复矩阵的Jordan 标准形的性质及应用
学生姓名：李英红 指导教师：周芳
（太原师范学院 数学系0802班 2008101217）
摘要：任意一个矩阵并非都与对角矩阵相似，当一个矩阵不能与对角矩阵相似时，可以找
到一个比较简单的类似于对角矩阵的矩阵与它相似。本文主要介绍相似于一个简单的类似对角矩阵的性质和应用，对于今后的学习有很大的帮助。
关键词：对角矩阵 若当标准形 幂零矩阵 相似 正文
1、 定义 形如1
1i i
i i
i i m m
J λλλ???
?
?= ?
??
? 的方阵称为i m 阶的Jordan 块,i c λ∈,通常记为()i n i J λ.
2、 定义若当形 由若干个Jordan 块组成的准对角阵1
2
s J J J J ??
?
?= ? ? ??
?
称为Jordan 标准形。
定理1 复数域c 上两个n 阶矩阵A 和B 相似E A E B λλ?--与等价
证明 ""?若A 和B 相似,存在可逆矩阵T ,使得1B T AT -=,所以1
()E B T E A T λλ--=-,
因而E A E B λλ--与等价.
""?E A E B λλ--与等价,则有相同的不变因子,相同的初等因子,则可推得A 和B 相似.
定理2 (Jordan 标准形定理)
每个n 阶的复矩阵A 都与一个Jordan 标准形相似,这个Jordan 标准形除了其中Jordan 块的排列次序外被A 唯一决定，记为A J .
证明 设n 阶的矩阵A 的特征矩阵E A λ-的 初等因子为1212(),(),,()
s
k k
k
s λλλλλλ--- (2.1)
令1
1i i
i i
i i m m
J λλλ???
?
?= ? ??
? 并令12s J J J J ?? ?
?=
? ? ??? ，则E J λ-的全部初等因子也为（2.1）式 则A 和J 相似
推论1 复矩阵A 与对角矩阵相似?E A λ-的初等因子都是一次的。
定义3 设A 为一个非零的n 阶幂零矩阵，即存在正整数m ，使得0m A =，但1
0m A -≠，
则m 为A 的幂零指标，则A 的最小多项式为m
λ 性质1 A 为一个幂零矩阵?A 的特征值全为零
证明""? 存在可逆矩阵T ，使得112(,,,)s T AT J diag J J J -==
1
,1,2,,1i i
i i
i i n n
J i s λλλ??? ?
?== ? ??
? ，
设0m
A =，所以112()(,,,)0m m m m m s T AT J diag J J J -=== 所以0,0,0m i i i J n m λ=∴=≤< 也即A 的特征值全为零
""?存在可逆矩阵Q ,使得1
2
1
1(1)
00
0n n n a a Q AQ a --??
?
?
= ? ???
，则
12
1
1
(1)
00
0n n n a a A Q Q a --??
?
?= ? ??
?
，也即10,0n n A A -=≠ ， 即A 为一个幂零矩阵
定理3 设n 阶幂零矩阵A 的Jordan
标准形为12
s N N N N ??
?
?= ? ? ??
?
，
010,1,2,,(3.0)10i i
i n n N i s ???
?
?== ? ?
??
幂零指标为m
则（1） max{|1}i m n i s =≤≤
（2）A 的零度等于N 中Jordan 块的个数s
（3） 记N 中k 阶Jordan 块的个数k l ,k
A 的零度为k η，1k n ≤≤，则
112222l s ηηη=-=-，112,2k k k k l k m ηηη-+=--≤≤
证明 （1）由于A 与N 相似,所以00,k k A N k Z +=?=∈
因此12
k k k
k s N N N N ?? ?
?= ? ? ??
?
且10,0,k
k i i N N -=≠所以N 的幂零指标为i m m m ?≤
1i s ≤≤且存在i 使i n m =
(2)设A 的零度为1η,则 11
1
()(1)s s
i
i
i i n r N n n s
η===-=
--=∑∑ (3.1)
(3)根据k
A 的零度等于k
N 的零度等于k i N 的零度之和(1,2,,i s = )
使k
i N 的零度=i
i
k k n n k n ≤?=?
>? (3.2)
由(3.2)我们有
1A η=的零度=N 的零度=
1
1
1
(1s s i
k
i i k N s l
∞
======∑∑∑的零度) (3.3)
2
2
21
(s
i i A N N η===∑2的零度=的零度的零度)
1
:2
:2
2
((2i i i
i
k
i n i n k N N l l
∞
<≥==
+=+∑∑∑2
2
的零度)的零度) (3.4)
1
(s
j
j
j i i A N N η===∑j 的零度=的零度的零度)
::((i i i
i
k
k i n j
i n j
k j
k j
N N kl
j l ∞
<≥<==
+=+∑∑∑∑j
j
的零度)的零度) (3.5)
由(3.3)和(3.4)可以推出(3.1),而(3.2)可由(3.5)推出
例1 求矩阵的Jordan 标准形
308316205A ?? ?
=- ? ?--??
解: 先求E A λ-的初等因子
3
08308316316205111E A λλλλλλλλ----???? ? ?
-=-+-→-+- ? ? ? ?+-+-????
21
11111100316022330103080(1)(3)(1)(5)00(1)λλλλλλλλλλλλλλ---+---+?????? ? ? ?→-+-→----→+ ? ? ? ? ? ?--+++-+??????所以E A λ-的初等因子是2(1)λ+,(1)λ+因而A 的Jordan 标准形为1111J -??
?
=- ? ?-??
例2 1011110111010110A ---?? ?
?= ? ?-?? 求P ，使得1010010P AP N -??
? ?== ? ???
解 1
P
A P N -=等价于AP PN =，令1234(,,,)P αααα=可得
1234123413
010(,,,)(,,,)(0,,0,)010A αααααααααα??
?
?== ? ?
?
? 则有1213430,,0,A A A A αααααα==== 即有13,,αα是特征向量，而24,αα是广义特征向量 则
111
212123232344124101110111
011110101100
11
0110100000000011001100
0b b b b b b b b b b b b b b b b b b ---------?????? ? ?
?
++-- ? ? ?
→→ ? ? ?
-+-+ ? ?
?
++--??????
要使方程组AX β=有解，向量'1234(,,,)b b b b β=要满足 23b b =，1240b b b ++= 解方程组134230
x x x x x ++=??
-=?得''13(1,1,1,0),(1,0,0,1)αα=-=-这两个向量都满足
AX β=的相关性条件，解1AX α=
即1342310x x x x x -+=??-=?得'
2(1,0,0,0)α=解3AX α=即13423
11x x x x x ++=??-=-?得
'
2(1,1,0,0)α=-因此1111100110000010P ---??
?
-
?
= ? ?
??
例3求下列矩阵的Jordan 标准形J ，并求变换矩阵P ，使得1
P AP J -=
3100410031213110A ??
?--
?= ?
?---??
解 4||(1)E A λλ-=-因此A 的Jordan 标准形J 中只有对角线为1的Jordan 块，因此
可设1231111J ααα?? ?
?= ? ?
??，其中1α,2α,3
α为1或0.因A E ≠,所以J E ≠故至少有一个0i α≠,因此11α= 由于2100420031113111E A --??
?
?-= ?---- ???
所以E A -的零度为2(故E J -的零度为2 ,因此2α,3α有一个且仅有一个为零)于是J 中有两个Jordan 块，又2
()0E A -≠因此
2()0E J -≠故至少有一个Jordan 块的阶大于2,所以231,0αα==
即111111J ??
?
?= ? ?
??设1P AP J -=，则有A P P J =，令'1234(,,,)P a a a a =，则有12341234112234
1111(,,,)(,,,)(,,,)11A αααααααααααααα??
?
?==++ ? ?
??
于是得到四个方程组
1121232344,,,A A A A αααααααααα==+=+=
即121324()0,(),(),()0E A E A E A E A αααααα-=-=--=--=作如下的初等变
换：1112233344210021002420000003111311131110000b b b b b b b b b b ----??
??
? ?+ ?
?→ ?
?--------
? ?+???
? 因此使方程组()E A X β-=有解，向量
'1234(,,,)b b b b β=必须满足
123420,0b b b b +=+=，解方程组()0E A X -=，即12
123420
30
x x x x x x --=??----=? 得'
'
14(0,0,1,1),(1,2,1,0)αα=-=-即12123420
31
x x x x x x --=??----=-?得'2(1,2,0,0)α=-
解方程组2()E A X α-=-得12123421
30
x x x x x x --=-??
----=?得'2(1,3,0,0)α=-
因此0111023210001000P --?? ?-
?= ? ?-??
结束语：
通过对复矩阵的Jordan 标准形的性质及应用的研究,总结出了运算性质、特征及其与特
殊矩阵的关系.这对复矩阵的Jordan 标准形在实际理论中的应用具有非常重要的意义.
参考文献
[1]史荣昌,魏丰编著 矩阵分析[M]（第二版）,北京:北京理工大学出版社.
[2]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组高等代数[M].(第二版)高等教育出版社. [3]苏有才,姜翠波,张跃辉编著,矩阵理论 科学出版社 [4] 蒋忠樟著,高等代数典型问题研究,高等教育出版社 [5] 徐仲,张凯院编著 矩阵论简明教程 科学出版社
[6]罗家洪,方卫东编著 矩阵分析引论 华南理工大学出版社