张量
张量是用来描述矢量、标量和其他张量之间线性
关系的几何对象。这种关系最基本的例子就是点积、
叉积和线性映射。矢量和标量本身也是张量。张量可
以用多维数值阵列来表示。张量的阶（也称度或秩）
表示阵列的维度，也表示标记阵列元素的指标值。例
如，线性映射可以用二位阵列--矩阵来表示，因此该
阵列是一个二阶张量。矢量可以通过一维阵列表示，
所以其是一阶张量。标量是单一数值，它是0阶张量。
张量可以描述几何向量集合之间的对应关系。例
如，柯西应力张量T 以v 方向为起点，在垂直于v 终点方向产生应力张量T(v)，因此，张量表示了这两个 向量之间的关系，如右图所示。 因为张量表示了矢量之间的关系，所以张量必 须避免坐标系出现特殊情况这一问题。取一组坐标 系的基向量或者是参考系，这种情况下的张量就可 以用一系列有序的多维阵列来表示。张量的坐标以 “协变”（变化规律）的形式独立，“协变”把一种 坐标下的阵列和另一种坐标下的阵列联系起来。这 种变化规律演化成为几何或物理中的张量概念，其 精确形式决定了张量的类型或者是值。
张量在物理学中十分重要，因为在弹性力学、流体力学、广义相对论等领域中，张量提供了一种简洁的数学模型来建立或是解决物理问题。张量的概念首先由列维-奇维塔和格莱格里奥-库尔巴斯特罗提出，他们延续了黎曼、布鲁诺、克里斯托费尔等人关于绝对微分学的部分工作。张量的概念使得黎曼曲率张量形式的流形微分几何出现了替换形式。 历史
现今张量分析的概念源于卡尔?弗里德里希?高斯在微分几何的工作，概念的
制定更受到19世纪中叶代数形式和不变量理论的发展[2]。“tensor ”这个单词在
1846年被威廉·罗恩·哈密顿[3]提及，这并不等同于今天我们所说的张量的意思。
[注1]当代的用法是在1898年沃尔德马尔·福格特提出的[4]。
“张量计算”这一概念由格雷戈里奥·里奇·库尔巴斯特罗在1890年《绝对微分几何》中发展而来，最初由里奇在1892年提出[5]。随着里奇和列维-奇维塔1900年的经典著作《Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications 》（绝对微分学的方法及其应用）出版而为许多数学家所知[6]。
在20世纪，这个学科演变为了广为人知的张量分析，1915年左右，爱因斯坦的广义相对论理论中广泛应用了这一理论。广义相对论完全由张量语言表述。爱因斯坦曾向几何学家马塞尔·格罗斯曼学习过张量方法，并学得很艰苦。[7]1915
年到1917年之间，列维·奇维塔 在与爱因斯坦互相尊重互相学习的氛围下，对爱因斯坦的张量表述给与了一些指正。
“我很佩服你的计算方法的风采，它必将使你在数学大道上策马奔腾，然而我们却只能步履蹒跚。”阿尔伯特·爱因斯坦，意大利相对论数学家[8]。
柯西应力张量是一个二阶张量。该张量的元素在三维笛卡尔坐标系下组成如下矩
阵：
312()()()111213212223313233
T T T =e e e σσσσσσσσσσ??=????????????
该矩阵的各列表示作用在
e 1,e 2,e 3方向正方体表面上的应力（单位面积上的力）。
在其他领域中，张量同样被认为是一种很实用的数学方法，如连续介质力学。在微分几何中有一些著名的例子是用二次型表示的，如度量张量和黎曼曲率张量。十九世纪中叶赫尔曼·格拉斯曼的外代数本身就是一个张量理论，具有很强的几何特性，但此前很长一段时间，人们很自然地认为微分形式包含张量理论。卡尔丹·埃利的工作指出微分形式只是张量在数学运算中的一种基本形式。
大约从20世纪20年代起，人们认识到，张量发挥（在Künneth 定理为例）在代数拓扑中的基础性作用。[需要的引证]相应地有型张量的工作在抽象代数的许多分支，特别是在同调代数和表示论。多线性代数可以开发更大的通用性比标量从外地来的，但理论是那么肯定少了几何，和计算更多的技术和算法少(澄清需要)张量是由monoidal 概念的手段范畴理论中广义类别，从20世纪60年代。 定义
有几种方法来定义张量。虽然看似不同，但各种方法只是使用不同的语言在不同的抽象层次来描述相同的几何概念。
多维数组
如同一个标量是由一个单一的数字来表述，一个给定基准的矢量是由一维数组表述的，相应地，一个基准下的任意张量都由多维数组表述。数组中的数字是张量中的标量部分或者其本身。他们是由上标，下标以及张量名称的后缀所表示位置的指数来表示的。每个部分的指数总和必须等于数组的维数，并称之为张量的行数或秩[注2]例如，一个2阶张量T 的条目将被记T ij ，其中i 和j 是从1到相关的向量空间的维数指标[注3]。
当改变向量空间进行基变换时，向量的元素也会随之改变。与此相似，在类似的变换下，张量的阶数也将改变。每一个张量都有相应的变换法则，通过变换法则可以得知张量的元素如何反映张量的基变换。一个向量的元素可以通过两种
不同的方法来反映基变换（见协方差矢量和逆变矢量），其中新的基矢量按照如下公式由旧的基矢量
变换得到，
其中R i j 是一个矩阵，在第二个表达式中求和符号被取消（爱因斯坦引入的方便的记数方法将在这篇文章中使用）。行向量（或列向量）v 中的元素v i 通过矩阵R 的逆矩阵变换，
这里的指数表示在新的基础上的组件。而组件covector （或行向量），W 与矩阵R 本身变换。
i
j j w R w ∧=
张量元素的变换和矩阵各元素的变换相似。如果向量的指数变换是基变换的逆变换，这种情况成为逆变，这里通常指的是上标指数，而指数只随着基变换的情形称为协变，这里的指数是下标指数。逆变指数为m 的n 阶张量与m-n 协变
指数之间的变换规律如下：
11111111,,,,11,,,,=n n n m n n m n n m n m
i i i j j j j i i i j j i i j j T R R R R T ++++???∧???--????????????（）（） 这样的张量称为阶或类型为（n,m-n ）型的张量[4].这样的讨论产生了张量的一般
定义。
定义：（n,m-n ）型的张量是多线性映射的分配，即：
对于基f=(e 1,...,e N )是如此，如果应用如下基变换
多维阵列变成“协变”规律形式
11111111,,,,11,,,,[f,]=[f ]n n n m n n m n n m n m i i i j j j j i i i j j i i j j T R R R R R T ++++??????--????????????（）（）
多维阵列定义张量满足“协变”规律，这个可以追溯到里奇的早期工作。如今，这种定义在一些物理和工程书籍中仍然经常使用。
张量场
在许多实际应用当中，特别是微分几何和物理领域，通常把张量的元素考虑成为函数形式。事实上，这只是Ricci 早期的工作。在当今的数学术语里面，这样的对象称为张量场，但是它们通常仅仅指的的张量本身。
本文当中的“协变”规律的定义采用一种不同的形式，张量场的基底由基础空间的坐标所决定，而且，
“协变”规律的定义通过坐标函数的偏导数来表示，
，定义如下坐标变换
多线性映射
有一种定义张量的方法是站在多维阵列的角度的，从被定义对象基独立性和几何对象的本质来看，这种定义方法并不明显。尽管这种方法也可以说明变化规律对基独立性的觉得作用，但有时还是首选张量更本质的定义。一种方法是张量定义成多线性映射。这种方法中（n,m ）类型的张量被定义成一种映射。
copies copies :,
n m T V V V V R **???????????→
式中V 表示向量空间，V *表示该向量空间对应的共轭向量空间，其中的变元是线性的。
通过把多线性映射（n,m ）型的张量T 应用到V 的基{e 1}和V *的基共轭基{ε1}中，即：
1111(,,,,)i in i in j jm j jm T T e e εε??????≡??????
就可以得到n+m 维阵列。选择不同的基底会产生不同的元素组成。但是，由于T 的所有变元都是线性的，所以在多线性阵列定义中，T 的元素都满足“协变”规律。根据这种定义，T 的多线性阵列元素就组成了一个张量。更重要的是，这样的阵列可以用多线性映射T 的一些元素表示。
使用张量积
在有些数学应用中，更抽象的方法有时候更适用。这种更抽象的方法可以通过定义矢量空间张量积的元素来实现，反过来，向量空间的泛性质也就被定义了。（n,m ）型的张量就可以用矢量空间张量积的形式定义了，即：
n copies m copies T V V V V **∈???????????
如果V 1是V 的基，W 1是W 的基，那么张量积V W ?自然就有了基底i j V W ?。张量T 的元素是张量关于V 的基{e 1}和共轭基{ε1}的系数，即：
1111n m m n i i j j j j i i T T e e εε??????=???????????
在使用张量积的特性中我们可以看到，这些元素满足（n,m ）型张量“协变”规律。另外，张量积的泛性质使得这种定义下的张量和多线性映射定义的张量呈现一对一的对应关系。
运算
张量可以进行多项基本运算，这些运算也可以产生张量。张量的线性特性表明两个同类型的张量可以相加，张量也可以与标量相乘，其结果与矢量的标量化类似。这些运算作用在张量元素上时，结果也只反应在元素上。这些运算并不改变张量的类型，当然，也存在可以改变张量类型的运算。
升阶或降阶
当矢量空间可以进行内积（或者是本文提到的矩阵），张量的运算定义为把高阶逆变指标转换成低阶的协变指标，反之亦然。这种度量本身就是对称的（0,2）-张量，因此可以合并张量的高阶指标和度量的低阶指标。和之前一样，这样就生成了一个新的张量，低阶指标取代了高阶指标。这种运算就是降阶运算。
反过来，可以定义度量该运算的矩阵，该矩阵起到（2,0）张量的作用。这种反度量可以把低阶指标转化成高阶指标。
应用
连续介质力学
连续介质力学提供了很重要的例子。固体或流体力学中的应力用张量来表示。应力张量和应变张量都是二阶张量，二者通过线性弹性材料中的四阶弹性张量联系起来。详细一点来讲，固体力学中的三维应力张量中的元素都是3×3阵列。固体中取有限体积元素，其中的三个面都受到给定力的作用。力矢量的元素都含有三个数。因此，可以用3×3或是9个元素来描述正方体有限体积元受到
的应力。固体边界内受到的是整个的应力（值不同），每一个应力需要9个量来描述。所以，使用二阶张量就显得很有必要了。
如果材料内部有一个特殊表面单列出来，材料的一个面就会在另一个面上施加一个力。一般情况下，这个力不会正交于表面，但是会取决于这个面在线性方法中的方位。在线性弹性力学中，这个力用(2,0)型张量表示，或者用更加精确的(2,0)型张量场表示，因为节点与节点之间的应力会不同。
物理中的其他例子
常规应用包括
?电磁学当中的电磁场张量（法拉第张量）
?描述变形的有限变形张量和描述连续介质应变的应变张量
?各向异性介质中的电容率和磁化率
?用来描述动量流率的广义相对四阶张量
?球面坐标中的球面张量算子是量子论动量算子的本征函数
?扩散张量成像技术中的扩散张量代表了生物环境的扩散率
?量子力学和量子计算中使用张量积来凝聚量子态
二阶以上张量的应用
二阶张量的概念通常和一个矩阵合并起来。高阶张量随着自身的发展的确能够提取在科学和工程上的重要的构想，而且在很多领域已经被成功的展现出来。例如，在计算机视觉领域的三焦张量归纳基础矩阵方面已经有所展现。
非线性光学领域研究了在极电场条件下材料极化的转变。极波的产生主要与在非线性磁化率张量条件下电场的产生有关。如果P极化与E电场不是直线对称，该媒介被称为非线性。对于好的相似（在充分弱电场条件下，假定不存在永久偶极子），P极化由泰勒级数在E电场条件下给定，该E电场系数是非线性磁化率：
公式中是线性磁化率，代表波克尔斯效应和二次谐波振动，代表克尔效应。该扩展展示出了高阶张量在主题上的出现的方式。
概括
无限维下的张量
在无限维条件下，张量的概念可以通过多种方式概括出来。例如，一种是通过希尔伯特空间的张量积。另外一种张量总结的方式，在非线性分析中常见，是通过多线性管理系统定义在这里代替使用有限维矢量空间和它们代数双数，一种用于无限维巴拿赫空间和它们连续的双数。张量因此依靠巴拿赫组。
张量密度
张量场也可能有自己的“密度”。密度为r的普通张量随坐标变换而变换，除非它是随r次方雅克比行列式倍增。不变地，在多重线性代数中，可以把张量密度认为是多线性映射，其值取密度束，例如，n形态（空间维度为n）的一维
空间取值与R中相反。在该空间里，高“权重”的值采用额外的张量积。
矢量束表示法中，切丛的行列式束是把线性束捻度r次。一般地，用更普遍情形的变换规律来标记这些张量，因此这就出现了全球性的问题，即在这种规律下，你可以写出雅克比行列式或是它的绝对值。密度变换函数的非整数项就会有必要，这种情况下密度的权重对整数的值并无严格要求。
在定向流形方面，有可能要限制坐标随雅克比行列式的变化，因为估算判据有一致的方法；但是密度的线性束和n形态的线性束是不同的。从内在的本质讲，只把密度看在流形上。
旋量
正交坐标系中，运用旋度时，张量变形有特点的方式。然而，旋度群中有一种并没有通过张量变换规律表现相互来的额外结构：观察定位方向和面。数学上，旋度群不是简单的联系在一起。事实上，旋量是数学对象，它起到推广张量变换规律的作用。
爱因斯坦求和约定
爱因斯坦求和约定免去了累加符号的书写，含蓄的表达了加号。任何重复的指标符号都被概括起来。如果指标i在一个张量表达式里面出来了两次，这意味着这个术语是为了所有的i的累加。一些显示的指标可以通过这种方式累加。
练习题Ⅱ（金属所） 1. 用下标符号证明：C B A B C A C B A )()()(?-?=??。 2. 证明 nk nj ni mk mj mi lk lj li lmn ijk δδδδδδδδδ=∈∈ 3. 证明∈ijk ∈klm =(δil δjm -δim δjl ) 4. 证明∈ijk ∈ikj =-6。 5. 证明∈ijk ∈mik =-2δjm 。 6. 证明具有中心对称的晶体不具有由奇阶张量描述的物理性质，但由偶阶张量描述的物理性质也具有中心对称的特性。 7. B 为矢量，M 为二阶张量，证明： (div M )?B =div(M ?B )-{ (B ?)∶M } 8. 设在P 点的应力张量 σ如下：求法线方向为]221[的面上的正应力。 ???? ? ??----=211121112)(ij σ 9. 设在P 点的应力张量 σ如下：求该处的主应力及主方向。并验证主方向是相互正交 的。 ???? ? ??=740473037)(ij σ 10. 位移场u 在给定坐标系下的分量分别是：u 1= -ax 2+bx 3，u 2=ax 1-cx 3，u 3= -bx 2+cx 3；其中 a 、 b 、 c 皆为常数。求这个位移场的应变张量Γ。 11. 弹性体的的应变张量场如下所示，这个应变张量场合理吗？ ???? ??????++--=3222 2111 216112226226)(x x x x x x x ij ε 12. 在立方晶体中承受一均匀应力场，以]101[、]211[和[111]为x 1、x 2和x 3坐标轴的应力分量只有σ13和σ23两项，求以三个晶轴作坐标系的各应力分量σ’ij 。
一 爱因斯坦求和约定 1.1指标 变量的集合： n n y y y x x x ,...,,,...,,2121 表示为： n j y n i x j i ...,3,2,1,,...,3,2,1,== 写在字符右下角的 指标，例如xi 中的i 称为下标。写在字符右上角的指标，例如yj 中的j 称为上标；使用上标或下标的涵义是不同的。 用作下标或上标的拉丁字母或希腊字母，除非作了说明，一般取从1到n 的所有整数，其中n 称为指标的范围。 1.2求和约定 若在一项中，同一个指标字母在上标和下标中重复出现，则表示要对这个指标遍历其范围1，2，3，…n 求和。这是一个约定，称为求和约定。 例如： 3 3 33 2 32 1 31 2 3 23 2 22 1 21 1 3 13 2 12 1 11 b x A x A x A b x A x A x A b x A x A x A =++=++=++
筒写为： i j ij b x A = ｊ——哑指标 ｉ——自由指标，在每一项中只出现一次，一个公式中必须相同 遍历指标的范围求和的重复指标称为“哑标”或“伪标”。不求和的指标称为自由指标。 1.3 Kronecker-δ符号（克罗内克符号）和置换符号 Kronecker-δ符号定义 j i j i ij ji ≠=???==当当0 1δδ 置换符号 ijk ijk e e =定义为: ?? ? ??-==的任意二个指标任意k j,i,当021) (213,132,3的奇置换3，2，1是k j,i,当112)(123,231,3的偶置换3，2， 1是k j,i,当1ijk ijk e e i,j,k 的这些排列分别叫做循环排列、逆循环排列和非循环排列。 置换符号主要可用来展开三阶行列式： 23123133122123321123123113322133221133 323 123222 113121 1a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++==
第一章 习题7： 若c a m b =+，则 2322(12)(2)(32)a c m b i j k i j k i j k m m m m m m =-=++--+=-+-+- 注意 0a b ?=，则 2(12)(2)2(32)0m m m -+--+= 29 m =- 132023999a i j k = + + 习题10： （1.2.17）式为： )1 23g g g = ? )2 31g g g = ? )3 12g g g = ? ()123g g g g =??()()2i j k i j =+-?+= 2 = ()12011101i j k g g i j k ?= =+- 则 ()1 12 g i j k =+- ()231011 10i j k g g i j k ?= =-++ ()2 12 g i j k = -++ ()311 100 11 i j k g g i j k ?==-+ ()312 g i j k =-+ 11112g g g =?= 222g = 332g =
()()12211j k i k g g = ++== ()( )1331 1j k i j g g =++ == ()()32231g i k i j g =++== 习题24： T =N N T =ΩΩ T ?=?=?u N N u N u T ?=?=-?u u u ΩΩΩ 习题34： :()():ij ji ij i j i j j i T a b T a b T a b ====N ab ba N :()():ij ji ij i j i j j i a b a b a b =Ω=-Ω=-Ω=-ab ba ΩΩ 习题36： ??=??a T b a S b 推出 ()0?-?= a T S b 对a ，b 为任意张量都成立，，则0-=T S ，即=T S 习题48： 设 s r s r u u ==u g g ()pq r pq p q r q p u u ?=Ω ?=Ωu g g g g Ω 1 :2?? ?- ? ?? ? u =u ∈Ωω ()()11:221122 11 22 12 i j k pq s pq j k i s ijk p q s ijk p q s jk i s jk ist ijk s ijk s t ist jk s s t s t jk ijk s j k k j s t st ts st pq s t s t u u u u u u u u δδδδδδδ??-∈Ω?=-∈Ω? ? ?? =-∈Ω ?= ∈Ω ∈ =-Ω=- -Ω= Ω-Ω =Ω=Ω =g g g g g g g g g g g g g g g q p u g
单元测评卷(六) (120分钟,120分) 一、基础(共24分) 1.根据课文默写古诗文。(10分) (1)僵卧孤村不自哀,尚思为国戍轮台。(陆游《十一月四日风雨大作(其二)》) (2)君问归期未有期,巴山夜雨涨秋池。(李商隐《夜雨寄北》) (3)正是江南好风景,落花时节又逢君。(杜甫《江南逢李龟年》) (4)求闻之若此,不若无闻也。(《穿井得一人》) (5)若屈伸呼吸,终日在天中行止,奈何忧崩坠乎?(《杞人忧天》) (6)晴空一鹤排云上,便引诗情到碧霄。(刘禹锡《秋词》) (7)夜阑卧听风吹雨,铁马冰河入梦来。(陆游《十一月四日风雨大作(其二)》) (8)河流大野犹嫌束,山入潼关不解平。(谭嗣同《潼关》) (9)李商隐《夜雨寄北》中写出对未来欢聚的向往之情的诗句是:何当共剪西窗烛,却话巴山夜雨时。 2.根据拼音写出相应的词语。(4分) (1)任何不chèn zhí(称职)的或者愚蠢得不可救药的人,都看不见这衣服。 (2)我想那piāo miǎo(缥缈)的空中,定然有美丽的街市。 (3)她就顺手从池边掘起一团黄泥,chān huo(掺和)了水,在手里揉团着。 (4)又听见“妈妈”的喊声,不由得满心欢喜,méi kāi yǎn xiào(眉开眼笑)。 3.下列加点的词语使用有误的一项是(3分) (C) A.我们无论做什么事情,都要有自己的主见,要敢于表达自己的观点,不要人云亦云,对什么问题都只 是随声附和 ．．．．。 B.××县发生了一起骇人听闻 ．．．．的持枪袭警案,四名警察英勇牺牲。 C.读书读到会心之处,我们常常会言不由衷 ．．．．地发出感叹。 D.不知道在什么时候,出现了一个神通广大 ．．．．的女神,叫作女娲。 4.下列对病句的修改不正确的一项是(3分) (B) A.通过这次语文综合性学习,让我们感受到了戏剧的魅力。(删去“通过”) B.晚会过后,她那优美的舞姿,动听的歌声,还回响在我们耳边。(把“回响”改为“回荡”) C.改革开放30年来,东莞取得了在经济改革方面巨大的成就。(“取得了”和“在经济改革方面”互换位置)
张量 张量是用来描述矢量、标量和其他张量之间线性 关系的几何对象。这种关系最基本的例子就是点积、 叉积和线性映射。矢量和标量本身也是张量。张量可 以用多维数值阵列来表示。张量的阶（也称度或秩） 表示阵列的维度，也表示标记阵列元素的指标值。例 如，线性映射可以用二位阵列--矩阵来表示，因此该 阵列是一个二阶张量。矢量可以通过一维阵列表示， 所以其是一阶张量。标量是单一数值，它是0阶张量。 张量可以描述几何向量集合之间的对应关系。例 如，柯西应力张量T 以v 方向为起点，在垂直于v 终点方向产生应力张量T(v)，因此，张量表示了这两个 向量之间的关系，如右图所示。 因为张量表示了矢量之间的关系，所以张量必 须避免坐标系出现特殊情况这一问题。取一组坐标 系的基向量或者是参考系，这种情况下的张量就可 以用一系列有序的多维阵列来表示。张量的坐标以 “协变”（变化规律）的形式独立，“协变”把一种 坐标下的阵列和另一种坐标下的阵列联系起来。这 种变化规律演化成为几何或物理中的张量概念，其 精确形式决定了张量的类型或者是值。 张量在物理学中十分重要，因为在弹性力学、流体力学、广义相对论等领域中，张量提供了一种简洁的数学模型来建立或是解决物理问题。张量的概念首先由列维-奇维塔和格莱格里奥-库尔巴斯特罗提出，他们延续了黎曼、布鲁诺、克里斯托费尔等人关于绝对微分学的部分工作。张量的概念使得黎曼曲率张量形式的流形微分几何出现了替换形式。 历史 现今张量分析的概念源于卡尔?弗里德里希?高斯在微分几何的工作，概念的 制定更受到19世纪中叶代数形式和不变量理论的发展[2]。“tensor ”这个单词在 1846年被威廉·罗恩·哈密顿[3]提及，这并不等同于今天我们所说的张量的意思。 [注1]当代的用法是在1898年沃尔德马尔·福格特提出的[4]。 “张量计算”这一概念由格雷戈里奥·里奇·库尔巴斯特罗在1890年《绝对微分几何》中发展而来，最初由里奇在1892年提出[5]。随着里奇和列维-奇维塔1900年的经典著作《Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications 》（绝对微分学的方法及其应用）出版而为许多数学家所知[6]。 在20世纪，这个学科演变为了广为人知的张量分析，1915年左右，爱因斯坦的广义相对论理论中广泛应用了这一理论。广义相对论完全由张量语言表述。爱因斯坦曾向几何学家马塞尔·格罗斯曼学习过张量方法，并学得很艰苦。[7]1915 年到1917年之间，列维·奇维塔 在与爱因斯坦互相尊重互相学习的氛围下，对爱因斯坦的张量表述给与了一些指正。 “我很佩服你的计算方法的风采，它必将使你在数学大道上策马奔腾，然而我们却只能步履蹒跚。”阿尔伯特·爱因斯坦，意大利相对论数学家[8]。 柯西应力张量是一个二阶张量。该张量的元素在三维笛卡尔坐标系下组成如下矩 阵： 312()()()111213212223313233 T T T =e e e σσσσσσσσσσ??=???????????? 该矩阵的各列表示作用在 e 1,e 2,e 3方向正方体表面上的应力（单位面积上的力）。
《不平凡的求学生涯》阅读及答案 《不平凡的求学生涯》阅读及答案 不平凡的求学生涯 1931年9月，清华大学招入了一批新学生，其中有一个瘦小的戴眼镜的无锡人。这位新生作文和历史拿了满分，理科却几乎是零分，他就是后来成为中国近代力学之父的钱伟长。清华当年招生的作文题目是《梦游清华园》，钱伟长写了一篇四百五十字的赋，出题目的老师想改改不了，只能给了满分。历史考题更奇怪，要求写出二十四史的作者、注者和卷数，许多考生望“题”兴叹，而钱伟长却答得分毫不差。钱伟长的文科好，一点也不奇怪。他的父亲和祖父都是教书先生，四叔是著名的文科学者钱穆。他中学的文史老师，则是语文学家吕叔湘。钱伟长自小看古书长大，十岁的时候就可以把《三国演义》倒背如流。可是，19岁的钱伟长在数理上一塌糊涂，物理只考了5分，数学、化学共考了20分，英文因没学过是0分。 但正是这样一个在文史上极具天赋、数理上极度“瘸腿”的学生，却在一夜之间做出了一个大胆的决定——弃文从理。这个决定缘于1931年9月18日，日本发动了震惊中外的“九·一八事变”。听到了这个消息后，钱伟长拍案而起，他说：我不读历史系了，我要学造飞机大炮。他决定转学物理以振兴中国的军力。于是钱伟长几次跑去找物理系主任吴有训，吴先生被这位青年的爱国热情打动了，答应他试读一年。为了能尽早赶上课程，钱伟长来往于宿舍、教室和图书馆之间，早起晚归，
极度用功。他克服了用英语听课和阅读的困难，一年后数理课程超过了70分，四年后，成了一名出类拔萃的优秀生。正如他后来常说的：“我从来不相信有什么‘天才’，而只是相信人的才能是用艰苦的劳动培植出来的。奋发才有为，勤学才有识。” 1940年1月钱伟长考取中英庚款会的公费留学生，赴加拿大多伦多大学学习。钱伟长与自己的导师辛吉教授第一次面谈时，发现两人都在研究板壳理论，于是师生俩开始共同啃这块硬骨头。的确，板壳内禀理论是一大难题，但是很有实用价值。在航空航海工程、武器装备、仪器仪表和各项工程设施中，到处可见到平板和壳体。多年来对于各种各样的板壳，各学派学者用不同的方程式来描述，钱伟长认为它们应该有内在的联系，有必要加以统一。于是他开始废寝忘食地寻求这种联系。经过半年多努力，用掉了几尺厚的草稿纸，他终于以严谨简约的张量分析为基本工具，建立了板壳的基本理论，对原有的各种论述进行分类，提炼出本质的核心内容，找到了一组统一的方程式。 与此同时，辛吉教授通过另一途径得到了类似的结果。1941年，他们合写成了一再为人们称道、引用的著名论文《弹性板壳的内禀理论》。这篇论文发表于世界导弹之父冯·卡门的60岁祝寿文集。该文集的作者多数是当时世界上第一流的科学家，28岁的钱伟长，是文集作者中最年轻的学者、唯一的中国人。爱因斯坦看后也由衷感叹，这位中国青年解决了困扰我多年的问题。此文奠定了钱伟长在美国科学界的地位。1942年取得博士学位后，经过辛吉教授特地推荐，钱伟长到了冯·卡门
电力系统分块计算的意义和策略何小庆11031009 摘要：本文阐述了电力系统分块可行性和电力系统分块意义，介绍了了两种重要的分块方法：节点撕裂法和支路切割法。通过这几种方法做了比较，最后对电力系统分块做了展望。 关键字：电力系统分块，节点撕裂法，支路切割法 Abstract：This paper presents a reliability of a section algorithm of power system and the importance of this algorithm,and introduces two vital methods of a section algorithm of power system,node tearing and branch cutting .Through comparing those methods,we can conclude the future of a section algorithm of power system. Key word： a section algorithm of power system,node tearing,branch cutting 0 前言 网络分块计算最早有Kron[1]于20世纪50年代初提出，他利用张量分析的概念发展了网络分裂算法（piecewise diakoptics），其基本思想是吧电网分解成若干规模较小的子网，对每一个子网在分割的边界处分别进行等值计算，然后再求出分割边界处的协调变量，最后求出各个子网的内部电量，得到却系统的解。 1 电力系统分块可行性分析 电力系统能够分块计算具有以下几个原因： 一，现代电力系统规模庞大，节点众多，分块处理可将大系统拆分为大量小系统，最终简化分析计算过程。 二，目前的计算工具无法满足计算速度的要求。分块处理应用于某一台计算机上，通过串行处理而有效地求解交大系统的分析结果，虽然对于缩短计算时间成效不大，但对于减少内存占用意义明显。分块处理应用于多台计算机上，通过并行处理可提供比单台计算机更快的计算速度，从而缩短计算时间。 三，电力系统本身所具有的分层分区结构特别适合分块计算的应用。就信息的传送而言，每一个地区电网只能收集到本地区系统内的信息，其中重要的信息将被传送到更高一级的调度中心。调度中心根据各地区传送来德尔信息进行加工处理，将协调信息传送给各地区电力系统的调度中心。分块计算正好可以适应这一分层调度的要求。近年来，随着计算机的发展，各种并行计算机和多处理机组成的列阵机相继出现。这样的应用背景促进了人们对并行计算的兴趣，并开展了大量的研究工作，提出了各种基于网络分块的并行计算。 根据协调变量的不同，网络分块计算主要分为两类：一类是支路切割法（branch cutting），通过切割原网络中的某些支路把原网络分解；另一类是节点撕裂法（node tearing），即将原网络的部分节点“撕裂”开，把网络分解。前者的协调变量是切割电流，后者的协调变量是分裂点点位。两种方法有各自的特点，将两种方法统一起来，就产生了统一的网络分裂算法。 2 电力系统分块意义 现代电力系统规模庞大，使进行各种分析的计算量很大，以致现有计算工具无法满足计算速度的要求。分块处理可以达到利用现有计算工具，大大缩短计算时间的要求。 对于电力系统，通常情况下，是在各电力公司的边界线对系统进行分割。分割理论的应用至少有二：第一种应用是，把分割法应用于某一台计算机上，通过串行处理而有效地求解较大系统的分析结果，这中方法的
实用类文本阅读 一、阅读下面的文字，完成1--3小题。 不平凡的求学生涯 1931年9月，清华大学招入了一批新学生，其中有一个瘦小的戴眼镜的无锡人。这位新生作文和历史拿了满分，理科却几乎是零分，他就是后来成为中国近代力学之父的钱伟长。清华当年招生的作文题目是《梦游清华园》，钱伟长写了一篇四百五十字的赋，出题目的老师想改改不了，只能给了满分。历史考题更奇怪，要求写出二十四史的作者、注者和卷数，许多考生望“题”兴叹，而钱伟长却答得分毫不差。钱伟长的文科好，一点也不奇怪。他的父亲和祖父都是教书先生，四叔是著名的文科学者钱穆。他中学的文史老师，则是语文学家吕叔湘。钱伟长自小看古书长大，十岁的时候就可以把《三国演义》倒背如流。可是，19岁的钱伟长在数理上一塌糊涂，物理只考了5分，数学、化学共考了20分，英文因没学过是0分。 但正是这样一个在文史上极具天赋、数理上极度“瘸腿”的学生，却在一夜之间做出了一个大胆的决定——弃文从理。这个决定缘于1931年9月18日，日本发动了震惊中外的“九·一八事变”。听到了这个消息后，钱伟长拍案而起，他说：我不读历史系了，我要学造飞机大炮。他决定转学物理以振兴中国的军力。于是钱伟长几次跑去找物理系主任吴有训，吴先生被这位青年的爱国热情打动了，答应他试读一年。为了能尽早赶上课程，钱伟长来往于宿舍、教室和图书馆之间，早起晚归，极度用功。他克服了用英语听课和阅读的困难，一年后数理课程超过了70分，四年后，成了一名出类拔萃的优秀生。正如他后来常说的：“我从来不相信有什么‘天才’，而只是相信人的才能是用艰苦的劳动培植出来的。奋发才有为，勤学才有识。” 1940年1月钱伟长考取中英庚款会的公费留学生，赴加拿大多伦多大学学习。钱伟长与自己的导师辛吉教授第一次面谈时，发现两人都在研究板壳理论，于是师生俩开始共同啃这块硬骨头。的确，板壳内禀理论是一大难题，但是很有实用价值。在航空航海工程、武器装备、仪器仪表和各项工程设施中，到处可见到平板和壳体。多年来对于各种各样的板壳，各学派学者用不同的方程式来描述，钱伟长认为它们应该有内在的联系，有必要加以统一。于是他开始废寝忘食地寻求这种联系。经过半年多努力，用掉了几尺厚的草稿纸，他终于以严谨简约的张量分析为基本工具，建立了板壳的基本理论，对原有的各种论述进行分类，提炼出本质的核心内容，找到了一组统一的方程式。 与此同时，辛吉教授通过另一途径得到了类似的结果。1941年，他们合写成了一再为人们称道、引用的著名论文《弹性板壳的内禀理论》。这篇论文发表于世界导弹之父冯·卡门的60岁祝寿文集。该文集的作者多数是当时世界上第一流的科学家，28岁的钱伟长，是文集作者中最年轻的学者、唯一的中国人。爱因斯坦看后也由衷感叹，这位中国青年解决了困扰我多年的问题。此文奠定了钱伟长在美国科学界的地位。 1942年取得博士学位后，经过辛吉教授特地推荐，钱伟长到了冯·卡门所在的美国加州理工学院做博士后研究。由于反法西斯战争的需要，美国当时正在加紧研究火箭、导弹，精确地计算火箭导弹的弹道成了当务之急。钱伟长担起了这个重任，他经常到喷气推进研究所在地墨西哥州的白沙基地参加火箭试验，对各种型号的导弹的弹道及空气动力学性能进行了细致的分析，写出了许多保密的内部报告，并提出了有关火箭、导弹落点的理论。在第二次世界大战中，伦敦遭到德国导弹的袭击，英国首相邱吉尔很着急，向美国求援，问题转达到冯·卡门那里，钱伟长提出了一个对运行的导弹加以干扰迫使其射程减小的方案，立即得到采纳。因此战争中尽管伦敦东码头区遭到德国导弹破坏，市中心却安然无恙。邱吉尔在回忆录中提起此事，说美国青年人很厉害，但实际上应该说：中国青年人很厉害! （摘编自戴世强《钱伟长小传》） 1．下列对传记有关内容的分析和概括，最恰当的两项是（5分） A．钱伟长在清华大学入学考试中，文史成绩优异，作文和历史都拿了满分，是因为钱伟长受到良好的家庭环境的熏陶和影响，自小是看古书长大的。 B．钱伟长基于爱国的崇高理想，弃文从理，转系后读书极为用功，最终成为一名优秀的理科毕业生，这充分说明了奋发才能有为、勤学才能有识的道理。 C．多年来各学派学者对平板和壳体进行了广泛研究，但没有找到内在联系，钱伟长在前人研究的基础上建立起板壳的基本理论，与导师辛吉的研究结果相似。 D．由于反法西斯战争的需要，钱伟长在美国加州理工学院时主要从事有关火箭、导弹的研究，他提出的方案曾帮助伦敦在二战中免遭德国导弹的破坏。 E．本文用形象生动的语言，记叙了钱伟长青年时期刻苦求学的过程，展现了一代科学大师的成长历程，塑造了一个成就卓著、令人尊敬的科学家的形象。 2．本文反映了钱伟长哪些优秀的品格?请简要概括。（6分） 3．文史上极具天赋的钱伟长上大学时却弃文从理，最终在科学领域还取得了杰出的成就；而人们平时却常说扬长避短更容易取得成功。对此，你有何看法?请结合选文探究。（8分）二、阅读下面的文字，完成4--6小题 寂静钱钟书 周劼人 12月19日，寂寥的寒夜，清华园日晷旁，烛光隐隐。小提琴哀婉的曲调飘散在清冷的夜空，人们伫立无语，鞠躬，献上白菊。 偶有路人好奇：“这是在祭奠谁？” 有人低声答语：“今天是钱钟书先生辞世10周年。” 10年前，钱钟书先生安详离世。遵钱先生遗嘱，“一切从简”，连在八宝山的告别仪式也只有短短的20分钟。“如此寂静。”钱先生的一位生前好友说。那日，清华的南北主干道上飘起了一千只纸鹤，学生们用这种方式，静静地送别他们的老学长。 他的人生，本不寂静。 无论是人们熟稔的《围城》，还是近乎天书的《管锥编》，都惊讶了世人，折服了学界。《管锥编》单是书证就数万条，引述涉及四千位作家上万种著作。世人惊叹“大师风华绝代，天才卓尔不群”。 然而他却又静静地坐在书斋里，照例埋头读他的书，做他的学问。图书馆内很多冷僻线装书的借书单上，只有他一人的名字。即使是身处困境，他也只是默默地埋头书本。“文革”时他被送去干校劳动改造，能看的只有寥寥几本书，但只要抱起书本来，就能兴致盎然。第一批“大赦”回京的名单中，没有钱钟书，也没有杨绛。他们夫妻二人平静地走回窝棚，杨先生说：“给咱们这样一个棚，咱们就住下，行吗？”钱先生歪着脑袋认真的想了一下，说：“没有书。” “文革”后，对钱钟书先生的称颂日渐声高，然而钱家的书斋内一如既往地平静。他谢绝了一切记者和学者的拜访，有人将此误读为“清高孤傲，自以为是”。 他人的不解，钱先生并未在意过。杨绛先生说：“他从不侧身大师之列……他只想安安心心做学问。” “钱先生做学问是‘心在焉’,”清华大学一位老师说：“而我们今天这个社会上，今天这个校园里，有多少人则是‘心不在焉’。” 清华大学一位博士生说，他多次读《围城》，读第三遍时忽然明白，“围城不是别人给的，
河北定州中学2017-2018学年第一学期高三语文周练试题（10） 一、选择题 1．下列各句中，没有语病的一句是（） A 政府只有坚持改善和保障民生，才能激发人民推动科学发展的积极性、主动性和创造性，赢得广大群众的信任、拥护和支持。 B 第五届美洲国家首脑会议期间，奥巴马表示，美国将寻求开启与古巴关系的新开端，并承诺将与其他美洲国家树立平等的战略伙伴关系。 C 课程标准强调，高中教学内容既要有利于进一步提升所有学生的共同基础，又要有利于为每一位学生的发展奠定不同基础。 D 语文教师如果看不到学生自身发展的创造性和主动性，一味让他们模仿“考场满分作文”，那么就会变成束缚学生写作能力发展的枷锁。 2．依次填入下面横线处的语句，与上下文衔接最恰当的一组是（） 一个人不喜欢诗，何以文学趣味就低下呢? 。一部好小说或是一部好戏剧都要当作一首诗看。诗比别类文学较严谨、较单纯、较精微。如果对于诗没有兴趣，对于戏剧散文小说等等的佳妙也终不免有些隔膜。，大半在小说和戏剧中只能见到最粗浅的一部分，就是故事。我们读小说和戏剧只见到故事而没有见到它的诗，。 ①因为一切纯文学都要有诗的特质②因为一切诗都要有文学的特质 ③不爱好诗而爱好小说戏剧的人们④爱好诗而不爱好小说戏剧的人们 ⑤就像看到架上的花而忘记花架⑥就像看到花架而忘记架上的花 A．①③⑥ B．②④⑤ C．①③⑤ D．②④⑥ 3．依次填入下列两句中横线处的词语，与上下文语意连贯，音节和谐的一组是（） （1）每逢深秋时节，松竹山茶，色彩绚丽，美景尽览。 （2）远眺群山环抱，近看小河流水，茶园葱绿，松竹并茂。 ①置身山顶，俯瞰槐榆丹枫， ②置身山顶俯瞰，槐榆丹枫， ③白云缭绕，层林叠翠； ④层林叠翠，白云缭绕； A．①③ B．①④ C．②④ D．②③ 4．下图是“亚投行”的徽标，对其寓意理解不恰当的一项是（）
张量分析 1张量代数 1.1坐标系 在三维空间中，一个笛卡尔坐标系用图表示为三个相互垂直的轴，分别记为 x轴、y轴、z轴。为以后方便起见，坐标轴可更方便地表示成轴、轴、轴，而不是更熟悉的记法x轴、y轴、z轴。图1.1所示的坐标系假定采用右手记法， 轴、轴位于图纸平面内，轴垂直指向读者。 在这种记法中，坐标轴分别平行于（右手）指向观察者的中指、指向右边的大拇指和垂直向上的食指。坐标的正向为手指的指向，如 果我们想像一个右手方向旋转的螺杆，由轴向轴旋 转会导致螺杆沿着轴的正向前进。同样可以轮流采用 标记1、2和3来检验螺杆沿正方向前进的情况。正因为 如此，图1.1所示的坐标系为右手坐标系。不是右手坐标 系的叫左手坐标系。如用左手，则图1.1中轴正向朝下。 注意任何两个具有相同原点的右手坐标系，都可以将一个坐标系转到另一个坐标系上，使之重合。这也适用于左手坐标系，图1.1右手螺旋定则但不适用一左一右的情况。 1.2矢量代数 矢量既有大小又有方向，这与标量不同，标量只有大小。例如，速度是矢量，温度是标量。在坐标系中矢量通常用箭头表示，箭头的方向为矢量的方向，箭头的长度与矢量的大小成比例。 图1.2中表示沿三个相互垂直轴方向的单位矢量、和。例如，单位矢量为单位长度（从原点量起）并沿轴，因而必须垂直另外两个坐标轴和。 对空间中任意一点P，坐标是、和，可以表示为矢量OP或V。这个矢量V可以想像为矢量、和的组合，故有 =++(1.1) 或根据单位矢量得 V=++（1.2） 其中，、和为标量值。进一步简化，上式课简写为 =（）（1.3）显然这个形式中3个标量的排序时至关重要的。可以看出矢量的标记形式上采用了P点的笛卡尔坐标表示。