小学奥数：加法原理
在日常生活与实践中，我们经常会遇到分组、计数的问题。解答这一类问题，我们通常运用加法与那里与乘法原理这两个根本的计数原理。熟练掌握这两个原理，不仅可以顺利解答这类问题，而求可以为今后升入中学后学习排列组合等数学知识打下好的根底。
什么叫做加法原理呢？我们先来看这样一个问题：
从到XX，可以乘火车，也可以乘汽车、轮船或者飞机。假设一天中到XX有4班火车、6班汽车，3班轮船、2班飞机。那么一天中乘做这些交通工具从到XX共有多少种不同的走法？
我们把乘坐不同班次的火车、汽车、轮船、飞机称为不同的走法，那么从到XX，乘火车有4种走法，乘汽车有6种走法，乘轮船有3种走法，乘坐飞机有2种走法。因为每一种走法都可以从到XX，因此，一天中从到XX共有4+6+3+2 = 15 (种)不同的走法。
我们说，如果完成某一种工作可以有分类方法，一类方法中又有假设干种不同的方法，那么完成这件任务工作的方法的总数就等于各类完成这件工作的总和。即N = m1 + m2 + …+ m n (N代表完成一件工作的方法的总和，m1,m2, …m n 表示每一类完成工作的方法的种数)。这个规律就乘做加法原理。
例题与方法：
例1书架上有10本故事书，3本历史书，12本科普读物。志远任
意从书架上取一本书，有多少种不同的取法？
例2一列火车从上XX到，中途要经过6个站，这列火车要准备多少中不同的车票？
例3、4 x 4的方格图中〔如下列图〕，共有多少个形？
例4、妈妈，爸爸，和小明三人去公园照相：共有多少种不同的照法？
练习与思考：
从甲城到乙城，可乘汽车，火车或飞机。一天中汽车有2班，1.
火车有4班，甲城到乙城共有〔〕种不同的走法。
一列火车从XX开往，中途要经过4个站，沿途应为这列火2.
车准备____种不同的车票。
3.下面图形中共有____个形。
4.图中共有_____个角。
5.书架上共有７种不同的的故事书，中层６本不同的科技书，
下层有４钟不同的历史书。如果从书架上任取一本书，有____种不同的取法。
6.平面上有８个点〔其中没有任何三个点在一条直线上〕，经过
每两个点画一条直线，共可以画_____条直线。
7.图中共有_____个三角形。
8.图中共有____个形．
9.从2，3，5，7，11，13，这六个数中，每次取出两个数分别
作为一个分数的分子和分母，一共可以组成_____个真分数．
10.某铁路局从Ａ站到Ｆ站共有６个火车站〔包括Ａ站和Ｆ站〕铁路局要为在Ａ站到F站之间运行的火车准备_____种不同的车票，其中票价不一样的火车票有_____种。
乘法原理
上一讲我们学习了用“加法原理〞计数，这一讲我们学习“乘法原理〞。什么是乘法原理呢？我们来看这样一个问题：从甲地到乙地有3条不同的道路，从乙地到丙地有4条不同的道路。从甲地经过乙地到丙地，共有多少种走法？
我们这样思考：从甲地到乙地的3条道路中任意选一条都可以从甲地到乙地，再从乙地大丙地的4条道路中任意选一条都可以从乙地到丙地，那么，从甲地到乙地的3条道地第一条到达乙地后，可以走从乙地到丙地的任意一条路，这样就有了4种不同的走法。从甲地到乙地的第二条、第三条路到达乙地后，仍可以从乙地到丙地的4条路中任选一条到丙地，如下图：
从图中可以看出，从甲地到丙地共有3 X 4 =12〔种〕走法。如果完成一件事情需要几个步，完成第一步有m1 种不同的方法，完
成第二步有m2 种不同的方法，…那么，完成这件工作共有N =m1 x m2 x m3 x …x m n 种不同的方法。这就是乘法原理。
例题与方法：
例1书架上有4本故事书，7本科普书，志远从书架上任取一本故事书和一本科普书，共有多少种不同的取法？
例2从2、3、5、7、11这五个数字中每次取出2个数字，分别作为一个分数的分子和分母，一共可以组从多少个分数？其中有多少个真分数？
例3用9、8、7、6这四个数可以组成多少个没有重复数字的三位数？这些位数的和是多少？
例4如图，A、B 、C、D四个区域分别用红、黄、蓝、白四种颜色中的某一种染色。假设要求相邻的区域染不同的颜色，问：共有多少种不同的染色方法？
练习与思考：
1.从甲地到乙地有两条河，从乙地到丙地有3条路可走，从甲
地经乙地到丙地共有种走法。
2.书架的上、中、下层各有3本、5本、、4本故事书。假设要从每层书架上任取一个本书，共有种不同的取法。
3.有1，2，3，三数字，一共可以组成个没有重复数字的三位数。
4.两个班级进展乒乓球比赛，每班选3人，每人都要和对方的每个选手赛一场，一共要赛场。
5.从5，7，11，13这四个数中每次取2个数组成分数，一共可以组成个分数，其中真分数有个。
6.图中一共有个不同的长方形。
7.一个口袋里装有5个小球，另7一个口袋里装有4个小球。这些小球的颜色互不一样。
〔1〕从两个口袋里任意取一个小球，有种不同的取法。
〔2〕从两个口袋各取一个小球，有种不同的取法。
8.某信号兵用红、黄、蓝三面棋从上到下挂在旗杆上的三个位置表示信号。每次可挂一面、二面或三面，并且不同的顺序、不同的位置表示不同的信号。一共可以表示种不同的信号。
第一讲加乘原理 加法原理：做一件事情，完成它有N类方式，第一类方式有M1种方法，第二类方式有M2种方法，……,第N类方式有M（N）种方法，那么完成这件事情共有M1+M2+……+M(N)种方法。 乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2不同的方法,……，做第n步有mn不同的方法.那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn 种不同的方法. 核心：分布相乘、分步相加 例题1：（1）从天津到上海的火车，上午、下午各发一列；也可以乘飞机，有3个不同的航班,还有一艘轮船直达上海。那么从天津到上海共有多少种不同的走法? (2）请观察下面的树状图，请问从A到“树叶”节点的路线一共有多少条？ 练习1：(1）从甲地到乙地,可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中火车有4班,汽车有3班，轮船有2班。问：一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地,共有多少种不同走法？ (2)下图中,一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点,要求任何线段和点不得重复经过，问家中最多有多少种走法？ 例题2：泡泡有许多套服装，帽子数量为5顶、上衣有10件，裤子有8条，还有运动鞋6双,早晨要从几种服装中各取一个搭配，问：有多少种搭配? 练习2：书架上有6本不同的外语书，4本不同的语文书，3本不同的数学书，从中任取外语、语文、数学书各一本，有多少种不同的取法？
例题3:由数字1、2、3、4、5、6、7、8可组成多少个没有重复数字的三位数？百位为7的没有重复数字的三位数？ 练习3:利用数字1，2，3，4,5共可组成⑴多少个数字不重复的三位数？ ⑵多少个数字不重复的三位偶数？⑶多少个数字不重复的偶数？ 例题4：甲、乙、丙、丁、戊五人要驾驶A、B、C、D、E这五辆不同型号的汽车，一共有多少种不同的安排方式？ 如果会驾驶汽车A的只有甲和乙,一共有多少种安排方式？ 练习4:甲、乙、丙、丁、戊五人要驾驶A、B、C、D、E这五辆不同型号的汽车，汽车E必须由甲、乙、丙三人中的某一人驾驶,则一共有多少种不同的安排方案？ 例题5：用5种颜色给如图4块区域染色,要求每块区域涂一种颜色,要使相邻区域不是同一种颜色,那么有多少种不同的染色方式？ 练习5：用5种颜色给如图图形染色，要求每块区域染一种颜色,要使相邻区域不是同一种颜色，有多少种染色方式？ 作业: 1、小明用天平称物体时要用砝码，他在有1克、2克、4克、8克的砝码各一个，最多能称
小学奥数——乘法原理与加法原理 首先，我们先来介绍一下乘法原理。乘法原理通常用于计算多个事件 同时发生的可能性。当我们有两个事件，第一个事件有m种可能发生的方式，第二个事件有n种可能发生的方式，那么这两个事件同时发生的总的 可能性就是m乘以n。简单来说，就是把每个事件的可能性相乘。 举例来说明乘法原理：假设我有两种颜色的衣服，一种是红色的，一 种是蓝色的。我还有两种裤子，一种是黑色的，一种是白色的。现在我要 选择一件衣服和一条裤子搭配穿，那么穿法的总数就是2乘以2，即4种。 乘法原理在解决排列、组合等问题中经常会用到。比如在一个有5个 位置的密码锁上，每个位置有4个数字供选择，那么所有可能的密码数量 就是4乘以4乘以4乘以4乘以4，即4的5次方。 接下来，我们来介绍一下加法原理。加法原理通常用于计算几个事件 中至少发生一个的可能性。当我们有两个事件，第一个事件有m种可能发 生的方式，第二个事件有n种可能发生的方式，那么这两个事件至少发生 一个的总的可能性就是m加上n。简单来说，就是把每个事件的可能性相加。 举例来说明加法原理：假设我现在要去电影院看电影，我有两条路可 以选择，一条是走马路，一条是走小巷。如果我选择走马路，有3种可能 的交通工具供选择，如果我选择走小巷，有2种可能的交通工具供选择。 那么我至少要选择一个交通工具的总数就是3加上2，即5种。 加法原理在计算总数时经常会用到。比如在一个有10个宝箱的房间里，每个宝箱里都有一些东西，我们想知道这些宝箱里一共有多少东西。 我们只需要把每个宝箱里的东西数量相加起来。
乘法原理和加法原理是数学基本原理，在解决实际问题时非常有用。 掌握了这两个原理，我们就能够更好地处理更复杂的问题。 在小学奥数中，乘法原理和加法原理通常会结合应用，来解决一些题目。比如：一个班级有4个男生和6个女生，现在要选择一个代表，要求 代表一个男生或者一个女生，那么选择代表的总数就是4加上6、再比如：有4个家庭，每个家庭都有3个孩子，现在要选择一个孩子去参加活动， 那么选择参加活动的总数就是4乘以3 通过乘法原理和加法原理，我们能够更好地理解和解决各种问题，希 望大家能够掌握这两个重要的原理，在解决问题时能够灵活运用。
加法原理、乘法原理 1.基本概念 ①加法原理：为了完成一件事，有几类方法。第一类方法中有m1种不同的方法，第二类方法中有m2种不同的方法……第n类方法中有m n种不同的方法.那么，完成这件事共有N=m1+m2+…+m n种不同的方法。 ②乘法原理：为了完成一件事，需要几个步骤。做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……做第n步有m n种不同的方法。那么，完成这件事共有N=m1×m2×…×m n种不同的方法。 2.理解要点： ①加法原理和乘法原理的本质区别：能否一步做完,一步骤为加法，多步骤为乘法 ②乘法原理为什么要用乘法去计算,和我们之前的搭配问题一样，本质是和的形式，也可以用树状图理解 ③要深刻站在题目的角度，寻找每一步骤拥有的方法种数，题目画出限制条件，全面考虑 加乘原理歌： 一件事情几类分，类类独立能完成，共有方法多少种？几类方法来相加； 一件事情需几步，步步做好才完成，共有方法多少种？几步可能来相乘． 基础篇： 1.每天从武汉到北京去，有6班火车，3班飞机，1班汽车.请问:每天从武汉到北京去，乘坐这些交通工具共有多少种不同走法？ 2。学校开展“诵读经典"读书竞赛活动，小明要从4大名著、2本外国名著和3本科普书里任意选取一本书，共有多少种不同的选法？
3.如图，从甲村去乙村有3条道路，从乙村去丙村有2条道路，从丙村去丁村有4条道路。小华要从甲村经乙村、丙村去丁村,共有多少种不同的走法？ 4。如图，A、B、C是三个村庄,从A村到B村有2条路可走，从B村到C村有3条路可走,从A 村到C村有4条路可走,从A村到C村共有多少种不同的走法? 5。有四张卡片,上面分别写有0、1、2、4四个数字,从中任意抽出三张卡片组成三位数,这些卡片共可组成多少个不同的三位数？ 6.有五张卡片，卡片上写有数字1、2、3、4、5，从中任取两张卡片，摆放在一起，就可以组成一个两位数；请问:一共可以组成多少个不同的奇数？ 7.在实践活动课上，张老师发给每个学生一张简易地图（如图)，地图上有A、B、C、D四个相邻的城市.现从红、黄、蓝、绿四种颜料中选出若干种给地图涂色，要求相邻城市的颜色不同，有种不同的涂色方法.
小学奥数：加法原理在日常生活与实践中，我们经常会遇到分组、计数的问题。解答这一类问题，我们通常运用加法与那里与乘法原理这两个基本的计数原理。熟练掌握这两个原理，不仅可以顺利解答这类问题，而求可以为今后升入中学后学习排列组合等数学知识打下好的基础。 什么叫做加法原理呢？我们先来看这样一个问题： 2 N = m1 + m2 例1书架上有10本故事书，3本历史书，12本科普读物。志远任意从书架上取一本书，有多少种不同的取法？ 例2一列火车从上上海到南京，中途要经过6个站，这列火车要准备多少中不同的车票？ 例3、4 x 4的方格图中（如下图），共有多少个正方形？
例4、妈妈，爸爸，和小明三人去公园照相：共有多少种不同的照法？ 练习与思考： 4 ____ 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.从2，3，5，7，11，13，这六个数中，每次取出两个数分别作为一个分数的分子和分母，一共可以组成_____个真分数． 10.某铁路局从Ａ站到Ｆ站共有６个火车站（包括Ａ站和Ｆ站）铁路局要为在Ａ站到F站之间运行的火车准备_____种不同的车票，其中票价不相同的火车票有_____种。
乘法原理 上一讲我们学习了用“加法原理”计数，这一讲我们学习“乘法原理”。什么是乘法原理呢？我们来看这样一个问题： 从甲地到乙地有3条不同的道路，从乙地到丙地有4条不同的道路。从甲地经过乙地到丙地，共有多少种走法？ 我们这样思考：从甲地到乙地的3条道路中任意选一条都可以从甲地到乙地， 地的3 4 … 例1 例2 分子和分母，一共可以组从多少个分数？其中有多少个真分数？ 例3用9、8、7、6这四个数可以组成多少个没有重复数字的三位数？这些位数的和是多少？ 例4如图，A、B 、C、D四个区域分别用红、黄、蓝、白四种颜色中的某一种染色。若要求相邻的区域染不同的颜色，问：共有多少种不同的染色方法？
四年级奥数：加乘原理（二） 现有红、黄、蓝三种颜色的小旗各一面，用它们挂在旗杆上作信号（顺序不同时表示的信号也不同），总共可以做出多少种不同信号？ 【解析】 做出的信号可以按照挂出的小旗面数分成三类： ①只有一面旗做信号，这样做出的信号有3种； 熟练掌握加法与乘法原理，懂得用标数法、枚举法去解决问题，掌握常见的计数方法，在运用加乘原理解决综合性问题时，懂得分类讨论中结合分步分析，在分步分析中结合分类讨论；明确知道哪些是分类，哪些是分步．并了解与加、乘原理相关的常见题型：数论类问题、染色问题、图形组合和其解题的常用思路，从而达到真正的运用自如。 名 师点题 例1 知识概述 ⑴加法原理是把完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，所以完成任务的不同方法数等于各类方法数之和． ⑵乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可，所以完成任务的不同方法数 等于各步方法数的乘积． ⑶在很多题目中，加法原理和乘法原理都不是单独出现的，这就需要我们能够熟练的运用好这两大原理，综合分析，正确作出分类和分步． 加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”． 乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响．．．．的独立步骤．．．．来完成，这几步是完成这件任务缺一不可的．．．．．，这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：“乘法分步，步步相关”．
②用二面小旗做信号，由乘法原理，做出的信号有3×2=6种。 ③用三面小旗做信号，由乘法原理，做出的信号有3×2×1=6种。 根据加法原理，总共可以做出3+6+6=15种不同的信号。 用1，2，3，4四个数字，请问：可组成多少个数字不重复的自然数？ 【解析】 一位数：4个； 两位数：4×3=12（个）； 三位数：4×3×2=24（个）； 四位数：4×3×2×1=24（个） 共4+12+24+24=64（个）。 3、直线a ，b 上分别有5个点和4个点，以这些点为顶点可以画出多少个三角形？ 【解析】 5×6+4×10=70（个） 画三角形需要在一条线上找1个点，另一条线上找2个点，本题分为两种情况： ⑴在a 线上找一个点，有5种选取法，在b 线上找两个点，有4326?÷=种，根据乘法原理，一共有：5630?=个三角形； ⑵在b 线上找一个点，有4种选取法，在a 线上找两个点，有54210?÷=种，根据乘法原理，一共有：41040?=个三角形；
乘法原理与加法原理 在日常生活中常常会遇到这样一些问题，就是在做一件事时，要分几步才能完成,而在完成每一步时，又有几种不同的方法，要知道完成这件事一共有多少种方法,就用我们将讨论的乘法原理来解决． 例如某人要从北京到大连拿一份资料，之后再到天津开会．其中,他从北京到大连可以乘长途汽车、火车或飞机，而他从大连到天津却只想乘船.那么,他从北京经大连到天津共有多少种不同的走法? 分析这个问题发现，某人从北京到天津要分两步走．第一步是从北京到大连，可以有三种走法,即: 第二步是从大连到天津，只选择乘船这一种走法，所以他从北京到天津共有下面的三种走法: 3×1＝3. 如果此人到大连后,可以乘船或飞机到天津,那么他从北京到天津则有以下的走法: 共有六种走法,注意到3×2=6. 在上面讨论问题的过程中,我们把所有可能的办法一一列举出来.这种方法叫穷举法．穷举法对于讨论方法数不太多的问题是很有效的． 在上面的例子中,完成一件事要分两个步骤.由穷举法得到的结论看到,用第一步所有的可能方法数乘以第二步所有的可能方法数,就是完成这件事所有的方法数. 一般地,如果完成一件事需要个步骤，其中,做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法,…,做第步有种不同的方法,那么，完成这件事一共有种不同 的方法. 这就是乘法原理. 例1.某人到食堂去买饭,主食有三种,副食有五种,他主食和副食各买一种,共有多少种不同的买法？补充说明：由例题可以看出，乘法原理运用的范围是：①这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤 来完成;②每个步骤各有若干种不同的方法来完成.这样的问题就可以使用乘法原理解决问题. 例2.右图中有7个点和十条线段，一只甲虫要从A点沿着线段爬到Ｂ点，要求任何线段和点不得重复经过.问:这只甲虫最多有几种不同的走法? 例3.书架上有6本不同的外语书，4本不同的语文书，从中任取外语、语文书各一本,有多少种不同的取法? 例4.王英、赵明、李刚三人约好每人报名参加学校运动会的跳远、跳高、１０0米跑、200米跑四项中的一项比赛,问：报名的结果会出现多少种不同的情形?
缺一不可吗？——加乘原理 一、乘法原理 例如,兰海老师要从北京到大连拿一份资料,之后再到天津开会.其中,他从北京到大连可以乘长途汽车、火车或飞机,而他从大连到天津却只想乘船.那么,他从北京经大连到天津共有多少种不同的走法？乘法原理解题步骤： 1．分步骤； 2．找出每步所对应的方法数； 3．如果确定每步都是缺一不可的,那么把每步所对应的方法数相乘. 【例 1】豆苗宝宝要从A村去C村上学,由A村去B村的道路有3条,由B村去C村的道路有2条,那么豆苗宝宝从A村经B村去C村共有多少种不同的走法？ 例1图 【例 2】如图,一张地图上有五个国家A、B、C、D、E,现在要求用四种不同的颜色区分不同国家,要求相邻的国家不能使用同一种颜色,不同的国家可以使用同—种颜色,那么这幅地图有多少种着色方法？ A B C D E 例2图 二、加法原理 例如,兰海老师从北京到天津,他可以乘火车也可以乘长途汽车,现在知道每天有五次火车从北京到天津,有四趟长途汽车从北京到天津,那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法？ 加法原理解题步骤： 1．分类； 2．找出每类所对应的方法数； 3．如果确定每类不是缺一不可的,那么把每类所对应的方法数相加.
【例 3】学校组织读书活动,要求每个同学读一本书,豆苗宝宝到图书馆借书时,图书馆有不同的外语书150本,不同的科技书200本,不同的小说100本,那么,豆苗宝宝借一本书可以有多少种不同的选法？ 【例 4】还是图书馆有不同的外语书150本,不同的科技书200本,不同的小说100本,豆苗宝宝如果要选两本书不同类的书有多少种选法？ 三、标号、图示在加法原理中的应用 【例 5】在下图的街道示意图中,有几处街区有积水不能通行,那行人从A到B的最短路线有多少种？ 例5图
第五讲加法原理与乘法原理 “加法原理与乘法原理”研究的可不是加法和乘法怎么算！我们以前学习过枚举计数的方法，但枚举法对于很多计数问题来说太麻烦了，今天我们要学习的加法原理、乘法原理是计数问题中的两种新的计算方法．先举一个例子： 餐厅里有4 种炒菜和2 种炖菜，4 种炒菜分别是：红烧鱼块、滑溜里脊、清炒虾仁和三鲜豆腐，2 种炖菜分别是：土豆炖牛肉和萝卜炖排骨．点菜时如果只点一个菜，有点炒菜和点炖菜这两类方式．也就是说，可以点：红烧鱼块、滑溜里脊、清炒虾仁、三鲜豆腐、土豆炖牛肉和萝卜炖排骨之一，有4 2 6种点菜方法，其中4代表4种炒菜，2代表2种炖菜．这就是加法原理． 加法原理：如果完成一件事有几类方式，在每一类方式中又有不同的方法， 那么把每类的方法数相加就得到所有的方法数． 如果要求炒菜和炖菜各点一个，这时我们可以把一个炒菜和一个炖菜看成一个点菜组合，点炒菜是一第一步，点炖菜是第二步，这两步缺一不可．炒菜选红烧鱼块的点菜方法有2 种：（红烧鱼块，土豆炖牛肉）、（红
烧鱼块，萝卜炖排骨）；类似地，选滑溜里脊的也有2种：（滑溜里脊，土豆炖牛肉）、（滑溜里脊，萝卜
炖排骨）；选清炒虾仁的也有2种：（清炒虾仁，土豆炖牛肉）、（清炒虾仁，萝卜炖排骨）；选三鲜豆腐的也有2种：（三鲜豆腐，土豆炖牛肉）、（三鲜豆腐，萝卜炖排骨）．合在一起就有4 2 8种点菜方法，其中4 代表4 种炒菜，2代表2 种炖菜．这就是乘法原理． 乘法原理：如果完成一件事分为几个步骤，在每一个步骤中又有不同的方法，那么把每步的方法数相乘就得到所有的方法数． 例题1 小高一家人外出旅游，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以坐飞机．经过网上查询，出发的那一天中火车有4 班，汽车有3班，飞机有2班．任意选择其中一个班次，有多少种出行方法？「分析」选择不同的交通工具是分类还是分步？是用加法原理还是乘法原理呢？ 练习1 书架上有8 本不同的小说和10 本不同的漫画，大头要从书架上任意取一本书，有多少种不同的取法？ 例题2 用红、黄两种颜色给图中房子的屋顶、烟囱、门、窗四个部分染色，每个部分只能染一种颜色，一共有多少种 不同的染色方法？「分析」要给四个部分染色，我们很 容易想到要依次染每个部分，这是分类还是分步呢？只 染一个部分能完成这件事情吗？ 练习2 用红、黄两种颜色给图中鸭子的眼睛、嘴巴、身子 三个部分染色，每个部分只能染一种颜色，一共有多 少种不同的染色方法？
小学奥数：加法原理 在日常生活与实践中，我们经常会遇到分组、计数的问题。解答这一类问题，我们通常运用加法与那里与乘法原理这两个基本的计数原理。熟练掌握这两个原理，不仅可以顺利解答这类问题，而求可以为今后升入中学后学习排列组合等数学知识打下好的基础。 什么叫做加法原理呢我们先来看这样一个问题： 从南京到上海，可以乘火车，也可以乘汽车、轮船或者飞机。假如一天中南京到上海有4班火车、6班汽车，3班轮船、2班飞机。那么一天中乘做这些交通工具从南京到上海共有多少种不同的走法我们把乘坐不同班次的火车、汽车、轮船、飞机称为不同的走法，那么从南京到上海，乘火车有4种走法，乘汽车有6种走法，乘轮船有3种走法，乘坐飞机有2种走法。因为每一种走法都可以从南京到上海，因此，一天中从南京到上海共有4+6+3+2 = 15 (种)不同的走法。 我们说，如果完成某一种工作可以有分类方法，一类方法中又有若干种不同的方法，那么完成这件任务工作的方法的总数就等于各类完成这件工作的总和。即N = m1 + m2 + … + m n (N代表完成一件工作的方法的总和，m1,m2, … m n 表示每一类完成工作的方法的种数)。这个规律就乘做加法原理。 例题与方法： 例1书架上有10本故事书，3本历史书，12本科普读物。志远任意从书架上取一本书，有多少种不同的取法
例2一列火车从上上海到南京，中途要经过6个站，这列火车 要准备多少中不同的车票 例3、4 x 4的方格图中（如下图），共有多少个正方形 例4、妈妈，爸爸，和小明三人去公园照相：共有多少种不同的 照法 练习与思考： 从甲城到乙城，可乘汽车，火车或飞机。已知一天中汽车有1. 2班，火车有4班，甲城到乙城共有（）种不同的走法。 一列火车从上海开往杭州，中途要经过4个站，沿途应为这2. 列火车准备____种不同的车票。 3.下面图形中共有____个正方形。 4.图中共有_____个角。 5.书架上共有７种不同的的故事书，中层６本不同的科技书，下层有４钟不同的历史书。如果从书架上任取一本书，有____种不同的取法。 6.平面上有８个点（其中没有任何三个点在一条直线上），经过每两个点画一条直线，共可以画_____条直线。 7.图中共有_____个三角形。
小学四年级奥数思维训练：加法原理及乘法原理 1、如果两个四位数的差等于8921，则就说这两个四位数组成一个数对，问这样的数对共有多少个？ 分析：从两个极端来考虑这个问题：最大为9999-1078=8921，最小为9921-1000=892 1，所以共有9999-9921+1=79个，或1078-1000+1=79个 2、一本书从第1页开场编排页码，共用数字2355个，则这本书共有多少页？ 分析：按数位分类：一位数：1～9共用数字1*9=9个；二位数：10～99共用数字2* 90=180个； 三位数：100～999共用数字3*900=2700个，所以所求页数不超过999页，三位数共有：2355-9-180=2166，2166÷3=722个，所以本书有722+99=821页。 3、上、下两册书的页码共有687个数字，且上册比下册多5页，问上册有多少页？ 分析：一位数有9个数位，二位数有180个数位，所以上、下均过三位数，利用和差问题解决：和为687，差为3*5=15，大数为：〔687+15〕÷2=351个〔351- 189〕÷3 =54，54+99=153页。 4、从1、2、3、4、 5、 6、 7、 8、 9、10这10个数中，任取5个数相加的和及其余5个数相加的和相乘，能得到多少个不同的乘积。 分析：从整体考虑分两组和不变：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55 从极端考虑分成最小和最大的两组为〔1+2+3+4+5〕+〔6+7+8+9+10〕=15+40=55 最接近的两组为27+28 所以共有27-15+1=13个不同的积。 另从15到27的任意一数是可以组合的。 ……，试确定第206788个位置上出现的数字。 分析：及前面的题目相似，同一个知识点：一位数9个位置，二位数180个位置，三位数2700个位置，四位数36000个位置，还剩：206788-9-180-2700-36000=167899，167899÷5=33579……4 所以答案为33579+100=33679的第4个数字7. 6、用1分、2分、5分的硬币凑成1元，共有多少种不同的凑法？ 分析：分类再相加：只有一种硬币的组合有3种方法；1分和2分的组合：其中2分的从1枚到49枚均可，有49种方法；1分和5分的组合：其中5分的从1枚到19枚均可，有19种方法；2分和5分的组合：其中5分的有2、4、6、……、18共9种方法；1、2、5分的组合：因为5=1+2*2，10=2*5，15=1+2*7，20=2*10，……，95=1+2*47，共有2+
加乘原理是组合数学中的一个重要概念，也是解决组合问题的一个有效方法。在数学中我们经常遇到这样的问题：有n件物品，如何从中选取k件物品进行排列组合？加乘原理可以帮助我们解决这类问题。 加乘原理的基本思想是将复杂的问题分解为若干个简单的子问题，并将子问题的解合并得到原问题的解。具体而言，加乘原理分为两个步骤：加法原理和乘法原理。 加法原理是指当一个问题可以分解为若干个互不相交的子问题时，原问题的解等于所有子问题解的和。以一个简单的例子来说明加法原理：假设小明去买糖果，他可以选择购买巧克力、薄荷糖或者口香糖。如果他可以选择一种或多种糖果，那么他一共有多少种购买方式？假设巧克力有4种选择，薄荷糖有3种选择，口香糖有2种选择，根据加法原理，小明一共有4+3+2=9种购买方式。 乘法原理是指当一个问题可以分解为若干个相互独立的子问题时，原问题的解等于所有子问题解的积。以一个具体的例子来说明乘法原理：小明有4种T恤和3种裤子，他想知道自己一共有多少套搭配方式。根据乘法原理，小明一共有4*3=12种搭配方式。 接下来我们介绍一个综合例子来说明加乘原理的应用。假设班级内有10个学生，其中男生有5个，女生有5个。老师要选出3个学生组成一个小组，要求这个小组至少有1个男生和1个女生。那么一共有多少种不同的选组方式？ 首先我们可以分别计算出只包含1个男生和只包含1个女生的组合数分别是C(5,1)和C(5,1)，即分别为5和5、然后我们再计算只含有男生或者只含有女生的组合数，这样的组合数分别为C(5,3)和C(5,3)，即分
别为10和10。最后计算只有女生或者只有男生的组合数，这样的组合数分别为C(5,0)和C(5,0)，即分别为1和1 根据加法原理，将以上的4种情况的组合数相加，即 5+5+10+10+1+1=32、所以，一共有32种不同的选组方式。 通过这个例子我们可以看出，加乘原理可以帮助我们有效地解决各种组合问题。通过将问题分解为若干个子问题，然后根据加法原理和乘法原理计算子问题的解，最后将子问题解合并得到原问题的解。这样可以使得复杂问题的解决过程更加简单和高效。
年级四年级学科奥数版本通用版 课程标题加法、乘法原理（一） 生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中，又有几种可能的做法。那么，考虑完成这件事所有可能的做法，就要用我们这节课学习的加法原理来解决。 加法原理：完成一件工作共有N类方法。在第一类方法中有m1种不同的方法，在第二类方法中有m2种不同的方法，……，在第N类方法中有m n种不同的方法，那么完成这件工作共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋m n种不同方法。 分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于题目的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；②分别属于不同两类的两种方法是不同的方法。只有满足这两条基本原则，才可以保证分类计数原理计算正确。 运用加法原理解题时，关键是确定分类的标准，然后再针对各类逐一计数。加法原理解题三部曲:（1）完成一件事分N类；（2）每类找种数（每类的一种情况必须是能完成该件事）；（3）类类相加。 合理分类是运用加法原理解决问题的难点，不同的问题，分类的标准往往不同，需要积累一定的解题经验。 例1 书架上层放有 6 本不同的数学书，下层放有 5 本不同的语文书。从中任取一本，共有多少种不同的取法？ 分析与解：从书架上任取一本书，有两类办法： 第一类办法是从上层取数学书，可以从6本书中任取一本，有6 种取法； 第二类办法是从下层取语文书，可以从5本书中任取一本，有5 种取法。 根据加法原理，得到不同的取法的种数是：N＝m1＋m2＝6＋5＝11。 所以从书架上任取一本书，有11种不同的取法。 例2各数位的数字之和是24的三位数共有多少个？ 分析与解：个数各个数位上的数字，最大只能是9，24可拆分为：24＝9＋9＋6；24＝9＋8＋7；24＝8＋8＋8。运用加法原理，把组成的三位数分为三大类：
例1 一家人外出旅游，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以坐飞机。经过上网查询，出发的那一天火车有4班，汽车有3班，飞机有2班，任意选取一个班次，有多少种选取方法？ 步步相加，一步即可完成！ 4+3+2=9(种） 答：有9种选取方法。 练习1、书架上有8本不同的小说和10本不同的漫画，大头要从书架上任意取一本书，有多少种不同的取法？ 练习2、小东到新华书店买书，他喜欢的书有5种数学书、3种科幻小说、6种古典小说，他带的钱只能买其中一本，他有多少种不同的买书方法？ 例2 有5件不同的上衣、3条不同的裤子，最多可搭配成多少种不同的装束？一步可以完成吗？ 5×3=15(种） 答：最多可搭配15种不同的装束。 分步才能完成，用乘法 练习1、有4件不同的上衣、6条不同的围巾，最多可搭配成多少种不同的装束？ 练习2、新华书店有3种不同的英语书，4种不同的数学书，6种不
同的自然读物正在销售。刘明想各买一本英语书、一本数学书和一本自然读物，请问刘明一共有多少种不同买法？ 例3 有1, 2, 3, 4, 5共五个数字。从中挑选出4个数组成四位数；（1）一共可以排成多少个不相等的四位数？ （2）一共可以排成多少个没有重复数字的四位数？ （1）5×5×5×5=625(个） （2）5×4×3×2=120(个） 答：一共可以排成625个不相等的四位数，一共可以排成120个没有重复数字的四位数。 练习1、有1, 2, 3, 4共四个数字。从中挑选出三个数组成三位数；（1）一共可以排成多少个不相等的三位数？ （2）一共可以排成多少个没有重复数字的3位数？ 练习2、有三张数字卡片1, 2、3. （1）一共可以排成多少不相等的三位数？ （2）一共可以排成多少个没有重复数字的三位数？ 例4 用数字0, 1, 2, 3, 4可以组成多少个不相等的四位数？可以组成多少个没有重复数字的四位数？ “0”不可以放最高位哦！
四年级数学思维训练导引奥数加法原理与乘法 原理 集团标准化办公室：[VV986T-J682P28-JP266L8-68PNN]
第十五讲加法原理与乘法原理 1.阿奇去吃午饭，发现附近的中餐厅有9个，西餐厅有3个，日式餐厅有2个.他准备找一家餐厅吃饭，一共有多少种不同的选择？ 2.阿奇进入一家中餐厅后，发现主食有3种，热菜有20种.他打算主食 和热菜各买1种，一共有多少种不同的买法？ 3.老师要求冬冬在黑板上写出一个减法算式，而且被减数必须是两位数，减数必须是一位数，冬冬共有多少种不同的写法？ 4.传说地球上有7颗不同的龙珠，如果找齐这7颗龙珠，并且按照特定顺序排成一行就会有神龙出现.邪恶的沙鲁找到了这7颗龙珠，但是他不知道排 列的特定顺序.请问：运气不好的沙鲁最坏要试几次才能遇见神龙？ 5.用红、黄、蓝三种颜色给图15-1的三个圆圈染色，一个圆圈只能染一种颜色，并且相连的两个圆圈不能同色，一共有多少种不同的染色方法？ 6.在图15-2中，从“北”字开始，每次向下移动到一个相邻的字可以读 出“北京奥运会"，那么一共有多少种不同的读法？ 7.运动会中有四个跑步比赛项目，分别为50米、100米、200米、400 米，规定每个参赛者只能参加其中的一项.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加 这四个项目，请问： (1)如果每名同学都可以任意报这四个项目，一共有多少种报名方法？ (2)如果这四名同学所报的项目各不相同，一共有多少种报名方法？ 8.冬冬的书包里有5本不同的语文书、6本不同的数学书、3本不同的英语书，请问： (1)如果从中任取1本书，共有多少种不同的取法？ (2)如果从中取出语文书、数学书、英语书各l本，共有多少种不同的取法？
小学数学六年级奥数第26讲乘法和加法原理 第26讲乘法和加法原理 一、知识要点 在做一件事情时，要分几步完成，而在完成每一步时又有几种不同的方法，要知道完成这件事一共有多少种方法，就用乘法原理来解决。做一件事时有几类不同的方法，而每一类方法中又有几种可能的做法就用加法原理来解决。 二、精讲精练 【例题1】由数字0，1，2，3组成三位数，问： ①可组成多少个不相等的三位数？ ②可组成多少个没有重复数字的三位数？ 在确定组成三位数的过程中，应该一位一位地去确定，所以每个问题都可以分三个步骤来完成。 ①要求组成不相等的三位数，所以数字可以重复使用。百位上不能取0，故有3种不同的取法：十位上有4种取法，个位上也有4种取法，由乘法原理共可组成3×4×4=48个不相等的三位数。 ②要求组成的三位数没有重复数字，百位上不能取0，有三种不同的取法，十位上有三种不同的取法，个位上有两种不同的取法，由乘法原理共可组成3×3×2=18个没有重复数字的三位数。 练习1： 1、有数字1，2，3，4，5，6共可组成多少个没有重复数字的四位奇数？ 2、在自然数中，用两位数做被减数，一位数做减数，共可组成多少个不同的减法算式？ 3、由数字1，2，3，4，5，6，7，8，可组成多少个： ①三位数； ②三位偶数； ③没有重复数字的三位偶数； ④百位是8的没有重复数字的三位数；
⑤百位是8的没有重复数字的三位偶数。 【例题2】有两个相同的正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6。将两个正方体放在桌面上，向上的一面数字之和为偶数的有多少种情形？ 要使两个数字之和为偶数，就需要这两个数字的奇、偶性相同，即两个数字同为奇数或偶数。所以，需要分两大类来考虑：两个正方体向上一面同为奇数的共有3×3=9（种）不同的情形； 两个正方体向上一面同为偶数的共有3×3=9（种）不同的情形； 两个正方体向上一面同为偶数的共有3×3+3×3=18（种）不同的情形。 练习2： 1、在1—1000的自然数中，一共有多少个数字1？ 2、在1—500的自然数中，不含数字0和1的数有多少个？ 3、十把钥匙开十把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁，问最多试开多少次，就能把锁和钥匙配起来？ 4、由数字0，1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字的三位偶数？ 【例题3】书架上层有6本不同的数学书，下层有5本不同的语文书，若任意从书架上取一本数学书和一本语文书，有多少种不同的取法？ 从书架上任取一本数学书和一本语文书，可分两个步骤完成，第一步先取数学书，有6种不同的方法，而这6种的每一种取出后，第二步再取语文书，又有5种不同的取法，这样共有6个5种取法，应用乘法计算6×5=30（种），有30种不同的取法。 练习3： 1、商店里有5种不同的儿童上衣，4种不同的裙子，妈妈准备为女儿买上衣一件和裙子一条组成一套，共有多少种不同的选法？ 2、小明家到学校共有5条路可走，从学校到少年宫共有3条路可走。小明从家出发，经过学校然后到少年宫，共有多少种不同的走法？ 3、张师傅到食堂吃饭，主食有2种，副食有6种，主、副食各选
小学六年级奥数加法乘法原理问题专项强化训练（高难度） 例题1：小明家有4个蓝色的球和5个红色的球，他要从中选择2个球放入袋子里，问他有多少种不同的选择方法？ 解析：根据加法乘法原理，我们可以分别计算出选择第一个球和选择第二个球的方法数，然后将两个结果相乘即可。 选择第一个球的方法数为：4个蓝色球 + 5个红色球 = 9种选择方法。 选择第二个球的方法数为：在已选第一个球的基础上，只有8个球可供选择，所以有8种选择方法。 总的选择方法数为：9 * 8 = 72种选择方法。 专项： 1. 甲乙丙三个人排成一列，有多少种不同的排法？ 2. 一幢楼的一层有5个房间，另一层有6个房间，如果要在这两层中选择2个房间，有多少种不同的选择方法？ 3. 有5个人排成一排，要从中选择3个人参加比赛，有多少种不同的选择方法？ 4. 一家超市有6种口味的冰淇淋和7种口味的蛋糕，小明要选择一种冰淇淋和一种蛋糕，有多少种不同的选择方法？ 5. 一幢楼有3个门和4个窗户，如果要选择2个门和1个窗户，有多少种不同的选择方法？ 6. 甲、乙、丙、丁四个人依次参加一场比赛，如果比赛不能重复，则有多少种不同的比赛结果？ 7. 一幢楼有3个电梯和4个楼梯，如果要选择2个电梯和1个楼梯，有多少种不同的选择方法？
8. 有5个小朋友要坐在一张长凳上，如果要选择3个小朋友坐在凳子上，有多少种不同的选择方法？ 9. 一张桌子上有4个苹果和5个橘子，小明要选择一个苹果和一个橘子，有多少种不同的选择方法？ 10. 一家超市有5种口味的饮料和6种口味的薯片，小红要选择一种饮料和一种薯片，有多少种不同的选择方法？ 11. 甲、乙、丙、丁四个人要排成一列，如果甲和乙不能相邻，有多少种不同的排法？ 12. 有7个人要参加一次比赛，如果要选择4个人参加比赛，有多少种不同的选择方法？ 13. 一张桌子上有5个苹果和6个橘子，小华要选择2个水果放入篮子里，有多少种不同的选择方法？ 14. 一幢楼有4个电梯和5个楼梯，如果要选择3个电梯和1个楼梯，有多少种不同的选择方法？ 15.有6本书要摆放在书架上，其中3本是小说，3本是科普书，如果要选择2本小说和1本科普书放在书架上，有多少种不同的选择方法？ 例题2：小明有3种颜色的糖果，分别有2个红色的、3个黄色的、4个蓝色的。他想从中选出两颗糖果，问他一共有多少种不同的选法？ 解析：根据加法乘法原理，我们可以将问题拆解为两步。第一步是选择一种颜色的糖果，有3种选择； 第二步是在选定的颜色中选择两颗糖果，这是一个从n个不同元素中选择r个元素的组合问题，即C(2,4)=6种选择。根据乘法原理，两步的选择数相乘，即3*6=18种不同的选法。 专项练习应用题： 1：小明准备给他的朋友送礼物，他手上有4件不同的礼物可以选择。他打算送给他的朋友2件礼物作