第一章 导热理论基础
本章重点：准确理解温度场、温度梯度、导热系数等基本概念，准确掌握导热基本定律及导
热问题的基本分析方法。
物质内部导热机理的物理模型：（1）分子热运动；（2）晶格（分子在无限大空间里排列
成周期性点阵）振动形成的声子运动；（3）自由电子运动。
物质内部的导热过程依赖于上述三种机理中的部分项，这几种机理在不同形态的物质中
所起的作用是不同的。
导热理论从宏观研究问题，采用连续介质模型。
第一节 基本概念及傅里叶定律
1-1 导热基本概念
一、温度场(temperature field)
（一）定义：在某一时刻，物体内各点温度分布的总称，称为即为温度场（标量场）。
它是空间坐标和时间坐标的函数。在直角坐标系下，温度场可表示为：
),,,(τz y x f t = （1-1）
（二）分类：
1．从时间坐标分：
① 稳态温度场：不随时间变化的温度场，温度分布与时间无关，
0=??τ
t ，此时，),,(z y x f t =。（如设备正常运行工况） 稳态导热：发生于稳态温度场中的导热。
② 非稳态温度场：随时间而变化的温度场，温度分
布与时间有关，),,,(τz y x f t =。（设备启动和停车过程）
非稳态导热：在非稳态温度场中发生的导热。
2．从空间坐标分： ① 三维温度场：温度与三个坐标有关的温度场，?
??==稳态非稳态),,(),,,(z y x f t z y x f t τ ② 二维温度场：温度与二个坐标有关的温度场，???==稳态非稳态)
,(),,(y x f t y x f t τ
?t
grad t
③ 一维温度场：温度只与一个坐标有关的温度场，?
??==稳态非稳态，)()(x f t x f t τ 二、等温面与等温线
1．等温面(isothermal surface)：在同一时刻，物体内温度相同的点连成的面即为等温面。
2．等温线(isotherms)：用一个平面与等温面相截，所得的交线称为等温线。
为了直观地表示出物体内部的温度分布，可采用图示法，标绘出物体中的等温面（线）。
3．等温面（线）的特点：
① 不同的等温面（线）之间是不可能相交的。图1-1所示的即为一维大平壁和一维圆筒
壁内的等温面（线）的示意图。
② 在连续介质的假设条件下，等温面（线）可以是物体中闭合的曲面或曲线，或者终止
在物体的边界，不可能在物体中中断。。
③ 等温线的疏密可直观反映出不同区域温度梯度的相对大小，若每条等温线间的温度间
隔相等时，即t ?相等，则等温线越疏，表明该区域热流密度越小；反之，越大。
④ 沿等温面（等温线）无热量传递
三、温度梯度(temperature gradient)
从一个等温面上的某点出发，到达另一个等温面，可以有不同的路径，不同路径上的温
度变化率是不同的，温度变化率最大的路径位于该点的法线方向上。为了表示沿等温面法线
方向的温度变化率，引入温度梯度的概念。
梯度（最大的方向导数）：指向变化最剧烈的方向。（向量）
温度变化率是标量，温度梯度是矢量。
温度梯度：定义沿法线方向的温度变化率（沿等温面法线方向上的温度增量与法向距离
比值的极限）为温度梯度，以gradt 表示。
n
t n t grad n t ??=??=→?→0lim (1-2) 式中，——等温面法线方向的单位矢量；
n t ??——温度在等温面法线方向的导数。 温度梯度的方向（正向）：是沿等温面法线由低温指向高温。 温度梯度的数值大小：等于温度梯度方向上的导数。 在直角坐标系：
z t y t x t gradt ??+??+??= （1-3） 式中，i ，j ，k 分别表示x 轴、y 轴及z 轴方向上的单位矢量。
温度降度：温度梯度的负值，gradt -，沿温度降低的方向。
四、热流密度矢量
热流密度：它指单位时间单位面积上所传递的热量。在不同方向上，热流密度的大小是
不同的。
1．热流线(heat flux lines)：在温度场中，作与各等温线一一正交的一组曲线，这组曲线
称为热流线。
热流线是表示热流方向的线。在热流线上各点做切线，则热流方向就在该切线上，而某
点热流线的切线方向与该点等温线的法线方向是一致的。所以热流方向是在等温线的法线方
向上。由于热流是从高温处流向低温处，所以热流方向与温度梯度的方向相反。可见，热流
既有大小，也有方向。为此引入热流密度矢量来对热流进行描述。
2．热流密度矢量：等温面上某点，以通过该点最大热流密度的方向为方向，数值上，等
于沿该方向的热流密度的矢量，称为热流密度矢量，简称热流矢量。其他方向的热流密度都
是热流矢量在该方向的分量。
在直角坐标系中，热流矢量可表示为：
k q j q i q q z y x ++= （1-4）
式中z y x q q q ,,为沿三个坐标轴方向的分热流。
1-2．傅立叶定律(Fourier’s law of heat conduction )
傅里叶于1822 年在对固体导热实验进行总结的基础上，提出了著名的傅里叶定律，它是
导热的基本定律。
1．傅立叶定律的表达式
n
t t grad ??-=-=λλ 式中的比例系数λ即为材料的导热系数（或称热导率），单位)(C m W ??。负号“-”表
示热流密度矢量与温度梯度的方向刚好相反（是热力学第二定律的体现）。
在直角坐标系，傅立叶定律可以展开为：
)(z
t y t x t q q q z y x ??+??+??-=++=λ （1-7） 对应可写出各个方向上的分热流密度为：
x t q x ??-=λ，y
t q y ??-=λ，z t q z ??-=λ 工程上，一般考虑简单几何形状物体的导热。这时，热流密度常垂直于物体表面，分析
问题时，常将坐标轴垂直于表面，这样，热流密度的方向就与坐标轴重合，热流密度可以不
写成矢量形式,而只按坐标轴方向考虑热流密度的正负。即热流密度与坐标轴同向时为正，反
向时为负。
傅立叶定律指出了导热热流密度矢量与温度梯度之间的关系。
2．傅里叶定律的适用范围：
适用于各向同性连续介质的稳态和非稳态导热过程。（适用 q 不很高，而作用时间长。
不适用于时间极短，热流密度极大或者温度极低时的导热）
问：傅里叶定律并不显含时间，为什么能用于计算非稳态导热的热量？
答：q 是瞬时热流密度，不同瞬时，q 可能是不同的，q 与时间有关。
由傅里叶定律可知, 要计算导热热流量, 需要知道材料的导热系数, 还必须知道温度场。
所以求解温度场是导热分析的主要任务。（温度场——温度梯度——热流矢量）
第二节 导热系数
一、导热系数的定义：
gradt
q -=λ （1-8） 物理意义：单位温度梯度下物体内产生的热流密度。它表征物质导热能力的大小，导热
能力是物质的固有的物理性质，所以导热系数是物性参数。
单位：W/（m ·K ）或W/（m ·℃）
各种材料的导热系数一般是通过实验来测定的。
二、影响材料导热系数的因素
材料的导热系数与物质种类及物质的温度，密度、湿度、压力等有关。
不同物质导热系数的数值是不同的。一般情况是，纯金属的导热系数很高，气体的导热
系数很小，液体的数值介于金属和气体之间。
1．气体
（1）导热机理：靠分子热运动时的相互碰撞。
（2）各种气体的导热系数的范围：0.006～0.6 W/（m·K），其中以氢的导热系数为最大，常温下，空气的导热系数约为：0.025 W/（m·K）。
（解释：双层玻璃窗为什么能起到保温作用？）
（3）所有气体的导热系数均随温度升高而增大。（↑
t）
↑λ,
（4）对于空气，其含湿量增加后，湿空气的导热系数将增大。
（5）对气体，除非压力很低（小于2.67×103Pa）或压力很高（大于2×109Pa），可以认为气体的导热系数随压力变化不大。
水蒸汽的导热系数随压力的升高而增大。（↑
p）
↑λ,
2．液体
（1）导热机理：靠不规则的弹性振动（弹性波）。
（2）各种液体的导热系数的范围：0.07～0.7 W/（m·K）。水的导热系数在所有各种液
λ，油类的导热系数值较小，体（不包括金属液体和电解液）中最大，20℃时)
W?
m
=
.0K
60
/(
水
在0.01～0.15 W/（m·K）之间。
（3）大多数液体（水和甘油除外）的导热系数随温度的升高而减小。（↓
t）
↑λ,（4）液体的导热系数受压力影响较大，随压力的升高导热系数增大。（↑
↑λ,
p）3．固体
（1）金属
①导热机理：依靠自由电子的迁移。金属导热与导电机理一致。良导电体为良导热体。
②各种金属的导热系数的范围：在0℃时12～410 W/（m·K），其中以银的导热系数为最高，纯金属的导热系数为：银—410 W/（m·K），铜—387 W/（m·K），铝—203 W/（m·K），铁—73 W/（m·K）。纯金属的导热系数值大于合金（依靠自由电子的迁移和晶格的振动；主要依靠后者），且合金中杂质含量越多，导热系数值越小。（原因：金属中的杂质干扰了自由电子的运动，影响了能量的传递。）（参见课本330页，附录7）
③纯金属的导热系数随温度的升高而减小。（↓
t）（晶格运动的加强，干扰了自
↑λ,
由电子的运动）
一般合金的导热系数随温度的升高而增大。（↑
t）
↑λ,
（2）非金属
①导热机理：依靠晶格的振动。
②大多数建筑材料及隔热保温材料都属于非金属材料，如砖、砂、砂浆、混凝土等。这类材料的导热系数范围为：0.025～3 W/（m·K）。
非金属材料的导热系数随温度升高而增大。（↑
t）
↑λ,
（3）保温材料（隔热、绝热材料）(insulating material)
①定义：按照国家标准（GB4272-92）的规定，凡平均温度不高于350C
?，导热系数的数值不大于0.12)
W?的材料称为绝热保温材料（隔热材料或热绝缘材料）。
m
/(K
②保温材料的特点：保温材料大多是多孔材料（蜂窝状结构），内部有很多细小的空隙，其中充满气体，因而并非为密实固体，严格讲，这些材料已不应视为连续介质。通常所说的保温材料的导热系数是指表观导热系数，即把保温材料当作连续介质时折算出的值。
③保温材料的热量传递机理：
a 蜂窝固体结构的导热
b 微小孔隙中气体的导热
c 微小孔隙壁间的辐射换热（高温时）
④保温材料的导热系数随温度升高而增大。（↑
↑λ,
t）
⑤密度和湿度对保温材料和建筑材料的导热系数影响较大。
保温材料和建筑材料大多是多孔材料。如果密度大，意味着材料比较密实，孔隙率低，导热系数就大，多孔材料的密度小，意味着材料的孔隙多，使材料的导热系数小。但如果密度太小，孔隙尺寸变大或孔隙连通起来，这时气体会在孔隙中发生对流，产生对流换热，反而使导热系数增大。所以这些材料都对应有最佳的密度，即此时使材料的导热系数最小。
多孔材料如果吸收水分后，导热系数较大的水就会取代孔隙中导热系数较小的空气，使材料的导热系数增大。例如，干砖的λ值为0.35 W/（m·K），而湿砖的λ可达1 W/（m·K），所以对建筑物的维护结构，露天热力管道和设备的保温层，应采取防水防潮措施。
问：（1）同样是-6℃的气温，为什么在南京比在北京感觉要冷一些？
（2）通常，新房子刚住进去时，都有一种冷的感觉，为什么？
(4) 一般情况下，工程材料的导热系数随温度变化并不是线形的，但在温度变化不大的范围内，对大部分材料来说，可以认为导热系数随温度是线性关系的，即：
)1(0bt +=λλ )(21t t t ≤≤ （1-9）
式中，t 为温度，0λ为该直线与纵坐标的截距（注意：它并不
是温度为0℃时材料的真实导热系数）， b 是由实验测定的常
数。
注意：上式只是在一定范围内有效。
4．对于同一种物质来讲，一般情况是，λ固 >λ液 > λ气。 例如，大气压力下0℃时，)/(22.2K m W ?=冰λ，)/(55.0K m W ?=水λ，
)/(0183.0K m W ?=水蒸汽λ
5．各向异性材料 （anisotropic material ）
不同方向上的导热系数都相同的材料称为个各向同性材料，反之称为各向异性材料。例如木材，石墨等，由于他们各向结构不同，因此各方向上的导热系数差别较大，对此类材料给出导热系数，必须注明方向。
思考题：
1、傅立叶定律的应用条件
2、保温工程对保温材料及使用有何要求？
3、傅里叶定律是否可以用于非稳态导热？
4、材料导热系数的单位为)/(C m W ?，而在有些教材上则为)/(K m W ?，两者之间是否有差别？
5、为什么大部分隔热保温材料都采用多孔结构？
6、试分析北方寒冷地区的房屋采用双层玻璃窗起到了什么样的作用。
7、冬天的棉衣和被褥在太阳下晾晒后使用会感到很暖和，晾晒后再拍打拍打则效果更好。为什么？
8、冬天，房顶上结霜的房屋保暖性能好还是不结霜的好?
λ12
第三节 导热微分方程式
导热微分方程式是描述物体内温度分布的微分方程，是根据能量守恒定律（热力学第一定律）和傅立叶定律建立起来的。
一、导热微分方程的建立
在推导导热微分方程式时，假定：
（1）物体为各向同性的连续体；
（2）物体的物性参数（λ，ρ，c ）已知；
（3）物体具有均匀内热源，其强度记为)(3m W q v ：单
位体积单位时间内所发出的热量。物体内放出热量时，内热
源为正，物体内吸收热量时，内热源为负。
分析对象：采用直角坐标系，从物体中分割出一个微
元平行六面体，微元体的边长分别为：dx ，dy ，dz ，其体
积为dxdydz dV =。
取时间τd ，对微元体进行热平衡分析，根据能量守恒定律，有：
?????
??=??????Φ+??????ΦU v c 的增量微元体的热力学能的发热量微元体内热源体的净导热量导入与导出微元 （1-10） 下面对每一项分别进行讨论：
1 导入与导出微元体的净导热量c Φ
在坐标系三个方向上均有热量的导进与导出，首先来看x 方向：
沿x 表面导入的热量：
τdydzd q x x =Φ
经x+dx 表面导出的热量：
ττdydzd dx x
q q dydzd q x x dx x dx x )(??+==Φ++ 因此，由x 方向导入的净导热量为：
τdxdydzd x
q x dx x x ??-=Φ-Φ+ 同理，沿y 和z 方向导入的净导热量分别为：
τdxdydzd y q y
dy y y ??-=Φ-Φ+
τdxdydzd z
q z dz z z ??-=Φ-Φ+ 最后可得进入该微元体的净导热量：
τdxdydzd z q y q x q z y x c )(
??+??+??-=Φ 根据傅里叶定律，将x t q x ??-=λ，y
t q y ??-=λ，z t q z ??-=λ代入上式，得： τλλλdxdydzd z
t z y t y x t x c )]()()([????+????+????=Φ （a ） 2 微元体内热源的发热量v Φ
τd 时间内，微元体内热源的发热量v Φ为：τdxdydzd q v v =Φ （b ） 3 微元体的内能增量U ?
τd 时间内，微元体的内能增量U ?为：
ττ
ρρdxdydzd t c dt c dxdydz U ??=??=?)( （c ） 将（a ）、（b ）、（c ）代入（1-10），并经整理得：
v q z
t z y t y x t x t c +????+????+????=??)()()(λλλτρ （1-11） 该式即为通用的导热微分方程式，描述了物体的温度随时间和空间变化的关系，是描写导热过程共性的数学表达式，是求解导热问题的出发点。
说 明：
（1）导热问题仍然服从能量守恒定律；
（2）等号左边是单位时间内微元体内能的增量（非稳态项）；
（3）等号右边前三项之和是通过界面的导热使微元体在单位时间内增加的能量 ( 扩散项 ) ；
（4）等号右边最后项是源项；
（5）若某坐标方向上温度不变，该方向的净导热量为零，则相应的扩散项即从导热微分方程中消失。
适用条件：各向同性的连续介质的稳态与非稳态导热过程，且物性既可以是常物性，也可以是变物性，一维、二维、三维都适用。但不适用于深冷或超急速传热。
二、导热微分方程的简化
1．常物性：即ρ，c ，λ均为常数
c q z
t y t x t a t v ρτ+??+??+??=??)(222222 （1-12） 或写成：
c
q t a t v ρτ+?=??2 式中， 2?——拉普拉斯运算符，22
22222
z y x ??+??+??=? a ——热扩散率（或导温系数）
（thermal diffusivity ），c
a ρλ=，其单位为m 2，是一个热物性参数。 热扩散率a 反映了导热过程中材料的导热能力λ与沿途物质储热能力c ρ之间的关系。 表征了材料在非稳态导热（物体被加热和冷却）时，物体内各部分的温度趋于均匀一致的能力，它是物体热惯性的度量。
在非稳态导热过程中，a 值大的材料温度变化快，或物体内部各处的温度差小，整块材料的温度比较均匀。所以，热扩散率又是材料传播温度变化能力大小的指标，也称为导温系数。
在同样加热条件下，物体的热扩散率越大，物体内部各处的温度差别越小。
不同材料的热扩散率相差较大。例如：木材的热扩散率为1.5×10-7 m 2/s ，铝的热扩散率为9.45×10-5 m 2/s ，铝的热扩散率为木材的600多倍。所以，当尺寸相同的木棒和铝棒的一端同时放入火中加热时，很快铝棒的另一端已经烫手，而木棒在炉中的一端虽已着火燃烧，但另一端的温度基本上不变。
热扩散率反映导热过程动态特性，只对非稳态过程才有意义。（在稳态过程中，温度不随时间变化，所以热扩散率不起作用）
热扩散率和导热系数是两个不同的物理量。热扩散率综合了材料的导热能力和单位体积的热容量大小，而导热系数只是指材料导热能力的大小。导热系数小的材料，其热扩散率不一定小。例如，气体的导热系数很小，但它的热扩散率却和金属的相当，气体：15～165×10-6
m 2/s ，金属：3～165×10-6 m 2/s 。
2．常物性，无内热源
)(222222z
t y t x t a t ??+??+??=??τ 或 t a t 2?=??τ （1-13） 3．对常物性，稳态导热，0=??τ
t ，则 0)(222222=+??+??+??λv q z
t y t x t 或02=+?λv q t （1-14） 4．对常物性、无内热源的稳态导热，
02222222
=??+??+??=?z t y t x t t （1-15） 问：式中无导热系数，有人因此说：常物性、无内热源的稳态导热中导热系数与物体内温度分布和到热量无关。你认为对吗？
答：gradt q λ-=，当t 一定时，q 与λ有关。
当存在第二类或第三类边界条件时，λ将影响导热微分方程的解，即影响温度分布。这时，λ的影响是通过边界条件而引入的。
三、其它坐标系中导热微分方程
对圆柱坐标系),,(z r t ?（见图）
v q z
t z t r r t r r r t c +????+????+????=??)()(1)(12λ?λ?λτρ （1-16） 对球坐标系),,(θ?r t （见图）
v q t r t r r t r r r t c +????+????+????=??)sin (sin 1)(sin 1)(122222θθλθ
θ?λ?θλτρ （1-17） 对常物性、一维稳态且无内热源的导热问题，两方程可简化为
0)(=dr
dt r dr d 0)(2=dr
dt r dr d 通过导热微分方程可知，求解导热问题，实际上就是对导热微分方程式的求解。预知某一导热问题的温度分布，必须给出表征该问题的附加条件（定解条件）。
第四节 导热过程的单值性条件
导热微分方程没有涉及具体、特定的导热过，是描写导热过程共性的通用表达式，适用于所有导热过程，但每一个具体的导热过程总是在特定条件下进行的，具有区别于其他导热过程的特点（即该过程的个性）。因此对于某一特定的导热过程，除了用导热微分方程式来描述外，还需要有表达该过程特点的补充说明条件。
单值性条件：确定唯一解的补充说明条件。
求解导热微分方程式可获得方程式的通解，结合单值性条件就可以求出特定问题的惟一解。（特解= 通解+单值性条件）
对具体的导热过程进行完整的数学描述，应包括两部分：导热微分方程式和单值性条件。 单值性条件包括四方面的内容：几何条件、物理条件、时间条件和边界条件。
一、几何条件
几何条件是指参与导热过程的物体的几何形状和大小。几何条件决定温度场的空间分布特点和分析时所采用的坐标系。例如，形状是平壁，或是圆筒壁，壁的厚度，直径等。
二、物理条件
物理条件是指参与导热过程的物体的物理特性。例如，物体的物性参数ρ、λ、c 的数值，它们随温度的变化关系，有没有内热源（它的大小和分布情况）等。
三、时间条件
说明导热过程的时间特点。
稳态导热，不存在时间条件，因为导热过程与时间无关。
非稳态导热，给出过程开始时物体内的温度分布情况，故也称初始条件。
),,(0z y x f t ==τ （1-18）
最简单的初始条件是物体内初始温度分布均匀，即：====00),,(t z y x f t τ常量
四、边界条件
说明导热过程在物体边界上进行的特点。给出导热物体边界上的温度或换热情况，体现着“外因”对物体温度场的内在规律性（内因）的影响。
参与导热的物体有几个边界，就应给出几个边界条件。常见导热物体的边界条件有三类：
1．第一类边界条件
给出任何时刻物体边界上的温度值，即：
),,(z y x f t w =
式中，w t ——边界面上的温度。
稳态导热：const t w =
非稳态导热：)(τf t w =
2．第二类边界条件
给出任何时刻物体边界上的热流密度值，即：
),,,(τz y x f q w = （1-20a ）
根据傅里叶定律，第二类边界条件相当于已知任何时刻物体边界面法向的温度梯度值。 或：
λw w q n t -=?? （1-20b ） 稳态导热：常量=w q
非稳态导热：)(τf q w =
特例：绝热边界面，此时边界上0=w q ，或可表示为：
0=??w n t 3．第三类边界条件（对流换热边界条件）
当物体壁面与流体相接触进行对流换热时，给出边界面周围流体温度f t 及边界面与流体之间的表面传热系数h 。物体边界上的导热量应等于物体与流体之间的对流换热量。
牛顿冷却定律：)(f w w t t h q -= 傅里叶定律：w w n t q ??-=λ
得： )(f w w
t t h n t
-=??-λ n ——指向物体的外法线方向。 式中的w
n t ??和w t 是未知的。 上式对物体被加热或冷却都适用。
对于如图所示的平板，左、右侧面的第三类边界条件的表达式是一样的吗？ 左：)(1110w f x t t h x
t
-=??-=λ 或 )()(1110f w x t t h x t -=-??-=λ 右：)(222f w x t t h x t
-=??-=δ
λ
4．三类边界条件之间的联系
在一定条件下，第三类边界条件可转化为第一、第二类边界条件。
根据
)(f w w t t h n t --=??λ 当∞→λh 时，由于边界面上的温度变化率w
n t ??只能是有限值，因此有，0)(→-f w t t ，即物体边界温度等于流体温度，f w t t =，第三类边界条件变成第一类边界条件。
当0→h ，则得0=??w n t ，所以0=??-=w
w n t q λ
，即物体边界面绝热，第三类边界条件
变成第二类边界条件。
5 对于第三类边界条件的补充：
（1）如果边界面上辐射和对流并存时，边界条件的表达式为：
)()(44sur w f w w
T T T T h n t -+-=??-εσλ 式中，ε——与物体表面进行辐射换热的外部环境的发射率。
T sur ——与物体表面进行辐射换热的外部环境的温度。
（2）在太空中物体导热的第三类边界条件，应为：4w w
T n t εσλ
=??- 导热问题的求解思路：
物理问题→数学描述→求解方程→温度分布→热量计算
[例1-1]一厚度为δ的无限大平壁，其导热系数λ为常数，平壁内具有均匀的内热源
3/m W q V 。
平壁0=x 的一侧是绝热的，δ=x 一侧与温度为f t 的流体直接接触进行对流换热，表面传热系数h 是已知的。试写出这一稳态导热过程的完整数学描述。
[解] 无限大平壁的导热是一个沿平壁厚度方向进行的一维导热。
对于常物性、具有均匀内热源的一维稳态导热问题，导热微分方程为：
022=+λV q dx
t d 边界条件：在0=x 的一侧给出的是绝热边界条件，属第二类边界条件，即：
00
==x dx dt 在δ=x 的一侧给出的是第三类边界条件，即：)(f x x t t h dx dt -=-==δδ
λ
以上三式完整地描述了给定的导热问题。
[讨论] 在如题中的一侧绝热的无限大平壁中，满足导热过程式稳态的条件是：内热源产生的热量与平壁一侧的对流换热量相等。
[例1-2]一半径为R 长度为l 的导线，其导热系数λ为常数，导线的电阻率为m m /)(2?Ωρ。导线通过电流)(A I 而均匀发热。已知空气的温度为f t ，导线与空气之间的表面传热系数为h ，试写出这一稳态过程的完整数学描述。
[解] 导线的长度比导线的直径大很多，导线的导热问题是轴对称的，是只沿径向由导线中心轴线处向导线外表面导热的一维问题，导线本身发热，是一个内热源。
这是一个常物性、具有均匀内热源的一维稳态导热问题。采用圆柱坐标系。 导热微分方程为：0)(1=+λv q dr dt r dr d r 内热源的强度：222222)(R I l R R l I q V πρππρ=??
?= 边界条件：在R r =处，给出的是第三类边界条件，即：
)(f R r R
r t t h dr dt -=-==λ 在0=r 处，根据轴对称，该处的温度具有最大值，温度梯度为零，即：
00
==r dr dt 以上四式完整地描述了给定的导热问题。
[讨论] 在如题中情况，满足导热过程式稳态的条件是：导线通电发出的热量等于它向周围空气的散热量。 在导线中心上温度具有最大值，求解这个问题，可以算出导线的最大允许电流。
思考题：
1．已知圆筒壁内外两侧的壁温，且无内热源，物性为常数。试直接从傅里叶定律解出的其一
维稳态问题的温度分布曲线。
2．工业上锅炉为什么必须定期除垢？
3．若想按公式λδt q ?=
来设计一台测量导热系数的实验台。请考虑要使用的设备及必需具备的实验条件。
4．试将三类边界条件表示成统一的表达式。什么时候第三类边界条件可以转化为第一类?
5．试问发生在一个短圆柱中的导热问题，在哪些情形下可以按一维问题来处理？
6．导热微分方程的适用条件是什么？
7．热扩散率的物理意义。
8．一面绝热的无限大平壁被流体加热（或冷却）过程中，与流体接触处平壁的
x
t ??最大，对吗？
9．有均匀内热源的常物性无限大平壁，稳态导热时的温度分布为：
10．从绝热面上某一点a 出发，画出的三条温度分布曲线，哪些是可能的？
11．对于一维稳态导热，0>??x t ，0??x t 又具有什么含义？ 12．对于单层平壁的稳态导热来说，保证一维温度场的条件应该是下述的哪一个？
（1）平壁的长、宽应该远远大于平壁的厚度。
（2）两侧表面的温度均匀。
（3）以上两条必须同时满足。
答案1.1 解：图示电路电流的参考方向是从a 指向b 。当时间t <2s 时电流从a 流向b,与参考方向相同，电流为正值；当t >2s 时电流从b 流向a ，与参考方向相反，电流为负值。所以电流i 的数学表达式为 2A 2s -3A 2s t i t ? 答案1.2 解：当0=t 时 0(0)(59e )V 4V u =-=-<0 其真实极性与参考方向相反，即b 为高电位端，a 为低电位端； 当∞→t 时 ()(59e )V 5V u -∞∞=-=>0 其真实极性与参考方向相同， 即a 为高电位端，b 为低电位端。 答案1.3 解：(a)元件A 电压和电流为关联参考方向。元件A 消耗的功率为 A A A p u i = 则 A A A 10W 5V 2A p u i === 真实方向与参考方向相同。 (b) 元件B 电压和电流为关联参考方向。元件B 消耗的功率为 B B B p u i = 则 B B B 10W 1A 10V p i u -===- 真实方向与参考方向相反。 (c) 元件C 电压和电流为非关联参考方向。元件C 发出的功率为 C C C p u i = 则 C C C 10W 10V 1A p u i -===-
真实方向与参考方向相反。 答案1.4 解：对节点列KCL 方程 节点③: 42A 3A 0i --=，得42A 3A=5A i =+ 节点④: 348A 0i i --+=，得348A 3A i i =-+= 节点①: 231A 0i i -++=，得231A 4A i i =+= 节点⑤: 123A 8A 0i i -++-=，得123A 8A 1A i i =+-=- 若只求2i ，可做闭合面如图(b)所示，对其列KCL 方程，得 28A-3A+1A-2A 0i -+= 解得 28A 3A 1A 2A 4A i =-+-= 答案1.5 解：如下图所示 (1)由KCL 方程得 节点①： 12A 1A 3A i =--=- 节点②： 411A 2A i i =+=- 节点③： 341A 1A i i =+=- 节点④： 231A 0i i =--= 若已知电流减少一个，不能求出全部未知电流。 (2)由KVL 方程得
第二章 导热基本定律及稳态导热 1、重点内容：① 傅立叶定律及其应用； ② 导热系数及其影响因素； ③ 导热问题的数学模型。 2、掌握内容：一维稳态导热问题的分析解法 3、了解内容：多维导热问题 第一章介绍传热学中热量传递的三种基本方式：导热、对流、热辐射。根据这三个基本方式，以后各章节深入讨论其热量传递的规律，理解研究其物理过程机理，从而达到以下工程应用上目的： 基本概念、基本定律:傅立叶定律,牛顿冷却定律,斯忒藩—玻耳兹曼定律。 ① 能准确的计算研究传热问题中传递的热流量 ② 能准确的预测研究系统中的温度分布 导热是一种比较简单的热量传递方式,对传热学的深入学习必须从导热开始，着重讨论稳态导热。 首先，引出导热的基本定律，导热问题的数学模型，导热微分方程； 其次，介绍工程中常见的三种典型（所有导热物体温度变化均满足）几何形状物体的热流量及物体内温度分布的计算方法。 最后，对多维导热及有内热源的导热进行讨论。 §2—1 导热基本定律 一 、温度场 1、概念 温度场是指在各个时刻物体内各点温度分布的总称。 由傅立叶定律知：物体导热热流量与温度变化率有关，所以研究物体导热必涉及到物体的温度分布。一般地，物体的温度分布是坐标和时间的函数。 即：),,,(τz y x f t = 其中z y x ,,为空间坐标，τ为时间坐标。 2、温度场分类 1）稳态温度场（定常温度场）：是指在稳态条件下物体各点的温度分布不随时间的改变而变化的温度场称稳态温度场，其表达式),,,(z y x f t =。 2）稳态温度场（非定常温度场）：是指在变动工作条件下，物体中各点的温度分布随时间而变化的温度场称非稳态温度场，其表达式),,,(τz y x f t =。 若物体温度仅一个方向有变化，这种情况下的温度场称一维温度场。 3、等温面及等温线 1）等温面：对于三维温度场中同一瞬间同温度各点连成的面称为等温面。 2）等温线 （1）定义：在任何一个二维的截面上等温面表现为等温线。一般情况下，温度场用等温面图和等温线图表示。 （2）等温线的特点：物体中的任何一条等温线要么形成一个封闭的曲线，要么终止在
第2讲第一章导热理论基础(2学时) 上节回顾复习5min 简单回答上节课提出的自然生活实例，强调重点，全书四部分，每部分从基础到应用 引出传热过程 本章主要内容： 0.3 传热过程10min 例题0-1，0-2 5min 第一章导热理论基础 引言 本章主要内容：5min （1）与导热有关的基本概念； （2）导热的基本定律； （3）导热现象的数学描述方法。 第一节基本概念及傅里叶定律 1.1 基本概念： 一.温度场：定义、分类（维的问题）5min 二．等温面与等温线：定义、特征5min 三．温度梯度：方向导数与梯度、温度梯度（分析）10min 四．热流密度及热流矢量（分析）5min 1.2 傅立叶定律：10min 一．文字表述、物理意义、分析 二．q的分量 第二节导热系数5min 2.1 定义、物理意义 2.2 温度对导热系数的影响10min 一．概述 二．各物质导热系数：气体、液体、金属 2.3 多孔材料的导热系数：机理、保温材料、保温材料导热系数的影响因素（4点）10min 小结5min
0.3 传热过程（第10章） 1.定义：热量从固体壁面一侧的流体通过固体壁面传递到另一侧流 体的过程。 2.求解一维稳态传热过程中的热量传递（分步法；热阻法） 分步法： 由三个相互串联的环节组成： （冬季外墙为例）。 通过平壁的稳态传热过程：2 12111)(h h t t q f f ++-=λδ 热流量的求解，热阻网络图，传热系数 表征传热过程强烈程度的标尺，不是物性参数，与过程有关。 例题0-1，0-2 第一章 导热理论基础 本章主要内容： （1）与导热有关的基本概念； （2）导热的基本定律； （3）导热现象的数学描述方法。 （引） 1.回顾导热定义，强调在导热过程中物体各部分之间没有宏观运动； 2.导热过程的微观机理：气体、介电体、金属、液体 3. 导热问题研究前提：从连续介质的假设出发、从宏观的角度来讨论导热热流量与物体温度分布及其他影响因素之间的关系。 4.导热理论的任务：找出任何时刻物体中各处的温度分布； 5.研究方法：导热微分方程（理论分析法） 导热问题是传热学中最易于用数学方法处理的热传递方式。因而我们能够在选定的研究系统中利用能量守恒定律和傅立叶定律建立起导热微分方程式，然后针对具体的导热问题求解其温度分布和热流量。最后达到解决工程实际问题的目的。 21211111h h r r r h h k ++=++=λλδ单位热阻或面积热 图1-6墙壁传热图
第一章导热理论基础 第一节基本概念及傅里叶定律 一、基本概念 1. 温度场 温度场是指某一时刻，物体的温度在空间上的分布。一般地说，它是时间和空间的函数，对直角坐标系即 () =,,,τ(1-1) t f x y z 式中t-温度； x y z ,,-直角坐标系的空间坐标； τ-时间。 2. 等温面与等温线 同一时刻，温度场中所有温度相同的点连接所构成的面叫做等温面。不同的等温面与同一平面相交，则在此平面上构成一簇曲线，称为等温线。 图-1-1房屋墙角内的温度场 图1-2 温度梯度
3. 温度梯度 grad t t n n ?= ? （1-3） 在直角坐标系中，温度梯度可表示为 grad k z t j y t i x t t ??+??+??= （1-4） 在圆柱坐标系中，参看图1-3， 温度梯度可表示为 grad r z 1t t t t e e e r r z φφ???= ++??? （1-5） 在圆球坐标系中，参看图1-3，温度梯度可表示为 grad t = r θ11sin t t t e e e r r r θ?θ φ???++??? （1-6） 图1-3 圆柱和圆球坐标系 图1-3 圆柱和圆球坐标系 4. 热流矢量 热流矢量q 在直角坐标系三个坐标轴上的分量为x q 、y q 、z q 。而且 x q q =i +y q j +z q k (1-7) 热流矢量q 在圆柱坐标系三个坐标轴上的分量为r q 、q φ、z q ， r r z z q q e q e q e φφ=++ (1-8) 热流矢量q 在圆球坐标系三个坐标轴上的分量为r q 、q φ、q θ， r r θq q e q e q e φφθ=++ (1-9)
第一章 导热理论基础 本章重点：准确理解温度场、温度梯度、导热系数等基本概念，准确掌握导热基本定律及导 热问题的基本分析方法。 物质内部导热机理的物理模型：（1）分子热运动；（2）晶格（分子在无限大空间里排列 成周期性点阵）振动形成的声子运动；（3）自由电子运动。 物质内部的导热过程依赖于上述三种机理中的部分项，这几种机理在不同形态的物质中 所起的作用是不同的。 导热理论从宏观研究问题，采用连续介质模型。 第一节 基本概念及傅里叶定律 1-1 导热基本概念 一、温度场(temperature field) （一）定义：在某一时刻，物体内各点温度分布的总称，称为即为温度场（标量场）。 它是空间坐标和时间坐标的函数。在直角坐标系下，温度场可表示为： ),,,(τz y x f t = （1-1） （二）分类： 1．从时间坐标分： ① 稳态温度场：不随时间变化的温度场，温度分布与时间无关， 0=??τ t ，此时，),,(z y x f t =。（如设备正常运行工况） 稳态导热：发生于稳态温度场中的导热。 ② 非稳态温度场：随时间而变化的温度场，温度分 布与时间有关，),,,(τz y x f t =。（设备启动和停车过程） 非稳态导热：在非稳态温度场中发生的导热。 2．从空间坐标分： ① 三维温度场：温度与三个坐标有关的温度场，? ??==稳态非稳态),,(),,,(z y x f t z y x f t τ ② 二维温度场：温度与二个坐标有关的温度场，???==稳态非稳态) ,(),,(y x f t y x f t τ
?t grad t ③ 一维温度场：温度只与一个坐标有关的温度场，? ??==稳态非稳态，)()(x f t x f t τ 二、等温面与等温线 1．等温面(isothermal surface)：在同一时刻，物体内温度相同的点连成的面即为等温面。 2．等温线(isotherms)：用一个平面与等温面相截，所得的交线称为等温线。 为了直观地表示出物体内部的温度分布，可采用图示法，标绘出物体中的等温面（线）。 3．等温面（线）的特点： ① 不同的等温面（线）之间是不可能相交的。图1-1所示的即为一维大平壁和一维圆筒 壁内的等温面（线）的示意图。 ② 在连续介质的假设条件下，等温面（线）可以是物体中闭合的曲面或曲线，或者终止 在物体的边界，不可能在物体中中断。。 ③ 等温线的疏密可直观反映出不同区域温度梯度的相对大小，若每条等温线间的温度间 隔相等时，即t ?相等，则等温线越疏，表明该区域热流密度越小；反之，越大。 ④ 沿等温面（等温线）无热量传递 三、温度梯度(temperature gradient) 从一个等温面上的某点出发，到达另一个等温面，可以有不同的路径，不同路径上的温 度变化率是不同的，温度变化率最大的路径位于该点的法线方向上。为了表示沿等温面法线 方向的温度变化率，引入温度梯度的概念。 梯度（最大的方向导数）：指向变化最剧烈的方向。（向量） 温度变化率是标量，温度梯度是矢量。 温度梯度：定义沿法线方向的温度变化率（沿等温面法线方向上的温度增量与法向距离 比值的极限）为温度梯度，以gradt 表示。 n t n t grad n t ??=??=→?→0lim (1-2) 式中，——等温面法线方向的单位矢量； n t ??——温度在等温面法线方向的导数。 温度梯度的方向（正向）：是沿等温面法线由低温指向高温。 温度梯度的数值大小：等于温度梯度方向上的导数。 在直角坐标系：
第一章 导热理论和导热微分方程 相互接触的物体各部分之间依靠分子、原子和自由电子等微观粒子的热运动而传递热量的过程称为导热。在纯导热过程中物体各部分之间没有宏观运动。 与固体物理的理论研究方法不同，传热学研究导热问题时不是对导热过程的微观机理作深入的分析，而是从宏观的、现象的角度出发，以实验中总结出来的基本定律为基础进行数学的推导，以得到如温度分布、温度-时间响应和热流密度等有用的结果。这种处理方法的物理概念简单明了，但所要求的数学知识和技能仍是复杂和困难的。本书在材料的选取上，注意在介绍有重要应用价值的结果的同时，也给予求解导热问题的典型数学方法以足够的重视，以培养和发展读者独立解决问题的能力。 1-1 导热基本定律 1-1-1 温度场 由于传热学以宏观的、现象的方式来研究导热问题，团此必须引入连续介质假定，以便用连续函数来描述温度分布。温度场就是在一定的时间和空间域上的温度分布。它可以表示为空间坐标和时间的函数。由于温度是标量，温度场是标量场。常用的空间坐标系有三种：直角坐标系、柱坐标系和球坐标系。在直角坐标系中，温度场可以表示为 (,,,)t f x y z τ= （1-1-1） 式中：t 表示温度；x 、y 、z 为三个空间坐标；τ表示时间。 若温度场各点的温度均不随时间变化，即0t τ??=，则称该温度场为稳态温度场，否则为非稳态温度场。若温度场只是一个空间坐标的函数，则称为一维温度场；若温度场是两个或三个空间坐标的函数，则称为二维或三维温度场。 1-1-2 等温面与温度梯度 物体内温度相同的点的集合所构成的面叫做等温面。对应不同温度值的等温面构成等温面族。等温面与任一截面的交线形成等温线。由于等温线具有形象直观的优点，二维温度场常用等温线来表示温度分布。 由于在同一时刻物体的一个点上只能有一个温度值，所以不同的等温面不可能相交。它们或者在域内形成封闭曲线，或者终止于物体的边界。 如图1-l 所示，在物体内某一点P 处，沿空间某一方向l 的温度的变化率 图1-l 等温线和温度梯度
答案1.7 解：如下图所示 ① ②③④⑤ 1A 2A 1A 8V 6V 7V 5V 1i 2i 4i 3 i 1A 1l 2l 3l 4l (1)由KCL 方程得 节点①： 12A 1A 3A i 节点②：411A 2A i i 节点③：341A 1A i i 节点④：23 1A 0i i 若已知电流减少一个，不能求出全部未知电流。(2)由KVL 方程得 回路1l ： 14 12233419V u u u u 回路2l ： 15 144519V-7V=12V u u u 回路3l ： 52 511212V+5V=-7V u u u 回路4l ： 5354437V 8V 1V u u u 若已知支路电压减少一个，不能求出全部未知电压。答案1.8 解：各元件电压电流的参考方向如图所示。 元件1消耗功率为: 11110V 2A 20W p u i 对回路l 列KVL 方程得 21410V-5V 5V u u u 元件2消耗功率为: 2215V 2A 10W p u i 元件3消耗功率为: 333435V (3)A 15W p u i u i
对节点①列KCL 方程4131A i i i 元件4消耗功率为: 4445W p u i 答案1.9 解：对节点列KCL 方程 节点①: 35A 7A 2A i 节点③: 47A 3A 10A i 节点②: 534 8A i i i 对回路列KVL 方程得： 回路1l ： 1 3510844V u i i 回路2l ： 245158214V u i i 答案1.10 解：由欧姆定律得 130V 0.5A 60i 对节点①列KCL 方程 10.3A 0.8A i i 对回路l 列KVL 方程 1600.3A 50 15V u i 因为电压源、电流源的电压、电流参考方向为非关联，所以电源发出的功率 分别为 S 30V 30V 0.8A 24W u P i S 0.3A 15V 0.3A 4.5W i P u 即吸收4.5W 功率。 答案1.12 解：(a)电路各元件电压、电流参考方向如图(a)所示。由欧姆定律得 S /10cos()V/2A 5cos()A R i u R t t 又由KCL 得 S (5cos 8)A R i i i t 电压源发出功率为 S S 2 10cos()V (5cos 8)A (50cos 80cos )W u p u i t t t t 电流源发出功率为
电路理论基础习题答案 第一章 1-1. (a)、(b)吸收10W ；(c)、(d)发出10W. 1-2. –1A; –10V; –1A; – 4mW. 1-3. –0.5A; –6V; –15e – t V; 1.75cos2t A; 3Ω; 1.8cos 22t W. 1-4. u =104 i ; u = -104 i ; u =2000i ; u = -104 i ; 1-8. 2 F; 4 C; 0; 4 J. 1-9. 9.6V,0.192W, 1.152mJ; 16V , 0, 3.2mJ. 1-10. 1– e -106 t A , t >0 取s . 1-11. 3H, 6(1– t )2 J; 3mH, 6(1–1000 t ) 2 mJ; 1-12. 0.4F, 0 . 1-13. 供12W; 吸40W; 吸2W; (2V)供26W, (5A)吸10W. 1-14. –40V , –1mA; –50V, –1mA; 50V , 1mA. 1-15. 0.5A,1W; 2A,4W; –1A, –2W; 1A,2W. 1-16. 10V ,50W;50V ,250W;–3V ,–15W;2V ,10W. 1-17. (a)2V;R 耗4/3W;U S : –2/3W, I S : 2W; (b) –3V; R 耗3W; U S : –2W, I S :5W; (c)2V ,–3V; R 耗4W;3W;U S :2W, I S :5W; 1-18. 24V , 发72W; 3A, 吸15W; 24V 电压源; 3A ↓电流源或5/3Ω电阻. 1-19. 0,U S /R L ,U S ;U S /R 1 ,U S /R 1 , –U S R f /R 1 . 1-20. 6A, 4A, 2A, 1A, 4A; 8V, –10V , 18V . 1-21. K 打开：(a)0, 0, 0; (b)10V, 0, 10V; (c)10V,10V ,0; K 闭合: (a)10V ,4V ,6V; (b)4V ,4V ,0; (c)4V ,0,4V; 1-22. 2V; 7V; 3.25V; 2V. 1-23. 10Ω. 1-24. 14V . 1-25. –2.333V , 1.333A; 0.4V , 0.8A. 1-26. 12V , 2A, –48W; –6V , 3A, –54W . ※ 第二章 2-1. 2.5Ω; 1.6R ; 8/3Ω; 0.5R ; 4Ω; 1.448Ω; . R /8; 1.5Ω; 1.269Ω; 40Ω; 14Ω. 2-2. 11.11Ω; 8Ω; 12.5Ω. 2-3. 1.618Ω. 2-4. 400V;363.6V;I A =. 5A, 电流表及滑线电阻损坏. 2-6. 5k Ω. 2-7. 0.75Ω. 2-8. 10/3A,1.2Ω;–5V,3Ω; 8V ,4Ω; 0.5A,30/11Ω. 2-9. 1A,2Ω; 5V ,2Ω; 2A; 2A; 2A,6Ω. 2-10. –75mA; –0.5A. 2-11. 6Ω; 7.5Ω; 0; 2.1Ω. 2-12. 4Ω; 1.5Ω; 2k Ω. 2-13. 5.333A; 4.286A. 2-14. (a) –1 A ↓; (b) –2 A ↓, 吸20W. 2-16. 3A. 2-17. 7.33V . 2-18. 86.76W. 2-19. 1V , 4W. 2-20. 64W. 2-21. 15A, 11A, 17A. 2-23. 7V , 3A; 8V ,1A. 2-24. 4V , 2.5V, 2V. 2-26. 60V . 2-27. 4.5V. 2-28. –18V . 2-29. 原构成无解的矛盾方程组; (改后)4V,10V . 2-30. 3.33 k , 50 k . 2-31. R 3 (R 1 +R 2 ) i S /R 1 . 2-32. 可证明 I L =－ u S /R 3 . 2-33. –2 ; 4 . 2-34. (u S1 + u S2 + u S3 )/3 . ※ 第三章 3-1. –1+9=8V; 6+9=15V; sin t +0.2 e – t V. 3-2. 155V . 3-3. 190mA. 3-4. 1.8倍. 3-5. 左供52W, 右供78W. 3-6. 1 ; 1A; 0.75A. 3-7. 3A; 1.33mA; 1.5mA; 2/3A; 2A.
传热学主要知识点 1.热量传递的三种基本方式。 热量传递的三种基本方式：导热(热传导)、对流(热对流)和热辐射。
2．导热的特点。 a 必须有温差； b 物体直接接触； c 依靠分子、原子及自由电子等微观粒子热运动而传递热量； d 在引力场下单纯的导热一般只发生在密实的固体中。
3.对流（热对流）(Convection)的概念。 流体中（气体或液体）温度不同的各部分之间，由于发生相对的宏观运动而把热量由一处传递到另一处的现象。 4对流换热的特点。 当流体流过一个物体表面时的热量传递过程，它与单纯的对流不同，具有如下特点： a 导热与热对流同时存在的复杂热传递过程 b 必须有直接接触（流体与壁面）和宏观运动；也必须有温差 c 壁面处会形成速度梯度很大的边界层 5.牛顿冷却公式的基本表达式及其中各物理量的定义。 [] W )(∞-=t t hA Φw [] 2m W )( f w t t h A Φq -==
6. 热辐射的特点。 a 任何物体，只要温度高于0 K，就会不停地向周围空间发出热辐射； b 可以在真空中传播； c 伴随能量形式的转变； d 具有强烈的方向性； e 辐射能与温度和波长均有关； f 发射辐射取决于温度的4次方。
7.导热系数, 表面传热系数和传热系数之间的区别。导热系数：表征材料导热能力的大小，是一种物性参数，与材料种类和温度关。 表面传热系数：当流体与壁面温度相差1度时、每单位壁面面积上、单位时间内所传递的热量。影响h因素：流速、流体物性、壁面形状大小等。传热系数：是表征传热过程强烈程度的标尺，不是物性参数，与过程有关。 常温下部分物质导热系数：银：427；纯铜：398；纯铝：236；普通钢：30-50；水：0.599；空气：0.0259；保温材料：<0.14；水垢：1-3；烟垢：0.1-0.3。
图4-3 温度梯度与傅里叶定律 第二节 热传导 热传导是由物质内部分子、原子和自由电子等微观粒子的热运动而产生的热量传递现象。热传导的机理非常复杂，简而言之，非金属固体内部的热传导是通过相邻分子在碰撞时传递振动能实现的；金属固体的导热主要通过自由电子的迁移传递热量；在流体特别是气体中，热传导则是由于分子不规则的热运动引起的。 4-2-1 傅里叶定律 一、温度场和等温面 任一瞬间物体或系统内各点温度分布的空间，称为温度场。在同一瞬间，具有相同温度的各点组成的面称为等温面。因为空间内任一点不可能同时具有一个以上的不同温度，所以温度不同的等温面不能相交。 二、温度梯度 从任一点开始，沿等温面移动，如图4-3所示，因为在等温面上无温度变化，所以无热量传递；而沿和等温面相交的任何方向移动，都有温度变化，在与等温面垂直的方向上温度变化率最大。将相邻两等温面之间的温度差△t 与两等温面之间的垂直距离△n 之比的极限称为温度梯度，其数学定义式为： n t n t gradt ??=??=lim (4-1) 温度梯度n t ??为向量，它的正方向指向温度增加的方向，如图4-3所示。 对稳定的一维温度场，温度梯度可表示为： x t gradt d d = （4-2） 三、傅里叶定律 导热的机理相当复杂，但其宏观规律可用傅里叶定律来描述，其数学表达式为： n t S Q ??∝d d 或 n t S Q ??-=d d λ （4-3） 式中 n t ??——温度梯度，是向量，其方向指向温度增加方向，℃/m ； Q ——导热速率，W ； S ——等温面的面积，m 2； λ——比例系数，称为导热系数，W/（m ·℃）。 式4-3中的负号表示热流方向总是和温度梯度的方向 相反，如图4-3所示。 傅里叶定律表明：在热传导时，其传热速率与温度梯 度及传热面积成正比。 必须注意，λ作为导热系数是表示材料导热性能的一 个参数，λ越大，表明该材料导热越快。和粘度μ一样，导
* 电路理论基础习题答案 第一章 1-1. (a)、(b)吸收10W ；(c)、(d)发出10W. 1-2. –1A; –10V; –1A; – 4mW. 1-3. –0.5A; –6V; –15e –t V; A; 3Ω; W. 1-4. u =104 i ; u = -104 i ; u =2000i ; u = -10 4 i ; 1-5. 1-6. 0.1A. 1-7. 1-8. 2F; 4C; 0; 4J.1-9. 9.6V,, ; 16V, 0, . 1-10. 1– e -106 t A , t >0 s . 1-11. 3H, 6(1– t )2 J; 3mH, 6(1–1000 t ) 2 mJ; 1-12. 0.4F, 0 . 1-13. 供12W; 吸40W; 吸2W; (2V)供26W, (5A)吸10W. 1-14. –40V, –1mA; –50V, –1mA; 50V, 1mA. 1-15. 0.5A,1W; 2A,4W; –1A, –2W; 1A,2W. 1-16. 10V,50W;50V,250W;–3V,–15W;2V,10W. 1-17. (a)2V;R 耗4/3W;U S : –2/3W, I S : 2W; (b) –3V; R 耗3W; U S : –2W, I S :5W; (c)2V,–3V; R 耗4W;3W;U S :2W, I S :5W; 1-18. 24V, 发72W; 3A, 吸15W; 24V 电压源; 3A ↓电流源或5/3Ω电阻. 1-19. 0,U S /R L ,U S ;U S /R 1 ,U S /R 1 , –U S R f /R 1 . 1-20. 6A, 4A, 2A, 1A, 4A; 8V, –10V, 18V. 1-21. K 打开：(a)0, 0, 0; (b)10V, 0, 10V; (c)10V,10V,0; K 闭合: (a)10V,4V,6V; (b)4V,4V,0; (c)4V,0,4V; 1-22. 2V; 7V; ; 2V. 1-23. 10Ω. 1-24. 14V. 1-25. –, 1.333A; , 0.8A. 1-26. 12V, 2A, –48W; –6V, 3A, –54W . ※ 第二章 2-1. 2.5Ω; ; 8/3Ω; ; 4Ω; Ω; . R /8; Ω; Ω; 40Ω; 14Ω. 2-2. 11.11Ω; 8Ω; Ω. 2-3. Ω. 2-4. 400V;;I A =. 5A, 电流表及滑线电阻损坏. 2-6. 5k Ω. 2-7. Ω. 2-8. 10/3A,Ω;–5V,3Ω; 8V,4Ω; 0.5A,30/11Ω. 2-9. 1A,2Ω; 5V,2Ω; 2A; 2A; 2A,6Ω. 2-10. –75mA; –0.5A. 2-11. 6Ω; Ω; 0; Ω. 2-12. 4Ω; Ω; 2k Ω. 2-13. 5.333A; 4.286A. 2-14. (a) –1 A ↓; (b) –2 A ↓, 吸20W. 2-16. 3A. 2-17. 7.33V. 2-18. . 2-19. 1V, 4W. 2-20. 64W. 2-21. 15A, 11A, 17A. 2-23. 7V, 3A; 8V,1A. 2-24. 4V, , 2V. 2-26. 60V. 2-27. . 2-28. –18V. 2-29. 原构成无解的矛盾方程组; (改后)4V,10V. 2-30. k , 50 k . 2-31. R 3 (R 1 +R 2 ) i S /R 1 . 2-32. 可证明 I L =－ u S /R 3 . 2-33. –2 ; 4 . 2-34. (u S1 + u S2 + u S3 )/3 . ※ 第三章 3-1. –1+9=8V; 6+9=15V; sin t + e – t V. 3-2. 155V. 3-3. 190mA. 3-4. 1.8倍. i A 0 s 1 1 2 3 1-e -t t 0 t ms i mA 4 10 0 t ms p mW 4 100 2 25 i , A .75 t 0 .25 ms (d) u , V 80 0 10 -20 t , ms (f ) u , V 100 0 10 t , ms (e) p (W) 10 0 1 2 t (s) -10
grad t 第一章 导热理论基础 第一节基本概念及傅里叶定律 1-1 导热基本概念 一、温度场 1、定义：在某一时间，物体内部各处的温度分布即为温度场。 直角坐标系： ),,,(τz y x f t = （2-1） 热流是由高温向低温传递，具有方向性。而温度则属于标量，无方向性。 2、分类： 从时间坐标看， 稳态导热：温度分布与时间无关，),,(z y x f t =； 非稳态导热：温度分布与时间有关，),,,(τz y x f t =。 从空间坐标可将导热分为一维、二维、三维导热。其中最简单的是一维稳态导热，可表示为：)(x f t =。 3、等温面（线） 在同一瞬间，物体内温度相同的点连成的面即为等温面。不同的等温面与同一平面相交，在平面上得到的一组线为等温线。 不同的等温面（线）之间是不可能相交的。图2-1所示的即为一维大平壁和一维圆筒壁内的等温面（线）的示意图。 二、温度梯度 定义沿法线方向的温度变化率为温度梯度，以 t grad → 表示。 n t n t grad n t ??=??=→?→ 0lim (2-3) 温度梯度是一个矢量，具有方向性。它的方向是沿等温面法线由低温指向高温方向。 在直角坐标系： z t y t x t gradt ??+??+??= （2-4）
其中， x t ??、y t ??、z t ??分别为沿x 、y 、z 方向的温度梯度。 三、热流密度 热流密度，。热流密度是一个矢量，具有方向性，其大小等于沿着这方向单位时间单位面积流过的热量，方向即为沿等温面之法线方向，且由高温指向低温方向，见图。在直角坐标系中，同样可以分解成由沿坐标轴三个方向的分量表示： q q q z y x ++= （2-） 式中z y x q q q ,,为沿坐标轴三个方向的分热流。而通过该等温面传递的热量为 z z y y x x A q A q A q A q ++=?=Φ→ → （2-） 1-2．傅立叶定律 傅立叶（J. Fourier ） 热流密度与温度梯度的关系可以用下式表示 n t gradt q ??-=-=λλ （2-5） n t A Agradt ??-=-=Φλλ （2-6） 式中的比例系数λ即为材料的导热系数（或称热导率），单位)C m W ??。负号代表热流密度与温度梯度的方向刚好相反。 傅立叶定律直接给定了热流密度和温度之间的关系。 在直角坐标系，傅立叶定律可以展开为： )( z t y t x t q q q z y x ??+??+??-=++λ （2-7） 对应可写出各个方向上的分热流密度为： z t q y t q x t q z y x ??-=??-=??-=λ λλ （2-8） **：傅立叶定律仅适用于导热系数为各向同性的材料。 例2-1．已知厚度为100mm 的平壁，壁面内稳态温度分布式为2cx bx a t ++=。式中：t 单位为C ?，x 单位为m ，C a ?=900，m C b /300?-=，5/50m C c ?-=。平壁导热系数)/(40K m W ?=λ。求：（1）平壁两侧的热流密度；（2）平壁内是否有
答案1.7 解：如下图所示 (1)由KCL 方程得 节点①： 12A 1A 3A i =--=- 节点②： 411A 2A i i =+=- 节点③： 341A 1A i i =+=- 节点④： 231A 0i i =--= 若已知电流减少一个，不能求出全部未知电流。 (2)由KVL 方程得 回路1l ： 1412233419V u u u u =++= 回路2l ： 15144519V-7V=12V u u u =+= 回路3l ： 52511212V+5V=-7V u u u =+=- 回路4l ： 5354437V 8V 1V u u u =+=-=- 若已知支路电压减少一个，不能求出全部未知电压。 答案1.8 解：各元件电压电流的参考方向如图所示。 元件1消耗功率为: 11110V 2A 20W p u i =-=-?=- 对回路l 列KVL 方程得 21410V-5V 5V u u u =+== 元件2消耗功率为: 2215V 2A 10W p u i ==?= 元件3消耗功率为: 333435V (3)A 15W p u i u i ===-?-=
对节点①列KCL 方程 4131A i i i =--= 元件4消耗功率为: 4445W p u i ==- 答案1.9 解：对节点列KCL 方程 节点①: 35A 7A 2A i =-+= 节点③: 47A 3A 10A i =+= 节点②: 5348A i i i =-+= 对回路列KVL 方程得： 回路1l ： 13510844V u i i =-?Ω+?Ω= 回路2l ： 245158214V u i i =?Ω+?Ω= 答案1.10 解：由欧姆定律得 130V 0.5A 60i = =Ω 对节点①列KCL 方程 10.3A 0.8A i i =+= 对回路l 列KVL 方程 1600.3A 5015V u i =-?Ω+?Ω=- 因为电压源、电流源的电压、电流参考方向为非关联，所以电源发出的功率 分别为 S 30V 30V 0.8A 24W u P i =?=?= S 0.3A 15V 0.3A 4.5W i P u =?=-?=- 即吸收4.5W 功率。 答案1.12 解：(a)电路各元件电压、电流参考方向如图(a)所示。 由欧姆定律得 S /10cos()V/2A 5cos()A R i u R t t ωω=== 又由KCL 得 S (5cos 8)A R i i i t ω=-=- 电压源发出功率为 S S 2 10cos()V (5cos 8)A (50cos 80cos )W u p u i t t t t ωωωω=?=?-=- 电流源发出功率为
第一章电路基本定律和二端电阻性元件 1、考试内容： 电压、电流及其参考方向；电功率的判定；元件特性；基尔霍夫定律。 电压、电流的参考方向 电压的参考方向表示法（三种方法） 电流的参考方向表示法 电功率的判断 基尔霍夫定律 基尔霍夫电流定律（KCL）：对任一集中参数电路中的任一节点，在任一时间， 离开节点的各支路电流代数和为0.∑ == m k k t i 1 )( 基尔霍夫电压定律（KVL）：对任一集中参数电路中的任一节点，在任一时间， 沿回路的各支路电压代数和为0.∑ == m k k t 1 )( u
第二章 简单电路和多端电阻性元件 1、考试内容： 等效电路的概念；电阻的等效变换；实际电源的两种模型及其等效变换；运算放大器的电路模型；含理想运算放大器的电路分析； 等效：是指将电路中某一部分比较复杂的结构用一比较简单的结构替代，替代之后的电路与原电路对未变换的部分（或称外部电路）保持相同的作用效果。 对于二端电路，要求变换前后端口处电压-电流关系完全相同。等效是对外部电路而言的，对变换了的部分（内部）无等效可言。（对外等效） 串联，并联公式（略） 等电位标记法求等效电阻（P31思考与练习 2-2-3） 电流分流公式i R R R i 2121+= ，i R R R i 2 11 2+= 戴维南电路 诺顿电路 对于具有n 个结点，b 条支路的电路，有（n-1）个独立的 KCL 方程；有b －n ＋1个独立的KVL 方程。 任选（n －1）个节点列出的KCL 是独立的；对平面电路的所有网孔列出KVL 是独立的。 （判断左图的支路数，节点数，独立的KVL 方程数） 0U IR U s -=
答案 解：图示电路电流的参考方向是从a指向b。当时间t <2s时电流从a流向b,与参考方向相同，电流为正值；当t>2s时电流从b流向a,与参考方向相反，电流为负值。所以电流i的数学表达式为 2A t 2s i -3A t 2s 答案 解：当t 0时 u(0) (5 9e°)V 4V <0 其真实极性与参考方向相反，即b为高电位端，a为低电位端; 当t 时 u( ) (5 9e )V 5V >0 其真实极性与参考方向相同，即a为高电位端，b为低电位端。 答案 解：(a)元件A电压和电流为关联参考方向。元件A消耗的功率为 真实方向与参考方向相同。 (b)元件B电压和电流为关联参考方向。元件B消耗的功率为 真实方向与参考方向相反。 (c)元件C电压和电流为非关联参考方向。元件C发出的功率为 P C U C i C U C P C i c 皿10V 1A P A U A i A U A P A i A !0W 5V 2A P B U B i B i B P B U B 迪1A 10V
真实方向与参考方向相反。 答案 解：对节点列KCL方程 节点：i4 2A3A0，得i42A 3A=5A 节点④:i3i48A0，刁 曰；i4 8A 3A 节点①:i 2 i31A 0，得i2i3 1A 4A 节点⑤:i1i23A8A0，得i1 i2 3A 8A1A 若只求i2，可做闭合面如图(b)所示，对其列K C L方程，得i2 8A-3A+1A-2A 0 解得 答案 (1)由KCL方程得 节点①： 11 2A 1A 3A 节点②： i4 h 1A 2A 节点③： i3 i4 1A 1A 节点④： 12 1A i3 0 若已知电流减少一个，不能求出全部未知电流⑵由KVL方程得
答案 解：图示电路电流的参考方向是从a 指向b 。当时间t <2s 时电流从a 流向b,与参考方向相同，电流为正值；当t >2s 时电流从b 流向a ，与参考方向相反，电流为负值。所以电流i 的数学表达式为 2A 2s -3A 2s t i t ? 答案 解：当0=t 时 0(0)(59e )V 4V u =-=-<0 其真实极性与参考方向相反，即b 为高电位端，a 为低电位端； 当∞→t 时 ()(59e )V 5V u -∞∞=-=>0 其真实极性与参考方向相同， 即a 为高电位端，b 为低电位端。 答案 解：(a)元件A 电压和电流为关联参考方向。元件A 消耗的功率为 A A A p u i = 则 A A A 10W 5V 2A p u i === 真实方向与参考方向相同。 (b) 元件B 电压和电流为关联参考方向。元件B 消耗的功率为 B B B p u i = 则 B B B 10W 1A 10V p i u -===- 真实方向与参考方向相反。 (c) 元件C 电压和电流为非关联参考方向。元件C 发出的功率为 C C C p u i = 则 C C C 10W 10V 1A p u i -===-
真实方向与参考方向相反。 答案 解：对节点列KCL 方程 节点③: 42A 3A 0i --=，得42A 3A=5A i =+ 节点④: 348A 0i i --+=，得348A 3A i i =-+= 节点①: 231A 0i i -++=，得231A 4A i i =+= 节点⑤: 123A 8A 0i i -++-=，得123A 8A 1A i i =+-=- 若只求2i ，可做闭合面如图(b)所示，对其列KCL 方程，得 28A-3A+1A-2A 0i -+= 解得 28A 3A 1A 2A 4A i =-+-= 答案 解：如下图所示 (1)由KCL 方程得 节点①： 12A 1A 3A i =--=- 节点②： 411A 2A i i =+=- 节点③： 341A 1A i i =+=- 节点④： 231A 0i i =--= 若已知电流减少一个，不能求出全部未知电流。 (2)由KVL 方程得
第一章 导热理论基础 为了解决工程技术中三种类型的传热问题（传热强化、传热削弱及温度控制），必须能够：（1）准确计算所研究过程中传递的热流量；（2）准确的预测物体中的温度分布。其中预测温度分布是关键。但是得需要一定的数学处理来预测物体中的温度分布，导热问题是最容易进行数学处理的一种热量传递方式，对传热学的深入学习就从导热开始。 第一节 导热基本概念 1、温度场 温差是热量传递的动力，每一种传热方式都与物体的温度密切相关。在某一时刻τ，物体内所有点的温度分布称为该物体在τ时刻的温度场（temperature field ）。一般温度场是空间坐标和时间的函数，在直角坐标系中，温度场可以表示为： (),,,t f x y z τ= 式中，t 表示温度，x ，y ，z 表示空间坐标。 依照温度分布是否随时间变化，可将温度场分为稳态温度场（steady temperature field ）和非稳态温度场（unsteady temperature field ）。稳态温度场是指稳态情况下的温度场，这时物体中各点温度不随时间改变，温度分布只与空间坐标有关： (),,t f x y z = 稳态温度场中的导热称为稳态导热。其温度对时间的偏导数为零，0t τ?=?。 非稳态温度场是指变动工况下温度场，例如（内燃机、汽轮机航空发动机等）的部件在起动、停机或者变工况时出现的温度场。也称非定常温度场或瞬态温度场。 根据温度在空间三个方向的变化情况，温度场又可分为：一维温度场、 二维稳态温度场、三维稳态温度场。 2、等温面和等温线 在同一时刻，温度场中温度相同的点所连成的线或面称为等温线或等温面。等温线具有以下特点： （1）等温线或等温面不能相交； （2）等温线要么形成一个封闭的曲线，要么终止在物体的表面上； （3）沿等温线无热量传递； （4）由等温线的疏密可直观反映出不同区域的温度梯度的大小，或者热流密度的大小。 3、温度梯度 在温度场中，温度沿某一方向x 的变化率可以表示为： 0lim x t t x x ?→??=?? 很明显，沿等温线法线方向的温度变化最剧烈，即温度变化率最大。数学上也可以用矢量——温度梯度来表示等温面法线的温度变化： t gradt n n ?=? 式中：gradt ——温度梯度；