抽象函数f（）=f（）f（）
一．选择题（共3小题）
1．已知函数f（x）是定义在R上的单调函数，且对任意的x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），若动点P （x，y）满足等式f（x2+2x+2）+f（y2+8y+3）=0，则x+y的最大值为（）
A．2﹣5 B．﹣5 C．2+5 D．5
2．下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（）
A．f（x）=x B．f（x）=x3C．f（x）=（）x D．f（x）=3x
3．下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（）
A．f（x）=x3B．f（x）=3x C．f（x）=x D．f（x）=（）x
二．解答题（共15小题）
4．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且对任意的正实数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）＞0，f（4）=1，
（1）求证：f（1）=0；
（2）求f（）；
（3）解不等式f（x）+f（x﹣3）≤1．
5．已知函数f（x）的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1，x2都有f（x1?x2）=f（x1）+f（x2），且当x＞1时f（x）＞0，f（2）=1．
（1）求证：f（x）是偶函数；
（2）f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）解不等式f（2x2﹣1）＜2．
6．定义在非零实数集上的函数f（x）满足f（xy）=f
（x）+f（y），且f（x）是区间（0，+∞）上的递增函数
（1）求f（1），f（﹣1）的值；
（2）求证：f（﹣x）=f（x）；
（3）解关于x的不等式：．
7．若f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x，y＞0，满足f（）=f（x）﹣f（y）
（1）求f（1）的值，
（2）若f（6）=1，解不等式f（x+3）﹣f（）＜2．
8．已知函数f（x）对于任意m，n∈R，都有f（m+n）=f（m）+f（n）﹣1，并且当x＞0时f（x）＞1．（1）求证：函数f（x）在R上为增函数；
（2）若f（3）=4，解不等式f（a2+a﹣5）＜2．
9．设函数f（x）=ax2+b，其中a，b是实数．
（Ⅰ）若ab＞0，且函数f[f（x）]的最小值为2，求b的取值范围；
（Ⅱ）求实数a，b满足的条件，使得对任意满足xy=l的实数x，y，都有f（x）+f（y）≥f（x）f（y）成立．
10．函数y=f（x）对于任意正实数x、y，都有f（xy）=f（x）?f（y），当x＞1时，0＜f（x）＜1，且f（2）=．
（1）求证：；
（2）判断f（x）在（0，+∞）的单调性；并证明；
（3）若f（m）=3，求正实数m的值．
11．已知函数f（x）为定义域在（0，+∞）上的增函数，且满足f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y）
（1）求f（1），f（4）的值．
（2）如果f（x）﹣f（x﹣3）＜2，求x的取值范围．
12．定义在R上的增函数y=f（x）对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求f（0）；
（2）求证：f（x）为奇函数；
（3）若f（k?3x）+f（3x﹣9x﹣4）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．
13．已知函数y=f（x）的定义域为R+，对任意x，y∈R+，有恒等式f（xy）=f（x）+f（y）；且当x＞1时，f （x）＜0．
（1）求f（1）的值；
（2）求证：当x∈R+时，恒有；
（3）求证：f（x）在（0，+∞）上为减函数；
（4）由上一小题知：f（x）是（0，+∞）上的减函数，因而f（x）的反函数f﹣1（x）存在，试根据已知恒等式猜想f﹣1（x）具有的性质，并给出证明．
14．如果函数f（x）的定义域为{x|x＞0}，且f（x）为增函数，f（x?y）=f（x）+f（y）．
（I）求f（1）的值；
（II）求证：；
（Ⅲ）已知f（3）=1，且f（a）＞f（a﹣1）+2，求a的取值范围．
15．函数f（x）的定义域为（0，+∞）且对一切x＞0，y＞0，都有=f（x）﹣f（y），当x＞1时，有f
（x）＞0．
（1）求f（1）的值；
（2）判断f（x）的单调性并证明；
（3）若f（6）=1，解不等式f（x+5）﹣f．
16．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足条件：f（xy）=f（x）f（y）对所有正实数x，y成立，且f（2）=4，当x＞1时有f（x）＞1成立．
（Ⅰ）求f（1）和f（8）的值；
（Ⅱ）证明：函数f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数；
（Ⅲ）解关于x的不等式：16f（）≥f（x﹣3）
17．f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，满足f（x）+f（y）=f（xy）．
（1）求证：；
（2）若f（4）=﹣4，解不等式．
18．定义在R上的函数f（x）满足对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．且x＜0时，f（x）＜0，f （﹣1）=﹣2
（1）求证：f（x）为奇函数；
（2）试问f（x）在x∈[﹣4，4]上是否有最值？若有，求出最值；若无，说明理由．
（3）若f（k?3x）+f（3x﹣9x﹣2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．
参考答案
一．选择题
1．解：对任意的x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），
令x=0，y=0，都有f（0+0）=f（0）+f（0）?f（0）=0，
动点P（x，y）满足等式f（x2+2x+2）+f（y2+8y+3）=0，
即有f（x2+y2+2x+8y+5）=0=f（0），
由函数f（x）是定义在R上的单调函数，
可得x2+y2+2x+8y+5=0，
化为（x+1）2+（y+4）2=12，
可令x=﹣1+2cosα，y=﹣4+2sinα（α∈（0，2π）），
则x+y=2（cosα+sinα）﹣5
=2cos（α﹣）﹣5，
当cos（α﹣）=1即α=时，x+y取得最大值2﹣5，
故选：A．
2．解：A．f（x）=，f（y）=，f（x+y）=，不满足f（x+y）=f（x）f（y），故A错；
B．f（x）=x3，f（y）=y3，f（x+y）=（x+y）3，不满足f（x+y）=f（x）f（y），故B错；
C．f（x）=，f（y）=，f（x+y）=，满足f（x+y）=f（x）f（y），但f（x）在R上是单
调减函数，故C错．
D．f（x）=3x，f（y）=3y，f（x+y）=3x+y，满足f（x+y）=f（x）f（y），且f（x）在R上是单调增函数，故D 正确；
故选D．
3．解：A．f（x）=x3，f（y）=y3，f（x+y）=（x+y）3，不满足f（x+y）=f（x）f（y），故A错；
B．f（x）=3x，f（y）=3y，f（x+y）=3x+y，满足f（x+y）=f（x）f（y），且f（x）在R上是单调增函数，故B 正确；
C．f（x）=，f（y）=，f（x+y）=，不满足f（x+y）=f（x）f（y），故C错；
D．f（x）=，f（y）=，f（x+y）=，满足f（x+y）=f（x）f（y），但f（x）在R上是单
调减函数，故D错．
故选B．
二．解答题
4．解：（1）证明：令x=4，y=1，则f（4）=f（4×1）=f（4）+f（1）．
∴f（1）=0．
（2）f（16）=f（4×4）=f（4）+f（4）=2，f（1）=f（×16）=f（）+f（16）=0，
故f（）=﹣2．
（3）设x1，x2＞0且x1＞x2，于是f（）＞0，
∴f（x1）=f（×x2）=f（）+f（x2）＞f（x2）．
∴f（x）为x∈（0，+∞）上的增函数．
又∵f（x）+f（x﹣3）=f[x（x﹣3）]≤1=f（4），
∴?3＜x≤4．
∴原不等式的解集为{x|3＜x≤4}．
5．解：（1）由题意知，对定义域内的任意x1，x2都有f（x1?x2）=f（x1）+f（x2），令x1=x2=1，代入上式解得f（1）=0，
令x1=x2=﹣1，代入上式解得f（﹣1）=0，
令x1=﹣1，x2=x代入上式，∴f（﹣x）=f（﹣1?x）=f（﹣1）+f（x）=f（x），
∴f（x）是偶函数．
（2）设x2＞x1＞0，则=
∵x2＞x1＞0，∴，∴＞0，
即f（x2）﹣f（x1）＞0，∴f（x2）＞f（x1）
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（3）∵f（2）=1，∴f（4）=f（2）+f（2）=2，
∵f（x）是偶函数，∴不等式f（2x2﹣1）＜2可化为f（|2x2﹣1|）＜f（4），
又∵函数在（0，+∞）上是增函数，∴|2x2﹣1|＜4，且2x2﹣1≠0，
即﹣4＜2x2﹣1＜4，且2x2≠1解得：，且x≠，
即不等式的解集为{x|，且x≠}．
6．解：（1）令，则f（1）=f（1）+f（1）
∴f（1）=0（3分）
令x=y=﹣1，则f（1）=f（﹣1）+f（﹣1）
∴f（﹣1）=0（6分）
（2）令y=﹣1，则f（﹣x）=f（x）+f（﹣1）=f（x）
∴f（﹣x）=f（x）（10分）
（3）据题意可知，
f（2）+f（x﹣）=f（2x﹣1）≤0
∴﹣1≤2x﹣1＜0或0＜2x﹣1≤1（13分）
∴0≤x＜或＜x≤1（15分）
7．解：（1）在f（）=f（x）﹣f（y）中，
令x=y=1，则有f（1）=f（1）﹣f（1），
∴f（1）=0；
（2）∵f（6）=1，∴2=1+1=f（6）+f（6），
∴不等式f（x+3）﹣f（）＜2
等价为不等式f（x+3）﹣f（）＜f（6）+f（6），
∴f（3x+9）﹣f（6）＜f（6），
即f（）＜f（6），
∵f（x）是（0，+∞）上的增函数，
∴，解得﹣3＜x＜9，
即不等式的解集为（﹣3，9）．
8．解：（1）证明：设x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2﹣x1＞0，则f（x2﹣x1）＞1
∵函数f（x）对于任意m，n∈R，都有f（m+n）=f（m）+f（n）﹣1成立
∴令m=n=0，有f（0+0）=f（0）+f（0）﹣1，即f（0）=1，
再令m=x，n=﹣x，则有f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x）﹣1，即f（0）=f（x）+f（﹣x）﹣1，∴f（﹣x）=2﹣f（x），
∴f（﹣x1）=2﹣f（x1）
而f（x2﹣x1）=f（x2）+f（﹣x1）﹣1=f（x2）+2﹣f（x1）﹣1＞1，
即f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），
∴函数f（x）在R上为增函数；
（2）∵f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）﹣1=f（1）+f（1）+f（1）﹣2=3f（1）﹣2=4
∴f（1）=2．
∴f（a2+a﹣5）＜2，即为f（a2+a﹣5）＜f（1），
由（1）知，函数f（x）在R上为增函数，a2+a﹣5＜1，即a2+a﹣6＜0，
∴﹣3＜a＜2
∴不等式f（a2+a﹣5）＜2的解集是{a|﹣3＜a＜2}
9．解：（Ⅰ）∵f（x）=ax2+b，
∴f[f（x）]=a3x4+2a2bx2+ab2+b，
设t=x2，
当ab＞0，且二次函数y=a3t2+2a2bt+ab2+b的对称轴t=﹣＜0，
当a＜0时，不满足条件．
∴a＞0，b＞0，
当t=0时，函数f[f（x）]取得最小值，即ab2+b=2，
从而ab=0，得0＜b＜2，
即b的取值范围是（0，2）；
（Ⅱ）∵xy=l，∴y=，
则由f（x）+f（y）≥f（x）f（y）得f（x）+f（）≥f（x）f（），
即a（x2+）+2b≥ab（x2+）+a2+b2，
令t=x2+，则t≥2，
则a（1﹣b）t≥a2+b2﹣2b恒成立，
需要a（1﹣b）≥0，
此时y=a（1﹣b）t在[2，+∞）上为增函数，
∴2a（1﹣b）≥a2+b2﹣2b，
即（a+b）2﹣2（a+b）≤0，得0≤a+b≤2，
则实数a，b满足的条件为．
10．证明：（1）令x=1，y=2，得f（2）=f（1）f（2），又，
∴f（1）=1，…（2分）
令，得；…（4分）
（2）任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则，
∴f（x1）﹣f（x2）=f（x1）﹣f（）=f（x1）﹣f（）f（x1）=f（x1）[1﹣f（）]，…（7分）而当x＞0时，，且由（1）可知，，f（x）≠0，
则当x＞0时，f（x）＞0，
∴f（x1）＞0，1﹣f（）＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＞0，
则f（x）在（0，+∞）上是单调递减函数；…（10分）
（3）∵，
∴f（）==9，
又，且，
∴f（）=3，…（13分）
∵f（x）在（0，+∞）上是单调递减函数，m是正实数，
∴m=…（16分）
11．解：（1）∵f（xy）=f（x）+f（y），∴令x=y=1，则f（1）=2f（1），即f（1）=0，令x=y=2，则f（4）=2f（2）=2．
（2）f（x）﹣f（x﹣3）＜2即f（x）＜f（x﹣3）+2，
即f（x）＜f（x﹣3）+f（4），即f（x）＜f（4x﹣12），
∵函数f（x）为定义域在（0，+∞）上的增函数，
∴即
∴x＞4，
故x的取值范围是（4，+∞）．
12．解：（1）令x=y=0，得f（0+0）=f（0）+f（0），即f（0）=0．
（2）证明：令y=﹣x，则f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x）=0，
即f（﹣x）=﹣f（x），∴函数f（x）是奇函数．
（3）又函数f（x）在R上的是单调递增函数，
由f（k?3x）+f（3x﹣9x﹣4）＜0，
得f（k?3x）＜﹣f（3x﹣9x﹣4）=f（﹣3x+9x+4），
即k?3x＜﹣3x+9x+4恒成立，
∴k＜=3x+﹣1，
∵3x+﹣1≥2﹣1=4﹣1=3，
当且仅当3x=，即x=log32时取等号，
∴k＜3，
即实数k的取值范围是（﹣∞，3）．
13．解：（1）令x=y=1，则f（1）=2f（1），∴f（1）=0
（2）证明：令y=，则f（1）=f（x）+f（），∴
（3）证明：设任意x，y∈R+，且x＜y，=a＞1
则f（x）﹣f（y）=f（x）﹣f（x?a）=f（x）﹣f（x）﹣f（a）=﹣f（a）
∵当x＞1时，f（x）＜0
∴f（a）＜0，﹣f（a）＞0
∴f（x）＞f（y）
∴f（x）在（0，+∞）上为减函数
（4）猜想f﹣1（x）具有的性质，f﹣1（0）=1
证明：因为原函数与反函数关于直线y=x对称，
∵f（1）=0
∴f﹣1（0）=1
14．解：（I）f（x?y）=f（x）+f（y）令x=y=1
则f（1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0
（II）∵对一切x，y＞0满足f（x）+f（y）=f（x?y），
∴f（）+f（y）=f（×y）=f（x）
因此，满足f（）=f（x）﹣f（y），
（III）∵f（3）=1，∴2=f（3）+f（3）=f（9）；
∵f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，
∴f（a）＞f（a﹣1）+2，则f（a）＞f（a﹣1）+f（9）=f[（a﹣1）?9]
∴解得：1＜a＜，
故a的取值范围（1，）
15．解：（1）∵对一切x＞0，y＞0，都有=f（x）﹣f（y），
∴令x=y=1．则f（1）=f（1）﹣f（1）=0；
（2）f（x）在定义域（0，+∞）上是增函数．
理由如下：令0＜x1＜x2，则＞1，当x＞1时，有f（x）＞0．
∴f（）＞0，即f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），
则f（x）在定义域（0，+∞）上递增；
（3）若f（6）=1，则f（6）=f（）=f（36）﹣f（6），f（36）=2f（6）=2，∴f（x+5）﹣f即f[x（x+5）]＜f（36），
∵f（x）在定义域（0，+∞）上是增函数，
∴0＜x（x+5）＜36，
∴x＞0且﹣9＜x＜4，
∴0＜x＜4．
故原不等式的解集为（0，4）．
16．（Ⅰ）解：∵f（xy）=f（x）f（y），∴f（1×2）=f（1）f（2），
∵f（2）=4，∴f（1）=1，
f（4）=f（2）f（2）=16，f（8）=f（2）f（4）=64；
（Ⅱ）证明：设x1＞x2＞0，则＞1，
∵当x＞1时有f（x）＞1成立，
∴f（）＞1，
∴f（x1）=f（x2?）=f（x2）f（）＞f（x2）
∴函数f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数；
（Ⅲ）解：16f（）≥f（x﹣3）可化为f（4×）≥f（x﹣3），∵函数f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数，
∴4×≥x﹣3＞0，
∴﹣1≤x≤，
∴不等式的解集为{x|﹣1≤x≤}．
17．解：（1）证明：∵f（x）+f（y）=f（xy），
将x代换为，则有，
∴；
（2）∵f（x）+f（y）=f（xy），
∴﹣12=﹣4+（﹣4）+（﹣4）=f（4）+f（4）+f（4）=f（64），
∵，
∴f（x）﹣f（）=f[x（x﹣12）]，
∴不等式等价于f[x（x﹣12）]≥f（64），
∵f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，
∴，即，
∴12＜x≤16，
∴不等式的解集为{x|12＜x≤16}．
18．解：（1）证明：f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），①
令x=y=0，代入①式，得f（0+0）=f（0）+f（0），即f（0）=0．
令y=﹣x，代入①式，得f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x），又f（0）=0，
则有0=f（x）+f（﹣x）．
即f（﹣x）=﹣f（x）对任意x∈R成立，
则f（x）是奇函数．
（2）解：设x1，x2∈R，且x1＜x2，则x1﹣x2＜0，从而f（x1﹣x2）＜0，
又f（x1）﹣f（x2）=f（x1）+f（﹣x2）=f[x1+（﹣x2）]=f（x1﹣x2）．
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
∴函数f（x）为R上的增函数，
∴当x∈[﹣4，4]时，f（x）必为增函数．
又由f（﹣1）=﹣2，得﹣f（1）=﹣2，∴f（1）=2
∴当x=﹣4时，f（x）min=f（﹣4）=﹣f（4）=﹣4f（1）=﹣8；
当x=4时，f（x）max=f（4）=4f（1）=8．
（3）（法一）解：由（2）f（x）在R上是增函数，又由（1）f（x）是奇函数．f（k?3x）＜﹣f（3x﹣9x﹣2）=f（﹣3x+9x+2），
即：k?3x＜﹣3x+9x+2，
即：32x﹣（1+k）?3x+2＞0对任意x∈R成立．
令t=3x＞0，问题等价于t2﹣（1+k）t+2＞0对任意t＞0恒成立．
令g（t）=t2﹣（1+k）t+2，
当，即k≤﹣1时，
g（t）在（0，+∞）上单调递增，
f（0）=2＞0，符合题意；
当＞0，即k＞﹣1时，
，
∴﹣1，
综上所述，当k＜﹣1+2时，
f（k?3x）+f（3x﹣9x﹣2）＜0对任意x∈R恒成立．
（法二）（分离系数）由k?3x＜﹣3x+9x+2得，
k＜3x+﹣1，
则u=3x+﹣1≥2﹣1，
（当且仅当3x=，即3x=时，等号成立）故k＜2﹣1．
高一数学必修一易错题集锦答案 1. 已知集合M={y |y =x 2 ＋1,x∈R },N={y|y =x ＋1,x∈R }，则M∩N=（ ） 解：M={y |y =x 2 ＋1,x∈R }={y |y ≥1}， N={y|y=x ＋1,x∈R }={y|y∈R }． ∴M∩N={y |y ≥1}∩{y|(y∈R)}={y |y ≥1}, 注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x |y =x 2＋1}、{y |y =x 2 ＋1,x ∈R }、{(x ,y )|y =x 2 ＋1,x ∈R }，这三个集合是不同的． 2 .已知A={x |x 2－3x ＋2=0},B={x |ax －2=0}且A∪B=A，求实数a 组成的集合C ． 解：∵A∪B=A ∴B A 又A={x |x 2－3x ＋2=0}={1，2}∴B=或{}{}21或∴C={0，1，2} 3 。已知m ∈A,n ∈B, 且集合A={}Z a a x x ∈=,2|，B={}Z a a x x ∈+=,12|，又C={}Z a a x x ∈+=,14|，则有：m +n ∈ (填A,B,C 中的一个) 解：∵m ∈A, ∴设m =2a 1,a 1∈Z , 又∵n B ∈,∴n =2a 2+1,a 2∈ Z , ∴m +n =2(a 1+a 2)+1,而a 1+a 2∈ Z , ∴m +n ∈B 。 4 已知集合A={x|x 2－3x －10≤0}，集合B={x|p ＋1≤x≤2p－1}．若B A ，求实数p 的取值范围． 解：①当B≠时，即p ＋1≤2p－1p≥2.由B A 得：－2≤p＋1且2p －1≤5. 由－3≤p≤3.∴ 2≤p≤3 ②当B=时，即p ＋1>2p －1p ＜2. 由①、②得：p≤3. 点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A∪B=，A B 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题． 5 已知集合A={a,a ＋b,a ＋2b}，B={a,ac,ac 2 }．若A=B ，求c 的值． 分析：要解决c 的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式． 解：分两种情况进行讨论． （1）若a ＋b=ac 且a ＋2b=ac 2，消去b 得：a ＋ac 2 －2ac=0， a=0时，集合B 中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0． ∴c 2 －2c ＋1=0，即c=1，但c=1时，B 中的三元素又相同，此时无解． （2）若a ＋b=ac 2且a ＋2b=ac ，消去b 得：2ac 2 －ac －a=0， ∵a≠0，∴2c 2 －c －1=0， 即(c －1)(2c ＋1)=0，又c≠1，故c=－ 21． 点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验. 6 设A 是实数集，满足若a∈A，则 a -11∈A ，1≠a 且1?A. ⑴若2∈A，则A 中至少还有几个元素？求出这几个元素⑵A 能否为单元素集合？请说明理由. ⑶若a∈A，证明：1－ a 1∈A.⑷求证：集合A 中至少含有三个不同的元素.
函数定义域求法总结 一、定义域是函数)(x f y =中的自变量x 的范围。 （1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。 （4）指数、对数的底数大于0，且不等于1。 （5）x y tan =中2ππ+ ≠k x 。 （6）0x 中0≠x 二、复合函数的定义域 题型一、已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域 由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出()][x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。 例1、已知函数)(x f 的定义域为[]5,2，函数)3(+x f 的定义域为 。 例2、已知函数)(x f 的定义域为[]4,1，函数)2(x f 的定义域为 。 题型二、已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域 方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。 例3、已知函数)3 (x f 的定义域为[]6,3-，函数)(x f 的定义域为 。 例4、已知函数)23(-x f 的定义域为[]7,4，函数)(x f 的定义域为 。 题型三、已知复合函数()][x g f 的定义域，求()][x h f 的定义域 结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由()][x g f 定义域求得)(x f 的定义域，再由)(x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。 例5、已知函数)14(-x f 的定义域为[]3,1-，函数)3(+x f 的定义域为 。 例6、已知函数)32(+x f 的定义域为[]8,3，函数)2 3( +x f 的定义域为 。
必修一第一章 集合与函数概念 二、函数 知识点8：函数的概念以及区间 1》函数概念 设A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y =()f x 注意：①x A ∈．其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域 ②与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域. 2》区间和无穷大 ①设a 、b 是两个实数，且a=+∞，{|}[,)x x a a ≥=+∞，{|}(,)x x b b <=-∞，{|}(,]x x b b ≤=-∞，(,)R =-∞+∞. 3》决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数. 典例分析 题型1：函数定义的考察 例1：集合A=}{40≤≤x x ，B=}{20≤≤y y ，下列不表示从A 到B 的函数是（ ） A 、x y x f 21)(= → B 、x y x f 31 )(=→ C 、 x y x f 32 )(=→ D 、x y x f =→)( 例2：下列对应关系是否是从A 到B 的函数： ① }{;:,0,x x f x x B R A →>== ②,:,,B A f N B Z A →==求平方； ③B A f Z B Z A →==:,,，求算术平方根； ④B A f Z B N A →==:,,，求平方； ⑤A=[-2,2],B=[-3,3],B A f →:,求立方。 是函数的是_________________。 题型2：区间的表示 例1：用区间表示下列集合 （1） }{1≥x x =_____________。 （2）}{42≤
基本初等函数 一．【要点精讲】 1．指数与对数运算 （1）根式的概念： ①定义：若一个数的n 次方等于),1(* ∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根。即若 a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且， 1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ； 2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作 )0(>±a a n ②性质：1）a a n n =)(；2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，???<-≥==) 0() 0(||a a a a a a n 。 （2）．幂的有关概念 ①规定：1）∈???=n a a a a n (ΛN * ；2）)0(10 ≠=a a ； n 个 3）∈=-p a a p p (1 Q ，4）m a a a n m n m ,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ）； 2）r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ）； 3）∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ）。 （注）上述性质对r 、∈s R 均适用。 （3）．对数的概念 ①定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数 1）以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ； 2）以无理数)71828.2(Λ=e e 为底的对数称自然对数，N e log ，记作N ln ； ②基本性质： 1）真数N 为正数（负数和零无对数）；2）01log =a ；
数学必修1专题1：抽象函数的单调性 1. 三类抽象函数的类型及其单调性分析 (1) 已知定义在R 上的函数)(x f 对任意实数y x 、都满足)()()(y f x f y x f +=+，且当0>x 时，0)(>x f ．判断)(x f 的单调性并证明． 证明：令0==y x ，则)0()0()00(f f f +=+ ∴0)0(=f 令x y -=，则0)()()0()(=-+==-x f x f f x x f ∴)()(x f x f =- 在R 上任取21x x ， ，且使21x x < 0)()()()()(121212<-=-+=-x x f x f x f x f x f 即)()(12x f x f < 由定义可知)(x f 在R 上为单调递减函数 (2) 已知函数)(x f 的定义域是()∞+，0， 满足)()()(y f x f xy f +=，且当1>x 时，0)(>x f ．判断)(x f 的单调性并证明． 证明：令1==y x ，则)1()1()1(f f f += ∴0)1(=f 令x y 1=，则0)1()()1()1·(=+==x f x f f x x f ∴)()1(x f x f -= 任取()∞+∈，，021x x ，且使21x x < 0)()1 ()()()(121212>=+=-x x f x f x f x f x f 即)()(12x f x f > 由定义可知)(x f 在()∞+，0上为单调递增函数 (3) 已知函数)(x f 的定义域是()∞+，0，且对一切00>>y x ，都有)()()(y f x f y x f -=，当1>x 时，有0)(>x f ．判断)(x f 的单调性并证明． 证明：令1==y x ，则)1()1()1(f f f += ∴0)1(=f 任取()∞+∈，，021x x ，且使21x x < 则0)( )()(1212>=-x x f x f x f 即)()(12x f x f > 由定义可知)(x f 在()∞+，0上为单调递增函数 2. 简短评价 (1) 注意三类函数的定义域不同的区别； (2) 其实我们可以看出解题的思路大致一样：求出)0(f 或)1(f ；令x y -=或x y 1=
高中数学必修1函数知识总结 一、函数的有关概念 1．函数的概念：设A 、B 是非空的 ，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有 的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y=f(x)，x ∈A ．函数的三要素为 找错误：①其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域； ②与x 的值相对应的y 值叫做函数值，所以集合B 为值域。 注意：1、如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 专项练习1.求函数的定义域： 类型1.⑴22153x x y x --= + ⑵0 (21)y x =- ⑶2214log (1) y x x = +-+ 总结： 能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零 (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. (注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。) 类型2 抽象函数求定义域： 1.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域 方法总结 练习1.已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域为 练习2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2 的定义域为 2.已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域方法总结 练习1.若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，求函数()f x 的定义域． 练习2. 已知函数2 (22)f x x -+的定义域为[]03，，求函数()f x 的定义域． 3.已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域方法总结 练习1.若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 练习2、已知函数的定义域为，则y=f(3x-5)的定义域为________。
抽象函数单调性和奇偶性 1. 抽象函数的图像判断单调性 例1．如果奇函数f x ()在区间[]37，上是增函数且有最小值为5，那么 f x ()在区间[]--73，上是( ) A. 增函数且最小值为-5 B. 增函数且最大值为-5 C. 减函数且最小值为-5 D. 减函数且最大值为-5 分析：画出满足题意的示意图，易知选B 。 2、抽象函数的图像求不等式的解集 例2、已知定义在R 上的偶函数f (x)满足f (2)0=，并且f (x) 在(,0)-∞上为增函数。若(1)(a)0a f ->，则实数a 的取值范围 . 二、抽象函数的单调性和奇偶性 1.证明单调性 例3．已知函数f(x)= 1 )(1 )(+-x g x g ,且f(x),g(x)定义域都是R,且g(x)>0, g(1) =2,g(x) 是增函数. (m)(n)(m n)(m,n )g g g R =+∈ . 求证： f(x)是R 上的增函数. 解:设x 1>x 2因为，g(x)是R 上的增函数, 且g(x)>0。 故g(x 1) > g(x 2) >0。 g(x 1)+1 > g(x 2)+1 >0， ? 1)(22+x g >1)(2 1+x g >0 ? 1)(22+x g -1 )(2 1+x g >0。
f(x 1)- f(x 2)=1)(1)(11+-x g x g - 1)(1)(22+-x g x g =1-1)(21+x g -(1-1 )(2 2+x g ) = 1)(22+x g -1 )(21+x g >0。可以推出：f(x 1) >f(x 2)，所以f(x)是R 上的 增函数。 例4．已知f x ()对一切x y ，，满足f f x y f x f y ()()()()00≠+=?，，且当x <0时，f x ()>1，求证：（1）x >0时，01<
抽象函数的定义域 类型一. 已知函数y =f (x )的定义域是（a ，b ），求f [g (x )]的定义域. 1. 已知函数y =f （x ）定义域是[-2，3]，则y =f （2x -1）的定义域是（ ）. A. [0,5 2] B. [?1,4] C. [?1 2,2] D. [?5,5] 2. 如果函数f(x)的定义域为，那么函数f(2x +3)的定义域为( ) A. [?2,0] B. [1,9] C. [?1,3] D. [?2,9] 3. 函数f （x ）的定义域为[0，2]，则函数f （x 2）的定义域是 （ ） A. [?2,2] B. [?√2,√2] C. [0,2] D. [0,4] 4. 已知函数f （x ）的定义域为（0，2]，函数f （√x +1）的定义域为（ ） A. [?1,+∞) B. (?1,3] C. [√5,3) D. (0,√5)
类型二. 已知函数y =f [g (x )]的定义域是（a ，b ），求f(x )的定义域. 1.若函数f （2x -1）的定义域为[-3，3]，则函数f （x ）的定义域为______ ． 2.已知f (2x ＋5)的定义域为[－1，4]，求函数f (x )的定义域． 3.若(2)y f x =+的定义域是(1,3]，求()y f x =的定义域． 4.已知的定义域为，则的定义域是 . 5.已知函数()32f x -的定义域为[]1,2-，求函数() f x 的定义域. )2(2-x f []2,3-)(x f
类型三、 已知函数y =f (h (x ))的定义域是（a ，b ），求f [g (x )]的定义域. 1. 已知函数(21)f x -的定义域为[0,1]，求函数(13)f x -的定义域. 2.已知函数(1)y f x =+定义域是[2,3]-，则(21)y f x =-的定义域是（ ） A ．5 [0]2 ， B ．[14]-， C ．[55]-， D ．[37]-， 3.已知f （x 2-1）定义域为[0，3]，则f （2x -1）的定义域为（ ） A. (0,9 2) B. [0,9 2] C. (?∞,9 2) D. (?∞,9 2] 4.若函数f （x 2-1）的定义域为[-1，2]，则函数f （x +1）的定义域为______．
专题一:求函数的解析式 方法：（1）待定系数法; （2）换元法; （3） 配凑法; （4）解方程组法; （5）赋值法. 待定系数法 特点：已知函数的类型,求函数的解析式，用待定系数法. 例. 已知一次函数)(x f 满足64))((+=x x f f ,求函数)(x f 的解析式. 及时练习1：已知)(x f 是一次函数,且满足 172)1(2)1(3+=--+x x f x f ,求函数)(x f 的解析 式. 及时练习2：已知函数)(x f 是二次函数,且满足 1)0(=f ,x x f x f 2)()1(=-+,求函数)(x f 的解析 式. 二、换元法 特点：已知函数))((x g f 的解析式,求函数)(x f 的解析式，用换元法. 例.已知函数x x x f 2)1(+=+,则)(x f 的解析式为多少 注意:使用换元法求函数解析式,换元后要标明新 元的取值范围, 及时练习1：已知函数22)1(2++=+x x x f ,求 )(x f 及)3(+x f . 及时练习2：已知函数111+=?? ? ??-x x f ,求函数) (x f 的解析式. 三、配凑法 已知函数))((x g f 的解析式,求某些函数)(x f 的解析式 例. 已知函数x x x f 2)1(2-=+,求函数)(x f 的解析式. 四、消元法，也叫解方程组法 特点：已知含有?? ? ??x f x f 1),(或)(),(x f x f -形式的 函数,求函数)(x f 的解析式 例：已知函数)(x f 满足x x f x f =?? ? ??+12)(,求函数 )(x f 的解析式
专题：求抽象函数的解析式 求函数的解析式的主要方法有： 1) 凑配法（直接变换法） 如：f （x-1）=x+1，求f （x ）的解析式. 1． 已知f(3x+1)=4x+3, 求f(x)的解析式. 2． 已知f(x+1)=x 2 -3x +2, 求f(x)的解析式. 3． 已知221)1(x x x x f +=-, 求)(x f 的解析式. 2.换元法 如：f （1+x ）=x+2x ，求f （x ）。 4：已知2111()x x f x x x ++=+，求()f x 5：已知21)f x =+，求()f x 3.待定系数法： 已知f(x)=a x 2+b x +c,若f(0)=0，且f(x+1)= f(x)+x+1,求f(x) 6.若一次函数()f x 满足：[()]41f f x x =-，求()f x 7.若一次函数()f x 满足：{[()]}87f f f x x =+，求()f x 8.已知二次函数()f x 满足：2(1)(1)24f x f x x x ++-=-求()f x
4.构造方程组 如：()f x 满足：()2()32f x f x x --=+，求()f x 9. ()f x 满足：12()()1f x f x x -=+求()f x 10. 设函数)(x f 是定义(－∞,0)∪(0,+ ∞)在上的函数,且满足关系式 x x f x f 4)1(2)(3=+,求)(x f 的解析式. 5.特殊值法： 如：设f （x ）是R 上的函数，f （0）=1，并且对任意实数x 、y 有 f （x-y ）=f （x ）-y （2x-y+1），求f （x ）。 11.设)(x f 是定义在*N 上的函数,若1)1(=f ,且对任意的x,y 都有：xy y x f y f x f -+=+)()()(, 求)(x f .
三、值域问题 例4.设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，f(x+y)=f(x)f(y)总成立，且存在21x x ≠,使得)()(21x f x f ≠，求函数f(x)的值域。 解：令x=y=0，有f(0)=0或f(0)=1。若 f(0)=0，则 f(x)=f(0+x)=f(x)f(0)=0恒成立，这与存在实数21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠成立矛盾，故 f(0)≠0，必有 f(0)=1。由于f(x+y)=f(x)f(y)对任意实数x 、y 均成立，因此，0 )2()(2 ≥? ? ? ? ? =x f x f , 又因为若f(x)=0,则f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=0与f(0)≠0矛盾,所以f(x)>0. 四、求解析式问题（换元法，解方程组，待定系数法，递推法，区间转移法， 例6、设对满足x ≠0,x ≠1的所有实数x ，函数f(x)满足,()x x x f x f +=?? ? ??-+11 ,求f(x) 的解析式。 解:(1)1),x 0(x x 1)x 1x (f )x (f ≠≠+=-+且 ---- ,1 2)11()1(:x 1-x x x x f x x f x -=-+-得代换用 （2） :)1(x -11 得中的代换再以 x .12)()x -11f (x x x f --=+---（3）1)x 0(x x 2x 21 x x )x (f :2)2()3()1(223≠≠---=-+且得由 例8.是否存在这样的函数f(x),使下列三个条件: ①f(n)>0,n ∈N;②f(n 1+n 2)=f(n 1)f(n 2),n 1,n 2∈N*;③f(2)=4同时成立? 若存在,求出函数f(x)的解析式；若不存在，说明理由. 解:假设存在这样的函数f(x),满足条件,得f(2)=f(1+1)=4,解得f(1)=2.又f(2)=4=22,f(3)=23,…,由此猜想:f(x)=2x (x ∈N*) 小结：对于定义在正整数集N*上的抽象函数,用数列中的递推法来探究，如果给出的关系式具有递推性，也常用递推法来求解. 练习：1、.23 2|)x (f :|,x )x 1(f 2)x (f ),)x (f ,x ()x (f y ≥=-=求证且为实数即是实数函数设 解:0 2)x (xf 3 x ,x 1)x (f 2)x 1(f ,x x 12 =++=-与已知得得代换用，.23 2 |)x (f |,024)x (9f 02 ≥ ∴≥?-≥?得由 3、函数f (x )对一切实数x ,y 均有f (x +y)-f (y)=(x +2y+1)x 成立，且f (1)=0， （1）求(0)f 的值； （2）对任意的11 (0,)2 x ∈，21(0,)2 x ∈，都有f (x 1)+2 专题：求抽象函数的解析式 求函数的解析式的主要方法有： 1) 凑配法（直接变换法） 如： f （x-1 ）=x+1，求 f （ x ）的解析式 . 1． 已知 f(3x+1)=4x+3, 求 f(x) 的解析式 . 2． 已知 f(x+1)= x 2-3 x +2, 求 f(x) 的解析式 . 3． 已知 f ( x 1 ) x 2 12 , 求 f ( x) 的解析式 . x x 2.换元法 如： f （ x 1 ） =x+2 x ，求 f （x ）。 4：已知 f ( x 1) x 2 1 1 ，求 f ( x) x x x 5：已知 f ( x 1) x 2 2 x ，求 f (x) 3. 待定系数法： 已知 f(x)=a x 2+b x +c, 若 f(0)= 0，且 f(x+1)= f(x)+x+1, 求 f(x) 6.若一次函数 f ( x) 满足： f [ f (x)] 4x 1 ，求 f (x) 7.若一次函数 f ( x) 满足： f { f [ f ( x)]} 8x 7 ，求 f ( x) 8.已知二次函数 f ( x) 满足： f (x 1) f ( x 1) 2x 2 4x 求 f (x) 4.构造方程组 如： f ( x) 满足： f ( x) 2 f ( x) 3x 2 ，求 f ( x) 9. f ( x) 满足： 2 f (x) f ( 1 ) x 1 求 f ( x) x 10.设函数 f (x) 是定义(－∞,0)∪(0,+∞)在上的函数,且满足关系式 1 3 f ( x) 2 f ( ) 4x ,求 f ( x) 的解析式. 5.特殊值法： 如：设 f （ x）是R上的函 数， f （ 0） =1，并且对任意实数x、 y 有 f （x-y ） =f （x）-y （ 2x-y+1 ），求f （x）。 11. 设 f ( x) 是定义在N 上的函数 , 若 f (1) 1 , 且对任意的x,y 都有： f ( x) f ( y) f ( x y) xy , 求 f ( x) . (经典)高中数学最全必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解 分析 一、函数的概念与表示 1、映射：（1）对映射定义的理解。（2）判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射 集合A ，B 是平面直角坐标系上的两个点集，给定从A →B 的映射f:(x,y)→(x 2+y 2,xy)，求象(5，2)的原象. 3.已知集合A 到集合B ＝｛0，1，2，3｝的映射f:x →11 -x ，则集合A 中的元素最多有几个?写出元素最多时的集合A. 2、函数。构成函数概念的三要素 ①定义域②对应法则③值域 函 数 解 析 式 的 七 种 求 法 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。 例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f 配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。 例2 已知221 )1(x x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式 三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。 例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f 四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。 例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式 五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过 解方程组求得函数解析式。例5 设,)1 (2)()(x x f x f x f =-满足求)(x f 例6 设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，又,1 1 )()(-=+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式 六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。 例7 已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f 七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。 例8 设)(x f 是+N 上的函数，满足1)1(=f ，对任意的自然数b a , 都有ab b a f b f a f -+=+)()()(，求 )(x f 1、求函数定义域的主要依据： （1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义； （3 2（1） ()x 已知f 的定义域是[-2,5],求f(2x+3)的定义域。 （2） (21)x x 已知f － 的定义域是[-1,3],求f()的定义域 1求函数值域的方法 ①直接法：从自变量x 的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数； ②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式； ③判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y 的取值范围；适合分母为二次且x ∈R 的分式； ④分离常数：适合分子分母皆为一次式（x 有范围限制时要画图）； ⑤单调性法：利用函数的单调性求值域； ⑥图象法：二次函数必画草图求其值域； ⑦利用对号函数 抽象函数f（）=f（）f（） 一．选择题（共3小题） 1．已知函数f（x）是定义在R上的单调函数，且对任意的x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f （y），若动点P（x，y）满足等式f（x2+2x+2）+f（y2+8y+3）=0，则x+y的最大值为（）A．2﹣5B．﹣5C．2+5D．5 2．下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（） A．f（x）=x B．f（x）=x3C．f（x）=（）x D．f（x）=3x 3．下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（） A．f（x）=x3B．f（x）=3x C．f（x）=x D．f（x）=（）x 二．解答题（共15小题） 4．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且对任意的正实数x，y都有f（xy）=f（x）+f （y），且当x＞1时，f（x）＞0，f（4）=1， （1）求证：f（1）=0； （2）求f（）； （3）解不等式f（x）+f（x﹣3）≤1． 5．已知函数f（x）的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1，x2都有f（x1?x2）=f（x1）+f（x2），且当x＞1时f（x）＞0，f（2）=1． （1）求证：f（x）是偶函数； （2）f（x）在（0，+∞）上是增函数； （3）解不等式f（2x2﹣1）＜2． 6．定义在非零实数集上的函数f（x）满足f（xy）=f （x）+f（y），且f（x）是区间（0，+∞）上的递增函数 （1）求f（1），f（﹣1）的值； （2）求证：f（﹣x）=f（x）； （3）解关于x的不等式：． 7．若f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x，y＞0，满足f（）=f（x）﹣f （y） （1）求f（1）的值， （2）若f（6）=1，解不等式f（x+3）﹣f（）＜2． 8．已知函数f（x）对于任意m，n∈R，都有f（m+n）=f（m）+f（n）﹣1，并且当x＞0时f（x）＞1． （1）求证：函数f（x）在R上为增函数； （2）若f（3）=4，解不等式f（a2+a﹣5）＜2． 9．设函数f（x）=ax2+b，其中a，b是实数． （Ⅰ）若ab＞0，且函数f[f（x）]的最小值为2，求b的取值范围； （Ⅰ）求实数a，b满足的条件，使得对任意满足xy=l的实数x，y，都有f（x）+f（y）≥f （x）f（y）成立． 高一数学必修1抽象函数常见题型解法归纳 一、直接法 从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果。 二、特殊化法 当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的不定量用特殊值代替，即可以得到正确结果。 三、数形结合法 对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问题，得出正确的结果。 四、等价转化法 将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果。 解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解。 问题1：我的基础还可以，上课老师讲的也都能听懂，但是一到 自己做就做不出来了，帮忙分析一下原因。 答：数学这个东西是靠着逻辑吃饭的，是靠着逻辑演绎向前推进和发展的。当一个老师把你抱到了逻辑的起点上，告诉你这个逻辑 关系是怎样的，比如说饿了就应该找饭吃，下雨了就应该找伞来打，告诉你了这个逻辑规则，你自己肯定会按照逻辑的顺序往前跑，这 就叫为什么上课听得懂。 为什么课下自己不会做了呢?是因为课下你找不到逻辑的起点， 就像一个运动员空有一身本领，跑得飞快，没有找到起点，没有到 起点做好认真的准备，结果人家一发令，你没反应。 有两种学习的模式，一种是靠效仿，老师给我变一个数，出两道类似的练习题，照老师的模子描下来，结果做对了，好象我学会了，这就是效仿的方式来学数学，这种方式在小学是主要手段，在初中，这种手段还占着百分之六七十的分量，但是到了高中就不行了，靠 模仿能得到的分数也就是五六十分，其他的分数都要靠你的理解。 问题2：我有时候看基础知识的时候定义都没有问题，但是一做 题的时候，就转不过来了，耗的时间比较多，怎么办? 答：那你就看看定理、定义、公式都是怎么使用，除了背下它们之外，关键是要把握住这些数学的定义、定理、公式、法则，在解 题中是如何运用的，建议你好好从课本出发，如何利用刚才讲的这 个定理或者定义去解题的，把它先搞清楚，适当的时候自己做做笔记，问问自己，这个定义是怎么使用的，在这个定理里怎么用的， 你自己在旁边注上一两句话。若是一句话也写不出来，显然以后你 还不会用。 问题3：现在高考数学题讲究的是通性通法，最后是不是应该加 强这方面的训练，再突破一些难题? 答：目前的高考是确实通性通法，但是中等题和难题体现的不完全一样，比如说中等题，在体现通性通法方面就比较暴露，比较直接。 在综合性题目里面，这个通性通法的使用就比较灵活，必须剥掉几层皮之后才能看到。 鉴于这种情况，针对不同层次的同学们，你们对通性通法可以做这样不同层次的追求，比如我市高考数学分数期望值在一百到一百 一十几分之间的这样一个档次的，你就要特别注重通性通法在同等 题里面的应用，要保证在中等题里面运用通性通法做到万无一失。 如果做得再好一点，你这个分数的期望值完全可以做到的。 在难题里运用通性通法，这个外壳剥不开，个别看不透问题不太大。 抽象函数单调性和奇偶性 1.抽象函数的图像判断单调性 例1.如果奇函数f(x)在区间［3, 7］上是增函数且有最小值为 5,那么 f (x)在区间［7，3］上是() A.增函数且最小值为5 B.增函数且最大值为5 C.减函数且最小值为 5 D.减函数且最大值为5 分析：画出满足题意的示意图，易知选Bo 2、抽象函数的图像求不等式的解集 例2、已知定义在R上的偶函数f (x)满足f(2) 0，并且f (x) 在(，0)上为增函数。若(a 1)f(a) 0 ,则实数a的取值范围 二、抽象函数的单调性和奇偶性 1.证明单调性 例3.已知函数f(x)= ,且f(x),g(x) 定义域都是R,且g(x)>0, g(x) 1 g(1) =2,g(x) 是增函数.g(m)g(n) g(m n)(m,n R) 求证：f(x)是R上的增函数. 解:设X1>X2因为，g(x)是R上的增函数,且g(x)>0。 故g(x 1) > g(x 2) >0 o g(X1)+1 > g(x 2)+1 >0 , 2 2 2> 2>0 g(X2)1 g(xj 1 g(x2) 1 g(xj 1 >0 o 增函数。 2.证明奇偶性 例5.已知f(x)的定义域为R,且对任意实数x,y 满足f(xy) f(x) 求证：f(x)是偶函数。 分析：在 f(xy) f (x) f(y)中，令 x y 1，得 f(1) f (1) f (1) f (1) 0 令 x y 1,得 f (1) f( 1) f( 1) f( 1) 0 于是 f( x) f( 1 x) f( 1) f (x) f (x)，故 f (x)是偶函数。 三、求参数范围 这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中， 关键是利用函数的奇 偶性和它在定义域内的增减性，去掉“ f ”符号，转化为代数不等式 组求解，但要特别注意函数定义域的作用。 f(x 1)- f(x 2 )=皿J g(xj 1 gg) 1 g%) 1 2 2 =1——2——(1- 2 ) g(xj 1 gg) 1 >0 g(xj 1 可以推出: f(x 1)>f(x 2)，所以 f(x)是 R 上的 上为减函数。 证明： 对一切 x ，y R 有 f (x y) f (x) f (y)。且 f (0) 0，令 x y 0， 得 f (0) 1， 现设 x 0，贝S x 0， f( x) 1，而 f (0) f(x) f( x) 1 1 、 f ( x ) 1 0 f(x) 1，设 X 1，X 2 R 且 x 1 x 2， f (x) 贝S 0 f (x 2 x 1) 1， f (x 2) f [(x 2 x 1) x 1] f (x 2 x 1) f(x 1) f (x 1) 0 f(x) 1; x f (x 1) f (x 2)，即 f (x)为减函数。 例4.已知f(x)对一切X , y ，满足 f (0) 0, f(x y) f(x) f(y)，且当 x 0时，f (x) 1,求证：(1 ) (2) f(x)在 R 0时, f(y), 高中数学必修1 抽象函数（单调性、奇偶性） 专项笔记 整理：陈暄和 1.若221)1(x x x x f +=+，求)(x f 表达式. 2.若ax x x f -+= 1)(2，证明当1≥a 时，函数)(x f 在区间],0[+∞上是减函数. 3.在区间D 上，如果函数)(x f 为增函数，而函数)(1x f x 为减函数，则称函数)(x f 为“弱增”函数．已知函数x x f +-=111)(. （1）判断函数)(x f 在区间（0，1]上是否为“弱增”函数； （2）设21,x x ∈[0，+∞），1x ≠2x ，证明)()(22x f x f -＜ 1221x x -； （3）当x ∈[0，1]时，不等式bx x ax -≤+≤ -1111恒成立，求实数b a ,的取值范围． )(x f ＜0,)1(-f =32 -. （1）求证：)(x f 在R 上是减函数； （2）求)(x f 在[-3,3]上的最大值和最小值. )(x f ＞1. （1）求证：)(x f 在R 上是增函数； （2）若5)4(=f ，解不等式3)23(2＜--m m f . 6.已知函数)(x f 定义域为（0，+∞），且)()()·(y f x f y x f +=，当1＞x 时，)(x f ＞0. （1）求)1(f ； （2）求证：)(x f 在定义域上是增函数； （3）若1)31(-=f ，求满足不等式2)2 1()(≥--x f x f 的x 的取值范围. 7.已知)(x f 是定义在[-1，1]上的奇函数，且） （1f =1，若b a ,∈[-1，1]，b a +≠0时，有b a b f a f ++)()(＞0成立． （1）判断函数)(x f 在[1-，1]上的单调性，并证明你的结论； （2）解不等式：)11( )21(-+x f x f ＜； （3）若)(x f ≤122+-am m 对所有的a ∈[-1，1]恒成立，求实数m 的取值范 围.(完整word版)专题：求抽象函数的解析式(必修一).doc
高中数学最全必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解
高一必修一数学抽象函数计算专题练习
高一数学必修1抽象函数常见题型解法归纳
必修一数学抽象函数习题精选含答案
高中数学必修1 抽象函数 练习题
相关主题
文本预览