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行列式计算技巧

论行列式的计算方法

方法1 化三角形法

化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。这是计算行列式的基本方法重要方法之一。因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形，再将其化为三角形行列式。

例1：浙江大学2004年攻读硕士研究生入学考试试题第一大题第2小题（重庆大学2004年攻读硕士研究生入学考试试题第三大题第1小题）的解答中需要计算如下行列式的值：

123123413

45121

n n n n D n

n n -=--

[分析]显然若直接化为三角形行列式，计算很繁，所以我们要充分利用行列式

的性质。注意到从第1列开始；每一列与它一列中有n-1个数是差1的，根据行列式的性质，先从第n-1列开始乘以－1加到第n 列，第n-2列乘以－1加到第n-1列，一直到第一列乘以－1加到第2列。然后把第1行乘以－1加到各行去，再将其化为三角形行列式，计算就简单多了。

解：

1(2,,)

(2,,)111111111112111110003

1111200011

111

010000

001

000

0020011(1)2

0020000

01(1)()2i i

n n i n r r i n r r n n n D n n n

n n n

n n n n n n n

n n n n

n n

n n n n ===+

--=-----++----+=

?-----+=??-

()

(1)(2)

(1)

(1)(1)12

n n n n n n n

-----?-+=??-

[问题推广] 循环行列式

从而推广到一般，求下列行列式：

01211

012

23411

0(,0,1,,1)n n n n i a a a a a a a a D a c i n a a a a a a a a ---??

??????=∈=-????????

解：令 01211

012

23411

0n n n a a a a a a a a A a a a a a a a a ---??

??????=????????

首先注意，若u 为n 次单位根（即u n

=1），则有：

01111

0212

23111120101120112123

011101(1,n n n n n n n n n n n n n

n n n n n n a a u a u

u a a u a u A u u u u a a u a u u a a u a u a a u a u a u a u a u a u a u a u a u a -----+-----------??+++??????+++?????????==∴=????+++????????+++????

++++++=++++

这里用到等）12

011122111

01111()1()()n n n n n n n n n u a a u a u u u u a u u f u f u a a u a u

u u --------????????????

????=+++?????????????++????

????

=?=+++????????

其中

22cos

sin

1,1(0)1,,,,n

k n k k w n

w w k n w w w

ππ-=∴=≠<< 设+i 为n 次本原单位根

有:于是：互异且为单位根

()2011(1)0110

01100111

1,(0,1,,1)

(,,,)

(,,,)((),(),,())()

(,,,)(j

j n n j i

j j

n n n n n w w j n w w w w w

w A w f w w

A w A w A w A w f w w f w w f w w f w w w w f w -------??????

??==-=??

??????

?=?==???

?=??

????

记：方阵则由上述知：故

）

2(1)

0111

(1)(1)

1(,,,)1

n n n n n n w w

w w w w w

w ------?????

???==????

????

显然为范德蒙行列式 1

A (1)()()(1)()()

n n n w w w f f w f w A w A D f f w f w

--∴≠=????=?∴==??? 从而有：

又例1中，循环的方向与该推广在方向上相反

所以例1与

11120'

n n n a a a a a a D a a a ---=

相对应

(1)(2)

1n n n n D D --而与只相差（－）

个符号

(1)(2)

01,121

(1)2

(1)()()

,,)(1,2,,)1,

()123(1)12n n n

n n k

n n n D f f w f w a a a n u w f u u u nu f n -----+????==≠=++++=+++=

即得：=(-1)

从而当（时对单位根总有：

()()1()1n f u uf u u u u n n

n f u u

-∴-=++++-=--∴=

1()1,

(1)111 n

n k n k n k

k x x w x x x

x x w

--=-=-=

-=++++-=-==∏

∏ 而又

令则有：

＋＋＋

(1)(2)

(1)

(1)()()(1)1

1()

(

)

2111(1)

(1)2

(1)

1(1)21(1)

n n n n n n n n n n n k

k n n n

n n n D f f w f w n n n w w

n n n w

n n

n n n

----------=---=????+=??-??

---+-?

-+-?

+=-?

?∏ 从而有：(-1)

(-1)

。

方法2 按行（列）展开法（降阶法）

设n ij D a =为n 阶行列式，根据行列式的按行（列）展开定理有

()11221,2,,n i i i i in in D a A a A a A i n =+++=

或 ()11221,2,,n j j j j nj nj D a A a A a A j n =+++= 其中ij A 为n D 中的元素ij a 的代数余子式

按行（列）展开法可以将一个n 阶行列式化为n 个n-1阶行列式计算。若继续使用按行（列）展开法，可以将n 阶行列式降阶直至化为许多个2阶行列式计算，这是计算行列式的又一基本方法。但一般情况下，按行（列）展开并不能减少计算量，仅当行列式中某一行（列）含有较多零元素时，它才能发挥真正的作用。因此，应用按行（列）展开法时，应利用行列式的性质将某一行（列）化为有较多的零元素，再按该行（列）展开。

例2，计算20阶行列式

201231819202

121718193

2116171820

D =

[分析]这个行列式中没有一个零元素，若直接应用按行（列）展开法逐次降阶直至化许许多多个2阶行列式计算，需进行20！*20－1次加减法和乘法运算，这人根本是无法完成的，更何况是n 阶。但若利用行列式的性质将其化为有很多零元素，则很快就可算出结果。

注意到此行列式的相邻两列（行）的对应元素仅差1，因此，可按下述方法计算：解：

20201

(1,(2,,20)

19)

1111111231819202111112

121718193111113

21161718191111120

19183

2120

1111113

0222240022221(1)

21200000221

i i

i i i c c r r D ++==-+---=---------=?-?=-?

方法3 递推法

应用行列式的性质，把一个n 阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式（比如，n-1阶或n-1阶与n-2阶等）的线性关系式，这种关系式称为递推关系式。根据递推关系式及某个低阶初始行列式（比如二阶或一阶行列式）的值，便可递推求得所给n 阶行列式的值，这种计算行列式的方法称为递推法。

例3，2003年福州大学研究生入学考试试题第二大题第10小题要证如下行列式等式：

0001

0001000

1n D αβ

αβαβ

αβ

++=

n n n D α

αβαβ

++-=

≠-证明　：其中

［分析］此行列式的特点是：除主对角线及其上下两条对角线的元素外，其余

的元素都为零，这种行列式称“三对角”行列式[1]

。从行列式的左上方往右下方看，即知D n-1与D n 具有相同的结构。因此可考虑利用递推关系式计算。

证明：D n 按第1列展开，再将展开后的第二项中n-1阶行列式按第一行展开有：

12n n n D D D αβαβ=－－（＋）－

这是由D n-1 和D n-2表示D n 的递推关系式。若由上面的递推关系式从n 阶逐阶往低阶递推，计算较繁，注意到上面的递推关系式是由n-1阶和n-2阶行列式表示n 阶行列式，因此，可考虑将其变形为：

11212n n n n n n D D D D D D αβαββα－－－－－－＝－＝（－）或 11212n n n n n n D D D D D D βααβαβ－－－－－－＝－＝（－）现可反复用低阶代替高阶，有：

11223342

21[()()](1)

n n n n n n n n n n n

D D D D D D D D D D αβαβαβαβαβ

αβαβααββ-+--+= －－－－－－－－－＝（－）＝（－）＝（－）

＝＝（－）=

同样有：

11223342

21[()()](2)

n n n n n n n n n n n

D D D D D D D D D D βαβαβαβαβα

αβαββαβα-+--+= －－－－－－－－－＝（－）＝（－）＝（－）

＝＝（－）=

因此当αβ≠时

由（1）（2）式可解得：1

n n n D α

αβ

++-=

方法4 加边法（升阶法）

有时为了计算行列式，特意把原行列式加上一行一列再进行计算，这种计算行列式的方法称为加边法或升阶法。当然，加边后必须是保值的，而且要使所得的高一阶行列式较易计算。要根据需要和原行列式的特点选取所加的行和列。加法适用于某一行（列）有一个相同的字母外，也可用于其列（行）的元素分别为n-1个元素的倍数的情况。

加边法的一般做法是：

111

111111112122122

2121

1100000

n n n n n n n n n nn

n nn

a a a a a a

b a a a a D a a b a a a a a a b a a =

特殊情况取121n a a a ==== 或 121n b b b ====

例4、计算n 阶行列式：

112122

122122

111

n n x x x x x x x x x x D x x x x x ++=

[分析] 我们先把主对角线的数都减1，这样我们就可明显地看出第一行为x 1与x 1,x 2,…, x n 相乘，第二行为x 2与x 1,x 2,…, x n 相乘，……，第n 行为x n 与 x 1,x 2,…, x n 相乘。这样就知道了该行列式每行有相同的因子x 1,x 2,…, x n ，从而就可考虑此法。

解：

11112122

1121212

212221

121

(1,,)(1,,)

011000

10100

10100100100

i i i i n n n n n n n n

n n i

n i n

i n i n r x r c x c i n x x x x x x x x x x x x D x x x x x x x x x x x x x x x x x +++==+=-+=+-=+-+-+

∑

方法5 拆行（列）法

由行列式拆项性质知，将已知行列式拆成若干个行列式之积，计算其值，再得原行列式值，此法称为拆行（列）法。

由行列式的性质知道，若行列式的某行（列）的元素都是两个数之和，则该行列式可拆成两个行列式的和，这两个行列式的某行（列）分别以这两数之一为该行（列）的元素，而其他各行（列）的元素与原行列式的对应行（列）相同，利用行列式的这一性质，有时较容易求得行列式的值。

例5、南开大学2004年研究生入学考试题第1大题，要求下列行列式的值：设n 阶行列式：

11121212221

1n n n n nn

a a a a a a a a a =

且满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-= 对任意数b ，求n 阶行列式

111212122212?n n n n nn a b a b a b a b a b a b a b

a b

++++++=+++

[分析]该行列式的每个元素都是由两个数的和组成，且其中有一个数是b ，显然用拆行（列）法。

解：

1112111121121212222122222212122n n n n n n n n n nn n n nn n nn a b a b a b a a b a b b a b a b a b a b a b a a b a b b a b a b D a b a b a b a a b a b b a b

a b

++++++++++++++=

+++++++

1112111

112121222212222121

111n n n n n n n n nn n nn n nn a a a b a b a b a a a a a b a b a b a a b

a a a

b a b a b

a a ++++=+

+++

1112111

1121212222122221

111

n n n n n n n n nn

n nn

a a a a a a a a a a a a a a b

a a a a a a a =+++

211

i i i i b A b A ===+++∑∑ ,1

ij i j b A ==+∑

A 又令＝

121212221

n n n n nn

a a a a a a a a a

,,1,2,,i j j i

a a i j n

=-= 且 '

:1,

A A A ∴==-有且

E A

A A A

?=?＊

－－＊

＊

由＝

得：即＝

A A

∴＊

－＝

()()()

A A A A A ---===-=-＊

＊

又（）

A ∴也为反对称矩阵

又(,1,2,,)ij A i j n = 为*

A 的元素

1,1

ij i j A ==∴=∑

有

从而知：1,1

11n

n ij i j D b

A ===+=∑

方法6 数学归纳法

一般是利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证明。因此，数学归纳法一般是用来证明行列式等式。因为给定一个行列式，要猜想其值是比较难的，所以是先给定其值，然后再去证明。例6 .证明：

2cos 10001

2cos 100012cos 00sin(1)(sin 0)sin 0002cos 10

2cos n n D θθθθθθ

θθ

≠

证：当1,2n =时，有：

2sin(11)2cos sin 2cos 1sin(21)4cos 11

2cos sin D D θθθθθθθ

+==+=

=-=

结论显然成立。

现假定结论对小于等于1n -时成立。即有：

21sin(21)sin(11),

sin sin n n n n D D θ

---+-+=

将n D 按第1列展开，得：

(1)

122cos 1002cos 0001

2cos 0012cos 00002cos 1002cos 10

2cos 0

2cos 2cos sin(11)sin(21)2cos sin sin 2cos sin sin(1)sin 2cos sin sin cos co n n n n n D D D n n n n n n θθθθθθθ

θθ

θθθ

θθθθ----=

=?--+-+=?-

?--=?-?+=

s sin sin sin cos cos sin sin sin(1)sin n n n n θθ

θθθθ

θθ

??+?=+=

故当对n 时，等式也成立。得证。

方法7 析因法

如果行列式D 中有一些元素是变数x （或某个参变数）的多项式，那么可以将行列式D 当作一个多项式f(x)，然后对行列式施行某些变换，求出f(x)的互素的一次因式，使得f(x)与这些因式的乘积g(x)只相差一个常数因子C ，根据多项式相等的定义，比较f(x)与g(x)的某一项的系数，求出C 值，便可求得D=Cg(x) 。

那在什么情况下才能用呢？要看行列式中的两行（其中含变数x ），若x 等于某一数a 1

时，使得两行相同，根据行列式的性质，可使得D=0。那么x -a 1便是一个一次因式，再找其他的互异数使得D=0，即得到与D 阶数相同的互素一次因式，那么便可用此法。

例7 .兰州大学2004招收攻读硕士研究生考试工试题第四大题第（1）小题。需求如下行列式的值。

121

211231

n n n n x a a a a x a a D a a a a a a a x

[分析] 根据该行列式的特点，当.1,2,,i x a i n == 时，有10n D +=。但大家认真

看一下，该行列式D n+1是一个n+1次多项式，而这时我们只找出了n 个一次因式

1,2,,i x a i n -= ,那么能否用析因法呢？我们再仔细看一下，每行的元素的和数都是一

样的，为：1

i i a x =+∑，那么我们从第2列开始到第n+1列都加到第1列，现提出公因式

i a

x =+∑，这样行列式的次数就降了一次。从而再考虑析因法。

解：

1211221

211

232312

()11

n i n

n i

i n n

n i i n

n i n i n i

i a

x a a a a a a a

x a a x a a D a x a a a a x a a a a a x

a a x

==+===++=

=+++∑∑∑∑

∑

令：

122'

1232

n n n n a a a x a a D a a a a a x

显然当：.

1,2,,i x a i n == 时，'

10n D += 。

又'

1n D +为n 次多项式。

112()()()n n D C x a x a x a +∴=--- 设

又'1n D +中x 的最高次项为n

x ，系数为1，∴C=1

112()()()n n D x a x a x a +∴=---

因此得：

1121

()()()()()

n i n i n

i n i D a x D a x x a x a x a ++===+=+---∑∑

方法8 .辅助行列式法

辅助行列式法应用条件：行列式各行（列）和相等，且除对角线外其余元素都相同。解题程序：

1）在行列式D 的各元素中加上一个相同的元素x ，使新行列式*D 除主对角线外，其余元素均为0；

2）计算*D 的主对角线各元素的代数余子式(1,2,)ii A i n = ;

3)[1]

*,1

i j D D x A ==-∑

例8 .大连理工大学2004年硕士生入学考试《高等代数》试题，第一大题填空题第2小题需求下列n 阶行列式的值。

112112121

n n n D n

--=

解：在n D 的各元素上加上(1)-后，则有：

(1)

0020020()(1)

(1)20

n n n

n n n D n n

---=

=-?--

又(1)1

12,11(1)

(1)

n n n n n n A A A n ---====-?- ，其余的为零。

(1)

*,1

(1)

(1)1

()(1)

(1)(1)(1)(1)(1)

(1)

n n n

n n ij i n i i j i n n n n n

n n n n D D A n A n n n n --+==-----∴=+

=-?-+

=-?-+-??-=-?-∑

∑

方法9 利用拉普拉斯定理

拉普拉斯定理的四种特殊情形：[1][5]

1）

0nn nn m m m n m m A A B C B =?

2）

0nn nm nn m m m m A C A B B =?

3）0(1)

nn m n

nn m m m m

m n

A A

B B

C =-? 4）

(1)

nm nn m n

nn m m m m

C A A B B =-?

例9 计算n 阶行列式：[1]

n a a a a

b D b

αββββ

ββ

解：

222

(2)(2)

(2,,1)

0000

0(1)(2)0

000(3,)0

0(1)00(2)0

[(2)(1)i n

n n i n a a a

D n a

n C C i n n a

n n ab n λλλ

ααββ

βα

αβ

ββ

αβ

λαλβ+?-?-=------+-+--=----?

+--=+---

利用拉普拉斯定理

]()

n αβ-?-

方法 10 .利用范德蒙行列式

范德蒙行列式：

1232

12311111

1111()n n i j j i n

n n n n n

x x x x x x x x x x x x x x ≤<≤----=

-∏

例10 计算n 阶行列式[9]

11112

(1)(2)(1)(1)(2)

(1)

n n n n n n n n n a n a n a a a n a n a a

D a n a n a a ---------+-+--+-+-=

-+-+-

11112

(1)(2)(1)(1)(2)

(1)

n n n n n n n n n a n a n a a a n a n a a

D a n a n a a ---------+-+--+-+-=

-+-+-

解：显然该题与范德蒙行列式很相似，但还是有所不同，所以先利用行列式的性质把它化为范德蒙行列式的类型。

先将的第n 行依次与第n-1行，n-2行，…,2行，1行对换，再将得到到的新的行列式的第n 行与第n-1行，n-2行，…,2行对换，继续仿此作法，直到最后将第n 行与第n-1行对换，这样，共经过（n-1）+（n-2）+…+2+1=n （n-1）/2次行对换后，得到

(1)

22221

1111

1(1)

(1)(2)(1)(1)

(2)

(1)

n n n n n n n n n n n a n a n a a D a n a n a a a n a n a a

----------+-+-=--+-+--+-+-

上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式的结果得：

n m

n m E AB E BA

λλ

λ--=-

(1)

(

11(1)

[()()](1)

()n n n n n j i n

j i n

D a n i a n j i j --≤<≤≤<≤=--+--+=--∏

∏

方法11 利用矩阵行列式公式

引理：设A 为n m ?型矩阵，B 为m n ?型矩阵，n E ，m E 分别表示n 阶，m 阶单位矩阵，则有det()det()n m E BA E BA = [5]

先引入一个证明题：[1]

设A ，B 分别是n m ?和m n ?矩阵，0λ≠，证明：n m

n m E AB E BA λλλ--=-

证明：

00n n

n m m m E A E E AB A B E B

E E λλ-??????

= ? ? ?-?????? 两边取行列式得：

n n m m m

E A

E E A E AB

A E A

B E B

E B

E E λλλλ-=

=--n E AB

λ=-

又

n n n

m m m

E E A E A B

E B B A E E λλλ

λ????-

?? ?

= ? ? ?-+ ? ?????

?同样两边取行列式有：

n m

E E A E A E A

E B E B

B A E E λλλλ

()1

n m

n m m m E B A E E B A E B A

λλ

-=-

+=-=- 得证。

那么对于,A B 分别是n m ?和m n ?矩阵，0λ

≠能否得到：

n m

n m E AB E BA λλ

λ-+=+

答案是肯定的。证：00

n n

n m m m E A E E AB A B

E B

E E λλ-+-??????

? ? ?-??????

∴ 有：

n m

E A E AB

E λλ-=+

又

n n

m m m

E E A E A B

E B B A E E λλλ

λ????-?? ?

= ? ? ?+ ? ????

n m

m m m

E A E BA E E BA

E λλλλλ

--∴

=+=+

n m

n m E AB E BA λλ

λ-∴+=+

即得：对,A B 分别为n m ?和m n ?矩阵，0λ

≠时，有：

n m

n m E AB E BA λλ

λ-=

则当1λ

=时，有：n m E AB E BA

∴引理得证。

例11．2003年全国硕士研究生入学考试数学试卷三第九题的解答中需要计算如下行列式的值。

1231

2312331

n n n n n a b a a a a a b a a D a a a b a a a a a a b

++=

解：令矩阵1231

2312331

n n n n a b a a a a a b a a A

a a a

b a a a a a a b

++=

则可得：

()1231

23121

2331

,n n

n n n

n n

a a a a a a a a A bE bE a a a a a a a a a a a a ?? ? ?=+=+ ?

11n n n

bE B C ??=+

其中

()()11121

1,,

n n n

B C a a a ??==

那么根据上面所提到的引理可得：

n n n n n D bE BC b b C B -??=+=+

又

()11121

111,

n n n i

i C B a a a a ??=?? ? ?==

? ???

∑

∴可得：1

()

n n i i D b

a b -==+∑

方法12 利用方阵特征值与行列式的关系。[]

也以例11为例

解：1231

2312331

3n n n

n n a b a a a a a b a a M a a a b a a a a a a b

++=

1231

231

2331

n n

n n n n n a a a a a a a a bE bE A a a a a a a a a a =+=+

显然n bE 的n 个特征值为,,,b b b 。

A 的n 个特征值为1000

,,,,n

i i a =∑

。

故

的特征值为1

,,,,n

i i n b a b b b =-+∑

由矩阵特征值与对应行列式的关系知：

()n

n n n

i i D M

a b -===+∑

[注]

的特征值也可由特征值的定义得到。

本题行列式比较特殊，可以用到此方法，对于其他的行列式，本方法一般不适用

问题的推广

例11中，主对角线上的元素为()12,,,i

a b i n +=

，那么我们使得主对角线上的元素为

12,,n

λλλ ，n 个任意数，可得下列一般的行列式：[]

1[]3[]

12312312

1231

3n n n n n

a a a a

a a a

a D a a a a

a a

a λλλ

λ=

［分析］上面我们已经介绍了多种方法，根据这题行列式的特点，每行都有相同的因子

12,,,n a a a ，所以本题适用加边法。(本题有多种解法，据上分析，仅以加边法推出。)

解：

2312

31231231

110

000

()

n n n n n

n a a a a a a a a a a D a a a a a a a λλλ+=

12311

111

0021

00010000

()

(,,)n i n n

n a a a a a i n a r r a λλλ+--=------

1100

001

0000200000

()

(,,)

n i i i i i i

n n

n a a a a a a a C C a a i n a λλλλλ=-++

--+

--=-∑

1().()()[.()]

n n

i i i

i i j j j i i i i i

j i

a a a a a a λλ

λλ====≠=+

-+--∑

∏∏∏

特别地，当i

i a b λ=+时

12(,,,)

i n =

()n

n n

n n i i

i i D a b

b b

b a --===

+=+

∑

∑ 与例11的答案一致。

行列式的计算技巧总结

行列式的计算技巧总结标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-

行列式的若干计算技巧与方法目录摘要 (1) 关键字 (1) 1.行列式的概念及性质 (2) n阶行列式的定义 (2) 行列式的性质 (2) 2.行列式计算的几种常见技巧和方法 (4) 定义法 (4) 利用行列式的性质 (5) 降阶法 (7) 升阶法（加边法） (9) 数学归纳法 (11) 递推法 (12) 3. 行列式计算的几种特殊技巧和方法 (14) 拆行（列）法 (14) 构造法 (17) 特征值法 (18) 4. 几类特殊行列式的计算技巧和方法 (19) 三角形行列式 (19) “爪”字型行列式 (19) “么”字型行列式 (21) “两线”型行列式 (22)

“三对角”型行列式 (23) 范德蒙德行列式 (25) 5. 行列式的计算方法的综合运用 (26) 降阶法和递推法 (27) 逐行相加减和套用范德蒙德行列式 (27) 构造法和套用范德蒙德行列式 (28) 小结 (29) 参考文献 (30) 学习体会与建议 (31)

摘要：行列式是高等代数的一个基本概念，求解行列式是在高等代数的学习中遇到的基本问题，每一种复杂的高阶行列式都有其独特的求解方法．本文主要介绍了求行列式值的一些常用方法和一些特殊的行列式的求值方法．如：化三角形法、降阶法和数学归纳法等多种计算方法以及Vandermonde 行列式、“两线型”行列式和“爪”字型行列式等多种特殊行列式．并对相应例题进行了分析和归纳，总结了与每种方法相适应的行列式的特征．关键词：行列式计算方法 1．行列式的概念及性质 n 阶行列式的定义我们知道，二、三阶行列式的定义如下： 22 21 1211a a a a =21122211a a a a -， =33 32 31 232221131211a a a a a a a a a . 312213332112322311322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++ 从二、三阶行列式的内在规律引出n 阶行列式的定义．设有2n 个数，排成n 行n 列的数表 nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211，即n 阶行列式．这个行列式等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积

行列式的计算技巧与方法总结

行列式的几种常见计算技巧和方法 2.1 定义法适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性．例1 计算行列式 004003002001 000. 解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有244=！项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少．具体的说，展开式中的项的一般形式是43214321j j j j a a a a ．显然，如果41≠j ，那么011=j a ，从而这个项就等于零．因此只须考虑41=j 的项，同理只须考虑 1,2,3432===j j j 的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有 41322314a a a a ，而()64321=τ，所以此项取正号．故 004003002001000=() () 241413223144321=-a a a a τ. 2.2 利用行列式的性质即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该

方法适用于低阶行列式． 2.2.1 化三角形法上、下三角形行列式的形式及其值分别如下： nn n n n a a a a a a a a a a a a a K ΛM O M M M K K K 2211nn 333223221131211000000=，nn nn n n n a a a a a a a a a a a a a K Λ M O M M M K K K 22113 2133323122211100 0000=. 例2 计算行列式n n n n b a a a a a b a a a a ++= +K M O M M M K K 21 211211n 1 11 D . 解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的()1-倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零．即：化为上三角形．解：将该行列式第一行的()1-倍分别加到第2,3…（1n +）行上去，可得

n阶行列式的计算方法

n 阶行列式的计算方法徐亮（西北师大学数信学院数学系， 730070 ）摘要：本文归纳总结了n 阶行列式的几种常用的行之有效的计算方法，并举列说明了它们的应运．关键词：行列式，三角行列式，递推法，升降阶法，得蒙行列式 The Calculating Method of the N-order Determinant Xu Liang (College o f M athematics and Information Scien ce ，North west Normal Uni versit y ， Lanzhou 730070，Gansu ，Chin a ) Abstract:This paper introduces some common and effective calculating methods of the n-order determinant by means of examples. Key words: determinant; triangulaire determinant; up and down order; vandermonde determinant 行列式是讨论线形方程组理论的一个有力工具，在数学的许多分支中都有这极为广泛的应用，是一种不可缺少的运算工具，它是研究线性方程组，矩阵，特征多项式等问题的基础，熟练掌握行列式的计算是非常必要的．行列式的计算问题多种多样，灵活多变，需要有较强的技巧．现介绍总结的计算n 阶行列式的几种常用方法． 1．定义法应用n 阶行列式的定义计算其值的方法，称为定义法．根据定义，我们知道n 阶行列式 12121211 12121222() 1212(1)n n n n n j j j j j nj j j j n n nn a a a a a a a a a a a a π= -∑ L L L L L M M L M L ．

行列式的计算方法

摘要行列式是高等代数中重要的内容之一，在数学中有着广泛的应用.通过对行列式基本理论的介绍，针对不同类型的行列式，结合具体例题，介绍行列式的计算方法，其中包括降阶法，升阶法，数学归纳法等. 关键词：行列式；范德蒙行列式；计算

Abstract The determinant is an important content of higher algebra, which having wide application in mathematics. Through the introduction of the basic theory of the determinant, combined with concrete examples, the calculation for different types of determinant are introduced, which including the reduction method, order method, mathematical induction, and so on. Key words: determinant；vandermonde determinant；calculation

目录摘要 ................................................................................................................................I Abstract ....................................................................................................................... II 第1章行列式的形成和性质 .. (1) 第1节行列式的发展史 (1) 第2节行列式的性质 (2) 第2章行列式的计算方法 (4) 第1节化三角形法 (4) 第2节降阶法 (8) 第3节递推法 (9) 第4节加边法 (11) 第5节拆行（列）法 (12) 第6节数学归纳法 (14) 结论 (16) 参考文献 (17) 致谢 (18)

【对应线代】行列式计算7种技巧7种手段

行列式计算7种技巧7种手段【说明】行列式是线性代数的一个重要研究对象,是线性代数中的一个最基本,最常用的工具,记为det(A).本质上,行列式描述的是在n 维空间中,一个线性变换所形成的平行多面体的体积,它被广泛应用于解线性方程组,矩阵运算,计算微积分等.鉴于行列式在数学各领域的重要性,其计算的重要性也不言而喻,因此,本人结合自己的学习心得,将几种常见的行列式计算技巧和手段归纳于此,供已具有行列式学习基础的读者阅读一7种技巧: 【技巧】所谓行列式计算的技巧,即在计算行列式时,对已给出的原始行列式进行化简,使之转化成能够直接计算的行列式,由此可知,运用技巧只能化简行列式,而不能直接计算出行列式技巧1:行列式与它的转置行列式的值相等,即D=D T 111211121121222122221 2 12n n n n n n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a = 技巧2:互换行列式的任意两行(列),行列式的值将改变正负号 111212122221222111211 2 1 2 n n n n n n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a =- 技巧3:行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面 1111121111121221 222 22212221 1 2 1 2 n n n n n n i n n n n n nn n n nn b a b a b a a a a b a b a b a a a a b b a b a b a a a a ==∏ 技巧4:行列式具有分行(列)相加性 11121111211112111 22 1 2121 2 1 2 1 2 n n n t t t t tn tn t t tn t t tn n n nn n n nn n n nn a a a a a a a a a b c b c b c b b b c c c a a a a a a a a a +++=+ 技巧5:将行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数k 后加到另一行(列)对应的元素上,行列式的值不变

(完整word)行列式的计算技巧与方法总结,推荐文档

计算技巧及方法总结一、一般来说，对于二阶、三阶行列式，可以根据定义来做 1、二阶行列式 2112221122 2112 11a a a a a a a a -= 2、三阶行列式 33 32 31 23222113 1211a a a a a a a a a =.332112322311312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++ 例1计算三阶行列式6 01504 321 - 解 =-6 015043 21601??)1(52-?+043??+)1(03-??-051??-624??- 4810--=.58-= 但是对于四阶或者以上的行列式，不建议采用定义，最常采用的是行列式的性质以及降价法来做。但在此之前需要记忆一些常见行列式形式。以便计算。计算上三角形行列式 nn nn n n a a a a a a a a a ΛΛ ΛΛΛΛΛΛ2211222112110 0= 下三角形行列式 nn n n a a a a a a Λ ΛΛΛΛΛΛ2122 21 110 00.2211nn a a a Λ= 对角行列式 nn nn n n a a a a a a a a a ΛΛ ΛΛΛΛΛΛ221121 222111000= 二、用行列式的性质计算 1、记住性质，这是计算行列式的前提将行列式D 的行与列互换后得到的行列式,称为D 的转置行列式,记为T D 或'D ,即若

,21 2222111211nn n n n n a a a a a a a a a D Λ Λ ΛΛΛΛΛ= 则 nn n n n n T a a a a a a a a a D Λ ΛΛΛΛΛΛ 212 22 12 12111=. 性质1 行列式与它的转置行列式相等, 即.T D D = 注由性质1知道，行列式中的行与列具有相同的地位，行列式的行具有的性质,它的列也同样具有. 性质2 交换行列式的两行(列),行列式变号. 推论若行列式中有两行(列)的对应元素相同,则此行列式为零. 性质3 用数k 乘行列式的某一行(列), 等于用数k 乘此行列式, 即 .21 21 112112 1 21 112111kD a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a D nn n n in i i n nn n n in i i n ===Λ ΛΛ Λ ΛΛΛΛΛΛΛΛ ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ 第i 行(列)乘以k ,记为k i ?γ(或k C i ?). 推论1 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面. 推论2 行列式中若有两行(列)元素成比例,则此行列式为零. 性质4 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和, 例如, nn n n in in i i i i n a a a c b c b c b a a a D Λ ΛΛΛΛΛ ΛΛΛΛΛ2 1 221111211+++=. 则 2121 21 11211212111211D D a a a c c c a a a a a a b b b a a a D nn n n in i i n nn n n in i i n +=+=Λ ΛΛ Λ ΛΛΛ ΛΛΛΛΛ ΛΛΛΛΛ ΛΛ Λ Λ Λ. 性质5 将行列式的某一行(列)的所有元素都乘以数k 后加到另一行(列)对应位置的元素上, 行列式不变. 注: 以数k 乘第j 行加到第i 行上,记作j i kr r +; 以数k 乘第j 列加到第i 列上，记作j i kc c +. 2、利用“三角化”计算行列式计算行列式时，常用行列式的性质，把它化为三角形行列式来计算. 例如化为上三角形行列式的步骤是:

行列式计算7种技巧

行列式计算7种技巧7种手段编者:Castelu 韩【编写说明】行列式是线性代数的一个重要研究对象,是线性代数中的一个最基本,最常用的工具,记为det(A).本质上,行列式描述的是在n 维空间中,一个线性变换所形成的平行多面体的体积,它被广泛应用于解线性方程组,矩阵运算,计算微积分等.鉴于行列式在数学各领域的重要性,其计算的重要性也不言而喻,因此,本人结合自己的学习心得,将几种常见的行列式计算技巧和手段归纳于此,供已具有行列式学习基础的读者阅读一.7种技巧: 【技巧】所谓行列式计算的技巧,即在计算行列式时,对已给出的原始行列式进行化简,使之转化成能够直接计算的行列式,由此可知,运用技巧只能化简行列式,而不能直接计算出行列式技巧1:行列式与它的转置行列式的值相等,即D=D T 111211121121222122221 212n n n n n n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a

技巧2:互换行列式的任意两行(列),行列式的值将改变正负号 111212122221222111211 21 2n n n n n n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a =- 技巧3:行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面 111112111112122122222212221 121 2n n n n n n i n n n n n nn n n nn b a b a b a a a a b a b a b a a a a b b a b a b a a a a ==∏ 技巧4:行列式具有分行(列)相加性 1112111121111211122121 21 2 1 21 2n n n t t t t tn tn t t tn t t tn n n nn n n nn n n nn a a a a a a a a a b c b c b c b b b c c c a a a a a a a a a +++=+ 技巧5:将行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数k 后加到另一行(列)对应的元素上,行列式的值不变 1112111 12112112212121 21 2 n n s s sn s t s t sn tn t t tn t t tn n n nn n n nn a a a a a a a a a a ka a ka a ka a a a a a a a a a a a a +++= 技巧6:分块行列式的值等于其主对角线上两个子块行列式的值

行列式的计算技巧与方法总结

行列式的若干计算技巧与方法内容摘要 1. 行列式的性质 2.行列式计算的几种常见技巧和方法定义法利用行列式的性质降阶法升阶法（加边法）数学归纳法递推法 3. 行列式计算的几种特殊技巧和方法拆行（列）法构造法特征值法 4. 几类特殊行列式的计算技巧和方法三角形行列式 “爪”字型行列式 “么”字型行列式 “两线”型行列式 “三对角”型行列式范德蒙德行列式 5. 行列式的计算方法的综合运用降阶法和递推法逐行相加减和套用范德蒙德行列式构造法和套用范德蒙德行列式

行列式的性质性质1 行列互换，行列式不变．即 nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a n 2n 1n2 2212n12111nn n2n12n 2221 1n 1211 . 性质2 一个数乘行列式的一行（或列），等于用这个数乘此行列式．即 nn n2 n1in i2i1n 11211 k k k a a a a a a a a a k nn a a a a a a a a a n2n1in i2i1n 11211. 性质3 如果行列式的某一行（或列）是两组数的和，那么该行列式就等于两个行列式的和，且这两个行列式除去该行（或列）以外的各行（或列）全与原来行列式的对应的行（或列）一样．即 111211112111121112212121 2 1212.n n n n n n n n n nn n n nn n n nn a a a a a a a a a b c b c b c b b b c c c a a a a a a a a a K K K M M M M M M M M M M M M K K K M M M M M M M M M M M M K K K 性质4 如果行列式中有两行（或列）对应元素相同或成比例，那么行列式为零．即 k a a a ka ka ka a a a a a a nn n n in i i in i i n 21 2121112 11nn n n in i i in i i n a a a a a a a a a a a a 212121112 11 =0. 性质5 把一行的倍数加到另一行，行列式不变．即

行列式化简计算技巧实题

行列式化简计算技巧和实题操练 ——Zachary 一.技巧: 技巧1:行列式与它的转置行列式的值相等,即D=D T 111211121121222122221 212n n n n n n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a = 技巧2:互换行列式的任意两行(列),行列式的值将改变正负号 111212122221222111211 21 2n n n n n n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a =- 技巧3:行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面 111112111112122122222212221 121 2n n n n n n i n n n n n nn n n nn b a b a b a a a a b a b a b a a a a b b a b a b a a a a == ∏ 技巧4:行列式具有分行(列)相加性 11121111211112111221 21 21 2 1 21 2n n n t t t t tn tn t t tn t t tn n n nn n n nn n n nn a a a a a a a a a b c b c b c b b b c c c a a a a a a a a a +++=+ 技巧5:将行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数k 后加到另一行(列)对应的元素上,行列式的值不变

1112111 12112112212121 21 2 n n s s sn s t s t sn tn t t tn t t tn n n nn n n nn a a a a a a a a a a ka a ka a ka a a a a a a a a a a a a +++= 技巧6:分块行列式的值等于其主对角线上两个子块行列式的值的乘积 111111111111111111 11000 m m n m mm m n m mm n nn n nm n nn a a a a b b a a c c b b a a b b c c b b = 技巧7:[拉普拉斯按一行(列)展开定理] 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和 1 1 (1,2,,)(1,2,,)n n ik ik kj kj k k D a A i n a A j n ======∑∑ 二.解题方法: 方法1:对于2阶行列式和3阶行列式,可以直接使用对角线法则进行计算 1112 112212212122 a a a a a a a a =-, 111213 21222311223312233113213211233212213313223131 32 33 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++---

(完整版)行列式的计算方法(课堂讲解版)

计算n 阶行列式的若干方法举例 n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。 1．利用行列式定义直接计算例计算行列式 0 0100200 1000000n D n n =-L L M M M M L L 解 D n 中不为零的项用一般形式表示为 112211!n n n nn a a a a n ---=L . 该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2) 2 n n --，故(1)(2) 2 (1) !.n n n D n --=- 2．利用行列式的性质计算例：一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-=L 则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n ==L 故行列式D n 可表示为1213112 23213 2331230000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -=-----L L L L L L L L L ，由行列式的性质A A '=，1213112 23213 2331230000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -----=-L L L L L L L L L 12131122321323312300(1)00 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -=------L L L L L L L L L (1)n n D =- 当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.

浅谈行列式的计算方法x

浅一、特殊行列式法 1．定义法当行列式中含零元较多时，定义法可行．例1 计算n 级行列式 α β βαβαβα000000 0000 00 =D . 解：按定义，易见121,2,,,n j j j n === 或 1212,3,,,1n n j j j n j -==== . 得 11(1)n n n D αβ-+=+- 2．三角形行列式法利用行列式性质，把行列式化成三角形行列式． nn a a a a a a 000n 222n 11211＝nn n n a a a a a a 212212110 0112233nn a a a a = 例2 计算n 级行列式1231 131 211 2 3 1 n n x n D x n x +=++ 解：将n D 的第(2,3,,)i i n = 行减去第一行化为三角形行列式，则 1230 1000 0200 1 (1)(2)(1) n n x D x x n x x x n -=--+=---+

3．爪形行列式法例3 计算行列式 0121 1 220 0000n n n a b b b c a D c a c a = ()0,1,2,,i a i n ≠= 解: 将D 的第i +1列乘以（i i a c - ）都加到第1列()n i ,2,1=，得 10 12 120000000 00n i i n i i n bc a b b b a a D a a - =∑= ＝011()n n i i i i i i b c a a a ==-∑∏ 4．范德蒙行列式法 1 2 3 2 2221 2 3 11111 2 3 1111n n n n n n n a a a a D a a a a a a a a ----= 1()i j j i n a a ≤<≤= -∏ 例4 计算n 级行列式 2 2221233 333 1 2 3 12 3 11 1 1 n n n n n n n x x x x D x x x x x x x x = 解：利用D 构造一个1n +阶范德蒙行列式 12222 212121111()n n n n n n n x x x x g x x x x x x x x x = 多项式()g x 中x 的系数为3(1)n D +-，而()g x 又是一个范德蒙行列式，即 1 ()() n i i g x x x ==-∏∏≤<≤-n i j j i x x 1)(

(完整版)行列式的计算方法总结

行列式的计算方法总结: 1. 利用行列式性质把行列式化为上、下三角形行列式. 2. 行列式按一行(一列)展开,或按多行(多列)展开(Laplace 定理). 几个特别的行列式: B A B C A B C A == 0021 , B A B A D D B A mn )1(0 021 -== ,其中B A ,分别是n m ,阶的方阵. 例子: n n a b a b a b b a b a b a D 22O N N O = , 利用Laplace 定理,按第1,+n n 行展开,除2级子式 a b b a 外其余由第1,+n n 行所得的2级子式均为零. 故222222112)()1(--+++++-=-= n n n n n n n D b a D a b b a D ,此为递推公式,应用可得 n n n n b a D b a D b a D )()()(224222222222-==-=-=--Λ. 3. 箭头形行列式或者可以化为箭头形的行列式. 例:n n n n n n n a x x a a x x a a x x a a a a x x a a a a x a a a a x a a a a x ------=Λ ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ ΛΛΛΛΛΛΛΛ00 000 01 133112 2113213 21321 321321 -----(倍加到其余各行第一行的1-) 100 101010 011)(3 332 221 111 Λ ΛΛΛΛΛΛΛΛ-------? -=∏=n n n n i i i a x a a x a a x a a x x a x --------(每一列提出相应的公因子i i a x -) 1 001000 010)(3 332 222111 1 Λ ΛΛΛΛΛΛΛΛn n n n i i i i n i i i a x a a x a a x a a x a a x x a x ----+-? -=∑∏== --------(将第n ,,3,2Λ列加到第一列)

#行列式的计算方法 (1)

计算n 阶行列式的若干方法举例 1．利用行列式的性质计算例：一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-= 则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2, ,ii a i n == 故行列式D n 可表示为1213112 23213 233123000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -=-----，由行列式的性质A A '=，1213112 23213 23312300 00 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -----=-12131122321323312300( 1)0 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -=------(1)n n D =- 当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0. 2．化为三角形行列式例2 计算n 阶行列式123123 1 23 1 2 3 1111n n n n a a a a a a a a D a a a a a a a a ++=++．解这个行列式每一列的元素，除了主对角线上的外，都是相同的，且各列的结构相似，因此n 列之和全同．将第2，3，…，n 列都加到第一列上，就可以提出公因子且使第一列的元素全是1． [][]()()()()()()122323122 3231223231122 3 2 3 211 12, ,2,,11 111 1 1111 1111 11 1n n n n n n n n n i n i n n n n i i i i i n i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ==+-==+++ +++++++??+++++=++ ??? +++ +++?? + ??? ∑∑3110100 111 . 00100 1 n n n i i i i a a a ==?? =+=+ ??? ∑∑

行列式计算7种技巧7种手段

行列式计算7种技巧7种手段编者:Cas ｔｅlu 【编写说明】行列式就是线性代数得一个重要研究对象,就是线性代数中得一个最基本,最常用得工具,记为ｄet(A)。本质上,行列式描述得就是在n 维空间中,一个线性变换所形成得平行多面体得体积,它被广泛应用于解线性方程组,矩阵运算,计算微积分等、鉴于行列式在数学各领域得重要性,其计算得重要性也不言而喻,因此,本人结合自己得学习心得,将几种常见得行列式计算技巧与手段归纳于此,供已具有行列式学习基础得读者阅读一。7种技巧: 【技巧】所谓行列式计算得技巧,即在计算行列式时,对已给出得原始行列式进行化简,使之转化成能够直接计算得行列式,由此可知,运用技巧只能化简行列式,而不能直接计算出行列式技巧１:行列式与它得转置行列式得值相等,即D ＝D T 技巧2:互换行列式得任意两行(列),行列式得值将改变正负号技巧3:行列式中某一行(列)得所有元素得公因子可以提到行列式记号得外面技巧4:行列式具有分行(列)相加性 111211112111121112212 12 1 2 1212 n n n t t t t tn tn t t tn t t tn n n nn n n nn n n nn a a a a a a a a a b c b c b c b b b c c c a a a a a a a a a +++=+ 技巧５:将行列式得某一行(列)得各元素乘以同一数k 后加到另一行(列)对应得元素上,行列式得值不变技巧6:分块行列式得值等于其主对角线上两个子块行列式得值得乘积 11111111 111111111 1 1 1 0000m m n m mm m n m mm n nn n nm n nn a a a a b b a a c c b b a a b b c c b b = 技巧７:［拉普拉斯按一行(列)展开定理］行列式等于它得任一行(列)得各元素与其对应得代数余子式乘积之与二。7种手段: 【手段】所谓行列式计算得手段,即在计算行列式时,观察已给出得原始行列式或进行化简后得行列式,只要它们符合已知得几种行列式模型,就可以直接计算出这些行列式手段1:对于2阶行列式与３阶行列式,可以直接使用对角线法则进行计算

特殊行列式与行列式计算方法总结

特殊行列式及行列式计算方法总结一、几类特殊行列式 1. 上（下）三角行列式、对角行列式（教材P7例5、例6） 2. 以副对角线为标准的行列式 11112112,1 221222,11,21,1 1,11 2 ,1 (1)2 12,11 000000 0000 0000 (1) n n n n n n n n n n n nn n n n n n nn n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---------===-L L L L L L M M M M M M M M M N L L L L 3. 分块行列式（教材P14例10）一般化结果： 00n n m n n m n m m n m m n m A C A A B B C B ????= =? 0(1)0n m n n m n mn n m m m n m m n A C A A B B C B ????= =-? 4. 范德蒙行列式（教材P18例12）注：4种特殊行列式的结果需牢记！以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握！！！二、低阶行列式计算二阶、三阶行列式——对角线法则（教材P2、P3）三、高阶行列式的计算【五种解题方法】 1) 利用行列式定义直接计算特殊行列式； 2) 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式； 3) 利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算 ——适用于行列式的某一行或某一列中有很多零元素，并且非零元素的代数余子式很容易计算； 4) 递推法或数学归纳法； 5) 升阶法（又称加边法）

计算行列式常用的7种方法

行列式的计算方法介绍7种常用方法 1 三角化方法：通过行列初等变换将行列式化为三角型行列式. 例1 计算n+1阶行列式 x a a a a a x a a a a x D n n n 32121 211= + 2 把某一行（列）尽可能化为零例2 计算： y y x x D -+-+= 22 2 2 2222222222224 3 递归法（数学归纳法）：设法找出D n 和低级行列式间的关系，然后进行递归.

例4 证明： β αβα β αβ ααββααββα--= ++++=++1 1 10 0000 1000 1000n n n D 例5 证明范德蒙行列式（n ≥2） ∏≤<≤-----==n j i j i n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x V 11 13 12 1 1 2 23222 1 321) (1111 4 加边法：对行列式D n 添上一适当行和列，构成行列式D n+1，且D n+1=D n 例6 证明： ) 1 1(111 1111 1111111111 1111213 21∑=+=++++=n i i n n n a a a a a a a a D

5 拆分法：将行列式表为行列式的和的方法.即如果行列式的某行（或列）元素均为两项和，则可拆分为两个行列式之和例7 设abcd=1,求证： 01 111111111112 22222 22 =+ ++ +d d d d c c c c b b b b a a a a 6 利用行列式的乘积：为求一个行列式D 的值，有时可再乘上一个适当的行列式?；或把D 拆分为两个行列式的积. 例8（1） 1 ) cos()cos()cos()cos(1 )cos()cos()cos()cos(1)cos() cos() cos()cos(1 121332312322113121 n n n n n n D αααααααααααααααααααααααα------------=

行列式的计算技巧与方法汇总

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计算技巧及方法总结一、一般来说，对于二阶、三阶行列式，可以根据定义来做 1、二阶行列式 2112221122 2112 11a a a a a a a a -= 2、三阶行列式 33 32 31 232221131211a a a a a a a a a = .332112322311312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++ 例1计算三阶行列式6 015043 21- 解 =-6 015043 21 601??)1(52-?+043??+)1(03-??-051??-624??- 4810--=.58-= 但是对于四阶或者以上的行列式，不建议采用定义，最常采用的是行列式的性质以及降价法来做。但在此之前需要记忆一些常见行列式形式。以便计算。计算上三角形行列式 nn nn n n a a a a a a a a a ΛΛ ΛΛΛΛΛΛ2211222112110 0= 下三角形行列式 nn n n a a a a a a Λ ΛΛΛΛΛΛ2122 21 110 00.2211nn a a a Λ= 对角行列式 nn nn n n a a a a a a a a a ΛΛ ΛΛΛΛΛΛ221121 222111000= 二、用行列式的性质计算 1、记住性质，这是计算行列式的前提将行列式D 的行与列互换后得到的行列式,称为D 的转置行列式,记为T D 或'D ,即若

行列式计算方法归纳总结

数学与统计学学院中期报告学院: 专业: 年级: 题目: 学生姓名: 学号: 指导教师姓名职称: 年月日

目录 1 引言 (1) 2行列式性质 (2) 3行列式计算方法 (6) 3.1定义法 (6) 3.2递推法 (9) 3.3化三角法 (9) 3.4拆元法 (11) 3 .4加边法 (12) 3.6数学归结法 (13) 3.7降价法 (15) 3.8利用普拉斯定理 (16) 3.9利用范德蒙行列式参考文献....................................................................................................... 错误！未定义书签。8

行列式的概念及应用摘要：本文先列举行列式计算相关性质，然后归纳总结出行列式的方法，包括：定义法，化三角法，递推法，拆元法，加边法，数学归结法，降价法，利用拉普拉斯定理，利用范德蒙行列式。关键词：行列式；线性方程组；范德蒙行列式 The concept and application of determinant Summary: This article lists calculated properties of determinants, and then sum up the determinant method, including: Definition, triangulation, recursive method, remove method, bordered by, mathematical resolution method, cut method, using Laplace theorem, using the vandermonde determinant. Keywords: determinant;Linear equations;;Vandermonde determinant 1 引言行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。行列式的提出可以追溯到十七世纪，最初的雏形由日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立得出，时间大致相同。日本数学家关孝和提出来的，他在1683年写了一部名为解伏题之法的著作，意思是“解行列式问题的方法”，书中对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。欧洲第一个提出行列式概念的是德国数学家，微积分学奠基人之一莱布尼茨。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和向量组的行列式的定义。

[理学]线性代数技巧行列式的计算方法

计算n 阶行列式的若干方法举例 n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较多时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。 1．利用行列式定义直接计算例1 计算行列式 01002001000000n D n n =-L L M M M M L L 解 D n 中不为零的项用一般形式表示为 112211!n n n nn a a a a n ---=L . 该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于 (1)(2) 2 n n --，故 (1)(2) 2 (1)!.n n n D n --=- 2．利用行列式的性质计算

例2 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足 ,,1,2,,,ij ji a a i j n =-=L 则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即 0,1,2,,ii a i n ==L 故行列式D n 可表示为 1213112 23213 2331230 000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -=-----L L L L L L L L L 由行列式的性质A A '= 1213112 23213 2331230000n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -----=-L L L L L L L L L 1213112 23213 23312300(1)0 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -=------L L L L L L L L L (1)n n D =- 当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.