立体几何小题练习
1.某几何体的正视图和侧视图均为如图1所示,则在图2的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是( )
A .(1),(3)
B .(1),(4)
C .(2),(4)
D .(1),(2),(3),(4)
2.一空间几何体的三视图如图,则该几何体的体积为( )
A. 322+π
B. 324+π
C. 3
3
22+π D. 3
324+
π
3.如图所示,一个空间几何体的正视图和左视图都是边长为2的正方形,俯视图是一个直径为2的圆,那么这个几何体的体积为 ( )
A.4π B .2π C.
43
π D.
23
π
4.一个棱锥的三视图如图(尺寸的长度单位为cm ),则该棱锥的体积是
A .
43 B .8 C .4 D .83
5.已知集合{}{}{}5 1 2 1 3 4A B C ===,
,,,,,从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系上的坐标,则确定的不同点的个数为( ) A.6 B.32 C.33 D.34
6.如图,在一个正方体内放入两个半径不相等的球 12,O O ,这两个球相外切,且球 1O 与正方体共顶点A 的三个面相切,球 2O 与正方体共顶点 1B 的三个面相切,则两球在正方体的面 11AAC C 上
的正投影是( )
7.设a ,b 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下面四个命题中错误..的是( ). A .若a b ⊥,a α⊥,b α?,则//b α B .若a b ⊥,a α⊥,b β⊥,则αβ
⊥
C .若a
β
⊥,α
β⊥,则//a α或a α? D .若//a α,αβ⊥,则a
β
⊥
8.在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,M 是棱DD 1的中点,点O 为底面ABCD 的中心,P 为棱A 1B 1上任一点,则异面直线OP 与AM 所成的角的大小为( ) A .30° B.60° C.90° D.120°
9.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为π84,则圆台较小底面的半径为( )
.A 7 B . 6 C . 5 .D 3
10.在边长为1的菱形ABCD 中,∠ABC=60O
,将菱形沿对角线AC 折起,使折起后BD=1,则三棱锥B-ACD 的体积为为 ( )
A.
12
2 B.
12
1 C.
62 D.
4
2
11.某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积为( )
A .3
B .3
8
C .622
6++ D .2
26+
12.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积是( ).
(A )(B )(C )(D )13.一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积为( )
D .14.若空间中四条两两不同的直线1l ,2l ,3l ,4l ,满足12l l ⊥,23//l l ,34l l ⊥,则下列结论一
定正确的是( ) A .1
4l l ⊥ B .12//l l
C .1l 与4l 既不垂直也不平行
D .1l 与4l 的位置关系不确定
15.一个多面体的三视图如图所示,其中正视图是正方形,侧视图是等腰三角形. 则该几何体的表面积为 ( )
A .16
B .48
C .60
D .96
16.某一简单几何体的三视图如图所示,该几何体的外接球的表面积是( )
A .π13
B .π16
C .π25
D .π27 17.利用斜二测画法得到的
①三角形的直观图一定是三角形; ②正方形的直观图一定是菱形; ③等腰梯形的直观图可以是平行四边形; ④菱形的直观图一定是菱形. 以上结论正确的是 ( )
A .①②
B . ①
C .③④
D . ①②③④
18.已知向量(1,0,2)s s +r a =,(6,21,2)t -r
b =,//r r a b ,则s 与t 的值分别为( ).
A .11,52
B . 5,2
C .11
,52
-- D .5,2--
19.设n m ,是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,则下列命题正确的是( )
A .若α?⊥n n m ,,则α⊥m
B .若//m α,//αβ,则//m β
C .若m n m
//,α⊥,则α⊥n D .若//m α,//n α,则n m //
20.(理科) 异面直线a ,b 成80°角,P 为a ,b 外的一个定点,若过P 有且仅有2条直线与a ,b 所成的角相等且等于α,则角α属于集合( )
A .{α|40°<α<50°}
B .{α|0°<α<40°}
C .{α|40°<α<90°}
D .{α|50°<α<90°}
21.设b c ,
表示两条直线,αβ,表示两个平面,则下列结论正确的是 A .若b c α?,
∥α则b ∥c B .若b b α?,
∥c 则c ∥α C .若c ∥α,α
β⊥则c β⊥
D .若c ∥α,c β⊥则αβ⊥
22.已知两条不同的直线,l m 和两个不同的平面,αβ,有如下命题:
①若,,//,////l m l m ααββαβ??,则; ②若,//,//l
l m l m αβαβ??=,则;
③若,//l l α
ββα⊥⊥,则,其中正确命题的个数是( )
A .3
B .2
C .1
D .0
23.半径为2的球面上冇P,M,N,R 四点,且PM,PN,PR 两两垂直,则的最大值
为
A. 8
B. 12
C. 16
D. 24
24.四棱锥的三视图如图所示,则最长的一条侧棱的长度是( )
A.
29
B .5
C .
13 D .22
25.如图所示,某几何体的正视图、侧视图均为等腰三角形,俯视图是正方形,则该几何体的外接球的体积是( )
A.
B.
C.
D.
26.一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如图所示,则该几何体的俯视图为( )
27.某长方体的三视图如右图,长度为10
的体对角线在正视图中的投影长度为6,在侧视图中
的投影长度为
5,则该长方体的全面积为( )
A.253
+ B.456+ C.6 D.10
28.设O -ABC 是四面体,G 1
是△ABC 的重心,G 是OG 1
上的一点,且OG =3GG 1
,若OG u u u r =x OA u u u r +y OB uuu r
+z OC u u u r
,则(x ,y ,z)为(
)
A. 111(
,,)444 B. 333(,,)444 C. 111(,,)333
D. 222
(
,,)333
29.根据下列三视图(如下图所示),则它的体积是( )
A .3
a
B .3
3a
C .
3
3a D .3
4a
30.设γβα,,是三个不重合的平面,n m ,是两条不重合的直线,下列命题中正确的是( ) A .若,
,γββα
⊥⊥则γα⊥
B .若m ∥α,n ∥β,βα⊥,则n m ⊥
正视图 侧视图
俯视图
C .若βαα⊥⊥,m ,则m ∥β
D .若,,αα⊥⊥n m
则m ∥n
31.在矩形从CD 中,从=
,BC =
,且矩形从CD 的顶点都在半径为R 的球O 的球面上,若四
棱锥O -ABCD 的体积为8,则球O 的半径R= (A)3 (B)
(C)
(D)4
32.如图(1)所示,长方体
1AC 沿截面11A C MN 截得几何体111DMN D A C -,它的正视图、侧
视图均为图(2)所示的直角梯形,则该几何体的表面积为( )
A 29315+25315+29333+25333
+
33.某几何体的正视图与俯视图如图所示,侧视图与正视图相同,且图中的四边形都是边长为2的正方形,两条虚线互相垂直,则该几何体的体积是( )
A.
203 B.4
3
C .6
D .4 34.设平面α、β,直线a 、b ,a α?,b α?,则“//a β,//b β”是“//αβ”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 35.某几何体的三视图如图所示,它的体积为( )
M N B 1
1
A D 1
B
图(1)
4
2
1图(2)
(A)72π (B)48π (C)30π (D)24π
36.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3、4、5,且它的八个顶点都在同一球面上,这个球的表面积是( ) A .π220
B .π225
C .π200
D .50π
37.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是( )
A .2865+
B .60125+
C .5612
5+ D .3065+
38.(2015秋?河池期末)下列结论判断正确的是( ) A .任意三点确定一个平面 B .任意四点确定一个平面 C .三条平行直线最多确定一个平面 D .正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,AB 与CC 1异面
39.(理科)正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 为A 1C 1的中点,则直线CE 垂直于 ( )
A 、直线AC
B 、直线A 1A
C 、直线A 1
D 1 D 、直线B 1D 1 40.已知球的半径为R ,则半球的最大内接正方体的边长为
( )
A 1
C
B A
B 1
C 1
D 1 D
A .
22
R B .
6R C .
6R D .(21)R -
41.在三棱锥
P ABC
-中,侧面
PAB
、侧面
PAC 、侧
PBC
两两互相垂直,且
::1:2:3PA PB PC =,设三棱锥P ABC -的体积为1V ,三棱锥P ABC -的外接球的体积
为2V ,则
2
1
V V =( ) A .
714
3π B .
113π
C .77
3
π D .83
π
42.一个几何体的三视图及部分数据如图所示,侧视图为等腰三角形,俯视图为正方形,则这个几何体的体积为
12
2
11B
C
A
.A
13 .B 23 .C 1 .D 43
43.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ,求其直径d 的一个近似公式
1
316()9
d V ≈,人们还用过一些类似的近似公式,根据 3.14159π=L
判断,下列近似公式中最
精确的一个是( )
A .1316()9d V ≈
B .1
321
()11
d V ≈
C .1
3300()157
d V ≈ D .1
3(2)d V ≈ 44.如图,在正三棱锥A —BCD 中,点E 、F 分别是AB 、BC 的中点,a BC DE EF =⊥若.,则A
—BCD 的体积为
( )
A
.
324
2a B .
3122a
C .
3
243a
D .
312
3a
45.点A ,B ,C ,D 均在同一球面上,且AB ,AC ,AD 两两垂直,且1AB =,3AD =,则该球的表面积为( )
A .7π
B .14π
C .
7
2
π D .
7143
π
46.已知不同直线m 、n 和不同平面α、β,给出下列命题: ①
////m m αββα????? ②//////m n n m ββ???? ③,m m n n αβ??
????异面
④
//m m αββα⊥?
?⊥??
其中错误的命题有( )个 A .1 B .2 C .3 D .4
47.设α和β是两个不重合的平面,给出下列命题: ①若α外一条直线l 与α内一条直线平行,则//l α; ②若α内两条相交直线分别平行于β内的两条直线 ,则//αβ
;
③设l α
β=I ,若α内有一条直线垂直于l ,则αβ
⊥;
④若直线l 与平面α内的无数条直线垂直,则l α⊥.
上面的命题中,真命题的序号是 ( )
A. ①③
B. ②④
C. ①②
D. ③④
48.用一些棱长是1 cm 的小正方体堆放成一个几何体,其正视图和俯视图如图所示,则这个几何体的体积最多是( )
A .6 cm 3
B .7 cm 3
C .8 cm 3
D .9 cm 3 D
E F
A
B
49.已知l 是直线,α、β是两个不同的平面,下列命题中的真命题是.(填所有真命题的序号)
①若l∥α,l∥β,则α∥β ②若α⊥β,l∥α,则l⊥β
③若l∥α,α∥β,则l∥β ④若l⊥α,l//β,则α⊥β
50.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F且EF=
2
2
,则下列
结论中错误的是( ).
A.AC⊥BE
B.EF∥平面ABCD
C.三棱锥A-BEF的体积为定值
D.异面直线AE,BF所成的角为定值
51.如右图,某几何体的正视图是平行四边形,侧视图和俯视图都是矩形,则该几何体的体积为
52.图中的三个直角三角形是一个体积为20 cm3的几何体的三视图,则h=________cm.
53.如图是一个无盖器皿的三视图,正视图、侧视图和俯视图中的正方形边长为2,正视图、侧视图中的虚线都是半圆,则该器皿的表面积是
54.已知(2,2,4)A -,(2,5,1)B -,C(1,4,1)-,则直线AB 与直线BC 的夹角为_________.
55.侧棱长为2
3的正三棱锥V —ABC 中,40AVB BVC CVA ∠=∠=∠=o ,过A 作截面AEF ,
则截面三角形AEF 周长的最小值是______________
56.已知某几何体的三视图如图所示(单位:cm ),其中正(主)视图、侧(左)视图都是等腰直角三角形,则这个几何体的体积是 .
57.(本小题满分12分)
如图甲,直角梯形ABCD 中,AB ∥CD ,,点M 、N 分别在AB 、CD 上,且MN ⊥AB ,MC ⊥CB ,BC =2,MB =4,现将梯形ABCD 沿MN 折起,使平面AMND 与平面MNCB 垂直(如图乙)
(1)求证:AB ∥平面DNC ;
(2)当DN 的长为何值时,二面角D -BC -N 的大小为6
π
?
58.已知直线1:
2l y ax a =+与直线2:(21)l ay a x a =--,若12//l l ,则a =_________;若
12l l ⊥ 则a =___________________.
59.如图,等腰梯形ABCD 中,12
1
==
==BC DC AD AB ,现将三角形ACD 沿AC 向上折起,满足平面
⊥ABC 平面ACD ,则三棱锥ABC D -的外接球的表面积为_______.
C
B D
A
60.某四棱锥的三视图如右图所示,则该四棱锥的体积为__.
参考答案
1.A
【解析】可以是一个正方体上面一个球,也可以是一个圆柱上面一个球. 2.C 【解析】
试题分析:由于根据三视图的特点可知,该几何体是一个简单的组合体,上面是四棱锥,下面是圆柱体,
,圆柱体的底面的半径为
1,高位2,因此可知其体积为
1
2233
V ππ==+,故选A.
考点:本试题考查了空间几何体体积的知识。
点评:根据已知的三视图,分析得到原几何体是一个四棱锥和一个圆柱体的组合体。进而结合柱体的体积公式和锥体的体积公式来求解得到。关键是弄清楚各个几何体的高度和底面的边长和圆的半径,属于中档题。 3.B 【解析】
试题分析:几何体是圆柱,2122V ππ=??=.
考点:三视图,圆柱的体积. 4.A 【解析】
试题分析:由三视图可以看出,此几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥,垂直于底面的侧面是一个高为2,底边长也为2的等腰直角三角形,然后利用三视图数据求出几何体的体积. 解:由三视图可以看出,此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥,由图中数据知此两面皆为等腰直角三角形,高为2,底面边长为2,底面面积1
2
×2×2=2,故此三棱锥的体积为
13×2×2=43
,故选A
考点:三视图求几何体的面积、体积
点评:本题考点是由三视图求几何体的面积、体积,考查对三视图的理解与应用,主要考查对三视图与实物图之间的关系,考查空间想象能力与计算能力. 5.A 【解析】
试题分析:不考虑限定条件确定的不同点的个数为1
1
3
23336C C A =,但集合B ,C 中有相同元素1,由5,1,1三个数确定的不同点的个数只有三个,故所求的个数为:36333-=个,故选A. 考点:1.分类计数原理与分步计数原理;2.排列与组合. 6.B 【解析】
试题分析:由题意可以判断出两球在正方体的面
11AAC C 上的正投影与正方形相切,排除C 、D ,把其中一
个球扩大为与正方体相切,则另一个球被全挡住,由于两球不等,所以排除A ,所以B 正确. 考点:简单空间图形的三视图. 7.D . 【解析】
试题分析:A :记a ,b 确定的平面为γ,c αγ=I ,在平面γ内,∵a c ⊥,a b ⊥,∴//b c ,从
而根据线面平行的判定可知A 正确;B :等价于两个平面的法向量垂直,根据面面垂直的判定可知B 正确;C :根据面面垂直的性质可知C 正确;D :a
β⊥或a β?,故D 错误,故选D .
考点:1.线面平行的判定;2.线面垂直面面垂直的判定与性质. 8.C 【解析】
试题分析:以D 为原点,DA 为x 轴,DC 为y 轴,DD 1为z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线OP 与AM 所成的角的大小.
解:以D 为原点,DA 为x 轴,DC 为y 轴,DD 1为z 轴, 建立空间直角坐标系,
设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为2,A 1P=t (0≤t≤1), A (2,0,0),M (0,0,1) O (1,1,0),P (2,t ,2), =(﹣2,0,1),
=(1,t ﹣1,2),
∴AM OP ?u u u u r u u u r
=﹣2+0+2=0,
∴异面直线OP 与AM 所成的角的大小为90°. 故选:C .
考点:异面直线及其所成的角. 9.A 【解析】略 10.A
【解析】解:将边长为1的正方形ABCD 沿对角线AC 折起,使平面ACD ⊥平面ABC , 则折起后B ,D 两点的距离为1,三棱锥B-ACD 的体积为为112232212
=??=,选A
11.B 【解析】
试题分析:该几何体是上面一个三棱锥,下面一个三棱柱,故体积为1118
2212212323
???+????=. 考点:三视图. 12.A 【解析】
试题分析:由三视图可知,这个三棱锥的底面是底为6,高为6,所以三棱
锥的体积:11
6632
V
=???= 考点:1.三视图;2.三棱锥的体积 13.D 【解析】
试题分析:还原三视图得,该四面体为正四面体,如图所示,正方体棱长为1,
故其表面积为24S ==
考点:三视图. 14.D 【解析】 试题分析:∵1
2l l ⊥,23//l l ,∴13l l ⊥,又34l l ⊥,14l l 与都垂直于3l ,垂直于同一直线的两直线可
能平行,可能相交,也可能异面,故选D . 考点:空间两直线的位置关系.
点评:解本题的关键是掌握空间两直线的位置关系,垂直于同一直线的两直线位置关系不确定. 15.B 【解析】
试题分析:由三视图可知,该几何体是直三棱柱,三棱柱的高为4,底面是等腰三角形,腰长为5,底边长为6的等腰三角形,那么利用三棱柱的体积公式可知为1
644482
V
=???=,故选B.
考点:本试题考查了空间几何体的体积的知识。
点评:对于该类试题是高考中必考的一个知识点,通常和表面积和体积结合,因此关键的是确定出几何体的原型,那么结合我们所学的几何体的体积公式来求解得到结论,属于基础题。 16.C 【解析】
试题分析:此几何体是底面为正方形的长方体,由正视图有底面对角线为4,所以底边边长为,由侧视图有高为
3
,该几何体的外接球球心为体对角线的中点,设其外接球半径为
R
,则
25R ==,52
R =
,表面积2
2544254S R πππ
==?=,故选C.
考点:1.三视图的识别;2.球的表面积公式. 17.B 【解析】
试题分析:在斜二测画法画法中:平行关系不变,长度关系发生了改变,所以②正方形的直观图一定是菱形是错误的;③等腰梯形的直观图可以是平行四边形也是错误的;④菱形的直观图一定是菱形也是错误的。 考点:斜二测画法。
点评:在斜二测画法中,与x 轴平行的的线段在直观图中仍然与x ‘
轴平行,长度不变;与y 轴平行的的线段在直观图中仍然与y ‘
轴平行,长度变为原来的一半。 18.A
【解析】解:向量(1,0,2)s s +r a =,(6,21,2)t -r
b =,12//21062
+∴=∴-=r r s s t a b 解得为s 与t 的值分别为11
,52
19.C 【解析】
试题分析:一条直线要垂直于平面内的两条相交直线,则线面垂直,所以A 错,B 错,因为有可能β
?m
,
平行与同一个平面的两条直线平行,相交或异面.两平行线中的一条平行与平行,令一条也平行与平面. 考点:1.线面垂直的判定;2.线面平行的判定. 20.A 【解析】略 21.D 【解析】
试题分析:观察长方体上底面的一条棱与下底面的四条棱的位置关系可知选项A 是错误的;选项B 直线c 也可在平面内;选项C 中的直线c 可以满足β?c 或β//c 或β⊥c ,故答案选D .
考点:直线与平面的位置关系与判定 22.C 【解析】
试题分析:由于一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行,所以①错误; 由于一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行,所以②正确; 因为,l α
ββ⊥⊥,
则//l α或l α?,所以③错误; 综上可知:②正确.
考点:线面关系.
23.A
【解析】略
24.A
【解析】
试题分析:由三视图,可知:该四棱锥ABCD
S-,底面ABCD是直角梯形,两底边为4,2,直角腰为3,ABCD
SA面
⊥,其中SC是最长的棱,则29
2
4
32
2
2=
+
+
=
SC.
考点:三视图.
25.D
【解析】依题意得,该几何体是一个正四棱锥,其中底面是边长为2的正方形、高是,因此底面的中心到各顶点的距离都等于,即该几何体的外接球球心为底面正方形的中心,外接球半径为,故该几何体的外接球的体积等于×=,选D
26.C
【解析】
试题分析:由“长对正,高平齐,宽相等”的原则,知俯视图应为C.故选C.
考点:三视图.
27.B
【解析】
试题分析:由三视图设长方体中同一顶点出发的三条棱长为a、b、c,则有
222
22
22
10
6
5
a b c
a b
b c
?++=
?
+=
?
?+=
?
,解方程组得到
5
1
2
a
b
c
?=
?
=
?
?=
?
,所以该长方体的面积为()
2251521465
S=+?=+故选B. 考点:1、空间几何体的三视图;2、空间几何体的表面积.
28.A 【解析】
试题分析:如图取AB 中点E ,连接AE ,
∵11333231()()[()]
444343
OG OG OA AG OA AE OA AB AC ==+=+=++u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,又
()()2AB AC OB OA OC OA OB OC OA +=-+-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,∴
131()44OG OG OA OB OC ==++u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r ,故x=y=z=
14
,故选A 。
考点:本题主要考查了空间向量基本定理的运用。 点评:掌握空间向量基本定理是解决问题的关键。 29.D 【解析】
如图,在边长为2a 的正方体
1111ABCD A B C D -,分别取111111,,,,,AB BB B C C D DD AD 中点并顺
次连接,则三视图所对应的几何体就是正方体
1111ABCD A B C D -被上述中点所连平面截取后得到的几
何体。由图可知,该几何体是正方体体积的一半,所以331
(2)42
V a a ==,故选D 30.D 【解析】
试题分析:依题意,对于A ,若,
,γββα
⊥⊥得,αγ不一定垂直,故A 不正确;对于B ,若m ∥α,
n ∥β,βα⊥,则,m n 不一定垂直,故B 不正确;对于C ,若β
αα⊥⊥,m ,则m 可能在面β内,
一.直线和平面的三种位置关系: 1. 线面平行 2. 线面相交 l 符号表示: 符号表示: 3. 线在面内 符号表示: 二.平行关系: 1.线线平行: 方法一:用线面平行实现。方法二:用面面平行实现。 m l m l l // // ? ? ? ? ? ? = ? ? β α β α m l m l// // ? ? ? ? ? ? = ? = ? β γ α γ β α 方法三:用线面垂直实现。若α α⊥ ⊥m l,,则m l//。 2.线面平行: 方法一:用线线平行实现。 α α α// // l l m m l ? ? ? ? ? ? ? ? 方法二:用面面平行实现。 α β β α // // l l ? ? ? ? ? 3.面面平行: 方法一:用线线平行实现。方法二:用线面平行实现 β α α β // ' ,' , ' // ' // ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 且相交 且相交 m l m l m m l l 。β α β α α // , // // ? ? ? ? ? ? ?且相交 m l m l 三.垂直关系: l
1. 线面垂直: 方法一:用线线垂直实现。 方法二:用面面垂直实现。 α α⊥??? ????? ?=?⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC l , αββαβα⊥???? ???⊥=?⊥l l m l m , 2. 面面垂直: 方法一:用线面垂直实现。 方法二:计算所成二面角为直角。 βαβα⊥?? ?? ?⊥l l 3. 线线垂直: 方法一:用线面垂直实现。 m l m l ⊥?? ?? ?⊥αα 方法二:三垂线定理及其逆定理。 PO l OA l PA l αα⊥? ? ⊥?⊥????
高中数学立体几何知识点归纳总结 一、立体几何知识点归纳 第一章空间几何体 (一)空间几何体的结构特征 (1)多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱 与棱的公共点叫做顶点。 旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其 中,这条定直线称为旋转体的轴。 (2)柱,锥,台,球的结构特征 1.棱柱 1.1棱柱——有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都 互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 E'D' F' C'侧面 A'B' l 1.2相关棱柱几何体系列(棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱)的 底面侧棱 关系: 斜棱柱 ED FC ① 底面是正多形 棱柱正棱柱 棱垂直于底面 直棱柱 其他棱柱 AB ②四棱柱底面为平行四边形平行六面体侧棱垂直于底面直平行六面体底面为矩形 长方体底面为正方形正四棱柱侧棱与底面边长相等正方体 1.3棱柱的性质: ①侧棱都相等,侧面是平行四边形; ②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形; ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形; ④直棱柱的侧棱长与高相等,侧面与对角面是矩形。 1.4长方体的性质: ①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的 D1 C1 平方和;【如图】 2222 ACABADAA 11 A1 D B1 ②(了解)长方体的一条对角线 AC 与过顶点A 的三条 1 C AB 棱所成的角分别是,,,那么
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222 coscoscos1, 222 sinsinsin2; ③(了解)长方体的一条对角线A C与过顶点A的相邻三个面所成的角分别是,,, 1 则 222 coscoscos2, 222 sinsinsin1. 2.侧面展开图:正n棱柱的侧面展开图是由n个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻 边的矩形. 3.面积、体积公式:S ch 直棱柱侧 直棱柱全底,V棱柱底 Sch2SSh (其中c为底面周长,h 为棱柱的高)1.5圆柱 2.1圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其 余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 母线A' B' O' C' 轴 轴截面 2.2圆柱的性质:上、下底及平行于底面的截面都是等圆;过轴的截面(轴截面)是全等的矩形. 2.3侧面展开图:圆柱的侧面展开图是以底面周长和AOC 侧面B 母线长为邻边的矩形. 底面2.4面积、体积公式: S圆柱侧=2rh;S 圆柱全= 2 2rh2r,V 圆柱=S底h= 2 rh(其中r为底面半径,h为圆柱高) 1.6棱锥 3.1棱锥——有一个面是多边形,其余各 S 顶点侧面面是有一个公共顶点的三角形,由这些高 面所围成的几何体叫做棱锥。 侧棱正棱锥——如果有一个棱锥的底面 是正多边形,并且顶点在底面的射影是 底面的中心,这样的棱锥叫做正棱锥。 3.2棱锥的性质:底面 斜高DC ①平行于底面的截面是与底面相似的正 O AB H 多边形,相似比等于顶点到截面的距 离与顶点到底面的距离之比; ②正棱锥各侧棱相等,各侧面是全等的等腰三角形; ③正棱锥中六个元素,即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半,构成四个直角三角形。)(如上图:SOB,SOH,SBH,OBH为直角三角形) 3.3侧面展开图:正n棱锥的侧面展开图是有n个全等的等腰三角形组成的。
高中数学必修2立体几何测试题及答案(一)一,选择(共80分,每小题4分) 1,三个平面可将空间分成n个部分,n的取值为() A,4;B,4,6;C,4,6,7 ;D,4,6,7,8。 2,两条不相交的空间直线a、b,必存在平面α,使得() A,a?α、b?α;B,a?α、b∥α;C,a⊥α、b⊥α;D,a?α、b⊥α。 3,若p是两条异面直线a、b外的任意一点,则() A,过点p有且只有一条直线与a、b都平行;B,过点p有且只有一条直线与a、b都垂直;C,过点p有且只有一条直线与a、b都相交;D,过点p有且只有一条直线与a、b都异面。 4,与空间不共面四点距离相等的平面有()个 A,3 ;B,5 ;C,7;D,4。 5,有空间四点共面但不共线,那么这四点中() A,必有三点共线;B,至少有三点共线;C,必有三点不共线;D,不可能有三点共线。 6,过直线外两点,作与该直线平行的平面,这样的平面可有()个 A,0;B,1;C,无数;D,涵盖上三种情况。 7,用一个平面去截一个立方体得到的截面为n边形,则() A,3≤n≤6 ;B,2≤n≤5 ;C,n=4;D,上三种情况都不对。 8,a、b为异面直线,那么() A,必然存在唯一的一个平面同时平行于a、b;B,过直线b 存在唯一的一个平面与a平行;C,必然存在唯一的一个平面同时垂直于a、b;D,过直线b 存在唯一的一个平面与a垂直。 9,a、b为异面直线,p为空间不在a、b上的一点,下列命题正确的个数是() ①过点p总可以作一条直线与a、b都垂直;②过点p总可以作一条直线与a、b都相交;③
过点p 总可以作一条直线与a 、b 都平行;④过点p 总可以作一条直线与一条平行与另一条垂直;⑤过点p 总可以作一个平面与一条平行与另一条垂直。 A ,1; B ,2; C ,3; D ,4。 10,异面直线a 、b 所成的角为80°,p 为空间中的一定点,过点p 作与a 、b 所成角为40° 的直线有( )条 A ,2; B ,3; C ,4; D ,6。 11,P 是△ABC 外的一点,PA 、PB 、PC 两两互相垂直,PA=1、PB=2、PC=3,则△ABC 的 面积为( )平方单位 A ,25; B ,611; C ,27; D ,2 9。 12,空间四个排名两两相交,以其交线的个数为元素构成的集合是( ) A ,{2,3,4}; B ,{1,2,3,}; C ,{1,3,5}; D ,{1,4,6}。 13,空间四边形ABCD 的各边与对角线的长都是1,点P 在AB 上移动 ,点Q 在CD 上移 动,点P 到点Q 的最短距离是( ) A ,21; B ,22; C ,23; D ,4 3。 14,在△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,PA ⊥平面ABC ,PA=8,则P 到BC 的距离是( ) A ,45; B ,43; C ,25; D ,23。 15,已知m ,n 是两条直线,α,β是两个平面,下列命题正确的是( ) ①若m 垂直于α内的无数条直线,则m ⊥α;②若m 垂直于梯形的两腰,则m 垂直于梯形所 在的平面;③若n ∥α,m ?α,则n ∥m ;④若α∥β,m ?α,n ⊥β,则n ⊥m 。 A ,①②③; B ,②③④; C ,②④; D ,①③。 16,有一棱长为1的立方体,按任意方向正投影,其投影最大面积为( )
立 体几何试题 一.选择题(每题4分,共40分) 1.已知AB 0300300150空间,下列命题正确的个数为( ) (1)有两组对边相等的四边形是平行四边形,(2)四边相等的四边形是菱形 (3)平行于同一条直线的两条直线平行 ;(4)有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 A 1 B 2 C 3 D 4 3.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行,那么这条直线与另一个平面的位置关系是( ) A 平行 B 相交 C 在平面内 D 平行或在平面内 4.已知直线m αα过平面α外一点,作与α平行的平面,则这样的平面可作( ) A 1个 或2个 B 0个或1个 C 1个 D 0个 6.如图,如果MC ⊥菱形ABCD 所在平面,那么MA 与BD 的位置关系是( ) A 平行 B 垂直相交 C 异面 D 相交但不垂直 7.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有( ) A 0个 B 1个 C 无数个 D 1个或无数个 8.下列条件中,能判断两个平面平行的是( ) A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B 一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 9.对于直线m ,n 和平面,αβ,使αβ⊥成立的一个条件是( ) A //,,m n n m βα⊥? B //,,m n n m βα⊥⊥ C ,,m n m n αβα⊥=?I D ,//,//m n m n αβ⊥ 10 .已知四棱锥,则中,直角三角形最多可以有( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 二.填空题(每题4分,共16分) 11.已知?ABC 的两边AC,BC 分别交平面α于点M,N ,设直线AB 与平面α交于点O ,则点O 与直线MN 的位置关系为_________ 12.过直线外一点与该直线平行的平面有___________个,过平面外一点与该平面平行的直线有 _____________条 13.一块西瓜切3刀最多能切_________块
立体几何简答题练习 1、正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB,在AE 、BD 上各有一点P 、Q,且AP=DQ 。求证:PQ ∥平面BCE.(用两种方法证明) 2、如图所示,P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点,E 、F 分别在PA 、BD 上,且PE:EA=BF:FD,求证:EF ∥平面PBC. 3、如图,E ,F ,G ,H 分别是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱BC ,CC 1,C 1D 1,AA 1的中点。 求证:(1)EG ∥平面BB 1D 1D ; (2)平面BDF ∥平面B 1D 1H .
4、如图所示,已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点,M 、N 分别为AB 、PC 的中点,平面PAD ∩平面PBC =l. (1)求证:l ∥BC ; (2)MN 与平面PAD 是否平行?试证明你的结论。 5、如图,在四棱锥S-ABCD 中,底面ABCD 是正方形,SA ⊥底面ABCD ,SA=SB ,点M 是SD 的中点,AN ⊥SC ,且交SC 于点N 。 (1)求证:SB ∥平面ACM ; (2)求证:平面SAC ⊥平面AMN ; (3)求二面角D-AC-M 的余弦值。 6、如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是边长为2的正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD,且PA=PD= 2 2 AD,E 、F 分别为PC 、BD 的中点. 求证:(1) 求证:EF ∥平面PAD; (2) 求证:平面PAB ⊥平面PDC; (3) 在线段AB 上是否存在点G,使得二面角C-PD-G 的余弦值为3 1 ?说明理由.
高中数学立体几何知识点总结 一 、空间几何体 (一) 空间几何体的类型 1 多面体:由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各 个多边形叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2 旋转体:把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中,这条直线称为旋转体的轴。 (二) 几种空间几何体的结构特征 1 、棱柱的结构特征 1.1 棱柱的定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 棱柱的分类 棱柱 四棱柱 平行六面体直平行六面体 长方体正四棱柱 正方体 性质: Ⅰ、侧面都是平行四边形,且各侧棱互相平行且相等; Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行; Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等; 棱长都相等 底面是正方形 底面是矩形 侧棱垂直于底面 底面是平行四边形 底面是四边形
1.3 棱柱的面积和体积公式 ch S =直棱柱侧(c 是底周长,h 是高) S 直棱柱表面 = c ·h+ 2S 底 V 棱柱 = S 底 ·h 2 、棱锥的结构特征 2.1 棱锥的定义 (1) 棱锥:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 (2)正棱锥:如果有一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的投影是底面的中心,这样的棱锥叫做正棱锥。 2.2 正棱锥的结构特征 Ⅰ、 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形,相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比;它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比;截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比; Ⅱ、 正棱锥的各侧棱相等,各侧面是全等的等腰三角形; 正棱锥侧面积: 1 '2 S ch = 正棱椎(c 为底周长,'h 为斜高) 体积:1 3 V Sh = 棱椎(S 为底面积,h 为高) 正四面体: 对于棱长为a 正四面体的问题可将它补成一个边长为 a 2 2 的正方体问题。 A B C D P O H
高中数学必修二立体几何入门试题精选 内容:空间几何体与异面直线 时间:90分钟 分值:100分 一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分?在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1. 下列说法不正确的是 ( ) A. 圆柱的侧面展开图是一个矩形 B. 圆锥过轴的截面是一个等腰三角形 C. 平行于圆台底面的平面截圆台截面是圆面 D .直角三角形绕它的一边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥 2. 下列四个几何体中,每个几何体的三视图 有且仅有两个视图相同的是( ) 3. 如右图,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1的正三角形,俯视图是一个圆,那么几何体的侧面积为 ( B. ①正方体 A .①② B .①③ C .①④ D .②④ C. _2 D. 4 A i B i C i D i 中,既与 AB 共面也与CC i 共面的棱的条数为( 4.平面六面体ABCD
5. 一个几何体的三视图如右图所示,其中正视图中厶 ABC 是 边长为2的正三角形,俯视图为正六边形,那么该几何体的 9. 在平面上,若两个正三角形的边长的比为 1 : 2,则它们的面积比为 1 : 4,类似地,在空 间内,若两个正四面体的棱长的比为 1 : 2,则它们的体积比为 _」 10. 过圆锥高的三等分点作平行于底面的截面, 它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为 11.直三棱柱ABC A1B 1C 1的各顶点都在同一球面上, 若AB AC AAA 2 , BAC 120,则此球的表面积等于 _______________________ 侧视图的面积为( )? A. 12 B . 2 3 C . 3 2 D . 6 6 ?—个骰子由1~6六个数字组成 ,请你根据图中三种状态所显 示的数字,推出 “? ”处的数字是( : ) A. 6 B 3 C 1 D 7. 如右图所示的直观 图, 其平面图形的面积为( ) 3”2 A. 3 B . 2 C . 6 D . . 3 2 则该几何体的表面积为() ?(不考虑接触 点) A. 6+ .3 B. 18+ .3 4 C. 32 D. 18+ 2.3 亠「3 丿 、填空题(本大题共5小题,每小题 4分,满分20分?把答案填在题中横线上 正迄要 8.如右图为一个几何体的三视图,尺寸如图所示, 俯视 侧视
专题一浅析中心投影与平行投影 中心投影与平行投影是画空间几何体的三视图和直观图的基础,弄清楚中心投影与平行投影能使我们更好地掌握三视图和直观图,平行投影下,与投影面平行的平面图形留下的影子,与这个平面图形的形状和大小完全相同;而中心投影则不同.下表简单归纳了中心投影与平行投影,结合实例让我们进一步了解平行投影和中心投影. 例1如何才能使如图所示的两棵树在同一时刻的影长分别与它们的原长相等? 解析:方法一:可在同一方向上画出与原长相等的影长,分别连结它们影子顶点与树的顶点,此时为平行投影. 方法二:可在两树外侧不同方向上画出与原长相等的影子,连结影子顶点与树的顶点相交于P,此时为中心投影,P为光源位置. 点评:这是一道平行投影和中心投影相结合的题目,答案不唯一.连结物体顶点与其影子顶点,如果得到的是平行线,即为平行投影;如果得到的是相交线,则为中心投影,这是判断平行投影与中心投影的方法,也是确定中心投影光源位置的基本作法,还应注意,若中心投影光源在两树同侧时,图中的两棵树的影子不可能与原长相等. 例2 如图所示,点O为正方体ABCD-A′B′C′D′的中心,点E为面B′BCC′的中心,点F为B′C′的中点,则空间四边形D′OEF在该正方体的面上的正投影可能是________(填出所有可能的序号).
解析:在下底面ABCD上的投影为③,在右侧面B′BCC′上的投影为②,在后侧面D′DCC′上的投影为①. 答案:①②③ 点评:画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点,如顶点、端点等,方法是先画出这些关键点的投影,再依次连接各投影点即可得此图形在该平面上的投影. 专题二不规则几何体体积的求法 当所给几何体形状不规则时,无法直接利用体积公式求解,可尝试用以下几种常用的方法求出原几何体的体积,下面逐一介绍,供同学们参考. 一、等积转换法 当所给几何体的体积不能直接套用公式或套用公式时某一量(底面积或高)不易求出时, 可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算求解,该方法尤其适用于求三棱锥的体积. 例1在边长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中,M,N,P 分别是棱A1B1,A1D1,A1A上的点,且满足A1M = 1 2A1B1, A1N=2ND1,A1P= 3 4A1A(如图1),试求三棱锥A1—MNP的体 积. 分析:若用公式V= 1 3Sh直接计算三棱锥A1—MNP的体积, 则需要求出△MNP的面积和该三棱锥的高,这两者显然都不易求出, 但若将三棱锥A1—MNP的顶点和底面转换一下,变为求三棱锥P—A1MN的体积,便能很容易的求出其高和底面△A1MN的面积,从而代入公式求解. 解:V A 1-MNP =V A1—MNP = 1 3·S△A1MN ·h = 1 3× 1 2·A1M1·A1N·A1P= 1 3× 1 2× 1 2a· 2 3a· 3 4a= 1 24a 3.
A P B C F E D 立体几何专题训练 1.在四棱锥P -ABCD 中,PA =PB .底面ABCD 是菱形, 且∠ ABC =60°.E 在棱PD 上,满足DE =2PE ,M 是AB 的中点. (1)求证:平面PAB ⊥平面PMC ; (2)求证:直线PB ∥平面EMC . 2.如图,正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长都相 等, D 、 E 分别是CC 1和AB 1的中点,点 F 在BC 上且满 足BF ∶FC =1∶3. (1)若M 为AB 中点,求证:BB 1∥平面EFM ; (2)求证:EF ⊥BC 。 3.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,,E P 分别是 11,BC A D 的中点,M 、N 分别是1,AE CD 的中点,1,2AD AA a AB a === (1)求证://MN 面11ADD A (2)求三棱锥P DEN -的体积 4如图1,等腰梯形ABCD 中,AD ∠ο 60⊥⊥⊥ 4a 2a (1)求证:平面PCF ⊥平面PDE ; (2)求四面体PCEF 的体积. 6如图,等腰梯形ABEF 中,//AB EF ,AB =2, 1AD AF ==,AF BF ⊥,O 为AB 的中点,矩形ABCD 所在的平面和平面ABEF 互相垂直. (Ⅰ)求证:AF ⊥平面CBF ; (Ⅱ)设FC 的中点为M ,求证://OM 平面DAF ; (Ⅲ)求三棱锥C BEF -的体积. 7在直三棱柱111C B A ABC -中,,900=∠ABC E 、F 分别为 11A C 、11B C 的中点,D 为棱1CC 上任一点. (Ⅰ)求证:直线EF ∥平面ABD ;(Ⅱ)求证:平面ABD ⊥平面11BCC B 8已知正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -的所有棱长均为2,G 为 AF 的中点。 (1)求证:1F G ∥平面11BB E E ; (2)求证:平面1F AE ⊥平面11DEE D ; D A B C P E M A B D C E A B C D E P F A B C D E F M O C 1 A B C D E F A 1 B 1
高中数学之立体几何 平面的基本性质 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2 如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 公理3 经过不在同一直线上的三个点,有且只有一个平面. 根据上面的公理,可得以下推论. 推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. 推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面. 空间线面的位置关系 共面平行—没有公共点 (1)直线与直线相交—有且只有一个公共点 异面(既不平行,又不相交) 直线在平面内—有无数个公共点 (2)直线和平面直线不在平面内平行—没有公共点 (直线在平面外) 相交—有且只有一公共点 (3)平面与平面相交—有一条公共直线(无数个公共点) 平行—没有公共点 异面直线的判定 证明两条直线是异面直线通常采用反证法. 有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线,与平面内不经过该点的直线是异面直线”. 线面平行与垂直的判定 (1)两直线平行的判定 ①定义:在同一个平面内,且没有公共点的两条直线平行. ②如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行,即若a∥α,aβ,α∩β=b,则a∥b. ③平行于同一直线的两直线平行,即若a∥b,b∥c,则a∥c. ④垂直于同一平面的两直线平行,即若a⊥α,b⊥α,则a∥b ⑤两平行平面与同一个平面相交,那么两条交线平行,即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a∥b ⑥如果一条直线和两个相交平面都平行,那么这条直线与这两个平面的交线平行,即若α∩β=b,a∥α,a∥β,则a∥b. (2)两直线垂直的判定
立体几何大题专练 1、如图,已知PA⊥矩形ABCD 所在平面,M、N 分别为AB、PC 的中点; (1)求证:MN// 平面PAD (2)若∠ PDA=45 °,求证:MN ⊥平面PCD 2(本小题满分12 分) 如图,在三棱锥P ABC中,E,F 分别为AC,BC 的中点. 1)求证:EF // 平面PAB ; 2)若平面PAC 平面ABC,且PA PC ,求 证:平面PEF 平面PBC . ABC 90 , A P C F B
(1)证明:连结EF , Q E、F 分别为AC 、BC的中点, EF // AB. ???????? 2 分又EF 平面PAB ,AB 平面PAB ,EF∥平面PAB. ????????5 分 (2)Q PA PC,E为AC的中点, PE AC ???????? 6 分 又Q 平面PAC 平面ABC PE 面ABC ????????8 分 PE BC ????????9 分 又因为F 为BC 的中点, EF // AB Q ABC 900, BC EF ????????10 分 Q EF I PE E BC 面PEF ????????11 分 又Q BC 面PBC 面PBC 面PEF ????????12 分 3. 如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AC=BC,点D是AB的中点。 1)求证:BC1// 平面CA1D; 2)求证:平面CA1D⊥平面AA1B1B。 4.已知矩形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,E、F 分 别是AB、PC的中点. (1) 求证:EF∥平面PAD; (2) 求证:EF⊥ CD; (3) 若∠ PDA=45°,求EF与平面ABCD 所成的角的大小.
高中课程复习专题——数学立体几何 一空间几何体 ㈠空间几何体的类型 1 多面体:由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2 旋转体:把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中,这条直线称为旋转体的轴。 ㈡几种空间几何体的结构特征 1 棱柱的结构特征 棱柱的定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形, 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所 围成的几何体叫做棱柱。 % 棱柱的分类 棱柱的性质 , ⑴侧棱都相等,侧面是平行四边形; ⑵两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形; ⑶过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形; ⑷直棱柱的侧棱长与高相等,侧面的对角面是矩形。 长方体的性质 ⑴长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三 条棱的平方和:AC12 = AB2 + AC2 + AA12 ⑵长方体的一条对角线AC1与过定点A的三条棱所成 ` 的角分别是α、β、γ,那么: cos2α + cos2β + co s2γ = 1 sin2α + sin2β + sin2γ = 2 ⑶长方体的一条对角线AC1与过定点A的相邻三个面所组成的角分别为α、β、γ,则: cos2α + cos2β + cos2γ = 2 sin2α + sin2β + sin2γ = 1 图1-1 棱柱 图1-2 长方体 图1-1 棱柱
棱柱的侧面展开图:正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱为邻边的矩形。 棱柱的面积和体积公式 S 直棱柱侧面 = c ·h (c 为底面周长,h 为棱柱的高) S 直棱柱全 = c ·h+ 2S 底 【 V 棱柱 = S 底 ·h 2 圆柱的结构特征 2-1 圆柱的定义:以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱。 2-2 圆柱的性质 ⑴ 上、下底及平行于底面的截面都是等圆; ⑵ 过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。 2-3 圆柱的侧面展开图:圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。 - 2-4 圆柱的面积和体积公式 S 圆柱侧面 = 2π·r ·h (r 为底面半径,h 为圆柱的高) S 圆柱全 = 2π r h + 2π r 2 V 圆柱 = S 底h = πr 2h 3 棱锥的结构特征 3-1 棱锥的定义 ⑴ 棱锥:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 ⑵ 正棱锥:如果有一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的投影是底面的中心, 这样的棱锥叫做正棱锥。 3-2 正棱锥的结构特征 ⑴ 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形,相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比; ⑵ 正棱锥的各侧棱相等,各侧面是全等的等腰三角形; ⑶ 正棱锥中的六个元素,即侧棱(SB)、高(SO)、斜高(SH)、侧棱在底面上的射影(OB)、斜高在底面上的射影(OH)、底面边长的一半(BH),构成四个直角三角形(三角形SOB 、SOH 、SBH 、OBH 均为直角三角形)。 3-3 正棱锥的侧面展开图:正n 棱锥的侧面展开图是由n 个全等的等腰三角形组成。 3-4 正棱锥的面积和体积公式 图1-3 圆柱 )
高中数学-立体几何位置关系-平行与垂直证明方法汇总 (一)立体几何中平行问题 证明直线和平面平行的方法有: ①利用定义采用反证法; ②平行判定定理; ③利用面面平行,证线面平行。 主要方法是②、③两法 在使用判定定理时关键是确定出面内的 与面外直线平行的直线. 常用具体方法:中位线和相似 例1、P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点. 求证:PC∥面BDQ. 证明:如图,连结AC交BD于点O. ∵ABCD是平行四边形, ∴A O=O C.连结O Q,则O Q在平面BDQ内, 且O Q是△APC的中位线, ∴PC∥O Q. ∵PC在平面BDQ外, ∴PC∥平面BDQ. 例2、在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,设M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、C1D1、B1C1的中点.求证: (1)E、F、B、D四点共面; (2)面AMN∥面EFBD.
证明:(1)分别连结B 1D 1、ED 、FB ,如图, 则由正方体性质得 B 1D 1∥BD. ∵E 、F 分别是D 1C 1和B 1C 1的中点, ∴EF ∥ 21B 1D 1.∴EF ∥2 1 BD. ∴E 、F 、B 、D 对共面. (2)连结A 1C 1交MN 于P 点,交EF 于点Q ,连结AC 交BD 于点O ,分别连结PA 、Q O . ∵M 、N 为A 1B 1、A 1D 1的中点, ∴MN ∥EF ,EF ?面EFBD. ∴MN ∥面EFBD. ∵PQ ∥A O , ∴四边形PA O Q 为平行四边形. ∴PA ∥O Q. 而O Q ?平面EFBD , ∴PA ∥面EFBD.且PA ∩MN=P ,PA 、MN ?面AMN , ∴平面AMN ∥平面EFBD. 例3如图(1),在直角梯形P 1DCB 中,P 1D//BC ,CD ⊥P 1D ,且P 1D=8,BC=4,DC=4 6, A 是P 1D 的中点,沿A B 把平面P 1AB 折起到平面PAB 的位置(如图(2)),使二面角P —CD —B 成45°,设E 、F 分别是线段AB 、PD 的中点. 求证:AF//平面PE C ; 证明:如图,设PC 中点为G ,连结FG ,
高中数学立体几何知识点总结 一、空间几何体 (一)空间几何体的类型 1多面体:由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2旋转体:把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中,这条直线称为旋转体的轴。 (二)几种空间几何体的结构特征 1、棱柱的结构特征 1.1棱柱的定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 棱柱的分类 「斜機柱 ①校*L曲査十底雨>直棱 柱]一IF 皱ft 他械柱… 底面是四边形底面是平行四边形 棱柱四棱柱平行六面体侧棱垂直于底面底面是矩形 直平行六面体'长方体 底面是正方形棱长都相等 正四棱柱正方体 性质: I、侧面都是平行四边形,且各侧棱互相平行且相等; n、两底面是全等多边形且互相平行; 川、平行于底面的截面和底面全等;
2 1.3棱柱的面积和体积公式 S 直棱柱侧ch ( c 是底周长,h 是咼) S 直棱柱表面=c ? h+ 2S 底 V 棱柱=S 底? h 2、棱锥的结构特征 2.1棱锥的定义 (1) 棱锥:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共 顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 (2) 正棱锥:如果有一个棱锥的底面是正多边形, 并且顶 点在底面的投影是底面的中心,这样的棱锥叫做正棱锥。 2.2正棱锥的结构特征 I 、平行于底面的截面是与底面相似的正多边形, 相似比 等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比;它们面积 的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比; 截得的棱 锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱 锥的高的立方 比; n >正棱锥的各侧棱相等,各侧面是全等的等腰三角形; 正棱锥侧面积: 1 S 正棱椎 (c 为底周长,h'为斜高) 2 1 体积:V 棱椎-Sh ( S 为底面积,h 为高) 3 正四面体: 对于棱长为a 正四面体的问题可将它补成一个边长为 2 -a 的正方体问题。 P O H C
点、直线、平面之间的关系 ㈠平面的基本性质 公理一:如果一条直线上有两点在一个平面内,那么直线在平面内。 公理二:不共线的三点确定一个平面。 推论一:直线与直线外一点确定一个平面。 推论二:两条相交直线确定一个平面。 推论三:两条平行直线确定一个平面。 公理三:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有公共点,这些公共点的集合是一条直线(两个平面的交线)。 ㈡空间图形的位置关系 1 直线与直线的位置关系(相交、平行、异面) 1.1 平行线的传递公理:平行于同一直线的两条直线相互平行。 即:a∥b,b∥c a∥c 1.2 异面直线 定义:不在任何一个平面内的两条直线称为异面直线。 1.3 异面直线所成的角 ⑴异面直线成角的范围:(0°,90°]. ⑵作异面直线成角的方法:平移法。 注意:找异面直线所成角时,经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点(如中点、端点等),形成异面直线所成的角。 2 直线与平面的位置关系(直线在平面内、相交、平行) 3 平面与平面的位置关系(平行、斜交、垂直) ㈢平行关系(包括线面平行和面面平行) 1 线面平行 1.1 线面平行的定义:平面外的直线与平面无公共点,则称为直线和平面平行。 1.2 判定定理: 1.3 性质定理:
2 线面角: 2.1 直线与平面所成的角(简称线面角):若直线与平面斜 交,则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角θ。 2.2 线面角的范围:θ∈[0°,90°] 3 面面平行 3.1 面面平行的定义:空间两个平面没有公共点,则称为两平面平行。 3.2 面面平行的判定定理: ⑴ 判定定理1:如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么两个平面相互平行。 即: 推论:一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个 平面的两条线段,那么这两个平面平行。即: ⑵ 判定定理2:垂直于同一条直线的两平面互相平 行。即: 3.3 面面平行的性质定理 ⑴ (面面平行 线面平行) ⑵ ⑶ 夹在两个平行平面间的平行线段相等。 ㈣ 垂直关系(包括线面垂直和面面垂直) 1 线面垂直 1.1 线面垂直的定义:若一条直线垂直于平面内的任意一条直线,则这条直线垂直于平面。 1.2 线面垂直的判定定理: 图2-3 线面角 图2-5 判定1推论 图2-6 判定2
由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系,在应用中:低一级位置关系判定高一级位置关系;高一级位置关系推出低一级位置关系,前者是判定定理,后者是性质定理。 1. 线线、线面、面面平行关系的转化: αβ αγβγ //,// ==???? a b a b 面面平行性质 ??? ? ? 面面平行性质 αγβγαβ //////?? ?? 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化: a a OA a PO a PO a AO ?⊥?⊥⊥?⊥αα 在内射影则 面面垂直判定 线面垂直定义 l a l a ⊥??⊥? ??α α 面面垂直性质,推论2 αβ αββα⊥=?⊥?⊥??? ? ? b a a b a , αγβγαβ γ⊥⊥=?⊥? ?? ? ? a a 面面垂直定义 αβαβαβ =--?⊥? ?? l l ,且二面角成直二面角
面面∥面面平行判定2 线面垂直性质2a b a b //⊥?⊥??? α α a b a b ⊥ ⊥???? αα// a a ⊥⊥?? ?? αβα β // αβα β//a a ⊥⊥? ?? a 4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定,由已知想性质。” 5. 唯一性结论: 1. 三类角的定义: (1)异面直线所成的角θ:0°<θ≤90 ° (2)直线与平面所成的角:0°≤θ≤90° (3)二面角:二面角的平面角θ,0°<θ≤180° 2. 三类角的求法:转化为平面角“一找、二作、三算” 即:(1)找出或作出有关的角;(2)证明其符合定义; (3)指出所求作的角; (4)计算大小。
【最新整理,下载后即可编辑】 【模拟试题】 一. 选择题(每小题5分,共60分) 1. 给出四个命题: ①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱; ②各对角面是全等矩形的平行六面体一定是长方体; ③有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱; ④长方体一定是正四棱柱。 其中正确命题的个数是() A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 下列四个命题: ①各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥; ②底面是正多边形的棱锥是正棱锥; ③棱锥的所有面可能都是直角三角形; ④四棱锥中侧面最多有四个直角三角形。 正确的命题有________个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 长方体的一个顶点处的三条棱长之比为1:2:3,它的表面积为88,则它的对角线长为() A. 12 B. 24 C. 214 D. 414 4. 湖面上漂着一个球,湖结冰后将球取出,冰面上留下一个面直径为24cm,深为8cm的空穴,则该球的半径是() A. 8cm B. 12cm C. 13cm D. 82cm 5. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积为侧面积的比是() A. 12 2 +π π B. 14 4 +π π C. 12 +π π D. 14 2 +π π 6. 已知直线l m ⊥? 平面,直线平面 αβ,有下面四个命题: ①αβ//?⊥l m;②αβ⊥?l m //;③l m //?⊥ αβ;④l m⊥?αβ//。 其中正确的两个命题是() A. ①② B. ③④ C. ②④ D. ①③
7. 若干毫升水倒入底面半径为2cm 的圆柱形器皿中,量得水面的高度为6cm ,若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中,则水面的高度是( ) A. 63cm B. 6cm C. 2182 D. 3123 8. 设正方体的全面积为242cm ,一个球内切于该正方体,那么这个球的体积是( ) A. 63πcm B. 32 3 3 πcm C. 8 3 3 πcm D. 4 3 3 πcm 9. 对于直线m 、n 和平面αβ、能得出αβ⊥的一个条件是( ) A. m n m n ⊥,,////αβ B. m n m n ⊥=?,,αβα C. m n n m //,,⊥?βα D. m n m n //,,⊥⊥αβ 10. 如果直线l 、m 与平面αβγ、、满足: l l m m =?⊥βγααγ ,,,//,那么必有( ) A. αγ⊥⊥和l m B. αγβ////,和m C. m l m //β,且⊥ D. αγαβ⊥⊥且 11. 已知正方体的八个顶点中,有四个点恰好为正四面体的顶点,则该正四面体的体积与正方体的体积之比为( ) A. 13: B. 12: C. 2:3 D. 1:3 12. 向高为H 的水瓶中注水,注满为止,如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图所示,那么水瓶的形状是( ) 二. 填空题(每小题4分,共16分) 13. 正方体的全面积是a 2,它的顶点都在球面上,这个球的表面积是__________。 14. 正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5:2:8,体积为143cm ,则棱台的高为____________。 15. 正三棱柱的底面边长为a ,过它的一条侧棱上相距为b 的
高中课程复习专题 ——数学立体几何 一空间几何体 ㈠空间几何体的类型 1多面体:由若干个平面多边形围成的几何体。 围成多面体的各个 多边形叫做多面体的面, 相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2旋转体:把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭 几何体。 其中, 这条直线称为旋转体的轴。 ㈡几种空间几何体的结构特征 1棱柱的结构特征 1.1棱柱的定义:有两个面互相平行, 其余各面都是四边 形,并且每相邻 两个四边形的公共边都互相平行,由这些 面所围成的几何体叫做棱柱。 1.2棱柱的分类 瓦他棱柱… ②四检杆 底血为甲行四边遊 T-trAfij 休 侧检旺亢丁底向 A-'K'tf'AlkJtt 囱向为和序 ------------------ ? ------------- - ----------------- ■ ------------------ A 长方体I 屁血为止方册.1』四棱相 傭棱打底血边怅*||簞 止方体 1.3棱柱的性质 ⑴侧棱都相等,侧面是平行四边形; ⑵ 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形; ⑶过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形; ⑷直棱柱的侧棱长与高相等,侧面的对角面是矩形。 1.4长方体的性质 ⑴长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三 条棱的平方和:AC 12 = AB 2 + AC 2 + AA 12 ⑵长方体的一条对角线 AC 1与过定点A 的三条棱所成 的角分别是a 伙Y 那么: 2 2 2 cos a + cos 3 + COS 丫= 1 sin 2 a + sin 3 + siny =2 ⑶ 长方体的一条对角线 AC 1与过定点A 的相邻三个面所组成的角分别为 a 3 Y 则: .咬llLI 昭|1.呂出 *正棱柱 够一 ;I ;从 图1-2长方体 2 COs a 2 2 + cos 3 + COSY = 2 sin 2 a 2 2 + sin 3 + sinY =1 E' A 图图1棱柱棱柱