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《线性代数》第一章练习题
一、填空题
1、_____________)631254(=N
2、要使排列（3729m14n5）为偶排列，则m =_______, n =_________
3、关于x 的多项式
x
x x x x 22
1
11---中含23,x x 项的系数分别是
4、四阶行列式)d et(ij a 的次对角线元素之积（即41322314a a a a ）一项的符号为
5、求行列式的值 (1)
469
2469
2341234=_____； （2）13
14102421
2
1
=____ ；
(3)
2005
000
20041002003010200220012000
1--=_______;
(4) 行列式2
430123
2
1
---中元素0的代数余子式的值为_______
6、64
81497125
51 = ；
125
2786425
9
4
16
5324
1111--=
111011
10= ；
=0
0010
0310
2222
210 。 8、若方程组??
?
??=+=+=+a bz cy b az cx ay bx 0
有唯一解，则abc ≠
9、把行列式的某一列的元素乘以同一数后加到另一列的对应元素上，行列式 。
10、行列式
中在项的项共有
214312344214231144
43
42
41
343332312423222114131211
,,a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ，
是该行列式的项，符号是 。
11、当a 为 时，方程组???
??=++=++=++0
40203221
321321x a x x ax x x x x x 有非零解。
12、设=-+----=31211142,4
1
132
2
13
A A A D 则 13、若n 阶行列式中非零元素少于n 个，则该行列式的值为 。
二、单项选择题
1．已知四阶行列式A 的值为2，将A 的第三行元素乘以―1加到第四行的对应元素上去，
则现行列式的值（ ）
（A ） 2 ； （B ） 0 ； （C ） ―1 ； （D ） ―2
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2．设）
（则=---===33
32
31312322
21211312111133
32
312322
21
131211
324324324,1a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a D （A)0 ； （B)―12 ； （C ）12 ； （D ）1
3．设齐次线性方程组??
?
??=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx
有非零解，则k = （ ）
（A ）2 （B ）0 （C ）-1 （D ）-2
4．设A=7925138
02
-，则代数余子式 =12A ( )
(A) 31- (B) 31 (C) 0 (D) 11-
5．已知四阶行列式D 中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次分别为5，3，
-7，4，则D= ( ) （A ） -5 （B ） 5 （C ） 0 （D ） 1
6、行列式k
h
g
f e d
c
b
a 中元素f 的代数余子式是（ ） （A ）h
g
e d ； （B ）-
h g
b
a
； （C ）
h
g
b a ； （D ）-
h g
e d
三、计算行列式
1、1
11
b a
c a c b c b a +++ 2、. 1
1
4
2402
1110
32121------=
D
3、
11111111111111
1
1
x x y y
+-+- 4、
3
32
1
322132113211
111
b a a a a b a a a a b a a a a +++
5、
3
2222
32222322
223
=n D 6、2
2
2
2
2
00000
220
00011
1
n n D n ---=+
四、设行列式
2
92170
216
333
2314
----=
D ，不计算
ij
A 而直接证明：
44
4342412A A A A =++
专题讲座五行列式的计算方法 1.递推法 例1求行列式的值： （1） 的构造是：主对角线元全为；主对角线上方第一条次对角线的元全为，下方 第一条次对角线的元全为1，其余元全为0；即为三对角线型。又右下角的（n）表示行列式为n阶。 解把类似于，但为k阶的三对角线型行列式记为。 把（1）的行列式按第一列展开，有两项，一项是 另一项是 上面的行列式再按第一行展开，得乘一个n– 2 阶行列式，这个n– 2 阶行列式和原行列式的构造相同，于是有递推关系： （2） 移项，提取公因子β： 类似地： （递推计算） 直接计算
若；否则，除以后移项： 再一次用递推计算： ∴，当β≠α（3） 当β = α，从 从而。 由（3）式，若。 ∴ 注递推式（2）通常称为常系数齐次二阶线性差分方程. 注1仿照例1的讨论，三对角线型的n阶行列式
（3） 和三对角线型行列式 （4） 有相同的递推关系式 （5） （6） 注意 两个序列 和 的起始值相同，递推关系式（5）和（6）的构造也相同，故必有 由（4）式，的每一行都能提出一个因子a，故等于乘一个n阶行列式，这一个行列式就是例1的。前面算出，故 例2 计算n阶范德蒙行列式行列式 解:
即n阶范德蒙行列式等于这n个数的所有可能的差的乘积 2．拆元法 例3：计算行列式 解
①×（x + a） ②×（x – a）
3．加边法 例4计算行列式 分析：这个行列式的特点是除对角线外,各列元素分别相同.根据这一特点,可采用加边法. 解 4．数学归结法 例5计算行列式 解： 猜测： 证明 （1）n = 1, 2, 3 时，命题成立。假设n≤k– 1 时命题成立,考察n=k的情形：
摘要 行列式是高等代数中重要的内容之一，在数学中有着广泛的应用.通过对行列式基本理论的介绍，针对不同类型的行列式，结合具体例题，介绍行列式的计算方法，其中包括降阶法，升阶法，数学归纳法等. 关键词：行列式；范德蒙行列式；计算
Abstract The determinant is an important content of higher algebra, which having wide application in mathematics. Through the introduction of the basic theory of the determinant, combined with concrete examples, the calculation for different types of determinant are introduced, which including the reduction method, order method, mathematical induction, and so on. Key words: determinant；vandermonde determinant；calculation
目录 摘要 ................................................................................................................................I Abstract ....................................................................................................................... II 第1章行列式的形成和性质 .. (1) 第1节行列式的发展史 (1) 第2节行列式的性质 (2) 第2章行列式的计算方法 (4) 第1节化三角形法 (4) 第2节降阶法 (8) 第3节递推法 (9) 第4节加边法 (11) 第5节拆行（列）法 (12) 第6节数学归纳法 (14) 结论 (16) 参考文献 (17) 致谢 (18)
线性代数行列式的计算与性质 行列式在数学中，是一个函数，其定义域为的矩阵，取值为一个标量，写作或。行列式可以看做是有向面积或体积的概 念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。 行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和矢量组的行列式的定义。 行列式的特性可以被概括为一个多次交替线性形式，这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“体积”的函数。 矩阵 A 的行列式有时也记作 |A|。绝对值和矩阵范数也使用这个记法，有可能和行列式的记法混淆。不过矩阵范数通常以双垂直线来表示（如： ），且可以使用下标。此外，矩阵的绝对值是没有定义的。因此，行 列式经常使用垂直线记法（例如：克莱姆法则和子式）。例如，一个矩阵： A= ? ? ? ? ? ? ? i h g f e d c b a ， 行列式也写作，或明确的写作： A= i h g f e d c b a ， 即把矩阵的方括号以细长的垂直线取代 行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。行列式的提出可以追溯到十七世纪，最初的雏形由日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立得出，时间大致相同。
第二章 行列式练习题（1） 一、判断题：（在括号里打“√”或“×”，每小题2分，共20分） 1．排列217986354必定经过奇数次对换变为123456789． 2．任一排列施行一次对换后，其逆序数必增加1或减少1． （×） 3．排列 121n n j j j j -与排列1 21n n j j j j -的奇偶性相反 （ ） 4． 1122 1 2 12334434 34 a b a b a a b b a b a b a a b b ++=+ ++ （×） 5．若行列式中所有元素都是整数，则行列式的值一定是整数． （√） 6．若矩阵 A 经过初等变换化为矩阵 B ，则A B =． （×） 7．把三级行列式的第一行减去第二行的2倍，同时把第一行的3倍加到第二行上去，所得的行列式与原行列式相等即：11112 12 12 222212121 3 33 3 3 3 222333a b c a a b b c c a b c a a b b c c a b c a b c ---=+++ （ ） 8．设 A 是n 级矩阵，k 是任意常数，则kA k A =或kA k A =-； （×） 9．设abcd 是一个4级排列，则abcd 与badc 的奇偶性相同； （√ ） 10．设方程个数与未知量的个数相等的非齐次线性方程组的系数行列式等于0，则该线性方程组无解； （×） 11． 设D= 11 12121 2221 2 n n n n nn a a a a a a a a a ,D 1=121 21 2 111222n n n k k k k k k nk nk nk a a a a a a a a a ,其中12n k k k 是1、2、3、……、n 的一个排列， 则 () () 12 1 1n k k k D D τ=- （ ） 二、填空题（每小题2分，共20分） 1．排列(1) 321n n -的逆序数为 (1) 2 n n -，当n 是 时为奇排列；当n 是 时为偶排列． 2．12345i i i i i 的逆序数为6，则54321i i i 的逆序数是 。 3．排列135…（2n-1）246…(2n)的逆序数为 ，排列 (2k)1(2k-1)2…(k+1)k 的逆序数为 ； 4．排列12435作三个对换 、 、 变为排列25341，这些对换并不唯一，但所作的对换的次数与逆序数τ（12435）具有相同的奇偶性。 5．五级行列式D 中的一项2113324554a a a a a 在D 中的符号为 负 ． 6．① 3000003000______;003000007311194 =②0 00 _______;000 a e b f g c h d =③123 123123a a a b b b c c c ++++++=+++ ；④2 22 1 11ωωωωωω = ；
用行列式分解因式的几种方法 摘要因式分解作为初等数学中最重要的恒等变形之一，被广泛的应用于初等数学的各个方面，而我们也学习过很多种因式分解的方法，例如：提公因式法、运用公式法、十字相乘法、凑数法等，它们都符合一定特征的多项式的分解。而行列式是解决高等代数问题的重要工具之一，本文就通过各种典型例子，用高等数学工具行列式来解决初等代数中的一些因式分解问题。 关键词因式分解行列式多项式 1. 引言 因式分解（factorization），是指把一个多项式化为几个最简整式的形式，也可以称为分解因式。它是初等数学中的重点，也是一个难点，但是它也是初等数学中最重要的恒等变形之一，而被广泛引用于初等数学解高次方程、求根、作图等各个方面，是我们解决初等数学问题的有力工具之一。但因式分解方法灵活、技巧性强，常用的方法就有提公因式法、运用公式法、凑数法、十字相乘法、待定系数法等好几种方法，它们都各自适用于一些符合各自特点的多项式。 行列式在数学中，是由解线性方程组产生的一种算式，它无论在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如在换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着非常重要的作用。线性代数是高等代数的一大分支，我们知道一次方程叫做线性方程，而讨论线性方程及线性运算的代数叫做线性代数，在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。 行列式的概念最早由十七世纪日本数学家关考和提出来的，他在1683年写了一部叫做《解付题方法》的著作，意思就是“解行列式问题的方法”，书里对行列式的概念和展开已经有了清楚的叙述。而欧洲第一个提出行列式概念的是德国数学家、微积分学的奠基人之一莱布尼茨（1693年），1750年克莱姆在他的《线性代数分析导言》中发表了求解线性系统方程的重要基本公式（即克莱姆法则）。而德国数学家雅克比也于1841年总结并提出了行列式的系统理论。另一个研究行列式的是法国最伟大的数学家柯西，他大大发展了行列式理论，在行列式记号中他把元素排成方阵并首次采用双重足标的新记法，与此同时发现两行列式相乘的公式及改进并证明了laplace的展开定理。它具有以下相关性质： (1) 行列式中某一行元素的公因子可以提到行列式符号的外边来。或者说可以吧这个数乘到行列式的某一行上。 (2) 把行列式某一行的元素乘以同一个数后加到另一行的对应元素上，行列式不变。 (3) 把一个行列式的某一行（列）的所有元素同乘以某一个数k，等于以数k乘这个行列式。 在新课改中，高中数学教材中已经初步涉及了行列式这个新内容，为此，初学行列式者往往会产生一种与初等数学完全隔离的感觉，好像它和我们的初等数学没什么关系，而行列式作为解决高等数学的重要工具，如果我们能用高等数学的重要工具来解决一些初等数学中的难点问题——因式分解，那么，同学们不仅又多掌握了一种因式分解的方法，而且通过学习用高等数学知识来解决初等数学问题，无疑会大大增加同学们对高等数学的学习兴趣，使高等数学在初学者眼里再不是神秘莫测、不可捉摸了。无形之中就为它们进一步学习高等数学奠定了一定的知识基础和心理基础。 下面我就从一些比较有特点的多项式来分析它们的与行列式之间的联系，通过行列式的有关性质来分解这个多项式，然后我们就可以解决这一类多项式的分解方法了。
§ .函数行列式 教学目的 掌握函数行列式． 教学要求 (1)．掌握函数行列式 (2) 能用函数行列式解决一些简单的问题 一、函数行列式 由n A R ?到R 的映射（或变换）就是n 元函数，即 12(,,,,)n n x x x y f A R R R ∈????L ，或 1212(,,,),(,,,).n n y f x x x x x x A =∈L L 由n A R ?到n R 的映射（或变换）就是n 个n 元函数构成的函数组，即 1212(,,,,,,,)n n n n n x x x y y y f A R R R ∈????L L ，或 1112221212,12(,,),(,,),(,).(1)(,,). n n n n n n y f x x x y f x x x x x x A y f x x x =??=?∈? ??=?L L L L L L L 表为12(,,)n f f f L ，设它们对每个自变量都存在偏导数 ,1,2,1,2i j f i n j n x ?==?L L ，行列式1 1112222 121 2 n n n n n n f f f x x x f f f x x x f f f x x x ??????????????????L L M M M M L （2） 称为函数组12(,,)n f f f L 在点12,(,)n x x x L 的雅可比行列式，也称为函数行列式，表为 121212,12,(,,)(,,) (,) (,) n n n n f f f D f f f x x x D x x x ??L L L L 或 . 例：求下列函数组（变换）的函数行列式： 1.极坐标变换 cos , sin .x r y r ??=??=?
行列式的计算方法 摘要：本文叙述了行列式的发展历程，现状和研究方法分析。概述了一些计算方法，最后提出一些行列式的计算方法值得进一步探讨的问题。 关键词 :行列式；方程组；计算方法；加边法 1. 引言 行列式是人们为了研究二、三元的线性方程组而创建的，它是大学数学学习的一个重要内容，是求解线性方程组,求逆矩阵及求矩阵特征值的基础。而它的应用并不止局限于代数的范围,它也是许多其他学科研究的重要工具，如行列式经常被用于涉及到的电子工程、控制论、数学物理方程的研究等。而行列式的计算具有一定的规律性和技巧性，综合性较强，在行列式计算中需要我们多观察总结，才能更熟练地计算出行列式的值。在行列式的计算过程中，不同特征的行列式适用不同的方法，每一种方法都有它们各自的优点及其独特之处，因此具有非常重要的研究价值。本论文主要从2000 年到2012 年发表的若干期刊中，总结出行列式的计算的发展历程、现状以及研究的方向。 2. 正文 2.1行列式的历史： 行列式的概念最初是因方程组的求解而发展起来的，它的提出是在十七世纪，由日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立得出，那时已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。 十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。1750 年，瑞士数学家克莱姆在其著作《线性代数分析导引》中，对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述，并给出了现在我们所称的解线性方程组的克莱姆法则。后来，数学家贝祖将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次线性方程组有非零解。 1772 年，拉普拉斯在一篇论文中证明了范德蒙提出的一些规则，推广了他的展开行列式的方法。 十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。1815 年，柯西在一篇论文中给出了行列式的第一个系统的处理，其中主要结果之一是行列式的乘法定理。1841年，雅可比发表了一篇关于函数行列式的论文，讨论函数的线性相关性与雅可比行列式的关系。十九世纪五十年代，凯莱和詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特将矩阵的概念引入数学研究中。行列式和矩阵之间的密切关系使得矩阵论发展的同时也带来了许多关于行列式的新结果，例如阿达马不等式、正交行列式、对称行列式等等。与此同时，行列式也被应用于各种领域中。 2.2行列式的现状： 行列式的计算一直是代数研究的一个重要课题，国内外学者专家已经总结了很多常用的技巧及方法，研究成果颇为丰硕。文献[1]-[23]黄娟霞、胡乔林、陈黎钦、李辉、毋光先等学者对行列式的一些计算方法做出的归纳，其中有几种是目前较常用的方法，主要有三角化法、拆项法、加边法、递推法、分离线性因子法、数学归纳法等，而几种尚未被广泛使用的方法主要有超范德蒙行列式法、微积分法、软件法、按拉普拉斯定理展开等。这
第九讲 行列式单元测试题点评 一、填空题（每小题2分，满分20分） 1．全体3阶排列一共有6 个，它们是123,132,213,231,312,321； 2. 奇排列经过奇数次对换变为偶排列，奇排列经过偶数次 对换变为奇排列； 3. 行列式D和它的转置行列式D'有关系式D D' =； 4. 交换一个行列式的两行（或两列），行列式的值改变符号； 5. 如果一个行列式有两行（或两列）的对应元素成比例，则这 个行列式等于零； 6. 一个行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到 行列式符号的外边； … 7. 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列） 的对应元素上，行列式的值不变； 8. 行列式的某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的 代数余子式的乘积之和等于零； 9. 11121 222 1122 ; 00 n n nn nn a a a a a a a a a =
10.当 k=22 ±时，542k k k =。 二、判断题（每小题3分，满分24分） 1.1)(,)(31221±==k i i i i k i i i n n ππ则若 （∨） 的符号 的一般项则设n n j i j i j i nn n n n n a a a a a a a a a a a a D 2211D ,.221 2222111211 = .) 1() (21n j j j π-是 （×） 3. 若n(n>2)阶行列式D=0,则D 有两行（列）元素相同. (×) 4．若n 阶行列式D 恰有n 个元素非0，则D ≠0. (×) 5.对于线性方程组，只要方程个数等于未知数个数，就可以直接使用克莱姆法则求解。 （×） . 6．若行列式D 的相同元素多于2n n -个，则D=0. (×) 7. 11 121313233321222312 222331 32 33 11 21 31 a a a a a a a a a a a a a a a a a a = (×) 阶行列式主对角线上元素乘积项带正号，副对角线上元素乘积项带负号。 （×） 三、单项选择题（每小题4分，满分20分） 1．位于n 级排列12111k k n i i i i i -+中的数1与其余数形成的 反序个数为（ A ）
§11.2 .函数行列式 教学目的 掌握函数行列式． 教学要求 (1)．掌握函数行列式 的映射（或变换）就是12,,,,,,)n n x y y y f A ∈?,)n f ，设它们对每个自变量都存在偏导数121 212n n n n n n f x f x x x f f f x x x ???????????? 称为函数组12(,,)n f f f 在点12,(,)n x x x 的雅可比行列式，也称为函数行列式，表为 121212,12,(,, )(,, ) (,)(,) n n n n f f f D f f f x x x D x x x ??或.
例：求下列函数组（变换）的函数行列式： 1.极坐标变换 2.柱面坐标变换 . (,)(,)(,) ??? s t x y s t 证明：由复合函数的微分法则，有 由行列式的乘法，有
(,)(,)(,)(,)u u x x x y u v x y s t v v y y x y s t x y s t ??????????==??????????. 若一元函数()y f x =在点0x 某邻域具有连续的导数()f x '，且0()0f x '≠.由连续函数的保号性，在点0x 某邻域0,()()f x f x ''?与保持同一符号，因而在?函数()y f x =严格单调，它 .三、函数行列式的几何性质
一元函数()y f x =是1R 到1R 的映射.取定一点0x ，它的象是00()y f x =.当自变量x 在点0x 有改变量x ?，相应y 在0y 有改变量y ?.线段y ?的长y ?与线段x ?的长x ?之比y x 称 为映射f 在0x 到0x x +的平均伸缩系数，若当0x →时平均伸缩系数y x 存在极限，即 0000()()lim lim '(x x y f x x f x f x x →→+-==是映射 f 在点0x 的伸缩系数. )G ∈，(
题目循环矩阵在密码学中的应用 学生姓名韩媛媛学号 1109014156 所在院(系) 数学与计算机科学学院 专业班级数学与应用数学1102 指导教师潘平 2015 年 5 月 10 日
循环矩阵在密码学中的应用 韩媛媛 （陕西理工学院数学与计算机科学学院数学与应用数学专业1102班级，陕西 汉中 723000） 指导教师：潘平 [摘要]矩阵是线性代数的重要构成部分，而循环矩阵就是一类有特殊结构的矩阵，在许多实际问题中有广泛的 应用，有关循环矩阵的问题仍是矩阵论研究中的热点。在当今社会，随着科学技术水平的迅速发展，我们需要更深入的研究数学工具在现实中的实际应用。密码学是研究编译密码和破解密码的尖端技术科学，与数学、信息学、计算机科学有着广泛而密切的联系，由于循环矩阵是现代科技工程中具有广泛应用的一类特殊矩阵，具有良好的性质和结构，因而关于循环矩阵的研究非常活跃，本文中简单介绍了ElGamal 密码体制，以及循环矩阵在ElGamal 中加密解密过程的描述。利用循环矩阵在密码学中的研究，探索循环矩阵在几类典型密码中加密和破译的研究有着重要的现实意义。 [关键字]循环矩阵；密码学；有限域 1. 循环矩阵的概念 定义 1.1 ] 1[设),(n n n n R C A ??∈如果矩阵A 的最小多项式等于特征多项式，则称A 为循环矩 阵. 定义1.2 设A 是n 维向量空间V 上的一个线性变换，若存在向量V ∈α，使得,α αα1A ,,A -n 线性无关.则称α为A 的一个循环向量. 定义1.3 已知n 阶基本循环矩阵 ? ????????? ????? ???? ?=00 110000000001000010 D ， 并令 ),,2,1(n i D I i i ==， 称121,,,-n I I I I 为循环矩阵基本列（其中n n I D I ==为单位矩阵）. 2. 循环矩阵的性质 2.1 循环矩阵基本性质 性质2.1.1 ]3[循环矩阵基本列121,,,-n I I I I 是线性无关的. 性质2.1.2 ] 3[任意的n 阶循环矩阵A 都可以用循环矩阵基本列线性表出，即 11110--+++=n n I a I a I a A . 性质2.1.3 同阶循环矩阵的和矩阵为循环矩阵.
矩阵函数求导 首先要区分两个概念：矩阵函数和函数矩阵 （1） 函数矩阵，简单地说就是多个一般函数的阵列，包括单变量和多变量函数。 函数矩阵的求导和积分是作用在各个矩阵元素上，没有更多的规则。 单变量函数矩阵的微分与积分 考虑实变量t 的实函数矩阵 ()()()ij m n X t x t ×=，所有分量函数()ij x t 定义域相同。 定义函数矩阵的微分与积分 0()(),()().t t ij ij t t d d X t x t X d x d dx dx ττττ?????????==????????????∫∫ 函数矩阵的微分有以下性质： （1） ()()()()()d d d X t Y t X t t dt dt dt +=+； （2） ()()()()()()()d dX t dY t X t Y t t X t dt dt dt =+； 特殊情形 （a ） 若K 是常数矩阵，则()()()d d KX t K X t dt dt =； （b ） 若()X t 是方阵，则2()()()()()d dX t dX t X t X t X t dt dt dt =+； （3） () 111()()()()d dX t X t X t X t dt dt =－－－－； （4） 对任意的方阵A 和时变量t ，恒有At At At d e Ae e A dt ==； （5） 若AB BA =，则A B B A A B e e e e e +==。如果,A B 可交换，则许多三角不等 式可以推广到矩阵上。如sin(),sin(2)A b A +等。 参考文献：余鄂西，矩阵论，高等教育出版社。
行列式的的解法技巧本科
行列式的的解法技巧 目录 1行列式的基本理论 (3) 1.1行列式定义 (3) 1.2行列式的性质 (3) 1.3基本理论 (5) 1.4几种特殊行列式的结果 (5) 2行列式的计算技 (6) 2.1定义法 (6) 2.2化成三角形行列式法 (7) 2.3两条线型行列式的计算 (8) 2.4箭型行列式的计算 (9) 2.5三对角行列式的计算 (10) 2.6利用范德蒙行列式 (11) 2.7H ESSENBERG 型行列式的计算 (12) 2.8降阶法 (13) 2.9加边法（升阶法） (14) 2.10计算行（列）和相等的行列式 (15) 2.11相邻行（列）元素差1的行列式计算 (16) 2.12线性因子法 (16) 2.13辅助行列式法 (18) 2.14n阶循环行列式算法 (18) 2.15有关矩阵的行列式计算 (20) 2.16用构造法解行列式 (21) 2.17利用拉普拉斯展开 (22) 3 用多种方法解题 (22) 参考文献： (26)
【内容摘要】行列式是高等代数课程里基本而重要的内容之一，在数学中有着广泛的应用，懂得如何计算行列式显得尤为重要。本文先阐述行列式的基本理论，然后介绍各种具体的方法，最后由行列式与其它知识的联系介绍其它几种方法。通过这一系列的方法进一步提高我们对行列式的认识，对我们以后的学习带来十分有益的帮助。 【关键词】行列式；矩阵；范德蒙行列式；递推法 Abstract: Determinant is an basic and important subject in advanced algebra ,it is very useful in mathematic. It is very important to know how to calculate determinant. The paper first introduced the basic nature of determinant,then introduced some methods, Finally,with the other determinant of knowledge on the links in several other ways.,through this series of methods will futher enhance our understanding of the determinant,on our learning will bring very useful help. Keywords: Determinant；matrix；Vandermonde Determinant； recurrence method
第九讲 行列式单元测试题点评 一、填空题（每小题2分，满分20分） 1．全体3阶排列一共有 6 个，它们是123,132,213,231,312,321； 2. 奇排列经过奇数次对换变为 偶 排列，奇排列经过偶数次对换变为 奇 排列； 3. 行列式D 和它的转置行列式D '有关系式D D '= ； 4. 交换一个行列式的两行（或两列），行列式的值改变符号； 5. 如果一个行列式有两行（或两列）的对应元素成比例，则这个行列式等于 零 ； 6. 一个行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到 行列式符号的外边； 7. 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列）的对应元素上，行列式 的值不变 ； 8. 行列式的某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积之和等于 零 ； 9. 1112 122 211220; 00 n n nn nn a a a a a a a a a = 10.当k=22 ±时， 542k k k =。 二、判断题（每小题3分，满分24分） 1.1)(,) (31221±==k i i i i k i i i n n ππ则若 （∨） 的符号 的一般项则设n n j i j i j i nn n n n n a a a a a a a a a a a a D 2211D ,.221 22221 11211 =
.) 1() (21n j j j π-是 （×） 3. 若n(n>2)阶行列式D=0,则D 有两行（列）元素相同. (×) 4．若n 阶行列式D 恰有n 个元素非0，则D ≠0. (×) 5.对于线性方程组，只要方程个数等于未知数个数，就可以直接使用克莱姆法则求解。 （×） 6．若行列式D 的相同元素多于2 n n -个，则D=0. (×) 7. 11 121313233321222312 222331 32 33 11 21 31 a a a a a a a a a a a a a a a a a a = (×) 阶行列式主对角线上元素乘积项带正号，副对角线上元素乘积项带负号。 （×） 三、单项选择题（每小题4分，满分20分） 1．位于n 级排列12 111k k n i i i i i -+中的数1与其余数形成的反序个数为（ A ） （A ）k-1 (B) n-k-1 (C) k n C (D) 2n C k - 2.设12n i i i 是奇排列，则1 21n n i i i i -是（C ） （A ）奇排列； （B ） 偶排列； （C ）奇偶性不能仅由n 的奇偶性确定的排列； （D ）奇偶性仅由n 的奇偶性确定的排列。 3．一个不等于0的n 阶行列式中非零元素个数至少为（D ）； 4．以下数集作成数环的是( C ) (1) S={ } Z ∈; (2) S= {}0a a Q ≠∈; (3) S={},a b Z +∈; （4） S={} ,a a b Q +∈. （A ）（1）、（3） （B ）（2）、（4） （C ）（3）、（4） （D ）（1）、（4）
雅可比行列式 Prepared on 22 November 2020
§ .函数行列式 教学目的 掌握函数行列式． 教学要求 (1)．掌握函数行列式 (2) 能用函数行列式解决一些简单的问题 一、函数行列式 由n A R ?到R 的映射（或变换）就是n 元函数，即 12(,, ,,)n n x x x y f A R R R ∈????，或 1212(,, ,),(,, ,).n n y f x x x x x x A =∈ 由n A R ?到n R 的映射（或变换）就是n 个n 元函数构成的函数组，即 1212(,, ,,,, ,)n n n n n x x x y y y f A R R R ∈????，或 1112221212,12(,,),(,,),(,). (1)(,,). n n n n n n y f x x x y f x x x x x x A y f x x x =??=?∈? ??=? 表为12(,, )n f f f ，设它们对每个自变量都存在偏导数 ,1,2,1,2i j f i n j n x ?==?，行列式 11112222 121 2 n n n n n n f f f x x x f f f x x x f f f x x x ?????????????????? （2） 称为函数组12(,,)n f f f 在点12,(,)n x x x 的雅可比行列式，也称为函数行列式，表为 121212,12,(,,)(,,) (,) (,) n n n n f f f D f f f x x x D x x x ??或. 例：求下列函数组（变换）的函数行列式： 1.极坐标变换
第六节 行列式按行(列)展开 教学目的：理解并掌握行列式按行（列）展开的相关性质；能与行 列式性质一起熟练运用于行列式的计算与证明. 教学方法：讲授与指导练习相结合 教学过程： 一、余子式与代数余子式 引例 11 121321 222331 32 33 a a a a a a a a a 112233122331132132132231122133112332a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++--- 32 3122 2113 333123211233322322 11 a a a a a a a a a a a a a a a +-= 131312121111131312121111A a A a A a M a M a M a ++=+-=． 1.ij a 的余子式ij M ──在n 阶行列式中，把元素ij a 所在的第i 行和第j 列划去后，留下来的元素按原有位置构成的1-n 阶行列式． ２.ij a 的代数余子式ij A ──ij j i ij M A +-=)1(． 显然，行列式的每一个元素对应一个余子式和一个代数余子式． 例1 设44 43 42 41343332312423 222114131211 a a a a a a a a a a a a a a a a D = ,则 44 43 413433 31 2423 2112a a a a a a a a a M =, 12122 112) 1(M M A -=-=+;
444241343231 141211 23a a a a a a a a a M =, 23233 223)1(M M A -=-=+； 33 32 31 2322 21131211 44 a a a a a a a a a M =, 44444 444) 1(M M A =-=+. 提问：（1）在3332 31 232221 13 1211 a a a a a a a a a 中，若第一行只有第一个元素非零，将会出现什么结果？ 答案 11 222321 2223111111111132 33 31 32 33 00a a a a a a a a M a A a a a a a === ； （2） 21 111213232311 12133132 33 31 32 33 000 (1)r r a a a a D a a a a a a a a a a ?====- 32 23211 131231 33 3200 (1)c c a a a a a a a ?===-21 23 31311 12 33 3132 00 (1)c c a a a a a a a ?===-11 12 3 2323232323233132 (1)(1)a a a a M a A a a +=?-=?-=. 二、行列式按行(列)展开法则 【引理】 一个 n 阶行列式D ，如果D 中第i 行(j 列)所有元素除 ij a 外都为零,那么ij ij A a D =. 证明: ① 当ij a 位于第一行第一列时,
引言 循环矩阵的概念是T Muir于1885年首先提出来的，直到1950至1955年，Good等才分别对循环矩阵的逆、行列式及其特征值进行了研究[1]．从此拉开了对循环矩阵各个方面的研究的历史． 近年来，循环矩阵类已成为矩阵理论和应用数学领域中的一个非常活跃和重要的研究方向[2-4]．它之所以引起广大数学研究者如此大的兴趣，主要是基于下面两个方面的原因： 一方面循环矩阵是一类非常重要的特殊矩阵，在现代科技工程领域中被广泛的应用，比如在分子震动，信号处理，纠错码理论，编码理论，图像处理，结构计算，电动力学等领域． 另一方面由于循环矩阵类有许多特殊而良好的性质和结构，已被广泛地应用于应用数学和计算数学的许多领域，如控制理论，最优化，求解（偏）微分方程，矩阵分解多目标决策，二次型化简及平面几何学等．本文主要利用循环矩阵的性质对其逆的求法、对角化、行列式计算等问题进行研究．
1、预备知识 1.1 循环矩阵的概念 定义1.1 形如 012110122 1031 2 30n n n n n n a a a a a a a a A a a a a a a a a ------?? ??????=?? ?????? 的矩阵称为循环矩阵． 定义1.2 形如 100001000011 000D ?? ??????=?? ?????? 的矩阵称为基本循环矩阵． 定义1.3 若12-1,,,n a a a 为复数域C 上的n 个数，n 阶矩阵()ij A a =满足： , ,1,2,,, j i ij n j i a j i a i j n a j i -+-≥?==?
行列式 行列式是数学中的一个函数，将一个的矩阵映射到一个标量，记作或 。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性数， 多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和向量组的行列式的定义。 行列式的特性可以被概括为一个多次交替线性形式，这个本质使得行列式在欧几里德空间可以成为描述“体积”的函数。 竖直线记法 矩阵A的行列式有时也记作|A|。绝对值和矩阵范数也使用这个记法，有可能和行列式的方 法混淆。不过矩阵范数通常以双垂直线来表示（如：），且可以使用下标。此外，矩 阵的绝对值是没有定义的。因此，行列式经常使用垂直线记法（例如：克莱姆法则和子式）。例如，一个矩阵： ，行列式也写作，或明确的写作： ，即把矩阵的方括号以细长的垂直线取代。
直观定义 一个n阶方块矩阵A的行列式可直观地定义如下： 其中，S n是集合{ 1, 2, ..., n }上置换的全体，即集合{ 1, 2, ..., n }到自身上的一一映射（双射）的全体； 表示对S n全部元素的求和，即对于每个σ∈S n，在加法算式中出现一次；对每一个满足1 ≤i, j≤n的数对(i, j)，a i, j是矩阵A的第i行第j列的元素。sgn(σ)表示置换σ∈S n的符号差，具体地说，满足1 ≤i < j≤n但σ(i) > σ(j)的有序数 对(i, j)称为σ的一个逆序。 如果σ的逆序共有偶数个，则sgn(σ) 1，如果共有奇数个，则sgn(σ) -1。 举例来说，对于3元置换σ (2, 3, 1)（即是说σ(1) 2，σ(2) 3，σ(3) 1）而言，由于1在2后，1在3后，所以共有2个逆序（偶数个），因此sgn(σ) 1，从而3阶行列式中项的符号是正的。但对于三元置换σ (3, 2, 1)（即是说σ(1) 3，σ(2) 2，σ(3) 1）而言，可以数出共有3个逆序（奇数个），因此sgn(σ) -1，从而3阶行列式中项的符号是负号[25][26]。 注意到对于任意正整数n，S n共拥有n!个元素，因此上式中共有n!个求和项，即这是一个有限多次的求和。 对于简单的2阶和3阶的矩阵，行列式的表达式相对简单，而且恰好是每条主对角线（左 上至右下）元素乘积之和减去每条副对角线（右上至左下）元素乘积之和（见图中红线和蓝线）。
采用的是多文件编译,作者环境是vc6.0++ 文件1 ValDet.h /******************************************************** 本程序采用C++类模式求行列式的值, 类入口函数为CalcDet(ValDet det),用户需要创建对象作为输入. 算法基本思想是将行列式化为对角形式,然后再使对角线上 的值相乘. 行列式的值装在容器vector中,double型,由于算法的原因, 不能保证精度. ********************************************************/ #ifndef _V ALDET_H #define _V ALDET_H //预编译. #include