排列组合测试题(含答案)
排例组合专题训练 1. 将3个不同的小球放入4个盒子中,则不同放法种数有A .81 B .64 C .12 D .14 2.5个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有 A .33A B .334A C .523533A A A - D .23113 23233A A A A A + 3.,,,,a b c d e 共5个人,从中选1名组长1名副组长,但a 不能当副组长,不同的选法总数是 A.20 B .16 C .10 D .6 4.现有男、女学生共8人,从男生中选2人,从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛,共有90种不同方案,那么男、女生人数分别是 A .男生2人女生6人 B .男生3人女生5人 C .男生5人女生3人 D .男生6人女生2人. 5.在8 2 x ? ?的展开式中的常数项是A.7 B .7- C .28 D .28- 6.5 (12)(2)x x -+的展开式中3 x 的项的系数是A.120 B .120- C .100 D .100- 7.22n x ???展开式中只有第六项二项式系数最大,则展开式中的常数项是 A .180 B .90 C .45 D .360 8.由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数,其中小于50000的偶数共有 A .60个 B .48个 C .36个 D . 24个 9.3张不同的电影票全部分给10个人,每人至多一张,则有不同分法的种数是 A .1260 B .120 C .240 D .720 10.n N ∈且55n <,则乘积(55)(56)(69)n n n ---L 等于 A .5569n n A -- B .15 69n A - C .15 55n A - D .14 69n A - 11.从不同号码的5双鞋中任取4只,其中恰好有1双的取法种数为 A .120 B .240 C .280 D .60 12.把10 )x -把二项式定理展开,展开式的第8项的系数是 A .135 B .135- C .- D . 13.2122n x x ??+ ?? ?的展开式中,2 x 的系数是224,则2 1x 的系数是A.14 B .28C .56 D .112 14.不共面的四个定点到面α的距离都相等,这样的面α共有几个A .3 B .4 C .6 D .7
组合数学试题
《组合数学》期末试题(A )姓名班级学号成绩 一,把m 个负号和n 个正号排在一条直线上,使得没有两个负 号相邻,问有多少种不同的排法。 二,在1和100之间既不是某个整数的平方,也不是某个整数的 立方的数有多少个? 三,边长为1的等边三角形内任意放10个点,证明一定存在两 个点,其距离不大于1/3。 四,凸10边形的任意三条对角线不共点,试求(1)这凸10边形的 对角线交于多少个点?(2)又把所有对角线分割成多少段?五,求和=?? ???∑k-(-)k+1111n k n k 六,求解递推关系--++=??==?12016930,1 n n n a a a a a 七,用红白蓝三种颜色对1×n 的方格涂色,每个方格只能涂一种颜色,如果要求偶数个方格涂成红色,问有多少种方法? 八,用红、蓝二种颜色对1×n 的方格涂色,每个方格只能涂一种颜色,如果要求涂成红色的两个方格不能相邻,问有多少种方法?注,1-4、6题各15分,第5题10分,第7题8分,第八题7分。
北京邮电大学2005 ——2006 学年第1 学期 《组合数学》期末试题答案 一, (15) 解: 由于正负号不能相连,故先将正号排好,产生n+1个空档。 --------5分 则负号只能排在两个正号之间,这相当于从n+1个数中取m 个数的组合,故有---------10分 1n m +????? ?种方式。----15 备注:若写出m>n+1时为0,m=n+1时为1,给5分 二, (19分) 解:设A 表示是1-100内某个数的平方的集合,则 |A|=10, -----4分 设B 表示是1-100内某个数的立方的集合,则|B|=4, --8分 |A ∩B|=2, -----12分 由容斥原理得 100|||||| 100104288A B A B A ∩=??+∩=??+=B --------19分 三, (15分) 证明:将此三角形剖分成9个小的边长为1/3的等边三角形。 - ------5分 由鸽巢原理,必有两点在某一个小三角形内,----12分 此时,这两点的距离不超过小三角形边长1/3。从而得证。 -------15分 四, (15分) 解:(1)由于没有三条对角线共点,所以这凸多边形任取4点,组成的多边形内唯一的一个四边形,确定唯一一个交点,--5分 从而总的交点数为C(10,4)=210-------------10分 (2)如图,不妨取顶点1,考察由1出发的对角线被其他对角线 剖分的总数。不妨设顶点标号按顺时针排列,取定对角线1 i
中科大2019创新班真题与答案word
2019年中国科学技术大学创新班考试物理试题 一、单项选择及填空 1. 将平面哄左转10°,但AB方向不变,一些关于反射光C D''说法正确的是A A. 与CD不相交,同时平行 C. 与CD相交,夹角为10。 B. 与CD不相交,反向平行 D. 与CD相交,夹角为20 ° 2. 如果把双缝干涉实验中,关闭一个狭缝有什么影响C A. 条纹间距增大 B.中间亮条纹变宽 C. 中间亮纹变细 D. 条纹上移 3. 一个气泡在水底由下到上,上升(认为水温不变)则D A.气泡压强个↑ B.气泡体积 C. 气泡T改变 D.气泡对外做功 4. 如图,一个光滑半圆,小球从A端由静止滑下,在轨道上来回滑动AB A. 由A TB时,小球机械能守恒 B. 在C速度为0 C. BtC过程动量守恒 D. BtC过程动能守恒 5. 一杯水与砝码在天平上平衡,将手指插进水中但不碰到杯底,关于天平移动方向 A
A.水杯处下移 B.硃码下移 C.不变 D. 都有可能 6. 有如图管,管的左端封闭,右端开口,大气压为P 0。A ,B 为两段封闭气体,求P B (用图中给的h 1,h 2,h 3表示) )(P 130h h g +-ρ 7. 用紫光照射Zn 极,照射一段时间后,把Zn 极连接一验电器,则下列说法正确的是C A. Zn 极带正电,验电器带负电 B. Zn 极带负电,验电器带正电 C. 若将带正电的小球靠近Zn 极,则验电器张角变大 D. 若将带正电的小球靠近Zn 极,则验电器张角变小 8. 基态氢原子吸收波长为λ的光子后,释放了波长为2λ的电磁波,则一定正确的是D A. 12λλ= B. 12λλ≠ C. 12λλ≥ D. 12λλ≤ 9. 如图,小船两个人开始船以V 向右运动,A 、B 先后以V 0跳下船,(V 0是向对地面)己知A ,B 的质量为m 0,船的质量为2m 0。,求末态的船速。 A A. 2V B. V -V 0 C. 2(V-V 0) D. 2V -V 0 10、关于热传递,下列说法正确的是 C
(完整版)排列组合练习试题和答案解析
《排列组合》 一、排列与组合 1.从9人中选派2人参加某一活动,有多少种不同选法? 2.从9人中选派2人参加文艺活动,1人下乡演出,1人在本地演出,有多少种不同选派方法? 3. 现从男、女8名学生干部中选出2名男同学和1名女同学分别参加全校“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营活动,已知共有90种不同的方案,那么男、女同学的人数是 A.男同学2人,女同学6人 B.男同学3人,女同学5人 C. 男同学5人,女同学3人 D. 男同学6人,女同学2人 4.一条铁路原有m个车站,为了适应客运需要新增加n个车站(n>1),则客运车票增加了58种(从甲站到乙站与乙站到甲站需要两种不同车票),那么原有的车站有 A.12个 B.13个 C.14个 D.15个 5.用0,1,2,3,4,5这六个数字, (1)可以组成多少个数字不重复的三位数? (2)可以组成多少个数字允许重复的三位数? (3)可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数? (4)可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数? (5)可以组成多少个大于3000,小于5421的数字不重复的四位数? 二、注意附加条件 1.6人排成一列(1)甲乙必须站两端,有多少种不同排法? (2)甲乙必须站两端,丙站中间,有多少种不同排法? 2.由1、2、3、4、5、6六个数字可组成多少个无重复数字且是6的倍数的五位数? 3.由数字1,2,3,4,5,6,7所组成的没有重复数字的四位数,按从小到大的顺序排列起来,第379个数是 A.3761 B.4175 C.5132 D.6157
4. 设有编号为1、2、3、4、5的五个茶杯和编号为1、2、3、4、5的五个杯盖,将五个杯盖 盖在五个茶杯上,至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有 A.30种 B.31种 C.32种 D.36种 5.从编号为1,2,…,10,11的11个球中取5个,使这5个球中既有编号为偶数的球又有编 号为奇数的球,且它们的编号之和为奇数,其取法总数是 A.230种 B.236种 C.455种 D.2640种 6.从6双不同颜色的手套中任取4只,其中恰好有1双同色的取法有 A.240种 B.180种 C.120种 D.60种 7. 用0,1,2,3,4,5这六个数组成没有重复数字的四位偶数,将这些四位数从小到大排列 起来,第71个数是 。 三、间接与直接 1.有4名女同学,6名男同学,现选3名同学参加某一比赛,至少有1名女同学,由多少种不 同选法? 2. 6名男生4名女生排成一行,女生不全相邻的排法有多少种? 3.已知集合A 和B 各12个元素,A B I 含有4个元素,试求同时满足下列两个条件的集合C 的 个数:(1)()C A B ?U 且C 中含有三个元素;(2)C A ≠?I ,?表示空集。 4. 从5门不同的文科学科和4门不同的理科学科中任选4门,组成一个综合高考科目组,若 要求这组科目中文理科都有,则不同的选法的种数 A.60种 B.80种 C.120种 D.140种 5.四面体的顶点和各棱中点共有10个点,在其中取4个不共面的点不同取法有多少种? 6. 以正方体的8个顶点为顶点的四棱锥有多少个? 7. 对正方体的8个顶点两两连线,其中能成异面直线的有多少对? 四、分类与分步 1.求下列集合的元素个数. (1){(,)|,,6}M x y x y N x y =∈+≤; (2){(,)|,,14,15}H x y x y N x y =∈≤≤≤≤.
2019年中科大创新班考试数学模拟试题及参考答案
2019年中科大创新班考试数学模拟试题 注意事项: 1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2. 将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3. 考试结束后,将本试卷与答题卡一并交回。4.本试卷共四大题,满分100分,解答题需写出必要的计算和证明过程。 一、填空题(每小题5分,共40分) 1.设{}|12A a a =-≤≤,则平面点集(){},|,,0B x y x y A x y =∈+≥的面积为. 2.已知{}7,6,5,4,3,2,1,0=A ,A A f →:,若7=+j i ,则ij j f i f =)()(,那么映射f 的个数是. 3.已知抛物线P 以椭圆E 的中心为焦点,P 经过E 的两个焦点,并且P 与E 恰有三个交点,则E 得离心率等于. 4.在锐角ABC △中,G O ,分别是其外心和重心,若AC OG ∥且 75=∠B ,则=+C A tan tan . 5.如图,在单位正四面体ABCD 中,K N M ,,分别在棱BD AD AB 、、上,满足 .41,31===DK DN BM 则面ACK 与面CMN 所夹锐角的余弦值为.
6.设复数z ,11=+z z ,则z 的取值范围是为. 7.严格递增的正实数数列{}n x 满足:{}n x x ∈当且仅当2{}x x +=整数,(其中,等式中的{}x 表示x 的小数部分).那么,这个数列的前100项之和是. 8.任意m 个正整数中,必有一个数的各位数码之和是11的倍数,则m 的最小值为. 二、解答题(20分) 在ABC ?中,角C B A ,,的对边依次成等差数列。求证:3 12tan 2tan =C A .三、解答题(20分) 已知对于任意的]1,1[-∈x ,都有12 ≤++c bx ax ,证明:对于任意的]1,1[-∈x ,都有22≤++a bx cx 。 四、解答题(20分) 在坐标平面内,从原点出发以同一初速度0v 和不同发射角(即发射方向与x 轴正向之间的夹角)[]2 ,,0(παπαα≠∈射出的质点,在重力的作用下运动轨迹是抛物线,所有这些抛物线组成一个抛物线族,若两条抛物线在同一个交点处的切线互相垂直,则称这个交点为正交点。证明:此抛物线族的所有正交点的集合是一段椭圆弧,并求此椭圆弧的方程(确定变量取值范围)。
组合数学试卷A(2014-2015-1)答卷
2014-2015-1《组合数学》试卷(A )答案 一、填空题(每小题3分,共24分) 1.6()x y +所有项的系数和是( 64 ). 2.将5封信投入3个邮筒,有( 243 )种不同的投法. 3.在35?棋盘中选取两个相邻的方格(即有一条公共边的两个方格),有 ( 22 )种不同的选取方法. 4.把9个相同的球放入3个相同的盒,不允许空盒,则有( 7 )种不同方式. 5.把5个不同的球安排到4个相同盒子中,无空盒,共有种( 10 )不同方法. 6.一次宴会,5位来宾寄存他们的帽子,在取帽子的时候有( 44 )种可能使得没有一位来宾取回的是他自己的帽子. 7. 在边长为a 的正方形中,任意给定九点,这些顶点的三角形中必有一个三角形的面积不大于( 28a ). 8.棋盘多项式 R ( )=( x 2 +3x+1 ). 二、单项选择题(每小题3分,共24分) 9....0110p q p q p q r r r ????????????+++= ??? ??? ???-???????????? ( B ) , m i n {,}r p q ≤. A 、1p q r +?? ?-??; B 、p q r +?? ???; C 、1p q r +?? ?+??; D 、1p q r ++?? ??? . 10. ()n a b c d +++的展开式在合并同类项后一共有( B )项. A 、n ; B 、3n n +?? ???; C 、4n ?? ??? ; D 、!n . 11.多项式40123(24)x x x x +++中项2012x x x 的系数是( C ). A 、 78 ; B 、 104 ; C 、 96 ; D 、 48. 12.有4个相同的红球,5个相同的白球,则这9个球有( B )种不同的排列方式. A、 63 ; B、 126 ; C、 252 ; D、 378. 13. 设,x y 均为正整数且10x y +≤,则这样的有序数对()y x ,共有( D )个. A. 100 ; B. 81 ; C. 50 ; D. 45.
2019年中科大创新班初试数学试题
2019年中国科学技术大学创新班考试数学试题及解析 2019中国科学技术大学创新班考试数学试题 更多真题找:新一代韩鹏 注意事项 L答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.将答案写在答题卡上,写在本卷上无效? 3.考试结束后,将本卷和答题卡一并交回. 4辛卷共四大题,满分侦0分.解答题写出必要的计算和证明过程? 一.填空题(每题5分,共40分) 1. _______________________________________ 平面区域|X+2J|+|3X +4J|<5的面积是_________________________________________________ , 2.方程sin2x + cos3x = 0,xe [。,2引的所有根之和. 3.设点如,0),4 wN,且{x,x/JlX l +工2 +石+*4 二、(20分)设四面体ABCD.可由沿各边中点连线折起国成, 1^1 = 12,1^1 = 10,网| = 8,求四面体ABCD的体积. 三、(20分)设〃是正整数.证明:x = 0是方羿的唯一解. t-o k. 四、(20分) 设〃是正整数.⑴证明:存在多项式p“(x),使得cos伽)= p,(cos&). (2)在实数范用内完企因式分解p(*).
组合数学 试题及答案11
组合数学试题 共 5 页 ,第 1 页 电子科技大学研究生试卷 (考试时间: 至 ,共 2 小时) 课程名称 组合数学 教师 学时 40 学分 2 教学方式 讲授 考核日期 2011 年 11 月 日 成绩 考核方式: (学生填写) 一、(共10分) 1、(4分)名词解释:广义Ramsey 数R (H 1,H 2,…,H r )。 2、(6分)证明:R(C 4,C 4) ≥ 6,其中C 4为4个顶点的无向回路图。 解: 1、使得K n 对于(H 1,H 2,…,H r )不能r -着色的最小正整数n 称为广义Ramsey 数R (H 1,H 2,…,H r )。-----------------4分 2、如下图所示的5个顶点的完全图就没有一个纯的C 4,实线和虚线分别代表不同的颜色。 -----------------4分 故R(C 4,C 4)>=6。-----------------2分 二、(16分)未来5届欧盟主席职位只能有法国、德国、意大利、西班牙、葡萄牙五国的人当选,一个国家只能当选一次。假如法国只能当选第一届、第二届或者第三届,德国不能当选第二届和第三届,意大利不能当选第一届,西班牙不能当选第五届,葡萄牙只能能当选第二届、第四届或者第五届。问未来的5届欧盟主席职位有多少种不同的当选方案? 解:原问题可模型化为一个5元有禁位的排列. 其禁区棋盘C 如下图的阴影部分。 -----------------4分 学 号 姓 名 学 院 ……………………密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………无……………效……………………
组合数学研究生试卷整理版
学科专业代码 081202/081203/430112 学科专业名称 计算机应用技术、计算机软件与理论、计算机技术 考试科目代码_ 01 考试科目 组合数学 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 分数 评卷人 (本试卷考试时间为2个小时,卷面分数100分,答案请写在答题本上) 一、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分) 1、在35?棋盘中选取两个相邻的方格(即有一条公共边的两个方格),有 __________种不同的选取方法。 2、将5封信投入3个邮筒,有_________种不同的投法。 3、含3个变元,,x y z 的一个对称多项式包含9个项,其中4项包含x ,2项包含 xyz ,1项包含常数项,求包含xy 的项有 个. 4、由1,2,3,4,5 组成的大于43500的五位数的共有____个。 5、把9个相同的球放入3个相同的盒,不允许空盒,则有_______种不同方式。 三、应用题(本大题共5小题,每题各15分,共75分) 6、若有1克砝码3枚,2克砝码4枚,4克砝码2枚,问能称出多少种不同的重量?各有多少 方案? 7、 某学者每周上班6天工作42小时,每天工作的小时数是整数,且每天工作时间不少于6 小时也不多于8小时。今要编排一周的工作时间表,问有多少种不同的编排方法? 8、 核反应堆中有α和β两种粒子,每秒钟内一个α粒子分裂成三个β粒子,而一个β粒子 分裂成一个α粒子和两个β粒子,若在时刻t = 0时反应堆中只有一个α粒子,问t = 100 秒时反应堆中将有多少个α粒子?多少个β粒子? 9、 正六面体的8个顶点分别用红蓝两色染色,问有多少种不同的染色方案?刚体运动使之吻 合算一种方案。 10、 期末考试有六科要复习,若每天至少复习完一科(复习完的科目不再复习),5天里把全 部科目复习完,则有多少种不同的安排? 一、填空题(每小题5分,共25分): 专业 姓名
有限集合上的组合数学问题
2012有限集合上的组合数学问题 知识点: 1.偏序集合基本概念 一个集合A 是所谓偏序的,是指它上面定义了一个二元关系“ ”满足下列条件: 1.若y x 且x y 同时成立,则y x =(反对称律) 2.若,y x z y ,则z x (传递律) 3.对于A 的每一个x ,都有x x (反身律) 4. .,y x y x y x ≠?< 特别地,如果每一对元素之间存在关系 ,则称其为一个全序集合。 这里,符号"" 读作“小于等于”。 假定),( A 是一个有限的偏序集合。由A 中两两不可比较的元素所组成的子集合称为“不可比集合”(或象一些学者所讲的,“反链”);包含元素最多的不可比集合称为“最大不可比集合”(或极大“反链”)。用 M 表示一个最大不可比集合中元素的个数。 2.偏序集合基本问题和定理。 定理1(Dilworth 定理).在将偏序集合A 分解成不相交链(相交亦可)的并时,所需要的链的最少个数m 等于A 的最大不可比集中所含元素的个数。 注意:(1)这是组合数学理论中的又一个“最大=最小”的定理,用它可以轻易地推出例7-15中的结论。 与Menger 定理,“最大流-最小割定理”和二部图中的“K ' 'o nig 定理”遥相呼应。其实,这些“最大=最小”型的结论之间存在者一定的蕴涵或等价关系。 (2)由于这个结果是如此重要,我们有必要再给出一个快捷的证明(注意:快捷而简单的证明不一定是“好”的证明!因为它的过于简单的过程会掩盖一些事务的本质。没有经验的研究人员往往忽视这一点。)下面这个证明来自于https://www.doczj.com/doc/a81743145.html,erberg 在1967年的篇文章。 证明2:设P 是一个有限偏序集合。P 中划分为不相交的链的最小个数m =P 中的一个反链所含元素的最大个数。 显然有M m ≥。对于||P 实行数学归纳。当||P =0时定理显然成立。令C 是一个极大链。如果C P -的每一个反链至多包含1-M 个元素,则定理成立。因此,设},...,,{21M a a a 为C P -的一个反链。我们定义: }.,|{i a x i P x S ?∈=- 类似第可以定义+ S 。因为C 的及大性,所以C 中的最大元素不再- S 里面。故,按照归纳假定,- S 是M
组合数学试卷A(2014-2015-1)答卷
2014-2015-1《组合数学》试卷(A )答案 一、填空题(每小题 分,共 ?分) .6()x y +所有项的系数和是( ?? ) .将 封信投入 个邮筒,有( ??? )种不同的投法 .在35?棋盘中选取两个相邻的方格(即有一条公共边的两个方格),有 ( ?? )种不同的选取方法 .把 个相同的球放入 个相同的盒,不允许空盒,则有( ? )种不 同方式 .把 个不同的球安排到 个相同盒子中,无空盒,共有种( ?? )不 同方法 .一次宴会, 位来宾寄存他们的帽子,在取帽子的时候有( ?? )种 可能使得没有一位来宾取回的是他自己的帽子 ? 在边长为?的正方形中,任意给定九点,这些顶点的三角形中必有一个三 角形的面积不大于( 28a ) .棋盘多项式 ? ??( ? ????? ) 二、单项选择题(每小题 分,共 ?分) ....0110p q p q p q r r r ????????????+++= ??? ??? ???-????????????( ? ), min{,}r p q ≤ ?、1p q r +?? ?-??; ?、p q r +?? ???; ?、1p q r +?? ?+?? ; ?、
1p q r ++?? ??? ?? ()n a b c d +++的展开式在合并同类项后一共有( ? )项 ?、n ; ?、3n n +?? ???; ?、4n ?? ??? ; ?、!n ?.多项式40123(24)x x x x +++中项2012x x x 的系数是( ? ) ?、 ?? ; ?、 ??? ; ?、 ?? ; ?、 ??? ?.有 个相同的红球, 个相同的白球,则这 个球有( ? )种不同的排列 方式 A、 ?? ; B、 ??? ; C、 ??? ; D、 ???? ?? 设,x y 均为正整数且10x y +≤,则这样的有序数对()y x ,共有( ? )个 ?? ??? ; ?? ?? ; ?? ?? ; ?? ??? ?? 递推关系12432(2)n n n n a a a n --=-+≥的特解形式是( ? )(α为待定常数) ?、2n n α?; ?、2n α; ?、32n n α; ?、22n n α ?.递推关系()6(1)9(2)f n f n f n =---的一般解是( ? )(12,C C 为任意常数) ?、11233n n C C -+; 、12()3n C C n +; ?、1(1)3n C n +; ?、 1233n n C C +
(完整版)排列组合练习题(全集)
排列组合复习题型总结 一、特殊对象问题:优先进行处理 1.有5人排成一列,其中甲不在第一的位置,有多少种排法? 2.有5人排成一列,其中甲不能在第一,乙不能在最后,有多少种排法? 二、名额分配问题:名额插挡板法 3.有10个三好学生的名额分给3个班,要求每班至少有一个名额,怎么分? 4.有7个三好学生的名额,分给3个班,怎么分? 三、分组分配问题:分配等于先分组,再把组分配出去 5.有6本不同的书,平均分给甲乙丙三人,有多少种分法? 6.有6本不同的书,平均分为三组,有多少种分法? 7.有6本不同的书,分甲1本,乙2本,丙3本,有多少种分法? 8.有6本不同的书,分三组,一组1本,一组2本,一组3本,有多少分法? 9.有6本不同的书,分给三个人,一人1本,一人2本,一人3本,有多少种分法? 10.有9本不同分成三组,一组5本,另外两组各2本,有多少种分法? 11.有9本不同的书,分给甲乙均2本,丙5本,有多少种分法? 12.有9本不同的书,分给两人各2本,另一人5本,有多少种分法? 四、相邻问题:捆绑法 13.8人排成一列,甲乙丙三人必须相邻,有多少种排法? 14.8人排成一列,甲乙两人必须相邻,且都不和丙相邻,有多少种排法? 15.一排8个座位,3人坐,5个空座位相邻,有多少种坐法? 16.一排8个座位,3人坐,其中恰有4个空座位相邻,有多少种坐法? 五、不相邻问题:插空法 17.某人射击训练,8枪命中3枪,恰好没有任何2枪连续命中,有多少情况? 18.8人排成一列,甲乙丙三人不可相邻,有多少种排法? 19.8盏灯关掉3盏,不许关掉相邻的,也不许关掉两端,多少种方法? 20.某人射击训练,8枪命中3枪,恰好2枪连续命中,有多少种情况? 六、成双成对问题:先按双取出,再从各双分别取出一只,自然不成双 21.从6双不同鞋子中取出4只,要求都不许成双,有多少种方法? 22.从6双不同鞋子中取出4只,要求恰好有一双,有多少种方法? 七、可(不可)重复使用的对象:问题中有两组对象,解决问题时要以不可重复使用的对象作为分步的标准(住店、投信、映射、冠亚军等) 23.5人住3家店,有多少种住法? 24.若有4项冠军在3个人中产生,没有并列冠军,问有多少种不同的夺冠可能性。
组合数学考试试题
第一部分:填空题。 题目1:求n 元布尔函数f (x1,x2,…,xn )的数目,其中布尔函数是指含有与(∧)、或(∨)、非(-)等基本布尔运算的函数。 解答:设有n 个布尔变元x 1,x 2,…,x n ,其中x i ∈{0,1},i =1,2,…,n ,根据乘法原理(x 1,x 2,…,x n )共有2n 种不同指派,对每个指派,布尔函数取值为{0,1},故不同的布尔函数的数目为:22n 。 (考试中会给定n 的具体数值,带入公式直接计算即可。) 题目2:n 对夫妻围一圆桌而坐,求每对夫妻相邻而坐的方案数。 解答:夫妻相邻而坐,可以将一对夫妻看成一个整体,其圆排列数为(n -1)!,由于每对夫妻可以交换位置,故所求方案数为(n -1)!×2n 。 题目3:求多重集合M = {∞·a 1, ∞·a 2, …, ∞·a n }的r 排列数。 解答:在构造的M 的一个r 排列时,第一项有n 种选择,第二项有n 种选择,……, 第r 项有n 种选择,故M 的r 排列数为n r 。 (一般地,n 元多重集合表示为:M = {k 1·a 1, k 2·a 2, …, k n ·a n }其中:a i (i = 1, 2, …, n )表示元素的种类,k i (i = 1, 2, …, n )表示元素a i 的个数。) 题目4:求多重集合M = { k 1·a 1, k 2·a 2, …, k n ·a n }的全排列数。 解答:先把M 中的所有的k 1 + k 2 + … + k n 个元素看成是互不相同的,则它的全排列数为(k 1 + k 2 + … + k n )!。但是这里k i !个a i 是相同的,所以k i !个a i 的位置相同并且同其他元素排列也相同的排列是同一个,故M 的全排列数为: ! !!)! (2121n n k k k k k k +++。 题目5:确定1054321)(x x x x x ++++的展开式中x 13 x 2 x 34 x 52的系数。 解答:??? ? ??=???? ?????? ?????? ?????? ??2,4,1,310224617310 ! 2!4!1!3!10! 0!2!2! 2!4!6! 6!1! 7!7!3! 10= ? ? ? = (? ?? ? ??r n 表示从n 中取r 个的组合,与r n C 的意义完全相同。试题中可能会改变具体的数值,例如求15 54321)(x x x x x ++++的展开式中x 15x 24 x 34 x 52的系数,只需按上述过程计算即可。) 题目6: 求正整数n 的有序k 分拆的个数,要求第i 个分部量大于等于p i 。 解答:分拆的个数为:?? ? ? ? ??---+∑=111k p k n k i i ,其中(1≤i ≤k )。 例如:9的有序3分拆,要求所有分部量都大于等于2,其个数为: