第二十一章二次根式

7 112 =__________;（-2 3 ）2=_________；
例 3.计算 （1） (144) (169) （2） 169 196
1 2 =__________； 49a 4 =__________ 4
2 xy 8 y
，
25 2 24 2 ________．
2 2
2
x 2 y =________。
） 3．当 x 为实数时，下列式子中一定有意义的是 A、 x
2
（
4 9 6； 4 9 6； 5 4 5 4 1；
52 42 1；
C．3 个 D．4 个 B、 x 1
2
C、 x 1
2
D、
1 x2
4、判断下列代数式中哪些是二次根式？ ⑴
2
5 是二次根式， 那么 x 应适合的条件 3 x
A、 x ≥3
2
1 2 4． （ 4x
2
x 9 ）2
4、若 a a ，则（
分析： （1）因为 x≥0，所以 x+1>0； A、 a 是整数 B、 a 是正实数 （2）a2≥0； C、 a 是负数 D、 a 是负实数或零 （3）a2+2a+1=（a+1）≥0； 使代数式 8 a a 有意义的 a 的范围是 （ （4）4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2≥0． 5、 所以上面的 4 题都可以运用（ a ）2=a（a≥0）的 A、 a 0 重要结论解题． 一步领先 步步领先 一份耕耘 B、 a 0 C、 a 0 D、不存在
8 49
（7） 2
1 3 6 3
（8） 1
3 1 2 3 ( 10 ) 5 2
（3）
2 y3 9x2
（4）
16b 2 c a2
（9） 10 x 10 1 y 100 z （10） 3 2 4 3 5
例 3.计算 （1） （11）
2 5 14 56 3 2
2 3
（2）
4、先阅读，后回答问题 x 为何值时 x( x 1) 有意义？ 解：要使 x( x 1) 有意义需 x( x 1) ≥0 由乘法法则得
x0 x10
或
x0 x10
一份收获————祝同学们暑假愉快
-3-
解之得：x≥1 或 x≤0 一步领先 步步领先 一份耕耘
二．填空 1. 64 的立方根是__________
A．a≥2
B．a＞2
10、下列命题中，正确的是（ A．若 a>b，则 a > b
2
B．若 a >a，则 a>0
2、若 x、y 都为实数，且
y 2008 x 5 2007 5 x 1，则
C．若|a|=( b ) ，则 a=b D．若 a =b，则 a 是 b 的平方根 11、下列计算正确的是 ① (4)( 9) ② (4)( 9) ③ 5 4
3 5a 2 10b _________．
（3） (18) (24) （4） 18m n
2
3.计算 （1）
1 225 3
（2）
1 1024 5 2
例 4.计算 （1）
1 12a 3 3a 4
（2） 60
5 6
3 （3） 7 14
件是（ ）
3 由②得：x≠-1 2
D、 x 2 x
内有意义． 例 2．计算 1． （ x 1 ）2（x≥0） 2． （ a ）2 3． （ a 2 a 1 ）2
2
A、 x ≥3 B、 x ≤3 C、 x ＞3 D、 x ＜3
3、 如果 是（ ） B、 x ≤3 C、 x ＞3 D、 x ＜3 ）
2 5 2 × 6 =___; 1.2 10 × 2 10 =_ 3
__．
42 3 =_______; 103 =_________．
8 1 ( ) 2 =_______； 17
8.1102 =________．
（3）
3 4
24 ·
2 3
6；
（4）
2b a a 18b
-
0.9 169 =________． (14) 2 =________； 3.6 196
m 32
。 答：_____________________
（A） m 0, n 0 （C）mn 0
5.使代数式
3x 有意义的 x 的取值范围是_____. 2x
13.(2008 山东济宁)如图，数轴上 数分别为 1 和 则点 A． ，点 关于点 ） D．
两点表示的 6．(2008 年宁波市)若实数 x，y 满足 的对称点为点 ，
2
24 （4） 1 25
2
一步领先 步步领先
一份耕耘
一份收获————祝同学们暑假愉快
-4-
辅导中心地址：城中城北首向西 50 米路南三楼 （5）
2 3 3 (9 45 ) （6） 3 (16)(36) 3 4
例 2.计算 （1）
7 25
（2）
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第二十一章
二次根式
例 3 填空：当 a≥0 时， a =_____；当 a<0 时，
2
知识与技能 1．理解二次根式的概念． 2．理解 a （a≥0）是一个非负数， （ a ） =a
2
a 2 =_______，•并根据这一性质回答下列问题．
（1）若 a =a，则 a 可以是什么数？ （2）若 a =-a，则 a 可以是什么数？
⑶
即当 x≥1 或 x≤0 时， x( x 1) 有意义 2 ， x5 x 2 体会解题思想后， 解答， x 为何值是 有意义？ 2 x 1
（4） x x
2
⑸
x 1 ， x 1
2. 计算 ⑴
5 时，求 a+ 1 2a a 的
2 2
（a≥0） ， a =a（a≥0） ． （3） a >a，则 a 可以是什么数？
2
2
21．1
典型例题
二次根式
a2 =
重要补充结论
例 1．当 x 是多少时， 2 x 3 + 有意义？
1 在实数范围内 x 1
例 4x>2，化简 ( x 2) - (1 2 x ) ．
2 2
1 在实数范围内有意义， x 1 1 必须同时满足 2 x 3 中的≥0 和 中的 x+1≠ x 1
分析：要使 2 x 3 + 0．
跟踪训练
一．选择
2 x 3 0 解：依题意，得 x 1 0
由①得：x≥当 x≥-
1、下列各式是二次根式的是（ A、 8 B、 3 5 C、 x 2
）
5 3 1 是二次根式，那么 x 应适合的条 且 x≠-1 时， 2 x 3 + 在实数范围 2、如果 3 x 2 x 1

2
⑹
4 9
3．把下列各式写成平方差的形式，再分解因式： ⑴ x 5；
2
⑵ 4a 7 ；
2
6 ． 若 -3 ≤ x ≤ 2 时 ， 试 化 简 │ x-2 │
2 + ( x 3) + x 10 x 25 。
2
⑶ 16 y 15 ；
2
⑷ 3x 2 y ．
2 2
3a b 1 3 4 （1） 18 （2） ( 2 ) 4 3 2b a b
2 2 1 = = 7 7 7
14
D． 1
1 1 1 1 = 1· =1× = 49 49 7 7
2 3
2.
0.001 =_____;
1
1 =_____; 4
课外知识．
1.互为有理化因式：•互为有理化因式是指两个二次 根式的乘积可以运用平方差公式 （a+b） （a-b） =a2-b2， 同时它们的积是有理数，不含有二次根式：如 x+1- x 2 x 与 x+1+ x 2 x 就是互为有理化因
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21．2
知识与技能 掌握
二次根式的乘除（1）
b ＝
（3） a
3bc 2ac 2 a b
（4） 5 45
3 2 2 2 3
a ·
ab （ a ≥ 0 ， b ≥ 0 ） ，
ab = a · b （a≥0，b≥0） ；
跟踪训练
典型例题 1．下列运算正确的是（ ） 例 1． 判断下列各式是否正确， 不正确的请予以改正： 2 2 2 A． 5 4 = 5 - 42 =5-4=1; （1） (4) (9) 4 9 B． (16)( 25) = 16 × 25 =-4×（-5）=20 （2） 4
x 2 ( y 3)2 0 ，则 xy 的值是
三．应用 1、求下列二次根式中字母 x 的取值范围：
．
所表示的数是（ B． C．
一步领先 步步领先
一份耕耘
一份收获————祝同学们暑假愉快
-2-
辅导中心地址：城中城北首向西 50 米路南三楼 （1） x 3 ， （2）
2
2x . 2 x
）
6、若 ( x 2)(3 x) 一份收获————祝同学们暑假愉快
x 2 3 x 成立。则 x
-1-
的取值范围为： （ A .x≥2 B.x≤3
辅导中心地址：城中城北首向西 50 米路南三楼 ） C.2≤x≤3 D. 2＜x＜3 ） 14.（2008 黄冈市）下列说法中正确的是（ A． 4 是一个无理数 B．函数 y= ）
2
值，甲乙两人的解答如下：
2 甲的解答为：原式=a+ (1 a ) =a+（1-a）=1；
⑶
1 ， 5
2
⑷ 5 ，


2
2 乙的解答为： 原式=a+ (1 a ) =a+ （a-1） =2a-1=17．
两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因 是 ．
⑸ 5 5 ，
④ 5 4
2 2
1 2 ， ⑵ 16 ， ⑶ a 9 ， ⑷ x 1 ， 2
2
A．1 个
B．2 个
⑸ a 2a 2 ，⑹ x （ x 0 ） ，
12、 如果
m 是二次根式时，m 和 n 应满足条件 （） 。 ⑺ n
（B） m 0, n 0 同号， 或 m 0, n 0 （D）m 、n
8 2 27
（12） 0.9 1.6
（3）
45 2 20
（4）
3a 12ab
21．2 二次根式的乘除（2）
知识与技能 1.掌握 （5） 2m 6m （6） 1 3
a a a a = （a≥0，b>0） ， = （a≥0，b>0） ． b b b b 例 4.计算
2．了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次 （1） 24 根式进行乘除． 典型例题 例 1.计算 （1）
2 ⑸ ( ) ；⑹ 1 x ( x 1) ；⑺ x 2 x 3 .
A．2 个 9．当
B．3 个
C．4 个
D．5 个 ）
a2 a2
有意义时，a 的取值范围是（ C．a≠2 D．a≠－2 ）
y 2 x 5 5 x 2 ，则 23 xy 的值为（ ） 15 15 A． B． C． D． 15 15 2 2
7．若 3 m 为二次根式，则 m 的取值为（ A．m≤3 B．m＜3 C．m≥3 D．m＞3 （
8．下列式子中二次根式的个数有 ⑴
）
1 的自变量 x 的取值范围是 x＞1 x 1
1 2 ；⑵ 3 ；⑶ x 1 ；⑷ 3 8 ； 3
1 3
2
C．8 的立方根是±2 D． 若点 P(2， a)和点 Q(b， -3)关于 x 轴对称， 则 a+b 的值为 5 15. （ 2011 四 川 凉 山 州 ） 已 知
2 2
3 1 =______；
2 =_____； 3
(3) 2 =______ 252 242 _____；
6 12 18 ______
45 5
（2） 45
（2）
a ab 2 b
（3） 27a 3
（4）
5 8
2b 2a b （3）a a b
3 （4） 2
25 1 6 2
5 24
（5） 3.5
（6）
1 1 2 3
一步领先 步步领先
一份耕耘
一份收获————祝同学们暑假愉快
-5-
辅导中心地址：城中城北首向西 50 米路南三楼 例 5.计算 C．
12 12 12 × 25 =4 × × 25 =4 × C． 25 25 25
5 12 + = ; ( )2 ( )2 = 13 13 13 13 13
2
5 12 17
25 =4 12 =8 3
D． 4 7 = 42 × 7 =4 7 2. （2） 6 15 10
例 2.计算 （1） 12 27