第一章 导热理论和导热微分方程
相互接触的物体各部分之间依靠分子、原子和自由电子等微观粒子的热运动而传递热量的过程称为导热。在纯导热过程中物体各部分之间没有宏观运动。
与固体物理的理论研究方法不同，传热学研究导热问题时不是对导热过程的微观机理作深入的分析，而是从宏观的、现象的角度出发，以实验中总结出来的基本定律为基础进行数学的推导，以得到如温度分布、温度-时间响应和热流密度等有用的结果。这种处理方法的物理概念简单明了，但所要求的数学知识和技能仍是复杂和困难的。本书在材料的选取上，注意在介绍有重要应用价值的结果的同时，也给予求解导热问题的典型数学方法以足够的重视，以培养和发展读者独立解决问题的能力。
1-1 导热基本定律
1-1-1 温度场
由于传热学以宏观的、现象的方式来研究导热问题，团此必须引入连续介质假定，以便用连续函数来描述温度分布。温度场就是在一定的时间和空间域上的温度分布。它可以表示为空间坐标和时间的函数。由于温度是标量，温度场是标量场。常用的空间坐标系有三种：直角坐标系、柱坐标系和球坐标系。在直角坐标系中，温度场可以表示为
(,,,)t f x y z τ= （1-1-1）
式中：t 表示温度；x 、y 、z 为三个空间坐标；τ表示时间。
若温度场各点的温度均不随时间变化，即0t τ??=，则称该温度场为稳态温度场，否则为非稳态温度场。若温度场只是一个空间坐标的函数，则称为一维温度场；若温度场是两个或三个空间坐标的函数，则称为二维或三维温度场。
1-1-2 等温面与温度梯度
物体内温度相同的点的集合所构成的面叫做等温面。对应不同温度值的等温面构成等温面族。等温面与任一截面的交线形成等温线。由于等温线具有形象直观的优点，二维温度场常用等温线来表示温度分布。
由于在同一时刻物体的一个点上只能有一个温度值，所以不同的等温面不可能相交。它们或者在域内形成封闭曲线，或者终止于物体的边界。
如图1-l 所示，在物体内某一点P 处，沿空间某一方向l 的温度的变化率
图1-l 等温线和温度梯度
0lim l t t
l l
?→??=?? （1-1-2） 称为温度场沿该方向的方向导数。因为沿等温面方向温度不变，所以温度场在等温面方向的方向导数为零。对于确定的空间点，在空间各方向上最大的方向导数称为该点的梯度。所以，温度梯度是一个向量。温度梯度的方向是温度增加最快的方向，它的模（大小）等于最大的方向导数。温度梯度可以记作grad t 或▽t 。温度梯度在任一方向l 的投影就是该方向的方向导数。若l 方向与grad t 的夹角为θ，则
cos t
gradt l gradt l
θ?=?=? （1-1-3） 其中l 是l 方向的单位向量；显然，温度梯度垂直于过该点的等温面。
在直角坐标系中。温度梯度在三个坐标轴上的投影分别为t x ??、t y ??、t z ??，则有
t t t gradt i j k x y z
???=
++??? （1-1-4） 其中i 、j 、k 分别为x 、y 、z 在坐标轴上的单位向量。在一般的正交坐标系中梯度的表达式将在以后讨论。
连续温度场内的每—点都对应一个温度梯度向量，所以温度梯度构成一个向量场。应该注意，梯度（gradient ）在英文中有两个不完全相同的意义。一个是以上介绍的严格按数学（场论）意义上定义的梯度，它是一个向量；另一个意思是“坡度”、“变化率”。由此在有些中文书中也可见到如“温度场在x 方向的梯度”这样的说法，意思是t x ??。读者应加以区别。
1-1-3 热流向量
单位时间内通过单位面积传递的热量称为热流密度，记作q ，单位为W/m 2。对确定的空间点、在不同方向上热流密度是不同的。与定义温度梯度的方法一样，可以定义一点处的热流向量。热流向量的方向是热流密度最大的方向，其大小等于该方向的热流密度。热流向量记作q 。任一方向的热流密度等于热流向量在该方向的投影。在连续温度场内的每一点都对应一个热流向量，所以热流向量也构成一个热流向量场，或称热流场。在直角坐标系中
x y z q q i q j q k =++ （1-1-5）
1-1-4 傅里叶定律
以实验观察为基础并经过科学的抽象，1822年法国数学物理学家傅里叶（Joseph Fourier ）提出了把温度场和热流场联系起来的基本定律。对于各向同性（材料的导热系数不随方向改变）的物体，傅里叶定律可表述为：热流向量与温度梯度成正比，方向相反。因为温度梯度是指向温度升高的方向，而根据热力学第二定律，热流总是朝着温度降低的方向，或用数学形式表示为
q gradt λ=- （1-1-6）
其中λ称为材料的导热系数。
把式（1-1-4）、（1-l-5）代入式（1-1-6），可得傅里叶定律在直角坐标系中的投影表达式为
x y z t q x t q y t q z λ
λλ?
?=-?????
=-????
?=-?
?? （1-1-7）
傅里叶定律适用于稳态和非稳态的、无热源和有热源的温度场，也适用于常物性和物性随温度改变的
情况。但对于各向异性材料将必须作一定的修改，对此将在后面的第三节中讨论。
傅里叶定律建立了温度场和热流场之间的联系，温度场确定之后热流场就被唯一地确定，并且可进一步求得经物体内部或边界上任意表面传导的热流量Q （如图1-2所示）：
图1-2 通过任意表面的热流量
dQ q dA gradt dA λ=?=-? （1-1-8）
A
A
Q q dA gradt dA λ=?=-??? （1-1-9）
其中，dA 是面积元向量，方向为表面的外法线方向。这样，在已知导热系数的情况下，由温度场可以确定流过任意表面的热流量。因此，虽然在许多实际问题中可能更关心热流量的计算，但是在求解导热问题时总是把求解温度场放在首要地位。
1-1-5 导热系数
傅里叶定律的另一个作用就是定义了导热系数，即
q
gradt
λ=
（1-1-10） 在导热分析中，导热系数是一个重要的物性参数，在给定温度梯度的条件下热流密度的大小正比于导热系数。在国际单位制中，导热系数的单位是W/(m ·K)。导热系数与材料的种类及其所处的状态有关。固体、液体与气体，金属与介电质的内部结构不同，导热的机理也有很大的差异。热物性学的现代理论提供了对导热过程微观机理的解释，并为按要求的热物性“设计”特定的材料提供了可能的途径。但是这些理论还不够完善，除了对理想气体和晶体等比较简单的情况以外，对于绝大多数材料还不能较精确地预测其导热系数。有关导热微观机理的理论可参阅文献[1，2]。对于绝大多数材料，现在还不能根据其结构和导热机理来计算其导热系数。各种实际应用材料的导热系数主要是通过实验的方法得到的。目前已有一系列不同的实验方法可用来测定各种材料在不同温度范围内的导热系数，特别是20世纪60年代以来发展起来的多种非稳态的方法，由于其测试时间短（几秒至几十秒）、适应性强等优点，已被广泛采用。许多常用材料的热物性数据可以在一些手册中查得。
一般来说，材料的导热系数是温度的函数。大多数纯金属的导热系数随温度的升高而减小，而气体与介电材料的导热系数随温度的升高而增加。在极低温条件下（0-60 K ），金属的导热系数随温度有剧烈的变化，且可以达到很高的值。例如，纯铜在10 K 时的导热系数可达1.9×104W/(m ·K)。对于液体和气体，
特别是在接近临界状态的条件下，导热系数还与压力有关。接近真空的稀薄气体中的传热已不属于经典的导热过程。
在求解导热问题时常常假定导热系数是常量，即不随温度变化。根据傅里叶定律，此时热流与温度梯度成线性关系，问题的求解可以得到很大简化。在需要考虑导热系数随温度变化而温度变化范围又不太大时，工程上常用线性关系来近似导热系数与温度的关系，即
0(1)bt λλ=+ （1-1-11）
为了对各种材料导热系数的大小有一个数量级的概念，一些典型材料在通常工程温度范围内的导热系数的范围列于下面：
金属 50-415W/(m ·K) 合金 l 2-120W/(m ·K)
非金属液体 0.17-0.7W/(m ·K) 隔热材料 0. 02-0.17W/(m ·K)
大气压力下的气体 0.007-0.17W/(M ·K)
从以上数据可以看到，在通常的温度范围内导热性能最好的材料与最差的材料相比，导热系数大约相差5个数量级。这虽然是相当悬殊的差别，但从实际应用的需要来看，导热材料和隔热材料在导热性能上的反差仍显得太小。导热与导电有很大的类似性。但优良导电材料（如铜）的电导率与电绝缘材料（如塑料）的电导率相差达12个数量级以上，因此很容易设计各种电路来控制电子的流动（电流），电学量的测量也常可以达到很高的精度。相比之下，控制热流要困难得多，这是热的测量很难达到较高精度的主要原因。这也使保温隔热成为传热学和许多工程领域的重要课题。
1-2 固体导热问题的数学描述
固体导热问题的数学描述包括导热微分方程和单值性条件。导热微分方程可以根据直角坐标系（或柱坐标系、球坐标系）中微元体的热平衡导得，其推导过程可参阅大多数的传热学教科书。这里给出更一般的不依赖于坐标系的推导。建立导热微分方程的依据仍然是能量守恒定律。由于所考虑的导热体系是静止的，与外界没有功的交换，所以体系得到的热量应该等于体系内能的增加。体系得到的热量可以有两部分：一部分是由于导热通过体系的界面传入的热量，另一部分是由于内热源（化学反应、电加热等）的发热而产生的热量。参照图1-3，导热体系的体积为V ，表面为A 。单位时间内通过表面A 由导热进入体系的热量Q l 为
图1-3 导热微分方程的推导
1A
V
Q q dA qdV =-?=-???? （1-2-1）
其中dA 是指向外法线方向的面积元向量，负号表示热流指向体系内部（与表面的外法线方向相反）。这里应用了散度定理把面积分转换为体积分，其中
y x z
q q q q x y z
?????=
++??? （1-2-2） 称为热流向量q 的散度。
内热源的体积发热率q v 是单位时间内单位体积的内热源的发热量，在国际单位制中的单位是W/m 3。一般来说，它可以是坐标和时间的函数，记为加q v (r, τ)。由此，单位时间内体积V 中内热源产生的热量Q 2为
2V V
Q q dV =? （1-2-3）
单位时间内体积V 中热量的增加Q 3为
3V
t
Q c
dV ρτ
?=?? （1-2-4） 对导热体系建立能量平衡方程，则有
123Q Q Q += （1-2-5）
或
()0V V
t
q q c
dV ρτ
?-??+-=?? （1-2-6） 由于式（1-2-6）对于整个或部分空间域是普遍适用的，它对体系内的任一微元体积也成立。这样，可以把积分号去掉，由此得到
V t
c
q q ρτ
?=-??+? （1-2-7） 根据傅里叶定律，热流向量可以由温度梯度得到。把式（1-1-6）代入方程（1-2-7）可以得到含有内热源的各向同性物体中的导热微分方程：
()V t
c
t q ρλτ
?=???+? （1-2-8） 如果导热系数不随空间位置和温度而变化，则以上方程可简化为
2V q t
a t c
τρ?=?+? （1-2-9） 式中：▽2称为拉普拉斯算子；()a c λρ=称为热扩散率或导温系数。热扩散率是材料的热物理性质，在国际单位制中的单位是m 2/s 。热扩散率表征材料内部温度趋于均匀的能力，是描述非稳态导热过程的一个最重要的热物性参数。
在常物性且没有内热源的情况下，方程（1-2-9）进一步简化为扩散方程，或称傅里叶方程：
2t
a t τ
?=?? （1-2-10） 在稳态条件下，0t τ??=，则有内热源时方程（1-2-9）简化为泊松方程：
20V
q t λ
?+
= （1-2-11）
稳态而无内热源时上式进一步简化为拉普拉斯方程：
20t ?= （1-2-12）
泊松方程和拉普拉斯方程是典型的椭圆型偏微分方程。
在常物性条件下，非稳态导热由方程（1-2-9）描述。这种方程在偏微分方程的分类中称为扩散方程，或抛物线型方程。扩散方程的特点是，物体在某一处受到的温度（或热）的扰动将以无限大的速度传播到物体中的各处，也就是在距离扰动源无限远处也能瞬时地感受到该扰动的作用。这一结果在以后章节介绍的半无限大物体非稳态导热的解中可以明显地看到，虽然在无限远处受到的影响是非常微小的。如前所述，导热过程是依靠微观粒子的热运动而引起的物体内能的迁移，认为它的传播速度是无限大在物理概念上显然是不合适的。随着现代科学技术的发展，在一些极端的条件下，例如时间极短（μs 或ns 量级）的激光脉冲加热，以及接近0K （绝对零度）的超低温固体氦中，发现导热的规律与扩散方程指示的结果有明显的差异。为此有人建议，描述非稳态导热的控制方程应该是衰减的波动方程。
2202
1t t
t a a τττ
??+=??? （1-2-13） 这一方程不是抛物线型的，而是双曲线型的，其中τ0
C =称为热传播速度。由
此，式（1-2-13）又可写作
2222
11t t
t C a ττ
??+=??? （1-2-14） 在00τ=或C =∞的极限情况下，上式退化为常规的导热微分方程（1-2-10）。对于绝大多数的实际问题，上式等号左边两项中的第一项要比第二项小很多，可以相差达10个数量级，因此完全可以忽略不计。但是对于极短的时间，或是极低的温度的问题，热传播速度为有限值的影响就可以表现出来。为了导出方程（1-2-14），式（1-1-6）所表示的傅里叶定律也需要作相应的修改。这也从另一个侧面说明傅里叶定律只是从实际经验和实验中抽象出来的表象性的规律，因而在适用范围上有局限性。
1-2-1 正交坐标系中导热微分方程的表达式
温度梯度▽t 、热流向量的散度▽·q 、温度场的拉普拉斯算子▽2t 等都是客观存在的物理量，以上导得的导热方程（1-2-8）～（1-2-13）是客观存在的物理规律，它们都不随坐标系的选择而改变，但是它们的具体表达式却随坐标系的选择而异。在解决实际的导热问题时，首先需要选择适当的坐标系，以减少自变量的数目和便于边界条件的表达。例如矩形区域中的问题可采用直角坐标系，而圆柱体中的导热则采用柱坐标系更为方便。一般来说，空间的一个点可由三个独立的参数确定，这三个参数123(,,)x x x 组成一个坐标系。如果在空间任一点处沿坐标轴方向的单位向量都两两垂直，则称该坐标系为正交坐标系。最常用的坐标系有直角坐标系、柱坐标系和球坐标系，它们都是正交坐标系。以下简要讨论一般正交坐标系中的基本量和导热微分方程的表达式。
设有一正交坐标系123(,,)x x x 如图l-4所示，1x 、2x 、3x 是它的三个坐标轴，相应的坐标轴方向的单位向量为1e 、2e 、3e 。正交坐标1x 、2x 、3x 与直角坐标x 、y 、z 之间的函数关系为
123123123(,,)(,,)(,,)x x x x x y y x x x z z x x x =?
?
=??=?
（1-2-15） 在正交坐标系中任一点P 处取正交微元六面体，相应的坐标增量为1dx 、2dx 、3dx ，对应的曲线微段
的弧长为1dl 、2dl 、3dl 。在直角坐标系中空间曲线弧长的微分为
图1-4 正交坐标系
dl = （1-2-16）
在坐标轴x i 上，只有x i 坐标有变化，因此正交微元六面体的三个边长分别为
,1,2,3i i dl i == （1-2-17）
令
1,2,3i H i == （1-2-18）
则式（1-2-17）可以写作
,
1,2,3i i i dl H dx i == （1-2-19）
(1,2,3)i H i =称为拉梅系数，或称度规系数。如果己知直角坐标系和正交坐标系之间的函数关系式
（1-2-15），则可由式（1-2-18）确定拉梅系数。很明显，它们通常是坐标的函数，在一些特例的情况下也
可以是常量。得到拉梅系数后，就可导得正交微元六面体中各个微元面积的表达式：
123232323131313121212dA dl dl H H dx dx dA dl dl H H dx dx dA dl dl H H dx dx ==?
?
==??==?
（1-2-20） 或写作
123
i i i
Hdx dx dx dA H dx =
（1-2-21）
其中123H H H H =。正交微元六面体中微元体积的表达式为
123123dV dl dl dl Hdx dx dx == （1-2-22）
根据梯度、散度等基本量的定义，可以得到它们在正交坐标系中的一般表达式。它们是
3
1
1i i i i
t
t e H x =??=?∑
（1-2-23）
3
11
()i i i i
H
q q H x H =???=
?∑ （1-2-24） 32
2
1
1(
)i i
i i
H t
t H
x
H x =?
??=
??∑ （1-2-25） 把式（1-2-23）～（1-2-25）代入以上导得的方程，例如适用于变导热系数时的导热微分方程（1-2-8），可得相应的在一般正交坐标系中的导热微分方程为
3
211()v i i i i
t H t c k q H
x H x ρτ=???=+???∑ （1-2-26） 在直角坐标系（x ，y ，z ）中，三个坐标轴均为直线，因此有1231H H H ===。对于如图1-5所示的柱坐标系（r ，φ，z ），其坐标与直角坐标之间的关系为
图1-5
cos x r ?=，sin y r ?=，z z =
令1x r =、2x ?=、3x z =，则由式（1-2-18）可得
1231
1
H H r H ?
==??==??=?? （1-2-27）
同样地，对于球坐标系（r ，θ，φ）有
sin cos x r θ?=，sin sin y r θ?=，cos z r θ=
则可以导得球坐标系中的拉梅系数为
1231sin r H H H H r
H H r θ?θ?==?
==??==? （1-2-28）
由此得直角坐标系中的拉普拉斯算子表达式为
2222
222t t t
t x y z
????=++??? （1-2-29）
在柱坐标系（r ，φ，z ）和球坐标系（r ，θ，φ）中，拉普拉斯算子的表达式分别
222
22
211()t t t t r r r r r z
??????=++???? （1-2-30） 22
222222
111()(sin )sin sin t t t t r r r r r r θθθθθ???????=++????? （1-2-31）
1-2-2 导热过程的单值性条件
导热微分方程描述了导热问题的“共性”，但要得到一个确定的导热问题的解（温度场和热流），还需
要给定各别问题的“个性”，即单值性条件。单值性条件包括以下各项：
几何条件——说明参与过程物体的大小和形状。如果是各向异性材料，还应给出导热系数主轴的方向。 物理条件——给定各种有关物理量的值，包括随温度变化的函数关系、有无内热源以及内热源的大小和分布。
时间条件——说明过程在时间上的特点。稳态过程不需要时间条件；对于非稳态过程，则要给出初始温度分布，即初始条件。
边界条件——描述在区域边界上过程进行的特点。
几何条件和物理条件通常体现在导热微分方程的简化和坐标系的选取中，而时间条件（对非稳态问题）和边界条件则体现为单独的数学表达式。以下简要讨论几种常用的边界条件。
第一类边界条件给定边界上的温度。一般情况下，边界上的温度可以是时间和位置的函数，并可表示为如下的形式：
在边界面S 处 (,)S t f r τ= （1-2-32） 数学上，第二类边界条件给定所求函数在边界上的法向导数值，在导热问题中等同于给定边界上的法向热流密度。一般情况下，边界上的热流密度可以是时间和位置的函数，并可表示为如下的形式：
在边界面S 处
(,)S
t
f r n τ?=? （1-2-33） 绝热边界满足
0S
t
n ?=?，是第二类边界条件的一个特例。 数学上，第三类边界条件给定所求函数在边界上的函数值和法向导数值的线性组合，在导热问题中等同于结定外界介质的温度和边界上的对流换热表面传热系数，由此又称为对流边界条件。对边界上的微元面积写出热量平衡，可得
在边界面S 处 ()f S S
t
h t t n λ
?-=-? （1-2-34） 式中：等号左边是在表面外法线方向上物体内部导热的热流密度；等式右边是物体表面通过牛顿冷却
定律传递给环境的热量。
前面所述的第一类边界条件和第二类（绝热）边界条件都可以看作是第三类边界条件的特例。如果h ＝0，则第三类边界条件转化为绝热边界条件；如果h ＝∞，则有f S t t =，第三类边界条件转化为第一类边界条件。在具体的坐标系中写出以上边界条件时，要注意边界外法线的指向。例如，对于图1-6所示的与x 方向垂直的两个表面，其第二类边界条件应分别为
图1-6 对流边界条件和外法线方向
00
()f x x t h t t x
λ
==?=-?
()f x x t h t t x
δδ
λ
==?-=-?
除了由单一非复合材料组成的物体外，还需要确定物体的内部条件，用以表征诸如交界面热阻和交界面反应这样一些影响。最常见的情形是在求解复合区域的导热问题时需要列出区域分界面上的边界条件。两种相似的或不同的材料可以用粘合剂或用机械的方法（加压、紧固等）结合在一起。如果粘在一起，则粘合剂表示一种简单的热阻，交界面上热阻的大小由粘合剂的厚度和导热系数决定。如果两种材料交界面上为无粘合剂接触，那么就会因非理想接触而对热流有一热阻。不仅接合处两个微观粗糙表面之间的相互接触面积要比表观的表面积小得多，而且肉眼可见的表面波纹状不平度，也会使实际的物体表面的接触状况进一步恶化。通过交界面的热交换是由通过真正接触点的导热、通过截留在缝隙内的流体的导热以及通过缝隙的辐射传热这三种机理综合进行的。结合处的总热导是由接触材料（它们的导热系数、表面粗糙度、不平度以及硬度）、接触压力、结合处的平均温度和热流、缝隙内流体的性质（液体、气体、真空）、是否存在氧化皮或填隙材料等一系列因素决定的。通过两种不同材料1和2间粗糙接触面的稳态导热状况如图1-7所示，接触面附近可能存在一明显的温度跃变。定义一假想的交界面温降?t ，它是由两种材料远离接触面处按线性变化的实际温度外推至中心线得出的。在稳态热流q 的情况下，单位交界面接触热阻定义为
图1-7 交接面上的接触热阻 图1-8 理想接触时的边界条件
c t
R q
?=
（1-2-35） 对于理想接触，温降等于零，R c ＝0。在这种情况下，内部边界条件就是温度分布和热流在交界面上连续，即在如图1-8所示的系统中，分界面上的边界条件可写作
12
121
2
S S
S
S t t t t n
n λλ=??
???=-????
（1-2-36） 其中两个偏导数的正方向为两区域各自的外法线方向，因此式中出现负号。这样的边界条件也有称为
第四类边界条件的。
如果在界面上有接触热阻存在，则温度分布在界面上不再连续，以上边界条件应改为
1121
121
2
c S S S
S
S
t t t R n
t t n
n
λλλ??-=-???
????=-????
（1-2-37） 提高压紧两种材料的压力可以增加随机性质的点接触和大尺度的面接触，因为压紧可以使凹凸不平的
面配合紧密，可以克服被波纹不平度造成的非理想接触，还可以使两种较软材料发生弹性和塑性变形。为了降低接触热阻也可以人为地在接触面之间插入容易变形的高导热系数的填隙材料。
以上说明的几种边界条件都是线性边界条件，有利于问题的求解，同时也概括了实际问题中大部分的情况。此外，也有一些导热问题的边界条件是非线性的。如热辐射边界条件的热流与边界温度的四次幂有关；自然对流边界条件的热流正比于温差的5/4或4/3次方。与相变（如熔化、凝固、烧蚀）相联系的边界条件也是非线性的。处理这些非线性边界条件在数学上有较大的难度，因此往往需要作为专门的问题加以研究。
1-3 各向异性材料中的导热
式（1-1-6）表示的傅里叶定律只适用于各向同性材料。在工程实际中也可能遇到各向异性材料，它们的物性在空间的各个方向上不相同。如晶体材料、木材、石墨和沉积岩等是典型的各向异性材料；层压的复合材料、硅钢片叠加而成的铁芯等，在宏观上也有各向异性的特征。
在各向异性材料内部，温度场、等温面和温度梯度的概念仍适用，热流向量的定义也不变。但此时导热系数不再是一个与方向无关的标量，即从一点出发，沿各个方向的导热系数不同。热流向量的分量，例如q x ，一般取决于沿x 、y 、z 三个方向的温度梯度的线性组合。在直角坐标系中可表示为
x xx
xy xz y yx yy yz z zx zy zz t t t q x y z t t t q x y z t t t q x y z λλλλλλλλλ????-=++??????
???-=++??????
???-=++?
???? （1-3-1）
由此可见，对于各向异性材料，热流向量与温度梯度不再共线，亦即热流向量不再垂直于通过考察点
的等温面。上式写成向量的形式为
q gradt λ=- （1-3-2）
其中 xx xy xz yx
yy yz zx zy
zz λλλλλλλλλλ???
?=?????
?
是各向异性材料的导热系数，它是一个二阶张量，由9个导热系数分量组成。式（1-3-1）就是各向异性材
料中的傅里叶定律在直角坐标系中的表达式，同样地建立了各向异性材料中温度场与热流场的联系。
虽然温度梯度和热流向量以及它们之间的关系是客观存在的，不依坐标的取向而变化，但是它们在坐标轴上的投影，特别是各导热系数分量的值将随坐标取向的变化而变化。因此首先要研究导热系数分量在不同坐标系中的变换。
当坐标系（x ，y ，z ）绕原点O 旋转一个角度后，得到新坐标系（x '，y '，z '），如图1-9所示。新旧坐标的关系为
图1-9 直角坐标系原点的旋转
cos(,)cos(,)cos(,)cos(,)cos(,)cos(,)cos(,)cos(,)cos(,)x x x x y y x z z x y x x y y y y z z y z x x z y y z z z z ?
''''''=++??
''''''=++??
''''''=++?
?
（1-3-3）
或简写成 X CX '= （1-3-4） 其中
x X y z '????''=??'????，x X y z ????=??????，cos(,)cos(,)cos(,)cos(,)cos(,)cos(,)cos(,)cos(,)cos(,)x x y x z x C x y y y z y x z y z z z ??
'''??'''??=??'''????
热流向量与温度梯度的联系在新坐标系（x '，y '，z '）内表示为
x xx xy
xz y yx yy yz
z zx zy
zz
t x q t
q y q t z λλλλλλλλλ??
???'?''''??????
???????''
''=-??????
'???''
''?????????????'???
（1-3-5）
用λ'表示上述导热系数矩阵，即
xx xy xz
yx yy yz zx zy
zz λλλλλλλλλλ'''????''''=????'
''??
利用线性代数中有关线性变换的知识，或根据张量的坐标变换的性质，可以导得在不同坐标系中导热系数矩阵之间的关系：
T C C λλ'= （1-3-6）
根据线性变换的性质，总可以选择一个适当的坐标系，记为（ξ，η，ζ），使矩阵λ进一步转换为对角矩阵，即把式（1-3-1）转换为
00000
t q t q q t ξξηη
ζζξλληλζ??
????????????
?????=-????????????????
?
????????
（1-3-7）
亦即
t q ξξ
λξ?=-?，t q ηηλη?=-?，t q ζζλζ
?=-? （1-3-8） 此时坐标系（ξ，η，ζ）称为导热系数的主轴，ξλ、ηλ、ζλ称为各向异性材料的三个主导热系数。 以下仅就二维问题为例说明各向异性材料中导热问题的特点。图1-10表示一块各向异性材料，其中斜线是表示各向异性特征的，ξ与η是导热系数的主轴，ξλ、ηλ分别为这两个方向的主导热系数。如果z 坐标轴与另一个导热系数主轴ζ重合，且有
0t
z
?=?，则由式（1-3-8）得0z q q ζ==。该问题是一个二维问题。
图1-10 各向异性材料中的二维导热
在坐标系（ξ，η）中
t q ξξ
λξ?=-?，t q ηηλη
?=-? 在坐标系（x ，y ）中
x xx xy y yx
yy t q x t q y λλλλ???
??
???????=-????????????????
（1-3-9） 根据不同坐标系中导热系数矩阵的换算关系式（1-3-6），可得
00xx
xy T
yx yy C C ξ
ηλλλλλλ????=??????
?? （1-3-10） 其中C 表示坐标系（x ，y ）和（ξ，η）间的变换矩阵：
cos sin sin cos C β
βββ??
=?
?-??
（1-3-11） 将式（1-3-11）代入式（1-3-10），经矩阵乘法运算，可得
2222cos sin ()cos sin sin cos xx xy yx yy ξηξηξηλλβλβ
λλλλββλλβλβ?=+?
==-??=+?
（1-3-12）
将求得的导热系数分量代人式（1-3-1），可得
2222(cos sin )
()cos sin ()cos sin (sin cos )x y t t q x y t t
q x y ξηξηξηξηλβλβλλββλλββλβλβ???=-+--????
????
=---+???? （1-3-13）
把以上结果代入导热微分方程的普遍形式——式（1-2-7），就可以导得各向异性材料中的二维导热微
分方程：
222
222
222(cos sin )(sin cos )2()cos sin V
t t c x
t t
q y x y
ξηξηξηρλβλβτλβλβλλββ??=++????++-+??? （1-3-14） 注意，方程中出现了混合偏导数2t
x y
???。但如果使坐标系与各向异性材料导热系数主轴相一致，即使β
= 0，则以上方程可简化为
2222V t t t c q x y
ξηρλλτ???=++??? （1-3-15） 在如图1-10所示的各向异性平板的二维导热系统中，如果维持两个壁面的温度均匀，则有
0t
x
?=?，12t t t y δ-?=?
即温度梯度的方向与y 轴重合。此外，由式（1-3-13）可得
()cos sin x t
q y
ξηλλββ
?=---? （1-3-16）
22(sin cos )
y t
q y
ξηλβλβ?=-+? （1-3-17） 因此，从这个具体的实例中也可看到，对于各向异性材料，即使有0t x ??=，一般来说q x 也不一定等于零，除非再满足以下两个条件之一：或者有ξηλλ=，此时变为各向同性材料；或者有β = 0或β = π/2，此时温度梯度的方向与某一导热系数主轴重合。
此外，在这种特定的情况下，如果把式（1-3-17）写成
y t
q y
β
λ?=-? （1-3-18） 则
22sin cos βξηλλβλβ=+ （1-3-19）
λβ可以看成是给定主轴方向β的复合平板在厚度方向的导热系数。当角β在0-π/2之间变化时，λβ在λξ
和λη之间变化。注意到椭圆的参数方程是
22222cos sin r a b ??=+ （1-3-20）
其中a 、b 分别是椭圆的两个主轴。β按椭圆规律变化，
图1-11 各向异性材料二维平板中的导热系数
对于像木材这样的各向异性材料，在沿木纹方向z 、贯穿木纹的径向r 以及沿周向θ具有不同的导热系数。如果采用柱坐标系，并使z 轴与木材的中心重合，则导热微分方程变为
2222
2()r z t t t t
c r r r r r z
θλλρλτ??????=++????? （1-3-21）
导热微分方程的推导 Jacob 〇．傅立叶定律 ??? ? ????+??+??-=?-=k j i z T y T x T gradT q λλ 其中，i ，j ，k 分别为x ，y ，z 坐标轴上的单位矢量。λ为导热率（单位 K m W ?）。 其含义表示，单位时间内，通过某单位截面上的热流q （单位2m W ），与该处的温度梯度gradT 成正比，但方向相反。 一．导热微分方程的推导依据 1．依据 根据能量守恒定律与傅立叶定律，建立导热物体中的温度场应满足的数学表达式，即导热微分方程； A E Q +?= Q ，物体在单位时间内获得的热量； E ?，物体在单位时间内内能的增加； A ，物体对外界所做的功。 对于固体来说，温度改变导致体积变化对环境所做的功A 可忽略不计，上式变 为： E Q ?= 2．一般性假设 (1) 所研究的物体是各向同性的连续介质； (2) 热导率、比热容和密度均为已知； (3) 物体内具有内热源，强度V q （单位3 m W ），表示单位体积、单位时间内放出的热量
二．直角坐标系下导热微分方程的推导 考察dt 时间内微元体中： [导入与导出净热量] + [内热源发热量] = [热力学能的增加] 1. 导入与导出微元体的净热量 （1）dt 时间内、沿x 轴方向、经垂直于x 轴 的热量导入表面导入的热量： dydzdt q dQ x x ?= (单位J ) 同理，dt 时间内、沿x 轴方向、经垂直于x 轴 的热量导出表面导出的热量： dydzdt q dQ dx x dx x ++= (单位J ) x q ，dx x q +分别为热量导入面和导出面上的热流密度，单位 2 m W 。 请注意，事实上这里有： dx x q q q x dx x x ??- =-+，所以导入与导出的热量差为： dydzdt dx x q dQ dQ x dx x x ???- =-+ (单位J ) 同理： （2）dt 时间内、沿y 轴方向、经垂直于y 轴 的两表面导入导出的热量差： dxdzdt dy y q dQ dQ y dy y y ???- =-+ (单位J )
答案1.1 解：图示电路电流的参考方向是从a 指向b 。当时间t <2s 时电流从a 流向b,与参考方向相同，电流为正值；当t >2s 时电流从b 流向a ，与参考方向相反，电流为负值。所以电流i 的数学表达式为 2A 2s -3A 2s t i t ? 答案1.2 解：当0=t 时 0(0)(59e )V 4V u =-=-<0 其真实极性与参考方向相反，即b 为高电位端，a 为低电位端； 当∞→t 时 ()(59e )V 5V u -∞∞=-=>0 其真实极性与参考方向相同， 即a 为高电位端，b 为低电位端。 答案1.3 解：(a)元件A 电压和电流为关联参考方向。元件A 消耗的功率为 A A A p u i = 则 A A A 10W 5V 2A p u i === 真实方向与参考方向相同。 (b) 元件B 电压和电流为关联参考方向。元件B 消耗的功率为 B B B p u i = 则 B B B 10W 1A 10V p i u -===- 真实方向与参考方向相反。 (c) 元件C 电压和电流为非关联参考方向。元件C 发出的功率为 C C C p u i = 则 C C C 10W 10V 1A p u i -===-
真实方向与参考方向相反。 答案1.4 解：对节点列KCL 方程 节点③: 42A 3A 0i --=，得42A 3A=5A i =+ 节点④: 348A 0i i --+=，得348A 3A i i =-+= 节点①: 231A 0i i -++=，得231A 4A i i =+= 节点⑤: 123A 8A 0i i -++-=，得123A 8A 1A i i =+-=- 若只求2i ，可做闭合面如图(b)所示，对其列KCL 方程，得 28A-3A+1A-2A 0i -+= 解得 28A 3A 1A 2A 4A i =-+-= 答案1.5 解：如下图所示 (1)由KCL 方程得 节点①： 12A 1A 3A i =--=- 节点②： 411A 2A i i =+=- 节点③： 341A 1A i i =+=- 节点④： 231A 0i i =--= 若已知电流减少一个，不能求出全部未知电流。 (2)由KVL 方程得
第二章 导热基本定律及稳态导热 1、重点内容：① 傅立叶定律及其应用； ② 导热系数及其影响因素； ③ 导热问题的数学模型。 2、掌握内容：一维稳态导热问题的分析解法 3、了解内容：多维导热问题 第一章介绍传热学中热量传递的三种基本方式：导热、对流、热辐射。根据这三个基本方式，以后各章节深入讨论其热量传递的规律，理解研究其物理过程机理，从而达到以下工程应用上目的： 基本概念、基本定律:傅立叶定律,牛顿冷却定律,斯忒藩—玻耳兹曼定律。 ① 能准确的计算研究传热问题中传递的热流量 ② 能准确的预测研究系统中的温度分布 导热是一种比较简单的热量传递方式,对传热学的深入学习必须从导热开始，着重讨论稳态导热。 首先，引出导热的基本定律，导热问题的数学模型，导热微分方程； 其次，介绍工程中常见的三种典型（所有导热物体温度变化均满足）几何形状物体的热流量及物体内温度分布的计算方法。 最后，对多维导热及有内热源的导热进行讨论。 §2—1 导热基本定律 一 、温度场 1、概念 温度场是指在各个时刻物体内各点温度分布的总称。 由傅立叶定律知：物体导热热流量与温度变化率有关，所以研究物体导热必涉及到物体的温度分布。一般地，物体的温度分布是坐标和时间的函数。 即：),,,(τz y x f t = 其中z y x ,,为空间坐标，τ为时间坐标。 2、温度场分类 1）稳态温度场（定常温度场）：是指在稳态条件下物体各点的温度分布不随时间的改变而变化的温度场称稳态温度场，其表达式),,,(z y x f t =。 2）稳态温度场（非定常温度场）：是指在变动工作条件下，物体中各点的温度分布随时间而变化的温度场称非稳态温度场，其表达式),,,(τz y x f t =。 若物体温度仅一个方向有变化，这种情况下的温度场称一维温度场。 3、等温面及等温线 1）等温面：对于三维温度场中同一瞬间同温度各点连成的面称为等温面。 2）等温线 （1）定义：在任何一个二维的截面上等温面表现为等温线。一般情况下，温度场用等温面图和等温线图表示。 （2）等温线的特点：物体中的任何一条等温线要么形成一个封闭的曲线，要么终止在
第2讲第一章导热理论基础(2学时) 上节回顾复习5min 简单回答上节课提出的自然生活实例，强调重点，全书四部分，每部分从基础到应用 引出传热过程 本章主要内容： 0.3 传热过程10min 例题0-1，0-2 5min 第一章导热理论基础 引言 本章主要内容：5min （1）与导热有关的基本概念； （2）导热的基本定律； （3）导热现象的数学描述方法。 第一节基本概念及傅里叶定律 1.1 基本概念： 一.温度场：定义、分类（维的问题）5min 二．等温面与等温线：定义、特征5min 三．温度梯度：方向导数与梯度、温度梯度（分析）10min 四．热流密度及热流矢量（分析）5min 1.2 傅立叶定律：10min 一．文字表述、物理意义、分析 二．q的分量 第二节导热系数5min 2.1 定义、物理意义 2.2 温度对导热系数的影响10min 一．概述 二．各物质导热系数：气体、液体、金属 2.3 多孔材料的导热系数：机理、保温材料、保温材料导热系数的影响因素（4点）10min 小结5min
0.3 传热过程（第10章） 1.定义：热量从固体壁面一侧的流体通过固体壁面传递到另一侧流 体的过程。 2.求解一维稳态传热过程中的热量传递（分步法；热阻法） 分步法： 由三个相互串联的环节组成： （冬季外墙为例）。 通过平壁的稳态传热过程：2 12111)(h h t t q f f ++-=λδ 热流量的求解，热阻网络图，传热系数 表征传热过程强烈程度的标尺，不是物性参数，与过程有关。 例题0-1，0-2 第一章 导热理论基础 本章主要内容： （1）与导热有关的基本概念； （2）导热的基本定律； （3）导热现象的数学描述方法。 （引） 1.回顾导热定义，强调在导热过程中物体各部分之间没有宏观运动； 2.导热过程的微观机理：气体、介电体、金属、液体 3. 导热问题研究前提：从连续介质的假设出发、从宏观的角度来讨论导热热流量与物体温度分布及其他影响因素之间的关系。 4.导热理论的任务：找出任何时刻物体中各处的温度分布； 5.研究方法：导热微分方程（理论分析法） 导热问题是传热学中最易于用数学方法处理的热传递方式。因而我们能够在选定的研究系统中利用能量守恒定律和傅立叶定律建立起导热微分方程式，然后针对具体的导热问题求解其温度分布和热流量。最后达到解决工程实际问题的目的。 21211111h h r r r h h k ++=++=λλδ单位热阻或面积热 图1-6墙壁传热图
第一章导热理论基础 第一节基本概念及傅里叶定律 一、基本概念 1. 温度场 温度场是指某一时刻，物体的温度在空间上的分布。一般地说，它是时间和空间的函数，对直角坐标系即 () =,,,τ(1-1) t f x y z 式中t-温度； x y z ,,-直角坐标系的空间坐标； τ-时间。 2. 等温面与等温线 同一时刻，温度场中所有温度相同的点连接所构成的面叫做等温面。不同的等温面与同一平面相交，则在此平面上构成一簇曲线，称为等温线。 图-1-1房屋墙角内的温度场 图1-2 温度梯度
3. 温度梯度 grad t t n n ?= ? （1-3） 在直角坐标系中，温度梯度可表示为 grad k z t j y t i x t t ??+??+??= （1-4） 在圆柱坐标系中，参看图1-3， 温度梯度可表示为 grad r z 1t t t t e e e r r z φφ???= ++??? （1-5） 在圆球坐标系中，参看图1-3，温度梯度可表示为 grad t = r θ11sin t t t e e e r r r θ?θ φ???++??? （1-6） 图1-3 圆柱和圆球坐标系 图1-3 圆柱和圆球坐标系 4. 热流矢量 热流矢量q 在直角坐标系三个坐标轴上的分量为x q 、y q 、z q 。而且 x q q =i +y q j +z q k (1-7) 热流矢量q 在圆柱坐标系三个坐标轴上的分量为r q 、q φ、z q ， r r z z q q e q e q e φφ=++ (1-8) 热流矢量q 在圆球坐标系三个坐标轴上的分量为r q 、q φ、q θ， r r θq q e q e q e φφθ=++ (1-9)
第一章 导热理论基础 本章重点：准确理解温度场、温度梯度、导热系数等基本概念，准确掌握导热基本定律及导 热问题的基本分析方法。 物质内部导热机理的物理模型：（1）分子热运动；（2）晶格（分子在无限大空间里排列 成周期性点阵）振动形成的声子运动；（3）自由电子运动。 物质内部的导热过程依赖于上述三种机理中的部分项，这几种机理在不同形态的物质中 所起的作用是不同的。 导热理论从宏观研究问题，采用连续介质模型。 第一节 基本概念及傅里叶定律 1-1 导热基本概念 一、温度场(temperature field) （一）定义：在某一时刻，物体内各点温度分布的总称，称为即为温度场（标量场）。 它是空间坐标和时间坐标的函数。在直角坐标系下，温度场可表示为： ),,,(τz y x f t = （1-1） （二）分类： 1．从时间坐标分： ① 稳态温度场：不随时间变化的温度场，温度分布与时间无关， 0=??τ t ，此时，),,(z y x f t =。（如设备正常运行工况） 稳态导热：发生于稳态温度场中的导热。 ② 非稳态温度场：随时间而变化的温度场，温度分 布与时间有关，),,,(τz y x f t =。（设备启动和停车过程） 非稳态导热：在非稳态温度场中发生的导热。 2．从空间坐标分： ① 三维温度场：温度与三个坐标有关的温度场，? ??==稳态非稳态),,(),,,(z y x f t z y x f t τ ② 二维温度场：温度与二个坐标有关的温度场，???==稳态非稳态) ,(),,(y x f t y x f t τ
?t grad t ③ 一维温度场：温度只与一个坐标有关的温度场，? ??==稳态非稳态，)()(x f t x f t τ 二、等温面与等温线 1．等温面(isothermal surface)：在同一时刻，物体内温度相同的点连成的面即为等温面。 2．等温线(isotherms)：用一个平面与等温面相截，所得的交线称为等温线。 为了直观地表示出物体内部的温度分布，可采用图示法，标绘出物体中的等温面（线）。 3．等温面（线）的特点： ① 不同的等温面（线）之间是不可能相交的。图1-1所示的即为一维大平壁和一维圆筒 壁内的等温面（线）的示意图。 ② 在连续介质的假设条件下，等温面（线）可以是物体中闭合的曲面或曲线，或者终止 在物体的边界，不可能在物体中中断。。 ③ 等温线的疏密可直观反映出不同区域温度梯度的相对大小，若每条等温线间的温度间 隔相等时，即t ?相等，则等温线越疏，表明该区域热流密度越小；反之，越大。 ④ 沿等温面（等温线）无热量传递 三、温度梯度(temperature gradient) 从一个等温面上的某点出发，到达另一个等温面，可以有不同的路径，不同路径上的温 度变化率是不同的，温度变化率最大的路径位于该点的法线方向上。为了表示沿等温面法线 方向的温度变化率，引入温度梯度的概念。 梯度（最大的方向导数）：指向变化最剧烈的方向。（向量） 温度变化率是标量，温度梯度是矢量。 温度梯度：定义沿法线方向的温度变化率（沿等温面法线方向上的温度增量与法向距离 比值的极限）为温度梯度，以gradt 表示。 n t n t grad n t ??=??=→?→0lim (1-2) 式中，——等温面法线方向的单位矢量； n t ??——温度在等温面法线方向的导数。 温度梯度的方向（正向）：是沿等温面法线由低温指向高温。 温度梯度的数值大小：等于温度梯度方向上的导数。 在直角坐标系：
第一章 导热理论和导热微分方程 相互接触的物体各部分之间依靠分子、原子和自由电子等微观粒子的热运动而传递热量的过程称为导热。在纯导热过程中物体各部分之间没有宏观运动。 与固体物理的理论研究方法不同，传热学研究导热问题时不是对导热过程的微观机理作深入的分析，而是从宏观的、现象的角度出发，以实验中总结出来的基本定律为基础进行数学的推导，以得到如温度分布、温度-时间响应和热流密度等有用的结果。这种处理方法的物理概念简单明了，但所要求的数学知识和技能仍是复杂和困难的。本书在材料的选取上，注意在介绍有重要应用价值的结果的同时，也给予求解导热问题的典型数学方法以足够的重视，以培养和发展读者独立解决问题的能力。 1-1 导热基本定律 1-1-1 温度场 由于传热学以宏观的、现象的方式来研究导热问题，团此必须引入连续介质假定，以便用连续函数来描述温度分布。温度场就是在一定的时间和空间域上的温度分布。它可以表示为空间坐标和时间的函数。由于温度是标量，温度场是标量场。常用的空间坐标系有三种：直角坐标系、柱坐标系和球坐标系。在直角坐标系中，温度场可以表示为 (,,,)t f x y z τ= （1-1-1） 式中：t 表示温度；x 、y 、z 为三个空间坐标；τ表示时间。 若温度场各点的温度均不随时间变化，即0t τ??=，则称该温度场为稳态温度场，否则为非稳态温度场。若温度场只是一个空间坐标的函数，则称为一维温度场；若温度场是两个或三个空间坐标的函数，则称为二维或三维温度场。 1-1-2 等温面与温度梯度 物体内温度相同的点的集合所构成的面叫做等温面。对应不同温度值的等温面构成等温面族。等温面与任一截面的交线形成等温线。由于等温线具有形象直观的优点，二维温度场常用等温线来表示温度分布。 由于在同一时刻物体的一个点上只能有一个温度值，所以不同的等温面不可能相交。它们或者在域内形成封闭曲线，或者终止于物体的边界。 如图1-l 所示，在物体内某一点P 处，沿空间某一方向l 的温度的变化率 图1-l 等温线和温度梯度
答案1.7 解：如下图所示 ① ②③④⑤ 1A 2A 1A 8V 6V 7V 5V 1i 2i 4i 3 i 1A 1l 2l 3l 4l (1)由KCL 方程得 节点①： 12A 1A 3A i 节点②：411A 2A i i 节点③：341A 1A i i 节点④：23 1A 0i i 若已知电流减少一个，不能求出全部未知电流。(2)由KVL 方程得 回路1l ： 14 12233419V u u u u 回路2l ： 15 144519V-7V=12V u u u 回路3l ： 52 511212V+5V=-7V u u u 回路4l ： 5354437V 8V 1V u u u 若已知支路电压减少一个，不能求出全部未知电压。答案1.8 解：各元件电压电流的参考方向如图所示。 元件1消耗功率为: 11110V 2A 20W p u i 对回路l 列KVL 方程得 21410V-5V 5V u u u 元件2消耗功率为: 2215V 2A 10W p u i 元件3消耗功率为: 333435V (3)A 15W p u i u i
对节点①列KCL 方程4131A i i i 元件4消耗功率为: 4445W p u i 答案1.9 解：对节点列KCL 方程 节点①: 35A 7A 2A i 节点③: 47A 3A 10A i 节点②: 534 8A i i i 对回路列KVL 方程得： 回路1l ： 1 3510844V u i i 回路2l ： 245158214V u i i 答案1.10 解：由欧姆定律得 130V 0.5A 60i 对节点①列KCL 方程 10.3A 0.8A i i 对回路l 列KVL 方程 1600.3A 50 15V u i 因为电压源、电流源的电压、电流参考方向为非关联，所以电源发出的功率 分别为 S 30V 30V 0.8A 24W u P i S 0.3A 15V 0.3A 4.5W i P u 即吸收4.5W 功率。 答案1.12 解：(a)电路各元件电压、电流参考方向如图(a)所示。由欧姆定律得 S /10cos()V/2A 5cos()A R i u R t t 又由KCL 得 S (5cos 8)A R i i i t 电压源发出功率为 S S 2 10cos()V (5cos 8)A (50cos 80cos )W u p u i t t t t 电流源发出功率为
前言 本文只是针对小白而写，可以使新手对热传导理论由很浅到不浅的认识，如想更深学习热传导知识，请转其它文档。 一、概念与常量 1、温度场： 指某一时刻下，物体内各点的温度分布状态。 在直角坐标系中：； 在柱坐标系中：； 在球坐标系中：。 补充：根据温度场表达式，可分析出导热过程是几维、稳态或非稳态的现象，温度场是几维的、稳态的或非稳态的。 2、等温面与等温线： 三维物体内同一时刻所有温度相同的点的集合称为等温面； 一个平面与三维物体等温面相交所得的的曲线线条即为平面温度场中的等温线。 3、温度梯度： 在具有连续温度场的物体内，过任意一点P温度变化率最大的方向位于等温线的法线方向上。称过点P的最大温度变化率为温度梯度(temperature gradient)。用grad t表示。 定义为： 补充：温度梯度表明了温度在空间上的最大变化率及其方向，是向量，其正向与热流方向恰好相反。对于连续可导的温度场同样存在连续的温度梯度场。
在直角坐标系中： 3、导热系数 定义式：单位 导热系数在数值上等于单位温度降度(即1)下，在垂直于热流密度的单位面积上所传导的热流量。导热系数是表征物质导热能力强弱的一个物性参数。 补充：由物质的种类、性质、温度、压力、密度以及湿度影响。 二、热量传递的三种基本方式 热量传递共有三种基本方式：热传导；热对流；热辐射 三、导热微分方程式（统一形式：） 直角坐标系： 圆柱坐标系： 球坐标系： 其中，称为热扩散系数，单位，为物质密度，为物体比热容，为物体导热系数，为热源的发热率密度，为物体与外界的对流交换系数。 补充： 1处研究的对象为各向同性的、连续的、有内热源、物性参数已知的导热物体。 2稳态温度场，即则有：，此式称为泊松方程。 3无内热源的稳态温度场，则有：，此式称为拉普拉斯方程。 四、单值条件 导热问题的单值条件通常包括以下四项： 1几何条件：表示导热物体的几何形状与大小（一维、二维或三维）
电路理论基础习题答案 第一章 1-1. (a)、(b)吸收10W ；(c)、(d)发出10W. 1-2. –1A; –10V; –1A; – 4mW. 1-3. –0.5A; –6V; –15e – t V; 1.75cos2t A; 3Ω; 1.8cos 22t W. 1-4. u =104 i ; u = -104 i ; u =2000i ; u = -104 i ; 1-8. 2 F; 4 C; 0; 4 J. 1-9. 9.6V,0.192W, 1.152mJ; 16V , 0, 3.2mJ. 1-10. 1– e -106 t A , t >0 取s . 1-11. 3H, 6(1– t )2 J; 3mH, 6(1–1000 t ) 2 mJ; 1-12. 0.4F, 0 . 1-13. 供12W; 吸40W; 吸2W; (2V)供26W, (5A)吸10W. 1-14. –40V , –1mA; –50V, –1mA; 50V , 1mA. 1-15. 0.5A,1W; 2A,4W; –1A, –2W; 1A,2W. 1-16. 10V ,50W;50V ,250W;–3V ,–15W;2V ,10W. 1-17. (a)2V;R 耗4/3W;U S : –2/3W, I S : 2W; (b) –3V; R 耗3W; U S : –2W, I S :5W; (c)2V ,–3V; R 耗4W;3W;U S :2W, I S :5W; 1-18. 24V , 发72W; 3A, 吸15W; 24V 电压源; 3A ↓电流源或5/3Ω电阻. 1-19. 0,U S /R L ,U S ;U S /R 1 ,U S /R 1 , –U S R f /R 1 . 1-20. 6A, 4A, 2A, 1A, 4A; 8V, –10V , 18V . 1-21. K 打开：(a)0, 0, 0; (b)10V, 0, 10V; (c)10V,10V ,0; K 闭合: (a)10V ,4V ,6V; (b)4V ,4V ,0; (c)4V ,0,4V; 1-22. 2V; 7V; 3.25V; 2V. 1-23. 10Ω. 1-24. 14V . 1-25. –2.333V , 1.333A; 0.4V , 0.8A. 1-26. 12V , 2A, –48W; –6V , 3A, –54W . ※ 第二章 2-1. 2.5Ω; 1.6R ; 8/3Ω; 0.5R ; 4Ω; 1.448Ω; . R /8; 1.5Ω; 1.269Ω; 40Ω; 14Ω. 2-2. 11.11Ω; 8Ω; 12.5Ω. 2-3. 1.618Ω. 2-4. 400V;363.6V;I A =. 5A, 电流表及滑线电阻损坏. 2-6. 5k Ω. 2-7. 0.75Ω. 2-8. 10/3A,1.2Ω;–5V,3Ω; 8V ,4Ω; 0.5A,30/11Ω. 2-9. 1A,2Ω; 5V ,2Ω; 2A; 2A; 2A,6Ω. 2-10. –75mA; –0.5A. 2-11. 6Ω; 7.5Ω; 0; 2.1Ω. 2-12. 4Ω; 1.5Ω; 2k Ω. 2-13. 5.333A; 4.286A. 2-14. (a) –1 A ↓; (b) –2 A ↓, 吸20W. 2-16. 3A. 2-17. 7.33V . 2-18. 86.76W. 2-19. 1V , 4W. 2-20. 64W. 2-21. 15A, 11A, 17A. 2-23. 7V , 3A; 8V ,1A. 2-24. 4V , 2.5V, 2V. 2-26. 60V . 2-27. 4.5V. 2-28. –18V . 2-29. 原构成无解的矛盾方程组; (改后)4V,10V . 2-30. 3.33 k , 50 k . 2-31. R 3 (R 1 +R 2 ) i S /R 1 . 2-32. 可证明 I L =－ u S /R 3 . 2-33. –2 ; 4 . 2-34. (u S1 + u S2 + u S3 )/3 . ※ 第三章 3-1. –1+9=8V; 6+9=15V; sin t +0.2 e – t V. 3-2. 155V . 3-3. 190mA. 3-4. 1.8倍. 3-5. 左供52W, 右供78W. 3-6. 1 ; 1A; 0.75A. 3-7. 3A; 1.33mA; 1.5mA; 2/3A; 2A.
传热学主要知识点 1.热量传递的三种基本方式。 热量传递的三种基本方式：导热(热传导)、对流(热对流)和热辐射。
2．导热的特点。 a 必须有温差； b 物体直接接触； c 依靠分子、原子及自由电子等微观粒子热运动而传递热量； d 在引力场下单纯的导热一般只发生在密实的固体中。
3.对流（热对流）(Convection)的概念。 流体中（气体或液体）温度不同的各部分之间，由于发生相对的宏观运动而把热量由一处传递到另一处的现象。 4对流换热的特点。 当流体流过一个物体表面时的热量传递过程，它与单纯的对流不同，具有如下特点： a 导热与热对流同时存在的复杂热传递过程 b 必须有直接接触（流体与壁面）和宏观运动；也必须有温差 c 壁面处会形成速度梯度很大的边界层 5.牛顿冷却公式的基本表达式及其中各物理量的定义。 [] W )(∞-=t t hA Φw [] 2m W )( f w t t h A Φq -==
6. 热辐射的特点。 a 任何物体，只要温度高于0 K，就会不停地向周围空间发出热辐射； b 可以在真空中传播； c 伴随能量形式的转变； d 具有强烈的方向性； e 辐射能与温度和波长均有关； f 发射辐射取决于温度的4次方。
7.导热系数, 表面传热系数和传热系数之间的区别。导热系数：表征材料导热能力的大小，是一种物性参数，与材料种类和温度关。 表面传热系数：当流体与壁面温度相差1度时、每单位壁面面积上、单位时间内所传递的热量。影响h因素：流速、流体物性、壁面形状大小等。传热系数：是表征传热过程强烈程度的标尺，不是物性参数，与过程有关。 常温下部分物质导热系数：银：427；纯铜：398；纯铝：236；普通钢：30-50；水：0.599；空气：0.0259；保温材料：<0.14；水垢：1-3；烟垢：0.1-0.3。
图4-3 温度梯度与傅里叶定律 第二节 热传导 热传导是由物质内部分子、原子和自由电子等微观粒子的热运动而产生的热量传递现象。热传导的机理非常复杂，简而言之，非金属固体内部的热传导是通过相邻分子在碰撞时传递振动能实现的；金属固体的导热主要通过自由电子的迁移传递热量；在流体特别是气体中，热传导则是由于分子不规则的热运动引起的。 4-2-1 傅里叶定律 一、温度场和等温面 任一瞬间物体或系统内各点温度分布的空间，称为温度场。在同一瞬间，具有相同温度的各点组成的面称为等温面。因为空间内任一点不可能同时具有一个以上的不同温度，所以温度不同的等温面不能相交。 二、温度梯度 从任一点开始，沿等温面移动，如图4-3所示，因为在等温面上无温度变化，所以无热量传递；而沿和等温面相交的任何方向移动，都有温度变化，在与等温面垂直的方向上温度变化率最大。将相邻两等温面之间的温度差△t 与两等温面之间的垂直距离△n 之比的极限称为温度梯度，其数学定义式为： n t n t gradt ??=??=lim (4-1) 温度梯度n t ??为向量，它的正方向指向温度增加的方向，如图4-3所示。 对稳定的一维温度场，温度梯度可表示为： x t gradt d d = （4-2） 三、傅里叶定律 导热的机理相当复杂，但其宏观规律可用傅里叶定律来描述，其数学表达式为： n t S Q ??∝d d 或 n t S Q ??-=d d λ （4-3） 式中 n t ??——温度梯度，是向量，其方向指向温度增加方向，℃/m ； Q ——导热速率，W ； S ——等温面的面积，m 2； λ——比例系数，称为导热系数，W/（m ·℃）。 式4-3中的负号表示热流方向总是和温度梯度的方向 相反，如图4-3所示。 傅里叶定律表明：在热传导时，其传热速率与温度梯 度及传热面积成正比。 必须注意，λ作为导热系数是表示材料导热性能的一 个参数，λ越大，表明该材料导热越快。和粘度μ一样，导
* 电路理论基础习题答案 第一章 1-1. (a)、(b)吸收10W ；(c)、(d)发出10W. 1-2. –1A; –10V; –1A; – 4mW. 1-3. –0.5A; –6V; –15e –t V; A; 3Ω; W. 1-4. u =104 i ; u = -104 i ; u =2000i ; u = -10 4 i ; 1-5. 1-6. 0.1A. 1-7. 1-8. 2F; 4C; 0; 4J.1-9. 9.6V,, ; 16V, 0, . 1-10. 1– e -106 t A , t >0 s . 1-11. 3H, 6(1– t )2 J; 3mH, 6(1–1000 t ) 2 mJ; 1-12. 0.4F, 0 . 1-13. 供12W; 吸40W; 吸2W; (2V)供26W, (5A)吸10W. 1-14. –40V, –1mA; –50V, –1mA; 50V, 1mA. 1-15. 0.5A,1W; 2A,4W; –1A, –2W; 1A,2W. 1-16. 10V,50W;50V,250W;–3V,–15W;2V,10W. 1-17. (a)2V;R 耗4/3W;U S : –2/3W, I S : 2W; (b) –3V; R 耗3W; U S : –2W, I S :5W; (c)2V,–3V; R 耗4W;3W;U S :2W, I S :5W; 1-18. 24V, 发72W; 3A, 吸15W; 24V 电压源; 3A ↓电流源或5/3Ω电阻. 1-19. 0,U S /R L ,U S ;U S /R 1 ,U S /R 1 , –U S R f /R 1 . 1-20. 6A, 4A, 2A, 1A, 4A; 8V, –10V, 18V. 1-21. K 打开：(a)0, 0, 0; (b)10V, 0, 10V; (c)10V,10V,0; K 闭合: (a)10V,4V,6V; (b)4V,4V,0; (c)4V,0,4V; 1-22. 2V; 7V; ; 2V. 1-23. 10Ω. 1-24. 14V. 1-25. –, 1.333A; , 0.8A. 1-26. 12V, 2A, –48W; –6V, 3A, –54W . ※ 第二章 2-1. 2.5Ω; ; 8/3Ω; ; 4Ω; Ω; . R /8; Ω; Ω; 40Ω; 14Ω. 2-2. 11.11Ω; 8Ω; Ω. 2-3. Ω. 2-4. 400V;;I A =. 5A, 电流表及滑线电阻损坏. 2-6. 5k Ω. 2-7. Ω. 2-8. 10/3A,Ω;–5V,3Ω; 8V,4Ω; 0.5A,30/11Ω. 2-9. 1A,2Ω; 5V,2Ω; 2A; 2A; 2A,6Ω. 2-10. –75mA; –0.5A. 2-11. 6Ω; Ω; 0; Ω. 2-12. 4Ω; Ω; 2k Ω. 2-13. 5.333A; 4.286A. 2-14. (a) –1 A ↓; (b) –2 A ↓, 吸20W. 2-16. 3A. 2-17. 7.33V. 2-18. . 2-19. 1V, 4W. 2-20. 64W. 2-21. 15A, 11A, 17A. 2-23. 7V, 3A; 8V,1A. 2-24. 4V, , 2V. 2-26. 60V. 2-27. . 2-28. –18V. 2-29. 原构成无解的矛盾方程组; (改后)4V,10V. 2-30. k , 50 k . 2-31. R 3 (R 1 +R 2 ) i S /R 1 . 2-32. 可证明 I L =－ u S /R 3 . 2-33. –2 ; 4 . 2-34. (u S1 + u S2 + u S3 )/3 . ※ 第三章 3-1. –1+9=8V; 6+9=15V; sin t + e – t V. 3-2. 155V. 3-3. 190mA. 3-4. 1.8倍. i A 0 s 1 1 2 3 1-e -t t 0 t ms i mA 4 10 0 t ms p mW 4 100 2 25 i , A .75 t 0 .25 ms (d) u , V 80 0 10 -20 t , ms (f ) u , V 100 0 10 t , ms (e) p (W) 10 0 1 2 t (s) -10
grad t 第一章 导热理论基础 第一节基本概念及傅里叶定律 1-1 导热基本概念 一、温度场 1、定义：在某一时间，物体内部各处的温度分布即为温度场。 直角坐标系： ),,,(τz y x f t = （2-1） 热流是由高温向低温传递，具有方向性。而温度则属于标量，无方向性。 2、分类： 从时间坐标看， 稳态导热：温度分布与时间无关，),,(z y x f t =； 非稳态导热：温度分布与时间有关，),,,(τz y x f t =。 从空间坐标可将导热分为一维、二维、三维导热。其中最简单的是一维稳态导热，可表示为：)(x f t =。 3、等温面（线） 在同一瞬间，物体内温度相同的点连成的面即为等温面。不同的等温面与同一平面相交，在平面上得到的一组线为等温线。 不同的等温面（线）之间是不可能相交的。图2-1所示的即为一维大平壁和一维圆筒壁内的等温面（线）的示意图。 二、温度梯度 定义沿法线方向的温度变化率为温度梯度，以 t grad → 表示。 n t n t grad n t ??=??=→?→ 0lim (2-3) 温度梯度是一个矢量，具有方向性。它的方向是沿等温面法线由低温指向高温方向。 在直角坐标系： z t y t x t gradt ??+??+??= （2-4）
其中， x t ??、y t ??、z t ??分别为沿x 、y 、z 方向的温度梯度。 三、热流密度 热流密度，。热流密度是一个矢量，具有方向性，其大小等于沿着这方向单位时间单位面积流过的热量，方向即为沿等温面之法线方向，且由高温指向低温方向，见图。在直角坐标系中，同样可以分解成由沿坐标轴三个方向的分量表示： q q q z y x ++= （2-） 式中z y x q q q ,,为沿坐标轴三个方向的分热流。而通过该等温面传递的热量为 z z y y x x A q A q A q A q ++=?=Φ→ → （2-） 1-2．傅立叶定律 傅立叶（J. Fourier ） 热流密度与温度梯度的关系可以用下式表示 n t gradt q ??-=-=λλ （2-5） n t A Agradt ??-=-=Φλλ （2-6） 式中的比例系数λ即为材料的导热系数（或称热导率），单位)C m W ??。负号代表热流密度与温度梯度的方向刚好相反。 傅立叶定律直接给定了热流密度和温度之间的关系。 在直角坐标系，傅立叶定律可以展开为： )( z t y t x t q q q z y x ??+??+??-=++λ （2-7） 对应可写出各个方向上的分热流密度为： z t q y t q x t q z y x ??-=??-=??-=λ λλ （2-8） **：傅立叶定律仅适用于导热系数为各向同性的材料。 例2-1．已知厚度为100mm 的平壁，壁面内稳态温度分布式为2cx bx a t ++=。式中：t 单位为C ?，x 单位为m ，C a ?=900，m C b /300?-=，5/50m C c ?-=。平壁导热系数)/(40K m W ?=λ。求：（1）平壁两侧的热流密度；（2）平壁内是否有
笛卡尔坐标系下三维非稳态导热微分方程为： ?Φ+????+????+????=??)()()(z t z y t y x t x t c λλλτρ (a 式) 如何得到圆柱坐标下的方程？有2种方法，一是按照类似笛卡尔坐标的方法，通过能量守恒及傅里叶定律得到（我还没推出来）；二是由笛卡尔坐标变换得到，ppt 中为第二种方法。 以下给出变换过程：转换的目的是用r ?z 消去xyz 。 涉及多元复合函数求导，可参见同济版《微积分》(下)第80页例题9。 （b 式） （c 式） 怎么理解这个公式？x ??表示某个式子对变量x 求偏导，例如x z y x t ??),,(表示函数),,(z y x t ?对变量x 求偏导，不要被这种写法吓到。直角坐标时，xyz 是基本未知量；圆柱坐标时，r ?z 是基本未知量。它们是一一对应的，彼此可以互相表示对方。（b 式）就是用r ?z 表示x （当然，z 跟x 是不存在函数关系的，即0=??x z ，ppt 上这么写只是为了形式上的对应。） 这个公式是怎么来的？涉及多元复合函数求导法则，见同济版《微积分》(下)第77页“情形2”，用一个简图来理解：假设有一个温度场函数),,(z y x t ，温度t 是xyz 的函数，把 r ?z 看成中间变量，22y x r += ，x y arctan =? t ?y z z z x z x r x r x ????+????+????=????r x y x z y z y r y r y ????+ ????+????=????
0+????+????=????+????+????=??x t x r r t x z z t x t x r r t x t ???? 类似地，就有0+????+????=????+????+????=??y t y r r t y z z t y t y r r t y t ???? z t z t ??=??（圆柱坐标下z 跟直接坐标完全没有变化） 理解了b 式子以后，我们发现这个式子中仍然含有x y ，要进一步运算消掉x y ： ?cos r x =，?sin r y =，22y x r +=，x y arctan =? 求导得（如果忘了怎么求看《微积分》(上)） ??cos cos )(2222==+=?+?=??r r y x x x y x x r r r r y x y x x y x ???sin sin )(arctan 222-=-=+-=??=?? 上面两项代入b 式，得 ? ??????-??=????+????+????=??r r x z z x x r r x sin cos （d ） 类似地， ??sin sin )(2222==+=?+?=??r r y x y y y x y r r r r y x x y x y y ???cos cos )(arctan 222==+=??=?? 上面两项代入c 式，得 ? ??????+??=????+????+????=??r r y z z y y r r y cos sin （e ） （d ）（e ）式实现了用r ?取代x y 的目的。
答案1.7 解：如下图所示 (1)由KCL 方程得 节点①： 12A 1A 3A i =--=- 节点②： 411A 2A i i =+=- 节点③： 341A 1A i i =+=- 节点④： 231A 0i i =--= 若已知电流减少一个，不能求出全部未知电流。 (2)由KVL 方程得 回路1l ： 1412233419V u u u u =++= 回路2l ： 15144519V-7V=12V u u u =+= 回路3l ： 52511212V+5V=-7V u u u =+=- 回路4l ： 5354437V 8V 1V u u u =+=-=- 若已知支路电压减少一个，不能求出全部未知电压。 答案1.8 解：各元件电压电流的参考方向如图所示。 元件1消耗功率为: 11110V 2A 20W p u i =-=-?=- 对回路l 列KVL 方程得 21410V-5V 5V u u u =+== 元件2消耗功率为: 2215V 2A 10W p u i ==?= 元件3消耗功率为: 333435V (3)A 15W p u i u i ===-?-=
对节点①列KCL 方程 4131A i i i =--= 元件4消耗功率为: 4445W p u i ==- 答案1.9 解：对节点列KCL 方程 节点①: 35A 7A 2A i =-+= 节点③: 47A 3A 10A i =+= 节点②: 5348A i i i =-+= 对回路列KVL 方程得： 回路1l ： 13510844V u i i =-?Ω+?Ω= 回路2l ： 245158214V u i i =?Ω+?Ω= 答案1.10 解：由欧姆定律得 130V 0.5A 60i = =Ω 对节点①列KCL 方程 10.3A 0.8A i i =+= 对回路l 列KVL 方程 1600.3A 5015V u i =-?Ω+?Ω=- 因为电压源、电流源的电压、电流参考方向为非关联，所以电源发出的功率 分别为 S 30V 30V 0.8A 24W u P i =?=?= S 0.3A 15V 0.3A 4.5W i P u =?=-?=- 即吸收4.5W 功率。 答案1.12 解：(a)电路各元件电压、电流参考方向如图(a)所示。 由欧姆定律得 S /10cos()V/2A 5cos()A R i u R t t ωω=== 又由KCL 得 S (5cos 8)A R i i i t ω=-=- 电压源发出功率为 S S 2 10cos()V (5cos 8)A (50cos 80cos )W u p u i t t t t ωωωω=?=?-=- 电流源发出功率为
第一章电路基本定律和二端电阻性元件 1、考试内容： 电压、电流及其参考方向；电功率的判定；元件特性；基尔霍夫定律。 电压、电流的参考方向 电压的参考方向表示法（三种方法） 电流的参考方向表示法 电功率的判断 基尔霍夫定律 基尔霍夫电流定律（KCL）：对任一集中参数电路中的任一节点，在任一时间， 离开节点的各支路电流代数和为0.∑ == m k k t i 1 )( 基尔霍夫电压定律（KVL）：对任一集中参数电路中的任一节点，在任一时间， 沿回路的各支路电压代数和为0.∑ == m k k t 1 )( u
第二章 简单电路和多端电阻性元件 1、考试内容： 等效电路的概念；电阻的等效变换；实际电源的两种模型及其等效变换；运算放大器的电路模型；含理想运算放大器的电路分析； 等效：是指将电路中某一部分比较复杂的结构用一比较简单的结构替代，替代之后的电路与原电路对未变换的部分（或称外部电路）保持相同的作用效果。 对于二端电路，要求变换前后端口处电压-电流关系完全相同。等效是对外部电路而言的，对变换了的部分（内部）无等效可言。（对外等效） 串联，并联公式（略） 等电位标记法求等效电阻（P31思考与练习 2-2-3） 电流分流公式i R R R i 2121+= ，i R R R i 2 11 2+= 戴维南电路 诺顿电路 对于具有n 个结点，b 条支路的电路，有（n-1）个独立的 KCL 方程；有b －n ＋1个独立的KVL 方程。 任选（n －1）个节点列出的KCL 是独立的；对平面电路的所有网孔列出KVL 是独立的。 （判断左图的支路数，节点数，独立的KVL 方程数） 0U IR U s -=