实变函数教学大纲
备注说明：
1．带*内容为必填项。
2．课程简介字数为300-500字；课程大纲以表述清楚教学安排为宜，字数不限。
《实变函数与泛函分析II》教学大纲（本科） <总学时数：48，学分数：3，课程编码：09070050> 一．课程的性质，任务和目的 泛函分析课程是高等院校数学专业学生必修的重要的专业课。为学生培养分析问题、解决问题的能力，抽象思维和逻辑思维能力，为学生进一步学习后继课程打下扎实的基础。 二、课程基本内容和要求 1．通过本课程的学习，要使学生获得：度量空间、线性赋范空间、线性有界算子、线性连续泛函、内积空间、希尔伯特空间、巴拿赫空间方面的知识，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。 2．再传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象概括问题的能力、逻辑推理能力和自学能力，还要特别注意培养学生综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。 3．本课程的教学就把重点放在培养学生正确理解和运用基本概念与基本方法上，并注意理论联系实际的原则，力求反应这些基本概念的实际背景及其应用。使学生认识到数学来源于实践又服务于实际，从而有助于树立辩证唯物主义观点。4．教材的选取与课堂讲授要贯彻少而精原则，着重于基本概念，基本理论的讲授和基本技能的培养，不要追求内容上的完备和全面。 本大纲包括（一）教学内容（二）教学要求（三）重点与难点 教学要求的高低用不同的词汇加以区分，对概念、理论从高到低用“理解”、“了解”、“知道”三级区分，对运算、方法从高到低用“掌握”、“会”、“能”三级区分。熟悉一词相当于“理解”、“熟练掌握”。 第六章度量空间、线性赋范空间 一）教学内容 第一节度量空间的进一步例子 第二节度量空间中的极限、稠密集、可分空间 第三节连续映照 第四节完备度量空间 第五节压缩映照原理 第六节线性赋范空间 其中： 基本概念：度量空间、稠密集、可分空间、连续映照、线性赋范空间
《泛函分析》课程教学大纲 一课程说明 1.课程基本情况 课程名称：泛函分析 英文名称：Functional Analysis 课程编号：2411215 开课专业：数学与应用数学 开课学期：第6学期 学分/周学时：3/3 课程类型：专业方向选修课 2．课程性质（本课程在该专业的地位作用） 泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科，是现代数学的一个重要分支。它综合地运用分析、代数和几何的观点、方法研究分析数学中的许多问题，是将具体的分析问题抽象到一种更加纯粹的代数拓扑结构的形式中进行的研究。随着科学技术的迅速发展，泛函分析的概念、方法已经渗透到数学的各个分支而且日益广泛地被应用于自然科学、工科技术理论和社会科学的各个领域。通过该课程的学习，学生不仅能学到泛函分析的基本理论和方法，而且对学习其它数学分支以及将其应用到数理经济，现代控制论，量子场论，统计物理、工程技术等领域有很大帮助。 3．本课程的教学目的和任务 本课程基本要求学生能理解该学科的思想及应用性，掌握基本理论方法，了解定理证明过程。通过本课程的学习, 学生应熟练掌握度量，范数，线性算子，内积，直交投影，谱等概念, 熟练掌握纲理论及有界线性算子的基本原理和线性泛函的延拓理论, 为今后学习打下坚实基础。 4．本课程与相关课程的关系、教材体系特点及具体要求 泛函分析一方面以其他众多学科所提供的素材来提取自己研究的对象，和某
些研究手段，并形成了自己的许多重要分支，例如算子谱理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论、广义函数论等等；另一方面，它也强有力地推动着其他不少分析学科的发展。它在微分方程、概率论、函数论、连续介质力学、量子物理、计算数学、控制论、最优化理论等学科中都有重要的应用，还是建立群上调和分析理论的基本工具，也是研究无限个自由度物理系统的重要而自然的工具之一。今天，它的观点和方法已经渗入到不少工程技术性的学科之中，已成为近代分析的基础之一。 5．教学时数及课时分配 二教材及主要参考书 1. 程其襄等编.《实变函数与泛函分析基础》（下册）（第三版），高等教育出版社，2010年6月. 2.曹广福等编.《实变函数论与泛函分析》（下册）（第三版），高教出版社，2011年6月. 3．张恭庆、林源渠编著，《泛函分析讲义》（上册），北京大学出版社，1987年. 4.夏道行等编.《实变函数与泛函分析》（下册）(第二版)，高等教育出版社，2005年. 5．李广民编.《应用泛函分析》.西安电子科技大学出版社，2004. 三教学方法和教学手段说明
实变函数期末考试卷A 卷 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
实变 函数 一、 判断题（每题2分，共20分） 1.若A 是B 的真子集，则必有B A <。 （×） 2.必有比a 小的基数。 （√） 3.一个点不是E 的聚点必不是E 的内点。 （√） 4.无限个开集的交必是开集。 （×） 5.若φ≠E ，则0*>E m 。 （×） 6.任何集n R E ?都有外测度。 （√） 7.两集合的基数相等，则它们的外测度相等。 （×） 8.可测集的所有子集都可测。 （×） 9.若)(x f 在可测集E 上可测，则)(x f 在E 的任意子集上也可测。（×） 10.)(x f 在E 上可积必积分存在。 （×） 1.设E 为点集，E P ?，则P 是E 的外点.（ × ） 2.不可数个闭集的交集仍是闭集. （ × ） 3.设{}n E 是一列可测集,且1,1,2,,n n E E n +?=则 1( )lim ().n n n n m E m E ∞ →∞ ==（× ） 4.单调集列一定收敛. （√ ） 5.若()f x 在E 上可测,则存在F σ型集,()0F E m E F ?-=,()f x 在F 上连续.（ × ） 二、填空题（每空2分，共20分） 1.设B 是1R 中无理数集，则=B c 。 2.设1,1,,3 1,21,1R n A ???????= ，则=0A φ ，='A }0{ 。 3.设 ,2,1,0),1 1,11(=++-=n n n A n ，则=?∞=n n A 0 )1,1(- ，=?∞=n n A 1 }0{ 。 4.有界变差函数的不连续点构成的点集是 至多可列 集。
《实变函数》考试大纲 一、课程说明 本大纲适用数学专业。 1 本课程的目的和要求 实变函数是数学专业重要的分析基础课之一这一部分内容为进一步学习分析数学中的一些专门理论，如函数论，泛函分析，概率论，微分方程，群上调和分析等提供必要的测度和积分论基础，通过本课程的学习，应使出学生较好的掌握测度和积分这个基本工具，特别是极限（或积分）和积分顺序的交换，并且在一定程度上掌握集的分析方法 2 本课程的主要内容 先介绍近代数学的基础——集与映射等有关概念，同时介绍实直线上的点集的性质，按着讲L-测度以及L-可测集的概念与性质，在介绍可测函数的概念与性质，接着是勒贝格积分的概念与性质，还有积分极限定理，R-积分与L-积分比较，Fubini定理，囿变函数，绝对连续函数及其中N-L公式，最后介绍Lp空间及其性质 3 教学重点与难点 本课程的重点是勒贝格测度与勒贝格积分。实变函数的内容虽是微积分的继续深化，但在思想方法上确有较大的飞越，实变函数的一些概念比起数学分析来要抽象得多，这使得初学者对实变函数往往不太习惯，为使学生能较好地适应这一过度，教师在讲解时尽可能将主要概念的产生背景，以北及概念之间的内在联系加以介绍。例如，教师应向学生交代，为什么要研究新的积分,为什么要研究可列可加测度等，讲解时既要严格论证又要形象说明，同时要配合典型例题，适当地加强对学生的基础训练，这是一个重要的学习环节，教师应当给学生布置一定数量的习题，使学生通过做习题，加深对课文的理解，也帮助学生提高自学能力和解题能力，并开阔思路。 4 本课程的知识范围与相关课程的关系 本课是在数学分析的基础上发展而成，同时本课程又用到了高等代数和解析几何中的一些基本知识，故本课程应安排在第四学期或第五学期讲授。 5 教材的选用 绍兴文理学院数学系主要选用下面的教材 江泽坚、吴智泉编《实变函数论》(第二版)，北京：高等教育出版社，2001年(国优教材). 该教材论证严谨，重点突出，思路清晰，是一本国优教材。 二课程内容及学时分配 本课程总学时为72学时，其中讲课约54学时，习题课约18学时，在执行时可以适当调整，由于习题课教师既可以单独讲，也可以穿插在正课本中讲故下面各章节所分配的学时中同时包括正课与习题课的学时，不在分开。 本大纲中有“*”号的项目，在教学中可酌情处理，书中例题材教师也可酌情增删 第1章 集与点集（12学时）
黄冈师范学院 2015—2016学年度第学期一期末试卷 考试课程：实变函数 考核类型：考试A 卷 考试形式：闭卷 出卷教师：陈文略 考试专业：应数 考试班级：应数2013 一、填空题：(3分×5题=15分) 1、实数R 的基数为 。 2、设[)(]1,01,0:→f 为一一映射，则()=x f 。 3、非真正的实数是指： 。 4、在区间[]b a ,上的单调函数 连续。 5、若)(x f 在[a ，b]上严格单调，则()f V b a = 二、选择题：(3分×5题=15分) （1）与[)1,0间不存在一一对应的是（ ） A 、有理数Q B 、平面2R C 、实数R （2）对于连续基数c, 下列不成立的是（ ） A 、4c=c B 、c c a =+ C 、c aa = （3）f f n ?与f f n →的关系是（ ） A 、f f n ?则f f n → B 、f f n →则f f n ? C 、都不是 （4）下列正确的表述是（ ） A 、[][]a f E a f E B 、[][]a f E a f E =?> C 、[]??????+>=≥∞ =k a f E a f E k 11
（5）[](){}2221,,1,0R y x y x B R A ?≤+=?=，则B A ?为 A 、圆 B 、圆柱 C 、圆锥 三、计算与证明：(6分×7题=42分) （1）已知(){}2221,R y x y x E ?<+=，求'E （2）证明在区间[]1,01R ?中，不含数码7的点的全体所成之集为一零测度集． （3）证明：有理数集R Q ?为零测度集． （4）已知()()x g x f = a.e. 于E,()()x h x g = a.e. 于E . 证明：()()x h x f = a.e. 于E. （5）对于任何有限实数a ，若[]a f E ≥可测，证明[]a f E >可测. （6）()x f 为E=[0，1]上的狄利克雷函数，求()dx x f E ? （7）已知()x x f sin =，求：()f V π 20 . 四、证明：若()*0m E E φ=≠，E A ?, 则A 可测， 且 0=mA （9分） 五、已知函数()2x x f =，[]1,0∈x 求：()f E mG , (9分) 六、已知()x x f =，求当00=x 时的下列列导数 (1) {}n h 中n h n 1 = (2) {}n h 中n h n 1 -= (10分)
2011—2012学年第1学期 数计学院09级数学与应用数学专业(1、2班) 《实变函数》期末考试卷（A）
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实变函数期末考试卷(A) 2009级本科1、2班用 考试时间2012年01月 04日 一 填空题（每小题3分，满分24分） 1 我们将定义在可测集q E ??上的所有L 可测函数所成的集合记为()M E .任取()f M E ∈，都可以确定两个非负可测函数： 试卷 共 8 页 第 2 页
()()()(),0, 0,0.f x x E f f x x E f + ∈>?=? ∈≤? 当时当时 和()()()()0, 0, ,0. x E f f x f x x E f - ∈>?=?-∈≤? 当时当时 分别称为f 的正部和负部。请你写出()()(),,f x f x f x + -和()f x 之间的关系： ()f x = ， ()f x = 。 2 上题()M E 中有些元素?被称为非负简单函数，指的是： 12k E E E E =U UL U 是有限个互不相交的可测集的并集，在i E 上()i x c ?≡ （非负常数）（1,2,,i k =L ）.?在E 上的L 积分定义为： ()E x dx ?= ?， 这个积分值可能落在区间 中，但只有当 时才能说?是 L 可积的。 3 若()f M E ∈是非负函数，则它的L 积分定义为： ()E f x dx = ?， 这个积分值可能落在区间 中，但只有当 时才能说f 是 L 可积的。 4 ()M E 中的一般元素f 称为是积分确定的，如果f +和f - ， 即()E f x dx + ?和()E f x dx -?的值 ；但只有当 时 才能说f 是L 可积的，这时将它的积分定义为： ()E f x dx = ?。 5 从()M E 中取出一个非负函数列(){}n f x ，则法图引理的结论是不等式： ； 如果再添上条件和 就 得到列维定理的结论： 。 6 设f 和()1,2,n f n =L 都是()M E 中的可测函数，满足 ()()lim n n f x f x a e →∞ =g g 于E 或n f f ?两个条件之一。 或 的结论：
《数学分析12》课程教学大纲 一课程说明 1.课程基本情况 课程名称：数学分析12 英文名称：Mathematical Analysis 课程编号：2411204 开课专业：数学与应用数学专业 开课学期：第2学期 学分/周学时：6/6 课程类型：专业基础课 2．课程性质（本课程在该专业的地位作用） 《数学分析12》是数学专业的基础学科，是数学与应用数学、信息与计算科学、统计学三个专业的一门重要的核心课程，以不定积分、定积分、无穷级数、反常积分、傅立叶级数与傅立叶变换为基本容，是学生学习分析学系列课程及其后继课程的重要基础，在第2学期开设。本课程的教学，对锻炼和提高学生的思维能力，培养学生掌握分析问题和解决问题的思想方法有重要的意义，它不仅关系到能否学好后续课程，对学生未来的发展也将产生重大影响。 3．本课程的教学目的和任务 本课程是进一步学习复变函数论、微分方程、微分几何、实变函数论、概率论、拓扑学、泛函分析等后继课程的阶梯，也为深入理解中学数学打下必要的基础。与中学数学的许多容，如实数系、函数、方程、不等式、极值、面积、体积、弧长等有着密切的联系。 通过本课程的学习，使学生掌握不定积分、定积分、无穷级数、反常积分、傅立叶级数与傅立叶变换等基本容，为学习数学分析3及分析学系列课程（复变函数、实变函数、微分方程、泛函分析等）及其后继课程打好基础，并自然地渗
透对学生进行逻辑和数学抽象的特殊训练，达到如下目的： 1、通过对贯穿数学分析始终的极限思想和方法的教学，使学生弄清不变与变，有限与无限，特殊与一般的辩证关系，进一步培养他们的辩证唯物主义观； 2、使学生正确理解数学分析的基本概念，牢固地掌握数学分析中的基本理论和基本方法，逐步提高他们抽象思维和逻辑推理的能力，培养他们熟练的演算技能和初步应用的能力，为进一步学习其它课程打下基础。 4．本课程与相关课程的关系、教材体系特点及具体要求 本课程是高等院校数学系的数学与应用数学专业的一门重要基础课，它的任务是使学生获得不定积分、定积分、无穷级数、反常积分、傅立叶级数与傅立叶变换等方面的系统知识。 它一方面为后继课程如微分方程、复变函数、微分几何、实变函数、与泛函分析、概率论等等基础课及有关选修课提供所需的基础，同时还为培养学生的独立工作能力提供必要的训练。学生学好这门课程的基本容和方法，对今后的学习、研究和应用都具有关键性的作用。 通过系统的学习与严格的训练，全面掌握数学分析的基本理论知识；培养严格的逻辑思维能力与推理论证能力；具备熟练的运算能力与技巧；提高建立数学模型，并应用微积分这一工具解决实际应用问题的能力。 5．教学时数及课时分配
实变函数 (一学期课程，周学时4) 一.集合与点集 (20课时) 1.集合及其运算，集合列的极限，集合的直积。(3课时) 2.映射，满射，单射，双射，集合的对等，Bernstein定理*，基数，可列集及 其性质，连续基数，基数运算*，无最大基数定理。(5课时) 3.n维欧氏空间，点集的直径，矩体与球，邻域，距离，收敛，极限点，导集 及其性质，Bolzano-Weierstrass定理。(5课时) 4.闭集,开集，闭包，内点与内核，开集的构造*，Cantor闭集套定理，Lindelof 可数覆盖定理*，Heine-Borel有限覆盖定理，函数的连续性，紧集，Borel 集， F集，δG集，Cantor集。(5课时) σ 5.集合与集合的距离，点与集合的距离，连续函数延拓定理*。(2课时) 二.Lebesgue测度 (12课时) 1. 外测度定义，外测度性质（非负性、单调性、次可加性），距离外测度性质*， 外测度的平移不变性。(4课时) 2. 可测集与测度的定义，可测集的性质，关于递增可测集列及递减可测集列的 测度问题。(4课时) 3. 矩体是可测集，分别用开集、闭集、 F集，δG集来逼近可测集，集合的等 σ 测包，测度的平移不变性，不可测集的存在性*。(4课时) 三.可测函数 (10课时) 1. 可测函数的定义及等价刻画，可测函数的运算性质，简单函数逼近定理，函 数的支集。(4课时) 2. 几乎处处收敛与测度收敛的定义，Egoroff定理，Lebesgue定理，Riesz定 理。(4课时) 3. 可测函数与连续函数。(2课时)
四. Lebesgue 积分 (14课时) 1. 非负可测简单函数的积分，非负可测函数的积分，Leve定理，积分线性性质， 逐项积分定理，Fatou定理。(4课时) 2. 一般可测函数积分的定义与初等性质，积分的线性性质，积分的绝对连续性， 积分变量的平移变换，Lebesgue 控制收敛定理，逐项积分定理，积分号下求导数*。(4课时) 3. 连续函数逼近可积函数，积分的平均连续性*。(2课时) 3. 有界函数在区间上Riemann 可积的充分必要条件，Riemann 可积函数与 Lebesgue 可积函数的关系。(3课时) 4. Tonelli 定理*，Fubini 定理，积分的几何意义*，分布函数*。(3课时) 五. 微分与不定积分 (8课时) 1.单调函数的可微性*，Lebesgue 定理*，有界变差函数，Jordan 分解定理。 (4课时) 2.不定积分的微分，绝对连续函数，微积分基本定理。(4课时) 六.p L空间 (8课时) 1.p L空间的定义与基本性质，共轭指标，Holder 不等式，Minkowski 不等式。 (4课时) 2.p L是完备的距离空间*，p L收敛，p L空间的可分性*。(4课时) 教材或参考书： 1．周民强编：实变函数，北京大学出版社，2001 2．周性伟编：实变函数，科学出版社，2004 3．胡适耕编：实变函数，高等教育出版社，1999 4．曹广福编：实变函数论，高等教育出版社，2000
（2008.06.19）实变函数期末复习指导（文本） 中央电大教育学院陈卫宏2008年07月01日 陈卫宏：大家好！这里是“实变函数”教学活动。 考试时间 实变函数期末考试时间：7月12日,8：30~10：00. 期末考试题型比例 单选题5（20分） 填空题5（20分） 证明题4（60分） 第1章考核要求 ⑴了解集合的表示，子集，理解集合的并、交、差、补等概念，特别是一列集合的并与交的概念； ⑵掌握集合的运算律，会求一列简单集合的并、交以及上极限和下极限； ⑶熟练掌握证明两个集合相等的方法（互为子集）并会具体应用； ⑷了解单射、满射、双射及对等的概念，知道基数相等与大小的定义，会用伯恩斯坦定理； ⑸理解可列集的定义及等价条件（可排成无穷序列的形式），了解可列集的运算性质，理解有理点集是可列集； ⑹了解常见的连续集和连续集的运算，知道基数无最大者。 第2章考核要求 ⑴了解距离、收敛、邻域、孤立点、边界点、内核、导集、闭包等概念，会求简单集合的内核、导集和闭包，理解聚点的定义及其等价条件； ⑵掌握波尔查诺——维尔斯特拉斯定理的条件和结论； ⑶了解开集、闭集、完备集的定义以及开集、闭集在并、交运算之下的性质，开集与闭集互为补集，掌握直线上开集的构造；
⑷了解波雷尔有限覆盖定理、距离可达定理和隔离性定理的条件和结论； ⑸理解康托集的构造及其性质。 第3章考核要求 ⑴理解勒贝格外测度的定义及其性质，知道可列集的测度为零，区间的测度等于其体积； ⑵理解可测集的（卡拉皆屋铎利）定义，了解可测集的充分必要条件以及可测集的运算性质； ⑶熟练掌握单调可测集列极限的测度； ⑷知道Gδ型集、Fσ型集以及波雷尔集的定义，了解常见的勒贝格可测集，掌握可测集同开集、闭集和可测集同Gδ型集、Fσ型集之间的关系。 第4章考核要求 ⑴知道点集上连续函数的定义和点集上连续函数列一致收敛的极限函数的连续性，了解函数列上、下极限的概念，理解“几乎处处”的概念； ⑵熟练掌握可测函数的定义及其等价条件，掌握可测函数的判定方法，理解可测函数关于四则运算和极限运算的封闭性、连续函数和简单函数皆可测以及可测函数可表示为简单函数列的极限； ⑶了解叶果洛夫定理，理解依测度收敛的定义，知道依测度收敛与几乎处处收敛二者互不包含，理解刻划依测度收敛和几乎处处收敛之间关系的勒贝格定理和黎斯定理，知道依测度收敛的极限函数是惟一的（把几乎处处相等的函数视为同一函数）； ⑷理解刻划可测函数同连续函数之间关系的鲁金定理（两种形式）。 第5章考核要求 ⑴知道测度有限集合上有界函数勒贝格积分的定义，理解测度有限集合上有界函数勒贝格可积的充分必要条件是有界可测； ⑵了解测度有限集合上有界函数勒贝格积分的简单性质，理解闭区间上有界函数黎曼可积必勒贝格可积且二者积分相等； ⑶了解一般集合上非负函数勒贝格积分存在和勒贝格可积的定义，非负函数积分存在的充分必要条件是非负可测； ⑷理解一般集合上一般函数勒贝格积分存在和勒贝格可积的定义，熟练掌握一般可测集上一般函数勒贝格积分的性质； ⑸理解积分极限定理，特别是勒贝格控制收敛定理及其应用；
《实变函数》 一、单项选择题 1、下列各式正确的是（ C D ） （A ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （B ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =?? （C ）1lim n n n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （D ）1lim n n n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; 2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ D ） （A ）=P c (B) 0m P = (C) P P =' (D) P P = 3、下列说法不正确的是（ B ） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( A ) （A ）若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n f x 是可测函数 （C ）{}inf ()n n f x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ?,则()f x 可测 5. 下列说法不正确的是( C ) (A) 0P 的任一领域内都有E 中无穷多个点，则0P 是E 的聚点 (B) 0P 的任一领域内至少有一个E 中异于0P 的点，则0P 是E 的聚点 (C) 存在E 中点列{}n P ，使0n P P →，则0P 是E 的聚点 (D) 内点必是聚点 6.设)(x f 在E 上L 可积,则下面不成立的是( C ) (A))(x f 在E 上可测 (B))(x f 在E 上a.e.有限 (C))(x f 在E 上有界 (D))(x f 在E 上L 可积 7. 设}{n E 是一列可测集，12n E E E ???? ，则有（B ）。 （A ）1lim n n n n m E m E ∞=→∞???> ??? (B) 1lim n n n n m E m E ∞ =→∞ ???= ???
《实变函数与泛函分析》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程代码：110047 课程名称：实变函数与泛函分析 英文名称：Real variable analysis And Functional analysis 课程类别：专业基础课 学时：50 学分：3 适用对象：信息与计算科学专业本科 考核方式：考试，平时成绩30％，期末成绩70％ 先修课程：数学分析和高等代数 二、课程简介 中文简介：实变函数起源于对连续而不可微函数以及Riemann可积函数等的透彻研究，在点集论的基础上讨论分析数学中一些最基本的概念和性质，其主要内容是引入Lebesgue积分并克服了Riemann积分的不足。它是数学分析的继续、深化和推广，是一门培养学生数学素质的重要课程，也是现代数学的基础。泛函分析起源于经典的数学物理边值问题和变分问题，同时概括了经典分析的许多重要概念，是现代数学中一个重要的分支，它综合运用了分析、代数与几何的观点和方法研究、分析数学和工程问题，其理论与方法具有高度概括性和广泛应用性的特点。 英文简介：Real variable analysis And Functional analysis is a theoretical course of mathematics which can be used in variable fields such as engineering and technology, physics, chemical, biology, economic and other fields. The educational aim in this course is to develop the abilities of students in analyzing and solving practical problem by the special ways of Real variable analysis And Functional analysis’ thinking and reasoning. 三、课程性质与教学目的 本课程是在实变函数与泛函分析基本理论的基础上，着重泛函分析的应用，教学的目的是丰富学生的知识和培养学生解决实际问题的能力。本课程就其实质来说是方法性的，但对于应用学科的学生来说，作为授课的目的，则是知识性的，故在教学方法和内容的选择上来说，只能让学生了解那些体现实变函数与泛函分析基本特征的思想内容，冗难的证明过程应尽量避免。本课程要求如下： 1. 理解和掌握集合间的关系和集与映射间的关系，了解度量空间的相关概念和Lebesgue可测集的有关内容和性质。
《实变函数与泛函分析》教学大纲 课程编号：120233B 课程类型：□通识教育必修课□通识教育选修课 □专业必修课□专业选修课 □√学科基础课 总学时：48 讲课学时：48 实验（上机）学时：0 学分：3 适用对象：经济统计学 先修课程：数学分析、高等代数、空间解析几何 毕业要求： 1.应用专业知识，解决数据分析问题 2.可以建立统计模型，获得有效结论 3.掌握统计软件及常用数据库工具的使用 4.关注国际统计应用的新进展 5.基于数据结论，提出决策咨询建议 6.具有不断学习的意识 一、课程的教学目标 本课程以实变函数与泛函分析基本理论为基础，教学的目的是丰富学生的知识和培养学生解决实际问题的能力。本课程就其实质来说是方法性的，但对于应用学科的学生来说，作为授课的目的，则是知识性的，故在教学方法和内容的选择上来说，只能让学生了解那些体现实变函数与泛函分析基本特征的思想内容，冗难的证明过程应尽量避免。本课程基本目标为：能理解、掌握Lebesgue测度和Lebesgue积分，赋范空间和Hilbert空间一些基本概念、基本理论和基本方法。本课程的难点在于学生初次涉及众多的抽象概念，并且论
证的部分很多，教学中应密切结合数学分析中学到的相对来说比较直观的内容讲解，并督促学生下工夫理解。 二、教学基本要求 （一）教学内容及要求 《实变函数与泛函分析》在理解数学分析思想及基本知识和线性代数的基本知识后将其拓展到实数域上，进而讨论集合，欧氏空间，Lebesgtle测度，Lebesgue 可测函数，Lebesgue积分，测度空间，测度空间上的可测函数和积分，L^p空间，L^2空间，卷积与Fourier变换，Hilbert空间理论，Hilbert空间上的有界线性算子，Banach空间，Banach空间上的有界线算子，Banach空间上的连续线性泛函、共轭空间与共轭算子，Banach空间的收敛性与紧致性。 其中要求同学们： 1. 理解和掌握集合间的关系和集与映射间的关系，了解度量空间的相关概念和Lebesgue可测集的有关内容和性质。 2. 了解可测函数的概念，构造，以及函数列的收敛性质。 3. 了解Lebesgue积分的概念，掌握收敛定理。 4. 理解赋范线性空间和内积空间的相关知识点。 5. 理解线性算子理论和有界线性泛函理论，了解三个基本定理。 （二）教学方法和教学手段 在课堂教学中，以启发式教学为主进行课堂讲授，板书教学和多媒体教学结合。课堂上加强与学生的互动，引导学生探索讨论，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习主动性，提高课堂学习效率。 （三）实践教学环节 本课程的实践教学环节以习题评析、实例讨论和应用研究为主，使学生能够理论联系实际，学以致用，从而逐步提高学生的知识运用能力和应用创新能力。 （四）学习要求 学生需要做好课前预习、课堂学习、课后复习、做作业等学习环节，以掌握本课程所学内容。 （五）考核方式 本课程采用闭卷考试的方式进行考核。考核成绩包括平时成绩与期末考试成
1、设',()..E R f x E a e ?是上有限的可测函数，证明：存在定义在'R 上的一列连续函数 {}n g ，使得lim ()()..n n g x f x a e →∞ =于E 。 证明：因为()f x 在E 上可测，由鲁津定理是，对任何正整数n ，存在E 的可测子集n E ， 使得1 ()n m E E n -< ， 同时存在定义在1R 上的连续函数()n g x ，使得当n x E ∈时，有()()n g x f x =所以对任意的0η>，成立[||]n n E f g E E η-≥?-由此可得 1[||]()n n mE f g n m E E n -≥≤-< ，因此lim [||]0n n mE f g n →∞-≥=即()()n g x f x ?， 由黎斯定理存在{}n g 的子列{}k n g ，使得lim ()()k n k g x f x →∞ =，..a e 于E 2、设()(,)f x -∞∞是上的连续函数，()g x 为[,]a b 上的可测函数，则(())f g x 是可测函数。 证明：记12(,),[,]E E a b =-∞+∞=，由于()f x 在1E 上连续，故对任意实数1,[]c E f c >是 直线上的开集，设11 [](,)n n n E f c α β∞ =>=U ，其中(,)n n αβ是其构成区间（可能是有限 个 ， n α可 能为 -∞ n β可有为 +∞ ）因此 22221 1 [()][]([][])n n n n n n E f g c E g E g E g αβαβ∞ ∞ ==>=<<=><都可测。故[()]E f g c >可测。 3、设()f x 是(,)-∞+∞上的实值连续函数，则对于任意常数a ，{|()}E x f x a =>是一开集，而{|()}E x f x a =≥总是一闭集。 证明：若00,()x E f x a ∈>则，因为()f x 是连续的，所以存在0δ>，使任意(,)x ∈-∞∞， 0||()x x f x a δ-<>就有， 即任意00U(,),,U(,),x x x E x E E δδ∈∈?就有所以是 开集若,n x E ∈且0(),()n n x x n f x a →→∞≥则，由于()f x 连续，0()lim ()n n f x f x a →∞ =≥， 即0x E ∈，因此E 是闭集。 4、（1）设2121 (0,),(0,),1,2,,n n A A n n n -==L 求出集列{}n A 的上限集和下限集 证明：lim (0,)n n A →∞ =∞设(0,)x ∈∞，则存在N ，使x N <，因此n N >时，0x n <<，即
试卷一： 一、单项选择题（3分×5=15分） 1、1、下列各式正确的是（ ） （A ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （B ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; （C ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （D ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; 2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ） （A ）=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P =ο 3、下列说法不正确的是（ ） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) （A ）若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n f x 是可测函数 （C ）{}inf ()n n f x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ?,则()f x 可测 5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ） (A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数 （C ）)(' x f 在],[b a 上L 可积 (D) ? -=b a a f b f dx x f )()()(' 二. 填空题(3分×5=15分) 1、()(())s s C A C B A A B ??--=_________ 2、设E 是[]0,1上有理点全体，则' E =______,o E =______,E =______. 3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都有
计算数学专业硕士研究生培养方案 一、培养目标 既具有坚实的数学与科学计算基础，又掌握计算机科学与技术、信息科学，特别是计算机软件的专门知识。具备独立从事计算数学研究，信息处理的理论、方法及应用的研究能力，应用软件的开发组织能力，和相关领域的教学、技术管理等工作能力，有严谨求实的工作作风和学习态度，熟练掌握一门外语。 二、研究方向：见附表一 三、学习年限及时间分配 硕士生的学制为2年。课程学习在前2个学期内完成，学位论文时间不应少于1年。 四、课程设置及学分要求：见附件二 硕士生所修课程总学分不少于26学分，其中学位课（包括公共课、专业必修课）不低于16学分。 五、文献阅读 研究生在导师的指导下，从第二学期开始查阅的文献资料应在15篇以上（其中外文文献资料应在三分之一以上）。在查阅大量文献资料的基础上作选题报告，确定研究课题。 学位论文选题报告应具有一定的学术意义，工程应用价值，或对国家经济、教育、文化和社会发展具有一定实用价值。首次选题未通过者，应在3个月内补作。硕士生选题报告一般应在科研所（教研室）内公开组织进行。考核通过，获得1个必修学分。 六、开题报告 硕士生应首先搜集有关文献资料并进行实际调查，把握学科发展前沿，重视知识产权，写好文献综述，在此基础上，写出开题报告，并在硕士点导师组统一安排的开题报告会上作公开报告、答辩，经审核通过者方可进入学位论文工作。考核通过，获得1个必修学分。 七、中期考核 对硕士研究生在论文工作期间必须进行一次中期考核，由数学所统一组织并制定考核内容及要求，对于未通过者提出再次开题的具体要求。凡不符合要求者，令其重做，并延期毕业论文答辩。 八、论文工作 论文工作应与课程学习交叉进行，硕士生用于科学研究和撰写论文的累计时间一般不应少于一年。导师要全面掌握硕士研究生的论文工作进度，根据实际需要对论文工作计划进行及时和必要的调整。硕士论文的具体要求按学校学位管理条例规定执行。 附表一 研究方向及主要研究内容介绍
实变函数期末复习指导（文本） 实变函数题型比例 单选题：5题，每题4分，共20分。 填空题：5题，每题4分，共20分。 计算与证明题：4题，每题15分，共60分。 第1章主要内容 本章所讨论的集合的基本知识是集合论的基础，包括集合的运算和集合的基数两部分. 主要内容有： 一、集合的包含关系和并、交、差、补等概念，以及集合的运算律． 关于概念的学习，应该注意概念中的条件是充分必要的，比如，B A ?当且仅当A x ∈时必有B x ∈．有时也利用它的等价形式：B A ?当且仅当B x ∈时必有A x ∈．在证明两个集合包含关系时，这两种证明方式可视具体问题而选择其一． 还要注意对一列集合并与交的概念的理解和掌握．n n A x ∞ =∈1 当且仅当x 属于这一列集 合中的“某一个”（即存在某个n A ，使n A x ∈），而n n A x ∞ =∈1 当且仅当x 属于这一列集合中 的“每一个”（即对每个n A ，都有n A x ∈）．要熟练地进行集合间的各种运算，这是学习本章必备的基本技能. 读者要多做些这方面的练习． 二、映射是数学中一个基本概念，要弄清单射、满射和双射之间的区别与联系． 对集合基数部分的学习，应注意论证两个集合对等技能的训练，其方法主要有下面三种：一是依对等的定义直接构造两集间的双射；二是利用对等的传递性，如欲证C A ~，已知B A ~，此时只须证C B ~；三是应用有关定理，特别是伯恩斯坦定理，它是判断两个集合对等的常用的有效方法． 三、可列集是无限集中最重要的一类集合，它是无限集中基数最小者. 要掌握可列集的定义和运算性质，有理数集是可列的并且在直线上处处稠密，这是有理数集在应用中的两条重要性质. 四、连续集及其运算性质.要掌握长见的连续集的例子，知道基数无最大者. 第2章主要内容 本章讨论的点集理论，不仅是以后学习测度理论和新积分理论的基础，也为一般的抽象空间的研究提供了具体的模型.
第一章“集合与简易逻辑”教材分析 本章安排的是“集合与简易逻辑”，这一章主要讲述集合的初步知识与简易逻辑知识两部分内容．集合的初步知识是现行高中数学教科书中原来就有的内容，这部分主要包括集合的有关概念、集合的表示及集合同集合之间的关系．简易逻辑知识则是新增加的内容，这部分主要介绍逻辑联结词“或”、“且”、“非”、四种命题及其相互关系、充要条件等有关知识 集合概念及其基本理论，称为集合论，是近代数学的一个重要的基础．一方面，许多重要的学科，如数学中的数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计、拓扑等，都建立在集合理论的基础上．另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用． 逻辑是研究思维形式及其规律的一门基础学科．学习数学，需要全面地理解概念，正确地进行表述、推理和判断，这就离不开对逻辑知识的掌握和运用．更广泛地说，在日常生活、学习、工作中，基本的逻辑知识也是认识问题、研究问题不可缺少的工具，是人们文化素质的组成部分． 在高中数学中，集合的初步知识与简易逻辑知识，与其他内容有着密切联系，它是学习、掌握和使用数学语言的基础，这就是把它们安排在高中数学起始章的出发点． 说明：本章是高中数学的起始章，课时安排得相对宽松一些，像小结与复习部分安排4课时，其中考虑到了对初中内容进行适当复习、巩固的因素． 一、内容与要求大体上按照集合与逻辑这两个基本内容，第一章编排成两大节． 第一大节是“集合”．学生在小学和初中数学中，已经接触过集合，对于诸如数集（整数的集合、有理数的集合）、点集（圆）等，都有了一定的感性认识．在此基础上，这一大节首先结合实例引出集合与集合的元素的概念，并介绍了集合的表示方法．然后，从讨论集合与集合之间的包含与相等的关系入手，给出子集的概念，此外，还给出了与子集相联系的全集与补集的概念．接着，又讲述了属于集合运算的交集、并集的初步知识．鉴于不等式的内容目前初中数学只讲述一元一次不等式与一元一次不等式组，考虑到集合知识的运用与巩固，又考虑到下一章讨论函数的定义域与值域的需要，第一大节最后安排的是绝对值不等式与一元二次不等式的解法．此外，在这一大节之后，还附了一篇关于有限集合元素个数的阅读材料． 这一大节的重点是有关集合的基本概念．学习集合的初步知识，可以使学生更好地理解数学中出现的集合语言，可以使学生更好地使用集合语言表述数学问题，并且可以使学生运用集合的观点研究、处理数学问题，这里，起重要作用的就是有关集合的基本概念．这一大节的难点是有关集合的各个概念的含义以及这些概念相互之间的区别与联系．学生是从本章才正式开始学习集合知识的，这部分包含了比较多的新概念，还有相应的新符号，有些概念、符号还容易混淆，这些因素都可能造成学生学习的障碍． 第二大节是“简易逻辑”．学生在初中数学中，学习过简单的命题(包括原命题与逆命题)知识，掌握了简单的推理方法(包括对反证法的了解)．由此，这一大节首先给出含有“或”、“且”、“非”的复合命题的意义，介绍了判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的
《复变函数与积分变换》课程简介及教学大纲 课程代码：112000531 课程名称：复变函数与积分变换/Function of a Complex Variable and interal transformation 课程类别：公共基础课 总学时/学分：48/3 开课学期：第三或四学期 适用对象：非数学专业本科生 先修课程：高等数学 内容简介：本课程包括复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数、傅里叶变换、拉普拉斯等内容。 一、课程性质、目的和任务 本课程是理工科学生继高等数学后的又一门数学基础课。本课程主要讲授复变函数与积分变换的基本理论和方法。通过本课程的学习，学生不仅能够学到复变函数与积分变换的基本理论和数学物理及工程技术中常用的数学方法，同时还可以巩固和复习高等数学的基础知识，提高数学素养，为学习有关的后续课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。在培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和科学计算能力等方面起着特殊重要的作用。 二、课程教学内容及要求 本课程包括复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数、傅里叶变换、拉普拉斯共七章。 第1章复数与复变函数 主要内容：1复数的概念、运算及几何表示。 2 复平面上区域、曲线的概念及它们的复数表示。 3 复变函数的概念及其复变函数的极限与连续性。 基本要求：1熟悉复数概念及各种几何表示。 2掌握复数的四则运算、乘幂方根共轭等运算并能简单应用。 3了解复平面上区域、曲线的概念，掌握用复数表示它们的方法。 4 了解复变函数与实二元函数的关系及复变函数的极限与连续性，熟悉复变函数极限与连续性的运算法则及性质，熟悉复变函数与实变函数的极限与连续性之间的联系与区别。 重点：复数的运算及各种几何表示法，复变函数的概念。 难点：用复数方法表示平面区域、曲线。 第2章解析函数 主要内容：1 复变函数的导数及解析函数的概念。 2 复变函数可导与解析的充要条件，柯西-黎曼方程及解析函数的性质。 3 初等函数。 基本要求：1 理解复变函数的导数及解析函数的概念，掌握复变函数连续、可导、解析之间的关系及求导法则。 2 熟练掌握复变函数可导与解析的判别法，掌握并灵活运用柯西-黎曼方程，