专题9计数原理与概率统计
1.已知(
)*
n a n n N
=∈,设多项式()543
11
5
30
n n n n f a xa a n ya =++-
,满足()11f =,()217f =. (1)求x ,y 的值;
(2)试探究对于一切正整数n ,()f n 是否一定是整数?并证明你的结论;
(3)求证:当2n ≥时,2
2
2
4n n a a n n a a +-+≤.
【答案】(1)12
x =
,1
3y =;(2)()f n 是整数,证明见解析;(3)证明见解析
【解析】(1)由()11f =,得5
6
x y +=, 由()217f =,得4
23
x y +=
, 联立得12
x =
,13y =.
(2)由(1)得()5431111
52330
f n n n n n =
++-, 由()10f -=,()11f =,()217f =…, 猜想:对于一切正整数n ,()f n 是整数, 用数学归纳法证明:对一切正整数n ,()f n 是整数. ①当1n =时,()11f =,结论成立.
②假设当(
)*
n k k N
=∈时,结论成立,
即()5431111
52330
f k k k k k =
++-是整数,
则当1n k =+时,()()()()()543
11111111523130
f k k k k k =
++-+++++ 051423324504132234
5555554444452C k C k C k C k C k C C k C k C k C k C +++++++++=+
()031223
333311330
C k C k C k C k ++++-+
()4324641f k k k k k =+++++.
根据假设()f k 是整数,而4324641k k k k ++++显然是整数. ∴()1f k +是整数,从而当1n k =+时,结论也成立. 由①、②可知对对一切正整数n ,()f n 是整数.
(3)当2n ≥时,欲证222
4n
n a a n
n a
a
+-+≤,只需证明214n
n ??+≥ ???
, 因为1
2
01222221n n
n n n n n C C C C n n n n ????????+=+++
+ ? ? ? ???????
??
()214
1242n n n
-≥++
?≥, 所以对任意正整数()2n n ≥,都有2
2
2
4n n a
a
n n a a +-+≤成立.
2.某工厂生产了一批高精尖的仪器,为确保仪器的可靠性,工厂安排了一批专家检测仪器的可靠性,毎台仪器被毎位专家评议为“可靠”的概率均为(01)p p <<,且每台仪器是否可靠相互独立.
(1)当4
5
p =
,现抽取4台仪器,安排一位专家进行检测,记检测结果可靠的仪器台数为X ,求X 的分布列和数学期望;
(2)为进一步提高出厂仪器的可靠性,工厂决定每台仪器都由三位专家进行检测,只有三位专家都检验仪
器可靠,则仪器通过检测.若三位专家检测结果都为不可靠,则仪器报废.其余情况,仪器需要回厂返修.拟定每台仪器检测费用为100元,若回厂返修,每台仪器还需要额外花费300元的维修费.现以此方案实施,且抽检仪器为100台,工厂预算3.3万元用于检测和维修,问费用是否有可能会超过预算?并说明理由. 【答案】(1)分布列详见解析,数学期望16
()5
E X =
;(2)不会超过预算,理由详见解析. 【解析】(1)题意知X 的所有可能取值为0,1,2,3,4, 且X 服从参数为4
4,5
n p ==
的二项分布, 所以()()4444C 10,1,2,3,455k
k
k P X k k -????==-= ? ???
??
()4
41015625
P X ??==-=
???, ()1
3
14
44161C 155625P X ??
??==-= ?
?
??
??, ()2
2
2444962C 155625
P X ??
??==-= ?
?
??
??, ()3
1
34
442563C 155625
P X ??
??==-= ?
???
??, ()4
425645625
P X ??===
???.
故 X 的分布列为 :
从而()165
E X =
. (2)设每台仪器所需费为X 元,则X 的可能取值为100,400.
()()331001P X p p ==+-,()()3
340011P X p p ==---.
所以()E X =()][()3333
100140011p p p p ??+-+---??
,
化简得()()33
4003001E X p p ??=-+-??
,
令()()33
4003001f p p p ??=-+-??
,()0,1p ∈
()()()22300331300630f p p p p '??=---=--=??,解得1
2
p =,
当102p <<,()0f p '>,()f p 在10,2?? ???单调递增, 当
112p <<,()0f p '<,()f p 在112??
???
,单调递减, 所以当1
2
p =
时,()f p 的最大值为13252f ??
= ???
. 实施此方案,最高费用为10032532500?=元<33000元,不会超过预算.
3.设集合n T ={1,2,3,…,n }(其中n ≥3,n N *∈),将n T 的所有3元子集(含有3个元素的子集)中的最小元素的和记为n S .
(1)求3S ,4S ,5S 的值;
(2)试求n S 的表达式.
【答案】(1)31S =;45S =;515S =(2)4
1n n S C +=
【解析】(1)3{1,2,3}T =,其所有三元子集为{1,2,3},故31S =;
4{1,2,3,4}T =,其所有三元子集为{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},故45S =;
5{1,2,3,4,5}T =,,其所有三元子集为{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,3,4},{1,3,5},{1,4,5},{2,3,4},
{2,3,5},{2,4,5},{3,4,5},故515S =;
(2){1,2,3,
,}n T n =的所有三元子集中:
最小元素为1的三元子集个数为2
1n C -
最小元素为2的三元子集个数为2
2n C -
最小元素为3的三元子集个数为2
3n C - ……
最小元素为n ﹣2的三元子集个数为2
2C
222222
234321(2)(3)(4)32n n n n S n C n C n C C C C ---=-+-+-++++
2322
222
2334321(3)()(4)32n n n C n C C n C C C C ---=+-++-++++
232
222
244321(3)(4)32n n n C n C n C C C C ---=+-+-++++
2332
222
2444321(4)()32n n n C C n C C C C C ---=++-+++++
233
222
245321(4)32n n n C C n C C C C ---=++-++++
……
433
3
445n C C C C =+++
+
43
3
55n C C C =+++
4
1n C +=.
4.设n 为给定的大于2的正整数,集合{}1,2,,S n =???,已知数列n A :1x ,2x ,…,n x 满足条件:
①当1i n ≤≤时,i x S
∈;
②当1i j n ≤<≤时,i j x x ≠.
如果对于1i j n ≤<≤,有i j x x >,则称()
,i j x x 为数列n A 的一个逆序对.记数列n A 的所有逆序对的个数为
()n T A .
(1)若()41T A =,写出所有可能的数列4A ; (2)若()2n T A =,求数列n A 的个数;
(3)对于满足条件的一切数列n A ,求所有()n T A 的算术平均值.
【答案】(1)不同的4A 分别为:1,2,4,3;1,3,2,4;2,1,3,4;(2)()()2
1212
n n n --;(3)
()14n n -. 【解析】(1)因为()41T A =, 故1234,,,x x x x 只有一个逆序对, 则不同的4A 分别为:1,2,4,3;1,3,2,4;2,1,3,4.
(2)因为()42T A =,故数列n A :1x ,2x ,…,n x 有两种情况: ①2对逆序数由3个元素提供,即
121212,,,i i i i i i i n x x x x x x x x x x ++++<<<>><<<,
这样的n A 共有()()
3
126
n n n n C --=
个.
②2对逆序数由4个元素提供,即
121212i i i j j j n x x x x x x x x x ++++<<<><<<><<<.
这样的n A 共有()()()
4
123212
n n n n n C ---=
.
综上,满足()2n T A =的数列n A 的个数为()()2
1212
n n n --.
(3)对任意的n A :1x ,2x ,…,n x ,其逆序对的个数为()n T A ,
我们引进一个定义:1i j n ≤<≤,有i j x x <,则称()
,i j x x 为数列n A 的一个顺序对,
则n A 中的顺序对个数为
()
()12
n n n T A --. 考虑n A :1x ,2x ,…,n x 与n B :n x ,1n x -,…,1x ,
n A 中的逆序对的个数为n B 中顺序对的个数,n A 中顺序对的个数为n B 中逆序对个数,
把所有的n A 按如上形式两两分类,则可得所有的n A 中,逆序对的总数和顺序对的总数相等,而它们的和为
()1!2n n n -?,故逆序对的个数为()
1!4
n n n -?,
所以所有()n T A 的算术平均值为
()14
n n -.
5.甲?乙两位同学每人每次投掷两颗骰子,规则如下:若掷出的点数之和大于6,则继续投掷;否则,由对方投掷.第一次由甲开始.
(1)若连续两次由甲投掷,则称甲为“幸运儿”,在共投掷四次的情况下,求甲为“幸运儿”的概率; (2)设第n 次由甲投掷的概率为n p ,求n p .
【答案】(1)11831728.(2)1
111
262
n n p -??
=?+ ?
??
【解析】由题意知,投掷两颗骰子,共有36种结果,点数之和大于6的有
()()()()()()()()1,6,2,5,2,6,3,4,3,5,3,6,4,3,4,4
()()()()()()()()4,5,4,6,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6,6,1()()()()()6,2,6,3,6,4,6,5,6,6
共21种.
则点数之和大于6的概率为
712,小于等于6的概率为512
. (1)由题意可知甲成为“幸运儿”的情况有两种:
①第一?第二次均由甲投掷,即甲第一次所掷点数之和大于6, 其概率为77
11212
?
=, ②第一次由甲投掷,第二次由乙投掷,第三,四次由甲投掷,即第一次甲所掷点数之和小于等于6,第二次乙所掷点数之和小于等于6,第三次甲所掷点数之和大于6, 其概率为55717511212121728
?
??=, 甲为“幸运儿”的概率为
717511831217281728
+=; (2)第1n +次由甲投掷这一事件,包含两类: ①第n 次由甲投掷,第1n +次由甲投掷,其概率为
21
36
n p , ②第n 次由乙投掷,第1n +次由甲投掷,其概率为()211136n p ??--
???
,
从而有()121211
51136366
12n n n n p p p p +??=
+--=+ ???, 1111262n n p p +??∴-
=- ???
1111111210,122262
n n p p p +-
-=-=≠∴
=- ∴数列12n p ?
?-???
?是以12为首项,16为公比的等比数列
1
111226n n p -??
∴-=? ?
??
,
1
111262
n n p -??
∴=?+ ?
??
. 6.(某工厂生产零件A ,工人甲生产一件零件A ,是一等品、二等品、三等品的概率分别为111
,,424
,工人乙生产一件零件A ,是一等品、二等品、三等品的概率分别为111
,,333
.己知生产一件一等品、二等品、三
等品零件A 给工厂带来的效益分别为10元、5元、2元.
(1)试根据生产一件零件A 给工厂带来的效益的期望值判断甲乙技术的好坏;
(2)为鼓励工人提高技术,工厂进行技术大赛,最后甲乙两人进入了决赛.决赛规则是:每一轮比赛,甲乙各生产一件零件A ,如果一方生产的零件A 品级优干另一方生产的零件,则该方得分1分,另一方得分-1分,如果两人生产的零件A 品级一样,则两方都不得分,当一方总分为4分时,比赛结束,该方获胜.P i +4(i =-4,-3,-2,…,4)表示甲总分为i 时,最终甲获胜的概率. ①写出P 0,P 8的值; ②求决赛甲获胜的概率.
【答案】(1)乙的技术更好,见解析(2)①00P =,81P =;②
1
2
【解析】(1)记甲乙各生产一件零件给工厂带来的效益分别为X 元、Y 元, 随机变量X ,Y 的分布列分别为
所以10524242EX =
?+?+?=,111710523333
EY =?+?+?=, 所以EX EY <,即乙的技术更好
(2)①0P 表示的是甲得4-分时,甲最终获胜的概率,所以00P =,
8P 表示的是甲得4分时,甲最终获胜的概率,所以81P =;
②设每轮比赛甲得分为X ,则
每轮比赛甲得1分的概率111111
(1)433233
P X ??==
?++?= ???, 甲得0分的概率1111111(0)4323433P X ==
?+?+?=, 甲得1-分的概率111111(1)234333
P X ??=-=
?+?+= ???, 所以甲得(3,2,3)i i =--???时,最终获胜有以下三种情况:
(1)下一轮得1分并最终获胜,概率为411
3
i P ++;
(2)下一轮得0分并最终获胜,概率为
41
3i P +; (3)下一轮得1-分并最终获胜,概率为4113
i P +-;
所以1111111
2,(2,3,4,5,6,7)333
n n n n n n n P P P P P P P n -+-+=
++?=+=, 所以{}n P 是等差数列,
则0841
22
P P P +=
=, 即决赛甲获胜的概率是
1
2
.