乘法原理与加法原理
在日常生活中常常会遇到这样一些问题，就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方法，要知道完成这件事一共有多少种方法，就用我们将讨论的乘法原理来解决．
例如某人要从北京到大连拿一份资料，之后再到天津开会．其中，他从北京到大连可以乘长途汽车、火车或飞机，而他从大连到天津却只想乘船．那么，他从北京经大连到天津共有多少种不同的走法？
分析这个问题发现，某人从北京到天津要分两步走．第一步是从北京到大连，可以有三种走法，即：
第二步是从大连到天津，只选择乘船这一种走法，所以他从北京到天津共有下面的三种走法：
3×1=3．
如果此人到大连后，可以乘船或飞机到天津，那么他从北京到天津则有以下的走法：共有六种走法，注意到3×2=6．
在上面讨论问题的过程中，我们把所有可能的办法一一列举出来．这种方法叫穷举法．穷举法对于讨论方法数不太多的问题是很有效的．
在上面的例子中，完成一件事要分两个步骤．由穷举法得到的结论看到，用第一步所有的可能方法数乘以第二步所有的可能方法数，就是完成这件事所有的方法数．一般地，如果完成一件事需要 n 个步骤，其中，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，…，做第 n 步有 m n种不同的方法，那么，完成这件事一共有 N= m1×m2×……×m n种不同的方法．
这就是乘法原理．
例1.某人到食堂去买饭，主食有三种，副食有五种，他主食和副食各买一种，共有多少种不同的买法？
补充说明：由例题可以看出，乘法原理运用的范围是：①这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成；②每个步骤各有若干种不同的方法来完成．这样的问题就可以使用乘法原理解决问题．
例2.右图中有7个点和十条线段，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B
点，要求任何线段和点不得重复经过．问：这只甲虫最多有几种不
同的走法？
例3.书架上有6本不同的外语书，4本不同的语文书，从中任取外语、
语文书各一本，有多少种不同的取法？
例4.王英、赵明、李刚三人约好每人报名参加学校运动会的跳远、跳
高、100米跑、200米跑四项中的一项比赛，问：报名的结果会出现多少种不同的情形？例5.由数字0、1、2、3组成三位数，问：
①可组成多少个不相等的三位数？
②可组成多少个没有重复数字的三位数？
分析在确定由0、1、2、3组成的三位数的过程中，应该一位一位地去确定．所以，每个问题都可以看成是分三个步骤来完成．
①要求组成不相等的三位数．所以，数字可以重复使用，百位上，不能取0，故有3种不同的取法；十位上，可以在四个数字中任取一个，有4种不同的取法；个位上，也有4种不同的取法.
②要求组成的三位数中没有重复数字，百位上，不能取0，有3种不同的取法；十位上，由于百位已在1、2、3中取走一个，故只剩下0和其余两个数字，故有3种取法；个位上，由于百位和十位已各取走一个数字，故只能在剩下的两个数字中取，有2种取法．例6.由数字1、2、3、4、5、6共可组成多少个没有重复数字的四位奇数？
分析要组成四位数，需一位一位地确定各个数位上的数字，即分四步完成，由于要求组成的数是奇数，故个位上只有能取1、3、5中的一个，有3种不同的取法；十位上，可以从余下的五个数字中取一个，有5种取法；百位上有4种取法；千位上有3种取法，故可由乘法原理解决．
例7.右图中共有16个方格，要把A、B、C、D四个不同的棋子放在方格里，并使每行每列只能出现一个棋子．问：共有多少种不同的放法？
分析由于四个棋子要一个一个地放入方格内．故可看成是分四步完成这件
事．第一步放棋子A，A可以放在16个方格中的任意一个中，故有16种不
同的放法；第二步放棋子B，由于A已放定，那么放A的那一行和一列中的
其他方格内也不能放B，故还剩下9个方格可以放B，B有9种放法；第三步放C，再去掉B所在的行和列的方格，还剩下四个方格可以放C，C有4种放法；最后一步放D，再去掉C所在的行和列的方格，只剩下一个方格可以放D，D有1种放法，本题要由乘法原理解决．例8.现有一角的人民币4张，贰角的人民币2张，壹元的人民币3张，如果从中至少取一张，至多取9张，那么，共可以配成多少种不同的钱数？
分析要从三种面值的人民币中任取几张，构成一个钱数，需一步一步地来做．如先取一角的，再取贰角的，最后取壹元的．但注意到，取2张一角的人民币和取1张贰角的人民币，得到的钱数是相同的．这就会产生重复，如何解决这一问题呢？我们可以把壹角的人民币4张和贰角的人民币2张统一起来考虑．即从中取出几张组成一种面值，看共可以组成多少种．分析知，共可以组成从壹角到捌角间的任何一种面值，共8种情况．（即取两张壹角的人民币与取一张贰角的人民币是一种情况；取4张壹角的人民币与取2张贰角的人民币是一种情况．）这样一来，可以把它们看成是8张壹角的人民币．整个问题就变成了从8张壹角的人民币和3张壹元的人民币中分别取钱．这样，第一步，从8张壹角的人民币中取；第二步，从3张壹元的人民币中取共4种取法，即0、1、2、3．但要注意，要求“至少取一张”.
生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中，又有几种可能的做法．那么，考虑完成这件事所有可能的做法，就要用我们将讨论的加法原理来解决．
例如某人从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长途汽车，现在知道每天有五次火车从北京到天津，有4趟长途汽车从北京到天津．那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法？
分析这个问题发现，此人去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，有这两大类走法，如果乘火车，有5种走法，如果乘长途汽车，有4种走法．上面的每一种走法都可以从北京到天津，故共有5+4=9种不同的走法．
在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法．在具体做的时候，只要采用一类中的一种方法就可以完成．并且两大类方法是互无影响的，那么完成这件事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二类的方法数．
一般地，如果完成一件事有 k 类方法，第一类方法中有 m1种不同做法，第二类方法中有 m2 种不同做法，…，第 k 类方法中有 m k种不同的做法，则完成这件事共有 N=m1+ m2+⋯…+m k种不同的方法．
这就是加法原理．
例1.学校组织读书活动，要求每个同学读一本书．小明到图书馆借书时，图书馆有不同
的外语书150本，不同的科技书200本，不同的小说100本．那么，小明借一本书可以有多少种不同的选法？
例2.一个口袋内装有3个小球，另一个口袋内装有8个小球，所有这些小球颜色各不相同．问：
①从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？
②从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？
补充说明：由本题应注意加法原理和乘法原理的区别及使用范围的不同，乘法原理中，做完一件事要分成若干个步骤，一步接一步地去做才能完成这件事；加法原理中，做完一件事可以有几类方法，每一类方法中的一种做法都可以完成这件事．
事实上，往往有许多事情是有几大类方法来做的，而每一类方法又要由几步来完成，这就要熟悉加法原理和乘法原理的内容，综合使用这两个原理．
例3.如右图，从甲地到乙地有4条路可走，从乙地到丙地有2条路可
走，从甲地到丙地有3条路可走．那么，从甲地到丙地共有多少种走
法？
分析从甲地到丙地共有两大类不同的走法．
第一类，由甲地途经乙地到丙地．
第二类，由甲地直接到丙地．
例4.如下页图，一只小甲虫要从A点出发沿着线段爬到B点，要求任何点和线段不可重复经过．问：这只甲虫有多少种不同的走法？
分析从A点到B点有两类走法，一类是从A点先经过C点到B点，一
类是从A点先经过D点到B点．两类中的每一种具体走法都要分两步完成，
所以每一类中，都要用乘法原理，而最后计算从A到B的全部走法时，只
要用加法原理求和即可．
例5.有两个相同的正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6．将两个正方体放到桌面上，向上的一面数字之和为偶数的有多少种情形？
分析要使两个数字之和为偶数，只要这两个数字的奇偶性相同，即这两个数字要么同为奇数，要么同为偶数，所以，要分两大类来考虑．
例6.从1到500的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个？
分析从1到500的所有自然数可分为三大类，即一位数，两位数，三位数．一位数中，不含4的有8个，它们是1、2、3、5、6、7、8、9；
要确定一个两位数，可以先取十位数，再取个位数，应用乘法原理．
要确定一个三位数，可以先取百位数，再取十位数，最后取个位数，应用乘法原理．补充说明：这道题也可以这样想：把一位数看成是前面有两个0的三位数，如：把1看成是001．把两位数看成是前面有一个0的三位数．如：把11看成011．那么所有的从1到500的自然数都可以看成是“三位数”，除去500外，考虑不含有4的这样的“三位数”．百位上，有0、1、2、3这四种选法；十位上，有0、1、2、3、5、6、7、8、9这九种选法；个位上，也有九种选法．所以，除500外，有4×9×9=324个不含4的“三位数”．注意到，这里面有一个数是000，应该去掉．而500还没有算进去，应该加进去．所以，从1到500中，不含4的自然数仍有324个．
这是一种特殊的思考问题的方法，注意到当我们对“三位数”重新给予规定之后，问题很简捷地得到解决．
例7.如图，要从A点沿线段走到B，要求每一步都是向右、向上或者向斜上方．问有多少种不同的走法？
分析观察下页左图，注意到，从A到B要一直向右、向上，那么，经过
下页右图中C、D、E、F四点中的某一点的路线一定不再经过其他的点．也
就是说从A到B点的路线共分为四类，它们是分别经过C、D、E、F的路线．
自我检测
1.某罪犯要从甲地途经乙地和丙地逃到丁地，现在知道从甲地到乙地有3条路可以走，从乙地到丙地
有2条路可以走，从丙地到丁地有4条路可以走．问，罪犯共有多少种逃走的方法？
2.如右图，在三条平行线上分别有一个点，四个点，三个点（且不在同一条直线上的三个点不共线）．在
每条直线上各取一个点，可以画出一个三角形．问：一共可以画出多少个这样的三角形？
3.在自然数中，用两位数做被减数，用一位数做减数．共可以组成多少个不同的减法算式？
4.一个篮球队，五名队员A、B、C、D、E，由于某种原因，C不能做中锋，而其余四人可以分配到五
个位置的任何一个上．问：共有多少种不同的站位方法？
5.由数字1、2、3、4、5、6、7、8可组成多少个①三位数？②三位偶数？③没有重复数字的三位偶数？
④百位为8的没有重复数字的三位数？⑤百位为8的没有重复数字的三位偶数？
6.某市的电话号码是六位数的，首位不能是0，其余各位数上可以是0～9中的任何一个，并且不同位
上的数字可以重复．那么，这个城市最多可容纳多少部电话机？
1.如右图，从甲地到乙地有三条路，从乙地到丙地有三条路，从甲地到丁地有两条路，从丁地到丙地
有四条路，问：从甲地到丙地共有多少种走法？
2.书架上有6本不同的画报和7本不同的书，从中最多拿两本（不能不拿），有多少种不同的拿法？
3.如下图中，沿线段从点A
走最短的路线到B，各有
多少种走法？
4.在1～1000的自然数中，
一共有多少个数字0？
5.在1～500的自然数中，不含数字0和1的数有多少个？
6.十把钥匙开十把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁，问：最多试开多少次，就能把锁和钥匙配起来？
乘法原理和加法原理 加法原理:完成一件工作有几种不同的方法，每种方法又有很多种不同的方法，而且这些方法彼此互斥，那么完成这件方法的总数就是等于各类完成这件工作的综合。这类方法称为加法原理，也叫分类计数原理。 乘法原理:如果完成一件工作需要很多步骤，每个步骤又有很多种方法，那么完成这件工作的方法就是把每一步骤中的不同方法乘起来，这类方法称为乘法原理，也叫分步计数原理。 例题: 例1. 小军、小兰和小红三个小朋友排成一排照相，有多少种不同的排法, 例2. 书架上有5本不同的科技书，6本不同的故事书，8本不同的英语书。如果从中各取 一本科技书、一本故事书、一本英语书，那么共有多少种取法, 例3.一个盒子里装有5个小球，另一个盒子里装有9个小球，所有的这些小球的颜色各不相同。 (1)从两个盒子任取一个球，有多少种不同的取法, (2)从两个盒子里各取一个球，有多少种不同的取法, 例4.四个数字3、5、6、8可以组成多个没有重复数字的四位数, 例5.用四种不同的颜色给下面的图形涂色，使相邻的长方形颜色不相同，有多少种不同的涂法, B A C D
当堂练: 1. 五一前夕，学校举行亲子活动，玲玲有红、白、黄、花四件上衣和蓝、黄、青共三种颜 色的裙子，找出来搭配着穿，一共有多少种不同的搭配方法, 2.甲、乙、丙三个组，甲组6人，乙组5人，丙组4人，如果从三组中选出一个代表，有多少种不同的选法, 3.有7、3、6三个数字卡片，能组成几个不同的三位数, 课堂作业: 1. 春节期间，有四个小朋友，如果他们互相寄一张贺卡，一共寄了多少张, 2. 有8,0,2,4,6五个数字可以组成几个不同的五位数, 3. 一个袋子里装有6个白色乒乓球，另一个袋子里装有8个黄色乒乓球。 (1).从两个袋子里任取一个乒乓球，共有多少种不同取法? (2).从两个袋子里各取一个乒乓球，有多少种不同取法, 4. 南京到上海的动车组特快列车，中途只停靠常州、无锡、苏州三个火车站， 共要准备多少种不同的车票,有多少种不同的票价,(考虑往返) 5.在A、B、C、D四个长方形区域中涂上红、黄、蓝、黑这四种颜色，使任何相邻两个长方形颜色不同，一共有多少种不同的涂法, A B C D 6.有6个不同的文具盒，4支不同的铅笔，4支不同的钢笔，2把不同的尺子。若从中各取一个，配成一套学习用具，最多可以有多少种不同的配法,
乘法原理与加法原理 在日常生活中常常会遇到这样一些问题，就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方法，要知道完成这件事一共有多少种方法，就用我们将讨论的乘法原理来解决． 例如某人要从北京到大连拿一份资料，之后再到天津开会．其中，他从北京到大连可以乘长途汽车、火车或飞机，而他从大连到天津却只想乘船．那么，他从北京经大连到天津共有多少种不同的走法？ 分析这个问题发现，某人从北京到天津要分两步走．第一步是从北京到大连，可以有三种走法，即： 第二步是从大连到天津，只选择乘船这一种走法，所以他从北京到天津共有下面的三种走法： 3×1=3． 如果此人到大连后，可以乘船或飞机到天津，那么他从北京到天津则有以下的走法： 共有六种走法，注意到3×2=6． 在上面讨论问题的过程中，我们把所有可能的办法一一列举出来．这种方法叫穷举法．穷举法对于讨论方法数不太多的问题是很有效的． 在上面的例子中，完成一件事要分两个步骤．由穷举法得到的结论看到，用第一步所有的可能方法数乘以第二步所有的可能方法数，就是完成这件事所有的方法数． 一般地，如果完成一件事需要个步骤，其中，做第一步有种不同的方法，做第二步有种 不同的方法，…，做第步有种不同的方法，那么，完成这件事一共有 种不同的方法． 这就是乘法原理． 例1.某人到食堂去买饭，主食有三种，副食有五种，他主食和副食各买一种，共有多少种不同的买法？ 补充说明：由例题可以看出，乘法原理运用的范围是：①这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成；②每个步骤各有若干种不同的方法来完成．这样的问题就可以使用乘法原理解决问题．例2.右图中有7个点和十条线段，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何线段和点不得重复经过．问：这只甲虫最多有几种不同的走法？ 例3.书架上有6本不同的外语书，4本不同的语文书，从中任取外语、语文书各一本，有多少种不同的取法？ 例4.王英、赵明、李刚三人约好每人报名参加学校运动会的跳远、跳高、100米跑、200米跑四项中的一项比赛，问：报名的结果会出现多少种不同的情形？ 例5.由数字0、1、2、3组成三位数，问： ①可组成多少个不相等的三位数？ ②可组成多少个没有重复数字的三位数？ 分析在确定由0、1、2、3组成的三位数的过程中，应该一位一位地去确定．所以，每个问题都可以看成是分三个步骤来完成． ①要求组成不相等的三位数．所以，数字可以重复使用，百位上，不能取0，故有3种不同的取法；十位上，可以在四个数字中任取一个，有4种不同的取法；个位上，也有4种不同的取法. ②要求组成的三位数中没有重复数字，百位上，不能取0，有3种不同的取法；十位上，由于百位已在1、2、3中取走一个，故只剩下0和其余两个数字，故有3种取法；个位上，由于百位和十位已各取走一个数字，故只能在剩下的两个数字中取，有2种取法． 例6.由数字1、2、3、4、5、6共可组成多少个没有重复数字的四位奇数？ 分析要组成四位数，需一位一位地确定各个数位上的数字，即分四步完成，由于要求组成的数是奇数，
加法原理与乘法原理 一、知识要点 加法原理：做一件事时有几类不同的方法，而每一类方法中又有几种可能的做法就用加法原理来解决。关键问题：确定工作的分类方法。基本特征：每一种方法都可完成任务。 乘法原理：在做一件事情时，要分几步完成，而在完成每一步时又有几种不同的方法，要知道完成这件事一共有多少种方法，就用乘法原理来解决。关键问题：确定工作的完成步骤。基本特征：每一步只能完成任务的一部分。 二、精讲精练 【例题1】书架上层有6本不同的数学书，下层有5本不同的语文书，若任意从书架上取一本数学书和一本语文书，有多少种不同的取法？ 练习1： 1、商店里有5种不同的儿童上衣，4种不同的裙子，妈妈准备为女儿买上衣一件和裙子一条组成一套，共有多少种不同的选法？ 2、小明家到学校共有5条路可走，从学校到少年宫共有3条路可走。小明从家出发，经过学校然后到少年宫，共有多少种不同的走法？ 3、张师傅到食堂吃饭，主食有2种，副食有6种，主、副食各选一种，他有几种不同的选法？ 【例题2】由数字0，1，2，3组成三位数，问：①可组成多少个不相等的三位数？②可组成多少个没有重复数字的三位数？ 练习2： 1、由数字1，2，3，4，5，6共可组成多少个没有重复数字的四位奇数？ 2、在自然数中，用两位数做被减数，一位数做减数，共可组成多少个不同的减法算式？ 3、由数字1，2，3，4，5，6，7，8，可组成多少个:
①三位数； ②三位偶数； ③没有重复数字的三位偶数； ④百位是8的没有重复数字的三位数； ⑤百位是8的没有重复数字的三位偶数。 【例题3】有两个相同的正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6。将两个正方体放在桌面上，向上的一面数字之和为偶数的有多少种情形？ 练习3： 1、在1—1000的自然数中，一共有多少个数字1？ 2、在1—500的自然数中，不含数字0和1的数有多少个？ 3、十把钥匙开十把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁，问最多试开多少次，就能把锁和钥匙配起来？ 【例题4】在2，3，5，7，9这五个数字中，选出四个数字，组成被3除余2的四位数，这样的四位数有多少个？ 练习4： 1、在1，2，3，4，5这五个数字中，选出四个数字组成被3除余2的四位数，这样的四位数有多少个？ 2、在1，2，3，4，5这五个数字中，选出四个数字组成能被3整除的四位数，这样的四位数有多少个？ 3、在1，4，5，6，7这五个数字中，选出四个数字组成被3除余1的四位数，这样的四位数有多少个？
题型一：乘法原理 【知识要点】 1. 乘法原理：如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步有m1种方法，做第2步有m2种方法……做第n步有mn种方法，那么按照这样的步骤完成这件任务共有 N＝m1×m2×…×mn 种不同的方法。 2. 从乘法原理可以看出：将完成一件任务分成几步做，是解决问题的关键，而这几步是完成这件任务缺一不可的。 【典型例题】 例1：马戏团的小丑有红、黄、蓝三顶帽子和黑、白两双鞋，他每次出场演出都要戴一顶帽子、穿一双鞋。问：小丑的帽子和鞋共有几种不同搭配？ 例2：从甲地到乙地有2条路，从乙地到丙地有3条路，从丙地到丁地也有2条路。问：从甲地经乙、丙两地到丁地，共有多少种不同的走法？ 例3：用数字0，1，2，3，4，5可以组成多少个三位数（各位上的数字允许重复）？ 例4：如下图，A，B，C，D，E五个区域分别用红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的某一种染色，要使相邻的区域染不同的颜色，共有多少种不同的染色方法？ 例5：有10块糖，每天至少吃一块，吃完为止。问：共有多少种不同的吃法？ 【同步训练】 1.有五顶不同的帽子，两件不同的上衣，三条不同的裤子。从中取出一顶帽子、一件上衣、一条裤子配成一套装束。问：有多少种不同的装束？ 2. 四角号码字典，用4个数码表示一个汉字。小王自编一个“密码本”，用3个数码（可取重复数字）表示一个汉字，例如，用“011”代表汉字“车”。问：小王的“密码本”上最多能表示多少个不同的汉字？
3. “IMO”是国际数学奥林匹克的缩写，把这3个字母写成三种不同颜色。现在有五种不同颜色的笔，按上述要求能写出多少种不同颜色搭配的“IMO”？ 4. 用四种颜色给右图的五块区域染色，要求每块区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色。问：共有多少种不同的染色方法？ 题型二：加法原理（一） 加法原理：如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有m1种不同方法，在第二类方法中有m2种不同方法……在第n类方法中有mn种不同方法，那么完成这件任务共有 N=m1+m2+…+mn种不同的方法。 【典型例题】 例1：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中火车有4班，汽车有3班，轮船有2班。问：一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同走法？ 例2：旗杆上最多可以挂两面信号旗，现有红色、蓝色和黄色的信号旗各一面，如果用挂信号旗表示信号，最多能表示出多少种不同的信号？ 例3：两次掷一枚骰子，两次出现的数字之和为偶数的情况有多少种？ 例4：用1，2，3，4这四种数码组成五位数，数字可以重复，至少有连续三位是1的五位数有多少个？ 例5：用五种颜色给右图的五个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色。问：共有多少种不同的染色方法？ 【同步训练】 1. 南京去上海可以乘火车、乘飞机、乘汽车和乘轮船。如果每天有20班火车、6班飞机、8班汽车和4班轮船，那么共有多少种不同的走法？
小学奥数——乘法原理与加法原理 首先，我们先来介绍一下乘法原理。乘法原理通常用于计算多个事件 同时发生的可能性。当我们有两个事件，第一个事件有m种可能发生的方式，第二个事件有n种可能发生的方式，那么这两个事件同时发生的总的 可能性就是m乘以n。简单来说，就是把每个事件的可能性相乘。 举例来说明乘法原理：假设我有两种颜色的衣服，一种是红色的，一 种是蓝色的。我还有两种裤子，一种是黑色的，一种是白色的。现在我要 选择一件衣服和一条裤子搭配穿，那么穿法的总数就是2乘以2，即4种。 乘法原理在解决排列、组合等问题中经常会用到。比如在一个有5个 位置的密码锁上，每个位置有4个数字供选择，那么所有可能的密码数量 就是4乘以4乘以4乘以4乘以4，即4的5次方。 接下来，我们来介绍一下加法原理。加法原理通常用于计算几个事件 中至少发生一个的可能性。当我们有两个事件，第一个事件有m种可能发 生的方式，第二个事件有n种可能发生的方式，那么这两个事件至少发生 一个的总的可能性就是m加上n。简单来说，就是把每个事件的可能性相加。 举例来说明加法原理：假设我现在要去电影院看电影，我有两条路可 以选择，一条是走马路，一条是走小巷。如果我选择走马路，有3种可能 的交通工具供选择，如果我选择走小巷，有2种可能的交通工具供选择。 那么我至少要选择一个交通工具的总数就是3加上2，即5种。 加法原理在计算总数时经常会用到。比如在一个有10个宝箱的房间里，每个宝箱里都有一些东西，我们想知道这些宝箱里一共有多少东西。 我们只需要把每个宝箱里的东西数量相加起来。
乘法原理和加法原理是数学基本原理，在解决实际问题时非常有用。 掌握了这两个原理，我们就能够更好地处理更复杂的问题。 在小学奥数中，乘法原理和加法原理通常会结合应用，来解决一些题目。比如：一个班级有4个男生和6个女生，现在要选择一个代表，要求 代表一个男生或者一个女生，那么选择代表的总数就是4加上6、再比如：有4个家庭，每个家庭都有3个孩子，现在要选择一个孩子去参加活动， 那么选择参加活动的总数就是4乘以3 通过乘法原理和加法原理，我们能够更好地理解和解决各种问题，希 望大家能够掌握这两个重要的原理，在解决问题时能够灵活运用。
加法原理与乘法原理 加法原理：完成一件工作共有N类方法。在第一类方法中有m 1 种不同的方 法，在第二类方法中有m 2种不同的方法，……，在第N类方法中有m n 种不同的 方法，那么完成这件工作共有N＝m 1＋m 2 ＋m 3 ＋…＋m n 种不同方法。 运用加法原理计数，关键在于合理分类，不重不漏。要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)。合理分类也是运用加法原理解决问题的难点，不同的问题，分类的标准往往不同，需要积累一定的解题经验。 乘法原理：完成一件工作共需N个步骤：完成第一个步骤有m 1 种方法，完 成第二个步骤有m 2种方法，…，完成第N个步骤有m n 种方法，那么，完成这件 工作共有m 1×m 2 ×…×m n 种方法。 运用乘法原理计数，关键在于合理分步。完成这件工作的N个步骤，各个步骤之间是相互联系的，任何一步的一种方法都不能完成此工作，必须连续完成这N步才能完成此工作；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此工作的方法也不同。 这两个基本原理是排列和组合的基础，与教材联系紧密（如四下《搭配的规律》），教学时要先通过生活中浅显的实例，如购物问题、行程问题、搭配问题等，帮助孩子理解两个原理，再让孩子学习运用原理解决问题。 运用两个原理解决的都是比较复杂的计数问题，在解题时要细心、耐心、有条理地分析问题。计数时要注意区分是分类问题还是分步问题，正确运用两个原理。灵活机动地分层重复使用或综合运用两个原理，可以巧妙解决很多复杂的计数问题。小学阶段只学习两个原理的简单应用。 【题目1】：用1角、2角和5角的三种人民币（每种的张数没有限制）组成1元钱，有多少种方法？ 【解析】： 运用加法原理，把组成方法分成三大类： ①只取一种人民币组成1元，有3种方法：10张1角；5张2角；2张5角。 ②取两种人民币组成1元，有5种方法：1张5角和5张1角；一张2角和8张1角；2张2角和6张1角；3张2角和4张1角；4张2角和2张1角。 ③取三种人民币组成1元，有2种方法：1张5角、1张2角和3张1角的；1张5角、2张2角和1张1角的。 所以共有组成方法：3+5+2=10（种）。 【题目2】：各数位的数字之和是24的三位数共有多少个？ 【解析】： 一个数各个数位上的数字，最大只能是9，24可分拆为：24=9+9+7； 24=9 +8+7；24=8+8+8。运用加法原理，把组成的三位数分为三大类：
加法原理和乘法原理是数学中常用的两个基本原理，它们在组合计数 和概率问题中起着重要的作用。在本文中，我们将详细介绍加法原理和乘 法原理，并通过一些实际例子来帮助你更好地理解和应用这两个原理。 【加法原理】 加法原理是指当两个事件分别有m种和n种可能结果时，这两个事件 同时发生的可能结果有m+n种。 假设有一枚硬币，它的正反面各有两种可能结果，分别是“正面”和“反面”。如果我们要计算这枚硬币抛掷两次的可能结果，根据加法原理，我们就可以得到2+2=4种可能的结果，即正-正、正-反、反-正、反-反。 这个原理可以用于求解各种组合计数问题。对于一个实际问题，如果 其中有几个独立事件，我们可以通过加法原理将这些独立事件的可能结果 进行累加，从而得到整个问题的可能结果。 举一个例子，假设有一个箱子里面有3个红球和4个蓝球。现在我们 要从中随机抽取两个球，问有多少种可能的结果。 根据加法原理，我们可以将这个问题分成两个独立事件：第一个事件 是从箱子中抽取一个球，可能有3种结果（红球、红球、蓝球）；第二个 事件是从箱子中抽取另一个球，可能有4种结果（红球、红球、蓝球、蓝球）。 根据加法原理，这两个事件同时发生的可能结果有3+4=7种。因此， 从这个箱子中随机抽取两个球的可能结果为7种。 【乘法原理】
乘法原理是指当两个事件分别有m种和n种可能结果时，这两个事件同时发生的可能结果有m×n种。 假设有一张扑克牌，其中有4个花色（红桃、方块、黑桃、梅花）和13个大小（2、3、4、5、6、7、8、9、10、J、Q、K、A）。如果我们要计算从整副扑克牌中抽取一张牌的可能结果，根据乘法原理，我们就可以得到4×13=52种可能的结果。 乘法原理可以用于求解多个事件同时发生的可能结果。对于一个实际问题，如果其中有几个相互独立的事件，我们可以通过乘法原理将这些事件的可能结果相乘，从而得到整个问题的可能结果。 举一个例子，假设有一个四位数的密码锁，每个位置上的数字都可以是0～9中的任意一个数字。现在我们要计算一共有多少种可能的密码。 根据乘法原理，我们可以将这个问题分成四个相互独立的事件：第一个事件是第一位数字的选择，可能有10种结果（0～9中的任意一个数字）；第二个事件是第二位数字的选择，可能有10种结果；第三个事件是第三位数字的选择，可能有10种结果；第四个事件是第四位数字的选择，可能有10种结果。
加法原理和乘法原理 一、原理描述 加法原理：如果完成某件事共有几类不同的方法，而每类方法中，又有几种不同的方法，任选一种方法都可以完成此事，那么完成这件事的方法总数就等于各种方法的总和，这一原理称为加法原理。 例、从甲地到乙地，一天中火车有4班，汽车有2班，轮船有3班，那么，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？ 乘法原理：如果做某件事，需要分几个步骤才能完成，而每个步骤又有几种不同的方法，任选一种方法都不能完成这件事，那么完成这件事的方法总数，就等于完成各步骤方法的乘积。 例、用1、2、3这三个数字可以组成多少个不同的三位数？ 二、加法原理和乘法原理的区别 什么时候使用加法原理，什么时候使用乘法原理，最关键是要把握住加法原理与乘法原理的区别。从上面两个例子我们容易发现，加法原理与乘法原理最大的区别就是：如果完成一件事有几类方法，不论哪一类方法，都能完成这件事时，运用加法原理，简称为“分类-----加法”；如果完成一件事要分几个步骤，而无论哪一个步骤，都只是完成这件事的一部分，只有每一步都完成了，这件事才得以完成，这里运用乘法原理，简称为“分步----乘法”。 三、加法原理和乘法原理的应用 例1．从1、2、3、4、5这五个数字中选3个来组成一个三位数，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
例2．从数字1、2、3、4、5中选若干个数字组成一个三位数，可以组成多少个三位数（数字可以重复用）？ 例3．从0、1、2、3、4这五个数字中选3个来组成一个三位数，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 例4．从0、1、2、3、4这五个数字中选3个来组成一个三位数，可以组成多少个没有重复数字的三位偶数？ 例5．从1到400的所有自然数中，不含数字3的自然数有多少个？ 例6．有6个同学排成一排照相，共有多少种不同的站法？ 例7．A、B、C、D、E 5人排成一排，如果C不站在中间，一共有多少有种不同的排法？
加法原理、乘法原理 1.基本概念 ①加法原理：为了完成一件事，有几类方法。第一类方法中有m1种不同的方法，第二类方法中有m2种不同的方法……第n类方法中有m n种不同的方法.那么，完成这件事共有N=m1+m2+…+m n种不同的方法。 ②乘法原理：为了完成一件事，需要几个步骤。做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……做第n步有m n种不同的方法。那么，完成这件事共有N=m1×m2×…×m n种不同的方法。 2.理解要点： ①加法原理和乘法原理的本质区别：能否一步做完,一步骤为加法，多步骤为乘法 ②乘法原理为什么要用乘法去计算,和我们之前的搭配问题一样，本质是和的形式，也可以用树状图理解 ③要深刻站在题目的角度，寻找每一步骤拥有的方法种数，题目画出限制条件，全面考虑 加乘原理歌： 一件事情几类分，类类独立能完成，共有方法多少种？几类方法来相加； 一件事情需几步，步步做好才完成，共有方法多少种？几步可能来相乘． 基础篇： 1.每天从武汉到北京去，有6班火车，3班飞机，1班汽车.请问:每天从武汉到北京去，乘坐这些交通工具共有多少种不同走法？ 2。学校开展“诵读经典"读书竞赛活动，小明要从4大名著、2本外国名著和3本科普书里任意选取一本书，共有多少种不同的选法？
3.如图，从甲村去乙村有3条道路，从乙村去丙村有2条道路，从丙村去丁村有4条道路。小华要从甲村经乙村、丙村去丁村,共有多少种不同的走法？ 4。如图，A、B、C是三个村庄,从A村到B村有2条路可走，从B村到C村有3条路可走,从A 村到C村有4条路可走,从A村到C村共有多少种不同的走法? 5。有四张卡片,上面分别写有0、1、2、4四个数字,从中任意抽出三张卡片组成三位数,这些卡片共可组成多少个不同的三位数？ 6.有五张卡片，卡片上写有数字1、2、3、4、5，从中任取两张卡片，摆放在一起，就可以组成一个两位数；请问:一共可以组成多少个不同的奇数？ 7.在实践活动课上，张老师发给每个学生一张简易地图（如图)，地图上有A、B、C、D四个相邻的城市.现从红、黄、蓝、绿四种颜料中选出若干种给地图涂色，要求相邻城市的颜色不同，有种不同的涂色方法.
小学奥数：加法原理在日常生活与实践中，我们经常会遇到分组、计数的问题。解答这一类问题，我们通常运用加法与那里与乘法原理这两个基本的计数原理。熟练掌握这两个原理，不仅可以顺利解答这类问题，而求可以为今后升入中学后学习排列组合等数学知识打下好的基础。 什么叫做加法原理呢？我们先来看这样一个问题： 2 N = m1 + m2 例1书架上有10本故事书，3本历史书，12本科普读物。志远任意从书架上取一本书，有多少种不同的取法？ 例2一列火车从上上海到南京，中途要经过6个站，这列火车要准备多少中不同的车票？ 例3、4 x 4的方格图中（如下图），共有多少个正方形？
例4、妈妈，爸爸，和小明三人去公园照相：共有多少种不同的照法？ 练习与思考： 4 ____ 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.从2，3，5，7，11，13，这六个数中，每次取出两个数分别作为一个分数的分子和分母，一共可以组成_____个真分数． 10.某铁路局从Ａ站到Ｆ站共有６个火车站（包括Ａ站和Ｆ站）铁路局要为在Ａ站到F站之间运行的火车准备_____种不同的车票，其中票价不相同的火车票有_____种。
乘法原理 上一讲我们学习了用“加法原理”计数，这一讲我们学习“乘法原理”。什么是乘法原理呢？我们来看这样一个问题： 从甲地到乙地有3条不同的道路，从乙地到丙地有4条不同的道路。从甲地经过乙地到丙地，共有多少种走法？ 我们这样思考：从甲地到乙地的3条道路中任意选一条都可以从甲地到乙地， 地的3 4 … 例1 例2 分子和分母，一共可以组从多少个分数？其中有多少个真分数？ 例3用9、8、7、6这四个数可以组成多少个没有重复数字的三位数？这些位数的和是多少？ 例4如图，A、B 、C、D四个区域分别用红、黄、蓝、白四种颜色中的某一种染色。若要求相邻的区域染不同的颜色，问：共有多少种不同的染色方法？
乘法原理与加法原理 在数学中，乘法原理和加法原理是两个非常重要的概念。它们在解决问题时起到了至关重要的作用。本文将详细介绍乘法原理和加法原理的概念、应用以及解决问题的方法。 一、乘法原理 乘法原理是指当两个事件分别有m种可能性和n种可能性时，这两个事件同时发生的可能性有m × n种。乘法原理的应用非常广泛，特别是在计数问题中经常被使用。 例如，小明有3件上衣和2条裤子，他想选择一件上衣和一条裤子穿。根据乘法原理，他有3 × 2 = 6种不同的穿搭方式。 乘法原理也可以应用于更复杂的问题。例如，某班有4个男生和5个女生，老师要从中选择一位男生和一位女生组成一个小组。根据乘法原理，可以得出选择的方式有4 × 5 = 20种。 乘法原理在解决排列组合问题时也非常有用。例如，某班有10个学生，老师要从中选择3个学生组成一个小组。根据乘法原理，可以得出选择的方式有10 × 9 × 8 = 720种。 二、加法原理 加法原理是指当两个事件分别有m种可能性和n种可能性时，这两个事件至少发生一个的可能性有m + n种。加法原理可以用于解决选择问题和排除问题，也是解决概率问题的基础。 例如，小明有3个苹果和2个橙子，他想选择一个水果吃。根据加法原理，他有3 + 2 = 5种选择。
加法原理也可以应用于更复杂的问题。例如，某班有4个男生和5个女生，老师要从中选择一位学生代表参加演讲比赛。根据加法原理，可以得出选择的方式有4 + 5 = 9种。 加法原理还可以用于解决排除问题。例如，某班有30个学生，其中15个人喜欢篮球，20个人喜欢足球，5个人既不喜欢篮球也不喜欢足球。问有多少学生至少喜欢一种球类运动？根据加法原理，可以得出至少喜欢一种球类运动的学生有15 + 20 - 5 = 30个。 三、乘法原理与加法原理的综合应用 乘法原理和加法原理常常需要综合应用来解决实际问题。例如，某班有4个男生和5个女生，老师要从中选择一位男生和一位女生组成一个小组，同时还要选择一位学生作为小组的负责人。根据乘法原理和加法原理，可以得出选择的方式有4 × 5 × 9 = 180种。 在解决实际问题时，我们可以灵活运用乘法原理和加法原理。首先要明确问题中的事件和可能性，然后根据乘法原理和加法原理进行计算。同时，我们还要注意排除重复计数的情况，以确保结果的准确性。 总结起来，乘法原理和加法原理是解决数学问题中常用的工具。它们能够帮助我们计算不同事件的可能性和选择方式。在解决问题时，我们要灵活运用这两个原理，并结合具体情况进行分析和计算。通过掌握乘法原理和加法原理，我们能够更好地理解和应用数学知识，提高解决问题的能力。希望同学们能够认真学习和掌握乘法原理和加法原理，用它们来解决更多的数学问题。
二讲加法与乘法原理 知识导航 加法原理：做一件事情，完成 ．．它有n类办法，在第一类办法中有M1种不 同的方法，在第二类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事情共有m 1+m 2 +……+m n 种不同的方法。 运用加法原理计数，关键在于合理分类，不重不漏。要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)。合理分类也是运用加法原理解决问题的难点，不同的问题，分类的标准往往不同，需要积累一定的解题经验。 乘法原理：完成一件工作共需N个步骤：完成第一个步骤有m 1 种方法，完 成第二个步骤有m 2种方法，…，完成第N个步骤有m n 种方法，那么，完成这件 工作共有m 1×m 2 ×…×m n 种方法。 运用乘法原理计数，关键在于合理分步。完成这件工作的N个步骤，各个步骤之间是相互联系的，任何一步的一种方法都不能完成此工作，必须连续完成这N步才能完成此工作；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此工作的方法也不同。 精典例题 例1：一个口袋内装有3个小球，另一个口袋内装有8个小球，所有这些小球颜色各不相同。问： ①从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？ ②从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？
思路点拨 ①：从两个口袋中只需取一个小球,则这个小球要么从第一个口袋中取，要么从第二个口袋中取，共有两大类方法。所以是加法原理的问题。 ②：要从两个口袋中各取一个小球，则可看成先从第一个口袋中取一个，再从第二个口袋中取一个，分两步完成，是乘法原理的问题。 模仿练习 孙老师的一个口袋内装有60个小球，另一个口袋内装有80个小球，所有这些小球颜色各不相同。问： （1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？ （2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？ 例2：一把钥匙只能开一把锁，淘气有7把钥匙和7把锁全部都搞乱了，最多要试验多少次才能全部配好锁和相应的钥匙？ 思路点拨 要求“最多”多少次配好锁和钥匙，就要从最糟糕的情况开始考虑：第1把钥匙要配到锁，最多要试6次（如果6次配对失败，第7把锁就一定是这把钥匙，不用再试）；同理，第2把钥匙最多要试5次；……第6把锁最多试1次，最好一把锁不用试。
加法原理与乘法原理 知识精讲 加法原理、乘法原理是计数问题中的两种新的计数方法。 举个例子:餐厅里有4种炒菜和2种炖菜,4种炒菜分别是红烧鱼块、滑溜里脊、清炒虾仁和三鲜豆腐；2种炖菜分别是：土豆炖牛肉和萝卜炖排骨。 点菜时如果只点一个菜，有炒菜和炖菜这两种方式，也就是说,可以点红烧鱼块、滑溜里脊、清炒虾仁、三鲜豆腐、土豆炖牛肉和萝卜炖排骨之一，有4+2=6种点菜方法，其中4代表4种炒菜，2代表2种炖菜。这就是加法原理。 如果要求炒菜和炖菜各点一个，这时我们可以把一个炒菜和一个炖菜看成一个组合,点炒菜是第一步，点炖菜是第二步，这两步缺一不可。比如炒菜选红烧鱼块的搭配有两种（红烧鱼块--土豆炖牛肉红烧鱼块——萝卜炖排骨），类似的滑溜里脊也有两种搭配（滑溜里脊—-土豆炖牛肉滑溜里脊——萝卜炖排骨)。...。。4种炒菜合在一起就有4×2=8种点菜方法，这就是乘法原理。 例1 小高一家人外出旅游，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以做飞机。经过网上查询，出发的那一天中火车有4班，汽车有3班,飞机有2班.任意选择其中一个班次,有多少种出行方法？ 练习1 书架上有8本不同的小说和10本不同的漫画，大头要从书架中任意选取一本书，有多少种不同的取法? 例2 如图用红色、黄色给图中房子的屋顶、烟囱、门、窗四个部分涂色,每个部分只能涂一种颜色，一共有多少种不同的涂色方法？
练习2 如图用红、黄两种颜色给图中鸭子的嘴巴、眼睛、身子三个部分涂色，每个部分只能涂一种颜色，一共有多少种不同的涂色方法？ 例3 如图从甲地到乙地有3条路,从乙地到丙地有3条路，从甲地到丁地有2条路，从丁地到丙地有4条路。如果要求所走的路线不能重复，那么从甲地到丙地共有多少种不同的路线？ 练习3 如图，任意两地之间的路线已在图中标示出来，如果要求所走的路线不能重复，那么从甲地到丙地共有多少种不同的路线？ 加法原理与乘法原理的区别 加法原理 类与类之间会满足下列要求: 1.只能选择其中一类，而不能几类同时选。 2.类与类之间可以相互替代,只需选择某一类就可以满足要求； 比如例1种飞机、火车或汽车可以随意选择，小高一家人只选择其中一种交通工具，就能达到目的地。 乘法原理 1.每步只是整件事情的一部分，必须全部完成才能满足结论； 2.步骤之前有先后顺序,先确定好一步，再做下一步.。.直到最后.
加法原理、乘法原理 基础知识： 1.加法原理：如果完成一件事情可以分成几类方法，每一类又包含若干种不同方法，那么将所有类中的方法数累加就是完成这件事的所有方法数.加法原理的关键在于分类，类与类之间用加法. 2.乘法原理：如果完成一件事情可以分成几个步骤，每一步又包含若干种不同方法，那么将所有步骤中的方法数连乘就是完成这件事的所有方法数.乘法原理的关键在于分步，步与步之间用乘法. 3.分类原则：分类要做到“不重不漏”.任意两类之间不可以重复，这叫做不重；把所有的类别累加在一起就得到整体，这叫做不漏. 4.分步原则：分步要做到“前不影响后”.无论前面步骤采取哪种方法，后面一个步骤都应该有相同多的方法数，也就是说后面一个步骤的方法数与前面步骤采取哪一种方法无关. 例1.从1开始依次写下去一直到999，得到一个多位数1234567891011121314…997998999，请问：（1）这个多位数一共有多少位？ （2）第999位数字是多少？ （3）在这个多位数中，数字9一共出现了多少次？ （4）数字0一共出现了多少次？ 问题（1）这个多位数一共有多少位？ [答疑编号5721040101] 【答案】（1）2889；（2）9；（3）300；（4）189 【解答】分析1：999个自然数构成一个多位数，可以利用加法原理分类的思想求这个多位数的位数.将这999个自然数分成3类：第1类是1位数；第2类是2位数；第3类是3位数.分别计算每一类自然数占了多少位，再求和就可以得出多位数的位数了. 详解1：按照自然数的位数去分类. 构成这个多位数的自然数中1位数有9个，占了9位；2位数有90个，占了2×90=180位；3 位数有900个，占了3×900＝2700位；所以这个多位数总共有9+180+2700=2889位. 问题（2）第999位数字是多少？ 详解2：1位数和2位数一共占了189位，999位数数字还需要3位数占据999－189=810位.由810÷3=270…0可知第999位数字是第270个3位数的最后1位.第270个3位数是369，所以第999位数字是9. 问题（3）在这个多位数中，数字9一共出现了多少次？ 分析3：前面2问分类的方法是按照自然数的位数去分类，1位数，2位数，3位数各自分为一类.但按照这种分类的思路来解第3问就不是很方便了：1位数含有1个9，2位数含有19个9，但是考虑3位数含有多少个9还是比较复杂.通过这种分类的思路去分析问题并没有使问题变得简单. 可以考虑按照分段的方法去分类，第1类1—99；第2类100—199；第3类200—299；……；第10类900—999.分别计算每一类中包含了多少个9，然后再加和就可以了.注意利用每一类的相似性，比如第1类到第9类每一类所包含9的个数应该一样多，当然第10类900—999中9的个数比前9类要多100个. 再考虑一种分类的方法，按照9出现的位置去分类.首先考虑9在百位出现了多少次；再考虑9在十位出现了多少次；最后考虑9在个位出现了多少次. 详解3：按照分段的方法去分类. 实际这种分类方法也是按照百位数的不同去分类，在每一类中百位数是相同的（1—99可以看 成百位数为0）. 考虑第1类1—99中包含了多少个9，个位包含9的有：9，19，29，39，49，59，69，79，89，99一共10个；十位包含9的有：90，91，92，93，94，95，96，97，98，99也是10个.这样在1—99
习题1：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中火车有4 班，汽车有 3 班，轮船有 2 班。问：一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同走法？ 4+3+2=9 习题 2：南京去上海可以乘火车、乘飞机、乘汽车和乘轮船。如果每天有20 班火车、 6 班飞机、 8 班汽车和 4 班轮船，那末共有多少种不同的走法？ 习题 3：光明小学四、五、六年级共订 300 份报纸，每一个年级至少订 99 份报纸。问：共有多少种不同的订法？ 012 021 003 030 102 111 120 201 210 300
习题 4：小明去食堂买饭，有3 样主食，5 样菜。小明要买一份主食一份菜，共有多少种不同的买法？ 3×5=15 习题 5：某小姐有三件裙子, 四件上衣,两双鞋子, 问总共有几种不同的搭配方法？ 3×4×2=24 习题 6：图书馆中有五本不同的三民主义书和八本不同的数学书,一学生欲从三民主义和数学各选一本,共有多少种选法？ 5×8=40 习题 7：某篮球校队是由二位高一学生, 四位高二学生,六位高三学生所组成,现在要从校队中选出三人,每年级各选一人,参加篮球讲习会, 问总共有多少种选法？ 2×4×6=48
在做一件事时，要分几步才干完成，而在完成每一步时又有不少种不 决。 在做一件事时，有几类不同的方法，每一类方法中又有几种可能的做 法。那末做这件事所有可能的做法就需要用 习题 8：如图，从甲地到乙地有三条路，从乙地到丁地有三条路，从甲地到丙地有两条路，从丙地到丁地有四条路。问：从甲地到丁地有多少条路？ 习题 9：用1 ，2，3，4 这四种数码组成五位数，数字可以重复，至少有连续三位是1 的五位数有多少个？
加法原理和乘法原理 一、加法原理 加法原理（也叫做并法则）是指对于两个或多个互不相容事件的概率 之和等于每个事件概率的总和。互不相容事件是指它们不能同时发生的事件。 假设有两个事件A和B，它们是互不相容的事件。事件A发生的概率 为P(A)，事件B发生的概率为P(B)，那么根据加法原理，事件A或者事 件B发生的概率等于事件A发生的概率加上事件B发生的概率，即：P(A或B)=P(A)+P(B) 这个原理可以进一步推广到多个事件的情况。如果有n个互不相容的 事件A1,A2,...,An，它们的概率分别为P(A1),P(A2),...,P(An)，那么这 些事件中至少有一个事件发生的概率等于每个事件概率之和，即：P(A1或A2或...或An)=P(A1)+P(A2)+...+P(An) 加法原理的应用可以帮助计算出一系列互不相容事件的概率和，从而 推断出整个概率空间的概率。 二、乘法原理 乘法原理（也叫做积法则）是指对于两个或多个独立事件的概率乘积 等于每个事件概率的乘积。独立事件是指它们的发生与其它事件无关。 假设有两个事件A和B，它们是独立事件。事件A发生的概率为P(A)，事件B发生的概率为P(B)，那么根据乘法原理，事件A和事件B同时发 生的概率等于事件A发生的概率乘上事件B发生的概率，即：
P(A且B)=P(A)×P(B) 这个原理可以进一步推广到多个事件的情况。 P(A1且A2且...且An)=P(A1)×P(A2)×...×P(An) 乘法原理的应用可以帮助计算出多个独立事件同时发生的概率，从而 推断出复杂事件的概率。 三、加法原理和乘法原理的关系 加法原理和乘法原理在概率论中是相辅相成的。乘法原理可以看作加 法原理的特殊情况。当事件A和事件B同时发生时，可以将事件A和事件 B看作两个互不相容的子事件，此时根据加法原理，事件A或者事件B发 生的概率等于事件A发生的概率加上事件B发生的概率。而根据乘法原理，事件A和事件B同时发生的概率等于事件A发生的概率乘上事件B在事件 A发生的条件下发生的概率。因此，乘法原理实质上是加法原理的推广。四、加法原理和乘法原理的应用 加法原理和乘法原理在实际问题中有着广泛的应用。例如，在排列组 合中，加法原理和乘法原理可以帮助计算全排列、排列组合、二项分布等 问题。在统计学中，可以通过加法原理和乘法原理计算事件的相对频率和 概率，进行推断和预测等。在概率论中，加法原理和乘法原理是推断复杂 事件概率的基础。 综上所述，加法原理和乘法原理是概率论中的两个基本原理，它们在 组合数学、统计学和概率论等领域有着广泛的应用。加法原理用于计算互 不相容事件的概率和，乘法原理用于计算独立事件的概率乘积。加法原理 和乘法原理互为补充，相辅相成，帮助我们理解和应用概率论的基本概念 和方法。
缺一不可吗？——加乘原理 一、乘法原理 例如,兰海老师要从北京到大连拿一份资料,之后再到天津开会.其中,他从北京到大连可以乘长途汽车、火车或飞机,而他从大连到天津却只想乘船.那么,他从北京经大连到天津共有多少种不同的走法？乘法原理解题步骤： 1．分步骤； 2．找出每步所对应的方法数； 3．如果确定每步都是缺一不可的,那么把每步所对应的方法数相乘. 【例 1】豆苗宝宝要从A村去C村上学,由A村去B村的道路有3条,由B村去C村的道路有2条,那么豆苗宝宝从A村经B村去C村共有多少种不同的走法？ 例1图 【例 2】如图,一张地图上有五个国家A、B、C、D、E,现在要求用四种不同的颜色区分不同国家,要求相邻的国家不能使用同一种颜色,不同的国家可以使用同—种颜色,那么这幅地图有多少种着色方法？ A B C D E 例2图 二、加法原理 例如,兰海老师从北京到天津,他可以乘火车也可以乘长途汽车,现在知道每天有五次火车从北京到天津,有四趟长途汽车从北京到天津,那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法？ 加法原理解题步骤： 1．分类； 2．找出每类所对应的方法数； 3．如果确定每类不是缺一不可的,那么把每类所对应的方法数相加.
【例 3】学校组织读书活动,要求每个同学读一本书,豆苗宝宝到图书馆借书时,图书馆有不同的外语书150本,不同的科技书200本,不同的小说100本,那么,豆苗宝宝借一本书可以有多少种不同的选法？ 【例 4】还是图书馆有不同的外语书150本,不同的科技书200本,不同的小说100本,豆苗宝宝如果要选两本书不同类的书有多少种选法？ 三、标号、图示在加法原理中的应用 【例 5】在下图的街道示意图中,有几处街区有积水不能通行,那行人从A到B的最短路线有多少种？ 例5图
小学四年级奥数思维训练：加法原理及乘法原理 1、如果两个四位数的差等于8921，则就说这两个四位数组成一个数对，问这样的数对共有多少个？ 分析：从两个极端来考虑这个问题：最大为9999-1078=8921，最小为9921-1000=892 1，所以共有9999-9921+1=79个，或1078-1000+1=79个 2、一本书从第1页开场编排页码，共用数字2355个，则这本书共有多少页？ 分析：按数位分类：一位数：1～9共用数字1*9=9个；二位数：10～99共用数字2* 90=180个； 三位数：100～999共用数字3*900=2700个，所以所求页数不超过999页，三位数共有：2355-9-180=2166，2166÷3=722个，所以本书有722+99=821页。 3、上、下两册书的页码共有687个数字，且上册比下册多5页，问上册有多少页？ 分析：一位数有9个数位，二位数有180个数位，所以上、下均过三位数，利用和差问题解决：和为687，差为3*5=15，大数为：〔687+15〕÷2=351个〔351- 189〕÷3 =54，54+99=153页。 4、从1、2、3、4、 5、 6、 7、 8、 9、10这10个数中，任取5个数相加的和及其余5个数相加的和相乘，能得到多少个不同的乘积。 分析：从整体考虑分两组和不变：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55 从极端考虑分成最小和最大的两组为〔1+2+3+4+5〕+〔6+7+8+9+10〕=15+40=55 最接近的两组为27+28 所以共有27-15+1=13个不同的积。 另从15到27的任意一数是可以组合的。 ……，试确定第206788个位置上出现的数字。 分析：及前面的题目相似，同一个知识点：一位数9个位置，二位数180个位置，三位数2700个位置，四位数36000个位置，还剩：206788-9-180-2700-36000=167899，167899÷5=33579……4 所以答案为33579+100=33679的第4个数字7. 6、用1分、2分、5分的硬币凑成1元，共有多少种不同的凑法？ 分析：分类再相加：只有一种硬币的组合有3种方法；1分和2分的组合：其中2分的从1枚到49枚均可，有49种方法；1分和5分的组合：其中5分的从1枚到19枚均可，有19种方法；2分和5分的组合：其中5分的有2、4、6、……、18共9种方法；1、2、5分的组合：因为5=1+2*2，10=2*5，15=1+2*7，20=2*10，……，95=1+2*47，共有2+