第二十一章二次根式

辅导中心地址：城中城北首向西50米路南三楼

一步领先 步步领先 一份耕耘 一份收获————祝同学们暑假愉快 - 1 - 第二十一章 二次根式

知识与技能

1．理解二次根式的概念．

2．理解a（a≥0）是一个非负数，（a）2=a

（a≥0），2a=a（a≥0）．

21．1 二次根式

典型例题

例1．当x是多少时，23x+11x在实数范围内有意义？

分析：要使23x+11x在实数范围内有意义，必须同时满足23x中的≥0和11x中的x+1≠0．

解：依题意，得23010xx

由①得：x≥-32 由②得：x≠-1

当x≥-32且x≠-1时，23x+11x在实数范围内有意义．

例2．计算

1．（1x）2（x≥0）

2．（2a）2

3．（221aa）2

4．（24129xx）2

分析：（1）因为x≥0，所以x+1>0；

（2）a2≥0；

（3）a2+2a+1=（a+1）≥0；

（4）4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2≥0．

所以上面的4题都可以运用（a）2=a（a≥0）的重要结论解题． 例3 填空：当a≥0时，2a=_____；当a<0时，2a=_______，•并根据这一性质回答下列问题．

（1）若2a=a，则a可以是什么数？

（2）若2a=-a，则a可以是什么数？

（3）2a>a，则a可以是什么数？

重要补充结论

2a=

例4x>2，化简2(2)x-2(12)x．

跟踪训练

一．选择

1、下列各式是二次根式的是（ ）

A、8 B、35 C、2x D、2xx

2、如果x35是二次根式，那么x应适合的条件是（ ）

A、x≥3 B、x≤3 C、x＞3 D、x＜3

3、如果x35是二次根式，那么x应适合的条件是（ ）

A、x≥3 B、x≤3 C、x＞3 D、x＜3

4、若aa2，则（ ）

A、a是整数 B、a是正实数

C、a是负数 D、a是负实数或零

5、使代数式8aa有意义的a的范围是（ ）A、0a B、0a C、0a D、不存在

6、若xxxx32)3)(2(成立。则x辅导中心地址：城中城北首向西50米路南三楼

一步领先 步步领先 一份耕耘 一份收获————祝同学们暑假愉快 - 2 - 的取值范围为：（ ）

A .x≥2 B.x≤3 C.2≤x≤3 D. 2＜x＜3

7．若m3为二次根式，则m的取值为（ ）A．m≤3 B．m＜3 C．m≥3 D．m＞3

8．下列式子中二次根式的个数有 （ ）

⑴31；⑵3；⑶12x；⑷38；⑸2)31(；⑹)1(1xx；⑺322xx.

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

9．当22aa有意义时，a的取值范围是（ ）A．a≥2 B．a＞2 C．a≠2 D．a≠－2

10、下列命题中，正确的是（ ）

A．若a>b，则a >b B．若a >a，则a>0

C．若|a|=(b )2，则a=b

D．若a2=b，则a是b的平方根

11、下列计算正确的是 （ ）

①694)9)(4(；②694)9)(4(；

③145454522；④145452222；

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

12、如果nm是二次根式时，m和n应满足条件（）。

（A）0,0nm （B）0,0nm

（C）0mn （D）m、n 同号，或0,0nm

13.(2008山东济宁)如图，数轴上两点表示的数分别为1和，点关于点的对称点为点，则点所表示的数是（ ）

A．B．C．D．

14.（2008黄冈市）下列说法中正确的是（ ）

A．4是一个无理数

B．函数y=11x的自变量x的取值范围是x＞1

C．8的立方根是±2

D．若点P(2，a)和点Q(b，-3)关于x轴对称，则a+b的值为5

15.（2011四川凉山州）已知25523yxx，则2xy的值为（ ）

A．15 B．15 C．152 D． 152

二．填空

1. 64的立方根是__________

2、若x、y都为实数，且15200752008xxy，则yx2=________。

3．当x为实数时，下列式子中一定有意义的是

A、2x B、12x C、12x D、21x

4、判断下列代数式中哪些是二次根式？

⑴21， ⑵16， ⑶9a， ⑷12x，

⑸222aa，⑹x（0x），

⑺23m。 答：_____________________

5.使代数式32xx有意义的x的取值范围是_____.

6．(2008年宁波市)若实数xy，满足22(3)0xy，则xy的值是 ．

三．应用

1、求下列二次根式中字母x的取值范围： 辅导中心地址：城中城北首向西50米路南三楼

一步领先 步步领先 一份耕耘 一份收获————祝同学们暑假愉快 - 3 - （1）32x， （2）xx22. ⑶ 52x，

（4）xx2 ⑸ 11xx，

2. 计算

⑴ 22125 ⑵ 25，

⑶ 251， ⑷ 25，

⑸ 255， ⑹94

3．把下列各式写成平方差的形式，再分解因式：

⑴52x； ⑵742a；

⑶15162y； ⑷2223yx．

4、先阅读，后回答问题

x为何值时(1)xx有意义？

解：要使(1)xx有意义需(1)xx≥0

由乘法法则得 001010xxxx 或

解之得：x≥1 或x≤0 即当x≥1 或x≤0时，(1)xx有意义

体会解题思想后，解答，x为何值是221xx有意义？

5．先化简再求值：当a=9时，求a+212aa的值，甲乙两人的解答如下：

甲的解答为：原式=a+2(1)a=a+（1-a）=1；

乙的解答为：原式=a+2(1)a=a+（a-1）=2a-1=17．

两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是 ．

6．若-3≤x≤2时，试化简│x-2│+2(3)x+21025xx。

辅导中心地址：城中城北首向西50米路南三楼

一步领先 步步领先 一份耕耘 一份收获————祝同学们暑假愉快 - 4 - 21．2 二次根式的乘除（1）

知识与技能

掌握 a·b＝ab（a≥0，b≥0），ab=a·b（a≥0，b≥0）；

典型例题

例1．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：

（1）(4)(9)49

（2）12425×25=4×1225×25=41225×25=412=83

例2.计算

（1）2712 （2）10156

（3）3424· 236； （4）baab182

例3.计算

（1）)169()144( （2）169196

（3）(18)(24) （4）nm218

例4.计算

（1）aa331241 （2）5606

（3）322bcacaab （4）32223455

跟踪训练

1．下列运算正确的是（ ）

A．2254=25-24=5-4=1;

B．(16)(25)=16×25=-4×（-5）=20

C．22512()()1313=513+1213=1713;

D．247=24×7=47

2.23×6=___;51.210×2210=_ __．

243=_______;310=_________．

281()17=_______； 28.110=________．

-0.91693.6196=________．2(14)=________；

7112=__________;（-23）2=_________；124=__________；449a=__________

yxy82 ， 222425________．

ba10253_________．

3.计算

（1）22531 （2）5102421

（3）21437 （4）225241