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高中数列知识大总结(绝对全)

第一课时数列

知识要点

数列通项n a 与前n 项和n S 的关系 1．∑==

++++=n

i i

n n a

a a a a S 1

321Λ

2．??

?≥-==-2

1n S S n S a n n n

热身

1．数列1，3，6，10，…的一个通项公式为 ( ) 2．数列{}n a 的通项公式为 n n a n

2832-=,则数列各项中最小项是( )

3．数列{}n a 的前n 项和142

+-=n n S n ,，则=n a

典例精析

题型一归纳、猜想法求数列通项

【例1】根据下列数列的前几项，分别写出它们的一个通项公式 ⑴7，77，777，7777，…

⑵Λ,63

,356,154,32--

点拨：联想与转换是由已知认识未知的两种有效的思维方法，观察归纳是由特殊到一般的有效手段，本例的求

解关键是通过分析、比较、联想、归纳、转换获得项与项数的一般规律，从而求得通项。

题型二应用??

?≥-==-)

2()

1(1

1n S S n S a n n n

求数列通项

例2．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，分别求其通项公式.

⑴23-=n

n S ⑵)0()2(8

2>+=n n n a a S

点拨：本例的关键是应用??

?≥-==-)

2()

1(1

1n S S n S a n n n

求数列的通项，特别要注意验证1a 的值是否满足

"2"≥n 的一般性通项公式。

三、利用递推关系求数列的通项

【例3】根据下列各个数列{}n a 的首项和递推关系，求其通项公式 ⑴1

41,2

1211

+n a a a n n

(2),0,11>=n a a 0)1(12

1=?+-+++n n n n a a na a n ，

⑶12

111+=

=+n n a a a

点拨：在递推关系中若),(1n f a a n n +=+求n a 用累加法，若

),(1

n f a a n

n =+求n a 用累乘法，

若q pa a n n +=+1，求n a 用待定系数法或迭代法。

总结提高

1．给出数列的前几项求通项时，常用特征分析法与化归法，所求通项不唯一

2．由n S 求n a 时，要分n =1和2≥n 两种情况

3．数列是一种特殊函数，因此通过研究数列的函数性质（单调性）来解决数列中的“最大项”与“和最

小”等问题十分有效。

4．给出n S 与n a 的递推关系，要求n a ，常用思路是：一是利用n n n a S S =--1 （2≥n ）转化为n a 的

递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 之间的关系，再求n a 。

课堂演练

1．若数列{}n a 的前n 项的32

n n

a S ，那么这个数列的通项公式为（） 2．已知数列{}n a 满足01=a ，1

331+-=

+n n n a a a （*

∈N n ），则=20a （）

3.已知数列{}n a 满足,11=a

)2(,311≥+=--n a a n n n ，

⑴32a a 和求

⑵证明：2

3-=n n a

１.数列3，-5，7，-9，11，…的一个通项公式是（）２.已知数列{}n a 中21=a ，

），（*∈+=+N n a a n n 131则4a 的值为（）

3设1

212111++++++=

n n n a n

Λ，(*

∈N n )，则n n a a 与1+的大小关系是( ) 1．若数列{}n a 满足：??

???

<≤-<≤=+)

121

(,12)210(,21n n n n n a a a a a ，

1=a ，则20a 的值为（）

二、填空题

1．已知数列{}n a 中，3221==a a ，，n n n a a a 2312-=++,=7a

2．已知{}n a 中，3

a ，前n 项和n S 与n a 的关系是n n a n n S )12(-=，求n a

6.2等差数列

知识要点

1．等差数列的概念

如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫等差数列，这个常数叫等差数列的公差，用d 表示。 2．递推关系与通项公式

m n a a d n a a d d n a a d m n a a d n a a d a a m

n n m n n n n --=--=

--=-+=-+==-+1;

)1()()1(1

111变式：推广：通项公式：递推关系：

由此联想到点),(n a n 所在直线的斜率。

为常数）

即：特征：m k m kn n f a d a dn a n n ,(,)(),

(1+==-+=

),为常数，（m k m kn a n +=是数列{}n a 成

等差数列的充要条件。３．等差中项：

若c b a ,,成等差数列，则b 称c a 与的等差中项，且2

a b

；c b a ,,成等差数列是c a b +=2的充要条件。４．前n 项和公式

2)(1n a a S n n +=

； 2

)1(1d

n n na S n -+= 变式：

2);2

()1(2)1(21

21211-=-?-+=-+=+++==+-n S a d

n a d n a n

a a a n S a a n n n n

n n Λ

)

,()(,)2(22212为常数即特征：B A Bn

An S Bn An n f S n d a n d S n n n +=+==-+=

是数列{}n a 成等差数列的充要条件。

5．等差数列{}n a 的基本性质),,,(*

∈N q p n m 其中

⑴q p n m a a a a q p n m +=++=+，则若反之，不成立。

⑵d m n a a m n )(-=- ⑶m n m n n a a a +-+=2

⑷n n n n n S S S S S 232,,--仍成等差数列。

６．判断或证明一个数列是等差数列的方法：

①定义法：

）常数）（*+∈=-N n d a a n n (1?{}n a 是等

差数列

②中项法：

)22

1*++∈+=N n a a a n n n （?{}n a 是等差数

列

③通项公式法：

),(为常数b k b

kn a n +=?{}n a 是等差数

列

④前n 项和公式法：

),(2为常数B A Bn

An S n +=?{}n a 是

等差数列课前热身：

1．等差数列{}n a 中，,39741=++a a a

=++=++963852,33a a a a a a 则（）

2．等差数列{}n a 中，

)

(

,1201191210864的值为则a a a a a a a -=++++

3．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，当d a ，1变化时，若 1182a a a ++是一个定值，那么下列各数中也是定值的是（）

1513S C S B S B S A ．．．． 4．计算机执行以下程序：

⑴初始值03==S x ，

⑵2+=x x

⑶x S S

⑷2010≥S ，则进行⑸，否则从⑵继续进行 ⑸打印x

⑹停止

那么，语句⑸打印出的数值为89

5．设n S ，

n T 分别为等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项和

=-+=19

195224T S n n b a n n ，则514

解：

1451022104222

19)(219

)(10101010191191

19119119

19=-?+?===++=?+?+=b a b a b b a a b b a a T S

典例精析

一、等差数列的判定与基本运算

例1：⑴已知数列{}n a 前n 项和n n S n 92

①求证：{}n a 为等差数列；②记数列{}n a 的前n 项和为n T ，求 n T 的表达式。

点拨：根据定义法判断数列为等差数列，灵活运用求和公式。

二、公式的应用

例2：设等差数列{}n a 的首项1a 及公差d 都为整数，前n 项和为n S

①若9801411==S a ，，求数列{}n a 的通项公式 ②若770614111≤>≥S a a ，，，求所有可能的数列{}n a 的通项公式

点拨：准确灵活运用等差数列的通项公式及前n 项和公式，提高运算能力。总结提高

1．在熟练应用基本公式的同时，还要会用变通的公式，如在等差数列中，d n m a a n m )(-+=

２．在五个量n n S a n d a ，，，，1中的三个量可求出其余两个量，要求选用公式要恰当，即善于减少运算量，达到快速、准确的目的。

33．已知三个或四个数成等差数列这类问题，要善于设元，

目的仍在于减少运算量，如三个数成等差数列时，除了

设

d a d a a 2++，，外，还可设d a a d a +-，，；四个数成等差数列时，可设为m a m a m a m a 33+--，＋，，

4．在求解数列问题时，要注意函数思想，方程思想，消元及整体消元的方法的应用。

课堂演练

1．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若

==12

66331S S

S S ，则（）２．在等差数列{}n a 中132321=+=a a a ，，则

654a a a ++等于（）3．等差数列{}n a 中，12910S S a =>，，则前项的和最大。

4．已知等差数列{}n a 的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为

５．某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕

捞，第一年需要各种费用12万元，从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元，该船每年捕捞总收入50万元，问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？

解：设捕捞n 年后的总盈利为万元，则

６．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知

001213123<>=S S a ，，

①求出公差d 的范围，

②指出1221S S S ，，

，Λ中哪一个值最大，并说明理由。

课外练习一、选择题

1．已知{}n a 数列是等差数列，1010=a ，其前10

项的和7010=S ，则其公差d 等于( ） 2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等差数列

的前n 项和为n T ，且

)(5

3*∈++=N n n n T S n n ，则使

b a 为整数的所有n 的值的个数有（）

3，设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若

98763369a a a S S ++==，则，等于( B )

A ．63

B ．45

C ．36

D ．27 3．已

知

等

差

数

列

{}

n a 中

，

12497116a a a a ，则，===+等于（）

二、填空题

4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，

971043014S S S S ，则，=-==

5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若

=+++=118521221a a a a S ，则

三、解答题

6．等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知

50302010==a a ，

①求通项n a ；②若n S =242，求n

7．甲、乙两物体分别从相距70m 的两处同时相向运

动，甲第一分钟走2m ，以后每分钟比前一分钟多走1m ，乙每分钟走5m ，①甲、乙开始运动后几分钟相遇？②如果甲乙到对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前一分钟多走1m ，乙继续每分钟走5m ，那么，开始运动几分钟后第二次相遇？

故第一次相遇是在开始运动后7分钟。

10．已知数列

{}

n a 中，，31=a 前n 和

1)1)(1(2

-++=

n n a n S ①求证：数列{}n a 是等差数列 ②求数列{}n a 的通项公式

6.3等比数列

知识要点

1．定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为)0≠q q ，（。

2．递推关系与通项公式

n m n n n n n q a a q a a qa a --+?=?==推广：通项公式：递推关系：111 3．等比中项：若三个数c b a ,,成等比数列，则称b 为c a 与的等比中项，且为ac b ac b =±=2

，注：是成等比数列的必要而不充分条件。 4．前n 项和公式

)1(11)1()1(111

≠??

??--=

--==q q q

a a q q a q na S n n n

5．等比数列的基本性质，),,,(*

∈N q p n m 其中 ①q p n m a a a a q p n m ?=?+=+，则若反之不真！ ②)(2

*+--∈?==

N n a a a a a q

m n m n n m

n m

n ， ③{}n a 为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列。

④Λ，

，，时，n n n n n S S S S S q 2321---≠仍成等比数列。 6．等比数列与等比数列的转化 ①{}n a 是等差数列?{}

)10(≠>c c c

a ，是等比数列；

②{}n a 是正项等比数列?{}

)10(log ≠>c c a n c ，是等差数列；

③{}n a 既是等差数列又是等比数列?{}n a 是各项不为零的常数列。 7．等比数列的判定法 ①定义法：

?=+（常数）q a a n

n 1

{}n a 为等比数列； ②中项法：?≠?=++)0(2

1n n n n a a a a {}n a 为等比数列；

③通项公式法：?

?=为常数）q k q

k a n

n ,({}

n a 为等比数列；④前n 项和法：

?-=为常数）（q k q k S n n ,)1({}n a 为等比数列。

课前热身

1．如果-1，c b a ,,，-9成等比数列，那么（）

2．在等比数列{}n a 中，若206574=?+?a a a a ，则此数列的前10项之积等于（） 3． 10310

222)(++++++=n n f Λ设

）

（

等于，则)()(n f N n *∈

4．已知数列{}n a 是等比数列，且===m m m S S S 323010，则，

5．在数列{}n a 中，若)1(321

11≥+==+n a a a n n ，，则通项n a =

典例精析

一、等比数列的基本运算与判定

：①运用等比数列的基本公式，将已知条件转化为关于等比数列的特征量1a ，q 的方程是求解等比数列问题的常用方法之一，同时应注意在使用等比数列前n 项和公式时，应充分讨论公比q 是否等于1；

②应用定义判断数列是否是等比数列是最直接，最有依据的方法，也是通法，若判断一个数列是等比数列可用

（常数）

q a a n

n =+1恒成立，也可用22

1++?=n n n a a a 恒成立，若判定一个数不是等比数列则只需举出反例即可，也可以用反证法。二、性质运用

例2：⑴在等比数列{}n a 中，143613233+>==+n n a a a a a a ，， ①求n a ，

②若n n n T a a a T 求,lg lg lg 21+++=Λ 总结提高：

1. 方程思想，即等比数列{}n a 中5个量1a ，n ，q ，n a ，n S ，一般可“知三求二”，通过求和与通项两公式列

方程组求解。

2. “错位相减法”求和是解决由等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的对应项的积组成的数列{}n n b a 求和的常用方法。

3. 对于已知数列{}n a 递推公式n a 与n S 的混合关系式，利用公式)2(1

≥-=-n S S a n n n ，再引入辅助数列，

转化为等比数列问题求解。

4. 分类讨论思想：当1a >0，q >1或1a <0，00，01

时，{}n a 为递减数列；q <0时，{}n a 为摆动数列；q =1时，{}n a 为常数列。课堂演练

1．在等比数列{}n a 中，1a =2，前n 项和为n S ，若数列{}1+n a 也是等比数列，则n S 等于（） 2．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若

103231365log log log 9a a a a a +++=Λ，则等于（）

3．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知32132S S S ，，

成等差数列，则{}n a 的公比为。 4．设{}n a 为公比为q >1的等比数列，若03842

20052004=+-x x a a 是方程和的两根，则20092008

a a +=

5．数列{}n a 的前n 项和n S =2n a －1，数列{}n b 满足：n n n b a b b +==+113，（*∈N n ）。

①求证：{}n a 为等比数列； ②求数列{}n b 的前n 项和n T 。

1．在正数等比数列{}n a 中，1a 99a 是方程16102

+-x x

的两个根，则605040a a a ??的值为（）

2．已知等比数列{}n a 的公比为q （q 为实数），前n 项和为n S ，且693S S S ，，成等差数列，则3

q 等于（） 3．设等差数列{}n a 的公差d 不为零，1a =9d ，若k k a a a 21与是的等比中项，则k 等于（） 4．已知等比数列{}n a 的前n 项和=+=a a S n

n ，则3（）

5．在等比数列{}n a 中，

___

,632625161565=+=+=+a a a a a a 则，

三、解答题

8．有四个数成等比数列，它们的积为16，且第4个数与第2个数的比也是16，求这四个数。

6.4 数列求和

知识要点

１．求数列前n 项和的基本方法

⑴直接用等差、等比数列的求和公式求和；

???

??≠--==-+=+=)

1(1)

1()1(2

)1(2)(11

11q q

q a q na S d

n n na a a n S n n n n 公比含字母时一定要讨论。

{}n a 为无穷递缩等比数列时，q

a S -=11

⑵错位相减法求和：如{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，求n n b a b a b a +++Λ221

1的和。

⑶分组求和：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。 ⑷

合

并

求

和

：

如求

12979899100-++-+-Λ的和。

⑸裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差，正负相消剩下首尾若干项。常见拆项：

1(1

!1)!1(!)!1(!)2)(1(1

)1(121)2)(1(112112121)12)(12(11

1)1(1+-

=+-+=???????++-+=++?

??+--=+-+-

=+n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n ⑹

公式法求和：

2)1(6)

12)(1(??????+=++=∑∑==n n k n n n k n

k n

k ⑺倒序相加法求和

⑻其它求和法：如归纳猜想法、奇偶法等。 2．⑴直接用公式求和时，要注意公式的应用范围和公式的推导过程。

⑵求一般数列的前n 项和，无通法可循，为此平时要注意掌握某些特殊数列前n 项和的求法。 ⑶数列求和时，要注意观察它的特点和规律，在分析数列通项的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。课前热身 1．设数列

222222132212212111112322---++++++++++++-n D C n B A S S n n n n n n n n ．．－．－１．的值为（）则，项和为的前，，，，，，ΛΛΛ2．已知数列{}n a 的前n 项和

1090)()12()1(75315023171．．．．）

（，则D C B A S S S N n n S n n -=-+∈--++-+-=*-Λ

３．)

13)(23(1

741411+-++?+?n n Λ等于（） 131311

3121322++++-+-n n

D n n C n n B n n A ．

．

数

列

{}

n a 是等差数列，

==+20652010S a a 项和，则前

典例精析

一、错位相减法求和例1：求和：n n a

a a a S ++++=

Λ32321

点拨：①若数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，

则求数列{}n n b a ?的前n 项和时，可采用错位相减法；

②当等比数列公比为字母时，应对字母是否为1进行

讨论；

③当将n S 与q n S 相减合并同类项时，注意错位及未

合并项的正负号。

二、裂项相消法求和例

：

数

列

{}

n a 满足

a =8，

022124=+-=++n n n a a a a ，且（*∈N n ）

①求数列{}n a 的通项公式；

②设)()

14(1

*∈-=

N n a n b n n

n n b b b T +++=Λ21（*∈N n ）求Tn

故m 的最大整数值为5。点拨：①若数列

{}

n a 的通项能转化为

)()1(n f n f -+的形式，常采用裂项相消法求和。

②使用裂项消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项。

数学门诊

已知n S 为数列

{}

n a 的前n 项和，且

*∈--+=N n n n a S n n ，2322

①求证：数列{}n a n 2-为等比数列；

1．数列ΛΛ,2

,,814,413,212,

21-+n n 的前n 项和为（）

12421242

12)1(2122)1(---+--++-++-++n n n

n n D n n C n n B n n A ．．．

．

2．2×3＋3×4＋4×5＋…＋（n ＋1）（n ＋2）等于

（）

222)116(3

)

116(16n

D n n n C n n n B n n A ．．．．++++++ 课外练习１．数列

{}

n a 的前n 项和为n S ，若

1(1

S n n a n ，则+=

等于（）

．

．D C B A ２．化简：

1222)2(2)1(-++?-+?-+=n n n n n S Λ的结

果是( )

合适。

答案，

时，，时，解：令．．．．D S n S n D n C n B n A n n n n ∴====----+--++++42112

222222221111

２．已知等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，已

知

奇

函

数

128

)(622019181716105．．．．，则，D C B A a a a a a S S =++++==\

二、填空题

3．设等比数列{}n a 的公比与前n 项和分别为q 和

n S ，且q ≠1，=

+=10201018q

S ，则

6．数列{}n a 满足12121

a n n n =

++++++L ，

2n n n b a a +=

又，则数列{}n

b 的前n 项和为

三、解答题 8．设数列{}n a 满足

33313221n a a a a n n =

++++-Λ（*

∈N n ） ①求数列{}n a 的通项公式n a ；

②设n

n a n

b =，求数列{}n b 的前n 项和n S

9．已知数列{}n a 满足3

21n a a a n =+++Λ

①求数列{}n a 的通项公式n a ；

6．5数列的综合应用

知识要点

一、数列综合问题中应用的数学思想

1．用函数的观点与思想认识数列，将数列的通项公式和求和公式视为定义在自然数集上的函数； 2．用方程的思想处理数列问题，将问题转化为数列基本量的方程；

3．用转化化归的思想探究数列问题，将问题转化为等差、等比数列的研究；

4．数列综合问题常常应用分类讨论思想，特殊与一般思想，类比联想思想，归纳猜想思想等。二、解决问题的主要思路有

1．把综合问题分解成几个简单的问题 2．把综合问题转化为熟悉的数学问题 3．通过观察，探索问题的一般规律性 4．建立数列模型，使用模型解决问题三、实际问题的数列模型

依据实际问题的递推、等差、等比情境，将问题转换为递推数列、等差数列和等比数列，建立数列模型探究和解决实际应用问题。课前热身

１．某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成

10个并死去1个，…，按此规律，6小时后细胞成活的个数是（） A ．63 B ．65 C ．67 D ．71

２．根据市场调查结果、预测某种家用商品从年初开始的几个月内积累的需求量n S （万件）近似的满足：

），，，，1221()521(90

2Λ=--=

n n n n

S n 按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是（） A ．5月，6月 B ．6月，7月

C ．7月，8月

D ．8月，9月

３．过圆x y x 102

=+内一点(5，3)有k 条弦,其长度组成等差数列,且最小弦长为数列{}n a 的首项1a ，最大

弦长为m 末项k a ，若公差)3

,31(∈d

，则k 最大值为（）

A ．5

B ．6

C ．7

D ．8

４．某工厂2003年至2006年的产量和为100吨，2005年至2008年的产量和为121吨，则该工厂从2003年到

2008年平均增长率为

典例精析

1、数列模型实际应用问题

例2：某县位于沙漠地带，人与自然长期进行着顽强的斗争，到2007年底全县的绿化率已达30﹪，从2008年开始，每年将出现这样的局面：即原有沙漠面积的16﹪将被绿化，与此同时，由于各种原因，原有绿化面积的4﹪又被沙化。

①设全县面积为1，2007年底绿化面积为10

a ，经过n 年绿化面积为1+n a ，求证： 25

541+

+n n a a ②至少需要多少年（取整数）的努力，才能使全县的绿化率达到60﹪？

点拨：解决此类问题的关键是如何把实际问题转化为数学问题，通过反复读题，列出有关信息，转化为数列的有关问题。

数学门诊

从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入

800万元，以后每年投入将比上一年减少

，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加4

。

①设第n 年内（本年度为第一年）总投入为n a 万元，旅游业总收入为n b ，写出n a 、n b 的表达式。

②至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？

总结提高

1. 数列模型应用问题的求解策略 ①认真审题，准确理解题意；

②依据问题情境，构造等差、等比数列，然后应用通项公式，前n 项和公式以及性质求解，或通过探索、归纳

构造递推数列求解。

③验证、反思结果与实际是否相符。 2. 数列综合问题的求解策略

①数列与函数综合问题或应用数学思想解决数列问题，或以函数为载体构造数列，应用数列的知识求解； ②数列的几何型综合问题，探究几何性质和规律特征建立数列的递推关系式，然后求解问题。

课堂演练

１．一张报纸，其厚度为a ，面积为b ，现将

纸对折7次，这时报纸的厚度和面积分别为（）

a D b

a C b

a B b

a A 256

2561281

12864

64818，．，．，．，．２．东北农场年初有森林木材存量S 3m ，木材以每年25%的增长率增长，而每年末要砍伐固定的

木材量x

3m ，为实现经过2次砍伐后木材的存量增加50%，则x 的值是（）

32S D S C S B S A ．．．．３．设2

44)(+=x x

x f ，则

=+++)2008

2007()20082()20081(

f f f Λ ４．光线通过一块玻璃板，其强度要失掉10%，若使光强度减弱为原来的

，则重叠以上相同的玻璃板的块数是。

５．某市2003年共有1万辆燃油型公交车，有关部门计划于2004年投入128辆电力型辆公交车，随后电

力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：⑴该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？⑵到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车的总量

？

６．已知数列{}n a 的等差数列，且

1861121=-=S a ，

①求数列的通项公式； ②若数列{}n b 满足n a n b )21(=，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，试证明：7

１．等差数列共有2n +1项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则n 等于（）

A ．9

B ．10

C ．11

D ．12 ２．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若

)(955

935==S S

a a ，则

A ．1

B ．－1

C ．2

D ．

３．在等比数列{}n a 中，n S 是前n 项和，若121

23423+=+=S a S a ，，则公比q 等于（） A ．1 B ．－1 C ．3 D ．－3

４．一正项等比数列前11项的几何平均值为32，从这11项中抽出一项后余下的10项的几何平均值为32，

那么，抽出的这一项是（） A ．第6项 B ．第7项 C ．第9项 D ．第11项

５．已知数列{}n a 是等比数列，且 ===m m m S S S 323010，则，６．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，

2)1(4

+n n a S 与是的等比中项，

①求证：数列{}n a 是等差数列；

②若n n

n a b 2

=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T

9．在数列{}n a 中

134211+-==+n a a a n n ，， *∈N n

①证明数列{}n a n -是等比数列。 ②求数列{}n a 的前n 项和n S

数列知识点归纳及例题分析

例3：已知数列}{n a 满足????? <<-≤≤=+121,12210,21n n n n n a a a a a ，531 =a ，求2017a . 二、等差数列与等比数列 1.等比数列与等差数列基本性质对比（类比的思想，比较相同之处和不同之处）

例题：例4（等差数列的判定或证明）：已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1 a n －1 (n ≥2，n ∈N * )，数列{b n }满足b n ＝1a n －1 (n ∈N *)． (1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由． (1)证明 ∵a n ＝2－1 a n －1 (n ≥2，n ∈N * )，b n ＝1 a n －1 . ∴n ≥2时，b n －b n －1＝1a n －1－1 a n －1－1 ＝ 1? ?? ??2－1a n －1－1 －1 a n －1－1 ＝a n －1 a n －1－1－1a n －1－1 ＝1. ∴数列{b n }是以－5 2 为首项，1为公差的等差数列．

高中数学数列知识点总结

数列基础知识点《考纲》要求： 1、理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项； 2、理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题； 3、理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题。数列的概念 1 ．数列的概念：数列是按一定的顺序排列的一列数，在函数意义下，数列是定义域为正整数N *或其子集{1，2，3，……n}的函数f(n)．数列的一般形式为a 1，a 2，…，a n …，简记为{a n }，其中a n 是数列{a n }的第项． 2．数列的通项公式一个数列{a n }的与之间的函数关系，如果可用一个公式a n ＝f(n)来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式． 3．在数列{a n }中，前n 项和S n 与通项a n 的关系为： =n a ?????≥==21n n a n 4．求数列的通项公式的其它方法 ⑴公式法：等差数列与等比数列采用首项与公差(公比)确定的方法． ⑵观察归纳法：先观察哪些因素随项数n 的变化而变化，哪些因素不变；初步归纳出公式，再取n 的特珠值进行检验，最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明． ⑶递推关系法：先观察数列相邻项间的递推关系，将它们一般化，得到的数列普遍的递推关系，再通过代数方法由递推关系求出通项公式. 例1.根据下面各数列的前n 项的值，写出数列的一个通项公式． ⑴－3 12?，534?，－758?，9716?…； ⑵ 1，2，6，13，23，36，…； ⑶ 1，1，2，2，3，3，解：⑴ a n ＝(－1) n )12)(12(12+--n n n ⑵ a n ＝)673(21 2+-n n （提示：a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝4，a 4－a 3＝7，a 5－a 4＝10，…，a n －a n －1＝1＋3(n －2)=3n －5．各式相加得

数列知识点归纳及

数列知识点归纳及例题分析

《数列》知识点归纳及例题分析一、数列的概念： 1.归纳通项公式：注重经验的积累例1.归纳下列数列的通项公式： (1)0，-3,8，-15,24，....... (2)21,211,2111,21111,...... (3), (17) 9 ,107,1,23 2.n a 与n S 的关系：???≥-==-)2(,) 1(,11n S S n a a n n n 注意：①强调2,1≥=n n 分开，注意下标；②n a 与n S 之间的互化（求通项）例2：已知数列}{n a 的前n 项和???≥+==2 ,11 ,32n n n S n ，求n a . 3.数列的函数性质：（1）单调性的判定与证明：①定义法；②函数单调性法（2）最大（小）项问题：①单调性法；②图像法（3）数列的周期性：（注意与函数周期性的联系）例3：已知数列}{n a 满足?? ??? <<-≤≤=+121,12210,21n n n n n a a a a a ，531 =a ，求2017a . 二、等差数列与等比数列 1.等比数列与等差数列基本性质对比（类比的思想，比较相同之处和不同之处）等差数列等比数列定义 1n n a a d +-=（d 是常数1,2,3n =，…） 1 n n a q a +=（q 是常数，且0≠q ，1,2,3n =，…）通项公式 ()11n a a n d =+- ()n m a a n m d =+- 11n n a a q -= 推广：n m n m a a q -= 求和公式 () 112 n n n S na d -=+=()12n n a a + ()111 (1)1(1)11n n n na q S a q a a q q q q =?? =-?-=≠? --? 中项公式 2 n k n k a a A -++=（*,,0n k N n k ∈>>） k n k n a a G +-±=（*,,0n k N n k ∈>>）

高中数学数列知识点总结精华版

一、数列 1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项. ⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列． ⑵在数列中同一个数可以重复出现． ⑶项a n 与项数n 是两个根本不同的概念． ⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列 2.通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(n f a n =. 3.递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ，那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中，12,11+==n n a a a ，其中12+=n n a a 是数列{}n a 的递推公式. 4.数列的前n 项和与通项的公式 ①n n a a a S +++= 21； ②???≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n . 5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法. 6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列. ①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1. ②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1. ③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 --- ④常数数列:例如:6,6,6,6,……. ⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,. ⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >. 1、已知*2()156 n n a n N n =∈+，则在数列{}n a 的最大项为（答：125）； 2、数列}{n a 的通项为1 +=bn an a n ，其中b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为（答：n a <1+n a ）； 3、已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围（答：3λ>-）； 4、一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式) (1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是（）（答：A ）

高中数列知识点总结

数列知识点总结第一部分等差数列一定义式： 1n n a a d --= 二通项公式：n a 1()(1)m a n m d a n d =+-??=+-? 一个数列是等差数列的等价条件：b an a n +=(a ，b 为常数)，即n a 是关于n 的一次函数，因为n Z ∈，所以n a 关于n 的图像是一次函数图像的分点表示形式。三前n 项和公式： 1()2n n n a a S +=na =中间项 1(1)2 n n na d -=+ 一个数列是等差数列的另一个充要条件：bn an S n +=2(a ，b 为常数，a ≠0)，即n S 是关于n 的二次函数，因为n Z ∈，所以n S 关于n 的图像是二次函数图像的分点表示形式。四性质结论 1.3或4个数成等差数列求数值时应按对称性原则设置，如：3个数a-d,a,a+d ； 4个数a-3d,a-d,a+d,a+3d 2.a 与b 的等差中项2 a b A +=；在等差数列{}n a 中，若m n p q +=+，则 m n p q a a a a +=+；若2m n p +=，则2m n p a a a +=； 3.若等差数列的项数为2() +∈N n n ，则，奇偶nd S S =- 1 +=n n a a S S 偶奇；若等差数列的项数为()+∈-N n n 12，则()n n a n S 1212-=-，且n a S S =-偶奇，1 -=n n S S 偶奇 4.凡按一定规律和次序选出的一组一组的和仍然成等差数列。设12,n A a a a =++?+，122n n n B a a a ++=++?+， 21223n n n C a a a ++=++?+，则有C A B +=2； 5.10a >,m n S S =,则前2m n S +(m+n 为偶数)或12 m n S +±(m+n 为奇数)最大第二部分等比数列一定义：1 (2,0,0){}n n n n a q n a q a a -=≥≠≠?成等比数列。二通项公式：11-=n n q a a ，n m n m a a q -= 数列{a n }是等比数列的一个等价条件是： (1),(0,01n n S a b a b =-≠≠，）当0q >且0q ≠时，n a 关于n 的图像是指数函数图像的分点表示形式。

高中数学必修5数列知识点总结

数列 1. 等差数列通项公式：1(1),n a a n d n *=+-∈N 等差中项：如果2 a b A += ，那么A 是a 与b 的等差中项前n 项和：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+ 若n a 是等差数列，且k l m n +=+，则k l m n a a a a +=+ ? 等差数列的通项求法应该围绕条件结合1,a d ，或是利用特殊项。 ? 等差数列的最值问题求使0(0)n n a a ≥≤成立的最大n 值即可得n S 的最值。例1.{}n a 是等差数列，538,6a S ==，则9a =_________ 解析：513113248,33362 a a d S a d a d ?=+==+ =+=，解得10,2a d ==，916a = 例2.{}n a 是等差数列，13110,a S S >=，则当n 为多少时，n S 最大？解析：由311S S =得1213 d a =- ，从而 21111(1)249()(7)2131313n a n n S na a n a -=+?-=--+，又10a >所以1013 a -< 故7n = 2. 等比数列通项公式：11(0)n n a a q q -=≠ 等比中项：2G ab = 前n 项和：111(1)(1)(1)11n n n na q S a a q a q q q q =??=--?=≠?--? 若{}n a 是等比数列，且m n p q +=+，则m n p q a a a a ?=? 例.{}n a 是由正数组成的等比数列，2431,7a a S ==，则5S =__________

高中数列知识点总结

高中数列知识点总结 Written by Peter at 2021 in January

数列知识点总结第一部分等差数列一定义式： 1n n a a d --= 二通项公式：n a 1 ()(1)m a n m d a n d =+-??=+-? 一个数列是等差数列的等价条件：b an a n +=(a ，b 为常数)，即n a 是关于n 的一次函数，因为n Z ∈，所以n a 关于n 的图像是一次函数图像的分点表示形式。三前n 项和公式：一个数列是等差数列的另一个充要条件：bn an S n +=2(a ，b 为常数，a ≠0)，即n S 是关于n 的二次函数，因为n Z ∈，所以n S 关于n 的图像是二次函数图像的分点表示形式。四性质结论或4个数成等差数列求数值时应按对称性原则设置，如：3个数a-d,a,a+d ； 4个数a-3d,a-d,a+d,a+3d 2.a 与b 的等差中项2 a b A +=；在等差数列{}n a 中，若m n p q +=+，则 m n p q a a a a +=+；若2m n p +=，则2m n p a a a +=； 3.若等差数列的项数为2()+∈N n n ，则，奇偶nd S S =- 1+=n n a a S S 偶奇；若等差数列的项数为()+∈-N n n 12，则()n n a n S 1212-=-，且n a S S =-偶奇，1 -=n n S S 偶奇 4.凡按一定规律和次序选出的一组一组的和仍然成等差数列。设 12,n A a a a =++?+，122n n n B a a a ++=++?+， 21223n n n C a a a ++=++?+，则有C A B +=2； 5.10a >,m n S S =,则前2m n S +(m+n 为偶数)或12 m n S +±(m+n 为奇数)最大第二部分等比数列一定义：1 (2,0,0){}n n n n a q n a q a a -=≥≠≠?成等比数列。二通项公式：11-=n n q a a ，n m n m a a q -=

人教版高中数列知识点总结(知识点+例题)

人教版高中数列知识点总结(知识点+例题) Lesson6 数列知识点1：等差数列及其前n 项 1．等差数列的定义 2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式a n ＝a 1＋(n －1) d . 3．等差中项 a ＋b 如果 A ＝2 ，那么A 叫做a 与b 的等差中项． 4．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋（n-m ）d ，(n ，m ∈N *) ． (2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k ，l ，m ，n ∈N *) ，则 (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为. (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列． (5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *) 是公差为的等差数列． 5．等差数列的前n 项和公式 n (a 1＋a n )n (n －1) 设等差数列{a n }的公差d ，其前n 项和S n 或S n ＝na 1＋22. 6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 d d 2? S n 2＋ a 1－2n . 数列{a n }是等差数列?S n ＝An 2＋Bn ，(A 、B 为常数) ． ?? 7．等差数列的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d 0，则S n 存在最小值． [难点正本疑点清源] 1．等差数列的判定 (1)定义法：a n －a n －1＝d (n ≥2) ； (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.

数列知识点总结及题型归纳总结

高三总复习----数列一、数列的概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ；数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。例：判断下列各组元素能否构成数列（1）a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9; (2)2010年各省参加高考的考生人数。（2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。例如：①：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，… ②：5 1 4131211，，，，… 数列①的通项公式是n a = n （n ≤7，n N + ∈），数列②的通项公式是n a = 1n （n N + ∈）。说明： ①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式； ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，n a = (1)n -=1,21 ()1,2n k k Z n k -=-?∈?+=? ； ③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，

1.41，1.414，…… （3）数列的函数特征与图象表示：序号：1 2 3 4 5 6 项：4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N + （或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替()f n ，其图象是一群孤立点。例：画出数列12+=n a n 的图像. （4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？（1）1，2，3，4，5，6，… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, … (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, … (4)a, a, a, a, a,… （5）数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系： 1 1(1)(2)n n n S n a S S n -=?=?-?≥ 例：已知数列}{n a 的前n 项和3 22+=n s n ，求数列}{n a 的通

重点高中数学数列知识点总结

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：

定义：1n n a a d +-=（d 为常数），()11n a a n d =+- 等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ?=+ 前n 项和()()11122 n n a a n n n S na d +-==+ 性质：{}n a 是等差数列（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；（2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2；（3）若三个成等差数列，可设为a d a a d -+，，（4）若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则2121 m m m m a S b T --= （5）{}n a 为等差数列2n S an bn ?=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数） n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界项，即：当100a d ><，，解不等式组100 n n a a +≥??≤?可得n S 达到最大值时的n 值. 当100a d <>，，由1 00n n a a +≤??≥?可得n S 达到最小值时的n 值. (6)项数为偶数n 2的等差数列{}n a ，有 ),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S Λ nd S S =-奇偶，1 +=n n a a S S 偶奇. （7）项数为奇数12-n 的等差数列{} n a ，有 )()12(12为中间项n n n a a n S -=-， n a S S =-偶奇， 1-=n n S S 偶奇.

高中数列知识大总结(绝对全)

第六章数列重难点击本章重点：数列的概念，等差数列，等比数列的定义，通项公式和前n 项和公式及运用，等差数列、等比数列的有关性质。注重提炼一些重要的思想和方法，如：观察法、累加法、累乘法、待定系数法、倒序相加求和法、错位相减求和法、裂项相消求和法、函数与方程思想、分类与讨论思想、化归与转化思想等。知识网络第一课时数列四、数列通项n a 与前n 项和n S 的关系 1．∑== ++++=n i i n n a a a a a S 1 321 2．?? ? ≥-==-2 11 1n S S n S a n n n 课前热身 3．数列{}n a 的通项公式为 n n a n 2832 -=,则数列各项中最小项是( B ) A ．第４项 B ．第５项 C ．第６项 D ．第７项 4．已知数列{}n a 是递增数列，其通项公式为n n a n λ+=2 ,则实数λ的取值范围是),3(+∞- 5．数列{}n a 的前n 项和142 +-=n n S n ,，则?? ?≥-=-=2 5 212n n n a n 数列与正整数集关系等差数列等比数列特殊数列求和方法公式法倒序相加法错位相减法裂项相消法 n 定义通项公式中项前项的和递推公式通项公式数列

题型一归纳、猜想法求数列通项【例1】根据下列数列的前几项，分别写出它们的一个通项公式 ⑴7，77，777，7777，… ⑶1，3，3，5，5，7，7，9，9… 解析：⑴将数列变形为 ), 110(9 7-?), 110 (9 72 -)110 (9 73 -，, )110 (9 7-n ⑶将已知数列变为1+0，2+1，3+0，4+1，5+0，6+1，7+0，8+1，9+0，…。可得数列的通项公式为 2 ) 1(1n n n a -++ = 点拨：本例的求解关键是通过分析、比较、联想、归纳、转换获得项与项数的一般规律，从而求得通项。题型二应用?? ? ≥-==-) 2()1(1 1n S S n S a n n n 求数列通项例2．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，分别求其通项公式. ⑴23-=n n S 解析：⑴当123,11 11=-===S a n 时，当)23 ()23(,21 1---=-=≥--n n n n n S S a n 时 1 3 2-?=n 又11=a 不适合上式，故???≥?==-) 2(32)1(11 n n a n n 三、利用递推关系求数列的通项【例3】根据下列各个数列{}n a 的首项和递推关系，求其通项公式 ⑴141 , 2 12 11-+ == +n a a a n n 解析：⑴因为1 41 2 1 -+=+n a a n n ，所以 )1 21121 ( 21 1 41 2 1+- -= -= -+n n n a a n n 所以)31 11(2112-=-a a )51 31(2123-=-a a 43111()257 a a -= -

数列全章知识点总结

数列知识点题型方法总复习一．数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n ｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。如（1）已知* 2 () 156 n n a n N n = ∈+，则在数列{}n a 的最大项为__（125）；（2）数列}{n a 的通项为1 +=bn an a n ，其中 b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为___（n a <1+n a ）；（3）已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围（3λ>-）；（4）一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(* 1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是（A ） A B C D 二．等差数列的有关概念： 1．等差数列的判断方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。如设{}n a 是等差数列，求证：以b n = n a a a n +++ 21 *n N ∈为通项公式的数列{}n b 为等差数列。 2．等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。如(1)等差数列{}n a 中，1030a =，2050a =，则通项n a = 210n +；（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______ 8 33 d <≤ 3．等差数列的前n 和：1()2n n n a a S += ，1(1) 2n n n S na d -=+。如（1）数列 {}n a 中，*11(2,)2 n n a a n n N -=+≥∈，32n a =，前n 项和15 2n S =-，则13a =-，10n =；（2）已知数列 {}n a 的前n 项和2 12n S n n =-，求数列{||}n a 的前n 项和n T （答：2* 2* 12(6,) 1272(6,) n n n n n N T n n n n N ?-≤∈?=?-+>∈??）. 4．等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2 a b A +=。提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、 d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）；偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（公差为2d ）三．等差数列的性质： 1．当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. 2．若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。

2019年高一数列知识点总结

2019年高一数列知识点总结数列是高一数学的重点，以下是整理的高一数列知识点总结，欢迎参考阅读！求数列通项公式常用以下几种方法：一、题目已知或通过简单推理判断出是等比数列或等差数列，直接用其通项公式。例：在数列{an}中，若a1=1，an+1=an+2（n1），求该数列的通项公式an。解：由an+1=an+2（n1）及已知可推出数列{an}为a1=1，d=2的等差数列。所以an=2n—1。此类题主要是用等比、等差数列的定义判断，是较简单的基础小题。二、已知数列的前n项和，用公式 S1（n=1） Sn—Sn—1（n2）

例：已知数列{an}的前n项和Sn=n2—9n，第k项满足5 （A）9（B）8（C）7（D）6 解：∵an=Sn—Sn—1=2n—10，∴5<2k—10 此类题在解时要注意考虑n=1的情况。三、已知an与Sn的关系时，通常用转化的方法，先求出Sn与n的关系，再由上面的（二）方法求通项公式。例：已知数列{an}的前n项和Sn满足an=SnSn—1（n2），且a1=—，求数列{an}的通项公式。解：∵an=SnSn—1（n2），而an=Sn—Sn—1，SnSn—1=Sn—Sn —1，两边同除以SnSn—1，得———=—1（n2），而—=—=—，∴{—}是以—为首项，—1为公差的等差数列，∴—=—，Sn=—，再用（二）的方法：当n2时，an=Sn—Sn—1=—，当n=1时不适合此式，所以， —（n=1）

—（n2）四、用累加、累积的方法求通项公式对于题中给出an与an+1、an—1的递推式子，常用累加、累积的方法求通项公式。例：设数列{an}是首项为1的正项数列，且满足（n+1）an+12—nan2+an+1an=0，求数列{an}的通项公式解：∵（n+1）an+12—nan2+an+1an=0，可分解为[（n+1）an+1—nan]（an+1+an）=0 又∵{an}是首项为1的正项数列，∴an+1+an≠0，∴—=—，由此得出：—=—，—=—，—=—，…，—=—，这n—1个式子，将其相乘得：∴—=—，又∵a1=1，∴an=—（n2），∵n=1也成立，∴an=—（n∈N*）五、用构造数列方法求通项公式

高三复习数列知识点总结

数列专题解析方法一、数列通项公式的求解类型一：观察法例 1: 写出下列数列的一个通项公式（1）3,5,9,17,33 ，；（2）11,22,33,44, ; 2345 （3）7,77.777.7777. （4）2, 1,10, 17,26, ; 3 7 9 11 （5）3,9,25,65, ; 2 4 8 16 类型二：公式法 (1) a n a1 (n 1)d a m (n m)d 例 2：已知等差数列a n 中，a1 1,a3 3,求a n 的通项公式 n 1 n m (2)a n a1q n1 a m q n m 例 3：已知等比数列a n 中，a2 6,6a1 a3 30, 求a n 的通项公式类型三：利用“ S n ”求解 S1,(n 1) (1) (1) a n n S n S n 1(n 2)

例 4：已知数列a n 的前n项和S n n2 24n(n N* )，求a n 的通项公例 5：已知数列a n 的前n项和为S n，且有a1 3,4S n 6a n a n 1 4S n 1,求a n 的通项公式例 6：已知数列a n 的前n 项和为S n，且有a1 1,a n 1 2S n 1(n 1), 求a n 的通项公式例 7：已知正数数列a n 的前n项和为S n ，且对任意的正整数n满足 2 S n a n 1, 求a n 的通项公式 (2)S n S n 1的推广例 8：设数列a n满足a13a232a33n 1a n n,n N*求a n的通项公 3 式类型四：累加法形如a n 1 a n f (n)或a n a n 1 f (n)型的递推数列(其中f(n)是关于n 的函数) (1)若 f (n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和例 9：a n 1 a n 2n 1,a1 2, 求a n 的通项公式 (2)若 f (n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和例 10：a n 1 a n 2n,a1 2, 求a n 的通项公式 (3)若 f (n) 是关于n 的二次函数，累加后可分组求和例11：a n 1 a n n n 1,a1 1, 求a n 的通项公式 (4)若 f (n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和例 12：a n 1 a n 21,a1 1, 求a n的通项公式 n 2 2n n 类型五：累乘法形如an1f(n)或an f (n)型的递推数列(其中f(n)是关于n的函数) a n a n 1

高中数列知识大总结(绝对全)

第六章数列二、重难点击本章重点：数列的概念，等差数列，等比数列的定义，通项公式和前n 项和公式及运用，等差数列、等比数列的有关性质。注重提炼一些重要的思想和方法，如：观察法、累加法、累乘法、待定系数法、倒序相加求和法、错位相减求和法、裂项相消求和法、函数与方程思想、分类与讨论思想、化归与转化思想等。知识网络四、数列通项n a 与前n 项和n S 的关系 1．∑== ++++=n i i n n a a a a a S 1 321 2．?? ?≥-==-2 1 1 1 n S S n S a n n n 课前热身 3．数列{}n a 的通项公式为 n n a n 2832 -=,则数列各项中最小项是( B ) A ．第４项 B ．第５项 C ．第６项 D ．第７项 4．已知数列{}n a 是递增数列，其通项公式为n n a n λ+=2 ,则实数λ的取值范围是),3(+∞- 5．数列{}n a 的前n 项和142 +-=n n S n ,，则?? ?≥-=-=2 5 21 2 n n n a n

题型一归纳、猜想法求数列通项【例1】根据下列数列的前几项，分别写出它们的一个通项公式 ⑴7，77，777，7777，… ⑶1，3，3，5，5，7，7，9，9… 解析：⑴将数列变形为 ),110(9 7-?),110(972-)110(973-，, )110(97 -n ⑶将已知数列变为1+0，2+1，3+0，4+1，5+0，6+1，7+0，8+1，9+0，…。可得数列的通项公式为 2 )1(1n n n a -++= 解析：⑴当123,11 11=-===S a n 时，当)23 ()23(,21 1---=-=≥--n n n n n S S a n 时 132-?=n 又11=a 不适合上式，故???≥?==-) 2(3 2)1(1 1 n n a n n 解析：⑴因为141 2 1 -+ =+n a a n n ，所以 )1 21 121(2114121+--=-=-+n n n a a n n 所以)31 11(2112-=-a a )51 31(2123-=-a a 43111 ()257 a a -=- …，…， 1111 ()22321 n n a a n n --=--- 以上)1(-n 个式相加得 )1 211(211--= -n a a n 即：243 42411--=--=n n n a n 课外练习解：因为

高中数列知识点总结(很实用!!)

第二章数列复习要点 1. 等差数列的定义与性质定义：1n n a a d +-=（d 为常数），()11n a a n d =+- 等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ?=+ 前n 项和()()11122 n n a a n n n S na d +-==+ 性质：{}n a 是等差数列（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；（2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2；（3）若三个成等差数列，可设为a d a a d -+，，（4）若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则2121 m m m m a S b T --= （5）{}n a 为等差数列2n S an bn ?=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数） n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界项，即：当100a d ><，，解不等式组1 00n n a a +≥??≤?可得n S 达到最大值时的n 值. 当100a d <>，，由100 n n a a +≤??≥?可得n S 达到最小值时的n 值. (6)项数为偶数n 2的等差数列{} n a ，有 ),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S nd S S =-奇偶，1 +=n n a a S S 偶奇 .

高中数学必修等差数列知识点总结和题型归纳

等差数列一．等差数列知识点：知识点1、等差数列的定义: ①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示知识点2、等差数列的判定方法: ②定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列 ③等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列知识点3、等差数列的通项公式: ④如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为 d n a a n )1(1-+= 该公式整理后是关于n 的一次函数知识点4、等差数列的前n 项和: ⑤2 )(1n n a a n S += ⑥d n n na S n 2) 1(1-+ = 对于公式2整理后是关于n 的没有常数项的二次函数知识点5、等差中项: ⑥如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项即：2 b a A += 或b a A +=2 在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项知识点6、等差数列的性质: ⑦等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有d m n a a m n )(-+= ⑧ 对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+，则q p m n a a a a +=+ 也就是：ΛΛ=+=+=+--23121n n n a a a a a a ⑨若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等差数列如下图所示： 4444444444484444444444476443 4421Λ4434421Λ444344421Λk k k k k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k 31221S 321-+-+++++++++++ 10、等差数列的前n 项和的性质：①若项数为() *2n n ∈N ，则 ()21n n n S n a a +=+，且 S S nd -=偶奇， 1 n n S a S a +=奇偶．②若项数为() *21n n -∈N ，则()2121n n S n a -=-，且n S S a -=奇偶， 1 S n S n = -奇偶（其中n S na =奇，()1n S n a =-偶）．二、题型选析：题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用） 1、.等差数列{a n }的前三项依次为 a-6，2a -5， -3a +2，则 a 等于（ ) A . -1 B . 1 C .-2 D. 2 2．在数列{a n }中，a 1=2，2a n+1=2a n +1，则a 101的值为（） A ．49 B ．50 C ．51 D ．52 3．等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是（）

高中数学必修等差数列知识点总结和题型归纳

二、题型选析：题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用） 1、.等差数列{a n }的前三项依次为 a-6 ，2a -5 ， -3a +2 ，则 a A . -1 B . 1 C .-2 D. 2 2．在数列 {a n } 中， a 1=2，2a n+1=2a n +1，则 a 101的值为（） A ．49 B ．50 C ． 51 D ．52 3．等差数列 1，－ 1，－ 3，?，－ 89的项数是（）等差数列一．等差数列知识点：知识点 1、等差数列的定义 : ①如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示知识点 2、等差数列的判定方法 : ②定义法：对于数列 a n ，若a n 1 a n d （常数），则数列 a n 是等差数列 ③等差中项：对于数列 a n ，若2a n 1 a n a n 2，则数列 a n 是等差数列知识点 3、等差数列的通项公式 : 的首项是 a 1 ，公差是 d ，则等差数列的通项为该公式整理后是关于 n 的一次函数 n 项和 : n （n 1） ⑥ S n na 1 d 2 ④如果等差数列 a n a n a 1 （n 1）d 知识点 4、等差数列的前 ⑤ Sn n （a 1 a n ） 2 对于公式 2整理后是关于 n 的没有常数项的二次函数知识点 5、等差中项 : ⑥如果 a ， A ， b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与b 的等差中项即： A a b 或2A a b 在一个等差数列中，从第 2 项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项知识点 6、等差数列的性质 : ⑦等差数列任意两项间的关系：如果且 m n ，公差为 d ，则有 a n a m （n ⑧ 对于等差数列 a n ，若 n m p a n 是等差数列的第 n 项， a m 是等差数列的第 m 项， m ）d q ，则 a n a m a p a q 也就是： a 1 a n a 2 a n 1 a 3 a n 2 ⑨若数列 a n 是等差数列，等差数列如下图所示： S n 是其前 n 项的和， k N ，那么 S k ， S 2k S k ， S 3k S 2k 成 S 3k a 1 a 2 a 3 S k a k a k 1 S 2k a 2k S k a 2k 1 S 3k S 2k a 3k ①若项数为 2n n * ，则 S 2n n a n a n 1 ，且 S 偶 S 奇 S 奇 nd ，奇 an ． ②若项数为 2n 1 n S 偶 a n 1 S 奇 n （其中 S 奇 na n ， S 偶 n 1 a n ）． S 偶 n 1 奇等差数列的前 n 项和的性质： 10、，则 S 2n 1 2n 1 a n ，且 S 奇 S 偶 a n ，等于（）