立体几何学习要注重入门训练
王丕玉;
【期刊名称】《神州》
【年(卷),期】2012(000)026
【摘要】从平面几何的学习到立体几何的学习,是一次认识思维上的飞跃。在已有的平面图知识的基础上,建立空间观念,实现从平几到立几的观念提升和飞跃不是一蹴而就的,要有一个循序渐进,逐步提高的过程。从一开始就应严格要求,不敷衍了事,养成一丝不苟的良好学风。
【总页数】1页(P.186-186)
【关键词】几何学习;立体几何;训练;平面几何;空间观念;循序渐进;严格要求;平面图
【作者】王丕玉;
【作者单位】四川省剑阁中学;
【正文语种】英文
【中图分类】G633.63
【相关文献】
1.防止平面几何对立体几何学习的负迁移 [J], 冯常金
2.立体几何中要注重平面几何定理的运用 [J], 彭欣
3.就“空间的平行直线”谈立体几何的入门教学 [J], 张晓庆
4.立体几何入门教学初探 [J], 覃倩
5.立体几何入门——初学立体几何的障碍及解决对策 [J], 曹世国
… 数学立体几何练习题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．如图，在正方体－A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为 A 1 B 和上 的点，A 1M ＝＝，则与平面1C 1C 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．垂直 D ．不能确定 2．将正方形沿对角线折起，使平面⊥平面，E 是中点，则AED ∠的大小为（ ） A.45 B.30 C.60 D.90 ] 3．，，是从P 引出的三条射线，每两条的夹角都是60o，则直线 与平面所成的角的余弦值为（ ） A ．12 B 。 3 C 。 3 D 。 6 4．正方体—A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是1与1的中点，则直线与D 1F 所成角的余弦值是 A ．15 B 。13 C 。12 D 。 3 5． 在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，O 是底面的中心，E 、 F 分别是1CC 、的中点，那么异面直线和1FD 所成的角的余弦值等于（ ） A ． 5 10 B ．32 C ． 5 5 D ． 5 15
6．在正三棱柱1B 1C 1中，若2，A A 1=1，则点A 到平面A 1的距离为（ ） A ． 4 3 B ． 2 3 C ． 4 33 D ．3 ： 7．在正三棱柱1B 1C 1中，若1,则1与C 1B 所成的角的大小为 （ ） o B. 90o o D. 75o 8．设E ，F 是正方体1的棱和D 1C 1的中点，在正方体的12条面对 角线中，与截面A 1成60°角的对角线的数目是（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．6 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9.在正方体－A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱1和1的中点，则 〈CM ，1D N 〉的值为. 10．如图，正方体的棱长为1，C 、D 分别是两条棱的中点， A 、B 、M 是顶点， 那么点M 到截面的距离是 . 11．正四棱锥的所有棱长都相等，E 为中点，则直线与截面所成的角为 ． 12．已知正三棱柱1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则 直线与平面B 1所成角的正弦值为 . ： 13．已知边长为的正三角形中，E 、F 分别为和的中点，⊥面， 且2，设平面α过且与平行，则与平面α间的距离 A B | D C
立体几何初步 1、柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱： 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 （2）棱锥 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与 高的比的平方。 （3）棱台： 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点 （4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成 几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。 （5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台：定义：以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。 （7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 2、空间几何体的三视图 定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、 俯视图（从上向下） 注：正视图反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体的高度和宽 度。 3、空间几何体的直观图——斜二测画法 斜二测画法特点：①原来与x 轴平行的线段仍然与x 平行且长度不变； ②原来与y 轴平行的线段仍然与y 平行，长度为原来的一半。 4、柱体、锥体、台体的表面积与体积 （1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 （2）特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，'h 为斜高，l 为母线） ch S 直棱柱侧面积rh S 2圆柱侧'21ch S 正棱锥侧面积rl S 圆锥侧面积')(21 21h c c S 正棱台侧面积l R r S )(圆台侧面积l r r S 2圆柱表l r r S 圆锥表2 2R Rl rl r S 圆台表（3）柱体、锥体、台体的体积公式 V Sh 柱2V Sh r h 圆柱13V Sh 锥h r V 2 31圆锥''1 ()3V S S S S h 台''2 211()()33V S S S S h r rR R h 圆台（4）球体的表面积和体积公式：V 球=3 43R ；S 球面=2 4R 4、空间点、直线、平面的位置关系 公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。 应用：判断直线是否在平面内 用符号语言表示公理1：,,,A l B l A B l 公理2：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 符号：平面α和β相交，交线是a ，记作α∩β＝a 。 符号语言：,P A B A B l P l I I 公理2的作用： ①它是判定两个平面相交的方法。 ②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。
立体几何试题 一．选择题（每题4分，共40分） 1.已知AB 0300300150空间，下列命题正确的个数为（ ） （1）有两组对边相等的四边形是平行四边形,（2）四边相等的四边形是菱形 （3）平行于同一条直线的两条直线平行 ;（4）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 A 1 B 2 C 3 D 4 3.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系是（ ） A 平行 B 相交 C 在平面内 D 平行或在平面内 4.已知直线m αα过平面α外一点，作与α平行的平面，则这样的平面可作（ ） A 1个 或2个 B 0个或1个 C 1个 D 0个 （ 6.如图,如果MC ⊥菱形ABCD 所在平面,那么MA 与BD 的位置关系是( ) A 平行 B 垂直相交 C 异面 D 相交但不垂直 7.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有（ ） A 0个 B 1个 C 无数个 D 1个或无数个 8.下列条件中,能判断两个平面平行的是( ) A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B 一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 ) 9.对于直线m ,n 和平面,αβ,使αβ⊥成立的一个条件是( ) A //,,m n n m βα⊥? B //,,m n n m βα⊥⊥ C ,,m n m n α βα⊥=? D ,//,//m n m n αβ⊥ 10 .已知四棱锥,则中,直角三角形最多可以有( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 二．填空题（每题4分，共16分）
立体几何大题专练 1、如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别为AB 、PC 的中点； (1)求证：MN//平面PAD (2)若∠PDA=45°，求证：MN ⊥平面PCD 2（本小题满分12分） 如图，在三棱锥P ABC -中，,E F 分别为,AC BC 的中点． （1）求证：//EF 平面PAB ； （2）若平面PAC ⊥平面ABC ，且PA PC =，90ABC ∠=?， 求证：平面PEF ⊥平面PBC ． P A C E F
（1）证明：连结EF , E 、F 分别为AC 、BC 的中点， //EF AB ∴. ……………………2分 又?EF 平面PAB ，?AB 平面PAB ， ∴ EF ∥平面P AB . ……………………5分 （2）PA PC =，E 为AC 的中点， PE AC ∴⊥ ……………………6分 又平面PAC ⊥平面ABC PE ∴⊥面ABC ……………………8分 PE BC ∴⊥……………………9分 又因为F 为BC 的中点， //EF AB ∴ 090,BC EF ABC ⊥∠=∴……………………10分 EF PE E = BC ∴⊥面PEF ……………………11分 又BC ?面PBC ∴面PBC ⊥面PEF ……………………12分 3. 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=BC ，点D 是AB 的中点。 （1）求证：BC 1//平面CA 1D ； （2）求证：平面CA 1D⊥平面AA 1B 1B 。 4．已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是 AB 、PC 的中点． (1) 求证：EF ∥平面PAD ； (2) 求证：EF ⊥CD ； (3) 若∠PDA ＝45°，求EF 与平面ABCD 所成的角的大小．
2 立体几何训练题 -、选择题：每题 4分，共40分. 1. 下列图形中，不是正方体的展开图的是 ---------------------- （ ） 2. 已知直线m 〃平面〉，直线n 在〉内，贝U m 与n 的关系为（ ） A 平行 B 相交 C 相交或异面 D 平行或异面 3. 设A A 是正方体的一条棱，这个正方体中与 A A 平行的棱共有（ ） A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 4 条 4?若长方体三个面的面积分别是 、、2 , ,3，-、6,则长方体的对角线的长等于（ A 2.2 B 3.2 C .3 D .6 5. 如图，如果 MC —菱形ABCD 所在平面，那么 MA 与BD 的位置关系是（ ） A 平行 B 垂直相交 C 异面 D 相交但不垂直 6. 下列条件中，能判断两个平面平行的是（ ） A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面； B 一个平面内的两条直线平行于另一 个平面； C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面； D 一个平面内任何一条直线都平行于 另一个平面 7. 已知直线m _平面a ，直线n 平面3，下列说法正确的是（） A 若 a// 3,则 m _ n ; B 若 a _ 3，贝U m//n ; C 若 m//n ，则 a - 3 ； D 若 m_n , 则 a // 3。 & 一个正三棱锥的底面边长为 6.3 ，高为4 ,则这个正三棱锥的侧面积是（ ） A 24 、3 B 36^3 C 45.3 D 72. 3 -i-r-/ 厶At I >—11 I-、，厶At A-t t r —z~ 4二，那么圆柱的体积等于 （ ) 9.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是 3 A 80cm 3 B 112cm 3 C 56 cm D 3 336cm 10?球面上有二个点 A, B , C,且 AB= 3 , ,BC= 4 , AC= 5 ,球心至U 平面 ABC 的距离为球的 半 1
数学立体几何练习题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上 的点，A 1M ＝AN ＝ 2a 3 ，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．垂直 D ．不能确定 2．将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面CBD ，E 是CD 中点，则AED ∠的大小为（ ） A.45 B.30 C.60 D.90 3．PA ，PB ，PC 是从P 引出的三条射线，每两条的夹角都是60o，则直线PC 与平面PAB 所成的角的余弦值为（ ） A ． 12 B C D 4．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1与CC 1的中点，则直线ED 与D 1F 所成角的余弦值是 A ． 15 B 。13 C 。 12 D 5． 在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是1CC 、 AD 的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成的角的余弦值等于（ ） A ．510 B ．3 2 C ．55 D ．515 6．在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB=2，A A 1=1，则点A 到平面A 1BC 的距离为（ ） A ． 4 3 B ． 2 3 C ． 4 3 3 D ．3 7．在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB=2BB 1,则AB 1与C 1B 所成的角的大小为 （ ） A.60o B. 90o C.105o D. 75o 8．设E ，F 是正方体AC 1的棱AB 和D 1C 1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面 A 1ECF 成60°角的对角线的数目是（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．6 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱AA 1和BB 1的中点，则 sin 〈CM ，1D N 〉的值为_________. 10．如图，正方体的棱长为1，C 、D 分别是两条棱的中点， A 、B 、M 是顶点， 那么点M 到截面ABCD 的距离是 . A B M D C
空间立体几何基础练习题 1、如图，平行四边形ABCD 中，CD BD ⊥，正方形ADEF 所在的平面和平面ABCD 垂直，H 是BE 的中点，G 是,AE DF 的交点. ⑴求证： //GH 平面CDE ；⑵求证： BD ⊥平面CDE . 2、如图，四棱锥S ABCD -的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，E 是SD 的中点． （Ⅰ）求证：//SB 平面EAC ；（Ⅱ）求证：AC BE ⊥． 3、长方体1111ABCD A B C D -中11,2AB AA AD ===.点 E 为ＡＢ中点. (I)求三棱锥1A ADE -的体积；(II)求证：1A D ⊥平面11ABC D ；（III ）求证：1BD // 平面1A DE .
4、如图，矩形ABCD 中，ABE AD 平面⊥，2===BC EB AE ，F 为CE 上的点，且ACE BF 平面⊥. （Ⅰ）求证：BCE AE 平面⊥；（Ⅱ）求证；BFD AE 平面//；（Ⅲ）求三棱锥BGF C -的体积. 5、如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥底面ABCD ，M 、N 分别为PA 、BC 的中 点，且PD=AD=2。 （1）求证：MN ∥平面PCD ； （2）求证：平面PAC ⊥平面PBD ；（3）求三棱锥P-ABC 的体积。 6、四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，AB AC =, 1,2==CD BC ．并且侧面ABC ⊥底面 BCDE ， （Ⅰ）取CD 的中点为F ，AE 的中点为G ，证明：FG ∥面ABC ； （Ⅱ）若M 为BC 中点,求证：DM AE ⊥. A B C D E F G A B C D E M G F
C D O x E 'A 向量法图 y z B C D O B E 'A H 立体几何综合训练（一）答案 1．（2013广东）如图1,在等腰直角三角形ABC 中,90A ∠=?,6BC =,,D E 分别是 ,AC AB 上的点,2CD BE ==O 为BC 的中点.将ADE ?沿DE 折起,得到如图2所 示的四棱锥A BCDE '-,其中3A O '=(Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ； (Ⅱ) 求二面角A CD B '--的平面角的余弦值. 1.【答案】(Ⅰ) 在图1中,易得3,32,22OC AC AD === 连结,OD OE ,在OCD ?中,由余弦定理可得 222cos455OD OC CD OC CD =+-??= 由翻折不变性可知22A D '=, 所以2 2 2 A O OD A D ''+=,所以A O OD '⊥, 理可证A O OE '⊥, 又OD OE O =,所以A O '⊥平面BCDE . (Ⅱ) 传统法:过O 作OH CD ⊥交CD 的延长线于H ,连结A H ', 因为A O '⊥平面BCDE ,所以A H CD '⊥, 所以A HO '∠为二面角A CD B '--的平面角. 结合图1可知,H 为AC 中点,故322OH = ,从而22 30A H OH OA ''=+= 所以15 cos OH A HO A H '∠==', 所以二面角A CD B '--的平面角 . C O B D E C D O B E ' A 图1 图2
的余弦值为 155 . 向量法:以O 点为原点,建立空间直角坐标系 O xyz -如图所示, 则 ( 3A ',()0,3,0C -,()1,2,0D - 所以(3CA '=,(1,3DA '=- 设(),,n x y z =为平面A CD '的法向量,则 00n CA n DA ?'?=?? '?=??,即330230 y z x y z ?+=??-++=??,解得3y x z x =-???=??,令1x =,得(1,1,3n =- 由(Ⅰ) 知,(3OA '=为平面CDB 的一个法向量, 所以15 cos ,35n OA n OA n OA '?'= ==?' , 即二面角A CD B '--的平面角的余弦值为15 5 . 2.解: (1)证明:连接,BD AC 交于O 点 PB PD = PO BD ∴⊥ 又 ABCD 是菱形 BD AC ∴⊥ 而AC PO O ?=BD ∴⊥面PAC ∴BD ⊥PC (2) 由(1)BD ⊥面PAC ????== 45sin 3262121PAC PEC S S △△=32 236=?? 1111 32322 P BEC B PEC PEC V V S BO --?== ??=??= 3.【答案】
高一必修二经典立体几何专项练习题 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系： （1）直线在平面内——有无数个公共点 （2）直线与平面相交——有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行——没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示 a α a∩α=A a∥α 2.2.直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定 1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 简记为：线线平行，则线面平行。 符号表示： a α b β => a∥α a∥b 2.2.2 平面与平面平行的判定 1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 符号表示： aβ bβ a∩b =pβ∥α a∥α b∥α 2、判断两平面平行的方法有三种： （1）用定义； （2）判定定理； （3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
2.2.3 —2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质 1、直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为：线面平行则线线平行。 符号表示： a ∥α a β a∥b α∩β= b 作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。 2、两个平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 符号表示： α∥β α∩γ=a a∥b β∩γ=b 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1直线与平面垂直的判定 1、定义：如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。 P a L 2、直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视； b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。 2.3.2平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A
立体几何选择填空训练题1 一、选择题 1、已知正四棱锥1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角的正弦 值等于 （ ） A ．2 3 B C D ．1 3 【答案】A 2、已知正四棱锥ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于 （A ）23 （B ） （C （D ）1 3 3、设l 为直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是 （ B ） A ．若//l α,//l β,则//αβ B ．若l α⊥,l β⊥,则//αβ C ．若l α⊥,//l β,则//αβ D ．若αβ⊥,//l α,则l β⊥ 4、平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为 （ B ） （A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π 5已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中 ，2AB =，1CC =E 为1CC 的中点，则直线1AC 与平面BED 的距离为 ( D ) （A ）2 （B （C （D ）1 6、设l 是直线，a ，β是两个不同的平面 A. 若l ∥a ，l ∥β，则a ∥β B. 若l ∥a ，l ⊥β，则a ⊥β C. 若a ⊥β，l ⊥a ，则l ⊥β D. 若a ⊥β, l ∥a ，则l ⊥β 【答案】B 7、下列命题正确的是（ ） A 、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B 、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C 、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D 、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 【答案】C 8、已知三棱柱ABC - A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 内的射影
六、立体几何选择填空题 1．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点E ，F 分别是线段AB ，11C D 上的动点，点P 是上底面1111A B C D 内一动点，且满足点P 到点F 的距离等于点P 到平面11ABB A 的距离，则当点P 运动时，PE 的最小值是（ ） A ．5 B ．4 C ． D ． 2．如图在一个二面角的棱上有两个点 A ， B ，线段,A C B D 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，=46,AB cm AC cm =， 8,BD cm CD ==，则这个二面角的度数为（ ） A ．30? B ．60? C ．90? D ．120? 3．如图，P 是正方体1111ABCD A B C D -对角线1AC 上一动点， 设 AP 的长度为x ，若PBD ?的面积为(x)f ，则(x)f 的图象大致是（ ） 4．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1 A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线A B 与1C C 所成的角的余弦值为（ ） （A （B （C （D ）34 5．正方形ABCD 的边长为2，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，且1AE =，1 2 BF = ，将此正 方形沿DE 、DF 折起，使点A 、C 重合于点P ，则三棱锥P DEF -的体积是（ ） A ． 13 B C D 6．如图所示，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝PD.则棱锥Q －ABCD 的体积与棱锥P －DCQ 的体积的比值是（ ） A. 2:1 B. 1:1 C. 1:2 D. 1:3 7．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A BD C --，有如下四个结论： ①AC ⊥BD ;②△ACD 是等边三角形;③AB 与平面BCD 所成的角为60°; ④AB 与CD 所成的角为60°.其中错误．． 的结论是 A ．① B ．② C ．③ D ．④ 8．如图是正方体或四面体,P,Q,R,S 分别是所在棱的中点,这四个点不共面的一个图是( ) 9．如图，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为1的正方形， 若∠A 1AB=∠ A 1AD=60o，且A 1A=3，则A 1C 的长为（ ） A B ． C D 10．如图，在正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，AB ＝BC ＝1， 动点P ，Q 分别在线段C 1D ，AC 上，则线段PQ 长度的最小值是( )． B. C. 23 11．如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2 的等边三角形，侧棱长为3，则BB 1与平面AB 1C 1所成的角为( )． A. 6π B. 4π C.3π D. 2 π 12．如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1A B 上存在 一点P 使得1AP D P +取得最小值，则此最小值为 （ ） A ．2 B ．2 C ．2 D
人教A 必修2第一章空间几何体综合练习卷 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.共150分. 第Ⅰ卷（选择题，共50分） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．不共面的四点可以确定平面的个数为 （ ） A ． 2个 B ． 3个 C ． 4个 D ．无法确定 2．利用斜二测画法得到的 ①三角形的直观图一定是三角形； ②正方形的直观图一定是菱形； ③等腰梯形的直观图可以是平行四边形； ④菱形的直观图一定是菱形. 以上结论正确的是 （ ） A ．①② B ． ① C ．③④ D ． ①②③④ 3．棱台上下底面面积分别为16和81,有一平行于底面的截面面积为36,则截面戴的两棱台高 的比为 （ ） A ．1∶1 B ．1∶1 C ．2∶3 D ．3∶4 4．若一个平行六面体的四个侧面都是正方形,则这个平行六面体是 （ ） A ．正方体 B ．正四棱锥 C ．长方体 D ．直平行六面体 5．已知直线a 、b 与平面α、β、γ，下列条件中能推出α∥β的是 （ ） A ．a ⊥α且a ⊥β B ．α⊥γ且β⊥γ C ．a ?α，b ?β，a ∥b D ．a ?α，b ?α，a ∥β，b ∥β 6．如图所示，用符号语言可表达为（ ） A ．α∩β＝m ，n ?α，m ∩n ＝A B ．α∩β＝m ，n ∈α，m ∩n ＝A C ．α∩β＝m ，n ?α，A ?m ，A ? n D ．α∩β＝m ，n ∈α，A ∈m ，A ∈ n 7．下列四个说法 ①a //α，b ?α,则a // b ②a ∩α＝P ，b ?α，则a 与b 不平行 ③a ?α，则a //α ④a //α，b //α，则a // b 其中错误的说法的个数是 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 8．正六棱台的两底边长分别为1cm,2cm,高是1cm,它的侧面积为 （ ） A ．279cm 2 B ．79cm 2 C ．32 3cm 2 D ．32cm 2 9．将一圆形纸片沿半径剪开为两个扇形，其圆心角之比为3∶4. 再将它们卷成两个圆锥侧 面，则两圆锥体积之比为 （ ） A ．3∶4 B ．9∶16 C ．27∶64 D ．都不对 10．将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使BD =a ，则三棱锥D —ABC 的体积为 （ ）
高一数学（必修2）第一章 空间几何体 [基础训练] 一、选择题 1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( ) A .棱台 B .棱锥 C .棱柱 D .都不对 2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ） A . 3 B . 23 C . 33 D . 43 3．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在 同一球面上，则这个球的表面积是（ ） A ．25π B ．50π C ．125π D ．都不对 4．正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ） A ．3:1 B ．3:2 C ．2:3 D ．3:3 5．在△ABC 中，0 2, 1.5,120AB BC ABC ==∠=,若使绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是 （ ） A. 92π B. 72π C. 52π D. 32 π 6．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长 分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（ ） A ．130 B ．140 C ．150 D ．160 二、填空题 1．一个棱柱至少有 _____个面，面数最少的一个棱锥有 ________个顶点， 顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱。 2．若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是_____________。 3．正方体1111ABCD A B C D - 中，O 是上底面ABCD 中心，若正方体的棱长为a ，则三棱锥11O AB D -的体积为_____________。 4．如图，,E F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心，则四边形 E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是____________。
立体几何基础选择题 1 l ， m 是两条不同的直线， 是一个平面，则下列命题正确的是 （ ） ：设 A 、若 l m ， m ，则 l B 、若 l ， l ∥ m ，则 m C 、若 l ∥ ， m ，则 l ∥ m D 、若 l ∥ ， m ∥ ，则 l ∥ m 2：在空间，下列命题正确的是 ( ) A 、平行于同一平面的两条直线平行 B 、平行于同一直线的两个平面平行 C 、垂直于同一平面的两个平面平行 D 、垂直于同一平面的两条直线平行 3：用 a 、 b 、 c 表示三条不同的直线， 表示平面，给出下列命题正确的有： ( ) ①若 a ∥ b ， b ∥ c ，则 a ∥ c ； ②若 a ⊥ b ， b ⊥ c ，则 a ⊥ c ； ③若 a ∥ ， b ∥ ，则 a ∥ b ；④若 a ⊥ ， b ⊥ ，则 a ∥ b . A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ③④ 4：给定下列四个命题： ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行； ④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直 . 其中，为真命题的是 （ ） A ．①和② B ．②和③ C ．③和④ D ．②和④ 5：设 , 是两个不同的平面， l 是一条直线，以下命题正确 （ ） A ．若 l , ，则 l B ．若 l ∥ , ∥ ，则 l C ．若 l , ∥ ，则 l D ．若 l ∥ , ，则 l 6：已知 m, n 是两条不同直线， , , 是三个不同平面，下列命题中正确的是 （ ） A ． 若 m ∥ , n ∥ ,则 m ∥ n B ． 若, ,则 ∥ C ． 若 m ∥ , m ∥ ,则 ∥ D ．若 m , n ，则 m ∥ n 7：设有直线 m, n 和平面 , . 下列四个命题中，正确的是 ( ) A. 若 m ∥ ,n ∥ , 则 m ∥ n B. 若 m ,n ,m ∥ ,n ∥ , 则 ∥ C. 若 ， m , 则 m D. 若 ， m ， m , 则 m ∥ 8：已知直线 m, n 与平面 , ，给出下列三个命题： ①若 m ∥ ， n ∥ ，则 m ∥ n ； ② 若 m ∥ ， n ，则 m n ； ③ 若 m ， m ∥ ，则 ． 其中真命题的个数是 ( ) A ．0 B ．1 C ． 2 D ． 3 9：在正四面体 P － ABC 中， D ， E ， F 分别是 AB ， BC ， CA 的中点，下列不成立 的是 （ ） ．．． A 、 BC // , l , n l // n , l l 若 l n, m n ，则 l // m D ．若 l, l // ，则 11：设 a ， b 为两条直线， ， 为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是 （ ） A 、若 a ，b 与 所成的角相等， 则 a ∥ b B 、若 a ∥ ，b ∥ ， ∥ ，则 a ∥ b C 、若 a ， b ， a ∥ b ，则 ∥ D 、若 a ， b ， ，则 a b 12：设 m,n 是不同的直线， 、 、 是不同的平面，有以下四个命题 // // ；② m m m// n m // ① m// ；③ ；④ ； // m // n 其中正确的命题是 （ ） Ａ．①④； Ｂ．②③； Ｃ．①③； Ｄ．②④； 13：已知直线 m 、 n ，平面 、 , 给出下列命题 :
《立体几何 》练习题 一、 选择题 1、一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是（ ） A 、垂直 B 、平行 C 、相交不垂直 D 、不确定 2. 在正方体1111ABCD A B C D -中, 与1A C 垂直的是（ ） A. BD B. CD C. BC D. 1CC 3、线n m ,和平面βα、，能得出βα⊥的一个条件是( ) A.βα//n ,//m ,n m ⊥ B.m ⊥n ,α∩β=m ,n ?α C.αβ?⊥m n n m ,,// D.βα⊥⊥n m n m ,,// 4、平面α与平面β平行的条件可以是（ ） A.α内有无穷多条直线与β平行； B.直线a//α,a//β C.直线a α?,直线b β?,且a//β,b//α D.α内的任何直线都与β平行 5、设m 、n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n //α，则m n ⊥ ②若αβ//，βγ//，m ⊥α，则m ⊥γ ③若m //α，n //α，则m n // ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ 其中正确命题的序号是( ) A.①和② B.②和③ C.③和④ D.①和④ 6.点P 为ΔABC 所在平面外一点，PO ⊥平面ABC ，垂足为O,若PA=PB=PC ， 则点O 是ΔABC 的（ ） A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 7. 若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面， 则下列命题中为真命题的是（ ） A ．若//,,l n αβαβ??，则//l n B ．若,l αβα⊥?，则l β⊥ C. 若,//l l αβ⊥，则αβ⊥ D ．若,l n m n ⊥⊥，则//l m 8. 已知两个平面垂直，下列命题中正确的个数是（ ） ①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线； ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线； ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面； ④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面. A.3 B.2 C.1 D.0 9． 设m.n 是两条不同的直线,α.β是两个不同的平面, （ ） A ．若m∥α,n∥α,则m∥n B ．若m∥α,m∥β,则α∥β C ．若m∥n,m⊥α,则n ⊥α D ．若m∥α,α⊥β,则m⊥β
《立体几何初步》测试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题6分，共60分） 1. 在空间四点中，无三点共线是四点共面的是（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件 2. 若a ∥b ，A c b =?，则c a ,的位置关系是（ ） A.异面直线 B.相交直线 C.平行直线 D.相交直线或异面直线 3．圆锥的侧面展开图是直径为a 的半圆面，那么此圆锥的轴截面是 （ ） A ．等边三角形 B ．等腰直角三角形 C ．顶角为30°的等腰三角形 D ．其他等腰三角形 4. 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是 一个底边长为8、高为4的等腰三角形，左视图是一个底边 长为6、高为4的等腰三角形．则该几何体的体积为（ ） A 48 B 64 C 96 D 192 5. 长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8 个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ） A ．25π B ．50π C ．125π D ．都不对 6. 已知正方体外接球的体积是32 3π，那么正方体的棱长等于 （ ） A B 3 C 3 D 3 7. 若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．若//,,l n αβαβ??，则//l n B ．若,l αβα⊥?，则l β⊥ C. 若,//l l αβ⊥，则αβ⊥ D ．若,l n m n ⊥⊥，则//l m
8. 如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E F G H ，，， 分别为1AA ，AB ，1BB ，11B C 的中点，则异面直线EF 与 GH 所成的角等于（ ） Ａ．45° Ｂ．60° Ｃ．90° Ｄ．120° 9. 已知两个平面垂直，下列命题 ①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线； ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线； ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面； ④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面. 其中正确的个数是（ ） A.3 B.2 C.1 D.0 10. 平面α与平面β平行的条件可以是（ ） A.α内有无穷多条直线与β平行； B.直线a//α,a//β C.直线a α?,直线b β?,且a//β,b//α D.α内的任何直线都与β平行 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 11. 直观图（如右图）中，四边形O ′A ′B ′C ′为 菱形且边长为2cm ，则在xoy 坐标中四边形ABCD 为 _ ____，面积为______cm 2． 12. 长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=2，BC=3，AA 1=5，则一只小虫从A 点沿 长方体的表面爬到C 1点的最短距离是 ． 13. 已知直线b//平面α，平面α//平面β，则直线b 与β的位置关系为 . 14. 正方体的内切球和外接球的半径之比为＿＿＿＿＿ 15. 如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB=?90，PA ⊥平面ABC ，此图形中有 个直角三角形 16. 将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C ，有如下四个结论：（1）AC ⊥BD ； （2）△ACD 是等边三角形 （3）AB 与平面BCD 所成的角为60°；（4）AB 与CD 所成的角为60°。 其中正确结论的序号为＿＿＿＿ 三、解答题（本大题共4小题，共60分） 17.（10分）如图，PA ⊥平面ABC ，平面PAB ⊥平面PBC 求证：AB ⊥BC A F D B G E 1B H 1C 1D 1A A B C P D'C' B' A'O' Y'X'
高一立体几何初步练习 题 Corporation standardization office #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8
立体几何训练题 一、选择题：每题4分，共40分. 1． 下列图形中，不是正方体的展开图的是----------------------------- （ ） A B C D 2.已知直线//m α平面，直线n 在α内，则m n 与的关系为（ ） A 平行 B 相交 C 相交或异面 D 平行或异面 3．设A 1A 是正方体的一条棱，这个正方体中与A 1A 平行的棱共有（ ） A 1条 B 2条 C 3 条 D 4条 4 , 则长方体的对角线的长等于（ ） A 5．如图，如果MC ⊥菱形ABCD 所在平面，那么MA 与BD 的位置关系是（ ） A 平行 B 垂直相交 C 异面 D 相交但不垂直 C A B M 6．下列条件中，能判断两个平面平行的是（ ） A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面； B 一个平面内的两条直线平行于另一个平面； C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面； D 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 7.已知直线m ⊥平面α，直线n 平面β，下列说法正确的是( ) A 若 a ⊥⊥⊥ ⊥ 4π380cm 3112cm 356cm 3 336cm 1 2 5310 3 2acm 12.已知直线a ，b ，平面α，β，有下列命题： （1）若a ⊥⊥⊥⊥ 在公路旁有一条河，河对岸有高为24m 的塔AB ，当公路与塔底点B 都在水平面上时，如果只有测角器和皮尺作测量工具，塔顶与道路的距离________
E O A C B F D 立体几何练习题 1．在直四棱住1111D C B A ABCD -中，12AA =，底面是边长为1的正方形，E 、F 、 G 分别是棱B B 1、D D 1、DA 的中点. (Ⅰ)求证：平面E AD 1//平面BGF ; (Ⅱ)求证：1D E ⊥面AEC . 2．如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，E 为AB 的中点． (1)求证： 1BDD AC 平面⊥（2）求点B 到平面EC A 1的距离. 3.如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面,90ABC ACB ∠=，2AB =1BC =13AA =． （Ⅰ）求三棱锥111A AB C -的体积； （Ⅱ）若D 是棱1CC 的中点，棱AB 的中点为E ， 证明:11//C AB DE 平面 4．如图，在棱长均为2的三棱柱ABC DEF -中，设侧面四边形FEBC 的两对角线相交于O ，若BF ⊥平面AEC ， AB AE =. (1) 求证：AO ⊥平面FEBC ； (2) 求三棱锥B DEF -的体积. 5.如图，在体积为1的三棱柱111C B A ABC -中，侧棱⊥1AA 底面ABC ，AB AC ⊥， 11==AA AC ，E 为线 段AB 上的动点. F E A B D C G 1 C 1 A 1 B 1D 1 B 1 C E D C B A 1 D 1 A A B C A 1 B 1 C 1 D C 1 C
（Ⅰ）求证： CA 1C CA 11⊥C 1E ； （2）线段AB 上是否存在一点E ，使四面体E-AB 1C 1的体积为 6 1 ？若存在，请确定点E 的位置；若不存在，请说明理由. 6．已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的直观图和三视图如图所示，其主视图BB 1A 1A 和侧视图A 1ACC 1 均为矩形，其中AA 1=4。俯视图ΔA 1B 1C 1中，B 1C 1=4，A 1C 1=3，A 1B 1=5，D 是AB 的中点。 （1）求证：AC ⊥BC 1； （2）求证：AC 1∥平面CDB 1； （3）求异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值。 7.如图，在底面为平行四边形的四棱锥ABCD P -中，AC AB ⊥， ABCD PA 面⊥，点E 是PD 的中点。 （Ⅰ）求证：PB AC ⊥（Ⅱ）求证：AEC PB 平面// 8． 如图，在四棱锥ABCD P -中，ABCD 是矩形，ABCD PA 平面⊥，3,1===AB AD PA ， 点F 是PD 的中点，点E 在CD 上移动。 （1） 求三棱锥PAB E -体积； （2） 当点E 为CD 的中点时，试判断EF 与 平面PAC 的关系，并说明理由； （3） 求证：AF PE ⊥ 9．如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，2PD AB ==，E ，F ，G 分别为PC 、PD 、BC 的中点． （1）求证：PA //平面EFG ； （2）求证：GC PEF ⊥平面； （3）求三棱锥P EFG -的体积． A B C D P E F