第五章 相似矩阵与二次型
§5-1 方阵的特征值与特征向量
一、填空题
1.已知四阶方阵A 的特征值为0，1，1，2，则||A E λ-＝
2(1)(2)λλλ--
2.设0是矩阵???
?
? ??=a 01020101A 的特征值，则=a 1
3.已知三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，则2
32B A A =-的特征值为 1,5,8 ；||A ＝ -2 ；A 的对角元之和为 2 . 4.若0是方阵A 的特征值，则A 不可逆。
5. A 是n 阶方阵，||A d =，则*AA 的特征值是,,,d d d ???（共n 个） 二、选择题
1.设1λ，2λ为n 阶矩阵A 的特征值，1ξ，2ξ分别是A 的属于特征值1λ，2λ的特征向量，则（ D ） （A ）当1λ=2λ时，1ξ，2ξ必成比例 （B ）当1λ=2λ时，1ξ，2ξ必不成比例 （C ）当1λ≠2λ时，1ξ，2ξ必成比例 （D ）当1λ≠2λ时，1ξ，2ξ必不成比例
2.设a=2是可逆矩阵A 的一个特征值，则1
A -有一个特征值等于
（ C ）
A 、2；
B 、-2;
C 、
12; D 、-1
2
; 3.零为方阵A 的特征值是A 不可逆的（ B ）
A 、充分条件；
B 、充要条件;
C 、必要条件;
D 、无关条件;
三、求下列矩阵的特征值和特征向量 1.1221A ??
=
???
解：A 的特征多项式为12(3)(1)2
1A E λλλλλ
--==-+-
故A 的特征值为123,1λλ==-.
当13λ=时，解方程()30A E x -=.
由221132200r
A E --????
-= ? ?-????
:
得基础解系111p ??
= ???
，故1(0)kp k ≠是13λ=的全部特征向量.
当21λ=-时，解方程()0A E x +=.由22112200r A E ????
+= ? ?????
:
得基础解系211p -??
= ???
，故2(0)kP k ≠是21λ=-的全部特征向量.
2.100020012B ?? ?= ? ???
解：B 的特征多项式为
2100020(1)(2)0
1
2B E λ
λλλλλ
--=
-=---
故B 的特征值为1231,2λλλ===. 当11λ=时，解方程()0B E x -=.
由000010010001011000r B E ????
? ?
-= ? ? ? ?????
:
得基础解系1100p ?? ?
= ? ???
，故1(0)kp k ≠是11λ=的全部特征向量.
当232λλ==时，解方程()20B E x -=.
由1001002000010010000r
B E -???? ? ?-= ? ? ? ?????:得基础解系2001p ??
?
= ?
???
，
故2(0)kp k ≠是232λλ==的全部特征向量.
四、设α为n 维非零列向量，证明：α是矩阵T
αα的特征向量， 并求α对应的特征值.
证明：因为()(),
0T
T
T
αααααααααα==≠；
所以，α是矩阵T
αα的特征向量，α对应的特征值为T αα。
五、设A 为n 阶方阵，
1.当2A E =时，求A 的特征值；
2.当m
A O =时，求A 的特征值，其中m 为正整数. 证明：1. 设A 的特征值为λ，则,0Ax x x λ=≠， 所以，2
2
()()(),0A x A Ax A x Ax x x λλλ====≠
又因为2
A E =，所以，2
2
,011x x x λλλ=≠?=?=±
即当2
A E =时，A 的特征值为1或-1。 2. 设A 的特征值为λ，则,0Ax x x λ=≠， 所以，1
11()(),0m
m m m m A x A
Ax A x A x x x λλλ---=====≠L
又因为m
A O =，所以，0,000m
m
x x λλλ=≠?=?=
即当m A O =时，A 的特征值为0。
§5-2相似矩阵
§5-3对称矩阵的相似矩阵
一、填空题
1.若ξ是矩阵A 的特征向量，则 1
P ξ- 是1P AP -的特征向量. 2.若A,B 相似，则||||A B -= 0
3.已知20000101A x ?? ?= ? ???与20000001B y ?? ?
= ? ?-??
相似，则x = 0 ，
y = 1
4.若λ是A 的k 重特征根，则必有k 个相应于λ的线性无关的特征向量 不对 （对，不对）；如果A 是实对称矩阵，则结论 对（对，
不对）.
二、选择题
1.n 阶方阵A 相似于对角阵的充分必要条件是A 有n 个（ C ） （A ）互不相同的特征值； （B ）互不相同的特征向量； （C ）线性无关的特征向量； （D ）两两正交的特征向量.
2.方阵A 与B 相似，则必有（ B D ）
（A ）E A E B λλ-=- （B ）A 与B 有相同的特征值 （C ）A 与B 有相同的特征向量 （D ）A 与B 有相同的秩 3. A 为n 阶实对称矩阵，则（ ACD ）
（A ）属于不同特征值的特征向量必定正交； （B ） ||0A >
（C ）A 必有n 个两两正交的特征向量； （D ）A 的特征值均为实数.
三、设100021012A ?? ?= ? ???
，试求一个可逆矩阵P 使得1
P AP -为对角阵，
并求m
A .
解：先求A 的特征值和特征向量.
21000
21(1)(3)0
1
2E A λλλλλλ
--=-=---
故A 的所有特征值为1233,1λλλ===. 当13λ=时，解方程()30A E x -=.
2001003011011011000r
A E -????
? ?-=-- ? ? ? ?-????
:
令1011ξ??
?
= ? ???
，则1ξ即为对应于13λ=的特征向量.
当231λλ==时，解方程()0A E x -=.
000000011011011000r A E ???? ? ?
-= ? ? ? ?????
:
令23100,101ξξ???? ? ?
==- ? ? ? ?????，则23,ξξ为231λλ==的特征向量.
显然，123,,ξξξ线性无关.令()123010,,101101P ξξξ??
?
==- ? ???
，则
010********/21/2(|)10101001010010100100101/21/2P E ??
??
?
?=- ? ? ? ?-??
??
:
101/21/210001/21/2P -??
?= ?
?-??
11131110013130
22131302
2m
m m m m
m P AP A P P A P P ---??
?
=Λ= ?
???
?
? ?
?
+-+ ??=Λ?=Λ= ?
?-++ ?
??
?
（或:
令3
12
123
123
00
1
1/,0,1/ ||||||||||||
1/1/ p p p
ξ
ξξ
ξξξ
????
??
?
======-
?
?
?
??
???
令()
123
,,
P p p p
=，则1T
P P
-=所以，。。。）
四、三阶实对称矩阵A的特征值为0，2，2，又相应于特征值0的
特征向量为
1
1
1
1
p
??
?
= ?
?
??
，求出相应于2的全部特征向量.
解：因为A为三阶实对称矩阵，故A有三个线性无关的特征向量，且对应于不同特征值的特征向量两两正交.
已知对应于
1
λ=的特征向量为
1
p，设对应于
23
2
λλ
==的特征向
量为
23
,
p p，则
1213
0,0
T T
p p p p
==.即
23
,
p p为齐次线性方程组1
T
p x=的两个线性无关的解.由
1
T
p x=得
123
x x x
++=
取
23
11
1,0
01
p p
--
????
? ?
==
? ?
? ?
????
，则
23
,
p p即为
23
2
λλ
==的特征向量.
令
2233
k p k p
ξ=+（
23
,
k k不全为零）为对应于
23
2
λλ
==的全部特征向量.
五、设三阶方阵A的特征值为123
1,0,1
λλλ
===-，对应的特征
向量分别为
123
122
2,2,1
212
p p p
-
??????
? ? ?
==-=-
? ? ?
? ? ?
??????
，求矩阵A.
解：因为
123
λλλ
≠≠，故A可对角化，且
123
,,
λλλ所对应的特征向
量
123
,,
p p p线性无关.
由特征值定义，
()()
111222333
123112233
,,
,,,,
Ap p Ap p Ap p
A p p p p p p
λλλ
λλλ
===
?=
()()11231232
3,,,,A p p p p p p λλλ??
??= ? ??
?
， 令()123,,P p p p =1
AP P A P P -?=Λ?=Λ 由
()12
2133122122100
12|2210000100
33212212001
22033221331
20
332203
3r
P E P -??
-- ???
? ? ?=- ? ? ? ?---??
? ???
??-- ?
? ??= ? ? ?
???
:
故
1
112
310122133102102121201001233320222022033A P P P P
λλλ--???? ? ?== ? ? ? ?-?
?????-- ?-???? ?
? ? ?== ? ? ? ? ?- ????? ?
???
§5-4 二次型及其标准形
§5-5 用配方法化二次型为标准形 §5-6 正定二次型
一、填空题
1.2
2
(,)22f x y x xy y x =+++是不是二次型？答： 不是 2.123121323(,,)422f x x x x x x x x x =-++的秩是 3 ；秩表示标准形中 平方项 的个数.
3.设21101000A k k ?? ?
= ? ???
，A 为正定矩阵，则k 1>.
二、单项选择题
1.设10
021
0,2005A ??
-???
???=??????
????则与A 合同的矩阵是（ B ）
。 （A ）100020001????-????-?? （B ）300020005??
??????-?? （C ）100010001-????-????-?? （D ）200020001??????????
2.二次型f x Ax T
=为正定二次型的充要条件是（D ）。 （A ）0A > （B ）负惯性指数为0 （C ）A 的所有对角元0ii a > （D ）A 合同于单位阵E
3.当(,,)a b c 满足（ C ）时，二次型
222
12312313(,,)2f x x x ax bx ax cx x =+++为正定二次型。
（A ）0,0a b c >+> （B ）0,0a b >> （C ）,0a c b >> （D ）,0a c b >>
三、设212312331001(,,)(,,)300430x f x x x x x x x x ???? ?
?= ? ? ? ?????
1.求二次型123(,,)f x x x 所对应的矩阵A .
2.求正交变换x Py =，将二次型化为标准形.
解：1.
212312331223313122222331112323001(,,)(,,)300430(34,3,)343100(,,)032023x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ???? ???
= ???
???????
?? ?
=+ ?
?
??
=+++???? ???
= ???
???????
故二次型123(,,)f x x x 所对应的矩阵100032023A ??
?
= ? ???
.
2. 问题可转化为求正交矩阵P ，将A 化为对角形.
2100032(1)(5)0
2
3A E λ
λλλλλ
--=
-=---
故A 的特征值为1231,5λλλ===. 当121λλ==时，解方程()0A E x -=.
000011022000022000r A E ????
? ?
-= ? ? ? ?????
:.
取12100,101ξξ???? ? ?
==- ? ? ? ?????
，则12,ξξ即为121λλ==的特征向量.
显然，12,ξξ正交.将12,ξξ单位化得
121212010,1/01/p p ξξξξ????
?
====- ? ? ?????
当35λ=时，解方程()50A E x -=.
4001005022011022000r
A E -????
? ?-=-- ? ? ? ?-????
:
. 取3011ξ??
?
= ? ???
，则3ξ即为对应于35λ=的特征向量.
将3ξ
单位化得33301/1/p ξ
ξ?? == ?.
令()123,,P p p p =，则1115T
P AP P AP -?? ?== ? ???
. 故123(,,)f x x x 的标准形为222
1235y y y ++.
四、已知,A B 都是n 阶正定矩阵，求证A B +的特征值全部大于零. 证明：因为,A B 都为n 阶正定矩阵，则对任意n 维列向量0x ≠， 有()0,00T
T
T
x Ax x Bx x
A B x >>?+>.即A B +是正定矩阵.
故A B +的特征值全部大于零.
五、已知A 为n 阶正定矩阵，证明||1A E +>. 证明：因为A 为n 阶正定矩阵， 所以A 的所有特征值：12,,,n λλλL 都大于零。
设A+E 的特征值为12,,,n μμμL ，
而|
||(1)|i i A E E A E μμ+-=--,所以1i i λμ=-， 则10i i μλ=+>，所以12||1n A E μμμ+=>L 。
第五章 相似矩阵及二次型 一、 是非题（正确打√，错误打×） 1．若线性无关向量组r αα,,1 用施密特法正交化为r ββ,,1 则对任何),1(r k k ≤≤向量组k αα,,1 与向量组r ββ,,1 等价. ( √ ) 2. 若向量组r αα,,1 两两正交,则r αα,,1 线性无关. ( √ ) 3.n 阶正交阵A 的n 个行(列)向量构成向量空间n R 的一个规范正交基. ( √ ) 4.若A 和B 都是正交阵,则AB 也是正交阵. ( √ ) 5.若A 是正交阵, Ax y =,则x y =. ( √ ) 6．若112???=n n n n x x A ，则2是n n A ?的一个特征值. ( × ) 7.方阵A 的特征向量只能对应唯一的特征值,反之亦成立. ( × ) 8.n 阶矩阵A 在复数范围内有n 个不同的特征值. ( × ) 9. 矩阵A 有零特征值的充要条件是0=A . ( √ ) 10.若λ是A 的特征值,则)(λf 是)(A f 的特征值(其中)(λf 是λ的多项式). ( √ ) 11.设1λ和)(212λλλ≠是A 的特征值, 1x 和2x 为对应特征向量,则21x x +也是A 的特征向量. ( × ) 12. T A 与A 的特征值相同. ( √ ) 13.n 阶矩阵A 有n 个不同特征值是A 与对角矩阵相似的充分必要条件. ( × )
14.若有可逆矩阵P ,使n 阶矩阵A ,B 满足: B PAP =-1,则A 与B 有相同的特征值. ( √ ) 15.两个对角矩阵的对角元素相同,仅排列位置不同,则这两个对角矩阵相似. ( √ ) 16.设n 阶矩阵A ,B 均与对角阵相似且有相同的特征值,则A 与B 相似. ( √ ) 17．实对称矩阵A 的非零特征值的个数等于它的秩. ( √ ) 18. 若k ααα,,,21 线性无关且都是A 的特征向量，则将它们先正交化，再单位化后仍为A 的特征向量. ( √ ) 19.实对称阵A 与对角阵Λ相似Λ=-AP P 1，这里P 必须是正交阵 。 ( × ) 20．已知A 为n 阶矩阵，x 为n 维列向量，如果A 不对称，则Ax x T 不是二次型. ( √ ) 21.任一实对称矩阵合同于一对角矩阵。 ( √ ) 22．二次型 Ax x x x x f T n =),,,(21 在正交变换Py x =下一定化为 标准型. ( × ) 23.任给二次型 Ax x x x x f T n =),,,(21 ，总有正交变换Py x =，使f 化 为规范型。 ( × )
第五章课后习题及解答 1. 求下列矩阵的特征值和特征向量： (1) ;1332??? ? ??-- 解：,0731332 2=--=--=-λλλλλA I 2 373,237321-=+=λλ ,00133637123712137 1??? ? ??→→???? ??=-++- A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T - 因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()371,6(11≠-k k T ,001336371237123712??? ? ??→→???? ??-=---+ A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T +
因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()371,6(22≠+k k T (2) ;211102113???? ? ??-- 解：2)2)(1(2 111211 3--==------=-λλλλ λλ A I 所以，特征值为：11=λ(单根)，22=λ(二重根) ???? ? ??-→→????? ??------=-0001100011111121121 A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,1,0(T 因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()1,1,0(11≠k k T ???? ? ??-→→????? ??-----=-0001000110111221112 A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)0,1,1(T 因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()0,1,1(22≠k k T
若行列式，则_____.(5 (A) : (B) : (C) : (D) :对任意同阶方阵，下列说法正确的是_____.(5分) (A) : (B) : (C) : (D) : C 设可逆，则的解是_____.(5) (A) : (B) : (C) : 参考答案：B 若阶方阵不可逆，则必有 (A) : 为的一个特征值 秩 (D) : 参考答案：B 1. ，，且，则___(1)___ .(5 (1).参考答案:-4 2. 阶方阵的个特征值互不相同是与对角矩阵相似的 (1).参考答案:充分 计算行列式：. (10 参考答案：先提出各列的公因子，再利用展开法则得到 原式. 解矩阵方程，求，其中.(10 参考答案：解答 ,
3. 设阶方阵 满足关系式 ，证明 可逆，并写出的表达式.(10分 ) 4. 论线性方程组的解的结构与计算 无论是在科学研究领域，还是在工程技术应用中，大量的问题可以归结为线性方程组的求解，因此研究线性方程组的求解问题是线性代数的一个重要内容. （1）请描述齐次线性方程组AX=0的解的结构定理 (即什么条件下只有唯一的零解？什么条件下有无穷多组非零解，此时的非零解由什么组成？) （2）请描述非齐次线性方程组AX=b 的解的结构定理 ( 即利用系数矩阵与增广矩阵的秩的关系，给出在:什么条件下无解？什么条件下有唯一解？什么条件下有无穷多组解，此时的解由哪两部分组成？) （3）请利用齐次线性方程组与非齐次线性方程组的解的结构定理讨论：若齐次线性方程组AX=0有无穷多组解，则非齐次线性方程组AX=b 是否也必有无穷多组解？(15分) 5. 论特征值与特征向量 (1) 设A 为n 阶方阵，是A 的特征值，x 是A 的关于 的特征向量，则A 、、x 必须满足什么条件 ？应如何求得？(2) n 阶方阵A 必有n 个特征值:，则这n 个特征值必须满足哪两条性质？ (3) 两个n 阶方阵A 与B 相似的定义是什么？它们的特征值之间有什么关系？方阵A 与一个对角矩阵相似通常需要满足哪些条件(条件不止 1个，任意写出1条即可）？(20分) 解题思路：参考答案：因为 ，通过移项与提取公因子得从而由可逆定义知 可逆，并且.解题思路：参考答案： （1）设有ｎ元齐次线性方程组AX ＝0 ，则它的解的结构定理是： 当秩R(A)＝ｎ时，方程组只有唯一的零解; 当秩R(A)＝ｒ＜ｎ时，方程组有无穷多组非零解. 此时所有的解构成解空间，解空间中存在着ｎ－ｒ个线性无关的解向量，构成基础解系，方程组中的每一个解均可表为基础解系的一个线性组合. （2）对于ｎ元非齐次线性方程组AX ＝ｂ而言：当系数矩阵的秩R(A)＝增广矩阵的秩R(A ｂ)时，方程组有解；当R(A)≠R(A ｂ)时，方程组无解. 且R(A)＝R(A ｂ)＝ｎ时有惟一解，R(A)＝R(A ｂ)＜ｎ时有无穷多解；此时AX ＝ｂ的通解由齐次通解与非齐次特解相加构成. （3）答案是不一定必有无穷多组解. 由解的结构定理可知，AX ＝0有无穷多解，则其秩必有R(A)＝ｒ＜ｎ，但仅此并不能保证AX ＝ｂ有无穷多组解，因为不能保证R(A)＝R(A ｂ)，所以非齐次线性方程AX ＝ｂ也可能无解. 解题思路：由线性方程组的解的结构定理，描述及应用 参考答案：解答要点 (1)特征值与特征值向量必须满足关系式 ；并且是通过解特征多项式求出所 有的特征值，通过解线性方程组求出所有的特征向量；(2) 阶方阵必有个特征值，这个特征值必须满足两条性质: ① ，②。 (3) 两个n 阶方阵A 与B 相似的定义是：如果存在n 阶可逆矩阵P ，使得（P 逆）AP =B ，则称A 与B 相似。相似矩阵有相同的特征值。相似对角化的条件不止一条，例如：矩阵A 的n 个特征向量线性无关，是A 与对角矩阵相似的充分必要条件。矩阵A 的n 个特征值互不相等，是A 与对角矩阵相似的充分条件。实对称矩阵一定与对角矩阵相似。等等（答出任意一个即可） 解题思路：
第五章 相似矩阵与二次型 §5-1 方阵的特征值与特征向量 一、填空题 1.已知四阶方阵A 的特征值为0，1，1，2，则||A E λ-＝ 2(1)(2)λλλ-- 2.设0是矩阵??? ? ? ??=a 01020101A 的特征值，则=a 1 3.已知三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，则2 32B A A =-的特征值为 1,5,8 ；||A ＝ -2 ；A 的对角元之和为 2 . 4.若0是方阵A 的特征值，则A 不可逆。 5. A 是n 阶方阵，||A d =，则*AA 的特征值是,,,d d d ???（共n 个） 二、选择题 1.设1λ，2λ为n 阶矩阵A 的特征值，1ξ，2ξ分别是A 的属于特征值1λ，2λ的特征向量，则（ D ） （A ）当1λ=2λ时，1ξ，2ξ必成比例 （B ）当1λ=2λ时，1ξ，2ξ必不成比例 （C ）当1λ≠2λ时，1ξ，2ξ必成比例 （D ）当1λ≠2λ时，1ξ，2ξ必不成比例 2.设a=2是可逆矩阵A 的一个特征值，则1 A -有一个特征值等于 （ C ） A 、2； B 、-2; C 、 12; D 、-1 2 ; 3.零为方阵A 的特征值是A 不可逆的（ B ） A 、充分条件； B 、充要条件; C 、必要条件; D 、无关条件;
三、求下列矩阵的特征值和特征向量 1.1221A ?? = ??? 解：A 的特征多项式为12(3)(1)2 1A E λλλλλ --==-+- 故A 的特征值为123,1λλ==-. 当13λ=时，解方程()30A E x -=. 由221132200r A E --???? -= ? ?-???? : 得基础解系111p ?? = ??? ，故1(0)kp k ≠是13λ=的全部特征向量. 当21λ=-时，解方程()0A E x +=.由22112200r A E ???? += ? ????? : 得基础解系211p -?? = ??? ，故2(0)kP k ≠是21λ=-的全部特征向量. 2.100020012B ?? ?= ? ??? 解：B 的特征多项式为 2100020(1)(2)0 1 2B E λ λλλλλ --= -=--- 故B 的特征值为1231,2λλλ===. 当11λ=时，解方程()0B E x -=. 由000010010001011000r B E ???? ? ? -= ? ? ? ????? :
第一章行列式 1利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1) 解 2(4)30(1)(1)118 0132(1)81(4)(1) 2481644 (2) 解 acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a3b3c3 (3) 解 bc2ca2ab2ac2ba2cb2
(a b)(b c)(c a) (4) 解 x(x y)y yx(x y)(x y)yx y3(x y)3x3 3xy(x y)y33x2y x3y3x3 2(x3y3) 2按自然数从小到大为标准次序求下列各排列的逆序数 (1)1 2 3 4 解逆序数为0 (2)4 1 3 2 解逆序数为441 43 42 32 (3)3 4 2 1 解逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n) 解逆序数为 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个)
7 2 7 4 7 6(3个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) 4 2(1个) 6 2 6 4(2个) (2n)2 (2n)4 (2n)6 (2n)(2n2) (n1个) 3写出四阶行列式中含有因子a11a23的项 解含因子a11a23的项的一般形式为 (1)t a11a23a3r a4s 其中rs是2和4构成的排列这种排列共有两个即24和42所以含因子a11a23的项分别是 (1)t a11a23a32a44(1)1a11a23a32a44a11a23a32a44 (1)t a11a23a34a42(1)2a11a23a34a42a11a23a34a42 4计算下列各行列式
第五章 相似矩阵及二次型 1. 试用施密特法把下列向量组正交化: (1)??? ? ??=931421111) , ,(321a a a ; 解 根据施密特正交化方法, ??? ? ??==11111a b , ??? ? ?? -=-=101] ,[],[1112122b b b a b a b , ? ?? ? ??-=--=12131],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b . (2)??? ? ? ??---=011101110111) , ,(321a a a . 解 根据施密特正交化方法, ??? ? ? ??-==110111a b , ? ???? ??-=-=123131],[],[1112122b b b a b a b , ? ??? ? ??-=--=433151],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b .
2. 下列矩阵是不是正交阵: (1)?????? ? ??-- -1 21312112131211; 解 此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵. (2)???? ?? ? ??---- --979494949198949891. 解 该方阵每一个行向量均是单位向量, 且两两正交, 故为正交阵. 3. 设x 为n 维列向量, x T x =1, 令H =E -2xx T , 证明H 是对称的正交阵. 证明 因为 H T =(E -2xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(x T )T x T =E -2xx T , 所以H 是对称矩阵. 因为 H T H =HH =(E -2xx T )(E -2xx T ) =E -2xx T -2xx T +(2xx T )(2xx T ) =E -4xx T +4x (x T x )x T =E -4xx T +4xx T =E , 所以H 是正交矩阵. 4. 设A 与B 都是n 阶正交阵, 证明AB 也是正交阵. 证明 因为A , B 是n 阶正交阵, 故A -1=A T , B -1=B T , (AB )T (AB )=B T A T AB =B -1A -1AB =E ,
第一章 行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3811 411 02--- 解 3 811411 02--- 2(4)30(1)(1)118 0 132(1)8 1( 4) (1) 248164 4 (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3b 3c 3 (3)2 221 11c b a c b a
解 2 221 11c b a c b a bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2 (a b )(b c )(c a ) (4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x (x y )y yx (x y )(x y )yx y 3(x y )3x 3 3xy (x y )y 33x 2 y x 3y 3x 3 2(x 3 y 3) 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆 序数 (1)1 2 3 4 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2 解 逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1
解逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n) 解逆序数为 2)1 ( n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6
第四章 向量组的线性相关性 1. 设v 1=(1, 1, 0)T , v 2=(0, 1, 1)T , v 3=(3, 4, 0)T , 求v 1-v 2及3v 1+2v 2-v 3. 解 v 1-v 2=(1, 1, 0)T -(0, 1, 1)T =(1-0, 1-1, 0-1)T =(1, 0, -1)T . 3v 1+2v 2-v 3=3(1, 1, 0)T +2(0, 1, 1)T -(3, 4, 0)T =(3?1+2?0-3, 3?1+2?1-4, 3?0+2?1-0)T =(0, 1, 2)T . 2. 设3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a ), 求a , 其中a 1=(2, 5, 1, 3)T , a 2=(10, 1, 5, 10)T , a 3=(4, 1, -1, 1)T . 解 由3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a )整理得 )523(6 1 321a a a a -+= ])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(3[61 T T T --+= =(1, 2, 3, 4)T . 3. 已知向量组 A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ; B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示. 证明 由 ????? ??-=3121 23111012421301 402230) ,(B A ??? ? ? ??-------971820751610402230 421301 ~r ???? ? ? ?------531400251552000751610 421301 ~r ??? ? ? ? ?-----000000531400751610 421301 ~r 知R (A )=R (A , B )=3, 所以B 组能由A 组线性表示.
第五章作业参考答案 5-2试证：()()()1231,1,0,2,1,3,3,1,2T T T ααα=-== 是3R 的一组基，并求向量()()125,0,7,9,8,13T T v v ==--- 在这组基之下的坐标。 证明：要证123,,ααα 线性无关，即证满足方程1122330k k k ααα++= 的123,,k k k 只能均是0.联立方程得 1231232 32300320k k k k k k k k ++=?? -++=??+=? 计算此方程系数的行列式123 1116003 2 -=-≠ 故该方程只有零解，即1230k k k ===，因此，123,,ααα 是3R 的一组基 设1v 在这组基下的坐标为()123,,x x x ，2v 在这组基下的坐标为()123,,y y y ，由已知得 ()()1111232 212323 3,,,,,x y v x v y x y αααααα???? ? ? == ? ? ? ? ???? 代入易解得112233233,312x y x y x y ???????? ? ? ? ?==- ? ? ? ? ? ? ? ?--????????即为1v ，2v 在这组基下的坐标。 5-5设()()()1,2,1,1,2,3,1,1,1,1,2,2T T T αβγ=-=-=--- ，求： （1 ）,,,αβαγ 及,,αβγ 的范数；（2）与,,αβγ 都正交的所有向量。 解（1 ）,1223111(1)6αβ=?+?-?+?-= ()()(),112112 121 αγ=?-+?--?-+?= α= = β== γ= = （2）设与,,αβγ 都正交的向量为()1234,,,T x x x x x =，则 123412341234,20 ,230,220x x x x x x x x x x x x x x x αβγ?=+-+=??=++-=??=---+=?? 解得1 43243334 4 5533x x x x x x x x x x =-?? =-+?? =??=? 令340,1x x ==得()()1234,,,5,3,0,1x x x x =- 令341,0x x ==得()()1234,,,5,3,1,0x x x x =-
1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3811 411 02--- 解 3 811411 02--- 2(4)30(1)(1)118 0 132(1)8 1( 4) (1) 248164 4 (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3b 3c 3 (3)2221 11c b a c b a 解 2 221 11c b a c b a
bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2 (a b )(b c )(c a ) (4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x (x y )y yx (x y )(x y )yx y 3(x y )3x 3 3xy (x y )y 33x 2 y x 3y 3x 3 2(x 3 y 3) 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆 序数 (1)1 2 3 4 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2 解 逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1 解 逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1
(4)2 4 1 3 解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n) 解逆序数为 2)1 ( n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个)
1 习题4.1（线性方程组解的结构） 一、下列齐次线性方程组是否有非零解？ 分析：n 阶方阵A ，AX=0有非零解0()A R A n ?=?<；仅有零解0()A R A n ?≠?= （1）1234123412341 23442020372031260 x x x x x x x x x x x x x x x x -+-=?? --+=??++-=??--+=? ； 解：1142111231 7 21 312 6 A ----= ---21 3241 31142005404540 2 16 8 r r r r r r ---=-------21 054054544544004016 8 2 16 8 2 16 8 r r -= ---=-=-≠-------- 仅有零解。 （2）12451234123453020426340 x x x x x x x x x x x x x +--=?? -+-=?? -++-=? . 分析：n 元齐次线性方程组有非零解()R A n ?≤；仅有零解()R A n ?= 解：()35R A n ≤<=，有非零解（即有无穷多解）。 二、求齐次线性方程组12341234123420 363051050 x x x x x x x x x x x x ++-=?? +--=?? ++-=?的一个基础解系。 解：32 21 12 31 412351 21101 2110120103 61300 04000 0100 510 1 5000 4 000 00r r r r r r r r r A --------=--→-→--?? ???? ?? ???? ????????????? ?? ??? 所以原方程组等价于1243 20 0x x x x +-=??=?（24,x x 可取任意实数） 原方程组的通解为1 122 1342 20x k k x k x x k =-+??=??=??=?（12,k k R ∈）
第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（ C ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（） A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2 η1+ 1 2 η2是Ax=b的一个解 C.η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1-η2是Ax=b的一个解 9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）
线性代数(专升本)阶段性作业1 单选题 1. 若是五阶行列式中带有正号的一项，则之值应为_____。(5分) (A) : (B) : (C) : (D) : 参考答案：C 2. 设六阶行列式，则_____为中带负号的项.(5分) (A) : (B) : (C) : (D) : 参考答案：B 3. 对行列式做_____种变换不改变行列式的值.(5分) (A) 互换两行 (B) 非零数乘某一行 (C) 某行某列互换 (D) 非零数乘某一行加到另外一行 参考答案：D 4. _____是行列式为零的充分条件.(5分) (A) : 零元素的个数大于 (B) : 中各行元素之和为零 (C) : 主对角线上元素全为零 (D) : 次对角线上元素全为零 参考答案：B 5. _____是实行列式非零的充分条件.(4分) (A) : 中所有元素非零
(B) : 中至少有个元素非零 (C) : 中任意两行元素之间不成比例 (D) : 非零行的各元素的代数余子式与对应的元素相等 参考答案：D 6. 设阶行列式，则的必要条件是_____。(4分) (A) : 中有两行（或列）元素对应成比例 (B) : 中有一行（或列）元素全为零 (C) : 中各列元素之和为零 (D) : 以为系数行列式的齐次线性方程组有非零解 参考答案：D 7. 行列式_____。(4分) (A) : (B) (C) : (D) 参考答案：D 8. 四阶行列式_____。(4分) (A) : (B) : (C) :
(D) : 参考答案：D 9. 如果，而，则_ ____。(4分) (A) : (B) : (C) : (D) : 参考答案：B 10. 如果，而，则 _____。(4分) (A) : (B) : (C) : (D) : 参考答案：B 11. 与行列式等值的行列式为_____。(4分) (A) : (B) :
一、选择题（每小题5分，共25分。） 1．已知四阶行列式4D 第一行的元素依次为1，2，－1，－1，它们的余子式为2， -2，1，0，则4 D 的值为【 】A ．3-； B.；5- C.3； D.5. 2．已知n 阶矩阵????? ?? ? ? ?=1. .00... 1. 1. . 101..11A ,则A 的所有元素的代数余子式之和等于 【】A ．0； B ．1；C ．-1； D ．2. 3．设A 是n m ?矩阵，C 是n 阶可逆矩阵，矩阵A 的秩为r ，矩阵AC B =的秩 1r ，则【 】A ．1r r >； B ．1r r <； C ．1r r =； D ．r 与1r 的关系依C 而定. 4．设A 为n m ?矩阵，齐次线性方程组0=Ax 仅有零解的充分必要条件是【】A ．A 的列向量组线 性无关； B ．A 的列向量组线性相关； C ．A 的行向量组线性无关； D 。A 的行向量组线性相关. 5．设λ是n 阶可逆矩阵A 的特征值，ξ是A 的对应于λ的特征向量，P 是n 阶可逆矩阵， 则P A P * 1 -的对应于特征值 λ A 的特征向量是【 】A ．ξ1-P ； B ．ξP ； C ．ξT P ； D ．ξ1)(-T P . 二、填空题（将答案写在该题横线上。每小题5分，共25分。） 1．设B A ,都是n 阶正交矩阵，若0=+B A ，则___________=+B A .2．已知A B AB =-， 其中??? ?? ??-=20001 2021B ，则___________=A .3．已知向量组.,,,4321a a a a 线性无关，若向量组14433221,,,a a a a a a ka a ++++线性相关，则____________ =k . 4． 若线性方程组??? ??=---=+++=+-+b x x x x x ax x x x x x x 2617230324321 43214321无解，则常数b a ,应满足的条件是_____________. 5．若4阶矩阵A 与B 相似，且A 的特征值为1，2，3，4，则矩阵E B -* 的全部特征值为 ___________________. 三 、 计 算 证 明 题 （ 50 分 ） 1 (12 分 ) 求 向 量 组 )1,6,3,1(),3,2,1,1(),4,1,2,1(),5,0,3,1(4321--====a a a a 的一个极大线性无关组和秩. 2．(15分)设A 为三阶实对称矩阵，且满足条件022 =+A A ，已知A 的秩2)(=A r (1)求A 的全部特征值； (2)当k 为何值时，矩阵kE A +为正定矩阵，其中E 为三阶单位矩阵. 3．(15分)已知二次型)0(233232232 22 1>+++=a x ax x x x f 通过正交变换可化为标准形 2 3222152y y y f ++=，求参数a 及所用的正交变换. 4．(8分)设A 是n 阶矩阵，且满足E A =2 ，证明:n E A r E A r =++-)()(.
线性代数重点 第一章 行列式 8. 计算下列各行列式(D k 为k 阶行列式): (1)a a D n 1 1???=, 其中对角线上元素都是a , 未写出的元素 都是0; 解 a a a a a D n 0 1 0 000 00 00 0 00 10 00? ????????????????????????????????=(按第n 行展开) ) 1()1(1 0 000 0 0 00 0 001 0 000)1(-?-+??????????????????????????????-=n n n a a a )1()1(2 )1(-?-????-+n n n a a a n n n n n a a a +? ??-?-=--+) 2)(2(1 )1()1(=a n -a n -2=a n -2(a 2-1). (2)x a a a x a a a x D n ????????????? ????????= ; 解 将第一行乘(-1)分别加到其余各行, 得
a x x a a x x a a x x a a a a x D n --??????????????????--???--???=000 0 00 0 , 再将各列都加到第一列上, 得 a x a x a x a a a a n x D n -??????????????????-???-???-+=0000 0 000 0 )1(=[x +(n -1)a ](x -a )n -1. (3)1 1 1 1 )( )1()( )1(1 1 11???-? ????????-? ?????-???--???-=---+n a a a n a a a n a a a D n n n n n n n ; 解 根据第6题结果, 有 n n n n n n n n n n a a a n a a a n a a a D )( )1()( )1( 11 11)1(1112)1(1-???--?????????-? ?????-???-???-=---++ 此行列式为范德蒙德行列式. ∏≥>≥++++--+--=1 12 )1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D ∏≥>≥++---=112 )1()]([)1(j i n n n j i ∏≥>≥++???+-++-? -?-=1 12 1 )1(2 )1()()1()1(j i n n n n n j i ∏≥>≥+-= 1 1)(j i n j i .
习题四答案 (A) 1． 求下列矩阵的特征值与特征向量: (1) ???? ??--3113 (2) ???? ? ??---122212221 (3) ????? ??----020212022 (4) ???? ? ??--201034011 (5) ????? ??--011102124 (6)???? ? ??----533242 111 解 （1）矩阵A 的特征多项式为 =-A E λ)4)(2(3113 --=--λλλλ， 所以A 的特征值为4,221==λλ． 对于21=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )2(O ，可得它的一个基础解系为)1,1(1=αT ，所以A 的属于特征值2的全部特征向量为)1,1(111k k =αT (01≠k 为任意常数)． 对于42=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )4(O ，可得它的一个基础解 系为)1,1(2-=αT ，所以A 的属于特征值4的全部特征向量为)1,1(222-=k k αT (02≠k 为任意常数)． （2）矩阵A 的特征多项式为
=-A E λ)3)(1)(1(1 22212 2 21--+=------λλλλλλ， 所以A 的特征值为11-=λ，12=λ，33=λ． 对于11-=λ，解对应齐次线性方程组=--X A E )(O ，可得它的一个基础解系为)0,1,1(1-=αT ，所以A 的属于特征值-1的全部特征向量为)0,1,1(111-=k k αT (01≠k 为任意常数)． 对于12=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )(O ，可得它的一个基础解系为)1,1,1(2-=αT ，所以A 的属于特征值1的全部特征向量为)1,1,1(222-=k k αT (02≠k 为任意常数)． 对于33=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )3(O ，可得它的一个基础解系为)1,1,0(3-=αT ，所以A 的属于特征值3的全部特征向量为)1,1,0(333-=k k αT (03≠k 为任意常数)． (3) 矩阵A 的特征多项式为 =-A E λ)4)(1)(2(20212 22--+=--λλλλ λλ， 所以A 的特征值为11=λ，42=λ，23-=λ． 对于11=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )(O ，可得它的一个基础解系为)2,1,2(1-=αT ，所以A 的属于特征值1的全部特征向量为)2,1,2(111-=k k αT (01≠k 为任意常数)．
中国地质大学网络（成人）教育2019年春季课程考试试卷 考试科目名称：线性代数 层次：专升本考试方式：考查 1.论行列式与矩阵的基本概念 （1）行列式是在什么情况下引入的记号？为什么要引进行列式？行列式中行与列的地位是否相同？计算行 列式有哪些常用的计算方法(至少列举三种以上)？对角线法则适用于所有n阶的行列式计算吗？ （2）克莱姆法则是求解线性方程组的一种常用的方法，请问用克莱姆法则求解线性方程组对方程组有哪两个要 求？如果条件不满足，则应如何解决？ 答：用克莱姆法则求解线性方程组需满足两个条件: ①、线性方程组中方程的个数等于未知量的个数; ②、线性方程组的系数行列式不等于零. 如果条件不满足：克莱姆法就失效了,方程可能有解,也可能无解，未知数较多时往往可用计算机求解。（3）为了求解一般线性方程组的解，引进矩阵的记号，请问：矩阵与行列式有什么本质的区别？(20分) 答：它们最大的区别是矩阵是一个体系，表现形式为数据表格，没有明确的数值结果；行列式是一种算式，最终有一个明确的数值结果。 矩阵：构成动态平衡的循环体系。可以把能量循环体系视为矩阵。聚能/平衡效应。人体可以视为矩阵，地球可以比喻视为矩阵，宇宙也比喻的视为矩阵。矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。 行列式：在数学中是由解线性方程组产生的一种算式。行列式的特性可以被概括为一个多次交替线性形式，这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“体积”的函数。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说在n维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具都有着重要的应用。 2.论矩阵及其运算 （1）矩阵是在解线性方程组时引入的一种记号，矩阵运算通常包括哪些运算?(至少列出四种运算形式) 两个矩 阵可以相加的条件是什么？两个矩阵可以相乘的条件是什么？ 答：矩阵有加减乘运算，除运算相当于矩阵的逆运算。 相同阶数的矩阵可以进行加减运算，如两个m X n 的两个矩阵加减即为相应位置上的元素相加减; 乘运算时两个矩阵阶数须满足第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数相同，例如A为m X n的， B为n X k的，C是k X s的，A与B可以相乘，A与C不可以相乘，但是B与C可以相乘; 矩阵的逆运算只有非奇异的矩阵才有，即其行列式不为0。 两个矩阵AB既可以相加，又可以相乘的充分必要条件是这两个矩阵是同阶矩阵。 同阶矩阵：两个矩阵的行数和列数都一样 （2）在矩阵的运算中并没有除法运算，则与除法运算作用相同的运算是什么运算？逆矩阵存在 的条件是什么？通常用什么样的方法求逆矩阵？
第四章 向量组的线性相关性 1 设v1(1 1 0)T v2(0 1 1)T v3(3 4 0)T求v1v2及3v12v2v3解v1v2(1 1 0)T(0 1 1)T (10 11 01)T (1 0 1)T 3v12v2v33(1 1 0)T 2(0 1 1)T (3 4 0)T (31203 31214 30210)T (0 1 2)T 2 设3(a1a)2(a2a)5(a3a) 求a其中a1(2 5 1 3)T a2(10 1 5 10)T a3(4 1 1 1)T 解由3(a1a)2(a2a)5(a3a)整理得 (1 2 3 4)T 3 已知向量组 A a1(0 1 2 3)T a2(3 0 1 2)T a3(2 3 0 1)T B b1(2 1 1 2)T b2(0 2 1 1)T b3(4 4 1 3)T 证明B组能由A组线性表示但A组不能由B组线性表示 证明由 知R(A)R(A B)3 所以B组能由A组线性表示 由 知R(B)2 因为R(B)R(B A) 所以A组不能由B组线性表示 4 已知向量组 A a1(0 1 1)T a2(1 1 0)T B b1(1 0 1)T b2(1 2 1)T b3(3 2 1)T
证明A组与B组等价 证明由 知R(B)R(B A)2 显然在A中有二阶非零子式故R(A)2 又R(A)R(B A)2 所以R(A)2 从而R(A)R(B)R(A B) 因此A组与B组等价 5 已知R(a1a2a3)2 R(a2a3a4)3 证明 (1) a1能由a2a3线性表示 (2) a4不能由a1a2a3线性表示 证明 (1)由R(a2a3a4)3知a2a3a4线性无关故a2a3也线性无关又由R(a1 a2a3)2知a1a2a3线性相关故a1能由a2a3线性表示 (2)假如a4能由a1a2a3线性表示则因为a1能由a2a3线性表示故a4能由a2a3线性表示从而a2a3a4线性相关矛盾因此a4不能由a1a2a3线性表示 6 判定下列向量组是线性相关还是线性无关 (1) (1 3 1)T (2 1 0)T (1 4 1)T (2) (2 3 0)T (1 4 0)T (0 0 2)T 解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A因为 所以R(A)2小于向量的个数从而所给向量组线性相关 (2)以所给向量为列向量的矩阵记为B因为 所以R(B)3等于向量的个数从而所给向量组线性相无关 7 问a取什么值时下列向量组线性相关？ a1(a 1 1)T a2(1 a 1)T a3(1 1 a)T 解以所给向量为列向量的矩阵记为A由 如能使行列式等于0，则此时向量组线性相关（具体看书后相应答案） 8 设a1a2线性无关a1b a2b线性相关求向量b用a1a2线性表示的表示式解因为a1b a2b线性相关故存在不全为零的数12使 (a1b)2(a2b)0 1