一 爱因斯坦求和约定 1.1指标 变量的集合： n n y y y x x x ,...,,,...,,2121 表示为： n j y n i x j i ...,3,2,1,,...,3,2,1,== 写在字符右下角的 指标，例如xi 中的i 称为下标。写在字符右上角的指标，例如yj 中的j 称为上标；使用上标或下标的涵义是不同的。 用作下标或上标的拉丁字母或希腊字母，除非作了说明，一般取从1到n 的所有整数，其中n 称为指标的范围。 1.2求和约定 若在一项中，同一个指标字母在上标和下标中重复出现，则表示要对这个指标遍历其范围1，2，3，…n 求和。这是一个约定，称为求和约定。 例如： 3 3 33 2 32 1 31 2 3 23 2 22 1 21 1 3 13 2 12 1 11 b x A x A x A b x A x A x A b x A x A x A =++=++=++
筒写为： i j ij b x A = ｊ——哑指标 ｉ——自由指标，在每一项中只出现一次，一个公式中必须相同 遍历指标的范围求和的重复指标称为“哑标”或“伪标”。不求和的指标称为自由指标。 1.3 Kronecker-δ符号（克罗内克符号）和置换符号 Kronecker-δ符号定义 j i j i ij ji ≠=???==当当0 1δδ 置换符号 ijk ijk e e =定义为: ?? ? ??-==的任意二个指标任意k j,i,当021) (213,132,3的奇置换3，2，1是k j,i,当112)(123,231,3的偶置换3，2， 1是k j,i,当1ijk ijk e e i,j,k 的这些排列分别叫做循环排列、逆循环排列和非循环排列。 置换符号主要可用来展开三阶行列式： 23123133122123321123123113322133221133 323 123222 113121 1a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++==
张量概念的形成与张量分析的建立 【摘要】：张量分析在数学物理学中占据重要地位。由于广义相对论的成功,张量分析逐渐被人们所重视。更重要的是规范场论和弦理论的建立,张量分析被应用到了更加广泛的领域。而如此重要的数学分支的历史却极少被研究,这不能不说是一个很大的缺憾。在发掘、搜集、整理、分析张量数学的原始文献的基础上,运用概念分析的方法,梳理、研究、探讨了张量数学的发展史,得到了若干新的发现。首先,找到了向量的代数定义的原始文献,这是张量数学发展史研究的中间链条。如果没有向量的代数定义,这种扩张量是无法超出三维情形的。而张量是一种高维的数学量,因此向量的代数定义是通向张量概念的非常重要的概念。在关于张量数学史的研究中,这是一个被忽略的内容。其次,解读了张量概念的电磁学起源。从电磁学角度揭示了张量概念的物理学源头。而在过去,则一直把弹性力学作为张量概念起点,事实上,应用力学与张量概念的起源关系不大。论文最重要的发现是考证了第一个在现代意义上使用tensor的学者。论文系统论述了张量分析的建立过程。从非欧空间观念、高斯的内蕴思想、黎曼的n维流形、格拉斯曼的高维空间观念、凯莱的n维向量空间开始,逐一陈述了张量数学的历史。张量分析作为解决曲线坐标系中微分运算的数学方法,是从高斯的内蕴几何开始孕育的。而第一个真正提出这个问题的是黎曼,他的n维流形的构想,具体地提出了弯曲空间中二次微分形式的变换问题,这是通向张量分析的起点。随后,经过贝尔特拉米、克
里斯托夫、里奇等人的发展,这种方法终于得以建立。作为补充,简述了张量分析的应用史。包括爱因斯坦、希尔伯特的引力场方程,以及外尔、列维-齐维塔的黎曼几何学。这里的新发现是考证了“黎曼几何学”这个名词的最早出处。张量分析的产生,依赖19世纪的代数和几何的解放。正是非欧几何和抽象代数的出现,使得张量分析得以产生。而张量分析与黎曼几何的深入发展,极大地促进了现代数学的进步。这使得对张量数学史的研究具有深刻的意义。【关键词】：张量分析曲线坐标系向量的代数定义黎曼流形协变系统 【学位授予单位】：山西大学 【学位级别】：博士 【学位授予年份】：2008 【分类号】：O183.2 【目录】：中文摘要4-5Abstract5-11导论11-33一论文选题的意义11-12二关于张量数学的几个重要问题12-15三论文的基本内容15-22四国内外研究现状22-29五思路、研究方法、创新点与不足之处29-33第一章流形理论:张量概念形成的几何学进路33-60第二节弯曲空间观念的形成:黎曼流形的渊源之一34-481、非欧空间观念形成:张量数学的萌芽34-372、弯曲空间的首次探索:张量分析的几何学基础37-48第二节高维空间观念的形成:黎曼流形的渊源之二48-531、格拉斯曼
7、设y0=28，按递推公式 y n=y n?1? 1 100 783，n=1,2,… 计算y100，若取≈27.982，试问计算y100将有多大误差？ 答：y100=y99?1 100783=y98?2 100 783=?=y0?100 100 783=28?783 若取783≈27.982，则y100≈28?27.982=0.018，只有2位有效数字，y100的最大误差位0.001 10、设f x=ln?(x? x2?1)，它等价于f x=?ln?(x+ x2?1)。分别计算f30，开方和对数取6位有效数字。试问哪一个公式计算结果可靠？为什么？ 答： x2?1≈29.9833 则对于f x=ln x?2?1，f30≈?4.09235 对于f x=?ln x+2?1，f30≈?4.09407 而f30= ln?(30?2?1) ，约为?4.09407，则f x=?ln?(x+ x2?1)计算结果更可靠。这是因为在公式f x=ln?(x? x2?1)中，存在两相近数相减（x? x2?1）的情况，导致算法数值不稳定。 11、求方程x2+62x+1=0的两个根，使它们具有四位有效数字。 答：x12=?62±622?4 2 =?31±312?1 则 x1=?31?312?1≈?31?30.98=?61.98 x2=?31+312?1= 1 31+312?1 ≈? 1 ≈?0.01613
12.（1）、计算101.1?101，要求具有4位有效数字 答：101.1?101= 101.1+101≈0.1 10.05+10.05 ≈0.004975 14、试导出计算积分I n=x n 4x+1dx 1 的一个递推公式，并讨论所得公式是否计算稳定。 答：I n=x n 4x+1dx 1 0= 1 4 4x+1x n?1?1 4 x n?1 4x+1 dx= 1 1 4 x n?1 1 dx?1 4 x n?1 4x+1 dx 1 = 1 4n ? 1 4 I n?1，n=1，2… I0= 1 dx= ln5 1 记εn为I n的误差，则由递推公式可得 εn=?1 εn?1=?=(? 1 )nε0 当n增大时，εn是减小的，故递推公式是计算稳定的。
第一章 习题7： 若c a m b =+，则 2322(12)(2)(32)a c m b i j k i j k i j k m m m m m m =-=++--+=-+-+- 注意 0a b ?=，则 2(12)(2)2(32)0m m m -+--+= 29 m =- 132023999a i j k = + + 习题10： （1.2.17）式为： )1 23g g g = ? )2 31g g g = ? )3 12g g g = ? ()123g g g g =??()()2i j k i j =+-?+= 2 = ()12011101i j k g g i j k ?= =+- 则 ()1 12 g i j k =+- ()231011 10i j k g g i j k ?= =-++ ()2 12 g i j k = -++ ()311 100 11 i j k g g i j k ?==-+ ()312 g i j k =-+ 11112g g g =?= 222g = 332g =
()()12211j k i k g g = ++== ()( )1331 1j k i j g g =++ == ()()32231g i k i j g =++== 习题24： T =N N T =ΩΩ T ?=?=?u N N u N u T ?=?=-?u u u ΩΩΩ 习题34： :()():ij ji ij i j i j j i T a b T a b T a b ====N ab ba N :()():ij ji ij i j i j j i a b a b a b =Ω=-Ω=-Ω=-ab ba ΩΩ 习题36： ??=??a T b a S b 推出 ()0?-?= a T S b 对a ，b 为任意张量都成立，，则0-=T S ，即=T S 习题48： 设 s r s r u u ==u g g ()pq r pq p q r q p u u ?=Ω ?=Ωu g g g g Ω 1 :2?? ?- ? ?? ? u =u ∈Ωω ()()11:221122 11 22 12 i j k pq s pq j k i s ijk p q s ijk p q s jk i s jk ist ijk s ijk s t ist jk s s t s t jk ijk s j k k j s t st ts st pq s t s t u u u u u u u u δδδδδδδ??-∈Ω?=-∈Ω? ? ?? =-∈Ω ?= ∈Ω ∈ =-Ω=- -Ω= Ω-Ω =Ω=Ω =g g g g g g g g g g g g g g g q p u g
流体力学专业硕士研究生培养方案 一、培养目标 系统掌握流体力学及相关学科的基础理论和专业知识，了解所研究领域的历史、现状和发展动态，了解本学科与相关学科的交叉渗透；掌握相关的研究方法与计算技术，能够在研究中熟练地使用计算机；较为熟练的掌握一门外国语；能够阅读本专业的外文资料，初步具有独立从事与本学科有关的研究工作的能力；完成具有一定科学意义的学位论文。能在科研院所、高等院校从事相关的教学、科研或工程技术工作。 二、研究方向：见附件一 三、学习年限及时间分配 学制为2年。课程学习在2个学期内完成，学位论文时间不少于1年。 四、课程设置及学分要求：见附件二 硕士生所修课程总学分不少于26学分，其中学位课(包括公共课、专业必修课)不低于16学分。 五、文献阅读 研究生在导师的指导下，从第二学期开始查阅的文献资料应在15篇以上（其中外文文献资料应在三分之一以上），并在讨论班上报告所读内容。考核通过，获得1个必修学分。 六、开题报告 在查阅大量文献资料的基础上作选题报告，确定研究课题。学位论文选题报告应具有一定的学术意义或工程应用价值。首次选题未通过者，应在3个月内补作。硕士生选题报告应在科研所（教研室）内公开组织进行。考核通过，获得1个必修学分。 七、中期考核 研究生的学位论文工作中期考核由考核小组对研究生的论文工作进展情况、取得的阶段性成果、存在的问题、与预期目标的差距等进行检查考核。对存在的问题，要提出解决问题的措施和要求，学位论文工作中期检查安排在每年的12月上旬进行。 八、论文工作 论文工作应与课程学习交叉进行，硕士生用于科学研究和撰写论文的累计时间一般不应少于一年。导师要全面掌握硕士研究生的论文工作进度，根据实际需要对论文工作计划进行及时和必要的调整。硕士论文的具体要求按学校学位管理条例规定执行。
单元测评卷(六) (120分钟,120分) 一、基础(共24分) 1.根据课文默写古诗文。(10分) (1)僵卧孤村不自哀,尚思为国戍轮台。(陆游《十一月四日风雨大作(其二)》) (2)君问归期未有期,巴山夜雨涨秋池。(李商隐《夜雨寄北》) (3)正是江南好风景,落花时节又逢君。(杜甫《江南逢李龟年》) (4)求闻之若此,不若无闻也。(《穿井得一人》) (5)若屈伸呼吸,终日在天中行止,奈何忧崩坠乎?(《杞人忧天》) (6)晴空一鹤排云上,便引诗情到碧霄。(刘禹锡《秋词》) (7)夜阑卧听风吹雨,铁马冰河入梦来。(陆游《十一月四日风雨大作(其二)》) (8)河流大野犹嫌束,山入潼关不解平。(谭嗣同《潼关》) (9)李商隐《夜雨寄北》中写出对未来欢聚的向往之情的诗句是:何当共剪西窗烛,却话巴山夜雨时。 2.根据拼音写出相应的词语。(4分) (1)任何不chèn zhí(称职)的或者愚蠢得不可救药的人,都看不见这衣服。 (2)我想那piāo miǎo(缥缈)的空中,定然有美丽的街市。 (3)她就顺手从池边掘起一团黄泥,chān huo(掺和)了水,在手里揉团着。 (4)又听见“妈妈”的喊声,不由得满心欢喜,méi kāi yǎn xiào(眉开眼笑)。 3.下列加点的词语使用有误的一项是(3分) (C) A.我们无论做什么事情,都要有自己的主见,要敢于表达自己的观点,不要人云亦云,对什么问题都只 是随声附和 ．．．．。 B.××县发生了一起骇人听闻 ．．．．的持枪袭警案,四名警察英勇牺牲。 C.读书读到会心之处,我们常常会言不由衷 ．．．．地发出感叹。 D.不知道在什么时候,出现了一个神通广大 ．．．．的女神,叫作女娲。 4.下列对病句的修改不正确的一项是(3分) (B) A.通过这次语文综合性学习,让我们感受到了戏剧的魅力。(删去“通过”) B.晚会过后,她那优美的舞姿,动听的歌声,还回响在我们耳边。(把“回响”改为“回荡”) C.改革开放30年来,东莞取得了在经济改革方面巨大的成就。(“取得了”和“在经济改革方面”互换位置)
晶体物理性能 南京大学物理系
由于近代科学技术的发展，单晶体人工培养技术的成熟，单晶体的各方面物理性能（如力、声、热、电、磁、光）以及它们之间相互作用的物理效应，在各尖端科学技术领域里，都得到了某些应用．特别是石英一类压电晶体作为换能器、稳定频率的晶体谐振器、晶体滤波器等在电子技术中，比较早地在工业规模上进行大批生产和广泛应用．激光问世的四十多年来，单晶体在激光的调制、调Q、锁模、倍频、参量转换等光电技术应用中，已成单晶体应用中极为活跃的领域． 《晶体物理性能》是我系晶体物理专业的专业课程之一，目的就是希望对晶体特别是光电技术中使用的晶体（包括基质晶体与非线性光学晶体）的有关物理性能及其应用方面的基本知识，有一个了解．对今后从事光电晶体的生长、检测和应用的工作，在分析问题、解决问题方面有所帮助，同时要在今后工作中不断从实践和理论两个方面扩大知识领域，有一个基础．考虑到本专业属于晶体材料性质的专业特点，本课程不仅对晶体物理性能的各个方面作深入全面的介绍，也将侧重于激光晶体有关的一些性能及其应用． 鉴于以上考虑，《晶体物理性能》讲义将以离子晶体为主要对象，以光电技术上应用为线索组织内容，共分为八章．着重于从宏观角度结合微观机制介绍晶体基本物理性能以及各种交互作用过程的物理效应和它们在光电技术中的某些应用，包括弹性与弹性波（第二章），晶体光学中的各向异性（第五章），压电与铁电现象（第四章），电光效应（第七章），光学参量过程（第六章），声光效应（第八章）．由于晶体物理性能的各向异性的特点和晶体对称性有密切关系，通常正确、方便地描述这些物理性能必须使用张量来表示．因此，在第一章，我们介绍了关于张量分析基础知识方面的内容． 由于水平有限，实践经验缺乏，时间仓促，因而内容安排不妥、取舍不当、错误之处一定很多，希望同学们提出宝贵意见，批评指正．
9.令*()(21),[0,1]n n T x T x x =-∈，试证*{()}n T x 是在[0,1] 上带权()x ρ=的正交多项式，并求****0123(),(),(),()T x T x T x T x . 证明： 1 1 * *0 1 1 * *011**0 ()()()(21)(21)211()()()()()2()()()()()()()()n m n m n m n m n m n n m n m x T x T x dx x T x dx t x x T x T x dx t T t dt t T t dt T x x T x T x dx t T t ρρρ---=--=-== = ???? ?令，则 由切比雪夫多项式1 01=02 m n dt m n m n ππ ≠??? =≠??==??? 所以*{()}n T x 是在[0,1] 上带权()x ρ= *00*11* 22 2 2*33233()(21)1()(21)21 ()(21)2(21)188()(21)4(21)3(21)3248181 T x T x T x T x x T x T x x x x T x T x x x x x x =-==-=-=-=--=-=-=---=-+- 14.已知实验数据如下： 用最小二乘法求形如2y a bx =+的经验公式，并求均方误差 解： 法方程为
22222(1,)(1,1)(1,)(,)(,1)(,)a y x b x y x x x ?????? =???? ?????? ?? 即 5 5327271.453277277699369321.5a b ??????=???????????? 解得 0.972579 0.050035a b =?? =? 拟合公式为20.9725790.050035y x =+ 均方误差 2 4 2 2 0[]0.015023i i i y a bx σ==--=∑ 21.给出()ln f x x =的函数表如下： 用拉格朗日插值求ln 0.54的近似值并估计误差（计算取1n =及2n =） 解：1n =时，取010.5,0.6x x == 由拉格朗日插值定理有 1 100.60.5 0.693147 0.510826 0.50.(60.60.51.82321)0 1.()6047()52 j j j x x x L x f x l x ==------=-=∑ 所以1ln0.54(0.54)0.620219L ≈=- 误差为ln 0.54(0.620219)= 0.004032ε=-- 2n =时，取0120.4,0.5,0.6x x x === 由拉格朗日插值定理有
张量 张量是用来描述矢量、标量和其他张量之间线性 关系的几何对象。这种关系最基本的例子就是点积、 叉积和线性映射。矢量和标量本身也是张量。张量可 以用多维数值阵列来表示。张量的阶（也称度或秩） 表示阵列的维度，也表示标记阵列元素的指标值。例 如，线性映射可以用二位阵列--矩阵来表示，因此该 阵列是一个二阶张量。矢量可以通过一维阵列表示， 所以其是一阶张量。标量是单一数值，它是0阶张量。 张量可以描述几何向量集合之间的对应关系。例 如，柯西应力张量T 以v 方向为起点，在垂直于v 终点方向产生应力张量T(v)，因此，张量表示了这两个 向量之间的关系，如右图所示。 因为张量表示了矢量之间的关系，所以张量必 须避免坐标系出现特殊情况这一问题。取一组坐标 系的基向量或者是参考系，这种情况下的张量就可 以用一系列有序的多维阵列来表示。张量的坐标以 “协变”（变化规律）的形式独立，“协变”把一种 坐标下的阵列和另一种坐标下的阵列联系起来。这 种变化规律演化成为几何或物理中的张量概念，其 精确形式决定了张量的类型或者是值。 张量在物理学中十分重要，因为在弹性力学、流体力学、广义相对论等领域中，张量提供了一种简洁的数学模型来建立或是解决物理问题。张量的概念首先由列维-奇维塔和格莱格里奥-库尔巴斯特罗提出，他们延续了黎曼、布鲁诺、克里斯托费尔等人关于绝对微分学的部分工作。张量的概念使得黎曼曲率张量形式的流形微分几何出现了替换形式。 历史 现今张量分析的概念源于卡尔?弗里德里希?高斯在微分几何的工作，概念的 制定更受到19世纪中叶代数形式和不变量理论的发展[2]。“tensor ”这个单词在 1846年被威廉·罗恩·哈密顿[3]提及，这并不等同于今天我们所说的张量的意思。 [注1]当代的用法是在1898年沃尔德马尔·福格特提出的[4]。 “张量计算”这一概念由格雷戈里奥·里奇·库尔巴斯特罗在1890年《绝对微分几何》中发展而来，最初由里奇在1892年提出[5]。随着里奇和列维-奇维塔1900年的经典著作《Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications 》（绝对微分学的方法及其应用）出版而为许多数学家所知[6]。 在20世纪，这个学科演变为了广为人知的张量分析，1915年左右，爱因斯坦的广义相对论理论中广泛应用了这一理论。广义相对论完全由张量语言表述。爱因斯坦曾向几何学家马塞尔·格罗斯曼学习过张量方法，并学得很艰苦。[7]1915 年到1917年之间，列维·奇维塔 在与爱因斯坦互相尊重互相学习的氛围下，对爱因斯坦的张量表述给与了一些指正。 “我很佩服你的计算方法的风采，它必将使你在数学大道上策马奔腾，然而我们却只能步履蹒跚。”阿尔伯特·爱因斯坦，意大利相对论数学家[8]。 柯西应力张量是一个二阶张量。该张量的元素在三维笛卡尔坐标系下组成如下矩 阵： 312()()()111213212223313233 T T T =e e e σσσσσσσσσσ??=???????????? 该矩阵的各列表示作用在 e 1,e 2,e 3方向正方体表面上的应力（单位面积上的力）。
2．定义映射22:B R R →，()B x y =，满足y Ax =，其中 0.80.40.10.4A ??=????，2,x y R ∈ 则对任意的2 ,u v R ∈ 1111119 ||()()||||||||()||||||||||||||10B u B v Au Av A u v A u v u v -=-=-≤-=- 故映射B 对一范数是压缩的 由范数定义 ||||1 ||||max |||| 1.2 x A Ax ∞∞∞===，知必然存在0 x ， 0||||1 x ∞= 使得0|||||||| 1.2 Ax A ∞∞== 设012(,)T x x x = 取 12(,0),(0,)T T u x v x ==-，则 u v x -=，有 00||()()||||||||()|||||||||| 1.21||||||||B u B v Au Av A u v Ax A x u v ∞∞∞∞∞∞∞ -=-=-===>==- 故有||()()||B u B v ∞->||||u v ∞ -，从而映射B 对无穷范数不是压缩的 4. 证明：对任意的,[,]x y a b ∈ 由拉格朗日中值定理，有 ()()'()()() 1e G x G y G x y x y e ξ ξξ-=-=-+ 其中0111b b e e e e ξξ<≤<++ 所以 |()()||()||| 11b b e e G x G y x y x y e e ξξ-=-≤-++ 故G 为[,]a b 上的压缩映射 而 ()ln(1)ln x x G x e e x =+>= 即()G x x =无根
高等数值分析实验一 工物研13 成彬彬2004310559 一．用CG，Lanczos和MINRES方法求解大型稀疏对称正定矩阵Ax=b 作实验中，A是利用A= sprandsym(S,[],rc,3)随机生成的一个对称正定阵，S是1043阶的一个稀疏阵 A= sprandsym(S,[],0.01,3); 检验所生成的矩阵A的特征如下： rank(A-A')=0 %即A=A’，A是对称的； rank(A)=1043 %A满秩 cond(A)= 28.5908 %A是一个“好”阵 1．CG方法 利用CG方法解上面的线性方程组 [x,flag,relres,iter,resvec] = pcg(A,b,1e-6,1043); 结果如下： Iter=35，表示在35步时已经收敛到接近真实x relres= norm(b-A*x)/norm(b)= 5.8907e-007为最终相对残差 绘出A的特征值分布图和收敛曲线： S=svd(A); %绘制特征值分布 subplot(211) plot(S); title('Distribution of A''s singular values');; xlabel('n') ylabel('singular values') subplot(212); %绘制收敛曲线 semilogy(0:iter,resvec/norm(b),'-o'); title('Convergence curve'); xlabel('iteration number'); ylabel('relative residual'); 得到如下图象：
为了观察CG方法的收敛速度和A的特征值分布的关系，需要改变A的特征值： (1).研究A的最大最小特征值的变化对收敛速度的影响 在A的构造过程中，通过改变A= sprandsym(S,[],rc,3)中的参数rc(1/rc为A的条件数)，可以达到改变A的特征值分布的目的： 通过改变rc=0.1，0.0001得到如下两幅图 以上三种情况下，由收敛定理2.2.2计算得到的至多叠代次数分别为：48，14和486，由于上实验结果可以看出实际叠代次数都比上限值要小较多。 由以上三图比较可以看出，A的条件数越大，即A的最大最小特征值的差别越大，叠代所需要的步骤就越多，收敛越慢。 (2)研究A的中间特征值的分布对于收敛特性的影响： 为了研究A的中间特征值的分布对收敛速度的影响，进行了如下实验： 固定A的条件数，即给定A的最大最小特征值，改变中间特征值得分布，再来生成A，具体的实现方法是，先将原来的生成A进行特征值分解： [U,S]=svd(A);
线性代数方程组的数值解法 实验1.主元的选取与算法的稳定性 问题提出：Gauss 消去法是我们在线性代数中已经熟悉的。但由于计算机的数值运算是在一个有限的浮点数集合上进行的，如何才能确保Gauss 消去法作为数值算法的稳定性呢？Gauss 消去法从理论算法到数值算法，其关键是主元的选择。主元的选择从数学理论上看起来平凡，它却是数值分析中十分典型的问题。 实验内容：考虑线性方程组 n n n R b R A b Ax ∈∈=?,, 编制一个能自动选取主元，又能手动选取主元的求解线性方程组的Gauss 消去过程。 实验要求： （1）取矩阵?? ???? ? ?????????=???????????? ? ?? ?=141515 7,68 168 16816 b A ，则方程有解T x )1,,1,1(* =。取n=10 计算矩阵的条件数。让程序自动选取主元，结果如何？ （2）现选择程序中手动选取主元的功能。每步消去过程总选取按模最小或按模尽可能小的元素作为主元，观察并记录计算结果。若每步消去过程总选取按模最大的元素作为主元，结果又如何？分析实验的结果。 （3）取矩阵阶数n=20或者更大，重复上述实验过程，观察记录并分析不同的问题及消去过程中选择不同的主元时计算结果的差异，说明主元素的选取在消去过程中的作用。 （4）选取其他你感兴趣的问题或者随机生成矩阵，计算其条件数。重复上述实验，观察记录并分析实验结果。 1.1程序清单 n=input('矩阵A 的阶数:n='); A=6*diag(ones(1,n))+diag(ones(1,n-1),1)+8*diag(ones(1,n-1),-1); b=A*ones(n,1); p=input('计算条件数使用p-范数,p='); cond_A=cond(A,p) [m,n]=size(A); Ab=[A b]; r=input('选主元方式(0:自动;1:手动)，r=');
《不平凡的求学生涯》阅读及答案 《不平凡的求学生涯》阅读及答案 不平凡的求学生涯 1931年9月，清华大学招入了一批新学生，其中有一个瘦小的戴眼镜的无锡人。这位新生作文和历史拿了满分，理科却几乎是零分，他就是后来成为中国近代力学之父的钱伟长。清华当年招生的作文题目是《梦游清华园》，钱伟长写了一篇四百五十字的赋，出题目的老师想改改不了，只能给了满分。历史考题更奇怪，要求写出二十四史的作者、注者和卷数，许多考生望“题”兴叹，而钱伟长却答得分毫不差。钱伟长的文科好，一点也不奇怪。他的父亲和祖父都是教书先生，四叔是著名的文科学者钱穆。他中学的文史老师，则是语文学家吕叔湘。钱伟长自小看古书长大，十岁的时候就可以把《三国演义》倒背如流。可是，19岁的钱伟长在数理上一塌糊涂，物理只考了5分，数学、化学共考了20分，英文因没学过是0分。 但正是这样一个在文史上极具天赋、数理上极度“瘸腿”的学生，却在一夜之间做出了一个大胆的决定——弃文从理。这个决定缘于1931年9月18日，日本发动了震惊中外的“九·一八事变”。听到了这个消息后，钱伟长拍案而起，他说：我不读历史系了，我要学造飞机大炮。他决定转学物理以振兴中国的军力。于是钱伟长几次跑去找物理系主任吴有训，吴先生被这位青年的爱国热情打动了，答应他试读一年。为了能尽早赶上课程，钱伟长来往于宿舍、教室和图书馆之间，早起晚归，
极度用功。他克服了用英语听课和阅读的困难，一年后数理课程超过了70分，四年后，成了一名出类拔萃的优秀生。正如他后来常说的：“我从来不相信有什么‘天才’，而只是相信人的才能是用艰苦的劳动培植出来的。奋发才有为，勤学才有识。” 1940年1月钱伟长考取中英庚款会的公费留学生，赴加拿大多伦多大学学习。钱伟长与自己的导师辛吉教授第一次面谈时，发现两人都在研究板壳理论，于是师生俩开始共同啃这块硬骨头。的确，板壳内禀理论是一大难题，但是很有实用价值。在航空航海工程、武器装备、仪器仪表和各项工程设施中，到处可见到平板和壳体。多年来对于各种各样的板壳，各学派学者用不同的方程式来描述，钱伟长认为它们应该有内在的联系，有必要加以统一。于是他开始废寝忘食地寻求这种联系。经过半年多努力，用掉了几尺厚的草稿纸，他终于以严谨简约的张量分析为基本工具，建立了板壳的基本理论，对原有的各种论述进行分类，提炼出本质的核心内容，找到了一组统一的方程式。 与此同时，辛吉教授通过另一途径得到了类似的结果。1941年，他们合写成了一再为人们称道、引用的著名论文《弹性板壳的内禀理论》。这篇论文发表于世界导弹之父冯·卡门的60岁祝寿文集。该文集的作者多数是当时世界上第一流的科学家，28岁的钱伟长，是文集作者中最年轻的学者、唯一的中国人。爱因斯坦看后也由衷感叹，这位中国青年解决了困扰我多年的问题。此文奠定了钱伟长在美国科学界的地位。1942年取得博士学位后，经过辛吉教授特地推荐，钱伟长到了冯·卡门
电力系统分块计算的意义和策略何小庆11031009 摘要：本文阐述了电力系统分块可行性和电力系统分块意义，介绍了了两种重要的分块方法：节点撕裂法和支路切割法。通过这几种方法做了比较，最后对电力系统分块做了展望。 关键字：电力系统分块，节点撕裂法，支路切割法 Abstract：This paper presents a reliability of a section algorithm of power system and the importance of this algorithm,and introduces two vital methods of a section algorithm of power system,node tearing and branch cutting .Through comparing those methods,we can conclude the future of a section algorithm of power system. Key word： a section algorithm of power system,node tearing,branch cutting 0 前言 网络分块计算最早有Kron[1]于20世纪50年代初提出，他利用张量分析的概念发展了网络分裂算法（piecewise diakoptics），其基本思想是吧电网分解成若干规模较小的子网，对每一个子网在分割的边界处分别进行等值计算，然后再求出分割边界处的协调变量，最后求出各个子网的内部电量，得到却系统的解。 1 电力系统分块可行性分析 电力系统能够分块计算具有以下几个原因： 一，现代电力系统规模庞大，节点众多，分块处理可将大系统拆分为大量小系统，最终简化分析计算过程。 二，目前的计算工具无法满足计算速度的要求。分块处理应用于某一台计算机上，通过串行处理而有效地求解交大系统的分析结果，虽然对于缩短计算时间成效不大，但对于减少内存占用意义明显。分块处理应用于多台计算机上，通过并行处理可提供比单台计算机更快的计算速度，从而缩短计算时间。 三，电力系统本身所具有的分层分区结构特别适合分块计算的应用。就信息的传送而言，每一个地区电网只能收集到本地区系统内的信息，其中重要的信息将被传送到更高一级的调度中心。调度中心根据各地区传送来德尔信息进行加工处理，将协调信息传送给各地区电力系统的调度中心。分块计算正好可以适应这一分层调度的要求。近年来，随着计算机的发展，各种并行计算机和多处理机组成的列阵机相继出现。这样的应用背景促进了人们对并行计算的兴趣，并开展了大量的研究工作，提出了各种基于网络分块的并行计算。 根据协调变量的不同，网络分块计算主要分为两类：一类是支路切割法（branch cutting），通过切割原网络中的某些支路把原网络分解；另一类是节点撕裂法（node tearing），即将原网络的部分节点“撕裂”开，把网络分解。前者的协调变量是切割电流，后者的协调变量是分裂点点位。两种方法有各自的特点，将两种方法统一起来，就产生了统一的网络分裂算法。 2 电力系统分块意义 现代电力系统规模庞大，使进行各种分析的计算量很大，以致现有计算工具无法满足计算速度的要求。分块处理可以达到利用现有计算工具，大大缩短计算时间的要求。 对于电力系统，通常情况下，是在各电力公司的边界线对系统进行分割。分割理论的应用至少有二：第一种应用是，把分割法应用于某一台计算机上，通过串行处理而有效地求解较大系统的分析结果，这中方法的
第一章 绪论 1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。 解：近似值*x 的相对误差为* **** r e x x e x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈ 2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。 解：设()n f x x =，则函数的条件数为'()||() p xf x C f x = 又1'()n f x nx -=, 1 ||n p x nx C n n -?∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈? 且(*)r e x 为2 3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指 出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*57 1.0.x =? 解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =?是二位有效数字。 4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。 解： 5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为343 V R π= 则何种函数的条件数为 又(*)1r V ε=
故度量半径R 时允许的相对误差限为1(*)10.333r R ε= ?≈ 6．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -= （n=1,2,…） 计算到100Y 27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差？ 解：1n n Y Y -= …… 依次代入后，有1000100Y Y =- 即1000Y Y =， 27.982≈, 100027.982Y Y ∴=- 100Y ∴的误差限为31102 -?。 7．求方程25610x x -+=的两个根，使它至少具有427.982=）。 解：2 5610x x -+=， 故方程的根应为1,228x = 故 1282827.98255.982x =≈+= 1x ∴具有5位有效数字 2x 具有5位有效数字 8．当N 充分大时，怎样求 1211N N dx x ++?？ 解 1 21arctan(1)arctan 1N N dx N N x +=+-+? 设arctan(1),arctan N N αβ=+=。 则tan 1,tan .N N αβ=+= 9．正方形的边长大约为了100cm ，应怎样测量才能使其面积误差不超过2 1cm ？ 解：正方形的面积函数为2()A x x = (*)2*(*)A A x εε∴=. 当*100x =时，若(*)1A ε≤,
练习题Ⅱ（金属所） 1. 用下标符号证明：C B A B C A C B A )()()(?-?=??。 2. 证明 nk nj ni mk mj mi lk lj li lmn ijk δδδδδδδδδ=∈∈ 3. 证明ijk klm =(δil δjm -δim δjl ) 4. 证明ijk ikj =-6。 5. 证明 ijk mik =-2δjm 。 6. 证明具有中心对称的晶体不具有由奇阶张量描述的物理性质，但由偶阶张量描述的物理性质也具有中心对称的特性。 7. B 为矢量，M 为二阶张量，证明： (div M )?B =div(M ?B )-{ (B ?)∶M } 8. 设在P 点的应力张量 σ如下：求法线方向为]221[的面上的正应力。 ???? ? ??----=211121112)(ij σ 9. 设在P 点的应力张量 σ如下：求该处的主应力及主方向。并验证主方向是相互正交 的。 ???? ? ??=740473037)(ij σ 10. 位移场u 在给定坐标系下的分量分别是：u 1= ax 2+bx 3，u 2=ax 1 cx 3，u 3= bx 2+cx 3； 其中a 、b 、c 皆为常数。求这个位移场的应变张量Γ。 11. 弹性体的的应变张量场如下所示，这个应变张量场合理吗？ ???? ??????++--=3222 2111 216112226226)(x x x x x x x ij ε 12. 在立方晶体中承受一均匀应力场，以]101[、]211[和[111]为x 1、x 2和x 3坐标轴的应力分量只有σ13和σ23两项，求以三个晶轴作坐标系的各应力分量σ’ij 。
11. 解：计算中保留5位有效数字，第一步，选取作为主元，则 消去，得 第二步，选择 作为主元，则 消去，得 回代计算得到方程的解为 12. （1）证明： 先证明 的对称性，易得 再证的正定性，只要证明的顺序主子式 21311 0.250253.9960.0020.0005005 3.996l l = =-==-(2)(2) 3.9960 5.562547.4178(|)00.61077 1.00100.474700 2.0028 2.00200.40371A b ?? ? =--- ? ??? 320.61077 0.30496 2.0028 l -= =-(3)(3) 3.9960 5.562547.4178(|)0 2.0028 2.00200.40371000.390470.35158A b ?? ? = ? ?--?? 1231.92729,0.69847,0.90040 x x x ==-=(2)(2)11111111 11111111(2)(2)22 ,,2,3,...,,2,3,...,A ===A ij ij i j ji ji j i i j i j ij ji i j j i T ij ji a a l a a a l a i n j n a a a a a a l a l a a a a a A =-=-=====由于对称正定，则 ，则 ，即(2) 22()2()0i ii n nn a A a a ?? ? ? ?→ ? ? ?? ? O O
易得将作Gauss 消去，最终得到 由于这种变换不改变矩阵的行列式，则 由于A 对称正定，则，因此，即的顺序主子式大于零 综上， 对称正定。 （2）证明： 只需证明 由于 则 由于A 严格对角占优，则 则严格对角占优。 13. 解：显然A 对称，，则A 为对称正定矩阵，用平方 根法求得下三角矩阵L 为 由得 ，再由 得 (2)(3)() 22313...,2,3,...,i i ii a a a i n -=?=(2)(2) 2 ||||0,2,3,...,n ii ij j j i a a i n =≠->=∑(2)11ij ij i j a a l a =-(2)(2)11112211112222 11|||||||||||||||||||||| n n ii ij ii i i ij i j j j j i j i n n n n i ii ij i j ii ij j j j j j j i j i a a a l a a l a a a a l a a a a a ==≠≠====≠≠-=---≥ --=--∑∑∑∑∑∑12 1111 2 11(2)(2)21||||||,||||,1 || ||||||||0 n j n n j ii ij j j j j i n n ii ij ii ij j j j i j i a a a a a a a a a a ===≠==≠≠>><->->∑∑∑∑∑则 4L=12233?? ? ? ?-??
第一章 张量的概念 § 1.1 引言 什么是张量？这是读者在开始学习本课程时会提出的问题，现从读者已有的力学知识出发，举例对这个问题作一些初步的阐述，使读者对张量这个新的概念，有个初步的理解。 有三维空间，一个矢量（例如力矢量、速度矢量等）在某些参考坐标系中，有三个分量，这三个分量的集合，规定了这个矢量。当坐标变化换时 ，这些分量按一定的变换法则变换。 在力学中还有一些更复杂的量。例如受力物体内一点的应力状态，有9个应力分量，如以直角坐标表示，用矩阵形式列出，则有 ()???? ? ??σσσσσσσσσ=σzz zy zx yz yy yx xz xy xx ij 这9个分量的集合，规定了一点的应力状态，称为应力张量。当坐标变换时， 应力张量的分量按一定的变换法则变换，再如，一点的应力状态，具有和应力张量相似的性质，称为应变张量。 把上述的力矢量、速度矢量、应力张量、应变张量等量的性质抽象化，撇开它们所表示的量的物理性质，抽出其数学上的共性，便得出抽象的张量概念。所谓张量是一个物理量或几何量，它由在某参考坐标系中一定数目的分量的集合所规定，当坐标变换时，这些分量按一定的变换法则变换。张量有不同的“阶”和“结构”，这由它们所遵循的不同的变换法则来区分。矢量是一阶张量；应力张量、应变张量是二阶张量；还有三阶、四阶、......等高阶张量。可以看出，张量是矢量概念的推广。关于张量的严密的解析定义，将在 § 1.8中讨论。 由张量的特性可以看出，它是一种不依赖于特定坐标系的表达物理定律的方式。采用张量记法表示的方程，在某一坐标系中成立，则在容许变换的其它坐标系中也成立，即张量方程具有不变性。这使它特别适合于表达物理定律，因为物理定律与人们为了描述它所采用的坐标系无关。因此，张量分析为人们提供了推导基本方程的有力工具。此外，张量记法简洁，是一种非常精炼的数学语言。 张量这个名词是沃伊特（V oigt ）首先提出的，用来表示晶体的应力（张力）状态，可见张量分析与弹性力学关系的密切。张量分析在力学领域中有广泛的应用，是力学工作者的重要数学工具。 § 1.2 符号与求和约定 一、指标 在张量分析中广泛运用指标。几个变量的集合 n 21x ,...,x ,x 可表示为