第五讲几何——立体部分
教学目标：
对于小学几何而言，立体图形的表面积和体积计算，既可以很好地考查学生的空间想象能力，又可以具体考查学生在公式应用中处理相关数据的能力，所以，很多重要考试都很重视对立体图形的考查．
知识点拨：
一、长方体和正方体
如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱．
H G
E F
D
c
b
C
A a B
①在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等．
(叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．)
②长方体的表面积和体积的计算公式是：
长方体的表面积：S 长方体的体积：V
=2(ab+bc+ca)；长方体
=abc．
长方体
③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形．
如果它的棱长为a，那么：S
正方体=6a2，V
正方体
=a3．
二、圆柱与圆锥
立体图形表面积体积
S 圆柱=侧面积+2个底面积=2πrh+2πr2V
圆柱
=πr2h
h 圆柱r
h S
圆锥
=侧面积+底面积=
n
360πl2+πr2
V
圆锥体
1
=πr2h
3
圆锥r注：l是母线，即从顶点到底面圆上的线段长
1
1
例题精讲：
【例1】如右图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为8，宽为3，
高为2的小长方体，那么新的几何体的表面积是多少？
【例2】右图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下
各面的中心位置挖去一个边长l厘米的正方体，做成一种玩
具．它的表面积是多少平方厘米?（图中只画出了前面、右面、
上面挖去的正方体）
【例3】下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小
洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为厘米的正方形
2
小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相同为厘米，那么
4
最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？
【例4】一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片，
每片又锯成3长条，每条又锯成4小块，共得到大大小小的长
方体24块，那么这24块长方体的表面积之和是多少？
【例5】【巩固】如图，25块边长为1的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少？
25块积木
【例6】要把12件同样的长a、宽b、高h的长方体物品拼装成一件大的长方体，使打包后表面积最小，该如何打包？
⑴当b=2h时，如何打包？
⑵当b<2h时，如何打包？
⑶当b>2h时，如何打包？
a
h
b
3
图1图2图
【例7】【巩固】如图，在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体，求这个立体图形的表面积．
【例8】(2008年“希望杯”五年级第2试)如图，棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米、5厘米的四个正方体紧贴在一起，则所得到的多面体的表面积是_______平方厘米．
【例9】把19个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式拼成一个立体图形.，求这个立体图形的表面积．
上下面左右面前后面
． ．
“ 【例 10】有 30 个边长为 1 米的正方体，在地面上摆成右上图的形式，然后把露出的表面涂成红色．求被涂
成红色的表面积．
【例 11】棱长是 m 厘米（ m 为整数）的正方体的若干面涂上红色，然后将其切割成棱长是 1 厘米的小正方
体．至少有一面红色的小正方体个数和表面没有红色的小正方体个数的比为13:12 ，此时 m 的最小 值是多少?
【例 12】有 64 个边长为 1 厘米的同样大小的小正方体，其中 34 个为白色的，30 个为黑色的．现将它们拼成
一个 4 ? 4 ? 4 的大正方体，在大正方体的表面上白色部分最多可以是多少平方厘米？
【例 13】三个完全一样的长方体，棱长总和是 288 厘米，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个连
续的自然数，给这三个长方体涂色，一个涂一面，一个涂两面，一个涂三面．涂色后把三个长方 体都切成棱长为 1 厘米的小正方体，只有一个面涂色的小正方体最少有多少个？
【例 14】把一个大长方体木块表面上涂满红色后，分割成若干个同样大小的小正方体，其中恰好有两个面涂
上红色的小正方体恰好是 100 块，那么至少要把这个大长方体分割成多少个小正方体？
【例 15】把正方体的六个表面都划分成 9 个相等的正方形．用红、黄、蓝三种颜色去染这些小正方形，要求
有公共边的正方形染不同的颜色，那么，用红色染的正方形最多有多少个？
【解析】一个面最多有 5 个方格可染成红色（见左下图）．因为染有 5 个红色方格的面不能相邻，可以相对，
所以至多有两个面可以染成 5 个红色方格．
红
红
红
红 红
红
红
红
红
红
红
其余四个面中，每个面的四个角上的方格不能再染成红色，至多能染4 个红色方格（见上中图） 因
为染有 4 个红色方格的面也不能相邻，可以相对，所以至多有两个面可以染成 4 个红色方格．最后 剩下两个相对的面，每个面最多可以染
2 个红色方格（见右上图） ．所以，红色方格最多有
5 ? 2 + 4 ? 2 + 2 ? 2 = 22 （个） （另解）事实上上述的解法并不严密， 如果最初的假设并没有两个相对的有 5 个红色方格的面，是
否其他的四个面上可以出现更多的红色方格呢？”这种解法回避了这个问题，如果我们从约束染色 方格数的本质原因入手，可严格说明 22 是红色方格数的最大值．
对于同一个平面上的格网，如果按照国际象棋棋盘的方式染色，那么至少有一半的格子可以染成红 色．但是现在需要染色的是一个正方体的表面，因此在分析问题时应该兼顾棱、角等面与面相交的 地方：
)
⑴
⑵
⑶
⑴如图，每个角上三个方向的 3 个方格必须染成不同的三种颜色，所以 8 个角上最多只能有 8 个方 格染成红色．
⑵如图，阴影部分是首尾相接由 9 个方格组成的环，这 9 个方格中只能有 4 个方格能染成同一种颜色
(如果有 5 个方格染同一种颜色，必然出现相邻，可以用抽屉原理反证之：先去掉一个白格，剩下的 然后两两相邻的分成四个抽屉，必然有一个抽屉中有两个红色方格 ，像这样的环，在正方体表面最 多能找到不重叠的两道（关于正方体中心对称的两道），涉及的18 个方格中最多能有 8 个可染成红色．
⑶剩下 6 ? 3 ? 3 - 8 ? 3 - 9 ? 2 = 12 个方格，分布在 6 条棱上，这12 个格子中只能有 6 个能染成红色． 综上所述，能被染成红色的方格最多能有8 + 8 + 6 = 22 个格子能染成红色，第一种解法中已经给出 22
个红方格的染色方法，所以 22 个格子染成红色是最多的情况．
【例 16】一个长、宽、高分别为 21 厘米、15 厘米、12 厘米的长方形.现从它的上面尽可能大的切下一个正方
体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切 下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？
3
6
12
12
6 12
9
6 6
12
9
9
3
12
9
【例 17】有黑白两种颜色的正方体积木，把它摆成右图所示的形状，已知相邻(有公共面)的积木颜色不同，
标 A 的为黑色，图中共有黑色积木多少块？
A
【解析】分层来看，如下图(切面平行于纸面)共有黑色积木 17 块.
【例18】【巩固】(05年武汉明心杯数学挑战赛)如图所示，一个5?5?5的立方体，在一个方向上开有1?1?5的孔，在另一个方向上开有2?1?5的孔，在第三个方向上开有3?1?5的孔，剩余部分的体积是多
少？表面积为多少？
【解析】求体积：
开了3?1?5的孔，挖去3?1?5=15，开了1?1?5的孔，
挖去1?1?5-1=4；开了2?1?5的孔，
挖去2?1?5-(2+2)=6，
剩余部分的体积是：5?5?5-(15+4+6)=100．
(另解)将整个图形切片，如果切面平行于纸面，那么五个切片分别如图：
得到总体积为：22?4+12=100．
求表面积：
表面积可以看成外部和内部两部分．外部的表面积为5?5?6-12=138，内部的面积可以分为前
后、左右、上下三个方向，面积分别为2?(2?5+1?5-1?2-1?3)=20、
2?(1?5+3?5-1?3-1)=32、2?(1?5+1?5-1?1-2)=14，所以总的表面积为
138+20+32+14=204．
(另解)运用类似于三视图的方法，记录每一方向上的不同位置上的裸露正方形个数：
前后方向：32
上下方向：30左右方向：40
112211*********
11211121122222
2
1
1
2
1
12
2
2
2
2
1
1
2
1
1
2
12
12
1
1
2
1
1
2
2
1
2
22
12
2
2
1
2
2
1
总表面积为2?(32+30+40)=204．
【总结】“切片法”：全面打洞(例如本题，五层一样)，挖块成线(例如本题，在前一层的基础上，一条线一条线地挖)，这里体现的思想方法是：化整为零，有序思考！
【例19】【巩固】（2009年迎春杯高年级组复赛）右图中的⑴⑵⑶⑷是同样的小等边三角形，⑸⑹也是等边三角形且边长为⑴的2倍，⑺⑻⑼⑽是同样的等腰直角三角形，⑾是正方形．那么，以⑸⑹⑺⑻
⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形体积的倍．
⑸⑺⑻⑹
⑾
⑵
⑴⑶
⑼⑽
⑷
【解析】本题中的两个图都是立体图形的平面展开图，将它们还原成立体图形，可得到如下两图：
其中左图是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形，是一个四个面都是正三角形的正四面体，右图以
⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形，是一个不规则图形，底面是⑾，四个侧面是⑺⑻⑼⑽，
两个斜面是⑸⑹．
对于这两个立体图形的体积，可以采用套模法来求，也就是对于这种我们不熟悉的立体图形，用一
些我们熟悉的基本立体图形来套，看看它们与基本立体图形相比，缺少了哪些部分．
由于左图四个面都是正三角形，右图底面是正方形，侧面是等腰直角三角形，想到都用正方体来套．对于左图来说，相当于由一个正方体切去4个角后得到(如下左图，切去ABDA、CBDC、D AC D、
11111
B A
C B)；而对于右图来说，相当于由一个正方体切去2个角后得到(如下右图，切去BACB、
1111
DACD)．
1
B C B C
A
D A
D
B1C1
B1
C1
A1D
1
A1D1
假设左图中的立方体的棱长为a，右图中的立方体的棱长为b，则以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形的体积为：a3-1a2?a?1?4=1a3，
233
以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积为b3-1b2?b?1?2=2b3．
233
由于右图中的立方体的棱长即是题中正方形⑾的边长，而左图中的立方体的每一个面的对角线恰好是正三角形⑴的边长，通过将等腰直角三角形⑺分成4个相同的小等腰直角三角形可以得到右图中的立方体的棱长是左图中的立方体的棱长的2倍，即b=2a．
那么以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形的体积与以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体
积的比为：1a3:2b3=1a3:2?(2a)3=1:16，也就是说以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形3333
的体积是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形体积的16倍．
【例20】图⑴和图⑵是以正方形和等边三角形为面的立体图形的展开图，图中所有的边长都相同．请问：图
⑴能围起来的立体图形的体积是图⑵能围起来的立体图形的体积的几倍？
图⑴图⑵
【解析】首先，我们把展开图折成立体图形，见下列示意图：
图⑴图⑵
对于这类题目，一般采用“套模法”，即用一个我们熟悉的基本立体图形来套，这样做基于两点考虑，
一是如果有类似的模型，可以直接应用其计算公式；二是如果可以补上一块或者放到某个模型里面，那么可以从这个模型入手．
我们把图⑴中的立体图形切成两半，再转一转，正好放进去！我们看到图⑴与图⑶的图形位置的微
妙关系：
60°60°
1
和图3一致！
图⑶图⑷
由图⑷可见，图⑴这个立体的体积与图⑶这个被切去了8个角后的立体图形的体积相等．
假设立方体的1条边的长度是1，那么一个角的体积是1?1?1?1?1=1，所以切掉8个角后的
2222348
体积是1-1?8=5．
486
再看图⑵中的正四面体，这个正四面体的棱长与图⑶中的每一条实线线段相等，所以应该用边长为1
2的立方体来套．如果把图⑵的立体图形放入边长为1的立方体里的话是可以放进去的．
2
，那么前者的体积是后者的÷
1
2
这是切去了四个角后的图形，从上面的分析可知一个角的体积为1，所以图⑵的体积是：
48
1111151
??-?4==20倍．
2224824624
【例21】如图，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体．问这个物体的表面积是多少平方米？(π取3.14)
0.5
1
1
1
1
1.5
【例22】有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米(见右图)．如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？
【例23】(第四届希望杯2试试题)圆柱体的侧面展开，放平，是边长分别为10厘米和12厘米的长方形，那么这个圆柱体的体积是________立方厘米．(结果用π表示)
【例24】如右图，是一个长方形铁皮，利用图中的阴影部分，刚好能做成一个油桶(接头处忽略不计)，求这个油桶的容积．(π=3.14)
16.56m
【巩固】如图，有一张长方形铁皮，剪下图中两个圆及一块长方形，正好可以做成1个圆柱体，这个圆柱体的底面半径为10厘米，那么原来长方形铁皮的面积是多少平方厘米？(π=3.14)
10cm
【例25】把一个高是8厘米的圆柱体，沿水平方向锯去2厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少12.56平方厘米．原来的圆柱体的体积是多少立方厘米？
【例26】一个圆柱体的体积是50.24立方厘米，底面半径是2厘米．将它的底面平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了多少平方厘米？(π 3.14)
【例27】(2008年”希望杯”五年级第2试)一个拧紧瓶盖的瓶子里面装着一些水(如图)，由图中的数据可推知瓶子的容积是_______立方厘米．(π取3.14)
6
10
8
4
(单位：厘米)
【巩固】一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈)，如图．已知它的容积为26.4π立方厘米．当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米；瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米．问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？
2
6
【巩固】一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水，瓶底面积为10平方厘米，(如下图所示)，请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积是＿＿＿＿＿＿．
7cm5cm
4cm
【例28】一个盛有水的圆柱形容器，底面内半径为5厘米，深20厘米，水深15厘米．今将一个底面半径为2厘米，高为17厘米的铁圆柱垂直放入容器中．求这时容器的水深是多少厘米？
【例29】有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次是10厘米、20厘米，杯中盛有适量的水．甲杯中沉没
【例 30】 如图，甲、乙两容器相同，甲容器中水的高度是锥高的 ，乙容器中水的高度是锥高的 ，比较
着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了 2 厘米；然后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中的 水未外溢．问：这时乙杯中的水位上升了多少厘米？
1 2
3 3
甲、乙两容器，哪一只容器中盛的水多？多的是少的的几倍？
乙
甲
【例 31】 (2008 年仁华考题)如图，有一卷紧紧缠绕在一起的塑料薄膜，薄膜的直径为 20 厘米，中间有一直径
为 8 厘米的卷轴，已知薄膜的厚度为0.04 厘米，则薄膜展开后的面积是 平方米．
20cm
8cm
100cm
【例 32】 如图， ABC 是直角三角形， AB 、 AC 的长分别是 3 和 4．将 ?ABC 绕 AC 旋转一周，求 ?ABC 扫
出的立体图形的体积．( π = 3.14 )
C
4
B
A
3
【例 33】 已知直角三角形的三条边长分别为 3cm ， 4cm ， 5cm ，分别以这三边轴，旋转一周，所形成的立
体图形中，体积最小的是多少立方厘米？( π 取 3.14 ) ．
【例 34】 如图， A BCD 是矩形，BC = 6cm ， A B = 10cm ，对角线 AC 、BD 相交 O ．E 、F 分别是 AD 与 BC
的中点，图中的阴影部分以 EF 为轴旋转一周，则白色部分扫出的立体图形的体积是多少立方厘 米？( π 取 3)
A
E D
A
E D
O
O
B
F
C
B
F
C
在上下底面的中心打通一个圆柱形的洞．已知正方体边长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘
米的正方形，上下底面的洞口是直径为4厘米的圆，求此立体图形的表面积和体积．
课后练习
练习1.（《小学生数学报》邀请赛）从一个棱长为10厘米的正方形木块中挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？(写出符合要求的全部答案)
图1图2图3图4
练习2.一个酒瓶里面深30cm，底面内直径是10cm，瓶里酒深15cm．把酒瓶塞紧后使其瓶口向下倒立这时酒深25cm．酒瓶的容积是多少？(π取3)
30
25
15
练习3.如右图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1米、2米、4米，要在表面涂刷油漆，如果大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是多少平方米？
练习4.(2008年第二届两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛)一个圆柱体形状的木棒，沿着底面直径竖直切成两部分．已知这两部分的表面积之和比圆柱体的表面积大2008cm2，则这个圆柱体木棒的侧面积是________cm2．(π取3.14)
第2题
练习5.如图，厚度为0.25毫米的铜版纸被卷成一个空心圆柱(纸卷得很紧，没有空隙)，它的外直径是180厘米，内直径是50厘米．这卷铜版纸的总长是多少米？
月测备选
【备选1】如右图，一个正方体形状的木块，棱长l米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块．那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米?
【备选2】一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱体和一个圆锥体组成，圆柱体的底面直径和高都是12厘米．其内有一些水，正放时水面离容器顶11厘米，倒放时水面离顶部5厘米，那么这个容器的容积是多少立方厘米？(π3)
5cm
11cm
【备选3】如图，有一个边长为20厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同的小立方体后，表面积变为2454平方厘米，那么挖掉的小立方体的边长是多少厘米？
【备选4】一个圆柱体底面周长和高相等．如果高缩短4厘米，表面积就减少50.24平方厘米．求这个圆柱体的表面积是多少？
4cm
【备选5】(2009年”希望杯”一试六年级)如图，圆锥形容器中装有水50升，水面高度是圆锥高度的一半，这个容器最多能装水升．
r
1
2r h
1
2h
小学奥数立体图形
第11讲立体图形 各种涉及长方体、立方体、圆柱、圆锥等立体图形表面积与体积的计算问题，解题时考虑沿某个方向的投影常能发挥明显的作用.较为复杂的是与剪切、拼接、染色等相关联的立体几何问题. 第六届：“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛第12 题（略有改动） 1．用棱长是1厘米的立方块拼成如图11-1所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米? 【分析与解】显然，图11-1的图形朝上的面与朝下的面的面积相等，都等于3×3=9个小正方形的面积，朝左的面和朝右的面的面积也相等，等于7个小正方形的面积；朝前的面和朝后的面的面积也相等，都等于7个小正方形的面积，因此，该图形的表面积等于(9+7+7)×2=46个小正方形的面积，而每个小正方形面积为l平方厘米，所以该图形表面积是46平方厘米．
2．如图11-2，有一个边长是5的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是5，3，2的长方体，那么它的表面积减少了百分之几? 【分析与解】原来正方体的表面积为5 ×5×6=150． 现在立体图形的表面积截了两个面向我们的侧面，它们的面积为(3×2)×2=12，12÷150=0.08=8％． 即表面积减少了百分之八． 3．如图11-3，一个正方体形状的木块，棱长l米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块．那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米? 【分析与解】我们知道每切一刀，多出的表面积恰好是原正方体的2个面的面积． 现在一共切了(3-1)+(4-1)+(5-1)=9刀，而原正方体一个面的面积1×1(平方米)，所以表面积增加了9×2×1=18(平方米)．原来正方体的表面积为6×1=6(平方米)，所以现在的这些小长方体的表积之和为6+18=24(平方米)．
立体图形 表面积 体积 圆柱 222π2πS rh r =+=+圆柱侧面积个底面积 2πV r h =圆柱 圆锥 22ππ360 n S l r =+= +圆锥侧面积底面积 注:l 是母线,即从顶点到底面圆上的线段长 21 π3 V r h =圆锥体 ◆ 求表面积时要注意几点:一、有几个底面。 二、结果近似数，进一法、去尾法、四舍五入法．．．．．．．．．．．．． 。 三、单位是否统一。 ◆ 圆柱与圆锥的关系 等底等高的圆柱和圆锥：圆柱的体积是圆锥体积的3倍; 等底等体积的圆柱和圆锥：圆锥的高是圆柱的高的3倍; 等高等体积的圆柱和圆锥:圆锥的底面积是圆柱的底面积的3倍 板块一 圆柱与圆锥 【例 1】 如图，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体.问这个物体 的表面积是多少平方米?(π取3.14) h r h r 11 10.511.5知识框架 例题精讲 圆柱与圆锥 有一个底面 无底面 鱼缸、厨师帽、 烟囱、排水管、压路机
【例 2】 有一个圆柱体的零件,高10厘米，底面直径是6厘米,零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直 径是4厘米,孔深5厘米(见右图).如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆,那么一共要涂多少平方厘米? 【例 3】 （第四届希望杯2试试题）圆柱体的侧面展开,放平,是边长分别为10厘米和12厘米的长方形, 那么这个圆柱体的体积是立方厘米．(结果用π表示) 【例 4】 如右图，是一个长方形铁皮,利用图中的阴影部分，刚好能做成一个油桶（接头处忽略不计),求 这个油桶的容积．(π 3.14=) 【巩固】如图，有一张长方形铁皮,剪下图中两个圆及一块长方形,正好可以做成1个圆柱体,这个圆柱体 的底面半径为10厘米，那么原来长方形铁皮的面积是多少平方厘米?(π 3.14=） 【例 5】 把一个高是８厘米的圆柱体,沿水平方向锯去2厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体 表面积减少12.56平方厘米．原来的圆柱体的体积是多少立方厘米？ 【巩固】一个圆柱体底面周长和高相等.如果高缩短4厘米,表面积就减少50.24 平方厘米．求这个圆柱体
十三、立体图形（2） 年级 班 姓名 得分 一、填空题 1.右图表示的长方体(单位:米),长和宽都是3米,体积是24立方米.这个长方体的表面积是 平方米. 2.把两个相同的正方体拼在一起成一个长方体,这个长方体的表面积是两个正方体表面积之和的 分之 . 3.一个长6分米、宽4分米、高2分米的木箱.用三根铁丝捆起来(如右图),打结处要用1分米铁丝.这根铁丝总长至少为 分米. 4.一个长方体的底面、侧面和前面的面积分别是12平方厘米、8平方厘米和6平方厘米.那么它的体积是 . 5.如图,从长为13厘米,宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉2厘米的正方形,然后,沿虚线折叠成长方体容器.这个容器的体积是 立方厘米. 6.将高都是1米,底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的三个圆柱组成一个物体.这个物体的表面积是 .(14.3=π)
7.把一个长、宽、高分别是7厘米、6厘米、5厘米的长方体,截成两个长方体,使这两个长方体的表面积之和最大.这时表面积之和是平方厘米. 8.一个圆柱形玻璃杯中盛有水,水面高2.5厘米,玻璃内侧的底面积是72平方厘米,在这个杯中放进棱长6厘米的正方体的铁块后,水面没有淹没铁块,这时水面高厘米. 9.正方体的每一条棱长是一个一位数;表面的每个正方形面积是一个两位数,整个表面积是一个三位数.而且若将正方形面积的两位数中两个数码调过来恰好是三位数的十位上与个位上的数码.这个正方形的体积是 . 10.如图所示,剪一块硬纸片可以做成一个多面体的纸模型(沿虚线折,沿实线粘).这个多面体的面数、顶点数和棱数的总和是 . 二、解答题 11.在底面边长为60厘米的正方形的一个长方体的容器里,直立着一个长1米,底面为正方形,边长15厘米的四棱柱铁棍.这时容器里的水半米深,现在把铁棍轻轻地向正上方提起24厘米,露出水面的四棱柱铁棍浸湿部分长多少厘米? 12.一个长、宽和高分别为21厘米、15厘米和12厘米的长方体,现从它的上面尽可能大地切下一个正方体,然后从剩余的部分再尽可能大地切下一个正方体,最后再从第二次剩余的部分尽可能大地切下一个正方体,剩下的体积是多少立方厘米? 13.如图是一个立体图形的侧面展开图,求它的全面积和体积. 14.现有一个长,宽,高都为1cm的正方体,一个长,宽,为1cm,高为2cm的长
课程五立体图形问题 1.长方体、正方体表面积的计算 2.长方体、正方体的切割问题 3.长方体、正方体的体积 4.不规则物体的体积 计算长方体和正方体的表面积应注意的问题 （1 ）找出必备条件（长、宽、高或棱长），如题中没有直接给出，则 先求出必备条件，再求表面积（有盖还是无盖）。 （2）统一计量单位，单位不统一的，一般要通过化、聚，使单位统一 后再计算。 （3）求所需用的面积材料时，一般用“进一法“取近似值。 （4）用同样多的立体拼图，由于拼法不同，重叠的次数不同，表面积 就会发生变化，每重叠一次，就减少两个面；每切一刀，就增加两个面。 1.长方体和正方体的体积概念及其计算公式 （1）长方体体积＝长×宽×高 V长方体＝abc （2）正方体体积＝棱长×棱长×棱长 V正方体＝a3 2.求不规则物体的体积 水中物体的体积＝容器的底面积×水上升或下降的高度。 水上升或下降的高度＝水中物体的体积÷容器的底面积 容器的底面积＝水中物体的体积÷水上升或下降的高度 例1 有一个长15厘米，宽10厘米，高8厘米的长方体，现在要在这个长方体中挖去一个棱长为5厘米的小正方体，那么剩下部分的表面积是多少？ （1）（2）（3） 分析与解法 根据长方体的特征我们可以知道，挖去小正方体的位置有3种情况，可能是在面上，如图（1），可能在顶点上，学习目标 重点 总结
如图（2），可能在棱上，如图（3）。在面上时，可以用长方体的表面积＋小正方体4个面的面积;在角上时，正好等于长方体的表面积；在棱上时，要用长方体的表面积+小正方体2个面的面积。 解：原长方体表面积为: （15×10+15×8+10×8）×2=700（平方厘米） 在角上时，剩下部分的表面积是700（平方厘米）； 在面上时，剩下部分的表面积是： 700+5×5×4=800（平方厘米） 在棱上时，剩下部分的表面积是：700＋5×5×2＝750（平方厘米） 所以剩下部分的表面积是700平方厘米，或800平方厘米，或750平方厘米。 说明：本题也是要考虑可能出现的各种情况，要做到不重不漏。 例2 如图棱长是2分米的正方体，沿与AB棱垂直的方向切3刀，沿与BC棱垂直的方向切4刀，沿与BF棱垂直的方向切5刀，共得到大小长方体120个。问这120个长方体的表面积之和是多少平方分米。 分析与解法 在这道题中，120个长方体表面积的总和是由原来正方体的表面积与所有切面的面积两部分组成。每切一刀，就增加2个边长是2分米的正方形，共切12刀，增加了24个边长是2分米的正方形。 解：2×2×6＋2×2×[（3＋4＋5）×2] ＝24＋96 ＝120（平方分米） 答：这120个长方体的表面积是120平方分米。 说明：此题并没有要求是平均切，所以只能考虑在原来基础上增加了多少。 例3 有一根长3.5米的方木，把它截成3段，表面积增加了144平方厘米，这根方木的体积是多少立方分米？ 分析与解法 把方木截成三段要截2次，每截一次要增加2个面，截2次增加4个面，4个面的面积为144平方厘米，144÷4＝36（平方厘米），根据体积公式就能求出方木的体积。 解：144÷4＝36（平方厘米） 36×350＝12600（立方厘米）＝12.6（立方分米） 答：这根方木的体积是12.6立方分米。 说明：切n 刀分出（n+1）段，增加2n个面。 例 4 H
2015年小学奥数几何专题——立体图形 1．如图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为8，宽为3，高为2的小长方体，那么新的几何体的表面积是多少？ 2．右图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长l厘米的正方体，做成一种玩具．它的表面积是多少平方厘米?（图中只画出了前面、右面、上面挖去的正方体） 3．在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多少？ 4．下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1 厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为1 2 厘米的正方形小洞，第 三个正方形小洞的挖法和前两个相同为1 4 厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多 少平方厘米？
5．一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片，每片又锯成3长条，每条又锯成4小块，共得到大大小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面积之和是多少？ 6．一个表面积为2 56cm的长方体如图切成27个小长方体，这27个小长方体表面积的和是多少平方厘米？ 7．如图，25块边长为1的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少？ 25块积木 8．要把12件同样的长a、宽b、高h的长方体物品拼装成一件大的长方体，使打包后表面积最小，该如何打包？ ⑴当 b=2h时，如何打包？ ⑵当 b<2h时，如何打包？ ⑶当 b>2h时，如何打包？ 9．要把6件同样的长17、宽7、高3的长方体物品拼装成一件大的长方体，表面积最小是多少？ 10．如图，在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体，求这个立体图形的表面积． 11．如图，棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米、5厘米的四个正方体紧贴在一起，则所得到的多面体的表面积是多少平方厘米？
小学六年级数学总复习（十一） 班级______ 姓名__________ 得分__________ 复习内容：①立体图形的基本概念②立体图形的表面积、体积、容积 一、填空 1. 长方体有（）个面，有（）条棱，有（）个顶点。 （）分别叫做长方体的长、宽、高。 2. （）的长方体叫做正方体。它的六个面都是（）形，六个面的面积都 （），它的12条棱都（）。 3. 右图是（）体的表面展开图，请你测量 出有关数据（精确到整厘米数）。 这个形体的底面周长是（）厘米。 这个形体的高是（）厘米。 这个形体的侧面积是（）平方厘米。 这个形体的体积是（）立方厘米。 4. 填表： 形体名称已知条件表面积体积 长方体长3米，宽2米，高1.5米 正方体棱长0.6分米 底面半径10厘米，高5厘米 圆柱体底面直径1.8分米，高12厘米 底面周长0.942米，高20厘米 圆锥体底面直径和高都是9分米 5. 用铁丝焊接成一个长5分米，宽4分米，高3分米的长方体模型，至少需要铁丝（）； 如果用纸糊它的表面，至少需要（）纸板；这个长方体模型的体积是（）。6. 用3个棱长都是2厘米的正方体拼成一个长方体，拼成的这个长方体的表面积是（） 平方厘米，体积是（）立方厘米。 7. 一个圆锥与和它等底等高的圆柱的体积相差12立方分米，圆锥的体积是（）立方分米。 8. 把长、宽、高分别是6厘米、4厘米、5厘米的长方体削成一个最大的圆柱体，圆柱的体 积是（）立方厘米。 9. 把一根直径是20厘米，长是2米的圆柱形木材锯成同样的3段，表面积增加了（）立 方厘米。 10. 一个圆柱形的铁皮水桶，从里面量底面直径4分米，深5分米，做这个无盖水桶至少需要 （）铁皮；这个水桶最多可以装水（）升。 11. 圆柱和圆锥的体积比是3﹕2，底面积的比是3﹕4，高的比是（）。 12. 一个正方体的高增加3厘米，得到的新长方体的表面积比原来正方体的表面积增加了60 平方厘米，原来正方体的体积是（）立方厘米。 二、判断（对的请在括号内打“√”，错的打“×”。） 1. 长方体的六个面中最多只有四个面的面积相等。…………………………（） 2. 圆锥体积是圆柱的1/3，则它们一定等底等高。…………………………（） 3. 一个圆柱的底面直径与高相等，它的侧面展开图就一定是正方形。…（）
第五讲 几何——立体部分 教学目标： 对于小学几何而言，立体图形的表面积和体积计算，既可以很好地考查学生的空间想象能力，又可以具体考查学生在公式应用中处理相关数据的能力，所以，很多重要考试都很重视对立体图形的考查． 知识点拨： 一、长方体和正方体 如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱． c b a H G F E D C B A ①在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等． (叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．) ②长方体的表面积和体积的计算公式是： 长方体的表面积：2()S ab bc ca =++长方体； 长方体的体积：V abc =长方体． ③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形． 如果它的棱长为a ，那么：26S a =正方体，3V a =正方体． 二、圆柱与圆锥
例题精讲： 【例 1】 如右图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为8，宽为3， 高为2的小长方体，那么新的几何体的表面积是多少？ 【例 2】 右图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下 各面的中心位置挖去一个边长l 厘米的正方体，做成一种玩具．它的表面积是多少平方厘米?（图中只画出了前面、右面、上面挖去的正方体） 【巩固】在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去 一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多少？ 【例 3】 下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中， 向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面 正中向下挖一个棱长为1 2 厘米的正方形小洞，第三个正方形 小洞的挖法和前两个相同为1 4 厘米，那么最后得到的立体图 形的表面积是多少平方厘米？ 【例 4】 一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片， 每片又锯成3长条，每条又锯成4小块，共得到大大小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面积之和是多少？ 【巩固】(2008年走美六年级初赛)一个表面积为256cm 的长方体如图切成27个小长方体，这27个小长方体 表面积的和是 2cm ． 【例 5】 如图，25块边长为1的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少？ 25块积木 【例 6】 要把12件同样的长a 、宽b 、高h 的长方体物品拼装成一件大的长方体，使打包后表面积最小，该
十三、立体图形（1） 年级 班 姓名 得分 一、填空题 1.一个正方体的表面积是384平方分米，体积是512立方分米，这个正方体棱长的总和是. 2.如图,在一块平坦的水泥地上,用砖和水泥砌成一个长方体的水泥池,墙厚为10厘米(底面利用原有的水泥地).这个水泥池的体积是. 3.一个边长为4分米的正方形,以它的一条边为轴,把正方形旋转一周后,得到一个,这个形体的体积是. 4.把19个边长为2厘米的正方体重叠起来堆成如右图所示的立方体,这个立方体的表面积是平方厘米. 5.图中是一个圆柱和一个圆锥(尺寸如图).问: 柱 锥V V 等于. 6.一个长方体的表面积是6 7.92平方分米.底面的面积是19平方分米.底面周长是17.6分米,这个长方体的体积是 . 2 单位:米
7.一块长方体木块长2.7米,宽1.8分米,高1.5分米.要把它裁成大小相等的正方体小木块,不许有剩余,小正方体的棱长最大是分米. 8.王师傅将木方刨成横截面如右图(单位:厘米)那样高40厘米的一根棱柱.虚线把横截面分成大小两部分,较大的那部分的面积占整个底面的60%.这个棱柱的体积是立方厘米. 9.小玲有两种不同形状的纸板.一种是正方形的,一种是长方形的(如下图).正方形纸板的总数与长方形纸板的总数之比是1:2.她用这些纸板做成一些竖式和横式的无盖纸盒,正好将纸板用完.在小玲所做的纸盒中,坚式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是. 10.在桌面上摆有一些大小一样的正方体木块,从正南方向看如下图(1),从正东方向看如下图(2),要摆出这样的图形至多能用块正方体木块,至少需要 块正方体木块. 二、解答题 11.一个长方形水箱,从里面量长40厘米,宽30厘米,深35厘米.原来水深10厘米,放进一个棱长20厘米的正方形铁块后,铁块的顶面仍然高于水面,这时水面高多少厘米? 8 28 24 12 （图1） （图2）
第11讲立体图形 各种涉及长方体、立方体、圆柱、圆锥等立体图形表面积与体积的计算问题，解题时考虑沿某个方向的投影常能发挥明显的作用.较为复杂的是与剪切、拼接、染色等相关联的立体几何问题. 第六届：“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛第12 题（略有改动） 1．用棱长是1厘米的立方块拼成如图11-1所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米? 【分析与解】显然，图11-1的图形朝上的面与朝下的面的面积相等，都等于3×3=9个小正方形的面积，朝左的面和朝右的面的面积也相等，等于7个小正方形的面积；朝前的面和朝后的面的面积也相等，都等于7个小正方形的面积，因此，该图形的表面积等于(9+7+7)×2=46个小正方形的面积，而每个小正方形面积为l平方厘米，所以该图形表面积是46平方厘米． 2．如图11-2，有一个边长是5的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是5，3，2的长方体，那么它的表面积减少了百分之几? 【分析与解】原来正方体的表面积为5 ×5×6=150． 现在立体图形的表面积截了两个面向我们的侧面，它们的面积为(3×2)×2=12，12÷150=0.08=8％．即表面积减少了百分之八． 3．如图11-3，一个正方体形状的木块，棱长l米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块．那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米?
【分析与解】我们知道每切一刀，多出的表面积恰好是原正方体的2个面的面积．现在一共切了(3-1)+(4-1)+(5-1)=9刀，而原正方体一个面的面积1×l=1(平方米)，所以表面积增加了9×2×1=18(平方米)． 原来正方体的表面积为6×1=6(平方米)，所以现在的这些小长方体的表积之和为6+18=24(平方米)． 4．图11-4中是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长l厘米的正方体，做成一种玩具．它的表面积是多少平方厘米? 【分析与解】原正方体的表面积是4×4×6=96(平方厘米)． 每一个面被挖去一个边长是1厘米的正方形，同时又增加了5个边长是1厘米的正方体作为玩具的表面积的组成部分．总的来看，每一个面都增加了4个边长是1厘米的正方形．从而，它的表面积是96+4×6=120平方厘米． 5．图11-5是一个边长为2厘米的正方体．在正方体的上面的正中向下挖一个边长为1厘米的正方 体小间；接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为1 2 厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同， 边长为1 4 厘米．那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米? 【分析与解】因为每挖一次，都在原来的基础上，少了1个面，多出了5个面，即增加了4个面．所以，最后得到的立体图形的表面积是：
第四讲立体图形 【内容概述】 各种涉及长方体、立方体、圆柱、圆锥等立体图形表面积与体积的计算问题，解题时考虑沿某个方向的投影常能发挥明显的作用.较为复杂的是与剪切、拼接、染色等相关联的立体几何问题. 【典型问题】 例1用棱长是1厘米的立方块拼成如下图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米?（第六届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛第12 题） 例2如图，有一个边长是5的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是5，3，2的长方体，那么它的表面积减少了百分之几?（1993年全国小学数学奥林匹克初赛） 例3如图11-3，一个正方体形状的木块，棱长l米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块．那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米? 例4下图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长l厘米的正方体，做成一种玩具．它的表面积是多少平方厘米?（北京市第二届“迎春杯”数学竞赛决赛）
例5下图是一个边长为2厘米的正方体．在正方体的上面的正中向下挖一个边长为1 厘米的正方体小间；接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为1 2 厘米的小洞；第三个小洞 的挖法与前两个相同，边长为1 4 厘米．那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米? （1989年全国小学数学奥林匹克初赛） 例6有大、中、小3个正方形水池，它们的内边长分别是6米、3米、2米．把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6厘米和4米．如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米· 例7如下图，从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长2米的正方形，然后，沿虚线折叠成长方体容器．这个容器的体积是多少立方厘米?（第三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛复赛第6题） 例8今有一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方体．现从它的上面尽可能大的切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体．问剩下的体积是多少立方厘米?（北京市第八届“迎春杯”数学竞赛决赛）
课前活动 课 同学们，你们都玩过积木吗？课前准备 下面这些柱体你都认识吗？让我们一起来看看吧！ 长方体个面个顶点条棱 6个面，8个顶点，12条棱。 至少四面长方形，对棱平行且相等。 上下可正也可长二面相对大小同 上下可正也可长，二面相对大小同。 正方体6个面，8个顶点，12条棱。 六面都是正方形，平行相对又相等。 圆柱体高高立，横倒在地能滚动。上下两面为圆形平行相对又相等上下两面为圆形，平行相对又相等。 这些图形有特点上下都是样粗这些图形有特点，上下都是一样粗，课前准备 认识锥体 柱体的头变成尖尖的——锥体
课前准备 认识球体 将实物与中间对应的图形连接起来。 “我是球，我圆圆的脑袋，圆圆的脸，我站不稳，我跑得快。篮球排球都是我， 娱乐健身好伙伴！” 小提示： 球是可以滚动的立体的球是球体的简称 球是可以滚动的，立体的，球是球体的简称。 圆是不能滚动的，平面的，可以用球体来画出圆。 【拓展】(★★) 左边的两堆方块拼起来，是右边的哪一堆？用线连起来。【例2】(★★★) 找不同，把下图中不同于其它类的立体图形圈起来。
上面的这些图形可以拼成下面的哪种立体图形呢？连一连。从下面的立体图形中能找到哪些平面图形？请你连一连。 大圆变小圆 在一张纸上画了一个大圆，聪明的小朋友们，你能够将这张纸折叠，使大圆变成一个小圆吗？快来试一试吧！ 乐乐老师答疑互动群【铺垫】(★★)我会数方块 同学们，你知道下图一共有多少个方块吗？【例5】(★★★★) 下图由正方体堆成，数一数共有多少个正方体？
【拓展】(★★★★) 数一数，下图的图形各用几个方块堆成的？【例6】(★★★★★) 下面的塔是由几块小方块堆成的？ 【拓展】(★★★★) 数一数，下图的图形各用几个方块堆成的？ 二、(常见)的立体图形 三、立体图形与平面图形的转换 ①立体图形→→平面图形 ①图拆平图
小学六年级奥数测试题 1、2009＋200.9＋20.09＋2.009＋991＋99.1＋9.91＋0.991＝( )。 2、2009×2009×2009×2009×2009×2009×2009×2009的积的个位数是( )。 3、99999×7＋11111×37＝( )。 4、观察前三个算式，找出规律，在最后的式子中的括号内填入合适的数。123456789×9＝1111111101；123456789×18＝2222222202； 123456789×27＝3333333303；123456789×( )＝8888888808 5、在2008年北京奥运会上，中国运动健儿勇夺金、银、铜牌100枚。其中， 金牌数比银牌数的2倍多9枚，铜牌数比银牌数多7枚。请算一算：中国运动 健儿获得金牌( )枚，银牌( )枚，铜牌( )枚。 6、列车通过420米长的海底隧道用16秒；通过一座120米长的桥梁用10秒。 列车的车身长( )米。 7、4条直线最多能把一个长方形割成( )块。 8、有5位同学参加数学比赛，比赛分数都为整数。5人中最高分数100分，最 低分数是60分，且每人所得分数不相同，5人的平均分数是85分。请估算一下， 排在第三的那位同学最少得( )分。 9、箱子里有红球30个，白球20个，黄球15个，蓝球25个。那么最少要从箱 子里摸出( )个球，才能保证摸出的球有红球，白球，黄球，和蓝球。 10、开学前打扫教室，小明30分钟能打扫完毕；小芬却要50分钟才能打扫完 毕。现在小明先打扫6分钟，然后小芬也来参加一起打扫，那么，还要( )分钟就可以打扫完毕。
11、科学家进行一项科学实验，每隔2小时做一次记录，做第六次记录时，挂钟时针指向“11”，做第一次记录时，时针指向( )。 12、一辆客车和一辆货车从a，b两地同时相向开出。出发后2小时，两车相距282千米；出发后5小时，两车相遇。请回答：a，b两地相距( )千米。 13、把19个棱长为1厘米的正方体重叠起来，如右图，拼成 一个立体图形，求这个立体图形的表面积是( )平 方厘米。 15、100名学生当上全区儿童运动会的“志愿者”，男同学2人一组，女同学3人一组，刚好41组。男志愿者有( )名，女志愿者有( )名。
立体图形（一） 【知识分析】 本课时是在学生学习了圆柱体和圆锥体的体积之后的拓展练习。通过本课时的学习，学生能够根据所学的圆柱体、圆锥体的体积公式解决一些实际问题，培养学生解决问题的能力。 【例题解读】 【例1】已知一个圆柱体的底面半径是4厘米，它的侧面积是60平方厘米，求它的体积是多少立方厘米？ 【思路简析】这道题的突破口是在“侧面积是60平方厘米”,侧面积的算法是πdh，而体积求法是πr2h，只需把60除以2，算出πrh，再乘上r（4）即可。 列式：60÷2×4＝120立方厘米 【例2】一个底直径为20厘米的圆柱形木桶里装有水，水中放着一个底面直径为18厘米，高为20厘米的铁质圆锥体。当圆锥体取出后，桶内水面降低多少厘米？ 【思路简析】仔细观察会发现，其实降低的水位与木桶底面积相乘就是圆锥的面积，而圆锥的面积为20×92×3.14÷3，算出后只需除以圆柱底面积就行了。 列式：﹙20×92×3.14÷3﹚÷﹙102×3.14﹚=5.4厘米 【例3】一个圆柱体，如果它的高增加2厘米，它的侧面积就增加50.24平方厘米。这个圆柱体的底面半径是多少厘米？
【思路简析】画一个示意图会发现增加的只是侧面积，底面积并没有增加，所以，只用50.24÷3.14÷2，算出它的底面直径，除以2就行了。 列式： 50.24÷3.14÷2÷2＝4厘米 【经典题型练习】 1.一个圆柱体，底面半径是5厘米，这个圆柱体的侧面积是100平方厘米。它的体积是立方厘米？ 2.一个圆柱体，底面周长是6.28厘米，如果把圆柱体沿直径切成两个半圆柱体，表面积就增加20平方厘米，圆柱的体积是立方厘米？ 3.用直径为40毫米的圆形钢材截下一段压成直径为60毫米，高为40毫米的圆柱形零件毛坯，需要截取多少毫米圆钢？ 立体图形（二） 【知识分析】 本课时是在学生学习了立体图形之后的拓展练习。通过本课时的学习，学生能够综合运用所学的立体图形的知识解决一些实际问题，培养学生综合解决问题的能力。 【例题解读】
课程五 立体图形问题 1.长方体、正方体表面积的计算 2.长方体、正方体的切割问题 3.长方体、正方体的体积 4.不规则物体的体积 计算长方体和正方体的表面积应注意的问题 （1）找出必备条件（长、宽、高或棱长），如题中没有直接给出，则 先求出必备条件，再求表面积（有盖还是无盖）。 （2）统一计量单位，单位不统一的，一般要通过化、聚，使单位统一 后再计算。 （3）求所需用的面积材料时，一般用“进一法“取近似值。 （4）用同样多的立体拼图，由于拼法不同，重叠的次数不同，表面积 就会发生变化，每重叠一次，就减少两个面；每切一刀，就增加两个面。 1.长方体和正方体的体积概念及其计算公式 （1）长方体体积＝长×宽×高 V 长方体＝abc （2） 正方体体积＝棱长×棱长×棱长 V 正方体＝a 3 2.求不规则物体的体积 水中物体的体积＝容器的底面积×水上升或下降的高度。 水上升或下降的高度＝水中物体的体积÷容器的底面积 容器的底面积＝水中物体的体积÷水上升或下降的高度 例1 有一个长15厘米，宽10厘米，高8厘米的长方体，现在要在这个长方体中挖去一个棱长为5厘米的小正方体，那么剩下部分的表面积是多少？ 学习目标 重 点 总 结
（1） （2） （3） 分析与解法 根据长方体的特征我们可以知道，挖去小正方体的位置有3种情况，可能是在面上，如图（1），可能在顶点上，如图（2），可能在棱上，如图（3）。在面上时，可以用长方体的表面积＋小正方体4个面的面积;在角上时，正好等于长方体的表面积；在棱上时，要用长方体的表面积+小正方体2个面的面积。 解：原长方体表面积为: （15×10+15×8+10×8） ×2=700（平方厘米） 在角上时，剩下部分的表面积是700（平方厘米）； 在面上时，剩下部分的表面积是： 700+5×5×4=800（平方厘米） 在棱上时，剩下部分的表面积是：700＋5×5×2＝750（平方厘米） 所以剩下部分的表面积是700平方厘米，或800平方厘米，或750平方厘米。 说明：本题也是要考虑可能出现的各种情况，要做到不重不漏。 例2 如图棱长是2分米的正方体，沿与AB 棱垂直的方向切3刀，沿与BC 棱垂直的方向切4刀，沿与BF 棱垂直的方向切5刀，共得到大小长方体120个。问这120个长方体的表面积之和是多少平方分米。 分析与解法 在这道题中，120个长方体表面积的总和是由原来正方体的表面积与所有切面的面积两部分组成。每切一刀，就增加2个边长是2分米的正方形，共切12刀，增加了24个边长是2分米的正方形。 解： 2×2×6＋2×2×[（3＋4＋5）×2] ＝24＋96 ＝120（平方分米） 答：这120个长方体的表面积是120平方分米。 说明：此题并没有要求是平均切，所以只能考虑在原来基础上增加了多少。 例3 有一根长3.5米的方木，把它截成3段，表面积增加了144平方厘米，这根方木的体积是多少立方分米？ 分析与解法 A D H E B C
表面积与体积练习和答案 专题简析：小学阶段所学的立体图形主要有四种长方体、正方体、圆柱体和圆锥体。从平面图形到立体图形是认识上的一个飞跃，需要有更高水平的空间想象能力。因此，要牢固掌握这些几何图形的特征和有关的计算方法，能将公式作适当的变形，养成“数、形”结合的好习惯，解题时要认真细致观察，合理大胆想象，正确灵活地计算。 在解答立体图形的表面积问题时，要注意以下几点： （1）充分利用正方体六个面的面积都相等，每个面都是正方形的特点。 （2）把一个立体图形切成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍。反之，把两个立体图形粘合到一起，减少的表面积等于粘合面积的两倍。 （3）若把几个长方体拼成一个表面积最大的长方体，应把它们最小的面拼合起来。若把几个长方体拼成一个表面积最小的长方体，应把它们最大的面拼合起来。 例1.从一个棱长为10里面的正方体上挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？ 【思路导航】这是一道开放题，方法有多种： 1)沿一条棱挖，剩下部分的表面积为592平方厘米。 2)在某个面挖，剩下部分的表面积为632平方厘米。 3)挖通某两个对面，剩下部分的表面积为672平方厘米。 练习1. 1.把一个长为12分米、宽为6分米、高为9分米的长方体木块锯成两个相同的小长方体木块，这两个小长方体的表面积之和比原来长方体的表面积增加了多少平方米？ 2.在一个棱长是4厘米的立方体上挖一个棱长是1厘米的小正方体后，表面机会发生怎样的变化？ 例2.把19个棱长为3厘米的正方体重叠起来，拼成一个立体图形，求这个立体图形的表面积。 【思路导航】要求这个复杂形体的表面积，必须从整体入手，从上、左、前三个方向观察，每个方向上的小正方体各面就组合成了如下图形。
38、立体图形的计算 【表面积的计算】 例1 一个正方体木块，棱长1米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大小不等的长方体60块（如图5.69）。那么，这60块长方体的表面积的和是平方米。 （1988年北京小学数学奥林匹克邀请赛试题） 讲析：不管每次锯的长方体大小如何，横着锯2次一共增加了4个正方形面；前后竖直方向锯3次共增加了6个正方形面；左右竖直方向锯4次共增加了8个正方形面。原来大正方体有6个正方形面，所以一共有24个正方形面。 所以，60块长方体的表面积之和是 （1×1）×24＝24（平方米）。 例2 图5.70是由19个边长都是2厘米的正方体重叠而成的。求这个立体图形的外表面积。
（北京市第一届“迎春杯”小学数学竞赛试题） 讲析：如果按每一层有多少个正方体，然后再数出每层共有多少个外表面正方形，则很麻烦。于是，我们可采用按不同的方向来观察的方法去计算。 俯视，看到9个小正方形面；正视，看到10个小正方形面；侧视，看到8个小正方形面。 所以，这个立体图形的表面积是（2×2）×[（9＋10＋8）×2]=216（平方厘米）。 【体积的计算】 例1 一个正方体的纸盒中恰好能放入一个体积为628立方厘米的圆柱体，如图5.71，纸盒的容积有多大？（π取3.14）
（全国第四届“华杯赛”复赛试题） 讲析：因圆柱体的高、底面直径以及正方体的棱长都相等。故可设正方 即：正方体纸盒的容积是800立方厘米。 例2 在一个棱长4厘米的正方体的上面、右面、前面这三个面的中心分别挖一个边长1厘米的正方形小孔（如图5. 72所示），并通过对面，求打孔后剩下部分的体积。 （北京市第二届“迎春杯”小学数学竞赛试题）。 讲析：打完孔之后，在大正方体正中央就有一个1×1×1的空心小正方体。
十三、立体图形（1） 年级 班 姓名 得分 一、填空题 1.一个正方体的表面积是384平方分米，体积是512立方分米，这个正方体棱长的总和是 . 2.如图,在一块平坦的水泥地上,用砖和水泥砌成一个长方体的水泥池,墙厚为10厘米(底面利用原有的水泥地).这个水泥池的体积是 . 3.一个边长为4分米的正方形,以它的一条边为轴,把正方形旋转一周后,得到一个 ,这个形体的体积是 . 4.把19个边长为2厘米的正方体重叠起来堆成如右图所示的立方体,这个立方体的表面积是 平方厘米. 5.图中是一个圆柱和一个圆锥(尺寸如图).问:柱锥 V V 等于 . 6.一个长方体的表面积是6 7.92平方分米.底面的面积是19平方分米. 底面 2 单位:米
周长是17.6分米,这个长方体的体积是 . 7.一块长方体木块长2.7米,宽1.8分米,高1.5分米.要把它裁成大小相等的正方体小木块,不许有剩余,小正方体的棱长最大是 分米. 8.王师傅将木方刨成横截面如右图(单位:厘米)那样高40厘米的一根棱柱.虚线把横截面分成大小两部分,较大的那部分的面积占整个底面的60%.这个棱柱的体积是 立方厘米. 9.小玲有两种不同形状的纸板.一种是正方形的,一种是长方形的(如下图).正方形纸板的总数与长方形纸板的总数之比是1:2.她用这些纸板做成一些竖式和横式的无盖纸盒,正好将纸板用完.在小玲所做的纸盒中,坚式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是 . 10.在桌面上摆有一些大小一样的正方体木块,从正南方向看如下图(1),从正东方向看如下图(2),要摆出这样的图形至多能用 块正方体木块,至少需要 块正方体木块. 二、解答题 11.一个长方形水箱,从里面量长40厘米,宽30厘米,深35厘米.原来水深10厘米,放进一个棱长20厘米的正方形铁块后,铁块的顶面仍然高于水面,这时水面高多少厘米? 12.如图表示一个正方体,它的棱长为4厘米,在它的上下、前后、左右的正中位置各挖去一个棱长为1厘米的正方体,问此图的表面积是多少? 8 28 24 12 （图1） （图2）
数立体图形善智知识点： 1.数平面图形：先数小，再数大（不能看到几个就是几个） 2.数立体图形注意：. 一层一层数，每一层都不能遗漏被挡住的个数. 认真思考，结果要用算式表达出来 数图形歌3.. 数图形，按顺序，先数小，再数大. 立体的，有隐藏，分层数，再相加 课堂共同练习： 1.下图有（）个正方形？ 下图有（）个长方形？2. ）个三角形？下图有（3. 1 4.数图形：
）个正方形）个长方形（）个三角形（（ 5.数一数下面的图形各由几个小正方体组成，并画出从它们的正面看到的形 状． 用正方体摆成下图，数一数一共有几个小正方体，其中几个能看见，几个看不见？6. 一共（）个一共（一共（）个）个看见（看见（看见（）个）个）个）个看不见（）个看不见（）个看不见（ 7.数一数下面每个立体图形各有几个小正方 体．
2． 8.数一数，下面的立体图形是由几个小正方体搭成的？ . ）个小正方体，就能组成一个大正方体给下列图形，再添加（ 9. 10.数一数下面物体中各有几个小正方 体． ）个（）个（ 11.数一数下面物体中各有几个小正方 体．
（）个（）个. ）个正方体12.数一数，下图中一共有（ 个个A.6 B.7 C.8个 3 课后自我提升：数一数下图分别有几个图形？1. ）个三角形（（）个正方形（）个长方形数一数，下图有几个三角形？2. ）个）个（（ .
3.摆一摆，数一数．下面每个图形分别是由几个小正方体组成的 4.数一数，填一填 个正方体．个正方体，中间一层有（1）按层数：下面一层有个正方体，上面一层有 （2）按前后排数：前排有个正方体，后排有个正方体．个正方体．3（）一共有 . 数一数下列物体是由几个小正方体拼成的5. （）个（个）（）个 4． 6.数一数下面物体中各有几个小正方 体． 个）（）个（（）个
立体图形的计算 【表面积的计算】 例1 一个正方体木块，棱长1米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大小不等的长方体60块（如图5.69）。那么，这60块长方体的表面积的和是平方米。 （1988年北京小学数学奥林匹克邀请赛试题） 讲析：不管每次锯的长方体大小如何，横着锯2次一共增加了4个正方形面；前后竖直方向锯3次共增加了6个正方形面；左右竖直方向锯4次共增加了8个正方形面。原来大正方体有6个正方形面，所以一共有24个正方形面。 所以，60块长方体的表面积之和是 （1×1）×24＝24（平方米）。 例2 图5.70是由19个边长都是2厘米的正方体重叠而成的。求这个立体图形的外表面积。 （北京市第一届“迎春杯”小学数学竞赛试题） 讲析：如果按每一层有多少个正方体，然后再数出每层共有多少个外表面正方形，则很麻烦。于是，我们可采用按不同的方向来观察的方法去计算。
俯视，看到9个小正方形面；正视，看到10个小正方形面；侧视，看到8个小正方形面。 所以，这个立体图形的表面积是（2×2）×[（9＋10＋8）×2]=216（平方厘米）。 【体积的计算】 例1 一个正方体的纸盒中恰好能放入一个体积为628立方厘米的圆柱体，如图5.71，纸盒的容积有多大？（π取3.14） （全国第四届“华杯赛”复赛试题） 讲析：因圆柱体的高、底面直径以及正方体的棱长都相等。故可设正方 即：正方体纸盒的容积是800立方厘米。 例2 在一个棱长4厘米的正方体的上面、右面、前面这三个面的中心分别挖一个边长1厘米的正方形小孔（如图5. 72所示），并通过对面，求打孔后剩下部分的体积。
六年级数学毕业总复习立体图形专题训练卷（一） 一、填空。（每空1分，共15分） （1）把圆柱的侧面沿高展开，一般可以得到 （ ）形，这个图形的长相当于（ ），宽相当于（ ）。 （2）用一根铁丝焊接成一个长10厘米、宽3厘米、高2厘米的长方体框架，至少需要铁丝（ ）厘米。 （3）一个长方体最多可以有（ ）个面是正方形。 （4）做一个圆柱形铁皮罐头盒，求需要多少铁皮，是求它的（ ），罐头盒周围贴商标纸， 求商标纸的面积是求它的（ ）。 （5）一个圆柱比与它等底等高的圆锥体积大2.4立方分米，这个圆柱的体积是（ ）立方分米。 （6）一个正方体的底面周长是8分米，它的表面积是（ ），体积是 （ ）。 （7）圆锥的体积是100立方米，高是10米，它的底面积是（ ）平方米。 （8）一个圆柱和圆锥的体积相等，底面积也相等，圆柱高6厘米，圆锥高（ ）厘米。 （9）两个正方体的棱长比是2：3，体积比是（ ）：（ ）。 （10）把一个棱长8厘米的正方体削成一个最大的圆柱体，圆柱的体积是（ ）立方厘米。 二、判断。（每小题1分，共5分） 1、一个正方体的底面周长是20厘米，这个正方体的体积是125立方厘米。 （ ） 2、棱长6厘米的正方体，表面积和体积相等。（ ） 3、圆锥体积是圆柱体积的13 。（ ） 4、圆柱的侧面展开图有可能是平行四边形。 （ ） 5、一个圆锥的底面周长和高分别扩大到原来的2倍，它的体积扩大到原来的4倍。 （ ） 三、 选择。（每小题2分，共10分） 1、长方体与正方体的关系可以用下面（ ）图表示。 A B C 2、圆柱的底面半径扩大2倍，高不变，它的体积就扩大（ ）。 A 、12 B 、2倍 C 、4倍 D 、8倍 3、下面（ ）图形旋转就会形成圆锥。 A 、 B 、 C 、 D 、