第六章机械运动和机械波
思考题
6-35简谐振动中相位为φ、π+φ、2π+φ、3π+φ、….时描述的是同一运动状态吗？为什么？
6-36 对一简谐振动系统，画出其动能和势能关于时间变量的曲线，并分析两者反相的物理意义。
6-37 将单摆摆线从铅直方向拉到φ角的位置撒手任其摆动。这里φ角是初相位吗？若不是，它将对应什么物理量？
6-38 若以一装满水的空心球作为单摆的摆钟，并让水从球体缓慢流出，试描述其摆动周期的变化情况。
6-39 利用受迫振动的稳定解（6.19）式说明为什么恒力不能导致受迫振动。（提示：恒力的频率ω可视为零）
6-40 在太空中能听到声音吗？为什么？
6-41 在较长时间间隔（Δt>>T）内，任意以t为变量的正弦（或余弦）型函数的平均值均为零，例如：
试据此推导（6.11）、(6.12)及(6.40)式。
6-42 海啸是一种波长约为几十至几百千米、在海水中传播的波动现象。它在深海区域并不易被察觉，但一旦海啸接近岸边往往会造成巨大的灾害。试从能量角度分析其中的原因。
6-43 描述机械波时间周期性的物理量由周期T、频率v和圆频率ω给出。类似
地，我们可以用λ、1
λ
、
2π
λ
描述波的空间周期性，试说明这三个量对应的物理
意义。
6-44 试解释弦乐器的以下现象：
（1）较松的弦发生的音调较低，而较紧的弦则音调较高；
（2）较细的弦发生的音调较高，而较粗的弦则音调较低（古人称之为“小弦大声，大弦小声”）；
（3）正在振动的两端固定的弦，若用手指轻按弦的中点时，音调变高到两倍，若改按弦的三分之一处时，音调增至三倍；
（4）用力弹拨琴弦（而非用手指按弦）时，能同时听到若干音调各异的声音。
（提示：音调高低与弦振动的频率成正比。此外，在（4）情形中弦以基频振动的同时还以若干泛频振动。）
习题
6-1 如题6-1图所示，用一根金属丝把一均匀圆盘悬挂起来，悬线oc 通过圆盘质心，圆盘呈水平状态，这个装置称为扭摆，当使圆盘转过一个角度时，金属丝受到扭转，从而产生一个扭转的恢复力矩。若扭转角度很小，圆盘对oc 周的转动惯量为I,扭转力矩可表示为M=-k θ，求扭摆的振动周期。 解:由转动方程
6-2 一质量为m 的细杆状的1m 长的直尺，如果以其一端点为轴悬挂起来，轴处摩擦不计，求其振动周期。
解: 复摆(物理摆)小角度振动时方程为:
mgh
sin 0I
mgh mgh I θθ
θθθ-≈-=∴+=
22mgh 12, , , 2 1.64()I
32
l I ml h T S πωω=
=====
题6-2 图
6-3 有一立方形的木块浮在静止水中，静止时浸入水中的部分高度为a
。若用力稍稍压下，使其浸入水中部分的高度为b ，如题6-3 图所示，然后松手 ，任其做自由振动。试证 ，如果不计水的粘度阻力，木块将做简谐振动，并求振动的周期和振幅。
解：浮力与重力相等处于平衡状态有： 2 m () gs
g 2gxs mx 0 T 2m
a gas mg as
mg g a x s mx ρρρρπρωπω=
?=-+=+=∴=
=
==
2
2, 0, , 2k k M k I T I I πθθθθωω=-=+====
6-4 一质量为1.0 × 10-3 kg 的质点，做简谐振动，其振幅为2.0×10-4m ，质点再离平衡位置最远处的加速度为 8.0×103m/s 2。 （1） 试计算质点的振动频率； （2） 质点通过平衡位置时的速度；
（3） 质点位移为1.2×10-4
m 时的速度；
（4） 写出作用在这质点上的力作为位置的函数和作为时间的函数。 解：
6-5 如题6-5图所示，一重力作用下的弹簧振子，振子静止时弹簧伸长?=10cm;将振子向下拉一段距离d=2.0cm ，并将位移方向给它一个向下的初速度v 0=10cm/s ，任其运动，不计空气阻力，试求： （1） 振动频率 （2） 振幅A
（3） 初始相位φ （4） 振动表达式。（取10m/s 2） 解：（1）振动频率
（2）振幅
（3）初相位 22
max 273max 1 cos() (1) 4.010 1.010()
2(2) sin() 1.3()x A t x A x HZ A x A t x A m s ωωφωωωνπωωφω-=-+=∴==?==?=-+==?4
(3)cos() 1.210()3
cos()5x A t m x t A ωφωφ-=+=?∴+=
=1
24
23 sin()( 1.0()(4) 4.010()
cos()8.0cos(6.310)x A t A m F kx m x x N F m A t t s ωφωωωωφφ-=-+=-=±?=-=-=-?=-+=-?
+0.02()A m ==110cos cos 0.90.46()x rad A
φ--===±
（v 0>0取正号，v 0<0取负号）
（4）振动表达式X=0.02cos(10t-0.46)(m)
6-6 一不计质量，自然长度为的弹簧，两端分别系上质量为m 1和m 2的质点，放在光滑的水平桌面上，开始时手持m 1和m 2把弹簧拉长至 ，停止不动，然后两手同时放开，试问 这系统将如何运动？
解:无外力整个过程质心不动, t 时刻m1和m2位置分别为x1, x2故有:
此时系统做振幅为A ，圆频率为w 的简振动。
6-7 有一鸟类学家，他在野外观察到一种少见的大鸟落在一棵大树的细枝上，他想测得这只鸟的质量，但不能捉住来称量，于是灵机一动，测得这鸟在数枝上在4s 内来回摆动了6次，等鸟飞走以后，他又用1kg 的砝码系在大鸟原来落得位置上，测出树枝弯下了12cm ，于是很快算出了这只鸟的质量。你认为这位鸟类学家是怎样算的？你想到了这种方法了吗?这只鸟的质量是多少？ 解：树枝与鸟形成一个谐振子。
6-8 如题6-8图所示，有一弹簧振子，弹簧的劲度系数为k ，振子的质量为m/，开始时处于静止平衡状态，有一 发质量为m 的子弹以速度v 0沿弹簧方向飞来，击中振子并埋在其中，试以击中时为计时零点，写出此系统的振动表达式。 解：碰撞时动量守恒，碰撞后机械能守恒。
1211'1211221122''21
11221212121212 -k(x-l)m m m x m m m () ()
m m m m m m - k(x - l) m m x x x x m x m x x x x x l l m x m x x l l x l l x x μ+==+==?+?=?=-?=??=-?=-++∴==+2 A l -l k
ωμ
'=
=2281.66(/) T 32k
9.42() m 0.92(kg)mg k kg m l rad T πωω========0
0()
mv mv m m v m
m '=+
'+2211
() 22 A 2cos())
2kA m m v x A t t πωφπωφω'=+====+==+
6-9 如题6-9图所示振动系统，振子是一个做纯滚动的圆柱体，已知 圆柱体的质量为m ，半径为R ，弹簧的劲度系数为k ，并且弹簧是系在圆柱体的中心旋转对称轴上。试求这一振动系统的频率。
解：设平衡点为弹簧原长时，又弹簧质量不计，对圆柱体在运动中受力有：
6-10 如题6-10图所示，弹簧的劲度系数为k ，定滑轮的质量为m /，半径为R ，转动惯量为,物体的质量为m 。轴处摩擦不计，弹簧和绳的质量也不计，绳与滑轮间无相对滑动。
(1) 试 求这一振动系统的振动频率。
(2) 如果在弹簧处于原厂时由静止释放物体m ，m 向下具有最大速度时开始计时，
并令m 向下运动为x 的正坐标，试写出m 的振动表达式。 解：（1）设弹簧原长平衡时，伸长x kx0=mg 以伸长时 m 所在点为坐标原点，运动中，有： 对于m 有： 联立两式子有： 设弹簧原长时，释放m
振动表达式为：
6-11 在LC 电路中，电容极板上的电荷量若为q ，电容器将储存能2
12q c ，流经
电感中的电流若为i ，电感中将储存磁能2
12
Li ,dq i dt =且
221122q Li c +=常量，试求LC 电路的固有振荡频率。
解： 221 112()2212 ()23c c
c c
c c c c c
kx f mx f mx x fR mR mR
R k kx mx mx x x m θ--=??∴=?==??--==-122212, ()323k k m m ωνπ∴==()0T k x x R I β
-+=????mg T mx -=x R β=2
()I kx m x R -=+2
2()k I m R
ω∴=+1
22()2I m R f π+=0, mg mg x A k k =-=00
, 0 2x A v πφ=-==
-1
22cos
2mg k x t I k m R π?????? ???=- ??? ?+????????2222
22221111 () 0
222210 q q dq q dq dq d q Li C L C L c c dt c dt dt dt d q q dt LC ων+=+=∴+=+===
6-12 假定有两个质量均为m 的离子，它们之间的势能为 5s a b E r r
=
- （1） 试用a 和b 表示其平衡位置； （2）
试证明其振动角频率为w = 解：（1）保守力平衡点f=0。6250a b f r r =-
+= 1/4
5()a r b
= （2）作微振动f 可写成
将f 一级近似
6-13质量m=1.0×10-2kg 的小球与轻质弹簧组成的振动系统，按
3510cos(8)3
x t π
π-=?+的规律振动，式子各量均为SI 单位，求：
（1） 振动的角频率、周期、振幅和初始相位；
（2） 振动的速度和加速度（函数式）； （3） 振动的总能量E ；
（4） 振动的平均动能和平均势能； （5） t=1.0s 、10s 等时刻的相位。
解： 与振动表达式
比较可以直接得到
6-14 在阻尼振动系统中，量1
τδ
=叫做弛豫时间。
(1) 证明的量纲是时间；
(2) 经过时间 后，这振动的振幅变为多少？能量的最大值变为多少？ (3) 把振动减小到其初值的一半所需要的时间（用表示）；
(4) 当经过的时间等于上述(3)中求出的2倍、3倍……时，求振幅的值。
62
5p dE a b
f dr r r =-=-+12012()()2
m
m m
f k r r r m
m μμ=--==
=+'000073007300()302()()()0()()1!302 f r a b f r f r r r r r r r a b k r r ω=+-=+--∴=-==(1)0.5(8)3ππ=+x cos t ()ωφ=+x Acos t 210.5() , 8 () 43
cm s ππ
ωπφω=====
A T 1(2) 4(8) ()3cm s πππ-=-+?.x sin t 2
232(8) ()3cm s πππ-=-+?..x cos t 2
226211(3) 810()22
J ωπ-===?E KA m A 22262
11(4)410()44k p J ωπ-<>=<>===?E E KA m A
解：（1）
（2）
（3）
（4）
6-15 火车在铁轨上行驶，每经过铁轨接触即受一次震动，使装在弹簧上面的车
厢上下振动。设每段铁轨长 12.5cm ，弹簧平均负重5.5 ×103
kg,而弹簧每受到1.0×103kg 力将压缩16mm 。试问 ，火车速度多大时，振动特别强？ 解： 固有振动周期等于强迫力周期时发生共振。
6-16 已知 两个方向的简谐振动 (1) 求它们合振动的振幅和初始相位；
(2) 另有一个同反向的简谐振动x3=0.07cos(10t+φ), 问φ为何值的时候，x1+x3振幅为最大？φ为何值的时候，x2+x3的振幅为最小？(各量皆用SI 单位。) 解：
A 最大时
A 最小时
6-17 一质点同时受到两个同频率的和同方向的简谐振动的作用，它们的运动
方程分别为x 1=1.7×10-2cos(2t+ 4
π
)和x 2=0.6×10-2cos(2t+ 23π),试写出
质点的运动方程。
解：仍是谐振动
6-18 一待测量频率的音叉与一频率为440Hz 的标准音叉并排放置，并同时振
动，声音响度有周期性的起伏，每隔0.5s 听到一次最大响度的音（即拍声），问拍频是多少？音叉的频率可能是多少？ 为了进一步唯一确定其值，可以
[]1
2
1222../..m m mv kg m s
s f v f kg m s
τδγ--????????======????????????????100000.368t t t t A A e A e A e A δτ
ττ
-
--======00ln20.5 t ln2
t A A e A δτδ-====2ln 20002ln 24t t A A A e A e ττ--====3ln 2000
3ln 2
8t
t
A A A e A e τ
τ--====00,, 1632A A
A A ==???
0000 m g kx k m g x ==220.595()
T s ===固1112.521()75.6()0.595v m s km h --==?=?130.05cos(10)5x t π=+20.06cos(10)
5x t π
=+0.0892()A m ==30.05sin 0.06sin 55arctan 30.05cos 0.06cos 55
π
πφππ+=+32(
0) 5k φπφπ?==取即()5πφφππ?=-=-或64
()55
φππ=-或cos(),2X A t ωφω=+=2
1.2910()A m -=≈?1122
1122
sin sin tan cos cos 1.25A A a A A rad φφφπφφ+=+=
在待测音叉上滴下一滴石蜡，重做上述实验，若此时拍品变低，则说明待测音叉的频率是多少？
解：已知T0.5s ，得拍频
或者 若在待测音叉上滴上一滴石蜡，其频率变低，如果再测，拍频变低 成立 6-19
(1)波源的振动表达式为cos y A wt =,我们的计时零点是怎样选择的？如果以
波源所在处为原点，波沿着x 正方向传播，那么对应的波函数应该怎样写？（设波速为v ）（2）如果选取波源向正方向振动，且位移为A/2的时刻为计时零点，波源处为坐标原点，波速仍为v ，波函数该怎样些？（3）如果在上题中把波源的位置订为x0 点，波函数又怎样写。
解：（1）波源初相位是0，是恰好在正的最大位移处开始计时，若X 与V 同向，
波函数为
（2）如下图所示 又因为
（3）若波源在X 0点，若X 与V 同向，任意X 的振动要比X0点落后X 点t 时刻的振动是
X0点在0
X t V
-
时刻的振动
其中 6-20
一沿很长弦线行进的横波波函数为
2
6.010sin(0.02 4.0)y x t ππ-=?+式中各量均为国际单位。试求振幅、波长、频率波速、波的传播方向和波线上质
远的最大横向振动频率。
1
2
0.5f ==21212 2440()f f f f Hz -==+=212438()
f f Hz =-=21f f f -=2442f Hz =cos y A t ω=cos ()x y A t v ω=-02
A
y =3πφ=±0y >3πφ∴=-cos ()3x y A t v πω??
=--????00cos ()cos ()()x x x y A t A t x v v v ωωφωφ-???
?=-+=-++????
????
3
π
φ=-
解： 6.0sin(0.02 4.0) 6.0sin 4.0()2x
y x t t ππππ
=+=+
1
6.0, 4.0,200.2,1002A cm v cm s V
v Hz cm
v
ωπωλπ-======= X 点比原点位相超前0.02x π，V 与X 反向
又16.0 4.0cos 4.0()
2006.0 4.024()m x y t V cm s ππππ-=?-
=?=
6-21 题6-21 图中的曲线(a) 和（b ）分别表示t=0s 和t=2.0s 的某一平面简
谐波的波形图，试写出此平面简谐波的表达式。
解：从曲线(a)可以看出A=2，2λ=，用余弦函数表示时0?=
20.50.521
,0,1,2
4
Vt V k k
k λ==+=+=从曲线（a ）--->(b) t=2s v=k+2v 1v ()24
11
2cos ()()2cos[()]
1444
v k x y k t k t x k ωπλλ
ωππλπππ====+=+-=+-+又所以所以，波函数为 6-22 设在某一时刻，一个向右传播的平面简谐波的波形曲线如图所示，试分
别说明图中A 、B 、C 、D 等各点在该时刻的振动方向，并做出T/4前和T/4后的波形图。 解：
6-23 已知一列波速为v 、沿x 正向传播的波在t=0时的波形曲线如图所示，
画出图中A 、B 、C 、D 各点在第一周期内的振动曲线。
解：A 点，t=0时，y=-A 振动表达式y=Acos(ωt+π) B 点，t=0时，y 0=0，并且V0<0见图> 所以y=Acos(ωt+π/2)，φ=π/2
00,0,cos()233A y V y A t ππ
?ω=<∴=∴=+C 点
00,0,cos()233
A y V y A t ππ
?ω=>∴=∴=-D 点
6-24 在直径为14cm 的直管中传播的平面简谐波，其平均能流密度为9.0×
10-3W/m 2，频率v=300Hz ，波速v=300m/s ，求：（1）最大哪能量密度和平均能量密度；（2）相邻两同相位波面间（即相位差为2π的两波面间）的总能量。
解：（1）
3
53531910,,310()
2300
2610()
m m I I W V W W W J m V W W J m -----?=<><>=<>===?=<>=? （2）
5273001310(0.14) 4.610()3004V E W S W S J v λπ--=<>=<>
=?=?
6-25声波是流体或固体中的压缩波，在讨论声波时，讨论声波中的压强（即压力）变化要比讨论声波中质元的位移更方便些，可以证明，当声波的位移波函数
为2cos()y A x wt π
λ=-时，对应于压力变化的波函数为
022sin()sin()m p w Av wt wt ππ
ρρλλ
=-=-
p 是相对于为扰动时压力0ρ的压强变化值，0ρ是介质的体密度。
（1） 人耳能够忍受的强声波中的最大压强变化p m 约为28N/m 2（正常的大气压强约为1.0
×105N/m 2）若这一强度波的频率为1000Hz ，试求这声波所对应的最大位移。
（2） 在频率为1000Hz 的声波中，可以听得出最微弱的声音的压强振幅约为
2.0×10-5N/m 2,试求相应的位移振幅，设0ρ=1.29kg/m 3，v=321m/s 。 解：（1）最大位移：
0500 1.0410()2m m
Pm AV P P A m V v v
ωρωρπρ-==
==? （2）最小位移：
012007.4510()2m m
Pm AV P P A m V v v
ωρωρπρ-==
==?
6-26无线电波以3.0×108m/s 的速度传播，有一无线电波的波源功率为50kW ，假设该波源在各向同性介质中发射球面波，求离波源200km 远处无线电波的能量密度。 解：
2
3
238
1634501044(20010)3103.310(.)
P
I W V r
P W r V J m πππ--=
=<>?<>==???=?
6-27 如图所示，设B 点发出的平面横波在B 点的振动表达式为3210cos 2t ξπ-=? 沿BP 方向传播；C 点发出的平面横波在C 点的振动表达式为
3210cos(2)t ξππ-=?+
沿CP 方向传播，两式中各量均为SI 单位，设BP=0.4m ，CP=0.5m ，波速为0.2m/s ，求：（1）两列波传达到P 处时的相位差；（2）如果这两列波的振动方向相同，求P 点的合成振幅；（3）如果这两列波的振动方向垂直，则合成振动的振幅如何？ 解：
（1） 因为是两个同频率的波
所以21212()()(0.40.5)00.2
w r r v π
???π?=-+-=+-=
（2） 如果振动方向也相同，得到两相干波
33122210410()A A m --?==??=?
（3） 如果振动方向垂直又同相，合成后仍是谐振动，
222
3121210()A A A m -=+?=
6-28 题6-28图表示一个声学干涉仪，它是用来演示声波的干涉，S 是电磁铁作用下的振动膜片，D 是声波探测器，例如耳朵或传声器，路程SBD 的长度可以改变，但路径SAD 却是固定的，干涉仪内充有空气，实验中发现，当B 在某一位置时声强有最小值（100单位），而从这个位置向右拉1.65cm 到第二个位置时声强就渐渐上升到最大值（900单位）。试求：（1）由声源发出的声波的频率以及（2）当B 在上述两个位置时到达探测器的两个波的相对振幅和（3）到达D 处时二路声波的分振幅之比（已知声速为340m/s ）。
解法一：极大为波腹，极小为波节，相邻波腹波节间距： 221.6510 6.6010()4
m λ
λ--=??=? 解法二：D 处干涉极大，极小取决于波程差，相邻极大和极小只差半个波长，
故有222 1.6510 6.6010()2
m λ
λ--?==???=?
题6-28图
6-29 在同一介质中的两个相干波源位于AB 两点，其振动方向相同，振幅皆为5cm/s ，频率皆为100Hz ，但A 点为波峰时，B 点为波谷，且在此介质中波速为10m/s ，设AB 相距20m ，经过A 点做一条垂线，在此垂线上取一点P ，AP=15cm ，
（1） 试分别写出P 点处两波在该点的振动表达式； （2）求两波在P 点的相位差；
（3）写出干涉后的振动表达式（波动中振动幅不变）。 解：（1）
22215510cos 2100()10
510cos 200cos[()]
510cos(200)
AP BP y t t
r
y A t V
t ππωπππ---=??-=?=--=?-
（2）()?ππ?=或- （3）相消干涉A=0，所以y=0
6-30在一个两端固定的3.0m 长的弦上有3个波腹的“驻波”其振幅为1.0cm ，弦长波速为100m/s （1）试计算频率；（2）若视为人、反射波叠加的理想驻波，写出产生此驻波的两个波的表达式。
解：（1）332,100/250,1002V
m X
m v Hz λ
λωπλ
=∴==
===
（2）若为理想驻波 驻波端点为节点，x=0，表达式为 设入射波波函数 则反射波波函数
21122321cos[(2)]cos[2]cos()2y A t x A t A t x πππ
ωπωλπωλλλ
=--+-?+=-+
显然1222sin sin y y y A t π
ωλ
=+=
即
212
20.510cos(100)0.510cos(100)
y t x y t x ππππ--=?-=-?+
6-31 如图所示，S 是一个由音频振荡器和放大器驱动的小喇叭，音频振荡器的频率可调范围为1000-2000Hz ，D 是一段用金属薄板卷成的圆管，长45cm 。 （1） 如果在所处温度下空气中的声速是340m/s ，试问当喇叭发出的频率从
1000Hz 改变到2000Hz 时，在那些频率上会发生共鸣？ （2） 试画出各次共鸣时管的位置波节、波腹图（忽略末端效应）。
212 1.010()
A A m -==?122sin sin y A t x
π
ωλ=112cos()y A t x πωλ=-
解：形成驻波圆管两端（开口）为波腹
（3）(4）（5）频率会发生共鸣。
6-32 如题6-32图所示是一个测量空气中声速的装置。把频率为v 的振动着的音叉置于管的开口端，管内装有水，而管中空气柱的长度可以由水面的升降加以改变。当水面由管的顶端渐渐下降距离a 时，声音的强度达到最大值。求空气中声速。若用1080Hz 音叉时，测得d=15.3cm ，求声速值是多少？
6-33 有一提琴弦长50cm ，两端固定，当不按手指演奏时发出的声音是A 调（440Hz ），试问要奏出C 调（528Hz ）手指应该按在什么位置? 解：提琴弦两端固定，谐振时，两端必为波节
基调
1,440,21440()
2
440528,I=
0.4167()22528I v Hz V v v m s V v Hz v m v λ
λ-=
=======?不变，
6-34 蝙蝠在洞穴中飞来飞去，利用超声波脉冲导航非常有效（这种超声波脉冲是持续1ms 或不到1ms 的短促发射，并且每秒重复发射几次）。假设蝙蝠所发超声频率为39×103Hz ，在朝着表面平直的墙壁飞扑的期间，它的运动速率为空气中声速的1/40，试问它听到的从墙壁反射回来的脉冲波频率是多少？
1112223344
34556656(1),377.8()22(2),755 . 5()3(3),1133() (4)2,1511()
22/3/25(5),1889() (6)3,2267()22/5/3v v l Hz l v v
l Hz l
v v v v l Hz l Hz l l v v v v l Hz l Hz l l λνλλνλλνλνλλλνλνλλ======
==================
解：蝙蝠以V1向墙飞扑，被墙反射回来的声音相当于声源以V1向运动的多普勒效应的声音：V1=v v ’/(v-v1)
此声音又被以V1运动的蝙蝠接收，其频率为：
11213
1
40'41000()391040
V V V V V V V v V Hz V V V V V +
++====--??
第6章 恒定磁场 1． 空间某点的磁感应强度B 的方向，一般可以用下列几种办法来判断，其中哪个是错误的？ （ C ） （A ）小磁针北（N ）极在该点的指向； （B ）运动正电荷在该点所受最大的力与其速度的矢积的方向； （C ）电流元在该点不受力的方向； （D ）载流线圈稳定平衡时，磁矩在该点的指向。 2． 下列关于磁感应线的描述，哪个是正确的? （ D ） （A ）条形磁铁的磁感应线是从N 极到S 极的； （B ）条形磁铁的磁感应线是从S 极到N 极的； （C ）磁感应线是从N 极出发终止于S 极的曲线； （D ）磁感应线是无头无尾的闭合曲线。 3． 磁场的高斯定理 0S d B 说明了下面的哪些叙述是正确的？ （ A ） a 穿入闭合曲面的磁感应线条数必然等于穿出的磁感应线条数； b 穿入闭合曲面的磁感应线条数不等于穿出的磁感应线条数； c 一根磁感应线可以终止在闭合曲面内； d 一根磁感应线可以完全处于闭合曲面内。 （A ）ad ； （B ）ac ； （C ）cd ； （D ）ab 。 4． 如图所示，在无限长载流直导线附近作一球形闭合曲面S ，当曲面S 向长直导线靠近时，穿过曲面S 的磁通量 和面上各点的磁感应强度B 将如何变化？ （ D ） （A ） 增大，B 也增大； （B ） 不变，B 也不变； （C ） 增大，B 不变； （D ） 不变，B 增大。 5． 两个载有相等电流I 的半径为R 的圆线圈一个处于水平位置，一个处于竖直位置，两个线圈的圆心重合，则在圆心o 处的磁感应强度大小为多少? （ C ） （A ）0； （B ）R I 2/0 ； （C ）R I 2/20 ； （D ）R I /0 。 6、有一无限长直流导线在空间产生磁场，在此磁场中作一个以截流导线为轴线的同轴的圆柱形闭合高斯面，则通过此闭合面的磁感应通量（ A ） A 、等于零 B 、不一定等于零 C 、为μ0I D 、为 i n i q 1 1 7、一带电粒子垂直射入磁场B 后，作周期为T 的匀速率圆周运动，若要使运动周期变为T/2，磁感应强度应变为（B ） A 、 B /2 B 、2B C 、B D 、–B 8 竖直向下的匀强磁场中，用细线悬挂一条水平导线。若匀强磁场磁感应强度大小为B ，导线质量为m ， I
第一章作业解 1-7液滴法是测定液体表面张力系数的一种简易方法。将质量为m 的待测液体吸入移液管，然后让液体缓缓从移液管下端滴出。可以证明 d n mg πγ= 其中，n 为移液管中液体全部滴尽时的总滴数，d 为液滴从管口落下时断口的直径。请证明这个关系。 证：当液滴即将滴下的一刻，其受到的重力与其颈部上方液体给予的张力平衡 F g m =' d r L F πγπγγ===2 n m m = '， d n m πγ= 得证：d n mg πγ= 1-8 在20 km 2的湖面上下了一场50 mm 的大雨，雨滴半径为1.0 mm 。设温度不变，雨水在此温度下的表面张力系数为7.3?10-2N ?m -1。求释放的能量。 解：由 S E ?=?γ 雨滴落在湖面上形成厚为50 mm 的水层，表面积就为湖面面积，比所有落下雨滴的表面积和小，则释放的表面能为： )4(2 S r n E -?=?πγ 其中，3 43 r Sh n π= 为落下的雨滴数，r 为雨滴半径 J r h S E 8 3 3 6 2 1018.2)110 0.110503( 102010 3.7)13( ?=-???????=-=?---γ 1-9假定树木的木质部导管为均匀的圆柱形导管，树液完全依靠毛细现象在导管内上升，接触角为45°，树液的表面张力系数1 2 10 0.5--??=m N γ。问要使树液到达树木的顶部，高 为20 m 的树木所需木质部导管的最大半径为多少？ 解：由朱伦公式：gr h ρθ γcos 2= 则：cm gh r 5 3 2 10 6.320 8.91012 /210 0.52cos 2--?=??????= = ρθ γ 1-10图1-62是应用虹吸现象从水库引水的示意图。已知虹吸管粗细均匀，其最高点B 比水库水面高出m h 0.31=，管口Ｃ又比水库水面低m h 0.52=，求虹吸管内的流速及Ｂ点处的
习题十三 13-1 如题图13-1所示，两条平行长直导线和一个矩形导线框共面，且导线框的一个边与长直导线平行，到两长直导线的距离分别为1r ， 2r 。已知两导线中电流都为0sin I I t ω=，其中I 0和ω为常数，t 为 时间。导线框长为a ，宽为b ，求导线框中的感应电动势。 解：无限长直电流激发的磁感应强度为02I B r μ= π。取坐标Ox 垂直于 直导线，坐标原点取在矩形导线框的左边框上，坐标正方向为水平向右。取回路的绕行正方向为顺时针。由场强的叠加原理可得x 处的磁感应强度大小 00122() 2() I I B r x r x μμ= + π+π+ 方向垂直纸面向里。 通过微分面积d d S a x =的磁通量为 00m 12d d d d 2()2()I I B S B S a x r x r x μμΦππ?? =?==+??++?? 通过矩形线圈的磁通量为 00m 01 2d 2()2()b I I a x r x r x μμΦ??=+??π+π+???012012ln ln sin 2a r b r b I t r r μω?? ++=+ ?π?? 感生电动势 0m 12012d ln ln cos d 2i a r b r b I t t r r μωΦεω?? ++=- =-+ ?π?? 012012()()ln cos 2a r b r b I t r r μωω?? ++=- ??π?? 0i ε>时，回路中感应电动势的实际方向为顺时针；0i ε<时，回路中感应电动势的实际方向 为逆时针。 13-2 如题图13-2所示，有一半径为r =10cm 的多匝圆形线圈，匝数N =100，置于均匀磁场B 中（B =0.5T ）。圆形线圈可绕通过圆心的轴O 1O 2转动，转速1 600r min n -=? 。求圆线圈自图示的初始位置转过 题图13-1 题图 13-2 解图13-1
第6章 真空中的静电场 习题及答案 1. 电荷为q +和q 2-的两个点电荷分别置于1=x m 和1-=x m 处。一试验电荷置于x 轴上何处，它受到的合力等于零？ 解：根据两个点电荷对试验电荷的库仑力的大小及方向可以断定，只有试验电荷0q 位于点电荷q +的右侧，它受到的合力才可能为0，所以 故 223+=x 2. 电量都是q 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点。试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系? 解：(1) 以A 处点电荷为研究对象，由力平衡知，q '为负电荷，所以 故 q q 3 3 - =' (2)与三角形边长无关。 3. 如图所示，半径为R 、电荷线密度为1λ的一个均匀带电圆环，在其轴线上放一长为l 、电荷线密度为2λ的均匀带电直线段，该线段的一端处于圆环中心处。求该直线段受到的电场力。 解：先求均匀带电圆环在其轴线上产生的场强。在带电圆环上取dl dq 1λ=， dq 在带电圆环轴线上x 处产生的场强大小为 ) (42 20R x dq dE += πε 根据电荷分布的对称性知，0==z y E E z
式中：θ为dq 到场点的连线与x 轴负向的夹角。 下面求直线段受到的电场力。在直线段上取dx dq 2λ=，dq 受到的电场力大小为 方向沿x 轴正方向。 直线段受到的电场力大小为 方向沿x 轴正方向。 4. 一个半径为R 的均匀带电半圆环，电荷线密度为λ。求： （1）圆心处O 点的场强； （2）将此带电半圆环弯成一个整圆后，圆心处O 点场强。 解：（1）在半圆环上取?λλRd l dq ==d ，它在O 点产生场强大小为 20π4R dq dE ε= ?ελ d R 0π4= ，方向沿半径向 外 根据电荷分布的对称性知，0=y E 故 R E E x 0π2ελ = =，方向沿x 轴正向。 （2）当将此带电半圆环弯成一个整圆后，由电荷分布的对称性可知，圆心处电场强度为零。 5．如图所示，真空中一长为L 的均匀带电细直杆，总电量为q ，试求在直杆延长线上距杆的一端距离为d 的P 点的电场强度。 解：建立图示坐标系。在均匀带电细直杆上取dx L q dx dq ==λ，dq 在P 点产生的场强大小为 2 02044x dx x dq dE πελπε== ，方向沿x 轴负方向。
大学物理第六章练 习答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第六章 热力学基础 练 习 一 一. 选择题 1. 一绝热容器被隔板分成两半，一半是真空，另一半是理想气体，若把隔板抽出，气体将进行自由膨胀，达到平衡后（ A ） (A) 温度不变，熵增加； (B) 温度升高，熵增加； (C) 温度降低，熵增加； (D) 温度不变，熵不变。 2. 对于理想气体系统来说，在下列过程中，哪个过程系统所吸收的热量、内能的增量和对外作做的功三者均为负值。（ C ） (A) 等容降压过程； (B) 等温膨胀过程； (C) 等压压缩过程； (D) 绝热膨胀过程。 3. 一定量的理想气体，分别经历如图 1(1)所示的abc 过程(图中虚线ac 为等温线)和图1(2)所示的def 过程(图中虚线df 为绝热线) 。 判断这两过程是吸热还是放热：（ A ） (A) abc 过程吸热，def 过程放热； (B) abc 过程放热，def 过程吸热； (C) abc 过程def 过程都吸热； (D) abc 过程def 过程都放热。 4. 如图2，一定量的理想气体，由平衡状态A 变到平衡状态B(A p =B p )，则无论经过的是什么过程，系统必然（ B ） (A) 对外做正功； (B) 内能增加； (C) 从外界吸热； (D) 向外界放热。 二.填空题 图.2 图1
1. 一定量的理想气体处于热动平衡状态时，此热力学系统不随时间变化的三个宏观量是P V T ，而随时间变化的微观量是每个分子的状态量。 2. 一定量的单原子分子理想气体在等温过程中，外界对它做功为200J ，则该过程中需吸热__-200__ ___J 。 3. 一定量的某种理想气体在某个热力学过程中，外界对系统做功240J ，气体向外界放热620J ，则气体的内能 减少，(填增加或减少)，21E E -= -380 J 。 4. 处于平衡态A 的热力学系统，若经准静态等容过程变到平衡态B ，将从外界吸热416 J ，若经准静态等压过程变到与平衡态B 有相同温度的平衡态C ，将从外界吸热582 J ，所以，从平衡态A 变到平衡态C 的准静态等压过程中系统对外界所做的功为 582-416=166J 。 三.计算题 1. 一定量氢气在保持压强为4.00×510Pa 不变的情况下，温度由0 ℃ 升高到50．0℃时，吸收了6.0×104 J 的热量。 (1) 求氢气的摩尔数 (2) 氢气内能变化多少 (3) 氢气对外做了多少功 (4) 如果这氢气的体积保持不变而温度发生同样变化、它该吸收多少热量 解： （1）由,2 2 p m i Q vC T v R T +=?=? 得 4 22 6.01041.3(2)(52)8.3150 Q v mol i R T ??= ==+?+?? （2）4,5 41.38.3150 4.291022 V m i E vC T v R T J ?=?=??=???=? （3）44(6.0 4.29)10 1.7110A Q E J =-?=-?=? （4）44.2910Q E J =?=?
第11章 稳恒磁场 习 题 一 选择题 11-1 边长为l 的正方形线圈，分别用图11-1中所示的两种方式通以电流I （其中ab 、cd 与正方形共面），在这两种情况下，线圈在其中心产生的磁感应强度的大小分别为：[ ] （A ）10B =，20B = （B ）10B = ，02I B l π= （C ）01I B l π= ，20B = （D ）01I B l π= ，02I B l π= 答案：C 解析：有限长直导线在空间激发的磁感应强度大小为012(cos cos )4I B d μθθπ= -，并结合右手螺旋定则判断磁感应强度方向，按照磁场的叠加原理，可计 算 01I B l π= ，20B =。故正确答案为（C ）。 11-2 两个载有相等电流I 的半径为R 的圆线圈一个处于水平位置，一个处于竖直位置，两个线圈的圆心重合，如图11-2所示，则在圆心O 处的磁感应强度大小为多少? [ ] （A ）0 （B ）R I 2/0μ （C ）R I 2/20μ （D ）R I /0μ 答案：C 解析：圆线圈在圆心处的磁感应强度大小为120/2B B I R μ==，按照右手螺旋定 习题11-1图 习题11-2图
则判断知1B 和2B 的方向相互垂直，依照磁场的矢量叠加原理，计算可得圆心O 处的磁感应强度大小为0/2B I R =。 11-3 如图11-3所示，在均匀磁场B 中，有一个半径为R 的半球面S ，S 边线所在平面的单位法线矢量n 与磁感应强度B 的夹角为α，则通过该半球面的磁通量的大小为[ ] （A ）B R 2π （B ）B R 22π （C ）2cos R B πα （D ）2sin R B πα 答案：C 解析：通过半球面的磁感应线线必通过底面，因此2cos m B S R B παΦ=?= 。故正 确答案为（C ）。 11-4 如图11-4所示，在无限长载流直导线附近作一球形闭合曲面S ，当曲面S 向长直导线靠近时，穿过曲面S 的磁通量Φ B 将如何变化？[ ] （ A ）Φ增大， B 也增大 （B ）Φ不变，B 也不变 （ C ）Φ增大，B 不变 （ D ）Φ不变，B 增大 答案：D 解析：根据磁场的高斯定理0S BdS Φ==? ，通过闭合曲面S 的磁感应强度始终为0，保持不变。无限长载流直导线在空间中激发的磁感应强度大小为02I B d μπ= ，曲面S 靠近长直导线时，距离d 减小，从而B 增大。故正确答案为（D ）。 11-5下列说法正确的是[ ] (A) 闭合回路上各点磁感应强度都为零时，回路内一定没有电流穿过 (B) 闭合回路上各点磁感应强度都为零时，回路内穿过电流的代数和必定为零 (C) 磁感应强度沿闭合回路的积分为零时，回路上各点的磁感应强度必定为零 (D) 磁感应强度沿闭合回路的积分不为零时，回路上任意一点的磁感应强度 I 习题11-4图 习题11-3图
大学物理课后习题答案第六章
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第6章 真空中的静电场 习题及答案 1. 电荷为q +和q 2-的两个点电荷分别置于1=x m 和1-=x m 处。一试验电荷置于x 轴上何处，它受到的合力等于零？ 解：根据两个点电荷对试验电荷的库仑力的大小及方向可以断定，只有试验电荷0q 位于点电荷q +的右侧，它受到的合力才可能为0，所以 2 00 200)1(π4)1(π42-=+x qq x qq εε 故 223+=x 2. 电量都是q 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点。试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系? 解：(1) 以A 处点电荷为研究对象，由力平衡知，q '为负电荷，所以 2 220)3 3(π4130cos π412a q q a q '=?εε 故 q q 3 3- =' (2)与三角形边长无关。 3. 如图所示，半径为R 、电荷线密度为1λ的一个均匀带电圆环，在其轴线上放一长为 l 、电荷线密度为2λ的均匀带电直线段，该线段的一端处于圆环中心处。求该直线段受到的 电场力。 解：先求均匀带电圆环在其轴线上产生的场强。在带电圆环上取dl dq 1λ=，dq 在带电圆环轴线上x 处产生的场强大小为 ) (4220R x dq dE += πε 根据电荷分布的对称性知，0==z y E E 2 3220)(41 cos R x xdq dE dE x += =πεθ R O λ1 λ2 l x y z
第十章 静电场中的导体与电介质 10－1 将一个带正电的带电体A 从远处移到一个不带电的导体B 附近，则导体B 的电势将（ ） （A ） 升高 （B ） 降低 （C ） 不会发生变化 （D ） 无法确定 分析与解 不带电的导体B 相对无穷远处为零电势.由于带正电的带电体A 移到不带电的导体B 附近时，在导体B 的近端感应负电荷；在远端感应正电荷，不带电导体的电势将高于无穷远处，因而正确答案为（A ）. 10－2 将一带负电的物体M 靠近一不带电的导体N ，在N 的左端感应出正电荷，右端感应出负电荷.若将导体N 的左端接地（如图所示），则（ ） （A ） N 上的负电荷入地 （B ）N 上的正电荷入地 （C ） N 上的所有电荷入地 （D ）N 上所有的感应电荷入地 题 10-2 图 分析与解 导体N 接地表明导体N 为零电势，即与无穷远处等电势，这与导体N 在哪一端接地无关.因而正确答案为（A ）. 10－3 如图所示将一个电量为q 的点电荷放在一个半径为R 的不带电的导体球附近，点电荷距导体球球心为d ，参见附图.设无穷远处为零电势，则在导体球球心O 点有（ ） （A ）d εq V E 0π4,0= = （B ）d εq V d εq E 02 0π4,π4== （C ）0,0==V E （D ）R εq V d εq E 020π4,π4= = 题 10-3 图
分析与解 达到静电平衡时导体内处处各点电场强度为零.点电荷q 在导 体球表面感应等量异号的感应电荷±q′，导体球表面的感应电荷±q′在球心O 点激发的电势为零，O 点的电势等于点电荷q 在该处激发的电势.因而正确答案为（A ）. 10－4 根据电介质中的高斯定理，在电介质中电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于这个曲面所包围自由电荷的代数和.下列推论正确的是( ) （A ） 若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零，曲面内一定没有自由电荷 （B ） 若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零，曲面内电荷的代数和一定等于零 （C ） 若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分不等于零，曲面内一定有极化电荷 （D ） 介质中的高斯定律表明电位移矢量仅仅与自由电荷的分布有关 （E ） 介质中的电位移矢量与自由电荷和极化电荷的分布有关 分析与解 电位移矢量沿任意一个闭合曲面的通量积分等于零，表明曲面 内自由电荷的代数和等于零；由于电介质会改变自由电荷的空间分布，介质中的电位移矢量与自由电荷与位移电荷的分布有关.因而正确答案为（E ）. 10－5 对于各向同性的均匀电介质，下列概念正确的是（ ） （A ） 电介质充满整个电场并且自由电荷的分布不发生变化时，电介质中的电场强度一定等于没有电介质时该点电场强度的1/εｒ倍 （B ） 电介质中的电场强度一定等于没有介质时该点电场强度的1/εｒ倍 （C ） 在电介质充满整个电场时，电介质中的电场强度一定等于没有电介质时该点电场强度的1/εｒ倍 （D ） 电介质中的电场强度一定等于没有介质时该点电场强度的εｒ倍 分析与解 电介质中的电场由自由电荷激发的电场与极化电荷激发的电场迭加而成，由于极化电荷可能会改变电场中导体表面自由电荷的分布，由电介质中的高斯定理，仅当电介质充满整个电场并且自由电荷的分布不发生变化时，在电介质中任意高斯面S 有 ()∑??=?=?+i i S S ε χq 0 1 d d 1S E S E 即E ＝E ０/εｒ，因而正确答案为（A ）. 10－6 不带电的导体球A 含有两个球形空腔，两空腔中心分别有一点电荷q b 、q c ，导体球外距导体球较远的r 处还有一个点电荷q d （如图所示）.试求点电荷q b 、q c 、q d 各受多大的电场力.
第九章振动 习题：P37～39 1，2，3，4，5，6，7，8，16.
9-4 一质点做简谐运动,周期为T,当它由平衡位置向X 轴正方向运动时,从1/2 最大位移处到最大位移处这段路程所需的时间( ) A、T/12 B、T/8 C、T/6 D、T/4 分析(C)，通过相位差和时间差的关系计算。可设位移函数 y=A*sin(ωt),其中ω=2π/T； 当y=A/2, ω t1= π /6 ；当y=A, ω t2= π /2 ；△ t=t2-t1=[ π /(2 ω )]-[ π /(6 ω )]= π/(3ω)=T/6
9-回图（a）中所阿的是两个简谐运动的曲线，若这两个简谐j?动可叠加* 则合成的余弦振动的初相位为（） 3 1 （A）-7W （B）—IT（C）F （D）O 分析与解由振动曲线可以知道，这是两个同振动方向、同频率简谐运动, 它们的相位差是TT（即反相位）?运动方程分别为X I= Acos ωt利%2= -^-CoS（（（；? + 瓷）?它们的振幅不同.对于这样两个简谐运动M用旋转欠量送,如图（b）很方便 A 求得合运动方程为x=ycos ωt.因而正确答案为（D）. 9-目有一个弹簧振子，振幅4 =2-0 X 10-2 m,周期T = 1.0 s,初相＜p = 3ιτ∕4.试写出它的运动方程,并作出X - 1图I e - i图和a - t图. 解因3=X∕T,则运动方程 / 2πf ≡?cos(ωt + φ) =ACUS
根据题中给出的数据得 X = 2. 0 Xio '2cos( 2irf + O- 75τr) ( m ) 振子的速度和加速度分别为 t) = dx∕(It = -4π × 10^2Rin(2ττt + 0. 75ττ) (m * s^,) (Z = ?2χ∕df2 = - 8TT2X 10 ^2cos( 2τrt + 0. 75τT) ( m ? s ^2) X-I^V-C及Oft图如图所示.
x 解：先求均匀带电圆环在其轴线上产生的场强。在带电圆环上取 dq 1 dl , dq 在带 电圆环轴线上x 处产生的场强大小为 dE dq 4 (x R ) 根据电荷分布的对称性知， E y E z 0 dE x dE cos 1 xdq 4 (x 2 R 2)'2 第6章 真空中的静电场 习题及答案 1.电荷为 q 和 2q 的两个点电荷分别置于 x 1m 和x 1m 处。一试验电荷置于 x 轴上何处，它受到的合力等于零？ 解：根据两个点电荷对试验电荷的库仑力的大小及方向可以断定，只有试验电荷 q 0位 于点电荷 q 的右侧，它受到的合力才可能为 0,所以 2qq o qq o 2 2 4 n o (x 1) 4 n o (x 1) 故 x 3 2 2 2. 电量都是q 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点。试问： （1）在这三角形的 中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡 （即每个电荷受其他三个电荷的 库仑力之和都为零）?（2这种平衡与三角形的边长有无关系 ？ 解：（1）以A 处点电荷为研究对象，由力平衡知， q 为负电荷，所以 （2）与三角形边长无关。 3. 如图所示，半径为 R 、电荷线密度为 1的一个均 匀带电圆环，在其轴线上放一长为 I 、电荷线密度为 2的均匀带电直线段， 该线段的一端处于圆环中心处。 求该直线段受到的 电场力。 2 % cos30 a 1 qq a)2 4 n
E x sin d 4n 0R 2n 0R 式中： 为dq 到场点的连线与x 轴负向的夹角。 ---------------------------------- 3 dq 4 o (x 2 R 2) 2 x 1 2 R 1R x 4 0 (x 2 R 2)' 2 2 0 (x 2 R 2)'2 下面求直线段受到的电场力。在直线段上取 dq 2dx , dq 受到的电场力大小为 dF E x dq 1 2 只 ------- x ———dx 2 0 (x 2 R 2)，2 方向沿x 轴正方向。 直线段受到的电场力大小为 F dF 1 2 R 1 R 2)严 2 0 2 (x 1 2 R 1 1 2 0 R 2 2 l 2 R 2 1/2 方向沿x 轴正方向。 4. 一个半径为R 的均匀带电半圆环，电荷线密度为 。求: (1) 圆心处0点的场强； (2) 将此带电 解：(1)在半圆环上取dq dl Rd ，它在0点产生场强大小为 dE dq 4 n 0 R 2 ,方向沿半径向外 根据电荷分布的对称性知， E y 0 dE x dEsin sin d 4 n 0R
第6章 真空中的静电场 习题及答案 1. 电荷为q +和q 2-的两个点电荷分别置于1=x m 和1-=x m 处。一试验电荷置于x 轴上何处，它受到的合力等于零？ 解：根据两个点电荷对试验电荷的库仑力的大小及方向可以断定，只有试验电荷0q 位于点电荷q +的右侧，它受到的合力才可能为0，所以 2 00 200)1(π4)1(π42-=+x qq x qq εε 故 223+=x 2. 电量都是q 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点。试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系? 解：(1) 以A 处点电荷为研究对象，由力平衡知，q '为负电荷，所以 2 220)3 3(π4130cos π412a q q a q '=?εε 故 q q 3 3- =' (2)与三角形边长无关。 3. 如图所示，半径为R 、电荷线密度为1λ的一个均匀带电圆环，在其轴线上放一长为 l 、电荷线密度为2λ的均匀带电直线段，该线段的一端处于圆环中心处。求该直线段受到的 电场力。 解：先求均匀带电圆环在其轴线上产生的场强。在带电圆环上取dl dq 1λ=，dq 在带电圆环轴线上x 处产生的场强大小为 ) (4220R x dq dE += πε 根据电荷分布的对称性知，0==z y E E 2 3 2 2 0) (41 cos R x xdq dE dE x += =πεθ R O λ1 λ2 l x y z
式中：θ为dq 到场点的连线与x 轴负向的夹角。 ?+= 2 32 2 0) (4dq R x x E x πε 2 32210)(24R x R x +?= πλπε2 32201)(2R x x R += ελ 下面求直线段受到的电场力。在直线段上取dx dq 2λ=，dq 受到的电场力大小为 dq E dF x =dx R x x R 2 3 22021)(2+= ελλ 方向沿x 轴正方向。 直线段受到的电场力大小为 ?=dF F dx R x x R l ?+= 02 3220 21)(ελλ2 ()?? ????+- = 2/1220211 1R l R R ελλ2 方向沿x 轴正方向。 4. 一个半径为R 的均匀带电半圆环，电荷线密度为λ。求： （1）圆心处O 点的场强； （2）将此带电半圆环弯成一个整圆后，圆心处O 点场强。 解：（1）在半圆环上取?λλRd l dq ==d ，它在O 点产生场强大小为 20π4R dq dE ε= ?ελ d R 0π4= ，方向沿半径向外 根据电荷分布的对称性知，0=y E ??ελ ?d R dE dE x sin π4sin 0= = R d R E x 000 π2sin π4ελ ??ελπ ==? 故 R E E x 0π2ελ = =，方向沿x 轴正向。 （2）当将此带电半圆环弯成一个整圆后，由电荷分布的对称性可知，圆心处电场强度为零。
大学物理答案第17章
17－3 有一单缝，缝宽为0.1mm ，在缝后放一焦距为50cm 的汇聚透镜，用波长为546.1nm 的平行光垂直照射单缝，试求位于透镜焦平面处屏上中央明纹的宽度。 解：单缝衍射中央明条纹的宽度为 a f x λ 2=? 代入数据得 mm x 461.510 1.0101.54610 5023 9 2 =????=?--- 17－4 用波长为632.8nm 的激光垂直照射单缝时，其夫琅禾费衍射图样第一极小与单缝法线的夹角为50，试求该缝宽。 解：单缝衍射极小的条件 λθk a =sin 依题意有 m a μλ 26.70872 .0108.6325sin 9 =?==- 17－5 波长为20m 的海面波垂直进入宽50m 的港口。在港内海面上衍射波的中央波束的角宽是多少？ 解：单缝衍射极小条件为 λθk a =sin
依题意有 011 5.234.0sin 5 2 sin 20sin 50===→=--θθ 中央波束的角宽为0 475 .2322=?=θ 17－6 一单色平行光垂直入射一单缝，其衍射第3级明纹位置恰与波长为600nm 的单色光垂直入射该缝时衍射的第2级明纹位置重合，试求该单色光的波长。 解：单缝衍射明纹条件为 2 ) 12(sin λ θ+=k a 依题意有 2)122(2)132(2 1λλ+?=+? 代入数据得 nm 6.4287 60057521=?== λλ 17－7 用肉眼观察星体时，星光通过瞳孔的衍射在视网膜上形成一个亮斑。 （1）瞳孔最大直径为7.0mm ，入射光波长为550nm 。星体在视网膜上像的角宽度多大？ （2）瞳孔到视网膜的距离为23mm 。视网膜上星体的像的直径多大？ （3）视网膜中央小凹（直径0.25mm ）中的柱状感光细胞每平方毫米约1.5×105个。星体的像照亮了几个这样的细胞？
大学物理答案第6章 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第六章 气体动理论 6－1 一容积为10L 的真空系统已被抽成1.0×10-5 mmHg 的真空，初态温度为20℃。为了提高其真空度，将它放在300℃的烘箱内烘烤，使器壁释放出所吸附的气体，如果烘烤后压强为1.0×10-2 mmHg ，问器壁原来吸附了多少个气体分子 解：由式nkT p =，有 3 2023 52/1068.1573 1038.1760/10013.1100.1m kT p n 个?≈?????==-- 因而器壁原来吸附的气体分子数为 个183201068.110101068.1?=???==?-nV N 6－2 一容器内储有氧气，其压强为1.01105 Pa ，温度为27℃，求：（l ） 气体分子的数密度；（2）氧气的密度；（3）分子的平均平动动能；（4）分子间的平均距离。（设分子间等距排列） 分析：在题中压强和温度的条件下，氧气可视为理想气体。因此，可由理想气体的物态方程、密度的定义以及分子的平均平动动能与温度的关系等求解。又因可将分子看成是均匀等距排列的，故每个分子占有的体积为30d V =，由数密度的含意可知d n V ,10=即可求出。 解：（l ）单位体积分子数 3 25m 1044.2-?==kT p n （2）氧气的密度 3m kg 30.1-?===RT pM V m ρ （3）氧气分子的平均平动动能 J 1021.62321k -?==kT ε （4）氧气分子的平均距离 m 1045.3193-?==n d 6－3 本题图中I 、II 两条曲线是两种不同气体（氢气和氧气）在同一温度下的麦克斯韦分子速率分布曲线。试由图中数据求：（1）氢气分子和氧气分子的最概然速率；（2）两种气体所处的温度。
第17章量子物理基础 17.1根据玻尔理论，计算氢原子在斤=5的轨道上的动量矩与其在第一激发态轨道上的动量矩之比. ［解答］玻尔的轨道角动量量子化假设认为电子绕核动转的轨道角动量为 L =mvr =n — N2TC , 对于第一激发态，n = 2,所以 厶仏2 = 5/2? 17.2设有原子核外的3p态电子，试列出其可能性的四个量子数. ［解答］对于3p态电子,主量子数为n = 3, 角量子数为/=1, 磁量子数为mi = - 1), I -1, 自旋量子数为m s = ±1/2. 3p态电子的四个可能的量子数(斤丿,叫叫)为 (3，1 丄1/2), (3,1,1,? 1/2), (3丄0，1/2), (3,1,0,-1/2)，(3,1,?1，1/2), (3,1,-1,-1 ⑵. 17.3实验表明，黑体辐射实验曲线的峰值波长九和黑体温度的乘积为一常数，即入』=b = 2.897xl(y3m?K?实验测得太阳辐射波谱的峰 值波长九= 510nm,设太阳可近似看作黑体，试估算太阳表面的温度.
［解答］太阳表面的温度大约为 T_ b _ 2.897X10-3 ~ 510x10—9 =5680(K)? 17.4实验表明，黑体辐射曲线和水平坐标轴所围成的面积M (即单位时间内从黑体单位表面上辐射出去的电磁波总能量，称总辐射度) 与温度的4次方成正比，即必=〃,其中^=5.67xl0-8W m_2 K-4.试由此估算太阳单位表面积的辐射功率(太阳表面温度可参见上题). ［解答］太阳单位表面积的辐射功率大约为 A/=5.67xl0-8x(5680)4 = 5.9xl07(W-m-2)? 17.5宇宙大爆炸遗留在宇宙空间的均匀背景辐射相当于3K黑体辐射.求： (1)此辐射的单色辐射强度在什么波长下有极大值？ (2)地球表面接收此辐射的功率是多少？ ［解答］(1)根据公式UT=b,可得辐射的极值波长为 九=b/T= 2.897X10_3/3 = 9.66x104(m). (2)地球的半径约为7? = 6.371x10%, 表面积为 5 = 47T T?2. 根据公式：黑体表面在单位时间，单位面积上辐射的能量为M = al4, 因此地球表面接收此辐射的功率是 P = MS= 5.67x 1 (T8x34x4 兀(6.371 x 106)2
第一章作业题 P21 1.1； 1.2； 1.4； 1.9 质点沿x 轴运动，其加速度和位置的关系为 a ＝2+62 x ，a 的单位为2 s m -?，x 的单 位为 m. 质点在x ＝0处，速度为101 s m -?,试求质点在任何坐标处的速度值． 解： ∵ x v v t x x v t v a d d d d d d d d === 分离变量： x x adx d )62(d 2 +==υυ 两边积分得 c x x v ++=32 2221 由题知，0=x 时，100 =v ,∴50=c ∴ 1 3s m 252-?++=x x v 1.10已知一质点作直线运动，其加速度为 a ＝4+3t 2 s m -?，开始运动时，x ＝5 m ， v =0， 求该质点在t ＝10s 时的速度和位置． 解：∵ t t v a 34d d +== 分离变量，得 t t v d )34(d += 积分，得 1 223 4c t t v ++= 由题知，0=t ,00 =v ,∴01=c 故 2234t t v + = 又因为 2 234d d t t t x v +== 分离变量， t t t x d )23 4(d 2+= 积分得 2 3221 2c t t x ++= 由题知 0=t ,50 =x ,∴52=c 故 52123 2++ =t t x 所以s 10=t 时 m 70551021 102s m 1901023 10432101210=+?+?=?=?+ ?=-x v 1.11 一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为 θ=2+33 t ，θ式中以弧度计，t 以秒
17－2一单缝用波长为λ1和λ2的光照明，若λ1的第一级衍射极小与λ2的第二级衍射极小重合。问 （1）这两种波长的关系如何？ （2）所形成的衍射图样中是否还有其它极小重合？ 解：（1）单缝衍射极小条件为 λθk a =sin 依题意有 212λλ= （2）依题意有 11sin λθk a = 22sin λθk a = 因为212λλ=，所以得所形成的衍射图样中还有其它极小重合的条件为 212k k = 17－3 有一单缝，缝宽为0.1mm ，在缝后放一焦距为50cm 的汇聚透镜，用波长为546.1nm 的平行光垂直照射单缝，试求位于透镜焦平面处屏上中央明纹的宽度。 解：单缝衍射中央明条纹的宽度为 a f x λ 2=? 代入数据得 mm x 461.510 1.0101.54610 5023 9 2 =????=?--- 17－4 用波长为632.8nm 的激光垂直照射单缝时，其夫琅禾费衍射图样第一极小与单缝法线的夹角为50，试求该缝宽。 解：单缝衍射极小的条件 λθk a =sin 依题意有 m a μλ 26.70872 .0108.6325sin 9 0=?==- 17－5 波长为20m 的海面波垂直进入宽50m 的港口。在港内海面上衍射波的中央波束的角 宽是多少？ 解：单缝衍射极小条件为 λθk a =sin 依题意有 011 5.234.0sin 5 2 sin 20sin 50===→=--θθ 中央波束的角宽为0 475.2322=?=θ
17－6 一单色平行光垂直入射一单缝，其衍射第3级明纹位置恰与波长为600nm 的单色光垂直入射该缝时衍射的第2级明纹位置重合，试求该单色光的波长。 解：单缝衍射明纹条件为 2 ) 12(sin λ θ+=k a 依题意有 2)122(2)132(2 1λλ+?=+? 代入数据得 nm 6.4287 60057521=?== λλ 17－7 用肉眼观察星体时，星光通过瞳孔的衍射在视网膜上形成一个亮斑。 （1）瞳孔最大直径为7.0mm ，入射光波长为550nm 。星体在视网膜上像的角宽度多大？ （2）瞳孔到视网膜的距离为23mm 。视网膜上星体的像的直径多大？ （3）视网膜中央小凹（直径0.25mm ）中的柱状感光细胞每平方毫米约1.5×105个。星体的像照亮了几个这样的细胞？ 解：（1）据爱里斑角宽公式，星体在视网膜上像的角宽度为 rad d 4 3 9109.110 0.71055044.244.22---?=??==λ θ （2）视网膜上星体的像的直径为 mm l d 34104.423109.1 2--?=??==θ （3）细胞数目应为3.2105.14 )104.4(52 3=????= -πn 个 17－8 在迎面驶来的汽车上，两盏前灯相距120cm 。试问汽车离人多远的地方，眼睛恰能分 辨这两盏前灯？设夜间人眼瞳孔直径为5.0mm ，入射光波长为550nm.。 解： 38.9101.22l L l L l D L m λδθλ ????==?设两灯距为，人车距为。人眼最小分辨角为， ＝1.22＝D 17－9 据说间谍卫星上的照相机能清楚识别地面上汽车的牌照号码。（1）若被识别的牌照上的字划间的距离为5cm ，在160km 高空的卫星上的照相机的角分辨率应多大？ （2）此照相机的孔径需多大？光的波长按500nm 计算。 解：装置的光路如图所示。 S 15cm S 2 160km D
1-1 分析与解(1) 质点在t 至(t ＋Δt)时间内沿曲线从P 点运动到P′点,各量关系如图所示, 其中路程Δs ＝PP′, 位移大小｜Δr｜＝PP′,而Δr ＝｜r｜-｜r｜表示质点位矢大小的变化量,三个量的物理含义不同,在曲线运动中大小也不相等(注：在直线运动中有相等的可能)．但当Δt→0 时,点P′无限趋近P点,则有｜dr｜＝ds,但却不等于dr．故选(B)． (2) 由于｜Δr ｜≠Δs,故,即｜｜≠ ． 但由于｜dr｜＝ds,故,即｜｜＝．由此可见,应选(C)． 1-2 分析与解表示质点到坐标原点的距离随时间的变化率,在极坐标系中叫径向速率．通常用符号vr表示,这是速度矢量在位矢方向上的一个分量；表示速度矢量；在自然坐标系中速度大小可用公式计算,在直角坐标系中则可由公式求解．故选(D)． 1-3 分析与解表示切向加速度aｔ,它表示速度大小随时间的变化率,是加速度矢量沿速度方向的一个分量,起改变速度大小的作用；在极坐标系中表示径向速率vr(如题1 -2 所述)；在自然坐标系中表示质点的速率v；而表示加速度的大小而不是切向加速度aｔ．因此只有(3) 式表达是正确的．故选(D)． 1-4 分析与解加速度的切向分量aｔ起改变速度大小的作用,而法向分量an起改变速度方向的作用．质点作圆周运动时,由于速度方向不断改变,相应法向加速度的方向也在不断改变,因而法向加速度是一定改变的．至于aｔ是否改变,则要视质点的速率情况而定．质点作匀速率圆周运动时, aｔ恒为零；质点作匀变速率圆周运动时, aｔ为一不为零的恒量,当aｔ改变时,质点则作一般的变速率圆周运动．由此可见,应选(B)． 1-5 分析与解本题关键是先求得小船速度表达式,进而判断运动性质．为此建立如图所示坐标系,设定滑轮距水面高度为h,t 时刻定滑轮距小船的绳长为l,则小船的运动方程为,其中绳长l 随时间t 而变化．小船速度,式中表示绳长l 随时间的变化率,其大小即为v0,代入整理后为,方向沿x 轴负向．由速度表达式,可判断小船作变加速运动．故选(C)． 1-6 分析位移和路程是两个完全不同的概念．只有当质点作直线运动且运动方向不改变时,位移的大小才会与路程相等．质点在t 时间内的位移Δx 的大小可直接由运动方程得到：,而在求路程时,就必须注意到质点在运动过程中可能改变运动方向,此时,位移的大小和路程就不同了．为此,需根据来确定其运动方向改变的时刻tp ,求出0～tp 和tp～t 内的位移大小Δx1 、Δx2 ,则t 时间内的路程,如图所示,至于t ＝4.0 s 时质点速度和加速度可用和两式计算． 解(1) 质点在4.0 s内位移的大小 (2) 由得知质点的换向时刻为(t＝0不合题意) 则, 所以,质点在4.0 s时间间隔内的路程为 (3) t＝4.0 s时, , 1-7 分析根据加速度的定义可知,在直线运动中v-t曲线的斜率为加速度的大小(图中AB、CD 段斜率为定值,即匀变速直线运动；而线段BC 的斜率为0,加速度为零,即匀速直线运动)．加速度为恒量,在a-t 图上是平行于t 轴的直线,由v-t 图中求出各段的斜率,即可作出a-t 图线．又由速度的定义可知,x-t 曲线的斜率为速度的大小．因此,匀速直线运动所对应的x -t 图应是一直线,而匀变速直线运动所对应的x–t 图为t 的二次曲线．根据各段时间内的运动方程x＝x(t),求出不同时刻t 的位置x,采用描数据点的方法,可作出x-t 图． 解将曲线分为AB、BC、CD 三个过程,它们对应的加速度值分别为 (匀加速直线运动), (匀速直线运动) (匀减速直线运动) 根据上述结果即可作出质点的a-t 图［图(B)］． 在匀变速直线运动中,有