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高中数学线性代数练习题含答案1. 求解方程组给定方程组：$$\left\{\begin{aligned}2x - y &= 4 \\x + 3y &= 7\end{aligned}\right.$$求解该方程组。
解答可以使用消元法求解该方程组。
首先，将第一个方程乘以3以消去$x$的系数：$$\left\{\begin{aligned}6x - 3y &= 12 \\x + 3y &= 7\end{aligned}\right.$$然后，将上述两个方程相加，得到：$$7x = 19$$解得 $x = \frac{19}{7}$。
将 $x$ 的值代入第一个方程，可以求得 $y$ 的值：$$2\left(\frac{19}{7}\right) - y = 4$$解得 $y = \frac{18}{7}$。
所以，方程组的解为 $x = \frac{19}{7}$，$y = \frac{18}{7}$。
2. 矩阵运算给定矩阵 $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -4 \end{bmatrix}$ 和矩阵 $B = \begin{bmatrix} -1 & 3 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}$，求解以下运算：1) $A + B$2) $A - B$3) $AB$解答1) $A + B$ 的运算结果为：$$\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -1 & 3 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 5 & 1\end{bmatrix}$$2) $A - B$ 的运算结果为：$$\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -4 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -1 & 3 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 1 & -9\end{bmatrix}$$3) $AB$ 的运算结果为：$$\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -4 \end{bmatrix} \cdot\begin{bmatrix} -1 & 3 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 11 \\ -14 & -7 \end{bmatrix}$$3.矩阵求逆给定矩阵 $C = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$，求解其逆矩阵。
自考线性代数试题库及答案一、选择题1. 下列矩阵中，哪一个是可逆矩阵？A. [1, 2; 3, 4]B. [2, 0; 0, 1]C. [1, 1; 1, 1]D. [0, 1; 1, 0]答案：B2. 设向量组α1 = (1, 2, 3), α2 = (4, 5, 6), α3 = (7, 8, 9)，这三个向量是否线性相关？A. 是B. 不是答案：A3. 对于矩阵A，|A|表示其行列式，若|A| = 0，则A是：A. 可逆矩阵B. 非可逆矩阵C. 零矩阵D. 单位矩阵答案：B二、填空题4. 设矩阵B是由矩阵A通过初等行变换得到的，若B = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9]，则A至少包含____个非零行。
答案：三5. 对于任意的n阶方阵A，Tr(A)表示A的______。
答案：迹三、解答题6. 已知矩阵A = [2, -1; 1, 3]，求A的逆矩阵A^(-1)。
答案：首先计算A的行列式，|A| = (2 * 3) - (-1 * 1) = 7。
然后计算A的伴随矩阵，即adj(A) = [(3, 1); (-1, 2)]。
最后，A^(-1) = (1/|A|) * adj(A) = [(3/7), (1/7); (-1/7), (2/7)]。
7. 设向量空间V中的向量v1 = (1, 0, 1), v2 = (0, 1, 1), v3 = (1, 1, 0)。
证明v1, v2, v3线性无关。
答案：要证明v1, v2, v3线性无关，我们需要证明对于任意的实数a, b, c，只要a * v1 + b * v2 + c * v3 = 0，那么a = b = c = 0。
设a * v1 + b * v2 + c * v3 = (a + b, b + c, a + c) = (0, 0, 0)，由此可得a + b = 0，b + c = 0，a + c = 0。
通过简单的代数运算，可以得出a = b = c = 0，因此v1, v2, v3线性无关。
习题线性代数练习题一、单项选择题111011011．行列式 ( )10110111A. 1B. 3C. －1D. －3a10２．行列式b40a2b300b2a30b10（） 0a4A. a1a2a3a4 b1b2b3b4B.a1a2a3a4 b1b2b3b4C. (a1a2 b1b2)(a3a4 b3b4)D. (a1a4 b1b4)(a2a3 b2b3) ３、在下列矩阵中，可逆的是（）000 A. 010 001 110 011C. 121110B. 220 001 100 111D. 101４、A是n阶方阵，且A 0，则A中（）A．必有一列元素全为0 B．必有两列元素成比例C．必有一列向量是其余列向量的线性组合D．任一列向量是其余列向量的线性组合５．对任意n阶方阵A、B总有（）A.AB=BAB.|AB|=|BA|TTT222C.(AB)=ABD.(AB)=AB ６、设n阶方阵A、B、C满足关系式ABC=En，则必有（）（A）ACB=En (B)BCA=En (C)CBA=En (D)BAC=En ７、设有m维向量组(I)： 1, 2, , n，则（）A.当m<n时，(I)一定线性相关B.当m>n时，(I)一定线性相关C.当m<n时，(I)一定线性无关D.当m>n时，(I)一定线性相关８．设A是m n矩阵，则齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件是（）A.A的行向量组线性无关 B.A的行向量组线性相关 C.A的列向量组线性无关 D.A的列向量组线性相关-1９．设A是3阶方阵，且|A|=-2，则|A|等于（）习题A.-2B.11C. 22D.2* 1１０．设A,B均是n阶方阵， 2,B 3，则2AB （）2n 122n 12n 12nn2 （A）（B）( 1) （C）（D） 333 3（A是A的伴随矩阵）*1 111 的秩为2，则 =（）１１．设矩阵A= 1223 1A.2C.0B.1 D.-1１２．设A是三阶矩阵，有特征值1，-1，2，则下列矩阵中可逆矩阵是（） A. E-A B. E+A C. 2E-A D. 2E+A222１３．二次型f(x1,x2,x3) x1 3x2 4x3 6x1x2 10x2x3的矩阵是（ C ）A. 330 50 4 130C. 335 05 4160B. 0310 00 4 0 16 D. 6310 010 4二、填空题（每小题4分，共20分）012１．行列式123的值为 .234２、=x+1 -1 1 -13.设A 022x123 4 1,已知矩阵A的秩r(A)=2,则x４．已知A 2A 2E 0,则(A E) (其中E是n阶单位阵)习题1 1 0 1５、初等矩阵A 0 1 0 ,A0 0 100F６．设 A G13G24H2I, 则 A0JJ0K等于1 1 1 11 1 1 1 ,A的非零特征值为７、A1 1 1 1 1 1 1 1T８、向量组 1 1 -1 2 4 , 2 (0 3 1 2),T3 (3 0 7 14)T，4 (1 -1 2 0)T,5 (2 1 5 6)T的秩为。
线性代数试题及答案### 线性代数试题及答案#### 一、选择题1. 题目：设矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3\end{bmatrix} \)，矩阵 \( A \) 的行列式值是：- A. -1- B. 1- C. 5- D. 6答案：B2. 题目：线性空间 \( V \) 的基 \( B \) 包含 3 个向量，那么\( V \) 的维数是：- A. 1- B. 2- C. 3- D. 4答案：C3. 题目：若 \( \mathbf{u} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2\end{bmatrix} \) 和 \( \mathbf{v} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix} \)，则 \( \mathbf{u} \) 和 \( \mathbf{v} \) 的点积是：- A. 11- B. 7- C. 8- D. 14答案：B#### 二、简答题1. 题目：解释什么是矩阵的秩，并给出一个 3x3 矩阵的例子，计算其秩。
答案：矩阵的秩是指矩阵中线性独立行或列的最大数目。
对于一个 3x3 矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{bmatrix} \)，通过行简化或列简化，我们可以发现矩阵 \( A \) 中有两个线性独立的行（或列），因此其秩为 2。
2. 题目：线性变换 \( T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2 \) 由矩阵 \( A \) 表示，其中 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} \)。
（完整版）线性代数习题集带答案第一部分专项同步练习第一章行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n (C)k n 2! (D)k n n 2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.(A) 0 (B)2 n (C) )!2( n (D) )!1( n4．001001001001000( ).(A) 0 (B)1 (C) 1 (D) 25.001100000100100( ).(A) 0 (B)1 (C) 1 (D) 26．在函数1323211112)(x x xxx f中3x 项的系数是( ).(A) 0 (B)1 (C) 1 (D) 27. 若21333231232221131211 a a a a a a a a a D ，则 323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4 (C) 2 (D) 2 8．若a a a a a 22211211，则21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka (C)a k 2 (D)a k 29．已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4 , 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2 , 则 x ( ).(A) 0 (B)3 (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)011. 若2235001011110403D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)012. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组00321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)0二、填空题1. n 2阶排列)12(13)2(24 n n 的逆序数是.2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.3．四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是.4．若一个n 阶行列式中至少有12 n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于.5. 行列式100111010100111.6．行列式100002000010n n .7．行列式01)1(2211)1(111n n n n a a a a a a .8．如果M a a a a a a a a a D 333231232221131211，则 323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为.10．行列式1111111111111111x x x x .11．n 阶行列式111111111.12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.13．设行列式5678123487654321D ，j A 4)4,3,2,1( j 为D 中第四行元的代数余子式，则44434241234A A A A .14．已知db c a cc a b b a b c a cb a D， D 中第四列元的代数余子式的和为.15．设行列式62211765144334321D ，j A 4为)4,3,2,1(4 j a j 的代数余子式，则4241A A ，4443A A .16．已知行列式nn D10301002112531 ，D 中第一行元的代数余子式的和为.17．齐次线性方程组02023211321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是. 18．若齐次线性方程组230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.三、计算题1.cb a db a dc a dc bd c b a d c ba d cb a33332222; 2．yxyx x y x y y x y x ；3．解方程0011011101110 x x xx ； 4．1111111321221221221 n n n n a a a a x a a a a x a a a a x a a a a x；5. na a a a111111111111210(n j a j ,,1,0,1 )； 6. bn b b)1(1111211111311117. n a b b b a a b b a a a b321222111111111； 8．xa a a a xa a a a x a a a a x n nn321212121;9.2212221212121111nn n nn x x x x x x x x x x x x x x x ; 10.211200000210001210001211．aa a a a a aa a D110001100011000110001.四、证明题1．设1 abcd ，证明：011111111111122222222dddd c c c c b b b b a a a a . 2．3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a x b a .3．))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b adc b a .4．nj i i jni in nn nn n n n nna aa a a a a a a a a a a a a 1121222212222121)(111.5．设c b a ,,两两不等，证明0111333 c b a c ba 的充要条件是0 cb a .参考答案一．单项选择题A D A C C D ABCD B B 二．填空题1.n ;2.”“ ;3.43312214a a a a ;4.0;5.0;6.!)1(1n n ;7.1)1(212)1()1(n n n n n a a a ; 8.M 3 ; 9.160 ; 10.4x ; 11.1)( n n ; 12.2 ;13.0; 14.0; 15.9,12 ; 16.)11(!1 nk k n ; 17.3,2 k ; 18.7 k三．计算题1．))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ； 2. )(233y x ； 3. 1,0,2 x ; 4.1)(n k kax5.)111()1(00nk k nk k a a ; 6. ))2(()1)(2(b n b b ;7. nk k kna b1)()1(; 8. nk k nk k a x a x 11)()(;9. nk k x 11; 10. 1 n ;11. )1)(1(42a a a . 四. 证明题 (略)第二章矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( )。
2、题型：综合题3、难度级别：34、知识点：第三章 矩阵的初等变换与线性方程组5、分值：106、所需时间：10分钟7、试题关键字：矩阵的初等变换 8、试题内容：设,A B 为两个同型矩阵，试证：,A B 的秩满足()()R A R B =是A 与B 等价的充分必要条件.9、答案内容： 证明:()()()()()()()()12121122111221.,..,,,,.~~rr n r n r r n r n r r r n r n r r n r n r A B E F E B F P P Q Q P AQ P BQ A P P BQ Q ⨯--⨯-⨯-⨯--⨯-⨯---⇒⨯O ⎛⎫= ⎪O O ⎝⎭O ⎛⎫= ⎪O O ⎝⎭∴==rc r c 必要性与等价则存在可逆矩阵P,Q,使PAQ=B R(A)=R(B).充分性.设A,B 为m n 矩阵,R(A)=R(B)=r.则A 存在可逆矩阵使即.A B ⇒与等价10、评分细则：由题设()()PAQ B R A R B =⇒=(2分);将A 经初等变换化为标准形(2分) 将B 经初等变换化为标准形(2分);得出11221122,,,,P AQ P BQ P Q P Q =均可逆(2分);所以得出A 与B 等价(2分)._____________________________________________________________________________ 1、试题序号：347 2、题型：综合题 3、难度级别：44、知识点：第三章 矩阵的初等变换与线性方程组5、分值：106、所需时间：12分钟7、试题关键字：方程组的解与矩阵的秩 8、试题内容：已知四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，123,,ααα是其解，且()()12231,1,0,2,1,0,1,3T Tαααα+=+=，求方程组的通解.9、答案内容： 解:412231312231223.() 3.0.()0.()(0,1,1,1)0,(0,1,1,1)0.111115()(2,1,1,5)(,,,)442444.12141454s T T T T A x b R A Ax Ax Ax Ax b Ax b αααααααααααααα⨯===+-+=-=+-+=--≠∴--=+++===⎛ ∴=⎝设方程组为对于其基础解系含4-3=1个解.是的解可以作为的一个基础解系为的一个解的通解为01,.11c c ⎫⎪⎪⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎪+ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪ ⎪⎭为任意数 10、评分细则：由题设说明0Ax =的基础解系含一个解向量(2分);()122313αααααα+-+=-是0Ax =的一个解(2分);说明13αα-可以作为0Ax = 的一个基础解系(2分);说明()123414αααα+++为Ax b =的一个解(2分);所以得出Ax b =的通解(2分)._____________________________________________________________________________ 1、试题序号：348 2、题型：综合题 3、难度级别：44、知识点：第五章 相似矩阵及二次型5、分值：106、所需时间：15分钟7、试题关键字：初等矩阵及矩阵的相似与合同 8、试题内容：设1111400011110000,1111000011110000A B ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪== ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭试判断A 与B 是否合同，是否相似.若是，则求出使它们合同的矩阵. 9、答案内容：()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()1234:4113112112113114112111010021131141100100001,211101000010000100,40143,T A B E E E E E E B P E E E P P AP BA E R A E R A A λλλλλ------=---⎛⎫ ⎪⎪=---= ⎪ ⎪⎝⎭=---⎛⎫ ⎪⎪∴ ⎪ ⎪⎝⎭-=⇒====-===-∴解与合同且相似.E 12E 12令E 12则可逆且使A 与B 合同的矩阵为且一定可以40000000,.00000000A B ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭对角化即与相似10、评分细则：判断出A 与B 合同且相似(2分);将A 进行初等行变换与列变换化为B 的过程以左乘及右乘初等矩阵的形式写出来(3分);因而写出使A 与B 合同的可逆矩阵P (2分);计算A 的特征值(2分);写出与A 相似的对角矩阵(1分)._____________________________________________________________________________1、试题序号：3492、题型：综合题3、难度级别：44、知识点：第四章 向量组的线性相关性5、分值：106、所需时间：15分钟7、试题关键字：向量组的线性关系与矩阵的秩 8、试题内容：设向量组12:,,,r B b b b L 能由向量组12:,,,s A a a a L 线性表示为()()1212,,,,,,r s b b b a a a K =L L ，其中K 为s r ⨯矩阵，且A 组线性无关.证明B 组线性无关的充分必要条件是()R K r =. 9、答案内容：()()()()()()()()()1212122121212122.,...,,,0..0.,00.,,,.0,,00.,r r r r r r r s R K r R b b b R K r R b b b r R b b b r b b x xb b b x x xx Bx B AK AKx A Kx x a a a S Kx R K r Kx x b =≥=≤∴=⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪====⇒= ⎪⎪⎝⎭∴=∴==∴=⇒=∴L L LL LL Q L Q L 11证充分性则有同时，则b 线行无关.必要性.设令则则有线行无关,R A b ,,r b L 线行无关.10、评分细则：充分性,由题设推出()12,,,r R b b b L r =()R K r ⇒≥,且有()()R K r R K r ≤⇒=(4分).必要性,令()12r B b b b =L ,设0Bx =,则有0AKx =(2分),由题设推出0Kx =0x ⇒=(2分);所以12,,,r b b b K 线性无关(2分)._____________________________________________________________________________ 1、试题序号：350 2、题型：综合题 3、难度级别：34、知识点：第二章 矩阵及其运算5、分值：106、所需时间：8分钟7、试题关键字：可逆矩阵及分块运算 8、试题内容：已知3阶矩阵A 与3维列向量x 满足323A x Ax A x =-,且向量组2,,x Ax A x 线性无关.（1） 记()2,,P x Ax A x =，求3阶矩阵B ，使AP PB =；（2）问A 是否可逆，说明理由. 9、答案内容：2232222()()(3)000()103.011000103.011(2).,,,.0..A x AxA x Ax A xA x AxA xAx A x x Ax A x B AP PB A P P B x Ax Ax P A B A ⇒=-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎛⎫ ⎪∴= ⎪ ⎪-⎝⎭=⇒=∴==∴Q 解:(1)AP=PB =线性无关可逆则不可逆10、评分细则：由题设及矩阵的分块运算法,计算出B (6分);由AP PB A B =⇒=(2分);所以0A B A ==⇒不可逆(2分)._____________________________________________________________________________ 1、试题序号：351 2、题型：综合题 3、难度级别：44、知识点：第三章 矩阵的初等变换与线性方程组5、分值：106、所需时间：12分钟7、试题关键字：方程组的解与矩阵的秩 8、试题内容：设4元非齐次线性方程组Ax b =的系数矩阵A 的秩为3，123,,ηηη是它的3个解向量，且()()1232,3,4,5,1,2,3,4T Tηηη=+=，求该方程组的通解.9、答案内容：1312131131:.() 3.0,2()()0.34200.562334,.4556Ax b R A Ax Ax Ax Ax b c c ηηηηηηηηηη===+-=-+-=-⎛⎫ ⎪- ⎪+-=≠= ⎪- ⎪-⎝⎭-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪∴=+ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭解设方程组为且对于其基础解系只含一个解.为的一个解而可以作为一个基础解系的通解为为任意常数 10、评分细则：由题设推出0Ax =的基础解系含一个解向量(2分);由题设得出0Ax =的一个非零解(2分);说明这非零解可以作为0Ax =的一个基础解系(2分);求出Ax b =的一个解(2分);得出Ax b =的通解(2分)._____________________________________________________________________________ 1、试题序号：352 2、题型：综合题 3、难度级别：44、知识点：第三章 矩阵的初等变换与线性方程组5、分值：106、所需时间：10分钟7、试题关键字：矩阵的秩与方程组的解 8、试题内容：设()()()123123123,,,,,,,,TTTa a ab b bc c c αβγ===，证明三直线11112222:0;0l a x b y c l a x b y c ++==++=；3333:0,l a x b y c ++=其中220,1,2,3i i a b i +≠=，相交于一点的充分必要条件为：向量组,αβ线性无关，而向量组,,αβγ线性相关. 9、答案内容：()()()()11122233333.2,,,2,,,2,;b b c R b R b c b b c R R R R αβαβγαβαβγαβα⎧⎪⇔⎨⎪⎩-⎧⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⇔=-=⎨ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪-⎩⎝⎭⎝⎭⇔=-=⇔==⇔1112223331111122222333证明:a x+b y+c =0三直线交于一点a x+b y+c =0有唯一解a x+b y+c =0a x+b y+c =0a a a x+b y+c =0有唯一解a a a x+b y+c =0a a 线性无关,,βγ线性相关.10、评分细则：由题设得出111222333000a xb yc a x b y c a x b y c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有唯一解(2分)1111122222333332a b a b c R a b R a b c a b a b c -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⇔=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭(2分)()()()()22R R R R αβαβγαβαβγ⇔=-=⇔==(4分),αβ⇔线性无关,,,αβγ线性相关(2分)._____________________________________________________________________________1、试题序号：3532、题型：综合题3、难度级别：44、知识点：第三章 矩阵的初等变换与线性方程组5、分值：106、所需时间：12分钟7、试题关键字：方程组的解与矩阵的秩 8、试题内容：设矩阵()1234,,,A αααα=，其中234,,ααα线性无关，1232ααα=-.向量1234βαααα=-+-，求方程组Ax β=的通解.9、答案内容：()()()()12123412343412342341231234123412123434.11.11,,,2,,,,3,0x xx x x x Ax x x R R A Ax x x x x βααααααααββαααααααααααααααααα⎛⎫⎪ ⎪=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪∴== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭=-⇒===⎛ ⎝Q Q 解：，且为的一个解又线性无关且线性相关则有所以，的基础解系只含一个非零解。
