单应用 学生李小琴 指导老师穆强 年级 2005级 专业数学与应用数学 系别数学系 学院数学与计算机科学学院 哈尔滨师范大学 07年6月
矩阵的及若尔当标准型及简单应用 李小琴 摘 要：复数域上的每一n 阶矩阵都与若尔当标准形式相似，本文论证了矩阵的若尔当标准型及简单应用. 关键词：若尔当 线性变换 矩阵 标准 定义1 设λ是一个复数，矩阵????? ?? ? ??λλλλ1 ..................00 (10) 00 0 1 00 (00) （ 1 ） 其中主对角上的元素都是λ，紧邻主对角线下方的元素都是1，其余位置都是零，叫做属于 λ的一个若尔当（或若尔当块）. 当λ=0时，就是所谓的幂零若尔当矩阵. 定理1 设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换，k λλλ,...,,21都是σ的一切互不相同的本征值，那么存在V 的一个基，似的σ关于这个基的矩阵有形状 ???? ?? ? ??k B B B 002 1 （ 2 ） 这里i B =???? ?? ? ? ?i is i i J J J 002 1 ，而i is i i J J J ,...,,21都是属于i λ的若尔当块，.,...,2,1k i = 证 设σ的最小多项式是rk k r x x x P )...()()(11λλ--=，而)(x P 在复数域上是不可约 的因式分解，这里k λλλ,...,,21是互不相同的本征值，k r r r ,...,,21是正整数，又设 i V =ker V i r i ∈=-ξλσ{) (｜0)(=-ξλσi r i }，,,...,2,1k i =所以空间V 有直和分解 V =....1k V V ⊕⊕ 对于每一i ，令i τ是σ—i λ在i V 上的限制，那么i τ是子空间i V 的一个幂零线性变换，而子空间i V 可以分解为i τ一循环子空间的直和：i is i i W W V ⊕⊕=...1.在每一循环子空间
幂零矩阵性质及应用 性质1：A 为幂零矩阵的充要条件是A 的特征值全为0。 证明：? A Q 为幂零矩阵 k Z +∴?∈ .0k s t A = 令0λ为A 任意一个特征值，则00,.s t A ααλα?≠= 由引理7知，0k λ为k A 的特征值 00 .k k s t A ββλβ∴?≠= 从而有0k λ=0即有00λ= 又有0k A =，知00k k A A A ==?= 0*(1)(1)00k k E A A A ∴-=-=-=-?= 00λ∴=为A 的特征值。 由0λ的任意性知，A 的特征值为0。 ?A Q 的特征值全为0 A ∴的特征多项式为()n f E A λλλ=-= 由引理2知，()0n f A A == 所以A 为幂零矩阵。 得证 性质2：A 为幂零矩阵的充要条件为0k k Z trA +?∈=。 证明：?A Q 为幂零矩阵，由性质1，知： A 的特征值全为0 即120n λλλ====L 由引理7，知 k A 的特征值为120k k k n λλλ====L 从而有 120k k k k n trA λλλ=+++=L ?由已知，120 k k k k n k Z trA λλλ+ ?∈=+++=L (1.1) 令12,,,t λλλL L 为A 的不为0的特征值 且i λ互不相同重数为(1,2,,)i n i t =L L 由（1.1）式及引理7，得方程组
1122222 1122333 112211220000t t t t t t t t t t t n n n n n n n n n n n n λλλλλλλλλλλλ+++=??+++=??+++=??? ?+++=? L L L L L L (1.2) 由于方程组（1.2）的系数行列式为 12222 121 2 1212121211 11 () t t t t t t t t t t t t t i j j i t B λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ≤<≤= ==∏-L L L L L M M L M M M L M L L L 又(1,2,)i i t λ=L L 互不相同且不为0，0B ∴≠ 从而知，方程（1.2）只有0解，即0 (1,2,,)i n i t ==L L 即A 没有非零的特征值 A ∴的特征值全为0， 由性质1，得 A 为幂零矩阵 得证 性质3：若A 为幂零矩阵 则A 的若当标准形J 的若当块为幂零若当块，且J 和主对角线上的元素为0 证明：A 为幂零矩阵， 由性质1，知 A 的特征值全为0 由引理3，知 在复数域上，存在可逆矩阵T ，使得 12 1 s J J T AT J -?? ? ?= ? ?? ? O 其中11 i i i J λλ?? ? ?= ? ?? ? O O O 阶数为(1,2,,)i n i s =L 由引理4，知(1,2,,)i i s λ=L 为J 和特征值 又A 与J 相似，由引理6，知A 与J 有相同的特征值 所以0(1,2,,)i i s λ==L 即J 的主对角线上的元素全为0 由引理8，知 (0)()0(1,2,,)i i n n i i J E J i s -===g L 12,,,s J J J L L 为幂零矩阵 得证
莆田学院数学与应用数学系“高等代数选讲”课程论文 题目：复矩阵若当标准形的性质与应用 姓名：廉换霞 学号：410401143 莆田学院数学与应用数学系 数学与应用数学专业2004级 2007年6 月 25 日
复矩阵若当标准形的性质与应用 数本041 廉换霞 410401143 摘要：若当标准形有广泛的应用。本文首先给出了若当形矩阵的定义和若当标准形的一些 性质及相关例题。然后讲到其应用。若当标准形在“矩阵分解论”、“矩阵方程论”，在解线性递推关系式等等中都有它的应用，我们通过一些例题来说明。最后，利用若当标准形的性质给出了哈密尔顿——凯莱定理的另一种证法。 关键词：若当形矩阵 若当标准形 初等因子 可逆阵 哈密尔顿——凯莱定理 一、 定义及性质 1、若当形矩阵的定义 形式为 1(,)1t t J t λλλλ??? ? ?= ? ? ?? 的矩阵称为若当块，其中λ是复数。由若干个若当块组成的准对角矩阵称为若当形矩阵。 特别地一级若当块就是一级矩阵，因此若当形矩阵包括对角矩阵。 2、若当标准形的性质 性质一 若当形矩阵除去其中若当块排列次序外，被它的初等因子惟一决定。 此性质可用于求矩阵的若当标准形。 例1 求矩阵 126103114A --?? ?=- ? ?--?? 的若当标准形 解：首先求E A λ-的初等因子 22212601321001301101111411401321001 00011010002100(1)E A λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ??+--+-+-???? ? ? ? -=-→--+→--+ ? ? ? ? ? ?---+-+-?????????? ? ?→--+→- ? ? ? ?-+--???? 因此，A 的初等因子是1λ-，2(1)λ-，A 的若当标准形是
万方数据
万方数据
浅谈幂等矩阵的性质 作者：侯君芳， 黄丽莉 作者单位：郑州旅游职业学院,河南郑州,450009 刊名： 科技风 英文刊名：TECHNOLOGY TREND 年，卷(期)：2009，""(13) 被引用次数：0次 相似文献(6条) 1.期刊论文高灵芝幂等矩阵秩试题求解及其结论的推广-中国科教创新导刊2008,""(31) 本文从高等代数课本中的一道习题入手,从不同的角度给出这道习题的不同解法,并把其结论进行了推广. 2.期刊论文邹本强.ZOU Ben-qiang特殊矩阵的特征值性质-重庆职业技术学院学报2006,15(5) 在高等代数中矩阵是研究问题很重要的工具,在讨论矩阵的性质时给出了矩阵特征值的定义,但对矩阵特征值的性质研究很少,对特殊矩阵的特征值性质的研究更少,而特殊矩阵的特征值对研究特殊矩阵有很重要的意义.我们在研究矩阵及学习有关数学知识时,经常要讨论一些特殊矩阵的性质.为此,本文围绕幂等矩阵、反幂等矩阵、对合矩阵、反对合矩阵、幂零矩阵、正交矩阵、对角矩阵、可逆矩阵等特殊矩阵给出了其主要性质并加以证明,为广大读者学习矩阵时提供参考. 3.期刊论文孙莉.陈传良.王品超分块矩阵的理论应用-曲阜师范大学学报(自然科学版)2002,28(1) 分块矩阵的理论在高等代数中有着广泛的应用,用这一理论解决问题简明而清晰,该文是本理论的具体应用. 4.期刊论文杨忠鹏.陈梅香.林国钦.Yang Zhongpeng.Chen Meixiang.Lin Guoqin关于三幂等矩阵的秩特征的研究-数学研究2008,41(3) 本文对已有的关于三幂等矩阵秩的等式作了进一步研究,指出其中有些可以作为判定三幂等矩阵的充要条件,即三幂等矩阵的秩特征等式.本文还证明了有无穷多种三幂等矩阵的秩特征等式形式. 5.期刊论文杨忠鹏.陈梅香.YANG Zhong-peng.CHEN Mei-xiang关于矩阵秩等式研究的注记-莆田学院学报2008,15(5) 最近一些文献应用自反广义逆和广义Schur补得到了一些重要的矩阵秩的恒等式.对这些结果,给出了只用分块初等变换的简单证法;作为应用对 k(k=2,3,4)幂等矩阵的秩等式作进一步讨论,还给出了打洞技巧在求秩上应用的例子. 6.期刊论文林志兴.杨忠鹏.LIN Zhi-xing.YANG Zhong-peng与给定矩阵A的可交换子环C(A)的一些探讨-莆田学院学报2010,17(2) 收集整理现在常用的高等代数与线性代数材料中与给定矩阵A可交换的矩阵所构成的全矩阵空间pn×n的子空间C(A)的习题.指出C(A)的交换性及用 A的多项式表示问题同C(A)的维数与n有密切关系,得到n(n≥3)阶幂等矩阵A或对合矩阵A的C(A)都是不可交换的结论. 本文链接：https://www.doczj.com/doc/af10395810.html,/Periodical_kjf200913005.aspx 授权使用：洛阳工学院（河南科技大学）(wflskd)，授权号：d7e0c32f-0155-4388-9ee0-9dde00edfb00 下载时间：2010年8月26日
复矩阵的Jordan 标准形的性质及应用 学生姓名：李英红 指导教师：周芳 （太原师范学院 数学系0802班 2008101217） 摘要：任意一个矩阵并非都与对角矩阵相似，当一个矩阵不能与对角矩阵相似时，可以找 到一个比较简单的类似于对角矩阵的矩阵与它相似。本文主要介绍相似于一个简单的类似对角矩阵的性质和应用，对于今后的学习有很大的帮助。 关键词：对角矩阵 若当标准形 幂零矩阵 相似 正文 1、 定义 形如1 1i i i i i i m m J λλλ??? ? ?= ? ?? ? 的方阵称为i m 阶的Jordan 块,i c λ∈,通常记为()i n i J λ. 2、 定义若当形 由若干个Jordan 块组成的准对角阵1 2 s J J J J ?? ? ?= ? ? ?? ? 称为Jordan 标准形。 定理1 复数域c 上两个n 阶矩阵A 和B 相似E A E B λλ?--与等价 证明 ""?若A 和B 相似,存在可逆矩阵T ,使得1B T AT -=,所以1 ()E B T E A T λλ--=-, 因而E A E B λλ--与等价. ""?E A E B λλ--与等价,则有相同的不变因子,相同的初等因子,则可推得A 和B 相似. 定理2 (Jordan 标准形定理) 每个n 阶的复矩阵A 都与一个Jordan 标准形相似,这个Jordan 标准形除了其中Jordan 块的排列次序外被A 唯一决定，记为A J . 证明 设n 阶的矩阵A 的特征矩阵E A λ-的 初等因子为1212(),(),,() s k k k s λλλλλλ--- (2.1) 令1 1i i i i i i m m J λλλ??? ? ?= ? ?? ? 并令12s J J J J ?? ? ?= ? ? ??? ，则E J λ-的全部初等因子也为（2.1）式 则A 和J 相似 推论1 复矩阵A 与对角矩阵相似?E A λ-的初等因子都是一次的。
幂零矩阵性质及应用 数本041 严益水 学号：410401109 摘要： 幂零矩阵是一类特殊的矩阵，在矩阵理论中有重要的作用。它具有一些很好的性质。本文从矩阵的不同角度讨论了幂零矩阵的相关性质。幂零矩阵与若当形矩阵结合可得一个很好性质，在解相关矩阵问题有很好作用，由此我们举例说明，从例子中发现了问题并对此问题进行思考得出了一些结论，对幂零矩阵的研究很有意义。在一般矩阵中，求矩阵的逆比较麻烦，本文最后利用幂零矩阵特殊性讨论了三类特殊矩阵逆的求法。 关键词：幂零矩阵 若当块 特征值 幂零指数 一、 预备知识 （下面的引理和概念来自《高等代数解题方法与技巧》 李师正 高等教育出版社、《高等代数》（第二版） 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组 高等教育出版社、 《高等代数选讲》 陈国利 中国矿业大学出版社及《高等代数习题集》（上册） 杨子胥 山东科学技术出版社） （一） 一些概念 1、令A 为n 阶方阵，若存在正整数k ，使0k A =，A 称为幂零矩阵。 2、若A 为幂零矩阵，满足0k A =的最小正整数称为A 的幂零指数。 3、设1111n n nn a a A a a ?? ? = ? ? ?? ，称1111n n nn a a A a a ?? ?'= ? ??? 为A 的转置， 称111*1n n nn A A A A A ?? ? = ? ? ?? 为A 的伴随矩阵。 其中(,1,2,,)ij A i j n = 为A 中元素ij a 的代数余子式 4、设A 为一个n 阶方阵，A 的主对角线上所有元素的和称为A 的迹，记为trA 。 5、主对角线上元素为0的上三角称为严格的上三角。 6、形为
幂零矩阵迹的特征 严文（061114228） （孝感学院数学与统计学院湖北孝感 432000） 摘要：2009年全国大学生数学竞赛题（第3题）：设V是复数域上向量空间， -=，那么f的所有特征值均为0，并且,f g是V上的线性变换，且满足fg gf f g和f之间存在相同的特征向量（对应的特征值不一定相等）．我们把它转换为矩阵，在矩阵中讨论特殊情况即AB BA =，求证A和B有公共特征向量，并且求出A和B的公共特征向量. 关键词：幂零矩阵；迹；特征值；特征向量 Features of Nilpotent matrix trace Y AN Wen (Department of Mathematics and Statistics,Xiaogan university,Xiaogan,Hubei 432000,China) Abstract：2009 National College Mathematics Competition Problems (3th item)：Based vector space V is the complex field,,f g are the linear transformation, and satisfies fg gf f -=, Then all the eigenvalues of f are 0, Between f and g there are the same feature vector (not necessarily equal the corresponding eigenvalue). We convert it to matrix and discussed in the special circumstances that BA AB=, V erify:A and B have public feature vectors, and eigenvectors obtained the public. Key words：Nilpotent matrix; Trace;Eigenvalue;Eigenvector.
开题报告 数学与应用数学 浅谈伴随矩阵的性质及其应用 一、综述本课题国内外研究动态, 说明选题的根据和意义 矩阵是代数学的一个主要研究对象, 是数学中最重要的基本概念之一, 也是数学研究及应用的一个重要工具. 矩阵这一概念自19世纪英国数学家凯利首先提出以后, 就形成了矩阵代数这一系统理论, 而且还广泛应用于实际生活. 把现实世界中的实际问题抽象成数学模型, 求出模型的解, 验证模型的合理性后, 用它的解来解释现实问题, 这其中要用到许多的数学知识, 而矩阵作为一种认识复杂问题的简捷的数学工具, 在数学模型中具有重要的作用, 如在各循环赛中常用的赛况表格、国民经济的数学问题等. 矩阵可以分为很多类, 有初等矩阵、分块矩阵、幂等矩阵、伴随矩阵等, 在不同的矩阵类型中近几年来分别取得了不同的成果与进展. 而伴随矩阵作为矩阵中较特殊的一类, 其理论与应用有自身的特点, 它是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念, 是许多数学分支研究的重要工具. 在线性代数的解题方面, 灵活地运用这些伴随矩阵的性质有效地解决了线性代数中的问题, 且它有助于拓宽解决线性代数问题的思路. 比如, 矩阵间一些关系的证明, 求矩阵的逆, 一些复合矩阵的行列式等. 运用伴随矩阵的性质还可以用来解决一些复杂的问题. 比如, 用伴随矩阵的性质: I A A A AA ==**可以解决《美国数学月刊》上的E3227号问题(注: 若A 和B 为n 阶矩阵, 存在非零向量x 和向量y , 使得0=Ax , Bx Ay =. 设i A 为A 中第i 列被B 中的第i 列替换后所得到的矩阵,证明01=∑=n i i A ). 现今不仅专业研究伴随矩阵 的数学工作者愈加众多, 而且量子力学、刚体力学、流体力学、自动控制等各个学科或尖端技术领域内的研究工作者也都以它为必需的工具. 如蔡建乐提出了用特征矩阵的伴随矩阵求惯量主轴的代数方法, 这有利于刚体力学的发展, 体现伴随矩阵的物理意义. 正因为它有如此重要的作用, 古今中外对其研究颇多, 并且得到了许多重要的成果. 如杨闻起探讨了伴随矩阵在对称、反对称、正定、半正定、正交、相似和特征值等方面的性质; 王航平也在伴随矩阵的定义与基本性质的基础上, 探讨了伴随矩阵的运算性质, 特别研究了
幂零矩阵的质及应用
嘉应学院 本科毕业论文（设计） （2015届） 题目：幂零矩阵的性质及应用姓名：李丹 学号：113010022 学院：数学学院 专业：数学与应用数学 指导老师：刘光明老师 申请学位：学士学位 嘉应学院教务处制
摘要 在高等代数中矩阵是研究问题的重要工具，在讨论矩阵的乘法运算时给出了幂零矩阵的定义。我们在研究矩阵及学习有关数学知识时，经常要讨论其性质。幂零矩阵作为特殊的矩阵，无论在矩阵理论方面，还是在实际应用方面都有着很重要的意义。幂零矩阵具有很多良好的性质，文章从矩阵的定义出发得到其一些简单的性质，然后从各个角度更深入挖掘其性质。由给出的论点进行论证，讨论了幂零矩阵的若干性质，还通过例子说明其应用性，这对于解决若干矩阵问题大有益处。 关键词：幂零矩阵；特征值；若尔当形
Abstract Matrix in higher algebra is an important tool to research problem, When discussing matrix multiplication of the definition of nilpotent matrix is given. In the study of matrix and learning about mathematics knowledge, often to discuss its properties. As a special matrix, nilpotent matrix in terms of matrix theory, or in the actual application has very important significance. The properties of nilpotent matrix has a lot of good, The article starting from the definition of matrix to get some simple properties, And then from different angles to dig deeper into its nature more. By the given arguments, Discussed some properties of nilpotent matrix, but also through the example is given to show its application, this is a great benefit to solve the problem of several matrix. Key words：Nilpotent matrix;eigenvalue;Jordan form
2014‐2015学年度上学期《矩阵理论》期末试题 一. 选择题: 1. n 2 阶实奇异矩阵A的特征多项式与最小多项式相等,则A的伴随矩阵列空间的维数为( ) A. 0 B. 1 C. n D. 不能确定 2. 设 是n维线性空间上的线性变换,适合下列条件的与其它三个不同的是( ) A. σ是单映射 B. dim Im σ n C. σ是一一对应 D. σ适合条件σ 0 3. 设A是实的反对称矩阵, 则下列命题正确的是( ) A. e 是实的反对称矩阵 B. e 是正交矩阵 C. cos A是实的反对称矩阵 D. sin A是实的对称矩阵 4. 设方阵A幂收敛到方阵B, 则下列说法 ① |B| 0 ②B是幂等矩阵 ③ AB BA B ④r A r B 正确的有( )个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11?1 ,n 2, B I xx ,其中I为单位5. 设n维向量x √ 矩阵,则下列选项正确的是( ) A. ‖B‖ 1 B. ‖B‖ 1 C. ‖B‖ 1 D. ‖B‖ 1
二. 填空题: 1.设e e e e 0e ,则A . 2.设n 阶方阵A 的最小多项式为λ λ λ ? λ λ , 其中n k 2,λ ,λ ,…,λ 全不为0, 则 dim R A = ; 3. 设A 1 100 01001 ,矩阵 sinA 的Jordan 标准形J . 4. 矩阵A 111 122123 ，A 的Cholesky 分解A LL ，下三角矩阵 L . 5. 设给定矩阵A 2012 ，B 102 1 , 矩阵空间R 上线性变换T 为: T X kX AXB , ?X ∈R . T 是可逆变换当且仅当参数k 满足条件 . 三. 设V 是有限维欧氏空间, u ∈V 是一个单位向量, V 上线性变换σ定义为: 对任意x ∈V , σ x x a x,u u . (1) 试求非0实数a,使得σ是V 上正交变换. (2) 多项式空间R x 中的内积定义如下: 对任意f x ,g x ∈R x , f x ,g x f x g x dx . 试求R x 中向量α 1和β x 的长度; 并求正实数k 和单位向量u ∈R x , 使得上述正交变换σ将向量α变成kβ. 四. 设A 0010 11 1011 111 1 21 1110
伴随矩阵的若干性质及应用 摘要 矩阵是学习高等代数中的一个非常重要的知识点，而在矩阵的运算和应用中伴随矩阵起着十分重要的作用.本篇文章运用矩阵计算中的一些技巧和方法，证明了一般n 阶方阵和某些特殊矩阵的伴随矩阵的一些性质.这些性质的探讨是基于矩阵的伴随矩阵与原矩阵之间的关系，利用研究矩阵的方法来着手.通过这些性质，对矩阵、伴随矩阵有了更深一步地认识.而且，在以后的学习中遇到关于伴随矩阵的问题我们可以直接应用这些性质，使问题变得简单. 关键词 矩阵 伴随矩阵 特征值 引言 因为伴随矩阵是学习矩阵的一个重要知识点，在计算中经常出现，把矩阵的 伴随矩阵看作一般的一个矩阵来研究.给出了伴随矩阵的秩、伴随矩阵的转置、伴随矩阵的特征值、几个特殊矩阵的伴随矩阵的性质，以及伴随矩阵的其他性质.这些性质能帮我们方便解决在计算矩阵时遇到的问题. 本文出现的矩阵A 和B 均为n 阶方阵. 1.一般n 阶方阵其伴随矩阵的一些性质及应用 1.1 E A A A AA ==**,在求解A 与*A 的乘积，*A 和1-A 的有关的问题时可以从这个性质着手.常用的关系式如下： ()1当A 为可逆矩阵时，*A 也为可逆矩阵，由E A A A AA = =**可得()A A A = -1 *； ()2当A 为可逆矩阵时，由E A A A AA = =**可得1*-=A A A ； 例1、已知A 为一三阶矩阵，且??? ? ? ??=100310241A ，求() 1 * -A . 解 经计算可得1=A ，所以() ? ??? ? ??===-1003102411 *A A A A .
例2、已知A 为一三阶可逆矩阵，它的伴随矩阵为*A ，且4 1= A ，求()*1 32A A --. 解 ()1 111* 14 32132132------=-= -A A A A A A A 1611 4141413 131-=? ?? ??-=??? ??-=-=--A A A . 例3、已知A 和 B 均为n 阶矩阵，相应的伴随矩阵分别为*A 和*B ，分块矩阵 ? ?? ? ??=B O O A C ，求C 的伴随矩阵* C . 解 由E C C C CC ==**得， ???? ??=???? ? ?=??? ? ??==------11 11 1 1 * B B A O O A B A B O O A B A B O O A B O O A C C C . 1.2 当A 为可逆矩阵时，有() () * 11 * --=A A 证明 因为 () E A A A E A AA 1 * 11 * ,---==故有，A A A * 1 =-；又因为A A 11=- 从而 () () E A E A A A A A A 1 1* 1 ** 11 = ==----，因0≠A ，故() E A A =-* 1*, 所以 () () * 11 * --=A A . 例4、已知A 为一三阶可逆矩阵，且???? ? ??=-2311123211 A ， 求*A 的逆矩阵. ㈠解 因为E A AA A A ==**，且A 为可逆矩阵，可得 () A A A A A 11 * --== ， 而2 311123 211=-A =8，() ???? ? ??------==--315513151811 1A A ,所以() ???? ? ??------=-3155131511 *A .
Jordan 标准型与矩阵可对角化 摘要：本文归纳总结矩阵论书本中的内容，以矩阵论的性质为基础，简单介绍了Jordan 标准型定理以及定理的证明，再用Jordan 标准型定理去解决Hamilton-Cayley 定理的证明，以及在求解线性微分方程组中的应用。 关键词：矩阵对角化；λ -矩阵；Jordan 标准型；线性微分方程； 1 引言 矩阵表示方法贯穿于高等代数的各个章节，通过矩阵表示，许多高等代数中的问题都可归结为矩阵问题，而矩阵标准形的方法又是解决矩阵问题的重要方法之一，它的核心思想就是删简就繁，充分体现了解决数学问题的“转化思想”。 矩阵的Jordan 标准形问题的讨论，源于如何选择线性空间的基，使得线性变换在该基下的矩阵具有尽可能简单的形式完成这一问题。矩阵内容，是大学学习中必须学习的知识点！其广泛的应用性，还有在处理数据上的优越性，矩阵是学习很多知识体系的支柱，在数据结构，自动控制原理，常微分计算等等上都是基础！ Jordan 标准型的用处就在于矩阵不能对角化的时候利用Jordan 标准型这种最简化的结果来做题。证明关于一般方阵（不能保证对角化）的某些命题，需要用到Jordan 标准型，比如用Jordan 标准型求解线性微分方程组。 Jordan 标准型是最接近对角的矩阵并且其有关的理论包含先前有关与对角阵相似的理论作为特例。此外，Jordan 标准型的广泛应用涉及到Hamilton-Cayley 定理的证明，矩阵分解，线性微分方程组的求解等等。 2 λ-矩阵 由于Jordan 标准型的求解与特征多项式有关，而从函数的角度看,特征多项式实际上是特殊的函数矩阵（元素是函数的矩阵），这就引出对λ-矩阵的研究。 2.1 λ-矩阵及其标准型 定义1 称矩阵()(())ij A f λλ=为λ-矩阵,其中元素 ()(1,2, ,;1,2,,)ij f i m j n λ==，为数域F 上关于λ的多项式。 定义2 称n 阶λ-矩阵()A λ是可逆的，如果有 ()()()()n A B B A I λλλλ==，并称B λ()为()A λ的逆矩阵，反之亦然。 定义3 如果矩阵()A λ经过有限次的初等变换化成矩阵B λ()，则称矩阵() A λ与 B λ()等价，记为 ()() A B λλ?。 2．2 λ-矩阵的性质
伴随矩阵的性质及其应用 摘要：在矩阵中占据着比较特殊的位置，通过它我们可以推导出逆矩阵的计算公式，使方阵求逆的问题得到解决，伴随矩阵的性质和应用有着与众不同的特点。伴随矩阵不仅仅可以求矩阵的逆，它还有很多重要的性质。本文介绍了伴随矩阵的十四条性质，每一条都给出了详细的证明，同时也给出了应用伴随矩阵性质的例子。伴随矩阵是矩阵学习中的重点和难点，它的性质及其应用更是学习中的重中之重，掌握这些性质、证明及其应用将有利于我们今后的数学学习. 关键词：伴随矩阵可逆矩阵方阵性质 Adjoint matrices properties and applications Abstract Adjoint matrices is matrix and linear algebra, is an important concept of an important branch of mathematics study many tools, through which we can deduce that the inverse matrix calculation formula of inverse square, is the problem can be solved, the status of adjoint matrix in the matrix, it is special the properties and application has unique characteristics. In university mathematics study, adjoint matrices is only used for the inverse matrix solution, not too deep understanding of adjoint matrix, actually there are many important properties, this paper introduces the properties of adjoint matrix 12 is given, every single detail of the proof and the partial nature, and introduces the application of the development process, along with matrix matrix was the key and difficult point matrix learning, it is also learning the properties and applications of priority, master these properties, proof and application will benefit our future mathematics learning. Keywords Adjoint matrix Reversible matrix The phalanx Properties 矩阵是高等数学中非常重要的一个概念，而且应用相当广泛，它是线性代数的核心，矩阵的运算、概念和理论贯穿整个线性代数的学习中。伴随矩阵是一种特殊矩阵，它和矩阵的逆矩阵有着紧密的联系，方阵的伴随矩阵是在求可逆矩阵的逆矩阵时提出
幂零矩阵迹的特征 摘要：2009年全国大学生数学竞赛题（第3题）：设V是复数域上向量空间， -=，那么f的所有特征值均为0，并且,f g是V上的线性变换，且满足fg gf f g和f之间存在相同的特征向量（对应的特征值不一定相等）．我们把它转换为矩阵，在矩阵中讨论特殊情况即AB BA =，求证A和B有公共特征向量，并且求出A和B的公共特征向量. 关键词：幂零矩阵；迹；特征值；特征向量 Features of Nilpotent matrix trace YAN Wen (Department of Mathematics and Statistics,Xiaogan university,Xiaogan,Hubei 432000,China) Abstract：2009 National College Mathematics Competition Problems (3th item)：Based vector space V is the complex field,,f g are the linear transformation, and satisfies fg gf f -=, Then all the eigenvalues of f are 0, Between f and g there are the same feature vector (not necessarily equal the corresponding eigenvalue). We convert it to matrix and discussed in the special circumstances that BA AB=, Verify:A and B have public feature vectors, and eigenvectors obtained the public. Key words：Nilpotent matrix; Trace;Eigenvalue;Eigenvector.
编号2009011118 毕业论文（设计） （ 2013 届本科） 论文题目：伴随矩阵的性质 学院：数学与统计学院 专业：数学与应用数学 班级：09级本科1班 作者姓名：魏瑞继 指导教师：俱鹏岳职称：副教授 完成日期：2013年 4 月20日
目录 陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明 (3) 摘要 (4) 关键词 (4) 0引言 (4) 1主要结论 (4) 1.1伴随矩阵的基本性质 (4) 1.2伴随矩阵的特征值与特征向量的性质 (8) 1.3矩阵与其伴随矩阵的关联性质 (9) 1.4两伴随矩阵间的关系性质 (10) 2应用举例 (11) 例1 (11) 例2 (11) 结束语 (12) 参考文献 (12) 致谢 (13)
陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明 本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师的指导下独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明应用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者签名： 二〇一二年十二月二十日
伴随矩阵的性质 魏瑞继 （陇东学院 数学与统计学院 甘肃 庆阳 745000） 摘要：伴随矩阵是矩阵理论中一个重要的基本概念，我们对几类矩阵的伴随矩阵进行了研究，得到了一些有价值的结论，并给出了部分应用举例. 关键词：伴随矩阵；分块矩阵；正交矩阵；相似矩阵 0引言 伴随矩阵在高等代数中的作用是极其重要的，在关于伴随矩阵的一些性质可以应用到其他矩阵的计算证明中，在这时候就更需要这一方面的知识了，伴随矩阵的内容深入不仅增加了矩阵的内容，也补充了矩阵计算的不足，在矩阵的证明与应用中也得到广泛的推广. 定义1[1] 设矩阵()ij n n A a ?=,将矩阵A 的元素ij a 所在的第i 行第j 列元素划去后，剩余的 2(1)n -个元素按原来的排列顺序组成的1n -阶矩阵所确定的行列式称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称(1)i j ij M +-为元素ij a 的代数余子式，记为ij A ，即 ij A = (1) i j ij M +-(i ,j=1,2,……,n). 定义2[2] 方阵()ij n n A a ?=的各元素的代数余子式ij A 所构成的如下矩阵 A * = 11 2111222212n n n n nn A A A A A A A A A ????? ??? ?? ?? 称为矩阵A 的伴随矩阵. 1主要结论 1.1伴随矩阵的基本性质 性质1 若A 是n 阶方阵(2)n ≥,那么