2006年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）()
11lim ______.n
n n n -→∞
+??
= ???
（2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()
e f x f x '=，()21f =，则()2____.
f '''=
（3）设函数()f u 可微,且()102
f '=
,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分
()
1,2d _____.z
=
（4）设矩阵211
2A ??
=
?-??
，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B . （5）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则{}{}max ,1P X Y ≤=_______.
（6）设总体X 的概率密度为()()121,,,,2
x
n f x e
x X X X -=
-∞
<<+∞ 为总体X 的简
单随机样本，其样本方差为2S ，则2____.ES =
二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ?为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ?与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ?>，则
(A) 0d y y <
(C) d 0y y ?<<. (D) d 0y y
（8）设函数()f x 在0x =处连续，且()
2
20
lim
1h f h h
→=，则
(A) ()()000f f -'=且存在 (B) ()()010f f -'=且存在
(C) ()()000f f +'=且存在 (D)()()010f f +'=且存在 [ ]
（9）若级数1n n a ∞
=∑收敛，则级数
(A)
1n n a ∞
=∑
收敛 . （B ）1
(1)n
n n a ∞
=-∑收敛.
(C)
11
n n n a a ∞
+=∑
收敛. (D)
1
1
2
n n n a a ∞
+=+∑
收敛. [ ]
（10）设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C 为任意常
数，则该方程的通解是
（Ａ）[]12()()C y x y x -. （Ｂ）[]112()()()y x C y x y x +-.
（Ｃ）[]12()()C y x y x +. （Ｄ）[]112()()()y x C y x y x ++ [ ]
（11）设(,)(,)f x y x y ?与均为可微函数，且(,)0y x y ?'≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ?=下的一个极值点，下列选项正确的是
(A) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=.
(D) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠. [ ]
（12）设12,,,s ααα 均为n 维列向量，A 为m n ?矩阵，下列选项正确的是
(A) 若12,,,s ααα 线性相关，则12,,,s A A A ααα 线性相关. (B) 若12,,,s ααα 线性相关，则12,,,s A A A ααα 线性无关. (C) 若12,,,s ααα 线性无关，则12,,,s A A A ααα 线性相关.
(D) 若12,,,s ααα 线性无关，则12,,,s A A A ααα 线性无关. [ ]
（13）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ，记1100
1000
1P ??
?
= ? ??
?
，则 （Ａ）1
C P AP -=. （Ｂ）1
C PAP -=.
（Ｃ）T C P AP =. （Ｄ）T C PAP =. ［ ］ （14）设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ，Y 服从正态分布222(,)N μσ，且
{}{}1211P X P Y μμ-<>-<
则必有
(A) 12σσ< (B) 12σσ>
(C) 12μμ< (D) 12μμ> [ ]
三 、解答题：15－23小题，共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分7分）
设()1sin ,,0,01arctan x y y y
f x y x y xy
x
π-=
-
>>+,求
(Ⅰ) ()()lim ,y g x f x y →+∞
=；
(Ⅱ) ()0
lim x g x +→.
（16）（本题满分7分）
计算二重积分d D
x y ??
，其中D 是由直线,1,0y x y x ===所围成的平面区域.
（17）（本题满分10分）
证明：当0a b π<<<时，
sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.
（18）（本题满分8分）
在xOy 坐标平面上，连续曲线L 过点()1,0M ，其上任意点()(),0P x y x ≠处的切线斜率与直线O P 的斜率之差等于ax （常数>0a ）.
(Ⅰ) 求L 的方程；
(Ⅱ) 当L 与直线y ax =所围成平面图形的面积为83
时，确定a 的值.
（19）（本题满分10分）
求幂级数()()1
21
1
121n n n x n n -+∞
=--∑的收敛域及和函数()s x .
（20）（本题满分13分）
设
4
维向量组()()()T
T T
1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3
a a a ααα=+
=+=+
()T
44,4,4,4a α=+，问a 为何值时1234,,,αααα线性相关?当1234,,,αααα线性相关时,求
其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出. （21）（本题满分13分）
设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()T T
121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0A x =的两个解.
(Ⅰ)求A 的特征值与特征向量；
(Ⅱ)求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得T Q AQ =Λ；
（Ⅲ）求A 及6
32A E ?
?- ??
?，其中E 为3阶单位矩阵.
（22）（本题满分13分）
设随机变量X 的概率密度为
()1
,1021
,024
0,X x f x x ?-<
其他，
令()2
,,Y X F x y =为二维随机变量(,)X Y 的分布函数.
(Ⅰ)求Y 的概率密度()Y f y ； (Ⅱ)Cov(,)X Y ；
(Ⅲ)1,42F ??-
??
?
. （23）（本题满分13分）
设总体X 的概率密度为
(),
01,;1,12,0,x f x x θθθ<
=-≤
其他,
其中θ是未知参数()01θ<<，12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本，记N 为样本值12,...,n x x x 中小于1的个数. （Ⅰ）求θ的矩估计；
（Ⅱ）求θ的最大似然估计
2006年考研数学（三）真题解析
二、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）()
11lim 1.n
n n n -→∞
+??
= ???
【分析】将其对数恒等化ln e N N =求解. 【详解】()
(1)
111ln lim (1)ln 1lim lim e
e
n
n
n
n n n n n n n n n -→∞-++????- ? ???
??
→∞
→∞
+??
== ???
，
而数列{}(1)n
-有界，1lim ln 0n n n
→∞
+??
= ???
，所以1lim (1)
ln 0n
n n n →∞
+??-= ???
. 故 ()
10
1lim e 1n
n n n -→∞
+??
== ???
.
（2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()
e f x f x '=，()21f =，则()3
22e .f '''=
【分析】利用复合函数求导即可. 【详解】由题设知，()()
e f x f x '=，两边对x 求导得 ()()
()2
e
()e
f
x f x
f x f x '''==
，
两边再对x 求导得 ()()
23()2e ()2e
f x f x f x f x ''''==，又()21f =， 故 ()323
(2)2e 2e f f '''==.
（3）设函数()f u 可微,且()102
f '=
,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分
()
1,2d 4d 2d .z
x y =-
【分析】利用二元函数的全微分公式或微分形式不变性计算. 【详解】方法一：因为22
(1,2)
(1,2)
(4)84z f x y x
x
?'=-?=?，
()
22
(1,2)
(1,2)
(4)22z f x y y y
?'=-?-=-?，
所以 ()
()
()
1,21,21,2d d d 4d 2d z z z
x y x y x
y
??
??=+
=-??????
.
方法二：对()224z f x y =-微分得 ()2
22
2
2
2d (4)d (4)(4)8d 2d z f x y x y f
x
y
x x
y y
''=-
-
=--，
故 ()
()1,2d (0)8d 2d 4d 2d z f x y x y '=-=-.
（4）设矩阵211
2A ??
=
?-??
，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B 2 . 【分析】 将矩阵方程改写为AX B XA B AXB C ===或或的形式，再用方阵相乘的行
列式性质进行计算即可.
【详解】 由题设，有 ()2B A E E -=
于是有 4B A E -=，而1121
1
A E -=
=-，所以2B =.
（5）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则 {}{}max ,1P X Y ≤=
19
.
【分析】 利用X Y 与的独立性及分布计算. 【详解】 由题设知，X Y 与具有相同的概率密度
1
,3
()30,x f x ?≤≤?=???
0 其他.
则 {}{}{}max ,11,1P X Y P X Y ≤=≤≤{}{}11P X P Y =≤≤
{}()
2
12
0111d 39P X x ??
=≤== ???
?.
【评注】 本题属几何概型，也可如下计算，如下图：
则 {}{}{}1max ,11,19
S P X Y P X Y S ≤=≤≤==阴.
（6）设总体X 的概率密度为()()121,,,,2x
n f x e
x X X X -=
-∞
<<+∞ 为总体X 的简
单随机样本，其样本方差为2S ，则2 2.ES = 【分析】利用样本方差的性质2ES DX =即可. 【详解】因为
()d e
d 0
2
x
x E X xf x x x +∞+∞--∞
-∞
=
=
=?
?
，
2
2
2
220
()d e
d e d e
2e d 2
x
x x
x
x
EX
x f x x x x x x x x +∞+∞+∞+∞---+∞--∞
-∞
=
=
=
=-+?
?
?
?
00
2e
2e d 2e
2x
x
x
x x +∞
-+∞--+∞=-+=-=?
，
所以 ()
2
2
202DX EX EX
=-=-=，又因2
S 是D X 的无偏估计量，
所以 2
2ES DX ==.
二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ?为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ?与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ?>，则
(A) 0d y y <
(C) d 0y y ?<<. (D) d 0y y
[ Ａ ]
【分析】 题设条件有明显的几何意义，用图示法求解.
【详解】 由()0,()0f x f x '''>>知，函数()f x 单调增加，曲线()y f x =凹向，作函数()y f x =的图形如右图所示，显然当0x ?>时，
00d ()d ()0y y f x x f x x ''?>==?>，故应选(Ａ).
（8）设函数()f x 在0x =处连续，且()
2
20
lim
1h f h h
→=，则
(A) ()()000f f -'=且存在 (B) ()()010f f -'=且存在 (C) ()()000f f +'=且存在 (D)()()010f f +'=且存在 [ C ]
【分析】从()
2
20
lim 1h f h h
→=入手计算(0)f ，利用导数的左右导数定义判定(0),(0)
f f -+''的存在性.
【详解】由()
2
2
lim
1h f h h
→=知，()2
lim 0h f h
→=.又因为()f x 在0x =处连续，则
()2
00
(0)lim ()lim 0x h f f x f h
→→===.
令2t h =，则()
()2
2
(0)
1lim
lim (0)h t f h f t f f h
t
+
+→→-'===.
所以(0)f +'存在，故本题选（C ）.
（9）若级数1n n a ∞
=∑收敛，则级数
(A)
1n n a ∞
=∑
收敛 . （B ）1
(1)n
n n a ∞
=-∑收敛.
(C)
11
n n n a a ∞
+=∑
收敛. (D)
1
1
2
n n n a a ∞
+=+∑
收敛. [ Ｄ ]
【分析】 可以通过举反例及级数的性质来判定.
【详解】 由1
n n a ∞
=∑收敛知11
n n a ∞
+=∑收敛，所以级数1
1
2
n n n a a ∞
+=+∑
收敛，故应选(Ｄ).
或利用排除法： 取1(1)n
n a n
=-，则可排除选项（Ａ），（Ｂ）；
取(1)
n n a =-.故（Ｄ）项正确.
（10）设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C 为任意常
数，则该方程的通解是
（Ａ）[]12()()C y x y x -. （Ｂ）[]112()()()y x C y x y x +-.
（Ｃ）[]12()()C y x y x +. （Ｄ）[]112()()()y x C y x y x ++ [ Ｂ ] 【分析】 利用一阶线性非齐次微分方程解的结构即可.
【详解】由于12()()y x y x -是对应齐次线性微分方程()0y P x y '+=的非零解，所以它的通解是 []12()()Y C y x y x =-，故原方程的通解为
[]1112()()()()y y x Y y x C y x y x =+=+-，故应选(Ｂ).
【评注】本题属基本题型，考查一阶线性非齐次微分方程解的结构：
*y y Y =+.
其中*y 是所给一阶线性微分方程的特解，Y 是对应齐次微分方程的通解.
（11）设(,)(,)f x y x y ?与均为可微函数，且(,)0y x y ?'≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ?=下的一个极值点，下列选项正确的是
(A) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=.
(D) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠. [ Ｄ ] 【分析】 利用拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλ?=+在000(,,)x y λ（0λ是对应
00,x y 的参数λ的值）取到极值的必要条件即可.
【详解】 作拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλ?=+，并记对应00,x y 的参数λ的值为0λ，则
000
000
(,,)0
(,,)
0x y F x y F x y λλ
?'=??
'=??， 即00000
00000(,)(,)0
(,)(,)0x x y y f x y x y f x y x y λ?λ??''+=??''+=?? .
消去0λ，得
00000000(,)(,)(,)(,)0
x y y
x
f x y x y f x y x y ??''''-=,
整理得 000000001
(,)(,)(,)(,)
x y x y f x y f x y x y x y ??'''=
'.（因为(,)0y x y ?'≠）
， 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.故选（Ｄ）.
（12）设12,,,s ααα 均为n 维列向量，A 为m n ?矩阵，下列选项正确的是
(C) 若12,,,s ααα 线性相关，则12,,,s A A A ααα 线性相关. (D) 若12,,,s ααα 线性相关，则12,,,s A A A ααα 线性无关. (C) 若12,,,s ααα 线性无关，则12,,,s A A A ααα 线性相关.
(D) 若12,,,s ααα 线性无关，则12,,,s A A A ααα 线性无关. [ A ] 【分析】 本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定. 【详解】 记12(,,,)s B ααα= ，则12(,,,)s A A A AB ααα= .
所以，若向量组12,,,s ααα 线性相关，则()r B s <，从而()()r A B r B s ≤<，向量组
12,,,s A A A ααα 也线性相关，故应选(Ａ).
（13）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ，记1100
1000
1P ??
?
= ? ??
?
，则 （Ａ）1
C P AP -=. （Ｂ）1
C PAP -=.
（Ｃ）T
C P AP =. （Ｄ）T
C PAP =. ［ Ｂ ］
【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得.
【详解】由题设可得 11011
011011
10,010********
10010
010
01B A C B A --?????
???
?
? ? ?=== ? ? ?
? ? ? ? ??
?
?
??
??
?
， 而 1
1
1001000
1P
--?? ?
= ? ??
?
，则有1C PAP -=.故应选（Ｂ）. （14）设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ，Y 服从正态分布2
22(,)N μσ，且
{}{}1211P X P Y μμ-<>-< 则必有
(B) 12σσ< (B) 12σσ>
(C) 12μμ< (D) 12μμ> [ A ] 【分析】 利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得. 【详解】 由题设可得
12112
211X Y P P μμσσσσ?-??-?<>
则 121
12121σσ????Φ->Φ-
? ?????，即1211σσ????Φ>Φ ? ?????
. 其中()x Φ是标准正态分布的分布函数.
又()x Φ是单调不减函数，则
1
2
1
1
σσ>
，即12σσ<.
故选(A).
三 、解答题：15－23小题，共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分7分）
设()1sin ,,0,01arctan x y y y
f x y x y xy
x
π-=
-
>>+,求
(Ⅰ) ()()lim ,y g x f x y →+∞
=；
(Ⅱ) ()0
lim x g x +→.
【分析】第(Ⅰ)问求极限时注意将x 作为常量求解，此问中含
,0∞?∞∞
型未定式极限；
第(Ⅱ)问需利用第(Ⅰ)问的结果，含∞-∞未定式极限.
【详解】(Ⅰ) ()()1sin lim ,lim 1arctan y y x y y y g x f x y xy x π→+∞→∞?
?- ?
?==-+
? ??
?
sin 11111lim 1arctan arctan y x y
x
y x
x x x y ππ→∞?
? ? ?-
? ?-=-=- ?
?+ ? ? ??
?
. (Ⅱ) ()2
000
1
1arctan lim lim lim arctan arctan x x x x x x x g x x x x x ππ+++
→→→--+??=-= ??? （通分）
2
22
2
2
1
12arctan 2(1)
1lim lim lim 22x x x x x x x
x x x x
x
x
x
ππππ+
++
→→→-+-+-+++====
（16）（本题满分7分）
计算二重积分d D
x y ??
，其中D 是由直线,1,0y x y x ===所围成的平面区域.
【分析】画出积分域，将二重积分化为累次积分即可.
【详解】积分区域如右图.因为根号下的函数为关于x 的一
次函数，“先x 后y ”积分较容易，所以
10
d d y D
x y y x =
??
?
?
()3
112
2
2
2
12
2d d 3
3
9
y
y xy y y y y
=-
-=
=
??
（17）（本题满分10分）
证明：当0a b π<<<时，
sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.
【分析】 利用“参数变易法”构造辅助函数，再利用函数的单调性证明.
【详解】 令()sin 2cos sin 2cos ,0f x x x x x a a a a a x b πππ=++---<≤≤<， 则 ()sin cos 2sin cos sin f x x x x x x x x ππ'=+-+=-+，且()0f π'=. 又 ()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-<，（0,s i n 0x x x π<<>
时
），
故当0a x b π<≤≤<时，()f x '单调减少，即()()0f x f π''>=，则()f x 单调增加，于是()()0f b f a >=，即
sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.
（18）（本题满分8分）
在xOy 坐标平面上，连续曲线L 过点()1,0M ，其上任意点()(),0P x y x ≠处的切线斜率与直线O P 的斜率之差等于ax （常数>0a ）.
(Ⅰ) 求L 的方程；
(Ⅱ) 当L 与直线y ax =所围成平面图形的面积为
83
时，确定a 的值.
【分析】(Ⅰ)利用导数的几何意义建立微分方程，并求解；(Ⅱ)利用定积分计算平面图
形的面积，确定参数. 【详解】(Ⅰ) 设曲线L 的方程为()y f x =，则由题设可得 y y a x
x
'-
=，这是一阶线性微分方程，其中1(),()P x Q x ax x
=-=，代入
通解公式得
()11
d d 2
e e
d x x x x y ax x C x ax C ax Cx -????=+=+=+ ???
?， 又(1)0f =，所以C a =-.
故曲线L 的方程为 2y ax ax =-(0)x ≠.
(Ⅱ) L 与直线y ax =（>0a ）所围成平面图形如右图所
示. 所以
()2
20
d D ax ax ax x ??=
--??
?
()22
482d 3
3
a x x x a =-=
=
?，
故2a =.
（19）（本题满分10分）
求幂级数()()1
21
1
121n n n x n n -+∞
=--∑的收敛域及和函数()s x .
【分析】因为幂级数缺项，按函数项级数收敛域的求法计算；利用逐项求导或积分并结
合已知函数的幂级数展开式计算和函数. 【详解】记1
21
(1)
()(21)
n n n x
u x n n -+-=
-，则
23
2
11
21
(1)()(1)(21)lim
lim
(1)
()
(21)
n
n n n n n n n x
u x n n x x
u x n n ++-+→∞
→∞
-++==--
.
所以当2
1,1x x <<即时，所给幂级数收敛；当1x >时，所给幂级数发散；
当1x =±时，所给幂级数为
1
(1)
(1)
,
(21)(21)
n n
n n n n -----，均收敛，
故所给幂级数的收敛域为[]1,1-
在()1,1-内，()
1
211
211
1
(1)
(1)
()22()(21)(21)2n n n n
n n x
x
s x x xs x n n n n -+-∞
∞
==--=
==--∑
∑
，
而 1
211
22
112
1
1
(1)
1(),()(1)
21
1n n n n n n x
s x s x x n x
--∞
∞
--==-'''=
=
-=
-+∑
∑
，
所以 1112
1
()(0)()d d arctan 1x x s x s s t t t x t
''''-=
=
=+?
?
，又1(0)0s '=，
于是 1()arctan s x x '=.同理 1110
0()(0)()d arctan d x
x
s x s s t t t t '-=
=
?
?
()2
2
1arctan d arctan ln 112
x x t t t t x x x
t
=-
=-++?
，
又 1(0)0s =，所以 ()2
11()arctan ln 12s x x x x
=-
+.
故 ()22()2arctan ln 1s x x x x x =-+.()1,1x ∈-.
由于所给幂级数在1x =±处都收敛，且()22()2arctan ln 1s x x x x x =-+在
1x =± 处都连续，所以()s x 在1x =±成立，即
()22()2arctan ln 1s x x x x x =-+，[]1,1x ∈-. （20）（本题满分13分）
设
4
维向量组()()()T
T T
1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3
a a a ααα=+
=+=+
()T
44,4,4,4a α=+，问a 为何值时1234,,,αααα线性相关?当1234,,,αααα线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.
【分析】因为向量组中的向量个数和向量维数相同，所以用以向量为列向量的矩阵的行列式为零来确定参数a ；用初等变换求极大线性无关组. 【详解】记以1234,,,αααα为列向量的矩阵为A ，则
3
12341234(10)12341
2
3
4a a A a a a a
++=
=+++.
于是当0,010A a a ===-即或时，1234,,,αααα线性相关.
当0a =时，显然1α是一个极大线性无关组，且2131412,3,4αααααα===； 当10a =-时，
1α 2α 3α 4α 9
2
3
41834
12741
236A -?? ?
- ?= ?- ?
-??， 由于此时A 有三阶非零行列式923
1
8340001
2
7
--=-≠-，所以123,,ααα为极大线性无关组，且123441230αααααααα+++==---，即.
（21）（本题满分13分）
设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()T T
121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0A x =的两个解.
(Ⅰ) 求A 的特征值与特征向量；
(Ⅱ) 求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得T
Q AQ =Λ；
（Ⅲ）求A 及6
32A E ?
?- ??
?，其中E 为3阶单位矩阵.
【分析】 由矩阵A 的各行元素之和均为3及矩阵乘法可得矩阵A 的一个特征值和对应的特征向量；由齐次线性方程组0A x =有非零解可知A 必有零特征值，其非零解是0特征值所对应的特征向量.将A 的线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵Q ；由T
Q AQ =Λ可
得到A 和6
32A E ?
?- ??
?.
【详解】 (Ⅰ) 因为矩阵A 的各行元素之和均为3，所以
1311331131A ?????? ? ? ?
== ? ? ? ? ? ???????
，
则由特征值和特征向量的定义知，3λ=是矩阵A 的特征值，T (1,1,1)α=是对应的特征向量.对应3λ=的全部特征向量为k α，其中k 为不为零的常数.
又由题设知 120,0A A αα==，即11220,0A A αααα=?=?，而且12,αα线性无关，所以0λ=是矩阵A 的二重特征值，12,αα是其对应的特征向量，对应0λ=的全部特征向量为 1122k k αα+，其中12,k k 为不全为零的常数.
(Ⅱ) 因为A 是实对称矩阵，所以α与12,αα正交，所以只需将12,αα正交. 取 11βα=，
()()
21221111012,3120,61112αββαβββ??
-
?
-????
?- ? ?=-
=--= ? ? ? ? ? ?-???? ?
??
.
再将12,,αββ单位化，得
1212312,,0ββαηηηαββ??-? -
?
====== ? ? ? ?
? ? ???
?
??
?
，
令 []123,,Q ηηη=，则1T
Q Q -=，由A 是实对称矩阵必可相似对角化，得
T
30
0Q AQ ??
??
=
=Λ?????
?
. （Ⅲ）由(Ⅱ)知 T
3
0Q AQ ??
??
=
=Λ?????
?
，所以
T
3111
00111
0111
A Q Q
???
--
?
?
????
?
? ?=Λ=--=
?
? ?
? ?
?
????
? ?
--
?
?
??
??
.
6
66
T T T
333
222
Q A E Q Q A E Q Q AQ E
??
??????
-=-=-
? ? ?
??
??????
??
6
6
66
6
3
3
2
2
3
333
222
3
3
2
2
E
??
??
??
?? ?
?
??
???
?
??
??
? ?
????
?
??
? ?
=-==
? ?
?
??
? ?
????
?
??
? ?
??
??
???
?
?
?? ?
??
?? ?
??
??
，则
666
T
333
222
A E Q EQ E
??????
-==
? ? ?
??????
.
（22）（本题满分13分）
设随机变量X的概率密度为
()
1
,10
2
1
,02
4
0,
X
x
f x x
?
-<<
?
?
?
=≤<
?
?
?
?
?
其他
，
令()
2,,
Y X F x y
=为二维随机变量(,)
X Y的分布函数.
(Ⅰ) 求Y的概率密度()
Y
f y；
(Ⅱ) C ov(,)
X Y；
(Ⅲ)
1
,4
2
F
??
-
?
??
.
【分析】求一维随机变量函数的概率密度一般先求分布，然后求导得相应的概率密度或利用公式计算.
【详解】（I）设Y的分布函数为()
Y
F y，即2
()()()
Y
F y P Y y P X y
=≤=≤，则1)当0
y<时，()0
Y
F y=；
2)当01
y
≤<时，
(
2
()()
Y
F y P X y P X
=<=<<
1
d
4
x x
=+=
?
3)当14
y
≤<
时，(
2
()()1
Y
F y P X y P X
=<=-<<
10
111
d d
242
x x
-
=+=
??.
4)当4
y≥，()1
Y
F y=.
所以
01
()(),14
0,
Y Y
y
f y F y y
<<
?
'
==≤<
?
?
其他
.
（II）22232 Cov(,)Cov(,)()()
X Y X X E X EX X EX EX EXEX
==--=-，
而02
10
1
d d
244
x x
E X x x
-
=+=
??，
22
02
2
10
5
d d
246
x x
EX x x
-
=+=
??，
33
02
3
10
7
d d
248
x x
EX x x
-
=+=
??，
所以
7152
C ov(,)
8463
X Y=-?=.
(Ⅲ)
1
,4
2
F
??
-
?
??
2
11
,4,4
22
P X Y P X X
????
=≤-≤=≤-≤
? ?
????
11
,222
22
P X X P X
????
=≤--≤≤=-≤≤-
? ?
????
1
2
1
11
d
24
x
-
-
==
?.
（23）（本题满分13分）
设总体X的概率密度为
()
,01,
;1,12,
0,
x
f x x
θ
θθ
<<
?
?
=-≤<
?
?
?其他,
其中θ是未知参数()
01
θ
<<，
12n
,...,
X X X为来自总体X的简单随机样本，记N为样本
值12,...,n x x x 中小于1的个数.
（Ⅰ）求θ的矩估计；
（Ⅱ）求θ的最大似然估计
【分析】 利用矩估计法和最大似然估计法计算.
【详解】（Ⅰ）因为()12
1
3(;)d d 1d 2
E X xf x x x x x x θθθθ+∞-∞
==
+
-=
-?
?
?
，
令
32
X θ-=，可得θ的矩估计为 32
X θ=-
.
（Ⅱ）记似然函数为()L θ，则
()()()()()111(1)
N
n N
N n N L θθθθθθθθθ--=???-?-??-=-
个
个
.
两边取对数得 l n ()l n ()l n (1L N n N θθθ=+--，
令d ln ()0d 1L N n N
θθ
θ
θ-=-=-，解得N
n
θ= 为θ的最大似然估计.