2006年考研数学一真题
一、填空题（1~6小题，每小题4分，共24分。）
(1)。
【答案】2。
【解析】
等价无穷小代换：
当时，
所以
综上所述，本题正确答案是2。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较
(2)微分方程的通解为__________。
【答案】，为任意常数。
【解析】
原式等价于
（两边积分）即，为任意常数
综上所述，本题正确答案是。
【考点】高等数学—常微分方程—一阶线性微分方程
(3)设是锥面的下侧，则
。
【答案】。
【解析】
设，取上侧，则
而
所以
综上所述，本题正确答案是。
【考点】高等数学—多元函数积分学—两类曲面积分的概念、性质及计算
(4)点(2,1,0)到平面的距离。
【答案】。
【解析】
点到平面的距离公式：
其中为点的坐标，为平面方程所以
综上所述，本题正确答案是。
【考点】高等数学—向量代数和空间解析几何—点到平面和点到直线的距离
(5)设矩阵，为二阶单位矩阵，矩阵满足
，则___________。
【答案】2。
【解析】
因为，所以。
综上所述，本题正确答案是。
【考点】线性代数—行列式—行列式的概念和基本性质
线性代数—矩阵—矩阵的线性运算
(6)设随机变量与相互独立，且均服从区间上的均匀分布，则
___________。
【答案】。
【解析】
本题考查均匀分布，两个随机变量的独立性和他们的简单函数的分布。
事件又根据相互独立，均服从均匀分布，可以直接写出
综上所述，本题正确答案是。
【考点】概率论—多维随机变量的分布—二维随机变量的分布二、选择题（7~14小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的
四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）
(7)设函数具有二阶导数，且，为自变
量在点处的增量，与分别为在点处对应的增量与微分，若，则
(A) (B)
(C) (D)
【答案】A。
【解析】
【方法一】
由函数单调上升且凹，根据和的几何意义，得如下所示的图
由图可得
【方法二】
由凹曲线的性质，得，于是
，即
综上所述，本题正确答案是A。
【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念，导数的几何意义和物理意义
(8)设为连续函数，则等于
(A) (B)
(C) (D)
【答案】C。
【解析】
如图所示，显然是型域，则原式
综上所述，本题正确答案是C
【考点】高等数学—多元函数微积分学—二重积分的概念、基本性质和计算
(9)若级数收敛，则级数
(A)收敛 (B)收敛
(C)收敛 (D)收敛
【答案】D。
【解析】
由收敛知收敛，所以级数收敛。
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—无穷级数—收敛级数的和的概念
(10)设与均为可微函数，且。已知是
在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是
(A)若，则
(B)若，则
(C)若，则
(D)若，则
【答案】D。
【解析】
本题主要考查了二元函数极值的必要条件和拉格朗日乘数法。
作拉格朗日函数并记对应的参数的值为则即
消去得
整理得：
, 若则
综上所述，本题正确答案是D
【考点】高等数学—多元函数微积分学—二元函数的极限(11)设均为维列向量，是矩阵，下列选项正确的
是
(A)若线性相关，则线性相关
(B)若线性相关，则线性无关
(C)若线性无关，则线性相关
(D)若线性无关，则线性无关
【答案】A。
【方法一】
因为线性相关，故存在不全为零的数使得
从而有
即由于不全为0而是上式成立，说明线性相关。
【方法二】
利用秩来求解，利用分块矩阵有
那么
因为线性相关，有
从而故线性相关。
综上所述，本题正确答案是A
【考点】线性代数—向量—向量组的线性相关与线性无关，向量组的秩
(12)设为三阶矩阵，将的第2行加到第1行的，再将的第1
列的倍加到第2列得，记，则
(A)(B)
(C)(D)
【答案】B。
按已知条件，用初等矩阵描述有
所以。
综上所述，本题正确答案是B
【考点】线性代数—矩阵—矩阵的线性运算
(13)设为随机事件，且,则必有
(A) (B)
(C) (D)
【答案】C。
【解析】
由，得到，又已知
综上所述，本题正确答案是C。
【考点】概率论与数理统计—随机事件和概率—条件概率，概率的基本公式
(14)设随机变量服从正态分布服从正态分布且
则必有
(A) (B)
(C) (D)
【答案】A。
【解析】
由于与的分布不同，不能直接判断和
的大小与参数的关系，将其标准化，就可以方便比较。
随机变量且其概率密度函数为偶函数，故
同理。
因为是单调增函数，当时，
即所以即
。
综上所述，本题正确答案是A
【考点】概率论与数理统计—随机变量及其分布—正态分布及应用
三、解答题（15~23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明
过程或演算步骤。）
(15)（本题满分10分）
设区域，计算二重积分
.
【解析】
本题需要用到二重积分的对称性，又因为积分区域为圆域的一部分，所以化为极坐标下的累次积分来求解。
积分区域如图所示，因为区域关于轴对称，函数
是变量的偶函数，函数
是变量的奇函数，则
,
故。
【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用
(16)（本题满分12分）
设数列满足.
(I)证明存在，并求该极限；
(II)计算.
【解析】
本题数列是由递推关系给出的，通常用单调有界准则证明极限存在，并求出极限，第二问转化为函数的极限来求解。
(I)用归纳法证明单调减且有下界：
由于
则由知，设则
所以单调减且有下界，故极限存在。
记由知所以，即。
(II)由于所以，考虑函数极限
又
则故
【考点】高等数学—函数、极限、连续—极限的四则运算、单调有界准则
(17)（本题满分12分）
将函数展成的幂级数
【解析】
则
即
而
故
【考点】高等数学—无穷级数—初等函数的幂级数展开式(18)（本题满分12分）
设函数在内具有二阶导数，且满足等式
(I)验证；
(II)若，求函数的表达式。
【解析】本题主要考查复合函数偏导数的求解。
(I)设则
,
,
,将代入
得。
(II)令则两边积分得：
即即
由可得所以有两边积分得
由可得故。
【考点】高等数学—多元函数微积分学—多元函数的偏导数(19)（本题满分12分）
设在上半平面内，函数具有连续偏导数，且对任意的都有
证明：对内的任意分段光滑的有向简单闭曲线，都有
【解析】
两边对求导得
令，则
设，则
即，所以对内的任意分段光滑的有向简单闭曲线，都有
【考点】高等数学—多元函数积分学—平面曲线积分与路径无关的条件
(20)（本题满分9分）
已知非齐次线性方程组
有三个线性无关的解。
(I)证明方程组系数矩阵的秩；
(II)求的值及方程组的通解。
【解析】
本题主要考查含参数的非齐次线性方程组的求解问题。
(I)设是非齐次线性方程组的三个线性无关的解，那么
是线性无关的解，所以即,显然矩阵中有阶子式不为又有从而秩
(II)对增广矩阵作初等行变换，有
由题设和第一问知，故有
解出此时
那么是的解，且
是的基础解系，所以方程组的通解是
。
【考点】线性代数—线性方程组—非齐次线性方程组的通解线性代数—矩阵—矩阵的秩
(21)（本题满分9分）
设三阶实对称矩阵的各行元素之和均为3，向量
是线性方程组的两个解。
(I)求的特征值与特征向量；
(II)求正交矩阵和对角矩阵，使得;
【解析】本题中未知，故用定义法求解。
(I)因为矩阵的各行元素之和均为即有所以
是矩阵的特征值，是属于的特征向量。
又故是矩阵属于的两个线性无关的特征向量。因此矩阵的特征值是.
的特征向量为其中为常数；
的特征向量为其中是不全为0的常数。
(II)因为不正交，故需要正交化，
单位化
那么令
得
【考点】线性代数—矩阵的特征值和特征向量—矩阵的特征值和特征向量的概念、性质、计算
(22)（本题满分9分）
设随机变量的概率密度为令
为二维随机变量的分布函数，求：
(I)的概率密度
(II).
【解析】
(I)设的分布函数为则
当时，
当时，
,
当时，
,
;
当时，
故的概率密度为
(II)
,
【考点】概率论与数理统计—多维随机变量的分布—二维连续型随机变量的概率密度、分布函数
概率论与数理统计—随机变量的数字特征—随机变量的数学期望(均值)、协方差
(23)（本题满分9分）
设总体的概率密度为
其中是未知参数为来自总体的简单随机样本，记为样本值中小于的个数，求的最大似然估计
【解析】
似然函数为
取对数,得
两边对求导，得
令，得显然最大，所以的最大似然估计为。
2006年考研数学三真题 一、填空题（1~6小题，每小题4分，共24分。） (1)。 【答案】 【解析】 【方法一】记因为 且故。 【方法二】而 为有界变量，则原式。 综上所述，本题正确答案是。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—极限的四则运算(2)设函数在的某领域内可导，且则 。 【答案】。 【解析】本题主要考查复合函数求导。 由知
综上所述，本题正确答案是。 【考点】高等数学—一元函数微分学—复合函数的导数 (3)设函数可微，且则在点处的全 微分。 【答案】 【解析】因为 , 所以。 综上所述，本题正确答案是 【考点】高等数学—多元函数微积分学—偏导数、全微分 (4)设矩阵，为二阶单位矩阵，矩阵满足 ，则___________。 【答案】2。 【解析】 因为，所以。 综上所述，本题正确答案是。 【考点】线性代数—行列式—行列式的概念和基本性质
线性代数—矩阵—矩阵的线性运算 (5)设随机变量与相互独立，且均服从区间上的均匀分布， 则___________。 【答案】。 【解析】本题考查均匀分布，两个随机变量的独立性和他们的简单函数的分布。 事件又根据相互独立，均服从均匀分布，可以直接写出 综上所述，本题正确答案是。 【考点】概率论—多维随机变量的分布—二维随机变量的分布(6)设总体的概率密度为 为总体的随机简单样本，其样本方差为则_______。 【答案】 【解析】 综上所述，本题正确答案是。 【考点】概率论—随机变量的数字特征—随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质 二、选择题（7~14小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的
2006年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）()11lim ______.n n n n -→∞ +?? = ??? （2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()() e f x f x '=，()21f =，则()2____.f '''= （3）设函数()f u 可微,且()1 02 f '= ,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分() 1,2d _____.z = （4）设矩阵2112A ?? = ?-?? ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B . （5）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则 {}{}max ,1P X Y ≤=_______. （6）设总体X 的概率密度为()()121,,,,2 x n f x e x X X X -= -∞<<+∞为总体X 的简 单随机样本，其样本方差为2 S ，则2 ____.ES = 二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ?为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ?与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ?>，则 (A) 0d y y <
2006年考研数学（三）真题 一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）()11lim ______.n n n n -→∞ +?? = ??? （2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()() e f x f x '=，()21f =，则()2____.f '''= （3）设函数()f u 可微,且()1 02 f '=,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分() 1,2d _____.z = （4）设矩阵2112A ?? = ?-?? ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B . （5）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则{}{} max ,1P X Y ≤=_______. （6）设总体X 的概率密度为()()121,,,,2 x n f x e x X X X -= -∞<<+∞L 为总体X 的简单随机样本，其样本方差为2 S ，则2 ____.ES = 二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ?为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ?与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ?>，则 (A) 0d y y <
2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、填空题：1-6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (1) 曲线4sin 52cos x x y x x += -的水平渐近线方程为 (2) 设函数2 301sin ,0 (),0x t dt x f x x a x ?≠?=??=? ? 在0x =处连续，则a = (3) 广义积分 22 (1)xdx x +∞ = +? (4) 微分方程(1) y x y x -'= 的通解是 (5) 设函数()y y x =由方程1y y xe =-确定，则 x dy dx == (6) 设2112A ?? = ?- ?? ,E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+,则B = . 二、选择题：9-14小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (7) 设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0, f x f x x '''>>为自变量x 在点0x 处的 增量，y 与dy 分别为()f x 在点0x 处对应增量与微分，若0x >，则( ) (A)0dy y << (B)0y dy << (C)0y dy << (D)0dy y << (8) 设()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一类间断点，则0 ()x f t dt ?是( ) (A)连续的奇函数 (B)连续的偶函数 (C)在0x =间断的奇函数 (D)在0x =间断的偶函数 (9) 设函数()g x 可微，1() (),(1)1,(1)2,g x h x e h g +''===则(1)g 等于( ) (A)ln 31- (B)ln 31-- (C)ln 21-- (D)ln 21- (10) 函数212x x x y c e c e xe -=++满足的一个微分方程是( ) (A)23x y y y xe '''--= (B)23x y y y e '''--= (C)23x y y y xe '''+-= (D)23x y y y e '''+-=
2006年数学三试题分析、详解和评注 一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）()11lim 1.n n n n -→∞ +?? = ??? （2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()() e f x f x '=，()21f =，则()322e .f '''= （3 微分(1,2d z （4） （5）{P （6）的简（7）0处的(C) d 0y y ?<<. (D) d 0y y
（9）若级数 1n n a ∞ =∑收敛，则级数 (A) 1n n a ∞ =∑收敛 . （B ） 1 (1) n n n a ∞ =-∑收敛. (C) 11 n n n a a ∞ +=∑收敛. (D) 1 1 2n n n a a ∞ +=+∑ 收敛. [ ] （10）设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C 为任意常 数，则该方程的通解是 （Ａ）[]12()()C y x y x -. （Ｂ）[]112()()()y x C y x y x +-. （Ｃ）[]12()()C y x y x +. （Ｄ）[]112()()()y x C y x y x ++ [ ] （11）设(,)(,)f x y x y ?与均为可微函数，且(,)0y x y ?'≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ?=下的一个极值点，下列选项正确的是 (A) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=. (D) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠. [ ] （12）设12,,,s αααL 均为n 维列向量，A 为m n ?矩阵，下列选项正确的是 (A) 若12,,,s αααL 线性相关，则12,,,s A A A αααL 线性相关. (B) 若12,,,s αααL 线性相关，则12,,,s A A A αααL 线性无关. (C) 若12,,,s αααL 线性无关，则12,,,s A A A αααL 线性相关. (D) 若12,,,s αααL 线性无关，则12,,,s A A A αααL 线性无关. [ ] （13）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2 列得C ，记110010001P ?? ? = ? ??? ，则
2016年考研数学（三）真题 一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）()11lim ______.n n n n -→∞ +?? = ??? （2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()() e f x f x '=，()21f =，则()2____.f '''= （3）设函数()f u 可微,且()1 02 f '=,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分() 1,2d _____.z = （4）设矩阵2112A ?? = ?-?? ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B . （5）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则{}{} max ,1P X Y ≤=_______. （6）设总体X 的概率密度为()()121,,,,2 x n f x e x X X X -= -∞<<+∞L 为总体X 的简单随机样本，其样本方差为2 S ，则2 ____.ES = 二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ?为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ?与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ?>，则 (A) 0d y y <
2006考研数学三真题及答案 一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1） ()11lim ______. n n n n -→∞+??= ??? （2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且 ()() e f x f x '=， ()21 f =，则 ()2____. f '''= （3）设函数()f u 可微,且 ()1 02f '= ,则 ()22 4z f x y =-在点(1,2)处的全微分() 1,2d _____. z = （4）设矩阵 2112A ?? = ? -??，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B . （5）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间 []0,3上的均匀分布，则 {}{}max ,1P X Y ≤= _______. （6）设总体X 的概率密度为 ()()121,,, ,2x n f x e x X X X -=-∞<<+∞为总体X 的简 单随机样本，其样本方差为2 S ，则2 ____.ES = 二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ?为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ?与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ?>，则 (A) 0d y y <
2006年考研数学（三）真题 一、 填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）()11lim ______.n n n n -→∞ +?? = ??? （2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()e f x f x '=，()21f =，则()2____.f '''= （3）设函数()f u 可微,且()1 02 f '= ,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分() 1,2d _____.z = （4）设矩阵2112A ?? = ?-?? ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B . （5）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则 {}{}max ,1P X Y ≤=_______. （6）设总体X 的概率密度为()()121 ,,,,2 x n f x e x X X X -=-∞<<+∞为总体X 的简单随机样 本，其样本方差为2S ，则2____.ES = 二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ?为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ?与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ?>，则 (A) 0d y y <
2006年全国硕士研究生入学考试数学（二）解析 一、填空题 （1）曲线4sin 52cos x x y x x += -的水平渐近线方程为 15 y = 4sin 11lim lim 5 5x x x x y x →∞→∞+ ==- （2）设函数2 30 1sin , 0(),0 x t dt x f x x a x ?≠?=??=? ? 在x =0处连续，则a = 13 2200()1 lim ()lim 33 x x sm x f x x →→== （3）广义积分 22 (1)xdx x +∞ = +? 12 2222220 1 (1)11 11 0(1)2 (1)2(1) 22 xdx d x x x x +∞+∞ +∞ += =-? =+ =+++? ? （4）微分方程(1) y x y x -'= 的通解是x y cxe -=)0(≠x （5）设函数()y y x =由方程1y y xe =-确定，则0 x dy dx ==e - 当x =0时，y =1， 又把方程每一项对x 求导，y y y e xe y ''=-- 01 (1)1x x y y y y y e y xe e y e xe ==='' +=-=- =-+ (6) 设A = 2 1 ,2B 满足BA =B +2E ,则|B |= . -1 2 解:由BA =B +2E 化得B (A -E )=2E ,两边取行列式,得 |B ||A -E |=|2E |=4, 计算出|A -E |=2,因此|B |=2. 二、选择题 （7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0,f x f x x '''>>?为自变量x 在点x 0处的增量，0()y dy f x x ?与分别为在点处对应增量与微分,若0x ?>，则[A] （A ）0dy y <
2006年考研数学二真题 一、填空题（1~6小题，每小题4分，共24分。） 。 (1)曲线的水平渐近线方程为_________ 【答案】。 【解析】 故曲线的水平渐近线方程为。 综上所述，本题正确答案是 【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、拐点 及渐近线 (2)设函数在处连续，则_________ 。 【答案】。 【解析】. 综上所述，本题正确答案是 【考点】高等数学—函数、极限、连续—初等函数的连续性 。 (3)反常积分_________ 【答案】。 【解析】
综上所述，本题正确答案是 【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 。 (4)微分方程的通解为__________ 【答案】，为任意常数。 【解析】 即，为任意常数 综上所述，本题正确答案是。 【考点】高等数学—常微分方程—一阶线性微分方程 。(5)设函数由方程确定，则__________ 【答案】。 【解析】等式两边对求导得 将代入方程可得。 将代入，得. 综上所述，本题正确答案是。 【考点】高等数学—一元函数微分学—复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法 (6)设矩阵，为二阶单位矩阵，矩阵满足， 。 则___________ 【答案】2。 【解析】
因为，所以。 综上所述，本题正确答案是。 【考点】线性代数—行列式—行列式的概念和基本性质，行列式按行(列)展开定理 二、填空题（7~14小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的 四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。） (7)设函数具有二阶导数，且，为自 变量在点处的增量，与分别为在点处对应的增量与微分，若，则 (A)(B) (C)(C) 【答案】A。 【解析】 【方法一】由函数单调上升且凹，根据和的几何意义，得如下所示的图 由图可得 【方法二】
2006年全国硕士研究生入学考试数学（一） 一、填空题 （1）0ln(1) lim 1cos x x x x →+= -. （2）微分方程(1) y x y x -'=的通解是 . （3）设∑是锥面22z x y =+（01z ≤≤） 的下侧，则23(1)xdydz ydzdx z dxdy ∑ ++-=?? . （4）点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离z = . （5）设矩阵2112A ?? = ?-?? ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则B = 16 . （6）设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间[0, 3]上的均匀分布，则 {}max{,}1P X Y ≤= . 二、选择题 （7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ?为自变量x 在0x 处的 增量，y ?与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ?>，则 （A ）0.dx y <
2016年考研数学三真题及解析
2016年考研数学（三）真题 一、 填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）()11lim ______. n n n n -→∞ +??= ? ?? （2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()e f x f x '=，()21f =，则()2____.f '''= （3）设函数()f u 可微,且()102 f '=,则() 2 24z f x y =-在点(1,2)处的 全微分( ) 1,2d _____. z = （4）设矩阵 2112A ??= ? -?? ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足 2BA B E =+，则=B . （5）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则{}{}max ,1P X Y ≤=_______. （6）设总体X 的概率密度为()()121,,,,2 x n f x e x X X X -=-∞<<+∞L 为总体X 的简单随机样本，其样本方差为2 S ，则2 ____. ES = 二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ?为自变量x 在点0 x 处的增量，d y y ?与分别为()f x 在点0 x 处对应的 增量与微分，若0x ?>，则
(A) 0d y y <
2006年考研数学(三)真题 、填空题：1 — 6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上 (2)设函数f(x)在x=2的某邻域内可导，且f '(x ) = e f (x ), f(2)=1，则f "'(2)= _____________ 1 f(u)可微且「(0)=?,则Z = f (4x 2 -y 2 )在点(1,2)处的全微分dz (4)设矩阵A = '2 1 , E 为2阶单位矩阵，矩阵 B 满足BA=B + 2E ，贝U B = 厂 1 2丿 勺 (5)设随机变量X 与丫相互独立，且均服从区间 b,3 ］上的均匀分布，则 p{max (X,Y}兰1 = ________ 1 I (6) 设总体X 的概率密度为f x e*：::x ，川，X n 为总体X 的简单随机样本，其 样本方差为S 2，则ES 2 = ___________ . 二、选择题：7— 14小题，每小题4分，共32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把 所选项前的 字母填在题后的括号内 . (7) 设函数y =f(x)具有二阶导数，且f (x) ? 0, f (x) ? 0 , 为自变量x 在点x 0处的增量， 逍与dy 分别为f (x)在点X 。处对应的增量与微分，若 x ?0,则 (8)设函数f x 在x = 0处连续，且lim 1^=1，则 t h 2 (1) lim (3)设函数 ,2 (A) 0 :: dy ： -y . (B) 0 ： y < dy . (C) y ■■■ dy < 0 . (D) dy ：： y ：： 0 (A) f 0 =0且仁0存在 (B) f 0 =1且f_ 0 存在 (C) f 0 =0且f 0存在 (D) f 0 二 1且f 0 存在 []
2006年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、填空题：1-6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (1) 0ln(1) lim 1cos x x x x →+= -. (2) 微分方程(1) y x y x -'=的通解是 . (3) 设∑是锥面z =(01z ≤≤)的下侧，则23(1)xdydz ydzdx z dxdy ∑ ++-=?? . (4) 点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离d = . (5) 设矩阵2112A ?? = ?-?? ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2B A B E =+，则B = . (6)设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，则 {} max{,}1P X Y ≤= . 二、选择题：9-14小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (7) 设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x 为自变量x 在0x 处的增量，y 与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x >，则( ) (A)0.dx y << (B)0.y dy << (C)0.y dy << (D)0.dy y << (8) 设(,)f x y 为连续函数，则 1 40 (cos ,sin )d f r r rdr π θθθ? ?等于( ) (A) (,).x f x y dy ?? (B) (,).dx f x y dy ? ? (C) (,).y f x y dx ? ? (D) (,).f x y dx ? ? (9) 若级数 1n n a ∞ =∑收敛，则级数( ) (A) 1 n n a ∞ =∑收敛. (B) 1 (1) n n n a ∞ =-∑收敛.
1989年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.) (1) 曲线2sin y x x =+在点12 2,π π??+ ???处的切线方程是__ _ . (2) 幂级数 n n ∞ =的收敛域是__ _ . (3) 齐次线性方程组 1231231 230,0,0 x x x x x x x x x λλ++=?? ++=??++=? 只有零解,则λ应满足的条件是__ _ . (4) 设随机变量X 的分布函数为 ()00sin 0212 ,x ,F x A x, x ,,x , π π ? ? ?? 则A =__________,6P X π? ?<=??? ? . (5) 设随机变量X 的数学期望()E X μ=,方差2()D X σ=,则由切比雪夫(Chebyshev)不 等式,有{3}P X μσ-≥≤__ _ . 二、选择题(本题满分15分,每小题3分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设()232x x f x ,=+-则当0x →时 ( ) (A) ()f x 与x 是等价无穷小量 (B) ()f x 与x 是同阶但非等价无穷小量 (C) ()f x 是比x 较高阶的无穷小量 (D) ()f x 是比x 较低阶的无穷小量 (2) 在下列等式中,正确的结果是 ( ) (A) ()()f x dx f x '=? (B) ()()df x f x =? (C) ()()d f x dx f x dx =? (D) ()()d f x dx f x =? (3) 设A 为n 阶方阵且0A =,则 ( ) (A) A 中必有两行(列)的元素对应成比例
2006数学三考研试题和答案
2006年数学三试题分析、详解和评注 一、 填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）()11lim 1. n n -+??= （()f x ， ()2f （（B （[]0,3{P （为()()121,,, ,2 x n f x e x X X X -=-∞<<+∞为总体X 的简单随机样 本，其样本方差为2 S ，则2 2. ES = 二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>， x ?为自变量x 在点0 x 处的增量，d y y ?与分别为()f x 在 点0 x 处对应的增量与微分，若0x ?>，则 (A) 0d y y <
[ ] （13）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ，记 110010001P ?? ?= ? ??? ，则 C =C =（2 2 μ> 三 （15）（本题满分7分） 设()1sin ,,0,0 1arctan x y y y f x y x y xy x π-=->>+,求 (Ⅰ) ()() lim ,y g x f x y →+∞ =；
2006年数学（二）考研真题及解答 一、填空题 （1）曲线4sin 52cos x x y x x += -的水平渐近线方程为 . （2）设函数23 1sin ,0, (), x t dt x f x x a x ?≠? =??=? ? 在0x =处连续，则a = . （3）广义积分 22 (1)xdx x +∞=+? . （4）微分方程(1) y x y x -'= 的通解是 . （5）设函数()y y x =由方程1y y xe =-确定，则0 A dy dx == . （6）设矩阵2112A ?? = ?-?? ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2B A B E =+，则B = . 二、选择题 （7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ?为自变量x 在0x 处的增量，y ?与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ?>，则 （A ）0.dy y <
dz 2006年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一、填空题：1-6 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上. 1 n n 1 (1) n lim _________ (2) 设函数 f x ( )在x 2的某领域内可导,且 f x e f x , f 2 1 , 则 f 2 ______ (3) 设函数 f (u ) 可微,且 f 0 ,则 z f 4x 2 y 2 在点(1,2)处的全微 分 1,2 _____ 2 1 (4) 设矩阵 A , E 为2阶单位矩阵,矩阵 E 满足 BA B 2E ,则 B _________ 1 2 (5) 设随机变量 X 与Y 相互独立,且均服从区间0,3 上的均匀分布,则 P max X Y , 1 _________ (6) 设总体 X 的概率密度为 f x e x x ,x x 1, 2 ,......x n 为总体 x 的简单随 机样本,其样本方差 S 2 ,则 E S 2 =__________ 二、选择题：9-14 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (7) 设函数 y f x ( ) 具有二阶导数，且 f (x ) 0, f ( )x 0 ， x 为自变量 x 在 x 0 处的增量， y 与dy 分别为 f (x ) 在点 x 0 处对应的增量与微分，若 x 0，则( ) (A)0 dx y . (B)0 y dy . (C) y dy 0. (D) dy y 0.
f h 2 (8)设函数f x 在x0处连续,且lim0 h 2 1,则( ) h (A) f 0 0且f ' 0 存在(B) f 0 1且f ' 0 存在 (C) f 0 0且f ' 0 存在(D) f 0 1且f ' 0 存在 (9)若级数a n 收敛,则级数( ) n1 (A) a n 收敛( B) 1n a n 收敛 n 1 n1 a n a n 1 收敛 (C) a n a n 1 收敛(D) n 1 n 1 2 (10)设非齐次线性微分方程y P x y ( ) Q x( ) 有两个的解y 1 x , y 2 x ,C 为任意常数,则 该方程通解是( ) (A)C y 1 x y 2 x (B) y 1 x C y 1 x y 2 x (C)C y 1 x y 2 x (D) y 1 x C y 1 x y 2 x (11)设f x y , 与x y , 均为可微函数,且y x, y0 ,已知x0, y 0 是f x,y在约束 条件x, y0 下的一个极值点,下列选项正确的是( ) (A) 若f x x0 , y 0 0,则f y x0 , (B) 若f x x0, y 0 0,则
2005年考研数学（三）真题 一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （1）极限1 2sin lim 2 +∞ →x x x x = . （2） 微分方程0=+'y y x 满足初始条件2)1(=y 的特解为______. （3）设二元函数)1ln()1(y x xe z y x +++=+，则=) 0,1(dz ________. （4）设行向量组)1,1,1,2(，),,1,2(a a ，),1,2,3(a ，)1,2,3,4(线性相关，且1≠a ，则a=_____. （5）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从X ,,2,1 中任取一个数，记为Y, 则 }2{=Y P =______. （6）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1 已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，则a= ， b= . 二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （7）当a 取下列哪个值时，函数a x x x x f -+-=1292)(2 3 恰好有两个不同的零点. (A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. [ ] （8）设σd y x I D ??+= 221cos ,σd y x I D ??+=)cos(222,σd y x I D ??+=2223)cos(,其中 }1),{(22≤+=y x y x D ，则 (A) 123I I I >>. （B ）321I I I >>. (C) 312I I I >>. (D) 213I I I >>. [ ] （9）设,,2,1,0 =>n a n 若 ∑∞ =1 n n a 发散， ∑∞ =--1 1 ) 1(n n n a 收敛，则下列结论正确的是 (A) ∑∞ =-11 2n n a 收敛， ∑∞ =1 2n n a 发散 . （B ） ∑∞ =1 2n n a 收敛， ∑∞ =-1 1 2n n a 发散. (C) )(1 21 2∑∞ =-+n n n a a 收敛. (D) )(1 212∑∞ =--n n n a a 收敛. [ ] （10）设x x x x f cos sin )(+=,下列命题中正确的是