计数原理、统计、概率、随机变量及其分布列
1、(2012理2)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ） （A ）12种 （B ）10种 (C) 9种 （D ）8种
2、（2012文3）在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n ≥2，x 1,x 2,…,x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）(i =1,2,…,n )都在直线y =12x +1
上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ）
（A ）－1 （B ）0 （C ）1
2
（D ）1
3、(2015.3)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论不正确的是（ ）
（A ）逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 （B ）2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
（C ）2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 （D ）2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
4、(2014理5)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）
（A ） 0.8 （B ） 0.75 （C ） 0.6 （D ） 0.45 5、(2013理5)已知（1+ɑx ）(1+x )5的展开式中x 2的系数为5，则ɑ=（ ） （A ）-4
（B ）-3 （C ）-2
（D ）-1
6、(2016理5)如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）
（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9
2004年 2005年 2006年 2007年 2008年 2009年 2010年 2011年 2012年 2013年
1900
2000 2100 2200 2300 2400 2500 2600 2700
7、（2016文8）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯 ，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为
（A ）710 （B ）58 （C ）38 （D ）310
8、(2016理10)从区间[]10，
随机抽取n 2个数,2121,...,,,,...,,n n y y y x x x 构成n 个数对()()),(,...,,,,,2221n n y x y x x x 其中两数的平方和小于1的数共有m 个，则用随机模拟的
方法得到的圆周率π的近似值为（ ）
（A ）m n 4 （B ）m n 2 （C ）n m 4 （D ）n m
2
9、(2013文13)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是__________．
10、(2015理15)4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a = __________。
11、(2014理13)()10
x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a =________. 12、（2014文13）甲、已两名元动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服种选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_______.
13、(2013理14)从n 个正整数1，2，…，n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为
1
14
，则n =________. 14、(2012理15)某个部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布
2(1000,50)N ，且各个部件能否正常
相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为
元件3
元件2
元件1
15、(2012.18)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售。如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。
（Ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n（单位：枝，n N
）的函数解析式。
（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。
理科：（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列、数学期望及方差；
（2）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由。
文科：(1)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；
(2)若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润不少于75元的概率。
16、(2013理19)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品
获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季
度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了
130 t该农产品．以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求
量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．
(1)将T表示为X的函数；
(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率；
(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需
求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中Array点值的概率(例如：若需求量X∈[100,110)，则
取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入
[100,110)的频率)，求T的数学期望．
17、(2015理18)某公司了解用户对其产品满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：
A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较
给出结论即可）；Array
（2
。假设两地区用户的评价结果相互独立。根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件的概率，求C的概率。
18、（2015文18）某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A , B 两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频率分布表
.
A 地区用户满意度评分的频率分布直方图
频率组距
（I ）两地区满意度评分的平均值及分散程度,（不要求计算出具体值,给出结论即可）
B 地区用户满意度评分的频率分布直方图
频率
组距
（II
.
19、(2014理19)某地区
2007年至2013年农村居民家庭纯收入y （单位：千元）年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入
y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
（1）求y 关于t 的线性回归方程；
（2）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
()()
()
1
2
1
n
i
i
i n
i i t t y y b t t ∧
==--=
-∑∑，??a
y bt =- 20、（2014文19）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，学科网随机访问了
50位市民。根据这50位市民
（I ）分别估计该市的市民对甲、乙部门评分的中位数；
（II ）分别估计该市的市民对甲、乙部门的评分做于90的概率； （III ）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙学科网两部门的评价。
21、(2016理18)某险种的基本保费为a（单位：元）继续购买该险种的投保人称
上年度出险次数012345
≥
保险
a
85
.0a a
25
.1a5.1a
75
.1a2
一年内出险次数012345
≥
概率30
.015
.020
.020
.010
.005
.0
（2）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；
（3）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.
22、（2016文18）某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
（I）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”。求P(A)的估计值；(II)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的60％”.求P(B)的估计值；
（III）求续保人本年度的平均保费估计值.
计数原理、概率、随机变量及其分布、统计、统计案例 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，P (ξ≤4)＝，则P (ξ≤－2)＝( ) A ． B ． C ． D ． 2．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分) 已知甲组数据的平均数为17，乙组数据的中位数为17，则x ，y 的值分别为( ) A ．2,6 B ．2,7 C ．3,6 D ．3,7 3．将4个颜色互不相同的球全部收入编号为1和2的两个盒 子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有( ) A ．10种 B ．20种 C ．36种 D ．52种 4．已知f (x )、g (x )都是定义在R 上的函数，g (x )≠0，f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，fx gx ＝a x ，f 1g 1＋ f －1 g －1＝52，则关于x 的方程abx 2＋2x ＋5 2＝0(b ∈(0,1))有两个不同实根的概率为( ) 5．用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) A ．243 B ．252 C ．261 D ．279 6．四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论： ①y 与x 负相关且y ^ ＝－； ② y 与x 负相关且y ^ ＝－＋； ③y 与x 正相关且y ^ ＝＋； ④y 与x 正相关且y ^ ＝－－. 其中一定不正确的结论的序号是( ) A ．①② B ．②③
概率论与数理统计 第三章 二维随机变量及其概率分布 例题1．甲乙两人独立地进行两次射击，命中率分别为0.2、0.5，把X 、Y 分别表示甲乙命中的次数，求（X,Y ）联合分布律。2．袋中有两只白球，两只红球，从中任取两只以X 、Y 表示其中黑球、白球的数目，求（X,Y ）联合分布律。3．设，且P{}=1，求（）的X 1=(?1011/41/21/4) X 2=(011/21/2)X 1X 2=0X 1，X 2联合分布律，并指出是否独立。 X 1，X 24．设随机变量X 的分布律为Y=，求（X,Y ）联合分布律。X 2X Y 01
概率论与数理统计 第三章 二维随机变量及其概率分布 例题 5．设（X,Y ）的概率分布为 且事件{X=0}与{X+Y=1}独立求a ，b 。6. 设某班车起点上车人数X 服从参数λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客中途下车的概率为P （0 概率论与数理统计 第三章 二维随机变量及其概率分布 例题 （1）C 的值 （2）， (3)P{X+Y ≤1}并判别X 与Y 是否独立。f z (x)f Y (y)9．设f(x,y)= 为（X,Y ）的密度函数，求{10 |y | 数学高考《计数原理与概率统计》复习资料 一、选择题 1．某光学仪器厂生产的透镜，第一次落地打破的概率为0.3；第一次落地没有打破，第二次落地打破的概率为0.4；前两次落地均没打破，第三次落地打破的概率为0.9．则透镜落地3次以内（含3次）被打破的概率是（ ）． A ．0.378 B ．0.3 C ．0.58 D ．0.958 【答案】D 【解析】 分析：分别利用独立事件的概率公式求出恰在第一次、恰在第二次、恰在第三次落地打破的概率，然后由互斥事件的概率公式求解即可. 详解：透镜落地3次，恰在第一次落地打破的概率为10.3P =， 恰在第二次落地打破的概率为20.70.40.28P =?=， 恰在第三次落地打破的概率为30.70.60.90.378P =??=， ∴落地3次以内被打破的概率1230.958P P P P =++=．故选D ． 点睛：本题主要考查互斥事件、独立事件的概率公式，属于中档题. 解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要. 2．安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则同学甲单独去一个社区不同的安排方式有（ ） A ．100种 B ．60种 C ．42种 D ．25种 【答案】C 【解析】 【分析】 给三个社区编号分别为1，2，3，则甲可有3种安排方法，剩下的两个再进行分步计数，从而求得所有安排方式的总数. 【详解】 甲可有3种安排方法， 若甲先安排第1社区， 则第2社区可安排1个、第3社区安排3个，共1 3 43C C ?； 第2社区2个、第3社区安排2个，共22 42C C ?； 第2社区3个，第3社区安排1个，共11 41C C ?； 故所有安排总数为132211 4342413()42C C C C C C ??+?+?=. 故选：C. 随机变量及其概率分布(1) 【教学目标】 1、在对具体问题的分析中，了解随机变量、离散型随机变量的意义，理解取有限值的离散性随机变量及其概率分布的概念。 2、会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布，认识概率分布对于刻画随机现象的重要性。 3、提高学生的抽象概括能力，提高数学建模的能力，提高学生应用数学的意识。 4、随机变量是客观世界中极为普遍的，通过对各种现象及事件a 的分析，培养严谨的逻辑思维能力，激发学生学习兴趣，初步认识数学的应用价值、科学价值，并深刻体会数学是服务于实践的一门学科。 【教学过程】 1、相关知识回顾： （1）随机现象： 在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，事先也不能断定出现哪种结果的现象 （2）基本事件： 在一次试验中可能出现的每一个基本结果 （3）古典概型： 我们将具有:①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个; ②每个基本事件发生的概率相等. 满足这两个特点的概率模型称为古典概率模型 2、新课引入： （1）在一块地里种下10棵树苗，成活的树苗棵数X 是0，1，…，10中的某个数； （2）抛掷一颗骰子，向上的点数Y 是1，2，3，4，5，6中的某一个数； （3）新生婴儿的性别，抽查的结果可能是男，也可能是女。如果将男婴用0表示， 女婴用1表示，那么抽查的结果Z 是0和1中的某个数； 上述问题有哪些共同特点？ 上述问题中的X ，Y ，Z ，ε实际上是把每个随机试验的基本事件都对应一个确定的实数，即在试验结果（样本点）与实数之间建立了一个映射。 例如：上面的植树问题中成活的树苗棵数X ： X=0，表示成活0棵； X=1，表示成活1棵；…… 思考：“X>7”表示什么意思？ 3、新授： 知识点1：随机变量： 一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫随机变量。 通常用大写拉丁字母X ，Y ，Z （或小写希腊字母ζηε,,）等表示，而用小写拉丁字母z y x ,,（加上适当下标）等表示随机变量取得可能值。 引入随机变量后，随机试验中我们感兴趣的事件就可以通过随机变量的取值表达出来。 注：（1）随机试验中，可能出现的恶结果都可以用一个数来表示。如掷一枚硬币，“正 概率与统计、计数原理专题分析 高中数学课程中的“统计与概率”部分被安排在必修3和选修2-3，历来被老师认为易教、被学生认为易学，一线教师大多走马观花一带而过，以便腾出时间深挖其他章节内容．2017年全国高考概率与我们如约而至，常规内容紧密结合社会实际，以现实生活为背景设置试题，体现数学在解决实际问题中的巨大作用和应用价值，体现高考改革中加强应用性、实贱性的特点．研宄近几年高考试卷中“统计与概率试题，被认为“送分题”分数送不出去的尴尬，引发深思，促使我们重新审视“统计与概率”内容，深感“简单”的内容不简单！ 一、专题考点分析 1.考点分析 2017年高考数学试题，概率与统计、计数原理部分考查的知识点覆盖面广，各卷考查知识点如下. （1）全国Ⅰ卷. 文科：样本的数字特征、几何概型、相关系数、方差均值计算； 理科：几何概型、二项式定理、正态分布、随机变量的期望和方差 （2）全国Ⅱ卷 文科：古典概型、频率分布直方图的应用； 理科：排列与组合、随机变量的期望、独立事件概率公式、独立性检验、频率分布直方图估计中位数. （3）全国Ⅲ卷. 文科：折线图、古典概型； 理科：折线图、离散型随机变量的分布列、数学期望 （4）北京卷. 文科：频率分布直方图的应用；理科：散点图的应用、古典概型、超几何分布、方差 （5）天津卷 文科：古典概型；理科：排列与组合、离散型随机变量的概率分布列及数学期望 （6）江苏卷 几何概型、分层抽样古典概型排列组合、随机变量及其分布、数学期望 （7）浙江卷 随机变量的期望和方差、二项式定理 （8）山东卷 文科：茎叶图、样本的数字特征、古典概型； 理科：回归直线方程、古典概型、随机变量的分布列与数学期望、超几何分布 2. 题量与分值分析 每年全国各地区的高考中都会有各种类型的概率题出现，分值占整套试卷总分的 8%～14%. 2017年各卷考查的题型及分值情况如下 （1）全国Ⅰ卷文、理科分别考查两道选择题和一道解答题，总分值均为22分 （2）全国Ⅱ卷文科考查一道选择题和一道解答题，总分值为17分；理科考查两道选择题和一道解答题，总分值为22分. （3）全国Ⅲ卷文、理科分别考查一道选择题和一道解答题，总分值均为17分. （4）北京卷文科考查一道解答题，分值为13分；理科考查一道填空题和一道解答题，总分值为18分. （5）天津卷文、理科分别考查一道选择题和一道解答题，总分值均为18分. （6）江苏卷考查两道填空题和一道解答题，总分值为20分. — 高三数学(理十五)第1页 共6页— 2017-2018学年度南昌市高三第一轮复习训练题 数学（理十五）计数原理、概率与统计 命题人：新建二中 陈选明 审题人：新建二中 朱优奇 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．《中国诗词大会》的播出引发了全民的读书热，某小学语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如图所示.若规定得分不小于85分的学生得到“诗词达人”的称号，小于85分且不小于70分的学生得到“诗词能 手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号，根据该次比赛 的成绩按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的 学生中获得“诗词能手”称号的人数为( ) A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 2．已知两组数12345671234567:,,,,,,,:,,,,,,A x x x x x x x B y y y y y y y ，其中 ()23,1,2,3,4,5,6,7i i y x i =+=，A 组数的平均数与方差分别记为2,,A x S B 组数的平均数与方差分别记为2,B y S ，则下面关系式正确的是( ) A. 2223,23B A y x s s =+=+ B. 2223,4B A y x s s =+= C. 222,4B A y x s s == D. 222,43B A y x s s ==+ 3．某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位： 小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其 中自习时间的范围是[]17.5,30，样本数据分组为 [)17.5,20，[)20,22.5，[)22.5,25，[)25,27.5， []27.5,30. 根据直方图，若这200名学生中每周的 自习时间不超过m 小时的人数为164，则m 的值约为( ) A. 26.25 B. 26.5 C. 26.75 D. 27 4．“杨辉三角形”是古代重要的数学成就,它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多 年，如图是三角形数阵，记n a 为图中第n 行各个数之和，则511a a +的值为( ) A.528 B.1020 C.1038 D. 1040 5．如图，一只蚂蚁从点A 出发沿着水平面的线条爬行到点C ，再由点C 沿着置于水平面的长方体的棱爬行至顶点B ，则它可以爬行的不同的最短路径有( )条 A. 40 B. 60 C. 80 D. 120 一、单项选择题 1 ，那么下列结论正确的是 （）A B C D.以上都不正确 2设X与Y相互独立，X 0—1分布，Y 0—1分布，则方程 t 有相同实根的概率为 （A（B（C （D 3．设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 则k的值必为 （A（B（C （D 4．设（X，Y）的联合密度函数为 （A （B（C（D 5．设随机变量X与Y相互独立，而且X服从标准正态分布N（0，1），Y服从二项分布B（n，p），0 二、填空题 2 若（X ，Y ）的联合密度 ， 3 4 ，则 且区域 5 。 6 . 7 =? ∞+∞ -)(x f X . 8 如果随机变量),(Y X 的联合概率分布为 X 1 2 3 1 61 91 181 2 3 1 α β 则βα,应满足的条件是 ；若X 与Y 相互独立，则=α ，=β . 9 设Y X ,相互独立，)1.0(~),1,0(~N Y N X ，则),(Y X 的联合概率密度 =),(y x f ，Y X Z +=的概率密度=)(Z f Z . 10、 设 ( 、 ) 的 联 合 分 布 函 数 为 ()()()()?? ??? ≥≥+-+-+++= y x y x y x A y x F 00,0111111,2 22则 A =_____。 11设X 服从参数为1的泊松分布，Y 服从参数为2的泊松分布，而且X 与Y 相互独立，则 (max(,)0)_______. (min(,)0)_______.P X Y P X Y ≠=≠= 12 设X 与Y 相互独立，均服从[1，3]上的均匀分布，记(),A X a =≤(),B Y a => 7 ()9 P A B ?= 且，则a=_______. 13 二维随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为 221()21sin sin (,)(,),2x y x y f x y e x y π -++= -∞<<+∞ 则两个边缘密度为_________. 三．解答题 1 一个袋中有三个球,依次标有数字 1, 2, 2,从中任取一个, 不放回袋中 , 再任取一个, 设每次取球时,各球被取到的可能性相等,以 X , Y 分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字 ,求 ( X , Y ) 的分布律与分布函数. 2．箱子里装有12件产品，其中2件是次品，每次从箱子里任取一件产品，共取2次，定义随机变量12,X X 如下： (十三) 计数原理、概率统计(理科)(样稿) 华南师范大学附中罗华张琪 A 组 (1) C22+C23+C24+…+C210= (A) 990 (B) 165 (C) 120 (D) 55 B (2)把3 个不同的小球随意地放入4 个不同的盒子内，则3 个小球恰在三个不同的盒子内的概率为 (A) 3 4(B) 4 5(C) 3 8(D) 7 16 C (3)某学校要派遣6位教师中的4位去参加一个学术会议，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则派遣教师的不同方法数共有 A．7种 B．8种C．9种 D．10种 C (4)将3 种农作物都种植在如图的4 块试验田里，每块种植一种农作物，要求相邻的试验田不能种植同一种作物，则不同的种植方法共有几种 (A) 6 (B) 12 (C) 18 (D) 24 C C13C12(1+2) (5)四人报名参加跑步、跳高、和游泳比赛，每人限报一项，不同的报名结果有种？ 34 (6) (1 + x) 30的展开式中，系数最大的项是第__________项。 16； (7) 平面内有10个点，其中每3点不共线，以其中任意2个点为端点的线段有_________条，有向线段有_________条. C210=45 ; A210=90 (8) 某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论： ①他第3次击中目标的概率是0.9； ②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1 ③他至少击中目标1次的概率是1－0.14 其中正确结论的序号是（写出所有正确结论的序号）． ①③ (9) 这是高考第一批录取的一份志愿表。有4所重点院校，每所院校有3个专业是你较为满 意的选择。若表格须填满且规定学校没有重复、同一学校的专业也没有重复的话。你将有种不同的填写方案？ 【高中数学】数学《计数原理与概率统计》高考知识点 一、选择题 1．已知()9 29012913x a a x a x a x -=++++L ，则019a a a +++…等于（ ） A ．92 B ．94 C ．93 D ．1 【答案】B 【解析】 【分析】 求出二项式()9 13x -展开式的通项为()193r r r T C x +=?-，可知当r 为奇数时，0r a <，当 r 为偶数时，0r a >，然后代入1x =-即可得出019a a a ++?+的值. 【详解】 二项式()9 13x -展开式的通项()193r r r T C x +=?-，当r 为奇数时，0r a <，当r 为偶数 时，0r a >， 因此，()9 90191314a a a ??++?+=-?-=??. 故选：B. 【点睛】 本题考查利用赋值法求各项系数绝对值之和，要结合二项式定理判断各项系数的符号，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 2．安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则同学甲单独去一个社区不同的安排方式有（ ） A ．100种 B ．60种 C ．42种 D ．25种 【答案】C 【解析】 【分析】 给三个社区编号分别为1，2，3，则甲可有3种安排方法，剩下的两个再进行分步计数，从而求得所有安排方式的总数. 【详解】 甲可有3种安排方法， 若甲先安排第1社区， 则第2社区可安排1个、第3社区安排3个，共1 3 43C C ?； 第2社区2个、第3社区安排2个，共22 42C C ?； 第2社区3个，第3社区安排1个，共11 41C C ?； 故所有安排总数为132211 4342413()42C C C C C C ??+?+?=. 故选：C. 【点睛】 第二章随机变量及其概率分布考试模拟题 (共90 分) 一．选择题(每题2分共20分) 1．F(X) 是随机变量X的分布函数，则下列结论不正确的是( B ) A.0 F( x) 1 B.F( x)=P{X=x} C.F( x)=P{X x} D.F( )=1, F( )=0 解析：A,C,D 都是对于分布函数的正确结论，请记住正确结论！ B 是错误的。2．设随机变量X的分布函数律为如下表格：F(x)为其分布函数，则F(5)=( C ) A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.4 解析：由分布函数定义F(5)=P{X 5}=P{X=0}+P{X=2}+P{X=4}=0.1+0.2+0.3=0.6 3．下列函数可以作为随机变量分布函数的是 4x 0 x1 2x A.F(x)= B.F(x)= 其它其它 x<0 x<0 C.F(x)= 2x D.F(x)= 2x 0 x 0.5 其它≥0.5 解析：由分布函数F(x) 性质：0 F(x) 1，A,B,C 都不满足这个性质，选D 4．设X 的密度函数为f(x)=则P{-2 1 解析：根据密 度函数性质： A.有f(x) 0的情况，错； B.D. 不符合 f(x)dx 1错； 1 C. 1 12dx 21x|11 12 21 1 选 C 6.设随机变量 X~N(1 ，4)， (1) 0.8413, (0) 0.5 ，则事件 {1 X 3 } 的概率为(D ) 解：P{1 X 3 }=F(3)-F(1)= (3 1) (1 1) (1) (0) 0.8413 0.5 0.3413 22 7．已知随机变量 X 的分布函数为( A ) 0 x 0 1 0 x 1 F(x)= 2 ，则 P X 1 = 2 1x3 3 1 x 3 112 A ． 1 B ． 1 C ． 2 D ． 1 623 A. 0 B. C. D. 848 解析： P {-2 【高中数学】数学高考《计数原理与概率统计》复习资料 一、选择题 1．某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲和乙都不是第一个出场，甲不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为（ ） A ． 13 B ． 14 C ． 15 D ． 12 【答案】A 【解析】 【分析】 根据条件概率的公式与排列组合的方法求解即可. 【详解】 由题意得学生甲和乙都不是第一个出场,甲不是最后一个出场的概率11333315 5C C A 9A 20P ==,其中学生丙第一个出场的概率13 3325 5C A 3A 20P ==,所以所求概率为21 13P P P ==. 故选：A 【点睛】 本题主要考查了根据排列组合的方法求解条件概率的问题,属于中等题型. 2．将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m ，第二次出现的点数为n ，向量p u v ＝(m ，n)，q v ＝(3,6)．则向量p u v 与q v 共线的概率为( ) A ． 1 3 B ． 14 C ． 16 D ． 112 【答案】D 【解析】 【分析】 由将一枚骰子抛掷两次共有36种结果，再列举出向量p u r 与q r 共线的基本事件的个数，利用 古典概型及其概率的计算公式，即可求解。 【详解】 由题意，将一枚骰子抛掷两次，共有6636?=种结果， 又由向量(,),(3,6)p m n q ==u r r 共线，即630m n -=，即2n m =， 满足这种条件的基本事件有：(1,2),(2,4),(3,6)，共有3种结果， 所以向量p u r 与q r 共线的概率为31 3612 P = =，故选D 。 【点睛】 本题主要考查了向量共线的条件，以及古典概型及其概率的计算，其中解答中根据向量的共线条件，得出基本事件的个数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础 第十篇：计数原理、统计、概率 一、选择题 1.【2018全国一卷3】某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻 番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图： 建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是 A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 2.【2018全国一卷10】下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个 半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC 的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II，其余部分记为III．在整个图形中随机取一点，此点取自I，II，III的概率分别记为p1，p2，p3，则 A．p1=p2 B．p1=p3 C．p2=p3 D．p1=p2+p3 3.【2018全国二卷8】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥 德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723 =+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A． 1 12 B． 1 14 C． 1 15 D． 1 18 4.【2018全国三卷5】 5 2 2 x x ?? + ? ?? 的展开式中4x的系数为 A ．10 B ．20 C ．40 D ．80 5.【2018全国三卷8】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =， ()()46P X P X =<=，则p = A ． B ． C ． D ． 6.【2018浙江卷7】设0 第二章 随机变量及其概率分布 教学目的与要求 1. 熟练掌握一维离散型随机变量及其分布的概念，会求一维离散型随机变量的分布列； 2. 熟练掌握一维随机变量分布函数的概念与性质； 3. 熟悉一维离散型随机变量的分布函数与分布列的关系； 3. 理解一维连续型随机变量分布函数与分布密度的概念及其关系； 4. 熟记常见的几种分布的表达形式. 6. 熟悉随机变量函数的分布函数与分布密度的计算公式. 教学重点 一维离散型、连续型随机变量及其分布 教学难点 随机变量函数的分布 教学方法 讲解法 教学时间安排 第11-12学时 第一节 随机变量 第四节 随机变量的分布函数 第13-16学时 第二节 离散型随机变量 第三节 连续型随机变量 第17-18学时 第五节 随机变量函数的分布 习题辅导 教学内容 第一节 随机变量 一、随机变量 在上一章所讲的有些随机试验的样本空间中基本事件是用数值描述的，这就提示我们，无论什么随机试验，如果用一个变量的不同取值来描述它的全部可能结果，样本空间的表达及其相应的概率就显得更明了、更简单.事实上，这种想法是可以的，为此，引入一个新概念. 定义2.1 设E 维随机试验，()ωΩ=为其样本空间，若对任意的ω∈Ω，有唯一的实数与之对应，且对{},x R x ξ?∈≤为事件，则称()ξω为随机变量. 这样，事件可通过随机变量的取值来表示，随机变量,(),(),b a b ξξξ≤<≤L 等都表 示为事件，其中,a b 表示任意实数.即用随机变量的各种取值状态和取值范围来表示随机事件. 二、分布函数的定义与性质 定义2.2 定义在样本空间Ω上，取值于实数域的函数()ξω，称为是样本空间Ω上的（实值）随机变量，并称 ()(()), (,)F x P x x ξω=≤∈-∞∞ 是随机变量()ξω的概率分布函数.简称为分布函数. 分布函数的性质： （1）单调性 若12,x x <则12()()F x F x ≤； （2）()lim ()0x F F x →-∞ -∞== ()lim ()1x F F x →+∞ +∞== （3）右连续性 (0)()F x F x += 反过来，任一满足这三个性质的函数，一定可以作为某个随机变量的分布函数.因此，满足这三个性质的函数通常都称为分布函数. 由分布函数还可以下列事件的概率： {()}1(){()}(0) {()}1(0){()}()(0) P x F x P x F x p x F x P x F x F x ξωξωξωξω>=-<=-≥=--==-- 由此可见，形如12121212{()},{()},{()},{()}x x x x x x x x ξωξωξωξω≤≤<<<≤≤<这些事件以及它们经过有限次或可列次并、交、差以后的概率，都可以由()F x 算出来，所以()F x 全面地描述了随机变量()ξω的统计规律. 第二节 离散型随机变量 一、离散型随机变量的概念及其分布 定义 2.2 定义在样本空间Ω上，取之于实数域R ，且只取有限个或可列个值的变量 ()ξξω=，称作是一维（实值）离散型随机变量，简称为离散型随机变量.称 新数学《计数原理与概率统计》高考知识点 一、选择题 1．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为1ξ；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为2ξ，则（ ） A ．12E E ξξ<，12D D ξξ< B ．12E E ξξ=，12D D ξξ> C ．12E E ξξ=，12D D ξξ< D ．12E E ξξ>，12D D ξξ> 【答案】B 【解析】 【分析】 分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系. 【详解】 1ξ可能的取值为0,1,2；2ξ可能的取值为0,1， ()1409P ξ== ，()1129P ξ==，()141411999 P ξ==--=， 故123E ξ= ，22 214144402199999 D ξ=?+?+?-=. ()22110323P ξ?== =?，()22122 1323 P ξ??===?， 故223E ξ= ，2 221242013399 D ξ=?+?-=, 故12 E E ξξ=，12D D ξξ>.故选B. 【点睛】 离散型随机变量的分布列的计算，应先确定随机变量所有可能的取值，再利用排列组合知识求出随机变量每一种取值情况的概率，然后利用公式计算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的区别. 2．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知()3E X =，则()(D X = ) A ． 85 B ． 65 C ． 45 D ． 25 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意知，3~(5, )3X B m +，由3 533EX m =? =+，知3~(5,)5 X B ，由此能求出()D X ． 【最新】数学高考《计数原理与概率统计》专题解析(1) 一、选择题 1．在高三下学期初，某校开展教师对学生的家庭学习问卷调查活动，已知现有3名教师对4名学生家庭问卷调查，若这3名教师每位至少到一名学生家中问卷调查，又这4名学生的家庭都能且只能得到一名教师的问卷调查，那么不同的问卷调查方案的种数为（）A．36 B．72 C．24 D．48 【答案】A 【解析】 【分析】 分为两步进行求解，即先把四名学生分为1,1,2三组，然后再分别对应3名任课老师，根据分步乘法计数原理求解即可． 【详解】 根据题意，分2步进行分析： ①先把4名学生分成3组，其中1组2人，其余2组各1人，有 212 421 2 2 6 C C C A =种分组方 法； ②将分好的3组对应3名任课教师，有336 A=种情况； 根据分步乘法计数原理可得共有6636 ?=种不同的问卷调查方案． 故选A． 【点睛】 解答本题的关键是读懂题意，分清是根据分类求解还是根据分布求解，然后再根据排列、组合数求解，容易出现的错误时在分组时忽视平均分组的问题．考查理解和运用知识解决问题的能力，属于基础题． 2．《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，则这两卦的六根线中恰好有4根阴线的概率为（） A． 3 14 B． 2 7 C． 9 28 D． 19 28 【答案】A 【解析】 【分析】 列出所有28种情况，满足条件的有6种情况，计算得到概率. 【详解】 根据题意一共有： 乾坤、乾巽、乾震、乾坎、乾离、乾艮、乾兑；坤巽、坤震、坤坎、坤离、坤艮、坤兑； 巽震、巽坎、巽离、巽艮、巽兑；震坎、震离、震艮、震兑；坎离、坎艮、坎兑； 离艮、离兑；艮兑，28种情况. 满足条件的有：坤巽，坤离，坤兑，震坎，震艮，坎艮，共6种. 故632814p = =. 故选：A . 【点睛】 本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力. 3．某小学要求下午放学后的17：00-18：00接学生回家，该学生家长从下班后到达学校（随机）的时间为17：30-18：30，则该学生家长从下班后，在学校规定时间内接到孩子的概率为（ ） A ． 78 B ． 34 C ． 12 D ． 14 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意，设学生出来的时间为x ，家长到达学校的时间为y ，转化成线性规划问题，利用面积型几何概型求概率，即可求得概率. 【详解】 解：根据题意，设学生出来的时间为x ，家长到达学校的时间为y ， 学生出来的时间为17：00-18：00，看作56x ≤≤， 家长到学校的时间为17：30-18：30，5.5 6.5y ≤≤， 要使得家长从下班后，在学校规定时间内接到孩子，则需要y x ≥， 则相当于56 5.5 6.5x y ≤≤?? ≤≤? ，即求y x ≥的概率， 如图所示： 约束条件对应的可行域面积为：1， 则可行域中y x ≥的面积为阴影部分面积：1117 12228 - ??=， 所以对应的概率为：7 7818 =， 即学生家长从下班后，在学校规定时间内接到孩子的概率为：78 . 故选：A. 第二章 随机变量及其概率分布 【内容提要】 一、随机变量及其分布函数 设()X X ω=是定义于随机试验E 的样本空间Ω上的实值函数，且x R ?∈， {}()X x ωω≤是随 机事件，则称()X X ω=为随机变量，而称()()()F x P X x ω=≤为其概率分布函数。 随机变量()X X ω=的概率分布函数()()()F x P X x ω=≤具有如下性质: ⑴．非负性: x R ?∈，有0()1F x ≤≤； ⑵．规范性: ()0,()1F F -∞=+∞=； ⑶．单调性: 若12x x ≤，则12()()F x F x ≤； ⑷．右连续性: x R ?∈，有(0)()F x F x +=。 二、离散型随机变量 1．离散型随机变量及其概率分布律 若随机变量()X X ω=只取一些离散值12n x x x -∞<<=其中而。 三、连续型随机变量 复习试卷八：概率统计、计数原理 1.如图是某高三学生进入高中三年来第1次到14次的数学考试成绩茎叶图，根据茎叶 图计算数据的中位数为? 2.右上图是一样本的频率分布直方图，其中（4,7）内的频数为4,数据在[1,4）U [7,15）内 的频率为样本容量为. 3.某公司共有1000名员工，下设一些部门，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一 个容量为50的样本，已知某部门寺* 200名员工，那么从该部门抽取的工人数是. 4.某射击运动员在四次射击中分别打出了10, x, 10, 8环的成绩，已知这组数据的平均数为9,则这组数据的标准差是. 5.在一次考试中，5名学生的数学和物理成绩如下表：（已知学生的数学和物理成绩具 有线性相关关系） 学生的编号i12345 数学成绩X8075706560 物理成绩y7066686462 现已知其线性回归方程为y=0.36* +。，则根据此线性回归方程估计数学得90分的同学的物理成绩为.（四舍五入到整数） 6.（V7-二沪°展开式中的常数项是（用数字作答） 7.若（ax-\）5的展开式中/的系数是80,贝U实数a的值是 8 . 若(1 — 2x)2”。=。()+ □/+ + , , ? +。2()10工~°"(X ￡ R) ,则(% +。］ ) + (% + % ) + (。()+。3 ) (% +。2()1() ) = 9.将右图中编有号的五个区域染色，有五种颜色M供选择，要求有 公共边的两个区域不能同色，则不同的涂色方法总数为（用数字作 答）. 10.6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有种. 11.若用1,2, 3, 4, 5, 6,7这七个数字中的六个数字组成没有重复数字，且任何相邻两个 数字的奇偶性不同的六位数，则这样的六位数共有个（用数字作答）. 12.某同学参加北大、清华、科大三所学校的白主命题招生考试，其被录取的概率分别为1,[1 （各学校是否录取他相互.独立，允许他可以被多个学校同时录取）.则此同学 （用数字作 随机变量及其分布 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1.理解随机变量的概念. 2.熟练掌握随机变量的概率分布及其性质. 3.能熟练应用两点分布. 4.能熟练运用超几何分布. 1.随机变量: 一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，通常用大写拉丁字母X ，Y ，Z (或小写希腊字母,,ξηζ)等表示，而用小写拉丁字母x ，y ，z (加上适当下标)等表示随机变量取的可能值. 注意:(1)一般地，一个试验如果满足下列条件：i)试验可以在相同的情形下重复进行；ii)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；iii)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.这种试验就是个随机试验，为了方便起见，也简称试验. (2)所谓随机变量，即是随机试验的试验结果与实数之间的一个对应关系，这种对应关系是人为建立起来的，但又是客观存在的.这与函数概念的本质是一样的，只不过在函数概念中，函数f (x )的自变量是实数，而在随机变量的概念中，随机变量的自变量是试验结果. (3)一般情况下，我们所说的随机变量有以下两种： 如果随机变量所有可能的取值都能一一列举出来，这样的随机变量叫做离散型随机变量.如果随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量. (4)离散型随机变量和连续型随机变量的区别： 离散型随机变量和连续型随机变量都用来刻画随机试验所出现的结果，但二者之间又有着根本的区别：对于离散型随机变量来说，它所可能取的值为有限个或至多可列个，或者说能将它的可能取值，按一定次序一一列出，而连续型随机变量可取某一区间内的一切值，我们无法将其中的值一一列举. 2.随机变量的概率分布 一般地，假定随机变量X 有n 个不同的取值，它们分别是12,, ,,n x x x 且()i P X x == ,1,2,3, ,i p i n =①，则称①为随机变量X 的概率分布列. 3.随机变量概率分布的性质 (1)对于随机变量的研究，我们不仅要知道随机变量取哪些值，随机变量所取的值表示的随机试验的结果，而且需要进一步了解随机变量：取这些值的概率. (2)随机事件A 的概率满足0≤P (A )≤1，必然事件U 的概率P (U )=1.若离散型随机变量X 所有可能取的值为12,, ,.n x x x X 取每一个值i x (i =1，2，…，n )的概率为(),i i P X x p ==○ 10,1,2,3,,;i p i n ≥=○2123 1.n p p p p ++++=不满足上述两条性质的分布列一定是错误的， 即分布列满足上述两条性质是该分布列正确的必要不充分条件. (3)由离散型随机变量分布列的概念可知，离散型随机变量各个可能的取值表示的事件是互斥的.高考数学压轴专题人教版备战高考《计数原理与概率统计》基础测试题含解析
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