水寨中学高一数学自主探究学案
内容：指数函数及其性质 课时：1 模块：必修1 编号：2.1.2(2) 一、学习目标
1. 熟悉指数函数图象,熟记指数函数的性质;
2. 体会底数a 对指数函数的图象变化趋势的影响;
3. 运用指数函数的单调性比较函数值的大小. 学习重点：指数函数的性质及应用.
学习难点：用数形结合的方法，灵活应用指数函数的性质进行解题. 二、 自主学习
1.直线(0)x a a =>与指数函数3,2,x
x
y y ==11(),()
x x
y y ==图象的交点依次
2.复合函数的概念 一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作
()()y f g x =.如函数1
32
2++=x x
y 是由13,22++==x x u y u 复合而成，其中u
y 2=叫外函
数，132
++=x x u 叫内函数。 3.复合函数单调性问题
已知函数))((x g f y =.若)(x g u =在区间),(b a 上是减函数，其值域为),(d c ，又函数)(u f y =在区间),(d c 上是减函数，那么，原复合函数))((x g f y =在区间),(b a 上是增函数.
证明：在区间b a ,(）内任取两个数21,x x ，使b x x a <<<21
因为)(x g u =在区间b a ,(）上是减函数，所以)()(21x g x g >,记)(11x g u =,
)(22x g u =即),(,21,21d c u u u u ∈>且
因为函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数，所以)()(21u f u f <,即
))(())((21x g f x g f <，
故函数))((x g f y =在区间b a ,(）上是增函数. （2）复合函数单调性的判断
复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：
)(u f y = 增 ↗
减 ↘
)(x g u = 增 ↗ 减 ↘ 增 ↗ 减 ↘ ))((x g f y =
增 ↗
减 ↘
减 ↘
增 ↗
以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”. （3）复合函数))((x g f y =的单调性判断步骤： ⅰ 确定函数的定义域；
ⅱ 将复合函数分解成两个简单函数：)(u f y =与)(x g u =。 ⅲ 分别确定分解成的两个函数的单调性；
ⅳ 若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数))((x g f y =为增函数； 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数))((x g f y =为减函数。 三、合作探究
１．如图，曲线4321,,,C C C C 分别是指函数x
x
x
x
d y c y b y a y ====和,,的图象，则
d c b a ,,,和1之间的大小关系是（ )
A.d c b a <<<<1
B. c d b a <<<<1
C.d c a b <<<<1
D. c d a b <<<<1
２．下列关系中正确的是（ ）
A 、221
333111
()()()252
<<
B 、122
333111()()()225
<<
C 、212333111()()()522<<
D 、221
33
3111()()()522
<<
四、交流展示
例１求下列函数的定义域和值域
（１）2
2)2
1(x x y -=
（２）9
1312--x
（３）)1,0(1≠>-=a a a y x
（４）()5f x =.
例２已知函数2
27
3x x y -+=，求：（1）函数的值域；（2）函数的单调区间.
例3 如果57(0,1)x
x a a a a -+>>≠且，求x 的取值范围。
五、达标检测
１．设31212,x x
y a y a +-==，其中0,1a a >≠，确定x 为何值时有：
（1）12y y = （2）12y y >
２．求函数12
4325(02)x x y x -=-?+≤<的值域。
指数函数及其性质教案 课题：指数函数及其性质(第1课时) 教材：普通高中课程标准试验教科书人教社A 版，数学必修1 教学内容：第二章，基本初等函数（I ）,2.1.2指数函数及其性质 教学目标 1. 知识目标：理解指数函数的概念，初步掌握指数函数的图像和性质 2. 能力目标：通过定义的引入，图像特征的观察，培养学生的探索发现能力，在学习过程中体会从具体到一般及数形结合的方法 3. 情感目标：通过学生的参与过程，培养他们手脑并用、多思勤练的良好学习习惯和勇于探索、锲而不舍的治学精神。 教学重点﹑难点 重点：指数函数的概念和图像 难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索﹑概括指数函数的性质 教学流程设计 （一）指数函数概念的构建 1.探究：本节问题2中函数)0()2 1 (5730≥=t P t 的解析式与问题1中函数 )20,(073.1* ≤∈=x N x y x 的解析式有什么共同特征？ 师生活动：教师提出问题引导学生把对应关系概括到x a y =的形式，学生思考归纳概括共同特征 2.给出指数函数的概念 一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R 3.剖析概念 （1）规定底数a 大于零且不等于1的理由： 如果a =0，?????≤>无意义 时，当； 恒等于时，当x x a x a x 000 如果,2 1 ,41,)4(,0= -= 一、标题与单位 指向数学学科核心素养的课堂教学设计 ——指数函数及其性质 《数学5 必修A版》（人教版）第二章（2.1.2） 建宁一中肖秀勇 二、教学设计 （一）内容和内容解析 本节课的内容在知识体系上起到承上启下的作用。这是在学生已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上进一步研究指数函数以及指数函数的图像与性质。在实际生活中应用也非常广泛。它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究。这节课在授课的时候借助了空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系；构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。 我根据所教班级的实际情况，我把这部分内容分为两节课来讲。其一，探究图象及其性质；其二，指数函数及其性质的应用。这是第一节课，所以所讲的内容是“探究图象及其性质”。作为常见函数，它一方面可以进一步深化学生对函数的理解，使学生得到较系统的函数知识和研究函的方法，另一方面也为学习对数函数、幂函数以及等比数列的学打习下坚实的基础。 （二）目标和目标解析 1、知识目标：理解并掌握指数函数的定义，熟悉指数函数的图像特点及其性质。能画出指数函数的简图，会判断指数函数的单调性，并能根据指数函数的单调性判断同底幂的大小。 2、能力目标：一方面培养学生运用信息技术解决数学问题的能力；另一方面提高学生观察分析、类比归纳和问题探究的能力。 3、情感目标：通过主动探究，合作交流学习，使学生养成积极思考，勇于探索的思想，同时培养学生的团队合作精神。 在直观想象核心素养的形成过程中，学生能够进一步发展几何直观和空间想象能力，增强运用图形和空间想象思考问题的意识，提升数形结合的能力，感悟事物的本质，培养创新思维。在教学过程中通过类比，回顾归纳从图象和解析式这两种不同角度研究函数性质的数学方法，加深对指数函数的认识，让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要；同时通过本节课的学习，使学生获得研究函数的规律和方法；培养学生主动学习、合作交流的意识。 （三）教学问题诊断分析 2.1.2 指数函数及其性质（第一课时） 1、若函数f(x)＝3x ＋3－x 与g(x)＝3x －3－x 的定义域为R ，则( ) A ．f(x)与g(x)均为偶函数 B ．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数 C ．f(x)与g(x)均为奇函数 D ．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数 2、已知函数f(x)＝??? 2x ＋1，x ＜1 x 2＋ax ，x≥1，若f[f(0)]＝4a ，则实数a 等于( ) A.12 B.45 C ．2 D ．9 3．不论a 取何正实数，函数f(x)＝a x ＋1－2恒过点( ) A ．(－1，－1) B ．(－1,0) C ．(0，－1) D ．(－1，－3) 4、使不等式23x －1＞2成立的x 的取值为( ) A ．(23，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(13，＋∞) D ．(－13，＋∞) 5、为了得到函数y ＝3×(13)x 的图象，可以把函数y ＝(13)x 的图象( ) A ．向左平移3个单位长度 B ．向右平移3个单位长度 C ．向左平移1个单位长度 D ．向右平移1个单位长度 6、在同一平面直角坐标系中，函数f(x)＝ax 与g(x)＝a x (a ＞0且a≠1)的图象可能是( ) 7、当x>0时，指数函数f(x)＝(a －1)x <1恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．a>2 B ．1 (1) y =2 (2) y =(-2)x (3) y = -2x 2.1.2指数函数及其性质（2个课时） 一. 教学目标： 1知识与技能 ① 通过实际问题了解指数函数的实际背景； ② 理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质 ③ 体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想； 2 ?情感、态度、价值观 ① 让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理 ② 培养学生观察问题，分析问题的能力 . 3.过程与方法 展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质 . 二. 重、难点 重点：指数函数的概念和性质及其应用 . 难点：指数函数性质的归纳，概括及其应用 . 三. 学法与教具： ① 学法：观察法、讲授法及讨论法 . ② 教具：多媒体. 第一课时 一.教学设想： 1. 情境设置 ①在本章的开头，问题（1）中时间x 与GDP 值中的y=1.073x （x ?x 乞20）与问题 ⑵ ②这两个函数有什么共同特征 二.讲授新课 指数函数的定义 般地，函数y 二a x （ a >0且a 工1）叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义 域为R . 提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么? 中时间t 和C-14含量P 的对应关系P=[（ i 1 ）r30]t ，请问这两个函数有什么共同特征 2 把 P=[( 1)5730 ]变成 ^[(1)5730 ]t 从而得出这两个关系式中的底数是一个正数, 自变量 为指数，即都可以用 X y=a ( a >0且a 丰1来表示) 小结：根据指数函数的定义来判断说明：因为 a >0, x是任意一个实数时，a x是一个 确定的实数，所以函数的定义域为实数集R. 卄当x >0时,a x等于0 右a =0, 当x兰0时,a x无意义 1 1 若a v0,如y =(-2)x,先时，对于x二-，x 等等，在实数范围内的函数值不存在. 6 8 若a=1, y=1x=1,是一个常量，没有研究的意义，只有满足y二a x(a ■ 0,且a = 1)的 1 形式才能称为指数函数，a为常数，象y=2-3 x,y=2\ y y =3x5,y =3x? 1等等，不符 合y二a x(a ? 0且a =1)的形式，所以不是指数函数 我们在学习函数的单调性的时候，主要是根据函数的图象，即用数形结合的方法来研究.下面我们通过 先来研究a >1的情况 x x-3.00-2.50-2.00-1.50-1.000.000.50 1.00 1.50 2.00 y =211 41 2 124 (4) y = 7.(5) y=x2 2 (6) y=4x2 (7) y =x x(8) y = (a -if (a > i，且a--2) 2.1.2 指数函数及其性质（一） 一、学习目标：了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念和意义，掌握指数函数 的图象和性质；本节课的重点是在理解指数函数定义的基础上掌握指数函数的图象和性质， 本节课的难点是弄清楚底数a对于指数函数图象和性质的影响。 二、问题引领： 1、指数函数的概念、图象和性质 2、指数函数图象分布图： 如图，,,,A B C D 分别为指数函数 ,,,x x x x y a y b y c y d ====的图象，则,,,a b c d 与 0、1的大小关系为01a b c d <<<<<。 三、典例剖析： 例题1：已知指数函数()(0>=a a x f x 且)1≠a 的图象经过点()2,π，求()()()012f f f -、、的值。 分析：要求()()()012f f f -、、的值，我们需要先求出指数函数()x a x f =的解析式，也就是要先求a 的值。根据函数图象过点()2,π这一条件，可以求得底数a 的值。 解： ()x a x f =的图象经过点()2,π， ()2f π∴= 即2 a π=，解得1 2 a π= ()2x f x π∴=，即：()( )()10 12 1 01,12f f f ππππ -====-== 。 点评：求函数解析式的典型方法是待定系数法，求指数函数需要待定的系数只有一个a ，只需要一个已知条件，就可以确定一个指数函数。 例题2：1、设1111333b a ???? <<< ? ????? ，求,,a b a a a b 的大小关系。 2、 比较235 4 0.5,1.2,1的大小。 分析：利用指数函数的单调性和特殊点比较大小。 解：1、因为函数13x y ?? = ??? 在R 上为减函数，又由1111333b a ????<<< ? ?????， 所以得：01a b <<<， 因为当01a <<时，函数x y a =为减函数，又a b <， 所以a b a a >，因为函数x y a =与x y b =在R 上同为减函数且当0x >时， 随着x 的增大，函数x y a =比函数x y b =减小的快，所以a a a b <， 即b a a a a b <<。 指数函数及其性质 【教学目标】 1．知识与技能通过实际问题了解指数函数的实际背景；理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质。体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想； 2．情感、态度、价值观：让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理。培养学 生观察问题，分析问题的能力。 3．过程与方法：展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质。 【教学重难点】 重点：指数函数的概念和性质及其应用。 难点：指数函数性质的归纳，概括及其应用。 【学法与教具】 1．学法：观察法、讲授法及讨论法。 2．教具：多媒体。 【教学过程】 【第一课时】 一、情境设置 ①在本章的开头，问题（1）中时间x 与GDP 值中的 1.073(20)x y x x =∈≤与问题(2) t 1中时间t和C-14含量P的对应关系P=[(2 ，请问这两个函数有什么共同特征。 ②这两个函数有什么共同特征 15730 1][()]2 t P =t 57301把P=[()变成2，从而得出这两个关系式中的底数是一个正数，自变量为指数， 即都可以用x y a =（a ＞0且a ≠1来表示）。 二、讲授新课 指数函数的定义 一般地，函数x y a =（a ＞0且a ≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R 。 提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？ （1）22x y += （2）(2)x y =- （3）2x y =- （4）x y π= （5）2y x = （6）24y x = （7）x y x = （8）(1)x y a =- （a ＞1，且2a ≠） 小结：根据指数函数的定义来判断说明：因为a ＞0，x 是任意一个实数时，x a 是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R 。 00 0,0x x a a x a ?>?=?≤?? x 当时,等于若当时,无意义 若a ＜0，如 1(2),,8 x y x x =-=1先时,对于=等等,6在实数范围内的函数值不存在。 若a =1，11,x y == 是一个常量，没有研究的意义，只有满足(0,1)x y a a a =>≠且的形式才能称为指数函数，5,,3,31x x x a y x y y +===+1 x x 为常数,象y=2-3,y=2等等,不符合 ( 1)x y a a a =>≠且的形式,所以不是指数函数。 我们在学习函数的单调性的时候，主要是根据函数的图象，即用数形结合的方法来研究。 下面我们通过 先来研究a ＞1的情况 用计算机完成以下表格，并且用计算机画出函数2x y =的图象 研究，0＜a ＜1的情况，用计算机完成以下表格并绘出函数1()2 x y =的图象。 1．设13<(13)b <(13)a <1，则( ) A ．a a 0 B ．a <1 C ．0g (0) C ．f (0) 解析：选A.设t ＝1－x ，则y ＝? ????12t ，则函数t ＝1－x 的递减区间为(－∞，＋∞)，即为y ＝? ?? ??121－x 的递增区间． 6．已知实数a ，b 满足等式(12)a ＝(13)b ，则下列五个关系式：①00，得t ＝1.故2x ＝1，即x ＝0. 答案：x ＝0 9．满足f (x 1)·f (x 2)＝f (x 1＋x 2)的一个函数f (x )＝______. 解析：联想指数函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)，有 f (x 1)·f (x 2)＝ax 1·ax 2＝ax 1＋x 2＝f (x 1＋x 2)． 可知f (x 1)·f (x 2)＝f (x 1＋x 2)是指数函数的一个特性．所以填任何一个 指数函数均可，比如f (x )＝2x 或f (x )＝10x 或f (x )＝? ?? ??12x 都可以，答案不唯一． 答案：2x (任何一个指数函数均可) 性质 （第一课时） 教学设计 教学设计 一、教材分析 指数函数是高中学生接触的第一个基本初等函数，是在初中学习了一次函数、二次函数、正（反）比例函数以后对函数学习的推进和加深，是前面学习了函数的集合定义及函数性质以后对函数更深入的第一个实例，指数函数与后面将要学习的两种函数都是高考的热点。 二、学情分析 学生已有了对函数的概念及性质的认识，能够从理性的层面来理解指数函数，学生理解的难点是底数a对函数图像及性质的影响，应用的难点在于指数函数与其他函数的综合运用。 三、教学目标 1、知识与技能：了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念和意义，掌握指数函数的图像、性质及简单应用。 2、过程与方法：借助于几何画板画出具体指数函数，通过自主探索， 培养学生观察、分析、归纳等抽象思维能力，体会数形结合和分类讨论思想以及从特殊到一般的抽象概括的方法。 3、情感态度与价值观：通过画指数函数的图像，体会指数函数图像的重要性，同时体现图形的对称美，激发学习兴趣，努力探究问题。 四、教学重、难点 重点：指数函数的概念、图像及其性质，底数a对函数的影响。 难点：指数函数的图像及性质，底数a对函数的影响。 五、教学学法 教法：启发诱导和合作探究相结合，引导学生主动观察与思考，合作交流、共同探索来完成本节课的教学。 学法：从学生原有的函数概念、性质等知识出发，组织、引导学生独立思考，通过合作交流、共同探索来寻求用从具体到一般的思想解决问题的方法。 六、教学过程 （一）创设情境 有一位大学毕业生到一家私营企业工作，试用期过后，老板对这位大学生很欣赏，有意留下他，就让这位大学生提出待遇方面的要求，这位学生提出了两种方案让老板选择，其一：工作一年，月薪5000；其二：工作一年，第一个月工资20元，以后每个月的工资是上个月的2倍，如果你是老板，你会如何选择呢？ 设计意图：从一个跟指数函数知识相关的有趣例子进行导入，激发学生的兴趣。 2.1.2指数函数及其性质(2) 学习目标： (1) 理解指数函数单调性与底数a 的关系,能运用指数函数的单调性解决问题。（2） (2) 理解指数函数的底数a 对函数图像的影响。 学习难点：指数函数的单调性在比较大小，解不等式及求最值中的应用。 学习难点：分类讨论思想的灵活运用。 学习过程 （一）自主学习 利用函数的单调性，结合图象还可以看出： 1.在[m ，n ]上，)10()(≠>=a a a x f x 且值域是 或 ； 2.若 ，则1)(=x f ；)x (f 取遍所有正数当且仅当∈x ； 3.对于指数函数)10()(≠>=a a a x f x 且，总有=)1(f ； 4.当1a >时，若 ，则)x (f )x (f 21<；当10<x x x x a a 。 例2.函数x a x f =)(,0(>a 且)1≠a 在区间[]2,1上的最大值比最小值大2 a ，求a 的值。 例3.已知3) 41(2-≤x x ，求函数x y )21(=的值域。 （三）巩固练习 1.若,10< 1．函数y ＝πx 的值域是( ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．R D ．(－∞，0) 解析：选A.∵函数y ＝πx 是指数函数，且定义域为R ， ∴y ＝πx 的值域是(0，＋∞)． 2．方程3x －1＝19的解为( ) A ．x ＝2 B ．x ＝－2 C ．x ＝1 D ．x ＝－1 解析：选D.∵3x －1＝19＝3－2，∴x －1＝－2，∴x ＝－1. 3．在同一平面直角坐标系中，函数f (x )＝ax 与g (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)的图象可能是( ) 解析：选B.由题意知，a>0， 故f (x )=ax 经过一、三象限，∴A 、D 不正确． 若g (x )=ax 为增函数，则a>1， 与y =ax 的斜率小于1矛盾，故C 不正确； B 中0 5．不论a 取何正实数，函数f (x )＝a x ＋1－2恒过点( ) A ．(－1，－1) B ．(－1,0) C ．(0，－1) D ．(－1，－3) 解析：选A.f (－1)＝－1，所以，函数f (x )＝a x ＋1－2的图象一定过点(－1，－1)． 6．函数y ＝a x (a >0且a ≠1)在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a 的值为( ) A.12 B ．2 C ．4 D.14 解析：选B.由题意，得a 0＋a 1＝3，∴a ＝2. 7．设0＜a ＜1，则函数f (x )＝1a x －a 2的定义域是________． 解析：a x －a 2＞0?x ＜2. 答案：{x |x ＜2} 8．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a >0，且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________． 解析：由数形结合知，当a >1时图象只有一个公共点； 当00且a ≠1. (1)求a 的值； (2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域． 指数函数及其性质教案 一、教学目标： 1．通过观察、分析，归纳探究指数函数的概念，并能判断给出的具体函数是否是指数函数. 2. 会画指数函数的图象，从借助计算机画出的多个指数函数的图象中，能观察归纳出指数函数的的有关性质。至少能说出四条。 3.能根据图象或指数函数的性质判断两个具体的同底数的指数幂值的大小，以及具体的不同底数而同指数的两个指数幂值的大小. 4. 在学习的过程中，体会探究指数函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的方法等． 二、教学重点、难点： 教学重点：指数函数的概念、图象和性质。 < 教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。 三、教学过程： （一）创设情景： 问题1：某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂x次后,得到的细胞分裂的个数y与x之间,构成一个函数关系,能写出x与y之间的函数关系式吗学生回答:y与x之间的关系式,可以表示为y＝2x 。 问题2：一根1米长的绳子，第1次剪去绳长的一半，第2次再剪去剩余绳子的一半，剪了x 次后，绳子的剩余长度y与x有怎样的关系学生回答:y与x之间的关系式,可以表示为y＝1 x。 () 2 （二）导入新课： 引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量。 设计意图：充实实例，突出底数a的取值范围，让学生体会到数学来源于生产生活实际。函数 y＝2x、y＝ 1 () 2 x分别以0 对应学生用书P 109 基础达标 一、选择题 1．函数y ＝0.22x 的图象是( ) 答案：B 2．函数y ＝(1 7)x 的定义域和值域分别是( ) A ．R ，R B ．(0，＋∞)，(0，＋∞) C ．(0，＋∞)，R D ．R ，(0，＋∞) 答案：D 3．若集合A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，则( ) A ．A B B ．A ?B C ．A B D ．A ＝B 解析：由A ＝{y |y >0}，B ＝{y |y ≥0}得A B . 答案：A 4．(2010·福建厦门高三(上)质量检查)函数y ＝? ???? x 2，x <0， 2x －1，x ≥0的图象大致是( ) 解析：由于f (0)＝20－1＝0，所以函数图象过原点，排除A ；当x <0时，y ＝x 2，则函数f (x )图象在y 轴左侧是开口向上的抛物线的一部分，排除C 和D. 答案：B 5．设函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)，如果f (x 1＋x 2＋…＋x 2010)＝8，那么f (2x 1)·f (2x 2)·…·f (2x 2010)的值等于( ) A ．32 B ．64 C ．16 D ．8 解析：因为f (x 1＋x 2＋…＋x 2010)＝ax 1＋x 2＋…＋x 2010＝8， 所以f (2x 1)·f (2x 2)·…·f (2x 2010) ＝a 2x 1·a 2x 2·…·a 2x 2010＝a 2(x 1＋x 2＋…＋x 2010) ＝(ax 1＋x 2＋…＋x 2010)2＝82＝64. 答案：B 6．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝512－x B ．y ＝(13)1－ x C ．y ＝ (1 2 )x －1 D ．y ＝1－2x 解析：易知C 值域为[0，＋∞)，A 值域为{y |y >0且y ≠1}，D 值域为[0,1)，因此选B. 答案：B 二、填空题 7．指数函数y ＝f (x )的图象经过点(2,4)，那么f (2)·f (4)＝________. 解析：由已知函数图象过(2,4)，令y ＝a x ，得a 2＝4，∴a ＝2，∴f (2)·f (4)＝22×24＝64. 答案：64 8．函数f (x )＝3·a 2x － 1＋4(a >0，且a ≠1)恒过定点P ，则点P 的坐标是________． 解析：令2x －1＝0，解得x ＝12， 则f (12)＝3＋4＝7，∴P (1 2，7)． 答案：(1 2，7) 9．已知a ＝5－1 2 ，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为________． 解析：∵a ＝ 5－1 2 ∈(0,1)， ∴f (x )＝a x 在定义域上为减函数， 由f (m )>f (n )可知m 2.1.2指数函数及其性质教学设计 一、教学目标： 知识与技能：理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力。 过程与方法：通过观察图象，分析、归纳、总结、自主建构指数函数的性质。领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现、分析、解决问题的能力。 情感态度与价值观：在指数函数的学习过程中,体验数学的科学价值和应用价值,培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。 二、教学重点、难点： 教学重点：指数函数的概念、图象和性质。 教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。 三、教学过程： （一）创设情景 问题1：某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂 x 次后,得到的细胞分裂的个数 y 与 x 之间,构成一个函数关系,能写出 x 与 y 之间的函数关系式吗？ 学生回答: y 与 x 之间的关系式,可以表示为y ＝2x 。 问题2： 一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年剩留的质量约是原来的84%.求出这种物质的剩留量随时间(单位:年)变化的函数关系.设最初的质量为1,时间变量用x 表示,剩留量用y 表示。 学生回答: y 与 x 之间的关系式,可以表示为y ＝0.84x 。 引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量。 1．指数函数的定义 一般地，函数()10≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 问题：指数函数定义中，为什么规定“10≠>a a 且”如果不这样规定会出现什么情况？ (1)若a<0会有什么问题？（如2 1,2=-=x a 则在实数范围内相应的函数值不存在） (2)若a=0会有什么问题？（对于0≤x ,x a 无意义） (3)若 a=1又会怎么样？（1x 无论x 取何值,它总是1,对它没有研究的必要.） 师：为了避免上述各种情况的发生,所以规定0>a 且 1≠a . 第2课时指数函数及其性质的应用 [学习目标] 1.理解指数函数的单调性与底数的关系.2.能运用指数函数的单调性解决一些问题. 知识点一指数型复合函数y＝a f(x)(a>0且a≠1)的单调性 (1)复合函数y＝f(g(x))的单调性：当y＝f(x)与u＝g(x)有相同的单调性时，函数y＝f(g(x))单调递增，当y＝f(x)与u＝g(x)的单调性相反时，函数y＝f(g(x))单调递减，简称为同增异减. (2)当a＞1时，函数y＝a f(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0＜a＜1时，函数y＝a f(x)与函数y＝f(x)的单调性相反. 知识点二指数型函数y＝k·a x(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)模型 1.指数增长模型 设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N). 2.指数减少模型 设原有量为N，每次的减少率为p，经过x次减少，该量减少到y，则y＝N(1－p)x(x∈N). 题型一利用指数型函数的单调性比较大小 例1比较下列各组中两个值的大小： (1)1.72.5，1.73；(2)0.6－1.2，0.6－1.5； (3)2.3－0.28，0.67－3.1. 解(1)(单调性法)由于1.72.5与1.73的底数都是1.7，故构造函数y＝1.7x，则函数y＝1.7x在R上是增加的. 又2.5<3，所以1.72.5<1.73. (2)(单调性法)由于0.6－1.2与0.6－1.5的底数都是0.6，故构造函数y＝0.6x，则函数y＝0.6x在R 上是减少的. 因为－1.2>－1.5，所以0.6－1.2<0.6－1.5. (3)(中间量法)由指数型函数的性质，知 2.3－0.28<2.30＝1， 0.67－3.1>0.670＝1， 所以2.3－0.28<0.67－3.1. 反思与感悟 1.对于底数相同、指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数型函数的单调 指数函数及其性质 编稿：丁会敏 审稿：王静伟 【学习目标】 1.掌握指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性，明确指数函数的定义域； 2.掌握指数函数图象： (1)能在基本性质的指导下，用列表描点法画出指数函数的图象，能从数形两方面认识指数函数的性质； (2)掌握底数对指数函数图象的影响； (3)从图象上体会指数增长与直线上升的区别． 3.学会利用指数函数单调性来比较大小，包括较为复杂的含字母讨论的类型； 4.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法； 5.通过对指数函数的研究，要认识到数学的应用价值，更善于从现实生活中发现问题，解决问题． 【要点梳理】 要点一、指数函数的概念： 函数y=a x (a>0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R. 要点诠释： （1）形式上的严格性：只有形如y=a x (a>0且a ≠1)的函数才是指数函数．像23x y =?，12x y =， 31x y =+等函数都不是指数函数． （2）为什么规定底数a 大于零且不等于1： ①如果0a =，则000x x ?>??≤??x x 时，a 恒等于， 时,a 无意义. ②如果0a <，则对于一些函数，比如(4)x y =-，当11 ,,24 x x = =???时，在实数范围内函数值不存在． ③如果1a =，则11x y ==是个常量，就没研究的必要了． 要点诠释： （1）当底数大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论。 （2）当01a <<时，,0x y →+∞→；当1a >时,0x y →-∞→。 当1a >时，a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快。 当01a <<时，a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快。 （3）指数函数x y a =与1 x y a ?? = ??? 的图象关于y 轴对称。 要点三、指数函数底数变化与图像分布规律 （1） ① x y a = ②x y b = ③x y c = ④x y d = 则：0＜b ＜a ＜1＜d ＜c 又即：x ∈(0,+∞)时，x x x x b a d c <<< （底大幂大） x ∈(－∞,0)时，x x x x b a d c >>> （2）特殊函数 11 2,3, (), ()23 x x x x y y y y ====的图像： 要点四、指数式大小比较方法 (1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法 (3)分类讨论法 (4)比较法 比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为： ①若0A B A B ->?>；0A B A B -，或1A B <即可． 【典型例题】 类型一、指数函数的概念 例1．函数2 (33)x y a a a =-+是指数函数，求a 的值． 【答案】2 【解析】由2 (33)x y a a a =-+是指数函数， 可得2331,0,1, a a a a ?-+=?>≠?且解得12, 01,a a a a ==??>≠?或且，所以2a =． 【总结升华】判断一个函数是否为指数函数： （1）切入点：利用指数函数的定义来判断； 指数函数及其性质 一 问题1：某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂 x 次后,得到的细胞分裂的个数 y 与 x 之间,构成一个函数关系,能写出 x 与 y 之间的函数关系式吗？ y 与 x 之间的关系式,可以表示为y ＝2x 。 问题2： 一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年剩留的质量约是原来的84%.求出这种物质的剩留量随时间(单位:年)变化的函数关系.设最初的质量为1,时间变量用x 表示,剩留量用y 表示。 y 与 x 之间的关系式,可以表示为y ＝0.84x 。 1．指数函数的定义 一般地，函数()10≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 问题：指数函数定义中，为什么规定“10≠>a a 且”如果不这样规定会出现什么情况？ (1)若a<0会有什么问题？（如2 1 ,2=-=x a 则在实数范围内相应的函数值不存在） (2)若a=0会有什么问题？（对于0≤x ,x a 无意义） (3)若 a=1又会怎么样？（1x 无论x 取何值,它总是1,对它没有研究的必要.） 师：为了避免上述各种情况的发生,所以规定0>a 且 1≠a . 练1：指出下列函数那些是指数函数： ()x x x x x y y y y x y y ?? ? ??==-=-===-ππ1)6()5(4)4(4)3()2(4)1(4 练2：若函数是指数函数，则a=------ 2．指数函数的图像及性质 在同一平面直角坐标系内画出指数函数x y2 =与 x y? ? ? ? ? = 2 1 的图象（画图步骤： 列表、描点、连线）。由学生自己画出x y3 =与 x y? ? ? ? ? = 3 1 的函数图象 然后，通过两组图象教师组织学生结合图像讨论指数函数的性质。 特别地，函数值的分布情况如下： （四）巩固与练习 例1：比较下列各题中两值的大小 指数函数及其性质题型及解析 1.下列函数中，是指数函数的是（） ①y=（-2）x②y=（）x③y=x2 ④y=x-1⑤y=5x+1⑥y=x4⑦y=3x⑧y=﹣2?3x ⑨y=πx⑩y=（-3）x 分析：根据指数函数y=a x（a＞0且a≠1）的定义进行判断即可． 解：根据指数函数y=a x（a＞0且a≠1）的定义，得； ①中y=（﹣2）x底数﹣2＜0，不是指数函数，②中y=是指数函数，③，④都是幂函数，不是指数函数； ⑤y=5x+1不是指数函数；⑥y=x4是幂函数，不是指数函数；⑦y=3x是指数函数；⑧y=﹣2?3x不是指数函数． ⑨满足指数函数的定义，故正确；⑩﹣3＜0，不是指数函数，故错误． 2.为了得到函数y=2x﹣3﹣1的图象，只需把函数y=2x上所有点（） A．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 B．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度分析：函数图象的平移问题：在x上的变化符合“左加右减”，而在y上的变化符合“上加下减”． 解：函数图象的平移问题：在x上的变化符合“左加右减”，而在y上的变化符合“上加下减”．把函数y=2x 的图象向右平移3个单位长度得到函数y=2x﹣3的图象，再将所得图象再向下平移1个单位长度，得到函数y=2x﹣3﹣1的图象，故选A 3.若指数函数的图象经过点（2／3，4），求该函数的解析式及f（﹣1／2）的值 分析：设出指数函数的解析式，利用函数图象经过点的坐标求出函数解析式，再计算f（﹣1／2）的值 解：设指数函数y=f（x）=a x（a＞0且a≠1），且函数的图象经过点（2／3，4），∴=4，解得a=8； ∴该函数的解析式为y=f（x）=8x，∴f（﹣）=== 4.①若函数y=（3a﹣1）x为指数函数，求a的取值范围 分析：由函数y=（3a﹣1）x为指数函数，知，由此能求出a的取值范围；根据指数函数的定义可得 求解即可 ， 解：∵函数y=（3a﹣1）x为指数函数，∴，解得a＞，且a，∴a的取值范围为（，）∪（，+∞）． ②函数y=（2a2﹣3a+2）a x是指数函数，求a的取值 解：若函数y=（2a2﹣3a+2）a x是指数函数，则解得：a= 5.已知x＞0，指数函数y=（a2﹣8）x的值恒大于1，求实数a的取值范围 分析：利用指数函数的性质，可知其底数a2﹣8＞1，解之即得实数a的取值范围 解：因为x＞0，指数函数y=（a2﹣8）x的值大于1恒成立，∴a2﹣8＞1，即a2＞9，解得a＞3或a＜﹣3． ∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） 6.已知指数函数f（x）=（a﹣1）x.（1）若f（x）在R上是增函数，求a的取值范围（2）若f（x）是R上的减函数，求a的取值范围 分析：根据指数函数的图象和性质，即可得到答案．欲使得指数函数f（x）=（a﹣1）x是R上的增函数，只须其底数大于1即可，从而求得a的取值范围．欲使得指数函数f（x）=（a﹣1）x是R上的减函数，只须其底数小于1即可，从而求得a的取值范围 解：（1）指数函数f（x）=（a﹣1）x在R上是增函数，∴a﹣1＞1，即a＞2，故a的取值范围是（2，+∞）（2）指数函数f（x）=（a﹣1）x在R上是减函数，∴0＜a﹣1＜1，即1＜a＜2，故a的取值范围是（1，2）7.在同一坐标系作出下列函数的图象，并指出它们与指数函数y=2x的图象的关系 （1）y=2x+1与y=2x+2；（2）y=2x﹣1与y=2x﹣2；（3）y=2x﹣1与y=2x+1． 分析：（1）y=2x+1的图象由函数y=2x的图象向左平移1单位得到；y=2x+2的图象由函数y=2x的图象向左平移2单位得到；（2）y=2x﹣1的图象由函数y=2x的图象向右平移1个单位得到；y=2x﹣2的图象由函数y=2x的图象向右平移指数函数及其性质教学设计
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212指数函数及其性质第1—2课时
指数函数及其性质
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2.1.2指数函数及其性质(2)
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