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中考数学32.3.二次函数综合题(涉及圆)

一、选择题

二、填空题

三、解答题

1.（2018滨州，26，14分）如图①，在平面直角坐标系中，圆心为P （x ，y ）的动圆经过点A （1，2）且

与x 轴相切于点B ．

（1）当x ＝2时，求⊙P 的半径；

（2）求y 关于x 的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的图象；（3）请类比圆的定义（圆可以看成是到定点距离等于定长的所有点的集合），给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到________的距离等于到________的距离的所有点的集合．

（4）当⊙P 的半径为1时，若⊙P 与以上（2）中所得函数图象相交于点C 、D ，其中交点D （m ，n ）在点C 的右侧．请利用图②，求cos ∠APD 的大小．

第26题图① 第26题图②

思路分析：（1）过A 作AM ⊥x 轴于M ，过P 作PH ⊥AM 于H ，通过构造Rt △AHP ，结合勾股定理得出关于r 的方程，通过解方程求出半径；

（2）类比（1）构造Rt △AHP ，利用勾股定理得出y 与x 的关系式，再判断函数图形的形状；（3）根据函数图象，结合集合定义的特征，得出结论；

（4）利用⊙P 的半径为1，得出P 点坐标，而P 点恰好为二次函数的顶点，过点D 作DH ⊥AP 于H ，构造Rt △PDH ，然后将D 点纵坐标用m 来表示，进而表示出DH ，HP ，利用勾股定理得出关于m 的方程，整体求出（m －1）2的值，再利用锐角三角函数的定义，用将三角函数值转化为（m －1）2的值即可．

解答过程：如图①，过A 作AM ⊥x 轴于M ，过P 作PH ⊥AM 于H ，连接P A 、PB ，则PB ⊥x 轴于点B ，P A ＝PB ＝MH ＝y ． ∵A （1，2），∴OM ＝1，AM ＝2．∵P 横坐标为2，OB ＝2．∴PH ＝OB －OM ＝2－1＝1，AH ＝AM －PB ＝2－y ．

在Rt △AHP 中，∵AH 2＋PH 2＝AP 2，∴(2－y )2＋12＝y 2．∴y ＝5

答：当x

＝2时，求⊙P 的半径等于5

第26题答案图① 第26题答案图②

（2）如图②，过A 作AM ⊥x 轴于M ，过P 作PH ⊥AM 于H ．连接PA 、PB ，则PB ⊥x 轴于点B ，PA=PB ＝MH ＝y ． ∵A （1，2），∴AM ＝2，OM ＝1．∵P （x ，y ），∴OB ＝x ，PB ＝HM ＝y ．∴PH ＝x －1，AH ＝2－y ． ∵在Rt △AHP 中，AH 2＋HP 2＝AP 2，∴（2－y ）2

＋（x －1）2＝y 2． ∴4－4y ＋y 2＋x 2－2x －1＝y 2．∴4y ＝x 2－2x ＋5.∴y ＝14x 2－12x ＋5

（3）根据集合的定义可知：点A （1，2），x 轴

（4）如图③，半径为1，即y ＝1，代入y ＝14x 2－12x ＋5

求得x ＝1，即圆心P （1,1），又可知P （1,1）即

为函数y ＝14x 2－12x ＋54的顶点，故作出如下图。则D （m ，2115

424

m m -+），过D 作DH ⊥AP 于H ，则

DH ＝m －1，HP ＝2115424m m -+－1＝2111424m m -+＝14（m －1）2，PD ＝1，则有（m －1）2＋[1

（m

－1）2]2＝12，令（m －1）2＝t ，则上式可替换为t ＋（14t ）2＝12，解得t ＝

－8，cos ∠APD ＝PH

＝2

(1)4

1m -＝141t

＝14t ＝14

（

－8

－2.

第26题答案图③

2.（2018·济宁，22，11分）如图，已知抛物线y ＝2ax bx c ++（a ≠0）经过点A （3，0）、B （－1，0）、C （0，－3）．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若以点A 为圆心的圆与直线BC 相切于点M ，求切点M 的坐标；

（3）若点Q 在x 轴上，点P 在抛物线上，是否存在以点B 、C 、Q 、P 为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

分析：（1）利用“交点式”求抛物线的解析式；（2）由题意可知AM ⊥BC ．设AM 交y 轴于点N ，证明△AON ≌△COB ，得ON ＝OB ，于是N （0，－1

）．分别求出直线BC 、AM 的函数表达式，进而解这两个函数表达式组成的方程组得点M 的坐标；（3）设Q （t ，0），按BC 、BQ 、CQ 分别为对角线分类求解．

（第27题图）

解：（1）∵抛物线y ＝2ax bx c ++（a ≠0）经过点A （3，0）、B （－1，0）， ∴y ＝(3)(1)a x x -+．

∵抛物线y ＝2ax bx c ++（a ≠0）经过点C （0，－3）， ∴－3＝(03)(01)a -+．解得a ＝1．

∴抛物线的解析式为y ＝(3)(1)x x -+，即y ＝223x x --．

（2）如答图所示．过点A 作AM ⊥BC ，垂足为点M ，AM 交y 轴于点N ． ∴∠BAM ＋∠ABM ＝90°．

在Rt △BCO 中，∠BCO ＋∠ABM ＝90°． ∴∠BAM ＝∠BCO ．

∵A （3，0），B （－1，0），C （0，－3）， ∴AO ＝CO ＝3，OB ＝1．

又∵∠BAM ＝∠BCO ，∠BOC ＝∠AON ＝90°， ∴△AON ≌△COB ． ∴ON ＝OB ＝1． ∴N （0，－1）．

设直线AM 的函数表达式为y ＝kx b +．

把A （3，0），N （0，－1）分别代入，得031k b b +??-?，＝.＝

解得k ＝1

，b ＝－1．

∴直线AM 的函数表达式为y ＝1

13x -．

同理可求直线BC 的函数表达式为y ＝33x --．解方程组113

33y x y x ?

-???--?，＝＝得35

65x y ?

=-????-??

，.＝

（3）设Q （t ，0）．

若BC 为对角线，则P （1t --，－3）． ∵点P 在抛物线上，

∴－3＝2(1)2(1)3t t ------．此方程无解，即这种情形不存在．若BP 为对角线，则P （3t -，－3），

（第27题答图）

∵点P 在抛物线上， ∴－3＝2(3)2(3)3t t ----．解得t ＝3或5，其中3不符合题意． ∴P （2，－3）．

若BQ 为对角线，则P （1t -，3）．同理可求t

＝2

2 ∴P

（13

）或（13）．

综合知，点P 的坐标为（2，－3

）或（1+3

）或（13）．

3．（2018江苏宿迁，27，12分）（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数)30)(3)((<<--=x x a x y 的图像与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点D ，过其顶点C 作直线CP ⊥x 轴，垂足为点P ，连接AD 、BC ．（1）求点A 、B 、D 的坐标；

（2）若△AOD 与△BPC 相似，求a 的值；

a 的值，若不能，请说明理由．

思路分析：（1）令y=0，得A （a ，0），B （3，0）；

（2）根据∠AOD=∠PBC=90°，所以分△AOD ∽△BPC 和△AOD ∽△CPB 两种情况讨论即可；（3）根据∠BOD=90°得B 、O 、D 三点共圆，其圆心M 为BD 中点，若C 也在圆上，则MC=MB ，即MC 2=MB 2，列出方程求解即可．解：（1）∵)30)(3)((<<--=x x a x y ∴A （a ，0），B （3，0）；

（2）∵A （a ，0），B （3，0），∴对称轴为23a x +=，C （23a +，2)23(a --），∴PB=233a +-，PC=2

3(a -， ①当△AOD ∽△BPC 时，则

BP AO =

，即2)

3(3233a a

a a -=

+-，解得a=±3（舍）

②当△AOD ∽△CPB 时，则

PB OD CP AO =，即2

333)23(2a a

a a +-=

-，解得a 1=3（舍），372=a ； ∴

a ；

∵∠BOD=90°，∴B 、O 、D 三点共圆，且圆心M （

23，a 2

3），若C 也在圆上，则MC=MB ，即222

22)023

()323()23(23)2323(-+-=??

????++++-a a a a ，整理得：

0451424=+-a a ，即（52-a ）（92

-a ）=0，解得51=a ，52-=a （舍），33=a （舍），3

4-=a （舍）， ∴当5=

a 时，D 、O 、C 、B 四点共圆．

4．（2018威海，25，12分）如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴交于点A （－4，0），B （2，0），与y 轴交于点C （0，4），线段BC 的中垂线与对称轴l 交于点D ，与x 轴交于点F ，与BC 交于点E ．对称轴l 与x 轴交于点H ． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求点D 的坐标；

(3)点P 为x 轴上一点，⊙P 与直线BC 相切于点Q ，与直线DE 相切于点R ，求点P 的坐标；

(4)点M 为x 轴上方抛物线上的点，在对称轴上是否存在一点N ，使得以点D ，P ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，则直接写出N 点坐标；若不存在，请说明理由．

（第25题图）（第25题备用图）

思路分析：（1）抛物线与x 轴有两个交点，可利用交点式设解析式，然后代入点C 的坐标求解；也可用一般式求解，稍微繁琐一些；（2）点D 在对称轴上，设D 点的坐标为（－1，m ），过点C 作CG ⊥l ，垂足为G ，连接DC ，DB ，分别在两个直角三角形中，利用勾股定理表示DC 和DB ，由DC ＝DB 构建方程求解即可；也可利用Rt △DCG 与Rt △DBH 全等求解；（3）分圆心P 1在直线BC 左侧和圆心P 2在直线BC 右侧两种情况分类讨论；（4）当点P 在直线BC 左侧时存在3种情况，点P 在直线BC 右侧时不存在，分别以DP 为边或对角线进行求解。

解答过程：(1)∵抛物线过点A （－4，0），B （2，0）， ∴设抛物线表达式为y ＝a （x ＋4）（x －2）．又∵抛物线过点C （4，0），将点C 坐标代入，得4＝a （0＋4）（0－2），解得a ＝－

． ∴抛物线的函数表达式为y ＝－

21（x ＋4）（x －2），即y ＝－2

1x 2－x ＋4． (2)∵对称轴是直线x ＝－1，∴点D 在对称轴x ＝－1上；

设D 点的坐标为（－1，m ），过点C 作CG ⊥l ，垂足为G ，连接DC ，DB ． ∵DE 为BC 中垂线，∴DC ＝DB ．在Rt △DCG 和Rt △DBH 中，

∴DC 2＝12＋（4－m ）2，DB 2＝m 2＋（2＋1）2， ∴12＋（4－m ）2＝m 2＋（2＋1）2，解得m ＝1．∴D 点坐标为（－1，1）．

(3)∵点B 坐标为（2，0），点C 坐标为（0，4）．∴BC 2＝2

242+＝25．

∵EF 为BC 中垂线，∴BE ＝

BC ＝5．在Rt △BEF 和Rt △BOC 中， cos ∠CBF ＝

BF BE ＝BC

=， ∴BF ＝5，∴EF ＝2

2BE BF -＝25，OF ＝3．

设⊙P 的半径为r ，⊙P 与直线BC 和EF 都相切，有两种情况： ① 当圆心1P 在直线BC 左侧时，连接11PQ ，11P R ，则11111PQ PR r ==，

∴11111190PQ E PR E R EQ ===∠∠∠°，∴四边形111PQ ER 为正方形．∴1111ER PQ r ==．在Rt △FEB 和Rt △FR 1B 1中， ∴111tan 1PR BE EF FR =

=∠

，∴1r ∴111sin 1PR BE BF FP ==∠

3FP =．

∴1103FP =

，∴1101333OP =-=，∴1P 的坐标为（3

1，0）． ②当圆心2P 在直线BC 右侧时，连接22P Q ，22P R ，则四边形222P Q ER 为正方形， ∴2222ER P Q r ==．

在Rt FEB △和22Rt FR P △中， ∴22

2tan 1P R BE EF FR =

∠

∴2r =22

sin 1P R BE BF FP =

=∠

2 ∴210FP =，∴21037OP =-=，∴2P 的坐标为（7，0）．

综上所述，符合条件的点P 的坐标是（

，0）或（7，0）． (4)存在．N 1（－1，

1847），N 2（－1，1883），N 3（－1，－18

47）．

5．（2018·广州市，24，14）已知抛物线y ＝x 2＋mx －2m －4（m ＞4）. （1）证明：该抛物线与x 轴总有两个不同的交点；

（2）设该抛物线与x 轴的两个交点分别是A 、B （点A 在点B 的右侧），与y 轴交于点C ，A 、B 、C 三点都在⊙P 上.

①试判断：不论m 取任何正数，⊙P 是否经过y 轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由；

②若点C 关于直线x ＝2

的对称点为点E ，点D （0，1）,，连接BE ，BD ，DE ，△BDE 的周长记为l ，⊙P 的半径记为r ，求l

的值.

思路分析：（1）根据二次函数和一元二次方程的关系，利用一元二次方程根的判别式来判断抛物线与x 轴交点个数；（2）分别求出（或用m 表示）点A 、B 、C 的坐标，画出示意图，利用“同弧所对的圆周角相等”证明两三角形有两角对应相等，然后利用相似求出定点坐标．（3）先由对称性求出点E 的坐标，再根据E （－m ，－2m －4），B （－m －2，0），D （0，1）用m 分别表示BE 2，BD 2，DE 2．用勾股定理逆定理

证明∠DBE ＝90°，然后求出直角三角形三边比例，求l

的值．

解答过程：（1）令y ＝0，则x 2＋mx －2m －4＝0．∵△＝m 2－m (－2m －4)＝m 2＋8m ＋16＝(m ＋4) 2，又m ＞4，∴(m ＋4) 2＞0．∴此方程总有两个不相等的实数根，抛物线与x 轴总有两个不同的交点；（2）①设⊙P 经过y 轴上的另一个交点F ．

令y ＝0，则x 2＋mx －2m －4＝0．(x －2)(x ＋m ＋2)＝0．x 1＝2，x 2＝－m －2．又m ＞4，点A 在点B 的右侧．∴A （2，0），B （－m －2，0）．∵当x ＝0时，y ＝－2m －4，∴C （0，－2m －4）．则AO ＝0，BO ＝m ＋2，CO ＝2m ＋4．∵∠BCO ＝∠BAF ，∠CBO ＝∠AFO ，∴△BCO ≌△F AO ．∴=FO AO BO CO ，2

224

FO m m ++．∴FO ＝1，点F （1，0）．

x y

②∵点C（0，－2m－4）关于直线x＝

-的对称点为点E，∴E（－m，－2m－4），又B（－m－2，0），D（0，1）．∴BD2＝(m＋2)2＋12＝m2＋4m＋5，DE2＝(2m＋5)2＋m2＝5m2＋20m＋25,BE2＝22＋(2m＋4)2＝4m2＋16m＋20．∴BD2＋BE2＝DE2．∴∠DBE＝90°．∴DE是⊙P直径．∵BD2＝(m＋2)2＋12＝m2＋4m ＋5，BE2＝22＋(2m＋4)2＝4m2＋16m＋20．∴

．∴

．设BD＝a，BE＝2a，则DE＝5a．∴l

＝

a a

＝

1065

．

6．（2018·长沙市，26，10分）

我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”.

（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有；

②在凸四边形ABCD中，AB=AD且CB≠CD，则该四边形“十字形”.（填“是”或“不是”）（2）如图1，A，B，C，D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，∠ADB-∠CDB=∠ABD-∠CBD，当6≤AC 2+BD 2≤7时，求OE的取值范围；

（3）如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y =ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c＜0）与x轴交

于点A，C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为（0，-ac）.记“十字形”ABCD的面积为S，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面积分别为S1，S2，S3，S4.求同时满足下列三个条件的抛物线解析式：

①

S S S

=+②

S S S

=+③“十字形”ABCD的周长为1210

思路分析：（1）①根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的定义与性质，即可判断菱形，正方形符合题意；②AB=AD且CB≠CD，不能判断AC⊥BD；（2）根据题意先判断AC⊥BD，再过点O作OM⊥AC于点M，ON⊥BD于点N，即可得出OE与AC 2+BD 2的关系，从而得出OE的取值范围.（3）先求出A、B、

C、D四点坐标，从而得出AO、BO、CO、DO、AC、BD

②=a=1，继而求出b=0，再根据③“十字形”ABCD

的周长为求出c=-9，∴y=x2-9.

解答过程：解：（1）①菱形，正方形（它们对角线具有互相垂直的性质）

②不是（当CB=CD时，可用全等证明为筝形，对角线互相垂直）

（2）由题意知∠ADB+∠CBD=∠ABD+∠CDB

∠CBD=∠CAD，∠CDB=∠CAB

∴∠ADB+∠CAD=∠ABD+∠CAB，180°-∠AED=180°-∠AEB

∴∠AED=∠AEB=90°，即AC⊥BD

过点O作OM⊥AC于点M，ON⊥BD于点N，联结OA，OD

则OA=OD=1，OM2=OA2-AM2，ON2=OD2-DN2

AM=

AC，DN=

BD，四边形OMEN为矩形

∴ON=ME，OE2=OM2+ME2

∴OE2=OM2+ON2=2-

（AC2+BD2)

又∵6≤AC2+BD2≤7

∴2-

≤OE2≤2-

∴

≤OE≤

∴

≤OE

（OE>0）

（3）由题A

，0），B(0，c），C

，0），D(0，-ac)

∵a>0，c<0

∴AO

，BO=-c，CO

，DO=-ac，AC

BD=-ac-c

∴S=

AC·BD=-

（ac+c

）

S1=

AO·OB=-

)

c b

S2=

CO·OD=-

)

c b

S3=

AO·OD=-

)

c b

S4=

BO·OC

)

c b

即a=1

∴S

=-S1

)

c b

-，S2

)

c b

∴S=S1+S2

∴

即b=0

∴A0)，B(0，c)

，C0)，D(0，-c) ∴四边形ABCD为菱形

∴4AD

AD AD2=90

又∵AD2=c2-c

∴c2-c=90即(c-10)(c+9）=0 ∴c1=-9，c2=10(舍）

∴y=x2-9

圆的综合大题

二次函数与圆 1、如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ，∠ABC=60o．（1）求⊙O 的直径；（2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切；（3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((<

2、如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，﹣1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）．（1）求此抛物线的解析式（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积．

3、如图，抛物线2 23y x x =-++与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，顶点为D . （1）直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连接BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作 PF DE ∥交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ； ①用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？ ②设BCF △的面积为S ，求S 与m 的函数关系式.

2015中考数学分类汇编圆综合题学生版

2015中考数学真题分类汇编圆综合题一．解答题（共30小题） 1．（2015?大连）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于点E，与AB的延长线相交于点F．（1）求证：EF与⊙O相切；（2）若AB=6，AD=4，求EF的长． 2．（2015?潍坊）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE．（1）求证：直线DF与⊙O相切；（2）若AE=7，BC=6，求AC的长． 3．（2015?枣庄）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：BC2=CD?2OE；（3）若cos∠BAD=，BE=6，求OE的长． 4．（2015?西宁）如图，已知BC为⊙O的直径，BA平分∠FBC交⊙O于点A，D是射线BF上的一点，且满足=，过点O作OM⊥AC于点E，交⊙O于点M，连接BM， AM．（1）求证：AD是⊙O的切线；

（2）若sin∠ABM=，AM=6，求⊙O的半径． 5．（2015?广元）如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦于点E，交⊙O于点F，且CE=CB．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接AF、BF，求∠ABF的度数；（3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求⊙O的半径． 6．（2015?北海）如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED=∠C．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）求证：ED平分∠BEP；（3）若⊙O的半径为5，CF=2EF，求PD的长． 7．（2015?莆田）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC，BD交于点E，点O 在线段AE上，⊙O过B，D两点，若OC=5，OB=3，且cos∠BOE=．求证：CB是⊙O的切线．

中考数学圆综合题汇编

25题汇编 1. 如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，切点为B ，AD 为弦，OC ∥AD 。（1）求证：DC 是⊙O 的切线；（2）若OA=2，求OC AD 的值。 2. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠B=60°，CD 是⊙O 的直径，P 是CD 延长线上的一点，且AP=AC （1）求证：直线AP 是⊙O 的切线；（2）若AC=3，求PD 的长。 3. 如图，已知AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 是⊙O 的两条切线，点E 是⊙ O 上一点，点D 是AM 上一点，连接DE 并延长交BN 于点C ，连接OD 、BE ，且OD ∥BE 。（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若AD=1，BC=4，求直径AB 的长。 D C B A O C B M N E D B A O

4. 如图，△ABC 内接于⊙O ，弦AD ⊥AB 交BC 于点E ，过点B 作⊙O 的切线交DA 的延长线于点F ，且∠ABF=∠ABC 。（1）求证：AB=AC ；（2）若EF=4，2 3 tan = F ，求DE 的长。 5. 在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E 。（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若AE=1，52=BD ，求AB 的长。 6. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，AD 垂直于过点C 的直线，垂足为D ，且AC 平分 ∠BAD 。（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若62=AC ，AD=4，求AB 的长。 A

7. 如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为点D ，AD 交⊙O 于点E 。求证：（1）AC 平分∠DAB ；（2）若∠B=60°，32 CD ，求AE 的长。 8. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AC 是⊙O 的直径，弦BD=BA ，AB=12，BC=5，BE ⊥DC 交DC 的延长线于点E 。（1）求证：BE 是⊙O 的切线；（2）求DE 的长。 9. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，CB=CA=6，半径为2的⊙F 与射线BA 相切于点G ，且AG=4，将Rt △ABC 绕点A 顺时针旋转135°后得到Rt △ADE ，点B 、C 的对应点分别是点D 、E 。（1）求证：DE 为⊙F 的切线；（2）求出Rt △ADE 的斜边AD 被⊙ F 截得的弦PQ 的长度。 A E A D

二次函数和圆综合(压轴题+例题+巩固+答案解析)

【例1】.如图，点()40M ，，以点M 为圆心、2为半径的圆与x 轴交于点A B ，．已知抛物 21 6 y x bx c =++过点A 和B ，与y 轴交于点C ． ⑴ 求点C 的坐标，并画出抛物线的大致图象． ⑵ 点()8Q m ，在抛物线21 6 y x bx c =++上，点P 为此抛物线对称轴上一个动点，求 PQ PB + 最小值． ⑶ CE 是过点C 的M ⊙的切线，点E 是切点，求OE 所在直线的解析式．

【巩固】已知抛物线2y ax bx c =++与y 轴的交点为C ，顶点为M ，直线CM 的解析式 2y x =-+并且线段CM 的长为（1）求抛物线的解析式。（2）设抛物线与x 轴有两个交点A （X 1 ，0）、B （X 2 ，0），且点A 在B 的左侧，求线段AB 的长。（3）若以AB 为直径作⊙N ，请你判断直线CM 与⊙N 的位置关系，并说明理由。【例2】如图，在平面直角坐标系中，以点(04)C ，为圆心，半径为4的圆交y 轴正半轴于点A ， AB 是C ⊙的切线．动点P 从点A 开始沿AB 方向以每秒1个单位长度的速度运动，点Q 从O 点开始沿x 轴正方向以每秒4个单位长度的速度运动，且动点P 、 Q 从点A 和点O 同时出发，设运动时间为t (秒)． ⑴当1t =时，得到1P 、1Q 两点，求经过A 、1P 、1Q 三点的抛物线解析式及对称轴l ；

⑵当t 为何值时，直线PQ 与C ⊙相切？并写出此时点P 和点Q 的坐标； ⑶在⑵的条件下，抛物线对称轴l 上存在一点N ，使NP NQ +最小，求出点N 的坐标并说明理由．提示：（1）先求出t=1时，AP 和OQ 的长，即可求得P 1，Q 1的坐标，然后用待定系数法即可得出抛物线的解析式．进而可求出对称轴l 的解析式．（2）当直线PQ 与圆C 相切时，连接CP ，CQ 则有Rt △CMP ∽Rt △QMC （M 为PG 与圆的切点），因此可设当t=a 秒时，PQ 与圆相切，然后用a 表示出AP ，OQ 的长即PM ，QM 的长（切线长定理）．由此可求出a 的值．（3）本题的关键是确定N 的位置，先找出与P 点关于直线l 对称的点P ′的坐标，连接P ′Q ，那么P ′Q 与直线l 的交点即为所求的N 点，可先求出直线P ′Q 的解析式，进而可求出N 点的坐标．【巩固】已知二次函数图象的顶点在原点O ，对称轴为y 轴．一次函数1y kx =+的图象与二次函数的图象交于A B ，两点(A 在B 的左侧)，且A 点坐标为()44-，．平行于x 轴的直线 l 过()01-，点． ⑴ 求一次函数与二次函数的解析式； ⑵ 判断以线段AB 为直径的圆与直线l 的位置关系，并给出证明； ⑶ 把二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移t 个单位()0t >，二次函数的图象与x

中考数学圆的综合-经典压轴题及答案

中考数学圆的综合-经典压轴题及答案一、圆的综合 1．如图，点A、B、C分别是⊙O上的点， CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，AP=AC．（1）若∠B=60°，求证：AP是⊙O的切线；（2）若点B是弧CD的中点，AB交CD于点E，CD=4，求BE·AB的值．【答案】（1）证明见解析；（2）8．【解析】（1）求出∠ADC的度数，求出∠P、∠ACO、∠OAC度数，求出∠OAP=90°，根据切线判定推出即可；（2）求出BD长，求出△DBE和△ABD相似，得出比例式，代入即可求出答案．试题解析：连接AD，OA， ∵∠ADC=∠B，∠B=60°， ∴∠ADC=60°， ∵CD是直径， ∴∠DAC=90°， ∴∠ACO=180°-90°-60°=30°， ∵AP=AC，OA=OC， ∴∠OAC=∠ACD=30°，∠P=∠ACD=30°， ∴∠OAP=180°-30°-30°-30°=90°，即OA⊥AP， ∵OA为半径， ∴AP是⊙O切线．（2）连接AD，BD，

∵CD是直径， ∴∠DBC=90°， ∵CD=4，B为弧CD中点， ∴BD=BC=， ∴∠BDC=∠BCD=45°， ∴∠DAB=∠DCB=45°，即∠BDE=∠DAB， ∵∠DBE=∠DBA， ∴△DBE∽△ABD， ∴， ∴BE?AB=BD?BD=．考点：1．切线的判定；2．相似三角形的判定与性质． 2．如图，已知△ABC内接于⊙O，BC交直径AD于点E，过点C作AD的垂线交AB的延长线于点G，垂足为F．连接OC．（1）若∠G=48°，求∠ACB的度数；（2）若AB=AE，求证：∠BAD=∠COF；（3）在（2）的条件下，连接OB，设△AOB的面积为S1，△ACF的面积为S2．若 tan∠CAF= 1 2，求1 2 S S的值．【答案】（1）48°（2）证明见解析（3）3 4

中考数学专题复习圆的综合的综合题

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，点P在⊙O的直径AB的延长线上，PC为⊙O的切线，点C为切点，连接AC，过点A作PC的垂线，点D为垂足，AD交⊙O于点E． (1)如图1，求证：∠DAC=∠PAC； (2)如图2，点F（与点C位于直径AB两侧）在⊙O上，BF FA =，连接EF，过点F作AD 的平行线交PC于点G，求证：FG=DE+DG； (3)在(2)的条件下，如图3，若AE=2 3 DG，PO=5，求EF的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF=32．【解析】【分析】（1）连接OC，求出OC∥AD，求出OC⊥PC，根据切线的判定推出即可；（2）连接BE交GF于H，连接OH，求出四边形HGDE是矩形，求出DE=HG，FH=EH，即可得出答案；（3）设OC交HE于M，连接OE、OF，求出∠FHO=∠EHO=45°，根据矩形的性质得出 EH∥DG，求出OM=1 2 AE，设OM=a，则HM=a，AE=2a，AE= 2 3 DG，DG=3a，求出ME=CD=2a，BM=2a，解直角三角形得出tan∠MBO＝ 1 2 MO BM =，tanP= 1 2 CO PO =,设 OC=k，则PC=2k，根据OP=5k=5求出k=5，根据勾股定理求出a，即可求出答案．【详解】（1）证明：连接OC， ∵PC为⊙O的切线，

∴OC⊥PC， ∵AD⊥PC， ∴OC∥AD， ∴∠OCA=∠DAC， ∵OC=OA， ∴∠PAC=∠OCA， ∴∠DAC=∠PAC；（2）证明：连接BE交GF于H，连接OH， ∵FG∥AD， ∴∠FGD+∠D=180°， ∵∠D=90°， ∴∠FGD=90°， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠BEA=90°， ∴∠BED=90°， ∴∠D=∠HGD=∠BED=90°， ∴四边形HGDE是矩形， ∴DE=GH，DG=HE，∠GHE=90°， ∵BF AF =， ∴∠HEF=∠FEA=1 2 ∠BEA=190 2 o ?=45°， ∴∠HFE=90°﹣∠HEF=45°， ∴∠HEF=∠HFE， ∴FH=EH， ∴FG=FH+GH=DE+DG；（3）解：设OC交HE于M，连接OE、OF， ∵EH=HF，OE=OF，HO=HO， ∴△FHO≌△EHO， ∴∠FHO=∠EHO=45°，

-圆与二次函数综合题精练(带答案)教学文案

圆与二次函数综合题 1、已知：二次函数y=x2-kx+k+4的图象与y轴交于点c，且与x轴的正半轴交于A、B两点（点A 在点B左侧）。若A、B两点的横坐标为整数。（1）确定这个二次函数的解析式并求它的顶点坐标；（2）若点D的坐标是(0,6），点P（t,0)是线段AB上的一个动点，它可与点A重合，但不与点B重合。设四边形PBCD的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）若点P与点A重合，得到四边形ABCD，以四边形ABCD的一边为边，画一个三角形，使它的面积等于四边形ABCD的面积，并注明三角形高线的长。再利用“等底等高的三角形面积相等”的知识，画一个三角形，使它的面积等于四边形ABCD的面积（画示意图，不写计算和证明过程）。 2、（1）已知：关于x、y的方程组有两个实数解，求m的取值范围； (2）在（1）的条件下，若抛物线y=-(m-1)x2+(m-5)x+6与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且△ABC的面积等于12，确定此抛物线及直线y=(m+1)x-2的解析式；（3）你能将（2）中所得的抛物线平移，使其顶点在（2）中所得的直线上吗？请写出一种平移方法。 3、已知：二次函数y=x2-2(m-1)x+m2-2m-3，其中m为实数。（1）求证：不论m取何实数，这个二次函数的图像与x轴必有两个交点；（2）设这个二次函数的图像与x轴交于点A(x1,0)、B(x2,0),且x1、x2的倒数和为,求这个二次函数的解析式。 4、已知二次函数y1=x2-2x-3. (1)结合函数y1的图像，确定当x取什么值时，y1>0,y1=0,y1<0; (2)根据（1）的结论，确定函数y2= (|y1|-y1)关于x的解析式；（3）若一次函数y=kx+b(k 0)的图像与函数y2的图像交于三个不同的点，试确定实数k与b应满足的条件。 5、已知：如图，直线y= x+ 与x轴、y轴分别交于A、B两点，⊙M经过原点O及A、B两点。（1）求以OA、OB两线段长为根的一元二次方程；（2）C是⊙M上一点，连结BC交OA于点D，若∠COD=∠CBO, 写出经过O、C、A三点的二次函数的解析式；（3）若延长BC到E，使DE=2,连结EA，试判断直线EA与 ⊙M的位置关系，并说明理由。（河南省） 6、如图，已知点A（tan ,0）B(tan ,0)在x轴正半轴上，点A在点B的左边，、是以线段AB为斜边、顶点C在x轴上方的Rt△ABC的两个锐角。（1）若二次函数y=-x2- 5/2kx+(2+2k-k2)的图像经过A、B两点，求它的解析式；（2）点C在（1）中求出的二次函数的图像上吗？请说明理由。（陕西省）

中考数学综合题专题【圆】专题训练含答案

中考数学综合题专题【圆】专题训练含答案一、选择题 1．（北京市西城区）如图，BC 是⊙O 的直径，P 是CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于（）（A ） 15 （B ） 30 （C ） 45 （D ） 60 2．（北京市西城区）如果圆柱的高为20厘米，底面半径是高的 41，那么这个圆柱的侧面积是（）（A ）100π平方厘米（B ）200π平方厘米（C ）500π平方厘米（D ）200平方厘米 3．（北京市西城区）“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱《九章算术》中的一个问题，“今在圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是：“如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，CE ＝1寸，AB ＝寸，求直径CD 的长”．依题意，CD 长为（）（A ）2 25寸（B ）13寸（C ）25寸（D ）26寸 4．（北京市朝阳区）已知：如图，⊙O 半径为5，PC 切⊙O 于点C ，PO 交⊙O 于点A ，PA ＝4，那么PC 的长等于（）（A ）6 （B ）25 （C ）210 （D ）214 5．（北京市朝阳区）如果圆锥的侧面积为20π平方厘米，它的母线长为5厘米，那么此圆锥的底面半径的长等于（）（A ）2厘米（B ）22厘米（C ）4厘米（D ）8厘米 6．（天津市）相交两圆的公共弦长为16厘米，若两圆的半径长分别为10厘米和17厘米，则这两圆的圆心距为（）（A ）7厘米（B ）16厘米（C ）21厘米（D ）27厘米 7．（重庆市）如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝ 90，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，DC ＝1，，则⊙O 的半径等于（）

人教中考数学圆的综合综合题汇编及详细答案

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，AB 是半圆的直径，过圆心O 作AB 的垂线，与弦AC 的延长线交于点D ，点E 在OD 上DCE B ∠=∠．（1）求证：CE 是半圆的切线；（2）若CD=10，2 tan 3 B = ，求半圆的半径．【答案】（1）见解析；(2)413 【解析】分析: （1）连接CO ，由DCE B ∠=∠且OC=OB,得DCE OCB ∠=∠,利用同角的余角相等判断出∠BCO+∠BCE=90°，即可得出结论；（2）设AC=2x ，由根据题目条件用x 分别表示出OA 、AD 、AB ，通过证明△AOD ∽△ACB ，列出等式即可. 详解：（1）证明：如图，连接CO . ∵AB 是半圆的直径， ∴∠ACB =90°. ∴∠DCB =180°-∠ACB =90°. ∴∠DCE+∠BCE=90°. ∵OC =OB , ∴∠OCB =∠B. ∵=DCE B ∠∠， ∴∠OCB =∠DCE . ∴∠OCE =∠DCB =90°. ∴OC ⊥CE . ∵OC 是半径， ∴CE 是半圆的切线. （2）解：设AC =2x ，

∵在Rt △ACB 中，2 tan 3 AC B BC ==, ∴BC =3 x . ∴()() 22 2313AB x x x = +=. ∵OD ⊥AB , ∴∠AOD =∠A CB=90°. ∵∠A =∠A ， ∴△AOD ∽△ACB . ∴ AC AO AB AD =. ∵1132OA AB x = =，AD =2x +10, ∴ 1 132210 13x x x = +. 解得 x =8. ∴13 8413OA = ?=. 则半圆的半径为413. 点睛：本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，相似三角形. 2．如图，在平面直角坐标系xoy 中，E （8,0），F(0 , 6)．（1）当G(4，8)时，则∠FGE= ° （2）在图中的网格区域内找一点P ，使∠FPE=90°且四边形OEPF 被过P 点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形．要求：写出点P 点坐标，画出过P 点的分割线并指出分割线（不必说明理由，不写画法）．【答案】（1）90；（2）作图见解析，P （7，7），PH 是分割线．【解析】试题分析：（1）根据勾股定理求出△FEG 的三边长，根据勾股定理逆定理可判定△FEG 是直角三角形，且∠FGE="90" °．（2）一方面，由于∠FPE=90°，从而根据直径所对圆周角直角的性质，点P 在以EF 为直径

初中中招二次函数和圆的综合体包含答案

二次函数和圆【例题1】 (芜湖市) 已知圆P 的圆心在反比例函数k y x = (1)k >图象上，并与x 轴相交于A 、B 两点．且始终与y 轴相切于定点C (0，1)． (1) 求经过A 、B 、C 三点的二次函数图象的解析式; (2) 若二次函数图象的顶点为D ，问当k 为何值时，四边形ADBP 为菱形．【例题2】(湖南省韶关市) 25.如图6，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，OA=4，AB=2，直线32 y x =-+ 与坐标轴交于D 、E 。设M 是AB 的中点，P 是线段DE 上的动点. （1）求M 、D 两点的坐标；（2）当P 在什么位置时，PA=PB ？求出此时P 点的坐标；（3）过P 作PH ⊥BC ，垂足为H ，当以PM 为直径的⊙F 与BC 相切于点N 时，求梯形PMBH 的面积.

【例题3】(甘肃省白银等7市新课程)28. 在直角坐标系中，⊙A的半径为4，圆心A的坐标为（2，0），⊙A与x轴交于E、F两点，与y轴交于C、D两点，过点C作⊙A的切线BC，交x轴于点B．（1）求直线CB的解析式；（2）若抛物线y=ax2+b x+c的顶点在直线BC上，与x 轴的交点恰为点E、F，求该抛物线的解析式；（3）试判断点C是否在抛物线上？（4）在抛物线上是否存在三个点，由它构成的三角形与 △AOC相似？直接写出两组这样的点．【例题4】（绵阳市）25.如图，已知抛物线y = ax2 + bx－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为5．设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E．（1）求m的值及抛物线的解析式；（2）设∠DBC = α，∠CBE = β，求sin（α－β）的值；（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【例题5】（南充市）25.如图，点M（4，0），以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A、B．已

中考数学圆的综合综合经典题及详细答案

中考数学圆的综合综合经典题及详细答案一、圆的综合 1．如图，四边形OABC 是平行四边形，以O 为圆心，OA 为半径的圆交AB 于D ，延长AO 交O 于E ，连接CD ，CE ，若CE 是⊙O 的切线，解答下列问题：（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若BC=4，CD=6，求平行四边形OABC 的面积．【答案】（1）证明见解析（2）24 【解析】试题分析：（1）连接OD ，求出∠EOC=∠DOC ，根据SAS 推出△EOC ≌△DOC ，推出∠ODC=∠OEC=90°，根据切线的判定推出即可；（2）根据切线长定理求出CE=CD=4，根据平行四边形性质求出OA=OD=4，根据平行四边形的面积公式=2△COD 的面积即可求解．试题解析：（1）证明：连接OD ， ∵OD=OA ， ∴∠ODA=∠A ， ∵四边形OABC 是平行四边形， ∴OC ∥AB ， ∴∠EOC=∠A ，∠COD=∠ODA ， ∴∠EOC=∠DOC ，在△EOC 和△DOC 中， OE OD EOC DOC OC OC =?? ∠=∠??=? ∴△EOC ≌△DOC （SAS ）， ∴∠ODC=∠OEC=90°，即OD ⊥DC ， ∴CD 是⊙O 的切线；（2）由（1）知CD 是圆O 的切线， ∴△CDO 为直角三角形， ∵S △CDO = 1 2 CD?OD ，又∵OA=BC=OD=4，

∴S△CDO=1 2 ×6×4=12， ∴平行四边形OABC的面积S=2S△CDO=24． 2．如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B（﹣33，O），C（3，O）．（1）求⊙M的半径；（2）若CE⊥AB于H，交y轴于F，求证：EH=FH．（3）在（2）的条件下求AF的长．【答案】（1）4；（2）见解析;（3）4．【解析】【分析】（1）过M作MT⊥BC于T连BM，由垂径定理可求出BT的长，再由勾股定理即可求出BM的长；（2）连接AE，由圆周角定理可得出∠AEC=∠ABC，再由AAS定理得出△AEH≌△AFH，进而可得出结论；（3）先由（1）中△BMT的边长确定出∠BMT的度数，再由直角三角形的性质可求出CG 的长，由平行四边形的判定定理判断出四边形AFCG为平行四边形，进而可求出答案．【详解】（1）如图（一），过M作MT⊥BC于T连BM， ∵BC是⊙O的一条弦，MT是垂直于BC的直径， ∴BT=TC=1 2 3 ∴124 ；（2）如图（二），连接AE，则∠AEC=∠ABC，∵CE⊥AB， ∴∠HBC+∠BCH=90°

专题63 构造圆与隐形圆在二次函数中的综合问题(解析版)

专题63 构造圆与隐形圆在二次函数中的综合问题 1、如图，在直角坐标系中，直线y=﹣1 3x ﹣1与x 轴，y 轴的交点分别为A 、B ，以x=﹣1为对称轴的抛物线 y=x 2+bx+c 与x 轴分别交于点A 、C ，直线x=﹣1与x 轴交于点D ．（1）求抛物线的解析式；（2）在线段AB 上是否存在一点P ，使以A ，D ，P 为顶点的三角形与△AOB 相似？若存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）若点Q 在第三象限内，且tan△AQD=2，线段CQ 是否存在最小值，如果存在直接写出最小值；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）y=x 2+2x ﹣3；（2）存在；点P 坐标为（﹣1，?23 ）或（-65 ，-3 5 ）；（3）存在，CQ 最小值为 √37?√5 2 . 【解析】（1）△直线y=﹣1 3x ﹣1与x 轴交于A 点， △点A 坐标为（﹣3，0），又△直线x=﹣1为对称轴， △点C 坐标为（1，0）， △抛物线解析式为：y=（x+3）（x ﹣1）=x 2+2x ﹣3；（2）存在；

由已知，点D 坐标为（﹣1，0），点B 坐标为（0，﹣1），设点P 的坐标为（a ，﹣13 a ﹣1）， △当△AOB△△ADP 时， AD AO = DP OB ，即23 = 1 3 a+11 ，解得：a=﹣1；点P 坐标为（﹣1，?2 3）； △当△AOB△△APD 时，过点P 作PE△x 轴于点E ，则△APE△△PED ， △PE 2=AE?ED ， △（﹣1 3a ﹣1）2=（a+3）（﹣a ﹣1），解得a 1=﹣3（舍去），a 2=﹣6 5， △点P 坐标为（﹣6 5 ，﹣3 5 ）；（3）存在，CQ 最小值为 √37?√5 2 ；如图，取点F （﹣1，﹣1），过点ADF 作圆，则点E （﹣2，﹣1 2）为圆心，

圆与二次函数综合练习

圆与二次函数综合题 1.已知圆P 的圆心在反比例函数k y x =(1)k >图象上，并与x 轴相交于A 、B 两点．且始终与y 轴相切于定点C (0，1)． (1) 求经过A 、B 、C 三点的二次函数图象的解析式; (2) 若二次函数图象的顶点为 D ，问当k 为何值时，四边形ADBP 为菱形． 2.如图6，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，OA=4，AB=2，直线32 y x =-+ 与坐标轴交于D 、E 。设M 是AB 的中点，P 是线段DE 上的动点. （1）求M 、D 两点的坐标；（2）当P 在什么位置时，PA=PB ？求出此时P 点的坐标；（3）过P 作PH ⊥BC ，垂足为H ，当以PM 为直径的⊙F 与BC 相切于点N 时，求梯形PMBH 的面积. （3）（2） 3.如图，已知抛物线y = ax 2 + bx －3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，经过A 、B 、 C 三点的圆的圆心M （1，m ）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M 的半径为5．设⊙M 与y 轴交于D ，抛物线的顶点为E ．（1）求m 的值及抛物线的解析式；（2）设∠DBC = α，∠CBE = β，求sin （α－β）的值；

（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4.如图，点P在y轴上，半径为3的⊙P分别交x轴于A、B两点，AB=4，交y轴负半轴于点C，连接AP并延长交⊙P于点D，过D作⊙P的切线分别交x轴、y轴于点F、G；（1）求直线FG的解析式；（2）连接CD交AB于点E，求PCD ∠ tan的值；（3）设M是劣弧BC上的一个动点，连接DM交x轴于点N，问：是否存在这样的一个常数k，始终满足AN·AB+DN·DM=K，如果存在，请求出K的值，如果不存在，请说明理由；（图1）（图2） 5.已知：如图，抛物线2 33 y x x =--x轴分别交于A B ，两点，与y轴交于C点，M经过原点O及点A C ，，点D是劣弧OA上一动点（D点与A O ，不重合）．（1）求抛物线的顶点E的坐标；（2）求M的面积；（3）连CD交AO于点F，延长CD至G，使2 FG=，试探究当点D运动到何处时，直线GA与M相切，并请说明理由． 6.(0) A m，(0) m<，以AB为边在x轴下方作正方形ABCD，点E是线段OD与正方形ABCD的外接圆除点D以外的另一个交点，连结BE与AD相交于点F．（1）求证：BF DO =；（2）设直线l是BDO △的边BO的垂直平分线，且与BE相交于点G．若G是BDO △的

中考数学圆的综合提高练习题压轴题训练附详细答案

中考数学圆的综合提高练习题压轴题训练附详细答案一、圆的综合 1．如图，点P在⊙O的直径AB的延长线上，PC为⊙O的切线，点C为切点，连接AC，过点A作PC的垂线，点D为垂足，AD交⊙O于点E． (1)如图1，求证：∠DAC=∠PAC； (2)如图2，点F（与点C位于直径AB两侧）在⊙O上，?? BF FA =，连接EF，过点F作AD 的平行线交PC于点G，求证：FG=DE+DG； (3)在(2)的条件下，如图3，若AE=2 3 DG，PO=5，求EF的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF=32．【解析】【分析】（1）连接OC，求出OC∥AD，求出OC⊥PC，根据切线的判定推出即可；（2）连接BE交GF于H，连接OH，求出四边形HGDE是矩形，求出DE=HG，FH=EH，即可得出答案；（3）设OC交HE于M，连接OE、OF，求出∠FHO=∠EHO=45°，根据矩形的性质得出 EH∥DG，求出OM=1 2 AE，设OM=a，则HM=a，AE=2a，AE= 2 3 DG，DG=3a，求出ME=CD=2a，BM=2a，解直角三角形得出tan∠MBO＝ 1 2 MO BM =，tanP= 1 2 CO PO =,设 OC=k，则PC=2k，根据OP=5k=5求出k=5，根据勾股定理求出a，即可求出答案．【详解】（1）证明：连接OC， ∵PC为⊙O的切线，

∴OC⊥PC， ∵AD⊥PC， ∴OC∥AD， ∴∠OCA=∠DAC， ∵OC=OA， ∴∠PAC=∠OCA， ∴∠DAC=∠PAC；（2）证明：连接BE交GF于H，连接OH， ∵FG∥AD， ∴∠FGD+∠D=180°， ∵∠D=90°， ∴∠FGD=90°， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠BEA=90°， ∴∠BED=90°， ∴∠D=∠HGD=∠BED=90°， ∴四边形HGDE是矩形， ∴DE=GH，DG=HE，∠GHE=90°， ∵?? BF AF =， ∴∠HEF=∠FEA=1 2 ∠BEA=190 2 o ?=45°， ∴∠HFE=90°﹣∠HEF=45°， ∴∠HEF=∠HFE， ∴FH=EH， ∴FG=FH+GH=DE+DG；（3）解：设OC交HE于M，连接OE、OF， ∵EH=HF，OE=OF，HO=HO， ∴△FHO≌△EHO， ∴∠FHO=∠EHO=45°，

中考专题：圆与二次函数结合题

中考专题：圆与函数综合题 1、如图，平面直角坐标系中，以点C （22为半径的圆与轴交于A 、B 两点．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）若二次函数2y x bx c =++的图象经过点A 、B ，试确定此二次函数的解析式． 2、如图，半径为2的⊙C 与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的正半轴交于点B ，点C 的坐标为（1， 0）．若抛物线2 3 y x bx c =++过A 、B 两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点P ，使得∠PBO=∠POB ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在说明理由；（3）若点M 是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB 的面积为S ，求S 的最大（小）值．

3、如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴为轴，且经过（0,01 16 ）两点，点P 在抛物线上运动，以P 为圆心的⊙P 经过定点A （0,2）， (1)求a,b,c 的值； (2)求证：点P 在运动过程中，⊙P 始终与轴相交；（3）设⊙P 与轴相交于M ()1x ,0，N ()()21 2x ,0x x 两点，当△AMN 为等腰三角形时，求圆心P 的纵坐标。 4、如图，二次函数y =x 2 +bx －3b +3的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），交y 轴于点C ，且经过点（b －2，2b 2 －5b －1）. （1）求这条抛物线的解析式；（2）⊙M 过A 、B 、C 三点，交y 轴于另一点D ，求点M 的坐标；（3）连接AM 、DM ，将∠AMD 绕点M 顺时针旋转，两边MA 、MD 与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ，若△DMF 为等腰三角形，求点E 的坐标.

初三数学中考专题复习二次函数和圆专题综合检测

2019 初三数学中考专题复习二次函数和圆专题综合检测 1.下列关系式中，属于二次函数的是(x 为自变量)( ) ＝18x 2 ＝－x 2 －1 ＝1x 2 ＝a 4x 4 2.抛物线y ＝2x 2 ，y ＝－2x 2 ，y ＝12 x 2 的共同性质是( ) A.开口向上 B.对称轴是y 轴 C.都有最高点随x 的增大而增大 3.若二次函数y ＝(x －m)2－1，当x≤1时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是( ) ＝1 ＞1 ≥1 ≤1 4.如图，AB 是⊙O 的直径.若∠BAC ＝35°，那么∠ADC ＝( ) ° ° ° ° 5.在同圆中，下列四个命题：①圆心角是顶点在圆心的角；②两个圆心角相等，它们所对的弦也相等；③两条弦相等，它们所对的弧也相等；④等弧所对的圆心角相等.其中真命题有( ) 个个个个 6.如图，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于E ，连接BC 、BD.下列结论错误的是( ) ＝BE B. ＝DE D. .∠DBC ＝90° 7.如图，AD 、AE 、CB 均为⊙O 的切线，D 、E 、F 分别是切点，AD ＝8，则△ABC 的周长为( )

D.不能确定 8.如果二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，那么一次函数y ＝bx ＋c 和反比例函数y ＝b x 在同一坐标系中的图象大致是( ) 9.如图，圆形薄铁片与直角三角尺、直尺紧靠在一起平放在桌面上.已知铁片的圆心为O ，三角尺的直角顶点C 落在直尺的10cm 处，铁片与直尺的唯一公共点A 落在直尺的14cm 处，铁片与三角尺的唯一公共点为B.下列说法错误的是( ) A.圆形铁片的半径是4cm B.四边形AOBC 为正方形 C.弧AB 的长度为4πcm D.扇形OAB 的面积是4πcm 2 10.已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象如图所示，并且关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c －m ＝0有两个不相等的实数根，下列结论：①b 2－4ac ＜0；②abc ＞0；③a －b ＋c ＜0；④m ＞－2，其中正确的个数有( ) 11.如图，扇形OAB 的圆心角为120°，半径为3，则该扇形的弧长为 (结果保留π).

中考数学圆综合练习题含答案

数学中考圆综合题附参考答案 1．如图，△ABC 中，以BC 为直径的圆交AB 于点D ，∠ACD =∠ABC ．（1）求证：CA 是圆的切线；（2）若点E 是BC 上一点，已知BE =6，tan ∠ABC = 32，tan ∠AEC =3 5 ，求圆的直径． 2. 如图右，已知直线PA 交⊙0于A 、B 两点，AE 是⊙0的直径．点C 为⊙0上一点，且AC 平分∠PAE ，过C 作CD ⊥PA ，垂足为D 。 (1)求证：CD 为⊙0的切线； (2)若DC+DA=6，⊙0的直径为l0，求AB 的长度. 1. (1)证明：连接OC, ∵点C 在⊙0上，0A=OC,∴∠OCA=∠OAC ，∵CD ⊥PA ，∴∠CDA=90°，有∠CAD+∠DCA=90°，∵AC 平分∠PAE ，∴∠DAC=∠CAO 。 ∴∠DC0=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°。又∵点C 在⊙O 上，OC 为⊙0的半径，∴CD 为⊙0的切线． (2)解：过0作0F ⊥AB ，垂足为F ，∴∠OCA=∠CDA=∠OFD=90°， ∴四边形OCDF 为矩形，∴0C=FD ，OF=CD. ∵DC+DA=6，设AD=x ，则OF=CD=6-x ，∵⊙O 的直径为10，∴DF=OC=5，∴AF=5-x ，在Rt △AOF 中，由勾股定理得222AF +OF =OA .即22(5)(6)25x x -+-=，化简得：211180x x -+= 解得2x =或9x =。由AD

中考中二次函数与圆综合题

ＤＡＣＰＣＢＯＣx y 如图，点P 在y 轴上，⊙P 轴于A B ，两点，连结BP 并延长交⊙P 于C ，过点C 的直线2y x b =+交x 轴于D ，且⊙P 的半径为5，4AB =．（1）求点B P C ，，的坐标；（2）求证：CD 是⊙P 的切线；（3）若二次函数2(1)6y x a x =-+++的图象经过点B ，求这个二次函数的解析式，并写出使二次函数值小于一次函数2y x b =+值的x 的取值范围．如图，已知抛物线y = ax 2 + bx －3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，经过A 、B 、C 三点的圆的圆心M （1，m ）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M 的半径为5．设⊙M 与y 轴交于D ，抛物线的顶点为E ．（1）求m 的值及抛物线的解析式；（2）设∠DBC = α，∠CBE = β，求sin （α－β）的值；（3）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，请指出点P 的位置，并直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，点M （4，0），以点M 为圆心、2为半径的圆与x 轴交于点A 、B ．已知抛物线 216 y x bx c =++ 过点A 和B ，与y 轴交于点C ．（1）求点C 的坐标，并画出抛物线的大致图象．（2）点Q （8，m ）在抛物线216y x bx c = ++上，点P 为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ ＋PB 的最小值．（3）CE 是过点C 的⊙M 的切线，点E 是切点，求OE 所在直线的解析式．如图，已知)212 5,31(),0,1(B A 为直角坐标系内两点，点C 在x 轴上，且OA OC 2=，以A 点为圆心，OA 为半径作⊙A 。直线CD 切⊙O 于D 点，连结OD 。（1）求点D 的坐标；（2）求经过O 、B 、D 三点的抛物线的解析式；（3）判断在（2）中所得的抛物线上是否存在一点P ，使DCP ?∽OCD ?？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由。

2020中考数学专题练习：圆的综合题(含答案)

2020中考数学专题练习：圆的综合题（含答案）类型一与全等结合 1. 如图，⊙O 的直径AB ＝4，C 为⊙O 上一点，AC ＝ 2.过点C 作⊙O 的切线DC ，P 点为优弧CBA ︵上一动点(不与A 、C 重合)． (1)求∠APC 与∠ACD 的度数； (2)当点P 移动到劣弧CB ︵的中点时，求证：四边形OBPC 是菱形； (3)当PC 为⊙O 的直径时，求证：△APC 与△ABC 全等．第1题图 (1)解：∵AC ＝2，OA ＝OB ＝OC ＝1 2 AB ＝2，

∴AC ＝OA ＝OC ， ∴△ACO 为等边三角形， ∴∠AOC ＝∠ACO ＝∠OAC ＝60°， ∴∠APC ＝1 2∠AOC ＝30°，又∵DC 与⊙O 相切于点C ， ∴OC ⊥DC ， ∴∠DCO ＝90°， ∴∠ACD ＝∠DCO －∠ACO ＝90°－60°＝30°；第1题解图 (2)证明：如解图，连接PB ，OP ， ∵AB 为直径，∠AOC ＝60°， ∴∠COB ＝120°，当点P 移动到CB ︵的中点时，∠COP ＝∠POB ＝60°， ∴△COP 和△BOP 都为等边三角形，

∴OC ＝CP ＝OB ＝PB ， ∴四边形OBPC 为菱形； (3)证明：∵CP 与AB 都为⊙O 的直径， ∴∠CAP ＝∠ACB ＝90°，在Rt △ABC 与Rt △CPA 中， ? ????AB ＝CP AC ＝AC ， ∴Rt △ABC ≌Rt △CPA (HL)． 2. 如图，AB 为⊙O 的直径，CA 、CD 分别切⊙O 于点A 、D ，CO 的延长线交⊙O 于点M ，连接BD 、DM . (1)求证：AC ＝DC ； (2)求证：BD ∥CM ； (3)若sin B ＝4 5 ，求cos ∠BDM 的值．第2题图 (1)证明：如解图，连接OD ，

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