中考数学圆与相似综合题汇编含答案
一、相似
1．如图，在□ ABCD中，对角线 AC、 BD 相交于点O，点 E、 F 是 AD 上的点，且AE=EF=FD.
连结 BE、 BF。使它们分别与AO 相交于点G、 H
（1）求 EG： BG 的值
（2）求证： AG=OG
（3）设 AG =a ,GH =b，HO =c，求 a : b : c 的值
【答案】（1）解：∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴AO=AC， AD=BC， AD∥ BC，
∴△ AEG∽ △CBG，
∴==．
∵AE=EF=FD，∴BC=AD=3AE，
∴GC=3AG， GB=3EG，
∴EG： BG=1： 3
（2）解：∵GC=3AG（已证），
∴AC=4AG，
∴AO=AC=2AG，
∴GO=AO﹣ AG=AG
（3）解：∵ AE=EF=FD，
∴BC=AD=3AE，AF=2AE．∵AD∥ BC，
∴△ AFH∽ △ CBH，
∴===，
∴= ，即 AH=
AC．∵AC=4AG，
∴a=AG=AC，
b=AH﹣AG= AC﹣AC=AC，
c=AO﹣AH= AC﹣AC=AC，
∴a： b： c=：：=5：3： 2
【解析】【分析】（ 1）根据平行四边形的性质可得AO= AC， AD=BC， AD∥BC，从而可证
得△ AEG∽ △CBG，得出对应边成比例，由 AE=EF=FD可得 BC=3AE，就可证得 GB=3EG，即可求出 EG： BG 的值。
（2）根据相似三角形的性质可得 GC=3AG，就可证得 AC=4AG，从而可得 AO=2AG，即可证得结论。
（3）根据平行可证得三角形相似，再根据相似三角形的性质可得AG= AC， AH= AC，结合AO= AC，即可得到用含AC 的代数式分别表示出a、 b、 c，就可得到a： b： c 的值。
2．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+与x轴、y轴分别交于点B、 A，与直线
y=相交于点C．动点 P 从 O 出发在 x 轴上以每秒 5 个单位长度的速度向 B 匀速运动，点Q 从 C 出发在 OC 上以每秒 4 个单位长度的速度，向 O 匀速运动，运动时间为 t 秒（ 0＜ t ＜2）．
（1）直接写出点 C 坐标及 OC、 BC 长；
（2）连接 PQ，若△ OPQ 与△OBC 相似，求 t 的值；
（3）连接 CP、 BQ，若 CP⊥ BQ，直接写出点 P 坐标．
【答案】（1）解：对于直线y=﹣x+，令x=0，得到y=，
∴A（0，），
令 y=0，则 x=10，
∴B（ 10，0），
由，解得，
∴C（，）．
∴OC==8，
BC==10
（2）解：①当时，△ OPQ∽ △OCB，
∴，
∴t=．
②当时，△ OPQ∽ △ OBC，
∴，
∴t=1 ，
综上所述， t 的值为或1s时，△ OPQ与△ OBC相似（3）解：如图作PH⊥ OC于 H．
∵OC=8， BC=6， OB=10，
∴OC2+BC2=OB2，
∴∠ OCB=90 ，°
∴当∠ PCH=∠ CBQ时，
PC⊥BQ．∵∠PHO=∠BCO=90 ，°
∴PH∥ BC，
∴，
∴，
∴P H=3t， OH=4t，
∴t an ∠ PCH=tan∠ CBQ，
∴，
∴t=或0（舍弃），
∴t=s 时， PC⊥ BQ．
【解析】【分析】（ 1）根据直线与坐标轴交点的坐标特点求出A,B 点的坐标，解联立直线AB,与直线OC 的解析式组成的方程组，求出 C 点的坐标，根据两点间的距离公式即可直接
算出 OC,OB的长；
（2 ）根据速度乘以时间表示出OP=5t， CQ=4t， OQ=8-4t，①当 OP∶OC=OQ∶ OB 时，
△OPQ∽△ OCB，根据比例式列出方程，求解得出t 的值；②当 OP∶ OB=OQ∶OC 时，
△OPQ∽△ OBC，根据比例式列出方程，求解得出t 的值，综上所述即可得出t 的值；
（ 3 ）如图作PH⊥ OC 于H ．根据勾股定理的逆定理判断出∠ OCB=90°，从而得出当
∠PCH=∠CBQ 时， PC⊥ BQ．根据同位角相等二直线平行得出PH∥BC，根据平行线分线段
成比例定理得出OP∶ OB=PH∶BC=OH∶ OC,根据比例式得出PH=3t， OH=4t，根据等角的同名三角函数值相等及正切函数的定义，由tan∠ PCH=tan∠ CBQ，列出方程，求解得出t的值，经检验即可得出答案。
3．已知直线 y=kx+b 与抛物线y=ax2（ a＞0）相交于 A、 B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与y 轴正半轴相交于点 C，过点 A 作 AD⊥ x 轴，垂足为 D．
（1）若∠ AOB=60°， AB∥ x 轴， AB=2，求 a 的值；
（2）若∠ AOB=90°，点 A 的横坐标为﹣ 4， AC=4BC，求点 B 的坐标；
（3）延长 AD、 BO 相交于点 E，求证： DE=CO．
【答案】（ 1）解：如图1，
∵抛物线 y=ax2的对称轴是y 轴，且 AB∥ x 轴，
∴A 与 B 是对称点， O 是抛物线的顶点，
∴OA=OB，
∵∠ AOB=60 ，°
∴△ AOB 是等边三角形，
∵A B=2， AB⊥ OC，
∴A C=BC=1，∠ BOC=30 ，°
∴O C=，
∴A（-1，），
把 A（ -1，）代入抛物线y=ax2（ a＞ 0）中得： a=；
（2）解：如图 2，过 B 作 BE⊥ x 轴于 E，过 A 作 AG⊥ BE，交 BE 延长线于点 G，交 y 轴于F，
∵C F∥ BG，
∴，
∵A C=4BC，
∴=4，
∴A F=4FG，
∵A 的横坐标为 -4，
∴B 的横坐标为1，
∴A（-4， 16a）， B（ 1， a），
∵∠ AOB=90 ，°
∴∠ AOD+∠ BOE=90 ，°
∵∠ AOD+∠ DAO=90 ，°
∴∠ BOE=∠DAO，
∵∠ ADO=∠ OEB=90 ，°
∴△ ADO∽ △ OEB，
∴，
∴，
∴16a2=4，
a=±，
∵a＞ 0，
∴a= ；
∴B（ 1，）；
（3）解：如图 3，
设 AC=nBC，
由（ 2）同理可知： A 的横坐标是 B 的横坐标的n 倍，则设 B（m， am2），则 A（ -mn ， am2n 2），
∴AD=am2n 2，
过 B 作 BF⊥ x 轴于 F，
∴DE∥BF，
∴△ BOF∽ △ EOD，
∴，
∴，
∴， DE=am2n ，
∴，
∵OC∥ AE，
∴△ BCO∽ △ BAE，
∴，
∴，
∴CO==am2n，
∴DE=CO．
【解析】【分析】（ 1）抛物线y=ax2关于 y 轴对称，根据AB∥ x 轴，得出 A 与 B 是对称点，可知AC=BC=1，由∠AOB=60°，可证得△ AOB 是等边三角形，利用解直角三角形求出OC的长，就可得出点 A 的坐标，利用待定系数法就可求出 a 的值。
（ 2）过 B 作 BE⊥ x 轴于 E，过 A 作 AG⊥BE，交 BE 延长线于点G，交 y 轴于 F，根据平行线分线段成比例证出AF=4FG，根据点 A 的横坐标为﹣ 4，求出点 B 的横坐标为 1，则 A（ -
4 ， 16a ）， B （ 1 ， a ），再根据已知证明∠ BOE=∠ DAO，∠ADO=∠OEB，就可证明△ADO∽△ OEB，得出对应边成比例，建立关于 a 的方程求解，再根据点 B 在第一象限，确定点 B 的坐标即可。
（ 3）根据（ 2）可知 A 的横坐标是 B 的横坐标的n 倍，则设 B（ m， am2），则 A（-mn ，am2n2），得出 AD 的长，再证明△ BOF∽ △ EOD，△ BCO∽ △ BAE，得对应边成比例，证
得CO=am2n，就可证得 DE=CO。
4．如图，在四边形ABCD 中， AD//BC，，BC=4，DC=3，AD=6.动点P从点D出发，沿射线DA 的方向 ,在射线DA 上以每秒 2 两个单位长的速度运动，动点Q 从点 C 出发，在线段CB 上以每秒 1 个单位长的速度向点 B 运动，点P、 Q 分别从点D,C 同时出发 ,当点 Q 运动到点 B 时，点 P 随之停止运动.设运动的时间为t(秒 ).
（ 1）设的面积为，直接写出与之间的函数关系式是________（不写取值范围） .
（2）当 B,P,Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求出此时的值.
（3）当线段PQ 与线段 AB 相交于点O，且 2OA=OB 时，直接写出=________.（4）是否存在时刻，使得若存在，求出的值；若不存在,请说明理由 .
【答案】（1）
（2）解：如图1，过点 P 作 PH⊥ BC 于点 H，
∴∠ PHB=∠ PHQ=90 ，°
∵∠ C=90 ，°AD∥ BC，
∴∠ CDP=90 ，°
∴四边形 PHCD是矩形，
∴PH=CD=3， HC=PD=2t，
∵CQ=t， BC=4，
∴H Q=CH-CQ=t，BH=BC-CH=4-2t，BQ=4-t，
∴BQ2=，BP2=，PQ2=，
由 BQ2=BP2可得：，解得：无解；
由 BQ2=PQ2可得：，解得：；
由 BP2= PQ2可得：，解得：或，∵当时， BQ=4-4=0，不符合题意，
∴综上所述，或；
（3）
（4）解：如图 3，过点 D 作 DM∥ PQ 交 BC的延长线于点 M，
则当∠ BDM=90°时， PQ⊥ BD，即当 BM2=DM2+BD2时， PQ⊥ BD，
∵AD∥ BC， DM∥ PQ，
∴四边形 PQMD 是平行四边形，
∴Q M=PD=2t ，
∵QC=t,
∴CM=QM-QC=t，
∵∠ BCD=∠MCD=90 °，
∴BD2=BC2+DC2=25， DM2=DC2 +CM2=9+t 2，
∵B M2=(BC+CM)2=(4+t)2，
∴由 BM2=BD2+DM2可得：，解得：，
∴当时，∠ BDM=90 °，
即当时， PQ⊥ BD.
=CD=3，
【解析】【解答】解：（1）由题意可得BQ=BC-CQ=4-，t点P到 BC的距
离
∴S△PBQ= BQ × 3=；
（ 3 ）解：如图2，过点P 作 PM⊥BC交CB的延长线于
M ，
点
∴∠ PMC=∠ C=90 ，°
∵AD∥ BC，
∴∠ D=90 ，°△ OAP∽ △ OBQ，
，
∴四边形PMCD 是矩形，∴PM=CD=3，
CM=PD=2t，∵AD=6， BC=4，CQ=t，
∴P A=2t-6， BQ=4-t， MQ=CM-CQ=2t-t=t,
∴，解得：，
∴MQ=，
又∵ PM=3，∠ PMQ=90°，
∴tan ∠ BPQ=；
【分析】（ 1）点 P 作 PM⊥ BC，垂足为M，则四边形PDCM 为矩形，根据梯形的面积公式
就可以利用t 表示，就得到s 与 t 之间的函数关系式。
（2）以B、 P、Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分PQ=BQ、 BP=BQ、 PB=PQ 三种情况，在Rt△ PMQ 中根据勾股定理，就得到一个关于t 的方程，就可以求出t。
（3）根据相似三角形对应边比例可列式求出t，从而根据正切的定义求出值；
（4）首先假设存在，然后根据相似三角形对应边成比例求证。
5．如图 1，在矩形 ABCD 中， AB=6cm， BC=12cm，点 P 从点 A 开始以 1cm/s 的速度沿 AB 边向点 B 运动，点 Q 从点 B 以 2cm/s 的速度沿 BC 边向点 C 运动，如果 P、 Q 同时出发，设运动时间为ts，
（1）当 t=2 时，求△ PBQ的面积；
（2）当 t= 时，试说明△ DPQ是直角三角形；
（3）当运动3s 时， P 点停止运动， Q 点以原速立即向 B 点返回，在返回的过程中，DP 是否能平分∠ADQ？若能，求出点Q 运动的时间；若不能，请说明理由.
【答案】（ 1）解：当t=2 时， AP=t=2， BQ=2t=4，
∴B P=AB-AP=4，
∴△ PBQ 的面积 =× 4×；4=8
（2）解：当 t= 时， AP=1.5， PB=4.5， BQ=3， CQ=9，
∴DP2=AD2+AP2=2.25+144=146.25， PQ2=PB2+BQ2=29.25， DQ2=CD2+CQ2 =117，
∵PQ2+DQ2=DP2，
∴∠ DQP=90 ，°
∴△ DPQ 是直角三角形 .
（3）解：设存在点Q 在 BC上，延长DQ 与 AB 延长线交于点O.
设 QB 的长度为x，则 QC 的长度为（ 12-x），
∵DC∥BO，
∴∠ C=∠ QBO，∠ CDQ=∠O，
∴△ CDQ∽△ BOQ，又 CD=6， QB=x，QC=12-x，
∴，即，
解得： BO=，
∴AO=AB+BO=6+，
∵∠ ADP=∠ ODP，
∴12： DO=AP： PO，
代入解得x=0.75，
∴DP 能平分∠ ADQ，
∵点 Q 的速度为2cm/s ，
∴P 停止后 Q 往 B 走的路程为（ 6-0.75） =5.25cm.
∴时间为 2.625s，加上刚开始的3s， Q 点的运动时间为 5.625s.
【解析】【分析】（ 1）根据路程等于速度乘以时间得出AP=t=2， BQ=2t=4，所以BP=4,进而根据三角形的面积计算方法即可算出答案；
（2）当t= 时，根据路程等于速度乘以时间得出AP=1.5，BQ=3，故PB=4.5，CQ=9，根据勾股定理表示出DP2,PQ2,DQ2,从而根据勾股定理的逆定理判断出∠DQP=90°，△DPQ 是直角三角形；
（ 3）设存在点 Q 在 BC 上，延长 DQ 与 AB 延长线交于点 O ，设 QB 的长度为 x，则 QC 的长度为（ 12-x ），判断出△ CDQ∽ △ BOQ，根据全等三角形的对应边成比例得出
，根据比例式可以用含x 的式子表示出BO 的长，根据角平分线的性质定理得出12： DO=AP：PO，根据比例式求出x 的值，从而即可解决问题.
6．在矩形 ABCD 中， AB＝ 6， AD＝8，点 E 是边 AD 上一点， EM⊥ EC交 AB 于点 M ，点 N 在射线 MB 上，且 AE 是 AM 和 AN 的比例中项 .
（1）如图 1，求证：∠ANE＝∠ DCE；
（2）如图 2，当点 N 在线段 MB 之间，联结 AC，且 AC与 NE 互相垂直，求 MN 的长；
（3）连接 AC，如果△ AEC与以点 E、 M、 N 为顶点所组成的三角形相似，求DE的长 .【答案】（ 1）解：∵ AE 是 AM 和 AN 的比例中项
∴，
∵∠ A＝∠ A，
∴△ AME∽ △ AEN，
∴∠ AEM＝∠ ANE，
∵∠ D＝ 90 °，
∴∠ DCE＋∠DEC＝ 90 °，
∵EM⊥BC，
∴∠ AEM＋∠ DEC＝90 °，
∴∠ AEM＝∠ DCE，
∴∠ ANE＝∠ DCE
（2）解：∵ AC 与 NE 互相垂直，
∴∠ EAC＋∠ AEN＝90 °，
∵∠ BAC＝ 90 °，
∴∠ ANE＋∠ AEN＝90 °，
∴∠ ANE＝∠ EAC，
由（ 1）得∠ ANE＝∠ DCE，
∴∠ DCE＝∠EAC，
∴t an ∠ DCE＝ tan ∠DAC，
∴，
∵DC＝AB＝ 6，AD＝ 8，
∴DE＝，
∴AE＝ 8﹣＝，
由（ 1）得∠ AEM＝∠ DCE，
∴t an ∠ AEM＝ tan ∠ DCE，
∴，
∴AM＝，
∵，
∴AN＝，
∴MN ＝
（3）解：∵ ∠ NME＝∠ MAE＋∠ AEM，∠AEC＝∠ D＋∠ DCE，又∠ MAE＝∠ D＝90°，由（ 1）得∠ AEM＝∠ DCE，
∴∠ AEC＝∠ NME，
当△ AEC与以点 E、 M、 N 为顶点所组成的三角形相似时
① ∠ENM＝∠ EAC，如图 2，
∴∠ ANE＝∠ EAC，
由（ 2）得： DE＝；
② ∠ENM＝∠ ECA，
如图 3，
过点 E 作 EH⊥ AC，垂足为点H，
由（ 1）得∠ ANE＝∠ DCE，
∴∠ ECA＝∠ DCE，
∴HE＝ DE，
又 tan∠ HAE＝，
设 DE＝3x，则 HE＝ 3x， AH＝4x， AE＝ 5x，
又 AE＋ DE＝ AD，
∴5x＋ 3x＝8，
解得 x＝ 1，
∴D E＝3x＝ 3，
综上所述， DE 的长分别为或3
【解析】【分析】（ 1 ）由比例中项知，据此可证△ AME∽ △ AEN得∠AEM＝∠ANE，再证∠ AEM＝∠ DCE 可得答案；（ 2）先证∠ ANE＝∠ EAC，结合∠ANE＝∠ DCE 得
∠DCE＝∠ EAC，从而知，据此求得AE＝ 8﹣＝，由（1）得∠ AEM＝∠ DCE，据
此知，求得 AM ＝
＝∠ ECA两种情况分别求解可得，由求得
.
MN＝；（ 3）分∠ ENM＝∠EAC 和∠ ENM
7．如图，在 Rt△ ABC中，∠ ACB＝ 90°，AC＝ 6cm， BC＝8cm.动点 M 从点 B 出发，在 BA 边上以每秒 3cm 的速度向定点 A 运动，同时动点 N 从点 C 出发，在 CB 边上以每秒 2cm 的速
度向点 B 运动，运动时间为t 秒，连接MN.
（1）若△ BMN与△ABC 相似，求t 的值；
（2）连接 AN， CM，若 AN⊥ CM，求 t 的值．
【答案】（1）解：∵∠ ACB＝ 90°， AC＝ 6cm， BC＝ 8cm，∴ BA＝
由题意得BM＝3tcm ，CN＝ 2tcm，∴ BN＝ (8－ 2t)cm.
＝ 10(cm)．
当△ BMN∽ △ BAC时，，∴＝，解得t＝；
当△ BMN∽ △ BCA时，＝，∴＝，解得t＝.
综上所述，△ BMN 与△ ABC相似时， t 的值为或
（2）解：如图，过点M 作 MD⊥CB 于点 D，
∴∠ BDM＝∠ACB＝ 90 °，又∵ ∠B＝∠ B，∴ △BDM∽ △ BCA，
∴＝＝. ∵ AC＝ 6cm， BC＝ 8cm， BA＝ 10cm， BM＝3tcm ，
∴DM ＝tcm， BD＝tcm ，∴CD＝cm.
∵AN⊥CM，∠ ACB＝ 90 °，∴∠ CAN＋∠ ACM＝ 90 °，∠ MCD＋∠ ACM＝ 90 °，
∴∠ CAN＝∠MCD. ∵ MD ⊥CB，∴ ∠ MDC＝∠ ACB＝ 90 °，∴ △ CAN∽ △ DCM，
∴＝，∴＝，解得t＝．
【解析】【分析】（ 1）在直角三角形ABC 中，由已知条件用勾股定理可求得AB 的长，再
根据路程 =速度时间可将BM、 CN 用含 t 的代数式表示出来，则BN=BC-CN也可用含t 的代数式表示出来，因为△BMN与△ABC相似，由题意可分两种情况，① 当
△BMN ∽△ BAC 时，由相似三角形的性质可得比例式：，将已知的线段代入计算
即可求解；②当△ BMN∽ △BCA 时，由相似三角形的性质可得比例式：，将已知
的线段代入计算即可求解；
（ 2 ）过点M作MD ⊥ CB 于点 D ，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得
△BDM ∽ △ BCA，于是可得比例式，将已知的线段代入计算即可用含t 的代
数式表示DM 、 BD 的长，则CD=CB-BD 也可用含t的代数式表示出来，同理易证
△CAN∽ △ DCM，可得比例式，将已表示的线段代入计算即可求得t 的值。
8．在正方形 ABCD中， AB=8，点 P 在边 CD 上， tan∠ PBC= ，点 Q 是在射线 BP 上的一个动点，过点 Q 作 AB 的平行线交射线 AD 于点 M ，点 R 在射线 AD 上，使 RQ始终与直线 BP
垂直．
（1）如图 1，当点 R 与点 D 重合时，求PQ 的长；
（2）如图2，试探索：的比值是否随点Q 的运动而发生变化？若有变化，请说明你的
理由；若没有变化，请求出它的比值；
（3）如图 3，若点 Q 在线段 BP 上，设 PQ=x，RM=y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出它的定
义域．
【答案】（1）解：由题意，得,
在 Rt△中，
∴
∵
∴∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴△∽ △
∴
∴
∴
（2）解：答：的比值随点的运动没有变化理由：如图，
∵∥
∴,
∵
∴
∵
∴
∴
∴△∽ △
∴
∵，
∴
∴的比值随点的运动没有变化,比值为
（3）解：延长交的延长线于点
∵∥
∴
∵
∴
∴
∴
∵∥,∥
∴∥
∴
∵,
∴
又,
∴
∴
它的定义域是
【解析】【分析】（1）由题意解直角三角形 PBC 可求得 CP=6，PB=10，根据△PBC∽ △ PRQ 可得比例式求解；
（2）由题意易得△ RMQ∽ △ PCB，可得比例式,由（ 1）知=为一定值，所以
的比值不会发生变化；
（3）延长 B P 交 A D的延长线于点N ，因为 PD∥ AB，所以由平行线分线段成比例定理
可得比例式求得ND、 PN，由题意易得PD∥ MQ ，根据平行线成比例定理可得比例式,则 y 与 x 的关系可求解。
二、圆的综合
9．如图，点 P 在⊙ O 的直径 AB 的延长线上， PC 为⊙O 的切线，点 C 为切点，连接过点 A 作 PC的垂线，点 D 为垂足， AD 交⊙O 于点 E．
(1)如图 1，求证：∠DAC=∠ PAC；
(2)如图 2，点 F（与点 C位于直径AB 两侧）在⊙O 上，?? ，连接EF，过点
BF FA
的平行线交PC 于点 G，求证： FG=DE+DG；
AC，F作 AD
2
(3)在 (2)的条件下，如图3，若 AE=DG， PO=5，求 EF 的长．
3
【答案】（ 1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） EF=3 2 ．
【解析】
【分析】
（1）连接 OC，求出 OC∥ AD，求出 OC⊥ PC，根据切线的判定推出即可；
（2）连接 BE交 GF于 H，连接 OH，求出四边形 HGDE 是矩形，求出 DE=HG， FH=EH，即可得出答案；
（3）设 OC交 HE 于 M ，连接 OE、 OF，求出∠ FHO=∠ EHO=45°，根据矩形的性质得出
EH∥ DG，求出 OM=12
DG， DG=3a，AE，设 OM=a，则 HM=a ， AE=2a， AE=
23
求出 ME=CD=2a，BM=2a，解直角三角形得出tan∠ MBO＝MO1
， tanP=
CO
1,设BM2PO2
OC=k，则 PC=2k，根据 OP= 5 k=5 求出 k= 5 ，根据勾股定理求出a，即可求出答案．【详解】
（1）证明：连接OC，
∵PC 为⊙ O 的切线，
∴OC⊥ PC，
∵AD⊥ PC，
∴OC∥ AD，
∴∠ OCA=∠ DAC，
∵OC=OA，
∴∠ PAC=∠ OCA，
∴∠ DAC=∠ PAC；
（2）证明：连接BE 交 GF 于 H，连接 OH，
∵FG∥ AD，
∴∠ FGD+∠D=180 ，°
∵∠ D=90 ，°
∴∠ FGD=90 ，°
∵AB 为⊙ O 的直径，
∴∠ BEA=90 ，°
∴∠ BED=90 ，°
∴∠ D=∠HGD=∠BED=90 ，°
∴四边形 HGDE 是矩形，
∴DE=GH， DG=HE，∠ GHE=90 ，°∵?? ，
BF AF
∴∠ HEF=∠ FEA=1
∠ BEA=
1
90o=45°，
22
∴∠ HFE=90 ﹣°∠ HEF=45 ，°
∴∠ HEF=∠HFE，
∴F H=EH，
∴FG=FH+GH=DE+DG；
（3）解：设OC 交 HE 于 M，连接 OE、 OF，
∵EH=HF，OE=OF，HO=HO，
∴△ FHO≌△ EHO，
∴∠ FHO=∠ EHO=45 ，°
∵四边形 GHED 是矩形，
∴EH∥ DG，
∴∠ OMH=∠OCP=90 ，°
∴∠ HOM=90 °﹣∠ OHM=90 °﹣45 °=45 ，°∴∠ HOM=∠OHM，∴HM=MO ，
∵OM⊥ BE，
∴BM=ME，
1
∴OM=AE，
2
设 OM=a ，则 HM=a ， AE=2a，AE=
∵∠ HGC=∠ GCM=∠
GHE=90 ，°∴四边形 GHMC 是
矩形，
∴GC=HM=a， DC=DG﹣GC=2a，∵DG=HE， GC=HM，
∴M E=CD=2a， BM=2a，
在 Rt△ BOM 中， tan∠ MBO=
MO
BM 2
DG， DG=3a，3
a1
，
2a 2
∵EH∥ DP，
∴∠ P=∠ MBO，
CO 1
tanP=，
PO 2
设 OC=k，则 PC=2k，
在 Rt△ POC中， OP= 5 k=5，
解得： k= 5 ，OE=OC= 5 ，
在 Rt△ OME 中， OM 2+ME2=OE2， 5a2=5，a=1，
∴H E=3a=3，
在Rt△HFE中，∠HEF=45°，
∴EF= 2 HE=3 2．