--第三章 弹性本构关系和弹性问题的求解习题
习题1、试利用各向异性理想弹性体的广义虎克定律导出：在什么条件下，理想弹性体中的主应力方向和主应变方向相重合？
解：各向异性理想弹性体的广义虎克定律为：
zx
yz xy zz yy xx zx zx yz xy zz yy xx yz zx yz xy zz yy xx xy zx yz xy zz yy xx zz zx yz xy zz yy xx yy zx yz xy zz yy xx xx c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c γγγεεετγγγεεετγγγεεετγγγεεεσγγγεεεσγγγεεεσ666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211+++++=+++++=+++++=+++++=+++++=+++++= （a ）
当0===zx yz xy τττ时，三个互相垂直的应力方向为主应力方向。当0===zx yz xy γγγ时，三个互相垂直的应变方向为主应变方向。在主应变方向上，剪应力分量为：
zz
yy xx zx zz yy xx yz zz
yy xx xy c c c c c c c c c εεετεεετεεετ636261535251434241++=++=++= （b ） 若使0===zx yz xy τττ，则式中xx ε，yy ε，zz ε具有非零解的条件为
063
62
61
53525143
4241=c c c c c c c c c （c ） 上式即为x ，y ，z 轴同时为应力主轴和应变主轴的条件。如果材料性能对称于一个平面，如Oxy 平面，则04645363526251615========c c c c c c c c ，而且ji ij c c =，此时（c ）式恒等于零。在此情况下，当存在以x ，y ，z 轴为主方向的应变状态时，其对应的剪应力分量将成为
0434241==++=zx yz zz yy xx xy c c c ττεεετ （d ）
若应变分量之间满足0434241=++=zz yy xx xy c c c εεετ，则此点的应变主方向和应力主方向重合。如果材料性能对称于Oxy ，Oyz ，Ozx 三个平面，则有056342414====c c c c ，此时（d ）式总是满足的。由此可知，当x ，y ，z 轴为应变的主方向时，也必定为应力的主方向。但是，当应变主方向和正交轴不重合时，一般它与应力的主方向是不重合的。对于各向同性弹性体，不需要任何补充条件，应力主方向和应变主方向总是重合的。
习题2、对于各向同性弹性体，试导出正应力之差和正应变之差的关系式。且进一步证明：当其主应力的大小顺序为321σσσ≥≥时，其主应变的排列顺序为321εεε≥≥。
解：各向同性条件下的广义虎克定律为
()[]()[]()[]
)
3___(1
)2___(1
)1___(1
yy xx zz zz zz xx yy yy zz yy xx xx E
E E σσνσεσσνσεσσνσε+-=+-=+-=
将上式中的（1）－（2），（2）－（3），（3）－（1）分别得：
()()()xx zz xx zz zz yy zz yy yy xx yy xx E E E
σσνεεσσν
εεσσν
εε-+=--+=--+=
-111 即 ()()()()()()xx zz xx zz xx zz zz yy zz yy zz yy yy xx yy xx yy xx G E
G E G E εεεεν
σσεεεενσσεεεενσσ-=-+=--=-+=--=-+=-212121 证明：当其主应力的大小顺序为321σσσ≥≥时，其主应变的排列顺序为321εεε≥≥。
0>G 且321σσσ≥≥，利用上述正应力之差和正应变之差的关系式有321εεε≥≥。
习题3、将某一小的物体放入高压容器内，在静水压力2
/45.0mm N p =作用下，测得体积应变5
106.3-⨯-=e ，若泊松比v =0.3，试求该物体的弹性模量E 。
解：设kk zz yy xx σσσσ=++=Θ为第一应力不变量，而p zz yy xx -===σσσ，
pa mm N p zz yy xx 621035.1/35.13⨯-=-=-=++=Θσσσ
据各向同性条件下的广义虎克定律为有：Θ-=
E
e ν
21，其中体积应变5106.3-⨯-=++=zz yy xx e εεε，故有
()
2
421065/105.1/105.11035.110
6.33.02121mm N m N e E ⨯=⨯=⨯-⨯-⨯-=Θ-=
-ν 。 习题4、在各向同性柱状弹性体的轴向施加均匀压力p ，且横向变形完全被限制住（如图所示）。试求应力与应变的比值（称为名义杨氏模量，以c E 表示）。
解：设柱体的轴线z 轴，p zz -=σ。因为横向变形被限制， 所以0==yy xx εε。据各向同性条件下的广义虎克定律
()[]()[]
()[]
yy xx zz zz zz xx yy yy zz yy xx xx E
E E σσνσεσσνσεσσνσε+-==+-==+-=
1
01
01
得：()zz yy
xx σσ
ν
σ+=，()zz xx yy σσνσ+=，将此两式相减得：
()xx yy yy xx σσνσσ-=-，而泊松比v 的理论取值范围为
2/11<<-v ，故ν
νσσσ-=
=1zz
yy xx ，将其代入广义虎克定律得： []⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
--=-=νσνσνσσε121212zz zz xx zz zz E E
从而
()()()
νννεσ2111-+-=
=
E E zz zz c ，得解。
习题5、在某点测得正应变的同时，也测得与它成60。
和90。
方向上的正应变，其值分别为
6010100-⨯-=ε，6601050-⨯=ε，69010150-⨯=ε，试求该点的主应变、最大剪应变和主应
力（2
5
/101.2mm
N E ⨯=，
3.0=ν）。
解：设该点的x ，y 轴向的正应变分别为x ε，y ε，剪应变为xy γ。任意方向α（α为与x 轴正向的夹角）上的正应变为：
αγαεεεεεα2sin 2
2cos 2
2xy
y
x y
x -
-+
+=
，
所以2
20y
x y
x εεεεε-+
+=
，00
60120sin 2
120cos 2
2
xy
y
x y
x γεεεεε-
-+
+=
，
2
2
90y
x y
x εεεεε--
+=
，解由此三式组成的方程组得该点的x ε，y ε和xy γ分别为：
6906010150,10100--⨯==⨯-==εεεεy x ,
660
900103503
43-⨯=-+=
εεεγxy 。
（1）计算该点的主应变：
图3-1
由x ε、y ε 、xy γ和2
221222⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±+=⎭⎬⎫xy y x y x γεεεεεε得该点的主应变为： max 611029.157εε=⨯=-，min 621029.107εε=⨯-=-。
（2）该点的最大剪应变621max 1058.264-⨯=-=εεγ。 （3）计算该点的主应力：
现611029.157-⨯=ε、621029.107-⨯-=ε、03=ε，据向同性条件下的广义虎克定律得
εI σG e 2+=λ，即()()
ij ij kk ij E
e E
ενδνννσ++
-+=
1211，所以 ()()
11111211ενδνννσ++
-+=
E e E
kk ()()
22221211ενδνννσ++
-+=E e E
kk ()()
33331211εν
δνννσ++
-+=
E e E
kk 将611029.157-⨯=ε、621029.107-⨯-=ε、03=ε、63211050-⨯=++=εεεkk e 及
2
5/101.2mm N E ⨯=、
3.0=ν代入上面三式得：
21/46.31mm N =σ,22/27.11mm N -=σ,23/06.6mm N =σ。
习题6、根据弹性应变能理论的应变能公式ij ij W εσ2
1
=，导出材料力学中杆件拉伸、弯曲及圆轴扭转的应变能公式分别为：
()dx dx du EA dx EA x N U l
l
2
0022121⎰⎰⎪⎭
⎫ ⎝⎛==拉伸
()dx dx d EI dx EI x M U l
l
⎰⎰⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛==02
2202
21
21ω弯曲
()dz dz d GI dz GI z M U l
P l
P 2
0022121⎪⎭
⎫
⎝⎛==⎰⎰φ扭转
。 解：（1）杆件拉伸的应变能公式推导：
设杆件横截面积为A ，弹性模量为E ，如图建立坐标系。杆件为单向拉伸，只存在轴向的伸长或缩短，轴向纤维间无剪切变形，即0===zx yz xy γγγ。
同时轴向纤维间无相互作用力，即0==zz yy σσ。据弹性应变能理论的应变能公式
xx xx ij ij W εσεσ2
1
21==
（其余分量产生的应变能为零）。 现在杆件上x 处取一微段dx ，其体积为Adx dV =，其应变能dU
Adx WdV dU xx xx εσ21=
=,而EA
x N E A x N xx xx xx )
()(===σεσ， dx EA
x N Adx EA x N A x N dU )(21)()(212=⋅⋅⋅=∴
整个杆件的拉伸应变能为： dx EA x N dU U l L
⎰⎰==0
02)
(21拉伸
而dx
du
E E dx du xx xx xx ===
εσε,， 故 dx dx du EA Adx dx du E dx du Adx WdV dU xx xx 2
212121⎪⎭
⎫
⎝⎛=⋅===εσ
整个杆件的拉伸应变能为：dx EA x N dx dx du EA dU U l
l l ⎰⎰⎰=⎪⎭⎫
⎝⎛==020
02)(2121拉伸
（2）杆件弯曲的应变能公式的推导：
在材料力学中杆件在)(x M 外力作用下发生纯弯曲，仅轴向纤维发生拉伸或压缩变形（其中中性层以内的纤维层受压缩，中兴层以外的纤维层伸长），而轴向纤维之间无相互作用的内力，即
0===zx yz xy γγγ和0==zz yy σσ。
在杆件上沿轴向去取一微段dx ，在此微段的横截面上取一个微面dA ，在dA 上的应力可为相同的xx σ，而EI
y
x M E I y x M xx xx xx )(,)(===
σεσ。 2
2
2)(212121y EI x M W xx xx ij ij ===∴εσεσ，Wdydzdx WdAdx WdV dU ===。
图3-2
故dx dz dy y EI x M WdV dU U l b b h h l l ⎰⎰⎰⎰⎰⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛===--
0222222
200)(21弯曲
，其中)(x M 只与x 有关。 dx EI
x M Idx EI x M dx dydz y EI x M U l l b b h
h l ⎰⎰⎰⎰⎰==⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=∴--02022222
22022)(21)(21)(21弯曲
。 杆件弯曲的挠度为ω，挠度曲线的曲率为EI
x M dx d ds d )
(1
22=
==ωθρ dx dx d EI dx EI EI dx d dx EI x M U l l l 2022
02
22022121)(21⎰⎰⎰⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛==∴ωω弯曲
（3）圆轴扭转的变形能公式推导：
设圆轴的轴向为z 轴。在材料力学中，圆轴扭转变形后，其横截面仍为平面，半径仍为直线，且沿z 轴相邻两截面的距离不变，故有
0=====zx yz zz yy xx γγεεε，xy xy xy xy yx yx xy xy ij ij W γτετετετεσ2
1212121==+==∴。
在圆轴轴向z 处取一微段dz ，在微段dz 的横截面（圆截面）上的半径ρ处取一微面积dA ，
dA 上的应力可为相同的ρτ，那么WdA dz WdV dU ==。
据平衡方程有：dA G dA z M A
A
⎰⎰==
ρρργρτ)(
而dz d G G dz
d R xy
φρ
γτφ
ργγρρρ
ρ==⋅=
==,，故dA dz d G z M A
⎰=2)(ρφ，令dA I A
p ⎰=2
ρ。 P P
GI z M dz d dz d GI z M )()(=⇒=∴φφ，而P
P GI z M I z M ρ
γρτρρ)()(=
⇒=， 故dz dA GI z M dz dA WdV dU U V P
V V V
⋅=⋅===⎰⎰⎰⎰2
2
2)(2121ργτρρ扭转
，)(z M 只与z 有关， dz GI dz d GI dz GI z M dz I GI z M dz dA GI z M U l
P P l P P l P A l P ⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎭
⎫ ⎝⎛
===⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=02
020********)(21)(21)(21φρ扭转
， 即 ()dz dz d GI dz GI z M U l
P l
P 2
0022121⎪⎭
⎫ ⎝⎛==⎰⎰φ扭转
。 习题7、试推导体积变形应变能密度v W 及畸变应变能密度f W 的公式分别为：
解：应变张量可分为球形应变张量和应变偏量张量之和：
'εI ε+=ll ε31，即'
3
1ij ij ll ij εδεε+=。
其中球形应变张量表示体积变形（体积的等向收缩或膨胀），不产生形状畸变，它由球形应力
张量所引起，仅产生体积变形应变能；而应变偏量张量表示形状畸变，不产生体积变形，它由应力偏量张量所引起，仅产生畸变应变能。应力张量可分为球形应力张量和应力偏量张量之和：
S I σ+=kk σ31，即',31ij ij ij ij kk ij S S σδσσ=+=令，'3
1ij ij kk ij σδσσ+=
变形应变能密度W 分为体积变形应变能密度v W 与畸变应变能密度f W 之和，
即
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++=⎪
⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+==''''''3131912131312121ij ij ij ij ll ij ij kk ij ij ll kk ij ij ll ij ij kk f v ij ij W W W εσδσεδεσδδεσεδεσδσεσ
其中3=ij ij δδ，0,0'
'====≠ij ij ij j i j i εσδ时；时，。
所以无论如何有：
03
131'
'==ij ij ll ij ij kk δσεδεσ，故 '
'''''21612139121 009121ij
ij ll kk ij ij ll kk ij ij ij ij ll kk f v W W W εσεσεσεσεσδδεσ+=+⋅⋅=⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+++=+=
''2
1,6161ij ij f jj ii ll kk v W W εσεσεσ===∴。
据虎克定律有： k
k
e ke ii m
jj m 3
1⋅=
=
=⇒=σσεσ，
()218
13161ii ii ii v k W σσσ=⋅=∴。
据虎克定律有：'
'
21ij ij G
σε=
， ()2181
61ii jj ii v K
W σεσ=
=()
()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-===
2'
'''31414121ii ij ij ij ij ij ij f G G W σσσσσεσ
()⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=
⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭
⎫
⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-===∴2''''3141 933241 913241 3341412121ii ij ij ii ii ii ii ij ij ij ij ii ii ii ij ij ij ij ij ii ij ij ii ij ij ij ij ij f G G G G G G W σσσσσσσσσδδσσσδσσσδσσδσσσσσσ
习题8、如图所示结构，梁AB 在A 处固支，长为l ，截面积为F 1，截面惯性矩为I 。杆BC 在B 处与梁铰接，截面积为F 2，1222F F =。材料弹性模量为E ，B 点受载荷P 的作用，设梁的压缩量为∆，挠度曲线为2
ax =ω，∆和a 均为待定的变形参数。考虑杆BC 的拉伸及梁AB 的压缩与弯曲，用最小势能原理求B 点的水平和垂直位移。
解：梁AB 被压缩∆，其变形能为∆=
112
1
P U 。 杆BC 被拉伸2∆,其变形能为2222
1
∆=P U 。 其中P P P P ==12,2，()()l l w l 2222
-
∆-++=∆。梁AB 的挠度曲线为2
ax =ω，
其弯曲变形能为
()EIl a dx a EI dx dx w d EI U l
l 20
2
2
02232222==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰ ()()EIl a l l w l P P U U U U 222321222221+⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-∆-+++∆=
++=总
外力功为：2
Pal Pw V l x ==-=。 总势能为
()()2222222221Pal EIl a l l w l P P V U -+⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-∆-+++∆=
+=∏总
据最小势能原理：0=∏δ，0=⋅∂∏
∂+∆⋅∆∂∏∂=
∏a a
δδδ， 其中a δδ和∆可以取任何值，
0,0=∂∏∂=∆∂∏∂a
。 ()
()()w l w l l P P -=∆⇒=∆-++∆--=∆∂∏∂022
212
2
()()()EI
Pl a Pl aEIl l w l l w l P a 8042
2
22
22
=
⇒=-+∆-+++=∂∏∂ B 点的垂直位移为EI Pl al w 832
==，水平位移为EI
Pl w 83
-=-=∆。
习题9、如图所示，简支梁长为l ，抗弯刚度为EI ，中点受P 力作用，支座之间有弹性介质支
l x n l n an dx w d n ππsin 2
1
2
2∑∞
=⎪⎭⎫
⎝⎛-= 0,022==l
x dx w
d ，满足A ，C 两点的边界条件。
简支梁的变形能为：∑⎰∞
==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1
2
43
4
2
022142n n l
a n l EI dx dx w d EI U π。 中点B 处弹性支承的反力2
l x w k P ==反，
弹性支承的变形能为：2
10
22sin ∑⎰⎰⎰∞
=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂==n n n n n w
n da a k da a w kw kwdw U π 总变形能为：21U U U +=。外力功为：∑∞
==-1
2
sin
n n n a P
V π
， 总势能为：∑∑⎰∑∞
=∞
=∞
=-⎪⎭⎫
⎝⎛+=
+=∏12
112
43
4
2sin 2sin 4n n n n n n n
n a P n da a k a n l EI V U πππ， 按李兹法有：
23442
434
2sin 22sin
2sin 2sin 20⎪
⎭
⎫
⎝⎛+=⇒-⎪⎭⎫ ⎝⎛+==∂∏∂πππ
πππn k l EI n n P an n P n ka a n l EI a n n n 344322sin
2kl EI n n Pl a n +=ππ， ∑∞=+=1
3
443
2sin 2sin 2n kl EI n l x n n Pl w πππ， ∑∞
==⎪⎭⎫
⎝
⎛+=12
34432
max 2sin 22n l
x n kl EI n Pl w ππ。 （2）用迦辽金法求梁中点B 的挠度： 将挠度曲线∑∞
==
1
sin
n n l
x
n a w π代入y 向平衡方程得： 0233=--kw P dx
w d EI ，将其代入迦辽金方法的积分式中得：
0sin sin 212cos 011333=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+--⎰∑∑∞=∞=dx l x
n l x n ka P l x n l n EIa l
n n n n ππππ 即()ππππn k n P a dx l x n ka dx l x n P n l n l
cos 12sin 21sin 202
0-=⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰ ()()2sin cos 12sin cos 1212
max 1ππππππn n k
n P
w l x n n k
n P
w n l
x n ∑
∑
∞
==∞
=-=⇒-=
习题10、试用李兹法求如图所示的一端固定、一端自由的压杆临界载荷cr P ，设该压杆的长度
为l ，抗弯刚度为EI （常数），其挠度曲线为⎪⎭
⎫
⎝
⎛
-=l x a w 2cos
11π。 解：挠度曲线为⎪⎭
⎫
⎝
⎛
-=l x a w 2cos
11π可以满足所要求的边界条件，压杆失稳后的弯曲应变能为 4
222cos 2223
2102
4
212
022π
πππ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰l a EI dx l x
l a EI dx dx w d EI U l
l 外力功Pd V =-，其中d 为失稳后由弯曲引起压杆顶端处向下的竖直位移：
4222sin 212121212
02
20ππππ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫
⎝
⎛⎪
⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰l a dx l x l a dx dx dw d l
l 势能为：4
22422213
21π
πππ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=∏l Pa l a EI V U 。
应用李兹法有040424222113
11=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∏∂P l EI a l Pa EIa a πππππ， 如果01=a ，此方程虽然是满足了，但是这表示该压杆保持直的，根本没有失稳，所以01≠a 。由此得：
22
24674
.24l
EI
l EI
P P cr ==
=π， 此结果正好是精确解，这是因为所设的挠度曲线正好是失稳后的真实挠度曲线。
习题11、已知如图所示的半无限弹性体的界面上，承受垂直于界面的集中力P 的作用，试用位移法求位移及应力分量。 解：
一、求位移函数w u ,
用位移法求解时，须求出满足边界条件及满足以位移分量表示的平衡方程组：
⎪
⎭
=∇+∂-0212w z νz
w
r u r u e z r ∂∂++∂∂=
++=εεεθ， 22
222
1z r r r
∂∂+∂∂+∂∂=∇。
可以找到满足平衡方程组的两组特解：
⎪⎪
⎭
⎪
⎪⎬⎫
⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+==R R z A w R rz A u 1)43(32
13
1
ν （a ） ()⎪⎪⎭
⎪⎪
⎬⎫=+=R A w z R R r A u 12
2
（b ） 上述两组特解的线性组合可作为通解：
()⎪⎪
⎭
⎪
⎪⎬⎫+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=++=R A R R z A w z R R r A R rz A u 11)43(2321231
ν （c ）
其中A 1和A2由边界条件来确定,将其代入由位移表示的应力得：
()()()()()()⎪⎪⎪
⎪⎪⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-=⎭
⎬
⎫⎩⎨⎧+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++-+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅++⎥⎦⎤⎢⎣
⎡--+=
32352132353
123132
22225231213121312113211R r A R r R rz A E R z A R z R z A E z R R A R z
A E R z r z z R R A R zr R z A E rz z r νντννσννσνν
σθ （d ） 在边界上（z=0面），除外力作用点外，0,0==rz z τσ，前一条件自然满足，而后一条件由上式的第四式可得：
()02121=+-A A ν （e ）
另外假想过M 点作一与边界面平行的面，将半无限弹性体的上部取出，根据被取部分Z 向平衡条件得：
()020
=+⎰
∞
P rdr z πσ （f ）
将（d ）中的z σ代入（f ）得
()01221312032003531=+-⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-++-⎰⎰⎰∞∞∞R rdr
z EA R rdr z R rdr z EA P νπννπ，积分此式得： ()[]02212121=+-+-
A A E
P νν
π （g ） 由式(e)、(g)解得
()()
()E
P A E P A πννπν2121,2121+--=+=
（h ） 将A 1，A 2代入（c ）式得位移函数为：
()()()()()⎪⎪⎭
⎪⎪
⎬
⎫⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+=333
1221,2121R z R E P w z R R r
R rz E P u νπννπν （I ）
二、求应力分量
将A 1、A 2代回(d)，可得应力分量的计算公式：
()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
⎬⎫-==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-+-=.32,32,1
212,3)21252
5
3
352R rz P R z P z R R R z P R zr z R R P rz z r πτπσνπσνπσθ （j ）
三、讨论：
1）以上所得应力和位移，当R 增大时应力、应变值迅速减小，即带有局部性质。
2）当0→R 时，各应力分量都趣于无限大，这是因为假设外力集中作用在一点的缘故，实际上载荷不可能加在一个几何点上，而是分布在一个小面积上，因此实际应力不会是无限大而是相当大甚至已进入塑性阶段。根据圣维南原理，只要稍离集中力作用点，以上的应力与位移公式仍可认为是正确的。
3）由(j)式可见，当z=0时，在弹性半空间的边界面上有
⎪⎭
⎪
⎬⎫
-=
-=-===πνπνσστσθ2212210,022P r P R r rz z （k ）
这说明，边界面上各点受到纯剪切作用。
4）当r=0，R=z 时，即在z 轴上的各点，由(j)式可得(l)式。这说明在z 轴上各点受到两向拉伸、一向压缩，它的主应力为（m ）式，以绝对值来比较，3σσ=z 比径向及周向应力21,σσ大得多。
以上结果是研究接触问题的基础。
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎬⎫
=-=-=-=
.0,
32,2212,
221222
2rz z r z P z P z P τπσνπσνπσθ （l ）
⎪⎭
⎪⎬⎫
-=-=
=,3
222122
3221z P z P πσνπσσ （m ）
习题12、试用应力函数(
)
()()
z
z
r
z z r z C z
r C r z C ++-++++=2
122
212232
1
22
21ln
ln ϕ求解第11题中
半无限弹性体的界面上，承受垂直于界面的集中力P 的作用时的位移及应力分量，并求水平边界面上任意一点的沉陷。
解：半无限弹性体的界面上承受垂直于界面的集中力P 的作用是一个空间轴对称问题，所有的物理分量都只是r 和z 的函数，与θ无关。将上述应力函数ϕ代入如下求应力分量的公式：
()()⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎪
⎪⎪⎪
⎪⎬⎫⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∇-∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∇-∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∇∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∇∂∂=22222
222221,2,
1,z r z z r r z r z rz z r ϕϕντϕ
ϕνσϕϕνσϕϕνσθ (a) 其中 2
2
222
1z r r r ∂∂+∂∂+∂∂=∇ (b)
()
(
)
2
1222232
1
22
2
2121z
r r z C z
r
C r
z C r r ++
++=∂∂ϕ
()()()
2
3
2
224323
22232212224z r r z C z r z C C r
z C r +-+-+-=∂∂ϕ
()()
2
3
222
32322
224z r z C r C C z +--=∂∂ϕ ()
2
122
3
2242z
r
C C +-=
∇ϕ
得
()()()()()
()()()()
()()()()()
()()()()()()
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫
+----+---=+--++---=+--+-+--=++++-++--=25
223
322322322322
5
223
32322322322
3
2223
3232212322322
5
2225
3233242323223221422421,283422,2442,242842z
r r C C rz C C z r C C r z r z C zr C C z r C C z z r r z C zr C C r
C z r z C C z
r r z C r z C C zr C C z r z C C r C rz z r ντνσνσνσθ （c ） 在边界上（z=0面），除外力作用点外，0,0==rz z τσ，前一条件自然满足，而后一条件由上式的第四式可得：
()()044212
3
232=+----
=r C C C C rz ντ （d ）
另外假想过M 点作一与边界面平行的面，将半无限弹性体的上部取出，根据被取部分Z 向平
衡条件得：
()020
=+⎰
∞
P rdr z πσ （e ）
将（c ）中的z σ代入（e ）式并积分得
()()01241432=-+-+C C P
ννπ
（f ）
式(d)中r 为任意值，故只有分子为零，即
()042132=+-C C νν (g)
由式(f)、(g) 解得C 2和C 3，()π
ν
π
νP C
P C -
=-=
2
3,421
将C 2和C 3代入式(d)得rz z τσ,。然后利用虎克定律求出θε，根据0=θε求出C 1。得应力分量为
()()()
()()()
()
()
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎪⎪⎪⎪
⎪⎬⎫+-=+-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=------,
23,23,1212,3121225
22
22
5
223232221222225222212222z r rz P z r z P z r z z r r z r P z r z r z r r z r P rz z r πτπσνπσνπσθ （h ） 将（h ）式 代入以应力分量表示的位移公式求出位移为
()()()()
()()
()()
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬⎫⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+-+++=
⎥⎦⎤⎢⎣
⎡+-+
-++-=--
-
-21
232
3
2222
32
3221
221221211
12121z r z r z E P w z r z r z r z Er P u νπνν
πνν 利用上述位移公式求出水平边界面上任意一点的沉陷为
()Er
P w z πνη2
1-=
==。
习题13、如图所示，设有半空间无限大弹性体，单位体积的质量为ρ，在水平边界面上受均布压力q 的作用，试用位移法求位移分量和应力分量（并假设在z=h 处w=0）。
解：由于对称（任意铅直面都是对称面）试假设)(,0,0z w w v u ===。这样就得
dz dw z w y v x u e =∂∂+∂∂+∂∂=，22,0dz
w
d z
e y e x e =∂∂=∂∂=∂∂。
因为半空间无限大弹性体体力分量
g Z Y X ρ===,0
所以上述假设在x ，y 向满足以位移表示的平衡微分方程：
⎪⎪⎪⎭
⎪⎪
⎪⎬⎫=+⎪⎭⎫ ⎝⎛∇+∂∂-=+⎪⎭⎫
⎝⎛∇+∂∂-=+⎪⎭⎫
⎝⎛∇+∂∂-021102110211222Z w x e G Y v x e G X u x e G ννν 而在z 向的平衡微分方程为02112222=+⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+-g dz w d dz w d G ρν，简化后得
()()νρν---
=12212
2G g dz w
d （a ） 积分后得 ()()A z G g
dz dw e +---
==
νρν12)21( （b ） ()
()B A z G g
w ++---
=214)21(νρν （c ）
其中A 和B 为积分常数。
现据边界条件来确定A 和B 。将以上的结果代入以位移分量表示应力的物理方程
⎪
⎪
⎪⎭
⎪⎪
⎪⎬⎫⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂+-=x w z u G z w e G y w w v G y v e G x v y u G x u e G zx z yz y xy x τννστννστνν
σ,212,,212,,212 （d ） 得
()()⎪⎪⎭
⎪
⎪
⎬⎫
===+-=+--
==0
,,1zx yz xy z y x A z g A z g τττρσρν
ν
σσ （e ） q
在边界面上（z=0面）q Z Y X ===,0，即q z z -==0
σ，代入（e ）式得g
q
A ρ=
。再回代（e ）式得应力分量：
()()⎪⎪
⎭
⎪
⎪⎬⎫===+-=+--
==0
1zx yz xy z y x q gz q gz τττρσρνν
σσ （f ）
并由（c ）式得z 向位移()B g q z G g w +⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+---
=2
14)21(ρνρν （g ） 为了确定常数B ，必须利用位移边界条件。由于在z=h 处w=0，代入（g ）式得
()()2
1421⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+--=g q h G g B ρνρν。
再回代（g ）式得位移分量：
()
()()[]
22214)
21(z h g z h q G w -+---=
ρνν，
至此位移分量和应力分量全部求出。
习题14、球形容器的内半径为a ，外半径为b ，内部作用着压力为P i ，外部压力为P e ，试用位移法求其应力分量（不计体力）。
解：这是一个空间球对称问题，体力K R =0，由位移分量表示的球对称平衡微分方程
()()()02
22111222=+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+-+-R R R R K u R dR du R dR u d E ννν得微分方程 02
22
22=-+R R R u R dR du R dR u d 解此微分方程得（其中A ，B 为积分常数）
2
R B
AR u R +
= （a ） 将R u 代入以位移分量表示应力的物理方程
()()()()()⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+=
R u dR du E R u dR du E R R R R R νννσννννσθ211,21211
得应力分量的表达式：
,12213
R
B E A E R ννσ+--=
（b ）
,1213
R
B
E A E ννσθ++-=
（c ） 代入如下边界条件： e b
R R
i a
R R
P P -=-===σσ,求解A 和B 得
()()()()
()νν+--=---=
12,213
3333333a b E P P b a B a b E P b P a A e i e i （d ） 将(d)式代入(a)式得径向位移
()⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎣⎡-+-+--+-++=e i R P b a R a P a b R b E R u 3333333311212112121ννννν。 （e ） 将(d)式代入(b)式和(c)式得径向正应力R σ和切向正应力θσ（R σ和θσ就是主应力）：
(
)()
()(
)
(
)(
)
(
)(
)
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬⎫-+--+==------=e
i e i R P a b R a R b P a b R R b a P a
b R a R b P a b R R b a 3333333333333333
333333332222ϕθσσσ
第一章 习题1 证明δ-e 恒等式jt ks kt js ist ijk e e δδδδ-= [证明] ()()() jt ks kt js kt js jt ks jt ks kt js jt ks kt js it js jt is ki it ks kt is ji jt ks kt js ii kt ks ki jt js ji it is ii ist ijk e e δδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδ-=-++--=-+---==33 习题2 证明若q y o ，则0=ij ij b a [证明] ji ij ji ij b b a a -==; ji ji ij ij b a b a -=∴，0=+=+∴pq pq ij ij ji ji ij ij b a b a b a b a 又因为所有的指标都是哑指标，ij ij pq pq b a b a =，所以02=aijbij ，即0=ij ij b a 习题3 已知某一点的应力分量xx σ，yy σ，zz σ，xy σ不为零，而0==yz xz σσ，试求过该点和z 轴，与x 轴夹角为α的面上的正应力和剪应力。 [解] 如图1.1，过该点和z 轴，与x 轴夹角为α的面的法线，其与x 轴，y 轴和z 轴的方向余弦分别为cos α，sin α，0，则由斜面应力公式的分量表达式，ij i j σνσν=)(，可求得该面上的应力为 ασασσνσνsin cos 11)(xy xx j j +== ασασσνσνs i n c o s 22)(yy yx j j +== 033==j j v σνσ)( 由斜面正应力表达式j i ij n ννσσ=，可求得正应力为 ασαασασσ22sin sin cos 2cos yy xy xx n ++=？？ 剪应力为 ασασσστ2cos 2sin )(2 1 2 2 )()(xy xx yy n n n +-= -=-=σσσn
--第三章 弹性本构关系和弹性问题的求解习题 习题1、试利用各向异性理想弹性体的广义虎克定律导出：在什么条件下，理想弹性体中的主应力方向和主应变方向相重合？ 解：各向异性理想弹性体的广义虎克定律为： zx yz xy zz yy xx zx zx yz xy zz yy xx yz zx yz xy zz yy xx xy zx yz xy zz yy xx zz zx yz xy zz yy xx yy zx yz xy zz yy xx xx c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c γγγεεετγγγεεετγγγεεετγγγεεεσγγγεεεσγγγεεεσ666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211+++++=+++++=+++++=+++++=+++++=+++++= （a ） 当0===zx yz xy τττ时，三个互相垂直的应力方向为主应力方向。当0===zx yz xy γγγ时，三个互相垂直的应变方向为主应变方向。在主应变方向上，剪应力分量为： zz yy xx zx zz yy xx yz zz yy xx xy c c c c c c c c c εεετεεετεεετ636261535251434241++=++=++= （b ） 若使0===zx yz xy τττ，则式中xx ε，yy ε，zz ε具有非零解的条件为 063 62 61 53525143 4241=c c c c c c c c c （c ） 上式即为x ，y ，z 轴同时为应力主轴和应变主轴的条件。如果材料性能对称于一个平面，如Oxy 平面，则04645363526251615========c c c c c c c c ，而且ji ij c c =，此时（c ）式恒等于零。在此情况下，当存在以x ，y ，z 轴为主方向的应变状态时，其对应的剪应力分量将成为 0434241==++=zx yz zz yy xx xy c c c ττεεετ （d ） 若应变分量之间满足0434241=++=zz yy xx xy c c c εεετ，则此点的应变主方向和应力主方向重合。如果材料性能对称于Oxy ，Oyz ，Ozx 三个平面，则有056342414====c c c c ，此时（d ）式总是满足的。由此可知，当x ，y ，z 轴为应变的主方向时，也必定为应力的主方向。但是，当应变主方向和正交轴不重合时，一般它与应力的主方向是不重合的。对于各向同性弹性体，不需要任何补充条件，应力主方向和应变主方向总是重合的。 习题2、对于各向同性弹性体，试导出正应力之差和正应变之差的关系式。且进一步证明：当其主应力的大小顺序为321σσσ≥≥时，其主应变的排列顺序为321εεε≥≥。
此为复习题，只能作为参考，如需高分，同志仍需努力 一．概念题： 1晶体的结合力类型 离子键、共价键、金属键、极化键 2表面结构中的奇异面和临位面 奇异面：晶面法线方向和极图的奇异取向吻合，相当于表面能系数最低的面，通常是密排的低指数面。在低温下这类固汽表面再原子尺度上是光滑的。 邻位面：取向上和奇异面只有小角度的偏离。从能量考虑，这一类的面将为平台-台阶式的表面，平台的取向和奇异面的一致。在低温下这类固汽表面在原子尺度上是准光滑的。 3金属的内耗 通过周期应力、应变（振动），甚至在与外界完全隔离的条件下，它的机械能也会转变为热能，能耗在材料内部，使振动衰减和停止，这种能量损耗和振动衰减现象称为内耗。 4极化机制 分子的极化机制有三种： 电子云位移极化：由于电场的作用，构成它的原子、离子中的电子云将发生畸变，使电子云与原子核发生相对位移，在电场和恢复力的作用下，原子具有了一定的电偶极矩，这种电极化常被称为电子的位移极化P e。 离子位移极化：在离子晶体和玻璃等无机电解质中,正、负离子处于平衡状态，其偶极矩的矢量和为零。但这些离子，在电场作用下，除了离子内部产生电子位移计划外，离子本身将发生可逆的弹性位移。正离子沿电场方向移动，负离子沿反电场方向移动，正、负离子发生相对位移，形成感应偶极矩，这就是离子位移极化。 固有偶极子取向极化：分子具有固有电矩，而在外电场作用下，电矩的转向所发生的电极化称为转向极化P d。 空间电荷（其它极化机构） 5压电性，热释电性，铁电性 压电效应：对于不存在对称中心的异极晶体，加在晶体上的外力除了使晶体发生形变以外，同时，还将改变晶体的极化状态，在晶体内部建立电场，这种由于机械力的作用而使介质发生极化的现象称为正压电效应。反之，如果把外电场加在这种晶体上，改变其极化状态，晶体的形状也将发生变化，这就是逆压电效应。二者统称为压电效应。 热释电性：当晶体的温度T均匀变化时，晶体的自发极化强度矢量P i也随之发生变化。晶体的热释电效应可用以下关系给出：dP i=p i dT。其中p i称为热释电常数，其单位为C/cm2*K，p把自发极化强度矢量P与标量T联系起来。 铁电性：铁电体是指这样一些晶体，它们在某些温度范围具有自发极化，而且极化强度可以随外电场反向而方向。铁电性是在热释电性的基础上可重新定向的性质。 6材料磁性分类 根据磁化率的大小，分为：抗磁性、顺磁性、反磁性、铁磁性、亚铁磁性。 7波尔磁子 μ=eh/2m=9.273*10-24A*m2，称玻尔磁子，是理论上最小的磁矩，经常作为磁矩的单位使用。 8固体的能带模型 能带的能量是量子化的,越迁能级,从基态到激发态,电子具有的能量间断,从一个到另外一个能级。 不全列。。半开放 能带理论是单电子近似理论，即个电子的运动基本上可以看成是相互独立的，每个电子是在具有晶格周期
圆筒在拉力和剪力共同作用下的应力强度可表示为: 2 22 22 2222236221)(6)()()(21τστστττσσσσσσσθθθθ+=+=+++-+-+-= zr z r r z z r i 2 233τσττσσσ++= ∴ d d d i 由已知条件: 1 E E s σσσ ε-+ = ,当s σσ>时，p e s i s E E εεσσσε+=-+=1 )3(2) 3(32 3, 2211 τσττσσσελσε ++= == ∴ E d d d d E d d i p i p 则 因此， ) 3()3(1) 3() 3(31221221τσττσσσσετσττσσττγθ+++=+++=E d d d E d E d d d G d z z (1) 先拉后扭 ??????-+=+?+=+=++=?? ?? )41(313)3(331)2ln 211()3(31 3 022130 1 302210 πστσττττγστσττσσεσσθσσE G E d d G E E E d E d s s z s s s z s s s s (2) 先扭后拉 ???? ??+=?? ????+?+=? ?????-+=?? ????++=?? ?? 2ln 2313) 3(3)3(31)41(11)3(3102213 10 22120 E G E d d G E E E d E d s s s z s s z s s s s σσσσσστγπσσστσσεσσθσσ (3) 拉、扭按比例同时增长
按1:3:=τσ的比例加载，当,2 s σ σ=6 s στ= 时，薄壁圆筒已经达到屈服极 限，所以 [ ] [] ???? ??-+=+++=??? ???-+=?? ????+????????++=?? ?? )211(3133)3(3)3()3(31)211(11) 3(3) 3(331362 21 30 122210 E G E d d d G E E E d d E d s z s z s s s s s s σττττττττγσσσσσσσσσεσσσθσσσ 8. 已知圆形截面梁，截面半径为R ，在弹塑性状态时，2 R h e =，且已知 e e h R =ρ ρ, 试求此时e M M 的值。 图5.3 解：e M 为弹性极限弯矩，表示为：
第五章 屈服准则和塑性本构关系 1. 如图5.1所示的薄壁圆管受拉力p 和扭矩M 的作用，试写出此情况下的Mises 条件和 Tresca 条件。 图5.1 解：如图所示： 221)2 (2τσ σ σ++= 02=σ 223)2 (2τσ σ σ+-= Mises 屈服条件： 2 2132322212)()()(s σσσσσσσ=-+-+- 即有 2 22262s στσ=+ 2223s στσ=+ Tresca 屈服条件： s σσσ=-31 即有 s στσ =+22)2 ( 2 2224s στσ=+ 2．已知两端封闭的薄壁圆管，平均半径为0r ，管的厚度为0t ，受内压p 的作用。试分别按 Mises 屈服条件和Tresca 屈服条件写出此薄壁圆管在屈服时p 的表达式。 解： 根据薄壁圆管的平衡条件，有 σ σ τ τ
p t pr t pr r z -== = σσσθ,2,0 (a) 由式(a)可见: r z σσσθ>> (b) 将式(a)代入Mises 屈服条件 2 2222)()()(s z z r r σσσσσσσθθ=-+-+- 则得 2 02200232)(23s t pr p p t pr σ=++ 将上式整理后，得 2 002002 44)(6)(3s t r t r p σ=?? ????++ 由此得 4)(6)(320 0200++= t r t r p s σ 由于式(b)成立，故将式(a)中的θσ和r σ的表达式代入Tresca 屈服条件，即 s r σσσθ=- 则得 1t r p s += σ 3. 求出Tresca 屈服准则的等向强化模型和随动强化模型的屈服函数，并在π平面上进行讨 论。 解：(1) 在Tresca 屈服准则下，等向强化模型可以表示为： 0=--κσσs 式中)()(? ? ==p p d H dW F εκ，{} 133221,,max σσσσσσσ---= 由上式可知：κσσ+=s ，即为所求屈服函数 。 很明显，在强化过程中，随着κ的增加，产生屈服所需的最大有效应力σ相应增大，对应于π平面上的正六边形的面积也将增大。
基于有限元法的热障涂层系统应力分析 林旭 【摘要】采用有限元方法建立热障涂层模型,研究热障涂层系统在温度载荷作用下的应力场及其温度场分布,考虑陶瓷层厚度和氧化层厚度变化对热障涂层系统热应 力的影响.研究结果表明,热障涂层系统最大应力出现在氧化层/陶瓷层界面,热障涂 层系统内氧化层/陶瓷层界面等效残余应力随着氧化层厚度增加而增加.随着陶瓷层厚度增加,热障涂层系统隔热效果明显,对热障涂层设计有指导意义. 【期刊名称】《齐齐哈尔大学学报（自然科学版）》 【年(卷),期】2018(034)004 【总页数】4页(P33-36) 【关键词】热障涂层;有限元;应力场 【作者】林旭 【作者单位】青海民族大学交通学院,西宁 810007 【正文语种】中文 【中图分类】TG174.442 热障涂层是基体的防护材料，具有良好的隔热、耐高温和抗腐蚀性，成为目前最先进的高温防护涂层之一，被广泛地应用于内燃机及航空发动机气缸内壁，从而使 部件能够承受更高的工作温度，有利于提高热机效率[1,2]。自20世纪50年代以来，热障涂层发展迅速，对其性能要求越来越高。热障涂层系统结构复杂，由基体、粘结层和陶瓷层组成，当其在高温环境下工作时，粘结层和陶瓷层界面处会形成一
层几微米厚的Al2O3氧化层，由于热障涂层工作过程中不可避免地会生成氧化层，因此热障涂层系统模型由基体、粘接层、氧化层、陶瓷层四部分组成。涂层结构层状堆叠，涉及多种材料，各层间的热膨胀系数等物理参数不同，加之热障涂层工作在高温、高压和强腐蚀环境下，在各层界面上会产生极大地热应力，随着氧化层厚度不断增加，还会引起涂层系统内应力的重新分布[3]，导致热障涂层失效，因此，涂层应力大小及其分布是影响热障涂层寿命的关键因素。目前很多研究人员采用不同的方法研究热障涂层的失效机理，而引起涂层失效的重要原因是随着氧化层的厚度增加，引起涂层界面开裂，研究热障涂层系统中随着氧化层厚度增加，以及陶瓷层厚度对涂层系统应力分布对于有效预测涂层系统失效破坏具有重要意义。本文采用有限元方法模拟计算热障涂层系统应力及其温度分布，以及陶瓷层、氧化层厚度对热障涂层系统应力的影响，为今后分析热障涂层系统提供有益的帮助。 在工作过程中，假设热障涂层系统中陶瓷层发生蠕变，考虑热障涂层系统各层材料弹性模量、泊松比、热膨胀系数等参数随着温度而不断变化[4,5]，在高温环境下 的本构方程为 式中，为应变率，A为蠕变系数，为Mises等效应力，m蠕变指数。各层材料参 数如表1~3所示。 对于热障涂层系统，建立有限元模型时作如下假设[6]，涂层材料各向同性，将模 型简化为平面应变状态下的应力场，系统表面处于强制对流条件，端面绝热并认为每层中的材料都是均匀的。 建立空心圆柱剖面的 1/4 视图进行有限元分析。热障涂层在高温工作过程中，氧 化层随时间逐渐增厚，为了模拟氧化层厚度的生长，在研究过程中设定陶瓷层、 粘结层界面上的单元在工作一段时间后厚度增加，采用单元转换的方式模拟氧化层的生长，采用plane223单元和有限元软件建立热障涂层模型，如图1所示。 在分析过程当中，1/4 空心圆柱剖面的两端面施加对称约束，将热边界条件定义为
第二章 习题 1 初始时刻位于 () 321,,a a a 的质点在某时刻t 的位置为 33322311; ; a x ka a x ka a x =+=+=，其中510-=k ，求格林应变张量的分量。 [解] 采用拉格朗日描述法，),,(321a a a u a x u i i i i =-=，得 由格林应变张量，j i e e E ij E =，() j m i m i j j i u u u u Eij ,,,,2 1 ++= ，得 习题2 证明j i ε是二阶对称张量的分量，而ij γ不是任何张量的分量。 [证明] （1） () i j j i ij u u ,,2 1 += ε，显然可得其对称性 对于笛卡尔直角坐标系oxyz 和z y x o '''，各坐标轴之间的方向余弦如下表 由弹性力学理论知，ij j j i i j i εββε''''=，恰与张量定义相吻合， ∴ j i ε是二阶对称张量的分量 （2）设有一剪应变张量γ，其分量()ij ij ij ij ij ij εδεδεγ-=-=22 取任一矢量k k e n k n =，则 m k j i e e e e jk β=•，但() jk k ij ij n βεδ-2不能缩并为m ε，与假设γ是张量矛盾。 根据张量的商判则，ij γ不是任何张量的分量。 习题3 为求平面应变分量x ε、y ε、xy γ，将电阻应变片分别贴在x 方向，与x 成 60和 120方向上，测得应变值以0ε、60ε、120ε表示，试求x ε、y ε、xy γ [解] 平面应变状态下，沿x 方向，与x 成 60和 120方向上的方向余弦分别为)2 3 ,21();23,21();0,1(-321v v v 根据v 方向线元的工程正应变公式，j i ij v v v εε=，得 求得 习题4 假设体积不可压缩位移),(211x x u 与),(212x x u 很小，03≡u ，在一定区域内已知 ()() 2 112211cx bx a x u ++-=，其中a ，b ，c 为常数，求()212,x x u 。 [解] 题目条件适用小变形，() i j j i ij u u ,,21 += ε，得
- 第二章 习题 1 初始时刻位于 () 321,,a a a 的质点在某时刻t 的位置为 33322311; ; a x ka a x ka a x =+=+=，其中510-=k ，求格林应变张量的分量。 [解] 采用拉格朗日描述法，),,(321a a a u a x u i i i i =-=，得 0;;33231===u ka u ka u 由格林应变张量，j i e e E ij E =，() j m i m i j j i u u u u Eij ,,,,2 1 ++= ，得 021131312121111111 111=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂= a u a u a u a u a u a u a u a u E 02123 1322122111122 12112=⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂= =a u a u a u a u a u a u a u a u E E 63313321231111331311310521 21-⨯==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂= =k a u a u a u a u a u a u a u a u E E 021232322222121222 222=⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂= a u a u a u a u a u a u a u a u E 63323322231212332322310521 21-⨯==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂= =k a u a u a u a u a u a u a u a u E E 021333332323131333 333=⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂= a u a u a u a u a u a u a u a u E 习题2 证明j i ε是二阶对称张量的分量，而ij γ不是任何张量的分量。 [证明] （1） () i j j i ij u u ,,2 1 += ε，显然可得其对称性 对于笛卡尔直角坐标系oxyz 和z y x o '''，各坐标轴之间的方向余弦如下表 由弹性力学理论知，ij j j i i j i εββε''''=，恰与张量定义相吻合，
不同。与左端距离x 的截面AB 处的直径为dx ， ()l x d d d dx /121-+=。设AB 截面的面积为x S ，于是该截面上的压缩热应力为 2 121) (4⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ -+-= - =x l d d d P S P x x πσ 故AB 处的应变为 2 121) (4⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ -+ -= - =x l d d d E P E x x πσ ε 与AB 距离dx 微段的缩短了dx x ε，因此整个棒缩短 l d Ed Pl x l d d d E Pdx l αθππ== ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ -+ ⎰ 2 10 2 1214) (4 那么4/21θαπd d E P =，于是热应力为 2 12121)(⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡ -+-= x l d d d d d E x θασ 最大热应力发生在截面积最小的左端，为12max /d Ed αθσ-=。 习题2、如图10-2所示，两根材料和长度都不相同的平行棒，它们的一端各自被固定，而另一 端连接在刚体板上可以一起轴向活动，通过弹簧受到另一壁的反作用，设两棒分别从最初的无应力
棒2自由膨胀时伸长量大，故棒2除自由膨胀外，受到压缩而缩短，因压应力的缩短量为22222/E L L σε=，其最终伸长量为 222222/E L L T σα+。 而棒1除自由膨胀外，还因相应拉应力的伸长11111/E L L σε=，其最终伸长量为 111111/E L L T σα+ 其中21,σσ中包含了应力符号。 因右端连接在刚体板上一起轴向活动，两棒的总伸长量应相等，即 l E L L T E L L T -=+=+222222111111//σασα （a ） 设弹簧的弹性常数为s k ，则其压缩力为l k P s =，故有 P S S =+2211σσ （b ） 可求得 ()2 111221 111 1 112221 111 12211L E S L E S E S L k S L T k L T L T E S E S s s ++ ---= ααασ ()1 222112 222 2 221112 222 2112 1L E S L E S E S L k S L T k L T L T E S E S s s ++ --- = ααασ 讨论： （1）若0=s k ，弹簧非常柔软的情况下，刚体板仅起连接作用，此时
固 体 力 学 复 习 题 1、 概念 1）弹性与塑性 弹性：物体在引起形变的外力被除去以后能恢复原形的这一性质。 塑性：物体在引起形变的外力被除去以后有部分变形不能恢复残 留下来的这一性质。 2）应力和应力状态 应力：受力物体某一截面上一点处的内力集度。 应力状态：某点处的9个应力分量组成的新的二阶张量∑。 3）球张量和偏量 球张量：球形应力张量，即σ=0 00000m m m σσσ⎡⎤⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦ ，其中()1 3 m x y z σσσσ= ++ 偏量：偏斜应力张量，即x m xy xz ij yx y m yz zx zy z m S σστττσστττσσ⎡⎤ -⎢⎥ =-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ ，其中()1 3 m x y z σσσσ=++ 4）转动张量：表示刚体位移部分，即 1102211022110 22u v u w y x z x v u v w ij x y z y w u w v x z y z W ⎡ ⎤ ⎛⎫ ⎛⎫∂∂∂∂--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎢⎥ ⎝⎭⎝⎭ ⎢ ⎥ ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂⎢⎥ =-- ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎢⎥ ⎢⎥⎛⎫ ⎛⎫∂∂∂∂⎢⎥-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥∂∂∂∂⎝⎭ ⎝⎭ ⎣⎦
5）应变张量：表示纯变形部分，即 112211221122u u v u w x y x z x v u v v w ij x y y z y w u w v w x z y z z ε⎡⎤ ⎛⎫ ⎛⎫∂∂∂∂∂++⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎢⎥ ⎝⎭⎝⎭ ⎢ ⎥ ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂⎢⎥ =++ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥ ⎛⎫ ⎛⎫∂∂∂∂∂⎢⎥++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥∂∂∂∂∂⎝⎭ ⎝⎭ ⎣⎦ 6）应变协调条件：物体变形后必须仍保持其整体性和连续性，因此各应变分量之间，必须要有一定得关系，即应变协调条件。 22 222y xy x y x x y εγε∂∂∂+= ∂∂∂∂。 7）圣维南原理：如作用在弹性体表面上某一不大的局部面积上的力系，为作用在同一局部面积上的另一静力等效力所代替，则荷载的这种重新分布，只造离荷载作用处很近的地方，才使应力的分布发生显著变化，在离荷载较远处只有极小的影响。 8）屈服函数：在一般情况下，屈服条件与所考虑的应力状态有关，或者说，屈服条件是改点6个独立的应力分量的函数，即为()0ij f σ=， ()ij f σ即为屈服函数。 9）不可压缩：对金属材料而言，在塑性状态，物体体积变形为零。 10）稳定性假设：即德鲁克公社，包括：1.在加载过程中，应力增量所做的功D dW 恒为正；2.在加载与卸载的整个循环中，应力增量所完成的净功D dW 恒为非负。 11）弹塑性力学的基本方程：包括平衡方程、几何方程和本构方程。 12）边界条件：边界条件可能有三种情况：1.在边界上给定面力称为